1.5 Chirale Anomalie

1.5 Chirale Anomalie

Die SU(2)L ist eine “Chirale WW”, d.h. es gibt unterschiedlicheKopplungen für L und R. Betrachtet man den Z ! �� so ergibtsich die sogenannte Dreiecks-Anomalie. Dieser Prozess wurde beiLEP gemessen.

Für jedes Fermion f ergibt sich im Matrix-Element

M ⇠ cA · Q2

mit der axialen Kopplung cA = T3 und der Ladung Q. Für jedeseinzelne Fermion ergeben diese Loops

� ! 1

Dies ist unvermeidbar, es sei denn Beiträge verschiedener Fermio-nen heben sich weg.

Für jede Generation gilt:⌫ e u d

X

f=⌫,e,u,d

T3fQ2F =

✓1

2

◆·02

+

✓�1

2

◆·(�1)

2+3·1

2

✓2

3

◆2

+3·✓

�1

2

◆✓�1

3

◆2

= 0 !!

- %NC = 3 Farben der Quarks

Interpretation: Die Divergenz wird nur dann vermieden, wenn

• Quark-Dubletts vollständig sind () Existenz des top-Quarks)

• Quarks und Leptonen nicht unabhängig sind!

• für�

⌫e

�L,�

ud

�L

ist T3 gegeben ) NC =

Q2e

Q2u�Q2

d= 3 Farben

Daruas folgt eine Aussage, die sehr bedeutend ist:

• Weil die SU(2)L chiral ist und SU(3)C drei Farben beschreibtsind Quarks 1/3 -fach elektrisch geladen

Dieser innere Zusammenhang zwischen el. Ladung und Farbe istnicht erklärt im Standard-Modell und ein starker Hinweis auf Phy-sik jenseits des Standard-Modells (siehe: Grand Unification).

17

2.1 Forderungen an eine fundamentale Theorie

2 Kritik des Standard-Modells

2.1 Forderungen an eine fundamen-tale Theorie

SM

Grundannahmen: Die Theorie sollte auf wenigen Grundannahmenberuhen wie Kausalität, Relativitätstheorie (Raum-Zeit), Quan-tentheorie.Im SM ist das erfüllt. ja!

Konsistenz: Es darf keine theoretischen Inkonsistenzen / Diver-genzen geben, d.h. die Theorie sollte eine lokale Eichtheoriesein um Renormierbakeit zu sichern.Im SM gilt das aber wegen Chiraler Anomalie nur deshalb,weil die Quantenzahlen der Leptonen und Quarks “zufällig”passen. ja!

Experiment: Die Theorie sollte experimentell falsifizierbar seinund alle experimentellen Daten erklären.Das SM-Modell stimmt mit allen Labor-Experimente überein.ja!

Vorhersagekraft: Die Theorie sollte nicht nur vorhandene Expe-rimente beschreiben, sondern auch neue Effekte korrekt vor-hersagen.Das SM hat z.B. neue Quanten korrekt vorhergesagt: ⌫⌧ , t,W, Zund H (das “richtige”?) ja!

Vollständigkeit: Eine fundamentale Theorie sollte vollständig sein,d.h. alle Phänomene der Natur beschreiben.Das SM beinhaltet nicht die Gravitation. nein!

Extrapolierbarkeit: Die Theorie sollte auch bei höchsten Energi-en gelten, d.h. bis zur Skala der Quanten-Gravitation von10

19GeV . Damit sollte auch die Physik des frühen Kosmosbeschrieben werden.

• Im SM ist die Higgs-Masse divergent bei hohen Energien.Dieses Hierarchieproblem ist im SM nicht gelöst. nein!

• Die Materie-Antimaterie-Asymmetrie kann nur erklärtwerden, wenn es eine Phase sehr schneller Expansiondes Universums (Inflation), Proton-Zerfall und CP Ver-letzung gibt.

18

2.2 Vorhersagen des Standardmodells

Im SM gibt es keinen Proton-Zerfall und die CP Ver-letzung ist zu gering um die Asymmetrie zu erklären.nein!

• Dunkle Materie ist experimentell etabliert. Im SM -Modellgibt es dafür keinen Teilchen-Kandidaten. Falls es sichum Teilchen handeln sollte, so muss es eine bisher unbe-kanntes Teilchen sein. nein!

