274

18.2 Erster Hauptsatz der Wärmelehre

Al man erkannt hatte, daß die Wärme eine Energieform darstellt, konnte man einen allge­meinen Energieerhaltungssatz aufsteHen. Der 1. Hauptsatz der Wärmelehre beinhaltet das Prinzip von der Erhaltung der Energie unter Einbeziehung der Wärme, und so lautet eme er te Formulierung:

1. Hauptsatz: In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aller Energien konstant.

Dabei werden alle Energieformen wie mechani che Energie Wärme, Elektroenergie usw. einbezogen.

Eine zweite Formulierung lautet:

1. Hauptsatz: E gibt kein Perpetunm mobile 1. Art.

Da. heißt, e gibt keine Maschine, die Arbeit verrichtet ohne daß ein ent prechender Betrag an Energie zugeführt wird.

Für eine dritte Formulierung, die sich mathemati ch fa en läßt, muß eine neue Größe, die innere Energie V eine System, eingeführt werden:

Die innere Energie i t der ge amte Energieinhalt eines System, z. B.einer be timmten Menge Ga . Sie i t eine Zustand größe und wird für eine gegebene Menge Ga durch die Zu tand größen Temperatur, Druck und Volumen bestimmt.

Die innere Energie eine Systems kann ich entsprechend dem Satz von der Erhaltung der Gesamtenergie nur durch Energieaustausch mit der Umgebung in Fonn von Wärme oder durch die Verrichtung von Arbeit ändern.

Im Bereich der Wärmelehre geht e um die Zufuhr oder Ableitung von Wärme und die vom Sy tern oder am Sy tem verrichtete Arbeit. Der 1. Hauptsatz kann nun als Bilanz die er Größen dargestellt werden.

Die dritte Formulierung des 1. Haupt atze lautet daher:

I ßU = Q+ W I 1. Haupt atz (18.6)

Die Änderung der inneren Energie i t gleich der Summe von zu- oder abgeführter Wärme und verrichteter Arbeit.

Für die Bilanz von Energie und Arbeit gilt folgende Vereinbarung:

Jede dem y tem zugeführte Energie oder Arbeit wird positiv, und jede abge­gebene Energie oder Arbeit wird negativ gezählt.

In differentiel1er Form gilt für die Änderung der inneren Energie U:

I dU = dQ +dW I 1. Hauptsatz (18.7)

18.2 Er ter Hauptsatz der Wärmelehre 275

Q be chreibt den Wämleau tau ch mit der Umgebung und W die am Sy tern oder vom Sy tern errichtete Arbeit. E ind Prozeßgrößen ie werden vom konkreten Prozeßverlauf be timmt. Dagegen i t U eine Zustand größe., die den jeweiligen Zustand des Sy tems beschreibt, unabhängig vom Weg zu diesem Zustand.

Die vom Ga abgegebene Arbeit kann z. B. darin be tehen, daß es ich bei konstant blei­bendem Druck p au dehnt a1 0 ein Volumen V um l:!:.. V vergrößert Man denke dabei an irgendeine Wärmekraftmaschine bei der auf die eWei e ein Kolben hin- und herbe­wegt wird. Die Arb it W wird dann durch das Produkt aus der vom Ga auf den Kolben wirkenden Kraft F und dem om Kolben zurückgelegten Weg s gegeben. Hat der Kolben den Querschnitt A und da im Zylinder einge ehIo ene Gas den Druck p, 0 ist die Kraft gl,eich dem Produkt pA und die Arbeit W = pAs. Nun i t As da während der Bewegung vom Kolben verdrängte Volumen D.. V, 0 daß gilt W = P ß. V. Es ist jedoch zu bedenken, daß die auf den Kolben wirkende Kraft F und damit auch der Druek p beim Zurücklegen des Wege s nicht konstant bleibt.

dW i p .

dV p(V)

w

Bild 18.3: Arbeit bei kleiner Volumenänderung Bild 18.4: Volumenarbeit

Es ist daher zunäch t von einer äußerst kleinen Volumenänderung d V au zugehen. Dann ist die nach außen abgegebene Volurnen- oder Ausdehnung arbeit (Bild 18.3):

V2

!dW=-PdV! bzw. W= - !PdV VI

Volumenarbeit (18.8)

Trägt man den Verlauf de Druckes über dem Volumen auf (p V -Diagramm), 0 ent pricht die Fläche unter der Kurve dem Betrag der Arbeit! Im Bild 18.4 i teine Kompre Ion dargestellt. Dem Sy tern wird Arbeit zugeführt ie i t po itiv.

