Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic ...

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Dr. R. Marklein - EFT I - WS 04/05 1 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I) 8th Lecture / 8. Vorlesung University of Kassel Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) Electromagnetic Field Theory (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Office: Room 2113 / 2115 D-34121 Kassel Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Büro: Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein [email protected] http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

Transcript of Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic ...

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S 04

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S 04

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I -W

S 04

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()

()

dd

xy

xy

Xx

Yy

Xx

Yy

xy

Xx

Yy

Xx

Yy

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α

αβ

=−=−

==

=

+=

+=

−+−

22

β+

=Se

para

tion

Cond

ition

/ Se

para

tions

bedi

ngun

g

1(

)(

)XxYy

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

28

ES F

ield

s /

ES F

elde

rPo

isso

n an

d La

plac

e Eq

uatio

n /

Pois

son-

und

Lapl

ace-

Gle

ichu

ng (3

)El

ectr

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tic(E

S) F

ield

s –

Sepa

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n of

Var

iabl

es /

El

ektr

osta

tisch

e (E

S) F

elde

r –

Sepa

ratio

n de

r Va

riabl

en

22

2 kα

β=−

=

Sepa

ratio

n Co

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Sepa

ratio

nsbe

ding

ung

We

Obt

ain

Two

OD

E /

Wir

erha

lten

zwei

GD

G

22

2 22

2

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)(

)d d

()

(

)d

Xx

kXx

x

Yy

kYy

y

=−

=

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/ M

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22

β+

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tions

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Equ

atio

ns a

re/

sung

en d

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r G

leic

hung

en s

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or /

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cos(

)sin

()

oder or /

()

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)od

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Xx

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Yy

kyky

∼∼

∼∼

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se L

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ren

zu

or /

()

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x

Yy

y

∼∼

∼∼

22

2 22

2

d(

)(

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()

(

)d

Xx

Xx

x

Yy

Yy

y

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=−

=−

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

29

ES F

ield

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ES F

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rPo

isso

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Sepa

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n de

r Va

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zwei

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G

22

2 22

2

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)(

)d d

()

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kXx

x

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=

22

22 2

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()

cos(

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dd

()

cos(

)d

dd

sin(

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s()

Xx

Xx

kx

Xx

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= = =−

=−

22

22

2

()

()

cos

h()

dd

()

co

sh(

)d

dd

sinh(

)d co

sh(

)Yy

Yy

ky

Yy

kyy

y

kky

y

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= = = =

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s()

sin(

)d d

sin(

)co

s()

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kxx

kxk

kxx

=−

=

22

2 22

2

dco

s()

cos(

)d d

sin(

)sin

()

d

kxk

kxx

kxk

kxx

=−

=−

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sh(

)sin

h()

d dsin

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d

kxk

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22

2 22

2

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)co

sh(

)d d

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)sin

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d

kxk

kxx

kxk

kxx

= =

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

30

ES F

ield

s /

ES F

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isso

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()

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)cos

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)cos

()

sin(

)sin

h()

sinh(

)sin

()

cos(

)ee

cos(

)

cos(

)ee

cos(

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kykx

kk

kk

jkkx

kykx

kyy

kxky

kxky

xkx

kykx

kyxy

kxky

kxky

kxky

kx

′ ′−

′=

≥≤

→′

′′

′′

′′

′ ′ )

sin(

)ee

sin(

)

sin(

)ee

sin(

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kykx

kykx

ky

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kxky

′ ′−

′ ′

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tions

of t

he 2

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apla

ce E

quat

ion

in th

e Ca

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ian

Coor

dina

te S

yste

m /

sung

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er 2

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apla

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leic

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sisc

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Koor

dina

tens

yste

m

e(,

)(

)(

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XxYy

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=

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

31

ES F

ield

s –

Sepa

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n of

Var

iabl

es/

ES F

elde

r –

Sepa

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n de

r Va

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..)

e(,

)(

)(

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s()c

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=

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)0

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Φ=

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

32

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Exam

ple

/ ES

Fel

der

–Se

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der

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blen

–Be

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el (.

..)

e(,

)(

)(

)co

s()c

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)xy

XxYy

kxky

Φ=

=

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

33

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Exam

ple

/ES

Fel

der

–Se

para

tion

der

Varia

blen

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ispi

el (.

..)

e(,

)(

)(

)sin

()s

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XxYy

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Φ=

=

e(,

)0

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Φ=

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

34

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Exam

ple

/ES

Fel

der

–Se

para

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der

Varia

blen

–Be

ispi

el (.