• Dunkle Energie ist nicht im SM erklärt. nein!

Einfachheit: Eine fundamentale Theorie sollte einfach sein.Das SM beinhaltet 17 Teilchen, 26 Naturkonstanten, 3 WWnein!

Erklärbarkeit: Warum ist die Natur so wie sie ist?Das SM ist eine willkürliche Kombinantion bestimmter Sym-metrien und Fermionen. nein!

Experiment ¨̂ Theorie _̈

2.2 Vorhersagen des Standardmo-dells

Experimentell bestätigte Vorhersagen: (Nur die wichtigsten)

Eichbosonen: W,Z und GLuonen wurden vorhergesagt und expe-rimentell mit den vorhergesagten Eigenschaften gefunden.

Kopplungen g, g0, gs: Im SM sind die Kopplungen gleich für alleGenerationen. Die Kopplungen laufen.

Mulitipletts sind komplett: Dies ist notwendig um Divergenzen zuvermeiden (Chriale Anomalie). Daraus wurde korrekt die Exi-stenz von ⌫⌧ und top vorhergesagt.

Selbst-WW der Eichbosonen existiert: Dabei müssen die Kopplungs-konstanten die gleichen wie zu den Fermionen sein:

(W ! e⌫) : (W ! WZ) : (WW ! WW ) = g : g : g2

Massen von W und Z: Diese folgen für M� = 0 aus den Kopp-lungskonstanten:

M2Z

M2W

=

g2+ g02

g2

Experimentell noch nicht genau bestätigte Vorhersagen:

Higgs-Teilchen existiert: Masse wird durch WW mit dem Higgs-Feld erklärt.

Kopplung an Higgs: Vorhergesagt wird Kopplung ⇠ M/v

19

2.4 Das Hierarchie-Problem des Standard Modells

Ein Higgs Doublett reicht für MW ,MZ ,Me,M⌫ ,Mu,Md

Q = T3 � Y/2

eR : (T = 0, Y = �2)

eL : (T = 1/2, Y = �1)

H : (T = 1/2, Y = 1)

Das passt für alle Fermion Massen und die Massen von Wund Z.

2.3 Naturkonstanten im Standard-Modell

g, g0, gs 3 Kopplungskonstanten (oder ↵elm,↵W ,↵s)�, µ 2 Parameter des Higgs-Potentials (�, µ $ v,MH)Quark-Higgs-Kopplung 6 Parameter für Quark-MassenQuark-Mischungswinkel 4 Parameter der CKM-MatrixLepton-Higgs-Kopplung 6 Parameter für Lepton-MassenLepton-Mischungwinkel 4 Parameterder der PMNS-MatrixQCD-Phase 1 Parameter

26 Parameter

Hinzu kommt die Gravitationskonstante (1 Parameter) als etablier-te weitere Naturkonstante (außerhalb des SM).

Es fällt auf, dass 20 der 26 Parameter mit den Fermion-Massenund Mischungen zusammenhängen. Offenbar wird hier nur für jedenneuen Effekt eine neue Naturkonstante eingeführt. Die Zahlenwertedieser Naturkonstanten sind extrem unterschiedlich:

Mt = 175 GeV...

Me = 0.511 · 10�3 GeVM⌫e ⇡ 10

�11 GeV ⇡ 0.01 eV

Die Massen unterscheiden sich damit um ca. einen Faktor 10

13.Dafür gibt es im SM keine Erklärung.

Der QCD-Phasen-Parameter beschreibt eine mögliche CP-Verletzungdurch die starke WW. Er ist extrem klein oder Null (siehe “starkesCP Problem” und “Axion”).

2.4 Das Hierarchie-Problem des Stan-dard Modells

In der Natur gibt es sehr unterschiedliche Energie-Skalen:

20

2.4 Das Hierarchie-Problem des Standard Modells

⇤QCD ⇡ 200 MeV. Skala der QCD (Im SM durch “Laufen” von ↵s)v ⇡ 246 GeV. Skala der Elektroschwachen Symmetrie-Brechung