Mit 18.7 erhält man den 1. Haupt atz für Ga e:

! dU = dQ - pdV I (18.9)

Die Änderung der inneren Energie eine Ga e ergibt ich omit au der zu- bzw. abgeführ­ten Wärmemenge und der am Ga oder vom Ga verrichteten Volumenarbeit.

276 19 Zustandsänderungen idealer Gase

19 Zustandsänderungen idealer Gase

E wurde bereits in Abschnitt 17.4 dargestellt, daß der Zustand einer bestimmten Men­ge Ga durch die drei Zustandsgrößen Druck, Volumen und Temperatur beschrieben wird. Die Zu tand gleichung (17.22) gibt den Zusammenhang zwischen diesen Größen an. Ein gegebener Zu tand läßt ich auf verschiedene Weise ändern. So kann z. B. das Gas zu-ammengepreßt werden, wodurch sein Volumen kleiner wird und die Temperatur ansteigt.

Eben 0 verschieben sich die Werte p, V und T, wenn das Gas erwärmt wird. In welcher Weise hierbei in be ondere Druck und Volumen zusammenhängen, läßt sich mittels eines Diagramms veran chaulichen, de sen Ab zisse das Volumen V und dessen Ordinate den Druck p einer be timmten Ga menge darstellt (p, V -Diagramm, z. B. Bild 19.1).

t Isobare

Bild 19.1: Die vier Zustandsänderungen

Neben den speziellen Zustand änderungen, bei denen eine der drei Zustandsgrößen kon­stant bleibt, i ochor bei kon tantem Volumen, isobar bei konstantem Druck und isotherm bei kon tanter Temperatur, ist noch die Zustandsänderung wichtig, bei der kein Wärme­au tau ch mit der Umgebung stattfindet. Bei ~Q = 0 spricht man von adiabatischer Zu-tand änderung, dabei ändern ich alle drei Zustand größen p, V und T. Im Bild 19.1 sind

die vier genannten Zustand änderungen im p, V -Diagramm dargestellt.

19.1 I ochore Zustandsänderung

Wir betrachten zuer t den Vorgang mit kon tantem Volumen:

Dem in einem fe ten Behälter eingeschlo enen Gas werde die Wärmemenge d Q zuge­führt. Dann kann da Ga keine Arbeit verrichten, da die Volumenänderung d V = 0 ist und demzufolge auch das Glied p dV ver chwindet.

Somit verbleibt au dem 1. Haupt atz (18.9)

dQ =dU

Die zugeführte Wärmemenge dQ kann hier a1 0 allein dazu führen, die Temperatur des Ga e zu erhöhen. Die geht nach der Gleichung (18.1) vor sich, so daß

I dU = mevdT bzw. ~U = mev ~T Änderung der inneren Energie

(19.1)

19.2 Isobare Zustandsänderung 277

wird. Hierin kommt zum Ausdruck, daß die innere Energie nur von der Temperatur ab­hängt, da mund Cv konstante Größen sind. Außerdem läßt es sich experimentell beweisen, daß die innere Energie U vom Volumen unabhängig ist.

.- ...... ---- ..... _ ..... ----_ ...... -Bild 19.2: Versuch von GAY-LUSSAC

Um dies zu bestätigen, hat GAy-LuSSAC folgenden berühmt gewordenen Versuch ge­macht:

Ein luftgefülltes und ein luftleeres Gefäß stehen nebeneinander in einem Kalorimeter (Bild 19.2). Wird der beide Gefäße verbindende Hahn geöffnet, so strömt die Luft in das Vakuum über. Hierbei wird ganz offenkundig keine Arbeit nach außen abgegeben. Vor allem zeigt sich, daß im Kalorimeter keine Temperaturänderung eintritt und das Gas auch keine Wärme aufnimmt oder abgibt. In Gleichung (18.7) nehmen also die GrößendQ und dW den Wert 0 an. Daher muß auch die Änderung der inneren Energie dU gleich null sein, wa wiederum besagt, daß die innere Energie U konstant geblieben ist.

