Gerd Mrozynski

Elektromagnetische Feldtheorie

Eine Aufgabensammlung

Gerd Mrozynski

Elektromagnetische Feldtheorie

Eine Aufgabensammlung

Mit zahlreichen Abbildungen

Teubner

B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig' Wiesbaden

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet Ober <http://dnb.ddb.de> abrufbar.

Professor Dr.-Ing. Gerd Mrozynski lehrt das Fach Theoretische Elektrotechnik in der Fakultat fOr Elektrotechnik, Informatik und Mathematik der Universitat Paderborn.

1. Aufl. September 2003

Aile Rechte vorbehalten © B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003

Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. www.teubner.de

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden dOrften .

Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de

Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.

ISBN-13:97S-3-519-00439-4 e-ISBN-13:97S-3-322-S0057 -2 001 : 10.1 007/ 97S-3-322-S0057-2

VORWORT

1m Curriculum der Studiengange Elektrotechnik, Informationstechnik und

verwandter Studiengange an Technischen Hochschulen und Universitaten

ist die elektromagnetische Feldtheorie ein fester Bestandteil. Viele Stu­

dierende haben mit diesem Fach gro:l?,ere Schwierigkeiten als mit anderen

Fachern, was oft daran liegt, dass ihnen die wunderbar klare Theorie hinter

einem mathematischen Formalismus verborgen scheint. Die Mathematik

ist aber die Basis auf der sich wissenschaftlich arbeitende Ingenieure ver­

standigen und nur mit ihr formulieren wir, was zu unser em festen geistigen

Besitz gehort.

Bucher uber elektromagnetische Feldtheorie sind in gro:l?,er Zahl und mit

unterschiedlich gesetzten Schwerpunkten verfUgbar. Deshalb solI dieses

Buch diesem gro:l?,en Bestand nicht ein weiteres hinzufUgen, sondern den

Versuch unternehmen, mit einer Vielzahl durchgerechneter Beispiele den

Studierenden den Weg zu einem tieferen Verstandnis der elektromagneti­

schen Feldtheorie zu ebnen. Auf diesem Weg sollte der Leser die Rechnun­

gen nicht nur nachvollziehen, sondern versuchen, die gestellten Aufgaben

mit seinen erworbenen Kenntnissen und Fahigkeiten zunachst selbststan­

dig zu losen. Erst in einer aktiven Auseinandersetzung mit dem feldtheo­

retischen Problem sind die Zusammenhange zu erkennen und die notwen­

digen Einsichten zu gewinnen.

Die numerischen Verfahren zur Losung der Feldgleichungen, die heute

mit der Entwicklung leistungsfahiger Rechner und Software immer wich­

tiger werden, konnten hier nicht berucksichtigt werden. Die sachgerech­

te Anwendung dieser Werkzeuge erfordert es aber, zunachst ein Modell

fUr das zu losende Problem aufzustellen und verschiedene numerische Lo­

sungsverfahren hinsichtlich ihrer Leistungsfiihigkeit gegeneinander abzu­

wagen. Ohne eine grundliche Kenntnis der physikalischen und mathema­

tischen Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie sind diese Auf­

gaben nicht zu losen.

Das erste Kapitel ist eine konzentrierte und nicht ganz vollstiindige Dar­

stellung der Maxwellschen Gleichungen und der Differentialgleichungen

fUr die feldbeschreibenden Potentiale. Es hat eher den Charakter einer

Formelsammlung als den einer EinfUhrung in die Theorie. Die nachfol­

genden Kapitel enthalten Aufgaben zu den klassischen Teildisziplinen der

Feldtheorie. Wo es geboten schien und Platz verfiigbar war, sind den analy­

tischen Losungen Feldbilder beigefiigt. Weitere Feldbilder mit anderen Pa­

rameterwerten werden demniichst auf dem Server des Fachgebietes Thea­

retische Elektrotechnik in der Fakultiit fiir Elektrotechnik, Informatik und

Mathematik der Universitiit Paderbom (www.tet.upb.de) verfiigbar sein.

Bei der Zusammenstellung der Aufgaben haben viele meiner Mitarbeiter

iiber einen grof&en Zeitraum mitgewirkt. Besonders erwiihnen mochte ich

Herm Dr. rer. nat. Otto Erb, der die gesamten numerischen Rechnun­

gen durchfiihrte, die grafischen Darstellungen mit grof&er Sorgfalt angefer­

tigt und das gesamte Manuskript Korrektur gelesen hat. Mein besonderer

Dank gilt meiner Sekretiirin, Frau Gabriele Freitag, die in all den Jahren,

in denen das Manuskript fiir dieses Buch entstanden ist, mit nimmer mii­

dem Eifer Texte und Formeln geschrieben und immer wieder korrigiert und

ergiinzt hat. Herm Dipl.-Ing. Christian Kolleck danke ich fUr die sachkun­

dige Hilfe bei der Erstellung der elektronischen Manuskriptversion. Ohne

die Unterstiitzung der Genannten hiitte ich diese Arbeit nicht abschlief&en

konnen.