(SM- Higgs-Vakuumerwartungswert ⇡ MW )MGUT ⇡ 10

16 GeV. Skala der Vereinheitlichten TheorienMP lanck ⇡ 10

19 GeV. Skala der Quanten-Effekte durch Gravitation.

Diese großen Unterschiede bezeichnet man als “Hirarchie der Ener-gieskalen”. Für die Extrapolation zwischen den natürlichen Skalendieser Theorien zu den jeweils anderen Skalen bedeutet dies, dassgroße Quantenkorrekturen zu erwarten sind. Quantenkorrekturenlegen die Beziehung zwischen den “nackten Parameteren” in derLagrange-Dichte und den beobachtbaren Parametern fest.

g,↵s,�, µ, . . .| {z }Messung

= nakte Parameter.| {z }Lagrange Dichte

+ Quantenkorrekturen| {z }Berechnung in höheren Ordnungen

Quantenkorrekturen für Eich-KopplungenFür Kopplungskonstanten gilt:

g2= g2

0 + cg4ln

⇤2

Q2 + ·Hierbei ist ⇤ die maximale Energie im Loop, d.h. die Energie, biszu der das SM gültig ist. Daraus ergibt sich, dass Kopplungskon-stanten nur logarithmisch divergent sind, also nicht sehr stark vonder Energieskala abhängen.

Quanten-Korrekturen des Higgs-PotentialsAus dem Higgs-Potential

V (|�|) = µ2�|2 + �|�|4

ergibt sich die Higgs-Masse zu

m2h = �2µ2

= 2�v2 v =

r�µ2

�

Quanten-Korrekturen hierzu ergeben sich durch die Diagramme

m2h(⇤) = m2

h(MW ) + Cg2⇤

2

Im Gegensatz zu den Eich-Kopplungen ist die Higgs-Masse nicht

21

2.5 Theoretische Grenzen für Higgs Masse

logarithmisch, sondern “quadratisch” von der Energie-Skala ⇤ ab-hängig. Dies liegt vor allem daran, dass das Higgs ein Skalar (Spin-0 Teilchen) ist. Dieses Problem tritt nur für das Higgs auf, nichtaber für die Massen der Spin 1

2 und Spin 1 Teilchen. Extrapoliertman daher die Higgs-Masse z.B. bis zur Skala MGUT , so ist dieseQuantenkorrektur extrem groß. Damit mh(MW ) wie erwartet in derGrößenordnung von MW ist, muss eine der folgenden Bedingungenerfüllt sein.

• mh(⇤) ist mit großer Genauigkeit entgegengesetzt gleich Cg2⇤

2

sein. Dafür gibt es aber keine Motivation. Dies wird als “finetuning” Problem bezeichnet.

• C = 0. Dies ist nicht der Fall im SM (aber in der Supersym-metrie).

• ⇤ . 1 TeV. Damit liese sich das SM nur bis zu dieser Energieextrapolieren, es müsste also “neue Physik” an dieser Skalaauftreten.

Insgesamt wurde also zur Vermeidung von Divergenzen durch Fermion-und Boson-Massen eine Higgs-Masse eingeführt, die aber selber di-vergiert. Fine tuning ist im SM die einzige Erklärung, wird abervielfach als Problem betrachtet.

2.5 Theoretische Grenzen für HiggsMasse

1. UnitaritätIm SM ohne Higgs (oder mit Mh ! 1) divergieren Wirkungsquer-schnitte für schwere W,Z für große

ps. Z.B. ist für W�

L W+L ! ZZ

die Unitarität nicht verletzt für

mh < 1TeV

2. TrivialitätRadiative Korrekturen ändern die Higgs-Masse, aber auch direktdie Higgs-Kopplungen, �, µ, und damit das Higgs-Potential:

d�

dt⇠ �2

+ �C2t � C4

t

mit t = ln

Q2

⇤2 und, als dominanter Beitrag, der großen Higgs-topKopplung Ct = mt/v. bei großen Mh ist auch � groß, d.h. dieHiggs-Selbstkopplung � wird groß und nicht perturbativ. Darausfolgt eine obere Grenze für mh.

22

2.5 Theoretische Grenzen für Higgs Masse

3. Vakuum Stabilität

Falls mh sehr klein ist ist auch � klein, so dass

d�

dt⇠ �C4

t

negativ wird. Damit fällt � mit ⇤

2 und wird negativ bei großemWerten. Damit hat das Potential kein Minimum mehr, es gibt keindefiniertes Vakuum mehr.