Die innere Energie des idealen Gases ist vom Volumen unabhängig und wird allein von der Temperatur bestimmt.

Zur praktischen Durchführung des Versuches dienen zweckmäßigerwei e je eine gut wärmeisolierte gefüllte und eine leere Druckgasflasche. Werden nach dem Überströmen die Temperaturen gemessen, so ist die der anfangs vollen Flasche um einige Grade gesun­ken und die der anfangs leeren Flasche um den gleichen Betrag gestiegen. Der gesamte Wärmeinhalt und damit U bleibt also konstant.

Nachzutragen bleibt, daß sich bei Erwärmung bei konstantem Volumen ent prechend Glei­chung (17.15) der Druck erhöht:

T2 P2 = PI' -

Tl

19.2 Isobare Zustandsänderung

Auch bei einer isobaren Zustandsänderung wird einem Gas Wärme zugeführt, wobei sich seine Temperatur erhöht. Jedoch muß im Gegensatz zur isochoren Änderung dafür ge­sorgt werden, daß sein Druck dabei konstant bleibt. Das ist wenigsten theoreti ch mög­lich, wenn es in einen Zylinder eingeschlossen wird, in dem sich ein Kolben reibungslo

278 19 Zustandsänderungen idealer Gase

auf und ab bewegen kann. Denkt man sich dabei den Kolben noch massel os, so wird er auch der geringsten Druckänderung nachgeben, damit der Druck im Innern des Zylinders unverändert gleich dem Außendruck (äußerer Druck, Luftdruck) bleibt.

Für diesen Fall läßt sich aber die zugeführte Wärme sofort angeben. Mit der spezifischen Wärmekapazität c p bei konstantem Druck wird in der zuletzt dargestellten Form (18.9) des 1. Hauptsatzes der Term dQ = mCpdT, und es folgt mit (19.1)

mCpdT = mcvdT + p dV oder auch

m(cp - cv) dT = pdV

Da alle neben den Differentialen dT und d V stehenden Faktoren konstante Größen sind, ergibt ich nach beiderseitiger Integration

m(cp - cv)T = pV

Ein Vergleich mit der Zustandsgleichung (17.23) eines idealen Gases läßt die wichtige Beziehung erkennen:

I cp - Cv = Rs (19.2)

Sie besagt:

Die Differenz der spezifischen Wärmekapazitäten eines idealen Gases ist gleich der speziellen Gaskonstanten.

Umgerechnet auf die molaren Wärmekapazitäten idealer Gase ergibt sich aus (19.2):

I Cm,p - Cm, V = R I (19.3)

Da bedeutet, daß die Differenz der molaren Wärmekapazitäten idealer Gase gleich der allgemei nen Ga konstanten ist.

a)

" U ...............

Bild 19.3: Spezifische Wärme­kapazität eines Gases bei a) konstantem Volumen, b) konstantem Druck

279

Cp muß de wegen größer sein al Cl'. weil da bei konstantem Druck erwärmte Gas eine Arbeit hervorbringt (Bild 19.3). Die Differenz cp - Cv stellt damit eine Arbeit je Masse und Temperaturänderung eines idealen Gases bei konstantem Druck dar. Daher hat auch die Ga konstante Rs die Einheit einer Arbeit je Kilogramm und Kelvin. Werden für ein bestimmtes Gas die Werte der spezifi ehen Wännekapazitäten in (19.2) einge etzt, so ergibt sich beispielswei e für Wasser toff Rs = (14 235 - 10 111) J / (kg K) = 4 124 J / (kgK) in Überein timmung mit der Zahlentafel für Gase in 17.4.2.

Bei einer Volumenänderung von VI auf V2 ist die vom Gas bzw. am Ga i obar verrichtete Arbeit

V"I

W = - f pdV = P(VI - V2) = mRs{TI - T2) = nR<T! - Tl)

VI

(19.4)

Bei isobaren Vorgängen wird gern eine weitere Zustandsgröße die Enthalpie H. verwen­det:

H = U+pV Enthalpie (19.5)

Die Enthalpie i teine Energiegröße die außer der inneren Energie die Verdrängung arbeit p V bei konstantem Druck enthält man pricht auch om Wärmeinhalt. Au dem 1. Haupt­atz für kontanten Druck folgt:

dQ = dU + pdV = d(U + pV) = dH

d. h., bei konstantem Dnlck ist die zugeführte Wärmemenge gleich der Zunahme der En­thalpie. Bei Pha enumwandlungen, die mei tens isobar erfolgen, wird daher häufig nicht die Umwandlung energie, ondern die Umwandlungsenthalpie angegeben. So i t in der Verdampfung enthalpie nicht nur die Energie zum Aufspalten der M lekül indungen, on­dem auch die gelei tete Au dehnung arbeit enthalten (s. auch Kapitel 23 zu Änderungen des Aggregatzu tande ).