Es ist mein Wunsch, denen eine Hilfe zu geben, die in der Auseinander­

setzung mit einer schwierigen ingenieurwissenschaftlichen Disziplin eine

Herausforderung sehen.

Paderbom, im Juli 2003

Gerd Mrozynski

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlegende Gleichungen

2 Elektrostatik

2.1 Geladene konzentrische Kugeln

1

14

14

2.2 Teilkapazitaten einer geschirmten Paralleldrahtleitung . 16

2.3 Singulare Punkte und Linien im Feld von

Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Kraft auf eine Punktladung im Feld einer

Raumladung ................ . 22

2.5 Ladungsdichte auf einem leitenden Zylinder vor

einer leitenden Ebene . . . . . . 23

2.6 Potential konzentrischer Kugeln 26

2.7 Dipol innerhalb einer dielektrischen Kugel 28

2.8 Potential einer Raumladung mit ortsabhangiger Dichte 31

2.9 Dielektrische Kugel im Feld einer axialen

Linienladung ............ .

2.10 Potentialvorgabe auf konzentrischen

Kreiszylindern ........... .

2.11 Spiegelung an einer leitenden Kugel

2.12 Potentialvorgabe auf einem Zylinder mit

rechteckigem Querschnitt ........ .

2.13 Potential halbkugelformiger Raumladungen .

2.14 Energie und Kraftwirkung im teilweise gefiillten

Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . .

33

43

45

48

51

56

viii Inhaltsverzeichnis

2.15 Potential einer ebenen Anordnung mit,

homogenen Randbedingungen auf

unterschiedlichen KoordinatenfUichen .

2.16 Ladungsspiegelung am dielektrischen Halbraum

2.17 Potentialvorgabe auf konzentrischen Zylindern

in einer ebenen Anordnung. . . . . . . . . .

2.18 Kraftwirkung auf eine Ringladung innerhalb

eines leitenden Zylinders .......... .

2.19 Potentialvorgabe auf parallelen Ebenen einer

kreiszylindrischen Anordnung . . . . . . .

2.20 Dielektrischer Zylinder mit ortsabhangiger

Flachenladung. . . . . . . . . . . . . . . .

2.21 Potential und Feldstarke dipolbelegter Flachen .

2.22 Potentialvorgabe auf einer Kugelflache

2.23 Potentialvorgabe in einer Ebene des

unbegrenzten Raumes ....... .

2.24 Flachenladung in der Grenzschicht zweier

Dielektrika. . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.25 Kraft auf eine Punktladung im Feld einer

Linienladung vor einer leitenden Kugel

2.26 Randfeld eines Plattenkondensators

3 Stationares Stromungsfeld

3.1 Radiale Einstromung in einen leitenden Zylinder .

3.2 Stationares Stromungsfeld um eine Hohlkugel

3.3 Stromungsfeld in einem rechteckigen

Massivzylinder ........... .

58

62

65

68

71

73

75

79

82

85

87

89

93

93

95

98

Inhaltsverzeichnis ix

3.4 Stromungsfeld in einem Zylinder mit

Stromzufiihrung iiber Schneiden . . . . ....... 102

3.5 Stromverteilung in einem kreiszylindrischen

Leiter mit axialer Inhomogenitat

3.6 Stationares Stromungsfeld urn eine leitende Kugel

4 Magnetisches Feld stationarer Strome

4.1 Magnetisches Feld einer Anordnung aus

Linienleitern . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Magnetisches Feld eines planaren Leiters

4.3 Magnetische Energie und Induktivitat

106

110

114

114

115

kreiszylindrischer Anordnungen . . .. .......... 117

4.4 Schirmung des magnetischen Feldes einer

Paralleldrahtleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.5 Magnetisches Feld in einem abgesetzten