..)

e(,

)(

)(

)sin

()s

inh(

)xy

XxYy

kxky

Φ=

=

e(,

)0

xy

Φ=

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

35

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Exam

ple

/ ES

Fel

der

–Se

para

tion

der

Varia

blen

–Be

ispi

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..)

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)0

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Φ=

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

36

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Exam

ple

/ES

Fel

der

–Se

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Varia

blen

–Be

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..)

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Φ=

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

37

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Supe

rpos

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of M

odes

/

ES F

elde

r –

Sepa

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n de

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riabl

en –

Supe

rpos

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von

Mod

en (.

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For

Exam

ple,

Con

side

r th

e So

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Bet

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te b

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ie L

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g

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)sin

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ns is

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Die

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on v

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oden

zur

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edin

gung

en:

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sol

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the

Lapl

ace

equa

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–ei

gen

solu

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mod

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obta

ined

by

the

sepa

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va

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es d

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lines

(sur

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s) o

f van

ishi

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oten

tial.

At th

ese

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(sur

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s)w

e co

uld

plac

e a

Diri

chle

t bou

ndar

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ith Φ

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ung

der

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ung,

Mod

e –,

die

man

übe

r di

e M

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atio

n be

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wei

st L

inie

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läch

en) m

it de

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Pote

ntia

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f die

sen

Lini

en (F

läch

en) k

ann

man

ein

e D

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) = 0

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eren

.

()

e

beca

use

/0

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)sin

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eil

(,

)0

beca

use

/,..

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0,1,

...sin

()

sin0

wei

l

yky

xy

nx

nkx

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π

=

==

Φ

=

==−∞

−∞

==

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

38

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Exam

ple

/ ES

Fel

der

–Se

para

tion

der

Varia

blen

–Be

ispi

el (.

..)

22

e2

20

(,

)0

0

xa

xy

yb

xy

<<

∂+

Φ=

<

<∂

x

ye

0U

Φ=

e0

=e

0 V

Φ=

e0

=

b

a

then

it fo

llow

s/

dann

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t

ee0

(,

)sin

sinh

nn

xy

xy

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ππ

Φ=Φ

We

Set /

Wir

setz

en:

nk

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)0

xy

Φ=

ee0

(,

)sin

()s

inh(

)xy

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Φ=Φ

0 0

x xa

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e0

:yb

U=

Φ=

ee0

0(

,)

sinsin

hn

nxyb

xb

Ua

π

Φ

==Φ

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

39

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Supe

rpos

ition

of M

odes

/ ES

Fel

der

–Se

para

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der

Varia

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–Su

perp

ositi

on v

on M

oden

(...)

e1

(,

)sin

sinh

nn

nn

xy

Ax

ya

π∞ =

Φ=

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

40

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Exam

ple

/ ES

Fel

der

–Se

para

tion

der

Varia

blen

–Be

ispi

el (.

..)

22

e2

20

(,

)0

0

xa

xy

yb

xy

<<

∂+

Φ=

<

<∂

x

ye

0U

Φ=

e0

=e

0 V

Φ=

e0

=

?!e

1(

,)

sinsin

hn

n

nn

xy

Ax

ya

π∞ =

Φ=

nA

Adju

st d

ie C

oeff

icie

nts

A n, n

= 1

,2,…

, ∞in

Ord

er to

Ens

ure

the

Inho

mog

eneo

us D

irich

let B

ound

ary

Cond

ition

Φe(x

,b) =

U0

at th

e To

p Bo

unda

ry. /

D

ie K

oeff

izie

nten

An,

n=

1,2

,…, ∞

sind

so

zu b

estim

men

,das

s di

e in

hom

ogen

e D

irich

let-

Rand

bedi

ngun

g Φ

e(x,b

) = U

0am

obe

ren

Rand

erf

üllt

wird

.

b

a

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

41

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Exam

ple

/ ES

Fel

der

–Se

para

tion

der

Varia

blen

–Be

ispi

el (.

..)