19.3 Isotherme Zustandsänderung

Wir denken un jetzt da Ga in einem Zylinder einge chJo en, des en Vt lumen ich mit Hilfe eines dicht chließenden, reibungslos bewegJjchen Kolben nach Belieben vergrößern oder verkleinern läßt. Damit wird ich der Druck im Zylinder gegenläufig ändern. E ei aber verlangt daß der Vorgang isotherm verlaufen, d. h. ,daß ich das Ga dabei weder er­wärmen noch abkühlen oll. Da läßt ich zwar prakti eh nie ganz verhindern. doch können wir uns vorsteHen, daß der umhüllende Zylinder 0 gut wärmeleitend i t, daß· die gebildete Wärme ofort abfließt. Auch das den Zylinder umgebende Wärmere ervoir darf eine Tem­peratur dabei nicht ändern e muß a1 0 unendlich groß gedacht werden. Schließlich darf der Vorgang nur ehr lang am erlaufen, damit genügend Zeit fur den Wärmeau tau ch zur Verfügung teht. Kurzum: Während eine treng i otherm verlaufenden ProZC. e. muß

280 19 Zustandsänderungen idealer Gase

in jedem Augenblick ein Gleichgewichtszustand zwischen dem Gas und einer Umgebung bestehen. Derartige Zustandsänderungen bezeichnet man daher als quasistatisch.

Da nun die Temperaturänderung dT gleich null sein soll, entfällt jetzt das in der Gleichung (18.9) des 1. Hauptsatzes stehende Glied dU = mcvdT. Die innere Energie U muß also während des Vorganges konstant bleiben:

Die innere Energie eines Gases ändert sich bei isothermer Volumenänderung nicht.

Es verbleibt allein die Gleichung

dQ = pdV

Sie besagt, daß die beim Zusammendrücken des Gases aufgewandte Arbeit pd V in Form von Wärme nach außen hin abgegeben werden muß bzw. die zur Ausdehnung erforderliche Arbeit in Form von Wärme von außen her zuzuführen ist. Das Gas selbst darf jedenfalls eine Temperatur nicht ändern.

Bei kon tanter Temperatur gilt jedoch das Gesetz von BOYLE-MARIOTTE (9.7), demzu­folge das Produkt au Druck und Volumen eines ein ge chlossenen Gases bei konstanter Temperatur stets den gleichen Wert haben muß.

V---I~-Bild 19.4: Isothermen des idealen Ga es mit Tl < T2 < T3'"

Werden die jeweil zusammengehörenden Werte von Druck und Volumen in dem p, V­Diagramm eingetragen, so liegen sie alle auf einer Kurve (Bild 19.4). Sie stellt geometrisch eine Hyperbel dar.

Diese eine Hyperbel entspricht einer bestimmten, festliegenden Temperatur TI. Sie heißt kurz eine Isotherme. Die ganze Fläche des Diagramms kann man mit einer Schar von Isothermen überdecken, die nach rechts oben immer höheren Temperaturen entsprechen.

I p V = const. I Gleichung der Isotherme eines idealen Gases

(19.6)

19.3 281

Nun oll die Volumenarbeit (18. ) bei einer i othermen Zu tand änderung berechnet wer­den. Da p von V abhängt. muß p durch V au gedrückt werden. Die er Zu ammenhang i t nach der Zu tand gleichung (17.23) gegeben. Ihr zufolge ist

mRsT p=

V Bezeichnet VI da Anfang - und V2 das Endvolumen, so ist die gesamte aufzuwendende Arbeit gleich

v.,

f-mRsT w=- dV

V VI

Dies gibt integriert

VI W=mRsTln­

V2 Isotherme Volumenarbeit (19.7)