Zylinder mit stationarer Stromverteilung 129

4.6 Kraft auf eine Leiterschleife vor einer permeablen Kugel. 133

4.7 Schirmung eines homogenen magnetischen Feldes durch

einen permeablen Hohlzylinder. . . . . . 137

4.8 Gegeninduktivitat ebener Leiterschleifen 142

4.9 Magnetische Kopplung von Leiterschleifen 144

5 Quasistationares Feld 146

5.1 Stromverteilung in einem leitenden, geschichteten Zylinder 146

5.2 Rotierende Leiterschleife .... 147

5.3 Kraftwirkung durch induzierte Stromverteilung in einer

leitenden Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

x Inhaltsverzeichnis

5.4 Komplexer Widerstand eines Koaxialkabels . . . . . . . . . 161

5.5 Induzierte Stromverteilung im leitenden

Halbraum ................ . 165

5.6 Induzierte Stromverteilung durch einen bewegten Leiter. 171

5.7 Leitender Massivzylinder im magnetischen

Drehfeld .................. . 174

5.8 Verlustleistung und Energiebilanz in einer leitenden Kugel

im transienten Feld einer Leiterschleife . . . . . . . . . 180

5.9 Induzierte Stromverteilung in einem leitenden Zylinder 191

5.10 Zylindrischer Leiter mit axialer Inhomogenitat

5.11 Frequenzabhangige Stromaufteilung in Leitern

mit unterschiedlicher Leitfahigkeit . .

5.12 Stromkreis mit massiven Zuleitungen

5.13 Magnetisch gekoppeltes elementares

Leitersystem ............. .

5.14 Induzierte Stromverteilung in einer leitenden Platte durch

ein erregendes homogenes Feld mit beliebig vorgegebener

196

202

207

211

Zeitabhangigkeit ....................... 216

6 Elektrornagnetische Wellen 222

6.1 Schaltvorgang auf idealen Leitungen .

6.2 Anregung hybrider Wellen im Rechteckhohlleiter .

6.3 Anregung transversal elektrischer Wellen in

einer einseitig abgeschlossenen Bandleitung .

6.4 Koaxialleitung mit inhomogenem Dielektrikum .

6.5 Zylindrischer Hohlleiterresonator mit

222

225

229

234

inhomogener Permittivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Inhaltsverzeichnis Xl

6.6 Gefiihrte Wellen der geschichteten Bandleitung . 239

6.7 Hertzsche Dipole in einer Gruppe . . 247

6.8 Lineare Antenne vor leitender Ebene 250

6.9 Hohlleiter mit unterschiedlichen Dielektrika . 253

6.10 Reflexion einer ebenen Welle an einer leitenden Platte . 255

6.11 Gefiihrte Wellen an dielektrischer, planarer Schicht 260

6.12 Planarer, geschichteter Wellenleiter . 269

6.13 Beugung am dielektrischen Zylinder . 278

Anhang 292

Literaturverzeichnis 297

Index 298

Verwendete Symbole

--+

A Vektorpotential

a FHiche, Abmessung

B Magnetische Flussdichte

C Kapazitat, Raumkontur

Cij Kapazi tatskoeffizienten

D Elektrische Flussdichte --+

E Elektrische Feldstarke --+

F Vektorpotential, Kraft jj Magnetische Feldstarke

I, i Elektrischer Strom

J Stromdichte

K Strombelag

Lik Induktivitat --+

M Dipolmoment --+ Dipolmomentendichte m

P Leistung

Pv Veri ustleistungsdichte

Pij Potentialkoeffizienten

Q Ladung

R,i Ortsvektoren § Poyntingscher Vektor

t,T Zeit

U,U Potential, Spannung

V Potential

v Volumen, Geschwindigkeit

W Energie

w Energiedichte, komplexe Variable

Z Wellenwiderstand

Verwendete Symbole

0; Skinkonstante, Winkel

iJ Phasenkonstante

;;; Ausbreitungskonstante

6 Eindringtiefe

c PermittiviUit

/-L PermeabiliUit

"" Leitfahigkeit

{} Raumladungsdichte, Koordinate

() Flachenladungsdichte, Sprungfunktion

Aq Linienladungsdichte

A Wellenlange

\If e,m Elektrischer /Magnetischer Fluss

r..p, '1/) Potentialfunktionen

n Raumwinkel

w Kreisfrequenz

<f:> Richtcharakteristik, Potential

co = 8,854 .10-12 [As/Vm]

/-Lo = 47r . 10-7 [Vs/ Am]

xiii

Komplexe Gragen sind unterstrichen, mit Ausnahme der komplexen Variablen

z = x + jy, W = U + jv und spezieller Funktionen komplexer Argumente.

A * konjugiert komplexe Grage.

IAI = A Betrag einer vektoriellen, komplexen Grage.

A zeitlicher Mittelwert einer Grage.

1m {} Imaginarteil einer komplexen Grage.

Re {} Realteil einer komplexen Grage