1. D

eter

min

e /

Best

imm

e

e1

(,

)sin

sinh

nn

nn

xy

Ax

ya

π∞ =

Φ=

e(,

) yb

xy

=Φ e

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,)

sinsin

hn

n

nn

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Ax

ba

π∞ =

Φ=

=

2. M

ultip

ly B

oth

Side

s w

ith /

Mul

tipliz

iere

bei

de S

eite

n m

itsin

mx

e1

00 1

0

(,

)sin

dsin

sinh

sind

sinh

sinsin

d

aa

nn

xx

a

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x

mn

nm

xb

xx

Ax

bxx

aa

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mA

bx

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aa

a

ππ

ππ

ππ

π

∞ ==

= ∞ ==

Φ=

=

∑∫

∫ ∑∫

Adju

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ie C

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icie

nts

A n, n

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,2,…

, ∞in

Ord

er to

Ens

ure

the

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mog

eneo

us D

irich

let B

ound

ary

Cond

ition

Φe(x

,b) =

U0

at th

e To

p Bo

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ry. /

D

ie K

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izie

nten

An,

n=

1,2

,…, ∞

sind

so

zu b

estim

men

,das

s di

e in

hom

ogen

e D

irich

let-

Rand

bedi

ngun

g Φ

e(x,b

) = U

0am

obe

ren

Rand

erf

üllt

wird

.

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

42

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Exam

ple

/ ES

Fel

der

–Se

para

tion

der

Varia

blen

–Be

ispi

el (.

..)

3. It

Fol

low

s fo

r m

= n

/Es

folg

t für

m=

n

0sinsin

d2 0 2

a x

nm

anm

nm

xxx

aa

nm

a

ππ

δ

=

=

=

=

e1

00

e0

2

(,

)sin

dsin

hsin

sind

(,

)sin

dsin

h2

sinh

2

nm

aa

nn

xx

a

nnm

x

n

a

mn

nm

xb

xx

Ab

xxx

aa

aa

na

nxb

xx

Ab

aa

an

Ab

a

δ

ππ

ππ

ππ

π

∞ ==

=

=

==

Φ=

Φ=

=

∑∫

∑∫

1 0nm

nm

nm

δ=

=

Kron

ecke

rD

elta

/Kr

onec

ker-

Del

ta

e0

2(

,)s

ind

sinh

a

nx

nA

xb

xx

na

ab

a

ππ

=

Ort

hogo

nal “

Eige

n”fu

nctio

ns/

Ort

hogo

nale

„Eig

en“f

unkt

ione

n

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

43

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Exam

ple

/ ES

Fel

der

–Se

para

tion

der

Varia

blen

–Be

ispi

el (.

..)

e0

2(

,)s

ind

sinh

a

nx

nA

xb

xx

na

ab

a

ππ

=

e0

(,

)xb

=

00

0

0

2sin

dsin

h 2sin

dsin

h

a

nx a x

nA

Uxx

na

ab

a

Unxx

na

ab

a

ππ

ππ

= =

=

=

∫ ∫

()

00

1

sind

cos cos

cos(

0)

1co

s

aa

xx

na

nxx

xa

na

ana

na

an

n

ππ

π

ππ

ππ

==

=

=−

=−

=−

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

44

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Exam

ple

/ ES

Fel

der

–Se

para

tion

der

Varia

blen

–Be

ispi

el (.

..)

()

()

0

0

0 0

2sin

dsin

h 21

cos

sinh 2

1co

ssin

h

a

nx

Un

Axx

na

ab

aU

an

nn

ab

aU

nn

nb

a

ππ

ππ

π

ππ

π

=

=

=−

=−

()

11,

3,5,

...co

s1

2,4,

6n

nn

π−

=

=

=

()

0sind

1co

sa x

na

xx

na

ππ

=

=−

04

11,

3,5,

...sin

h 02,

4,6,

...

n

Un

nn

bA

an

ππ

=

=

=

()

21,

3,5,

...1

cos

02,

4,6

nn

=

−=

=

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

45

ES F

ield

s –

Sepa

ratio

n of

Var

iabl

es –

Exam

ple

/ ES

Fel

der

–Se

para

tion

der

Varia

blen

–Be

ispi

el (.

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e1

(,

)sin

sinh

nn

nn

xy

Ax

ya

π∞ =

Φ=

04

11,

3,5,

...sin

h 02,

4,6,

...

n

Un

nn

bA

an

ππ

=

=

=

0e

1od

d /

unge

rade

sinh

41

(,

)sin

sinh

n

ny

Un

axy

xn

na

baπ

ππ

π

∞ =

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Solu

tion

/ Lö

sung

with

/m

it

Infin

ite S

erie

s /

Unen

dlic

he R

eihe

Com

plet

e So

lutio

n /

Kom

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te L

ösun

g

Coef

ficie

nts

/ Ko

effiz

ient

en

Dr.

R. M

arkl

ein

-EFT

I -W

S 04

/05

46

ES F

ield

s –

Sepa

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