4. Fine-tuningWie groß darf mh sein, damit sich mh(⇤)/mh(MW ) sich nur wenigändert beim Übergang von von MW ! ⇤ ? Die genaue Definitionist willkürlich

mh(⇤) � mh(MW )

mh(MW )

< 0.1, 0.01, . . .

Je nach experimentellen Wert der Higgs-Masse lässt sich damit auchdie maximale Energie ablesen, bis zu der das SM gültig ist.

Ein weiteres Problem ist evtl, dass die Higgs Breite sehr großewird für große Higgs-Massen. Es ist nicht evident, dass das Sinnnmacht.

23

3.1 Experimentelle Methoden

3 Suche nach Physik jenseits

des Standard Modells

3.1 Experimentelle Methoden

Die Suche nach Phänomenen einer Physik jenseits des SM beziehtsich auf

• neue Teilchen, die noch nicht gefunden wurden, weil sie sehrschwer sind oder nur sehr schwach wechselwirken;

• neue Wechselwirkungen;

• Fehler im Standard-Modell, deren Folgen zu klein sind umbisher messbar zu sein;

• neue Konzepte.

Dies ist nicht exklusiv gemeint, denn z.B. kann ein neues Konzept zueiner neuen Wechselwirkung mit neuen Austauschteilchen führen.

In zahlreichen Experimenten wird nach Physik jenseits des Standard-Modells gesucht. Folgende Methoden lassen sich unterscheiden:

• Direkte Suche nach neuen Teilchen an Beschleuni-gern: Neue Teilchen, die WW mit den bekannten Teilchenhaben, werden in der Regel in diese zerfallen, so dass man dieMasse MX des neuen Teilchens in den Massenspektren vonZerfallsprodukten beobachten können sollte. Danach wird beiallen Beschleunigerprojekten gesucht, z.B. bei LEP - HERA- Tevatron - LHC - (SLHC - VLHC - ILC - CLIC).Beispiele: Entdeckung des Z0 oder derzeit die Suche nach neu-en Z 0 Bosonen in Zerfällen Z 0 ! e+e�.Vorteile: Klarer Beweis, eindeutig interpretierbar, Masse, Spin,etc. messbar.Nachteile: Beschränkt durch die Scherpunktsenergie, MX <ps

• Indirekte Suche an Beschleunigern: Neue Teilchen mitMX >

ps können virtuell ausgetauscht werden und so die

Wirkungsquerschnitte für bekannte Prozesse verändern. Dervirtuelle Austausch eines neuen Teilchens ist durch Kopp-lungskonstante und Propagator bestimmt. Für eine Interfe-renz aus SM und neuem Teilchen gilt

� ⇠����

g2SM

Q2 � M2SM

+

g2X

Q2 � M2X

����2

Für kleine Impulsüberträge Q2 werden Beiträge großer Mas-sen MX gegenüber kleinen Massen MSM unterdrückt. Neue

24

3.1 Experimentelle Methoden

Teilchen sind daher am ehesten bei hohen ImulsüberträgenQ2 sichtbar, so dass auch hier hochenergetische Beschleuni-ger Vorteile haben. Nötig ist aber auch eine gute Messgenau-igkeit.Beispiele: Beobachtung virtueller Effekte von e+e� ! Z0

bei PETRA schon beips ⇡ 40 GeV oder derzeit die Su-

che nach neuen 4-Fermion WW (“Contact Interactions”) z.B.durch neue W 0 Bosonen.Vorteile: Zugang zu sehr hohen Massen neuer TeilchenNachteile: benötigt sehr hohe Messgenauigkeit, bei sehr ho-hen MX ist nur das Verhältnis g2

X/M2X messbar, Spin etc.

schwierig, mehrdeutig

• Suche nach seltenen oder verbotenen Prozessen: ImSM sind viele Prozesse explizit verboten oder nicht enthalten.Jede Beobachtung solcher Untergrund-freien Prozesse wärealso ein Zeichen neuer Physik.Beispiele:

– Ladungszahlverletzung– Baryonenzahlverletzung, z.B. im Proton-Zerfall p ! e+⇡0

– Flavour-Changing Neutral Currents (FCNC) z.B. µ !e� oder b ! s�

Vorteile: Sehr hohe Sensitivität auf gX/MX .Nachteile: Apparativer Untergrund und Verwechselungen derProzesse müssen extrem genau verstanden sein, mehrdeutigbezüglich neuer Modelle.

• Quantenkorrekturen: Die Quantenkorrekturen durch Schlei-fen beinhalten virtuelle Effekte durch neue Teilchen. Hier-durch gibt es Korrekturen z.B. zu (g � 2)e,µ des Elektronsund Myons und oder zu e+e� ! f ¯f . Durch Vergleich mitsehr präzise Messungen kann man daher die Konsistenz desSM oder neuer Modelle testen.Beispiel: Elektroschwacher Fit.Vorteile: Zugang zu vielen neuen Modellen.Nachteile: Präzisions-Messungen notwendig, mehrdeutig.

• Extrapolation des SM zu hohen Energien: In theore-tischen Modellen können mittels Renormierungsgruppenglei-chungen die Zahlenwerte der Kopplungen und Massen von denMesswerten bei kleinen Energien zu hohen Energien extrapo-liert werden. Damit kann nach einem gemeinsamen Ursprungdieser Werte gesucht werden.Beispiele: Vereinheitlichung der Kopplungskonstanten in GUTund SUSY-GUT.Vorteil: Zugang zu Energie bis zur Planck-Skala von 10

19 GeV.Nachteile: Nur wenige laufende Konstanten stehen genau ge-nug zur Verfügung, mehrdeutig.

• Kosmologie: Die Eigenschaften und Entwicklung des frü-hen Kosmos sind durch Teilchenphysik bestimmt. Messungen

25

3.2 Theorien jenseits des Standard Modells

hierzu lassen Rückschlüsse auf die Art und Wechselwirkungder Teilchen bei sehr hohen Energien zu.Beispiele: Dunkle Materie, Dunkle Energie.Vorteile: Umfasst alle Sorten neuer Teilchen (Thermodyna-mik).Nachteile: Interpretation Abhängig von Modellen der Kosmo-logie, mehrdeutig.

3.2 Theorien jenseits des StandardModells

Das Standard-Modell beschreibt die Ergebnisse sehr vieler Labor-Experimente konsistent und mit hoher Präzision. In der Konstruk-tion neuer Modelle wird daher zumeist angenommen:

• Das Standard-Modell wird benutzt als gute Näherung für E .100 GeV (⇡ MW , v).

• Eine fundamentalere Theorie, die bei höheren Energien dieNatur beschreibt, geht im Limes kleiner Energien in das Standard-Modell über (oder in eine Theorie, die mathematisch nahezuäquivalent ist).

Historische Analogien hierzu sind der Übergang zwischen klassi-scher Mechanik und spezieller Relativitätstheorie z.B. in der Bezie-hung

E = �mc2=

1p1 � v2/c2

mc2 ⇡ mc2+

1

2

mv2+

3

8

mv4

c2+ ...

oder zwischen klassische Gravitation und allgemeine Relativitäts-theorie oder zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik.

Eine fundamentalere Theorie sollte möglichst erklären können:

• Auswahl und Unterschied der drei Wechselwirkungen (+ Gra-vitation).

• Unterschied zwischen leptonen und Quarks

• Unterschied oder Zuammenhang der drei Generationen

• Zahlenwerte der Naturkonstanten

• Higgs-Potential

Tatsächlich konstruierte Modelle geben mögliche Antworten zu ein-zelnen dieser Fragen.

• Neue SubstrukturenAnalog zu Atome ! Kern + Hülle

- Compositeness: Quarks und Leptonen bestehen aus Pre-onen

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3.2 Theorien jenseits des Standard Modells

- Technicolour: Higgs (und W, Z) sind nicht elementar

• Neue Symmetrien- neue Eichgruppen: neue U(1), neue Eichbosonen + WW- Vereinheitlichung der WW des SM: GUT

GUT = Grand Unified Theories, beinhaltet das SM undmehr

- Suppersymmetrie: Symmetrie zwischen Fermionen undBosonen

• Neue Konzepte- neue Raum-Zeit Dimensionen (5, 10, 11)- String Theorie anstatt Teilchen

• + Mischungen

The (3d) Space of Symmetries

Lorentz : M ! ¯M antimatterSupersymmetry : M ! ˜M superparticles?Unification : All M reducible to a ?

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