Ist das Anfang volumen Vl größer als da Endvolumen V2, so wird W positiv und teUt die bei der Kompression aufzuwendende Arbeit dar. Für den Fall dagegen, daß V2 > VI ist handelt es ich um die Entspannung eine komprimierten Ga e . W wird dann negativ und gibt die vom Gas gelieferte Arbeit an.

v-- Bild 19.5: I otherme Volumenarbeit

Im Diagramm (Bild 19.5) teIlt pd V ein chmale Rechteck von der Breite d V und der Höhe p dar. Die ge amte Arbeit i t dann gekennzeichnet durch den Flächeninhalt unter der Iotherme zwi chen den Werten VI und V2. Sie kann al 0 auch mit Millimeterpapier oder Planimeter gemessen werden (bei Berück ichtigung der Maß tab faktoren). Die i otherme Volumenarbeit läßt sich auch bei bekanntem Anfang druck P I und Enddruck P2 berechnen: Nach dem Gesetz von BOYLE-MARIOTTE (9.7) ind bei kon tanter Tem­peratur der Druck p und das Volumen V einander umgekehrt proportional, und au (19.7) wird

P2 W=mRsTln-

PI Isotherme Volumenarbeit 09.8)

282

Schließlich i t für den hier betrachteten Fall eine isothermen Vorgange das Produkt m Rs T konstant und gleich p V , wobei für die es Produkt entweder der Anfang zustand p I V I oder auch der Endzustand P2 V2 eingesetzt werden darf, so daß gegebenenfall (19.7) und (19.8) je zwei weitere Gleichungen folgen.

In der technischen Praxis spielen sich isotherme Vorgänge näherungswei e in allen Luft­kompres oren und Gasverdichtern ab. Die nach den Gleichungen (19.7) und (19.8) hier­bei entstehende Wärme wird durch intensive Luft- oder Wasserkühlung abgeführt, wo­durch erreicht wird, daß die Arbeitstemperatur einer solchen Ma chine im zeitlichen Mi ttel konstant bleibt. Somit stellt ein komprimiertes Ga selbst keinen Energie peicher dar. Die beim Komprimieren aufgewandte Arbeit wird in Form von Wärme nach außen abgegeben, und die bei der i othermen Entspannung (z. B. von Druckluftwerkzeugen) gelieferte Arbeit stammt dabei nur insofern aus dem Gas, als es sich dabei selb t und seine Umgebung stark abkühlt.

Beispiel: Welche Arbeit i t aufzuwenden, um einen Luftreifen von 5 I Fa sung vermögen bei Normalluftdruck auf 0,3 MPa Überdruck i otherm aufzupumpen, und welche Wärmemenge gibt die komprimierte Luft dabei nach außen ab?

E ist der Anfangsdruck PI = 101,3 kPa, der Enddruck P2 = 401, 3 kPa, V2 = 0,005 m3 . VI ist nicht gegeben. Aus (19.8) folgt mit mRS T = P2 V2

W tl 1 P2 4,013 . 105 N .5.10- 3 m3 I 401 , 3 2 60

= P2 Y2 n - = n = 7 Nm = 2. 8 k1 PI m2 101 , 3

Das positive Vorzeichen gibt an daß Arbeit vom Betrag 2,8 kJ aufzuwenden ist; diese 2,8 kJ gibt die Luft al Wärme an die Umgebung ab.

19.4 Adiabatische Zustandsänderung

Wird dafür ge orgt, daß während der Volumenänderung des Gases kein Wärmeaustausch mit der Umgebung tattfinden kann, so nennt man dies einen adiabatischen Vorgang. Wir können uns den Zylinder mit einer vollkommen wärmedichten Umhüllung versehen vor-teHen (Bild 19.6). Doch die beste Dämmscmcht wird stets ein wenig Wärme durchlassen.

Wenn die Verdichtung sehr rasch verläuft, verbleibt keine Zeit zum Wärmeaustau ch, und die gesamte bei der Verdichtung entstehende Wärme bleibt im Gas enthalten.

E können sich sehr hohe Temperaturen entwickeln, die zur Entzündung brennbarer Stoffe führen (Dieselmotor). Auch bei den sehr ra chen Druckschwankungen in den Schallwellen handelt e sich um rein adiabatische Vorgänge.

Um die hierfür gültigen Ge etzmäßigkeiten zu finden, gehen wir wieder vom 1. Hauptsatz dQ = mcvdT + p dV aus und beachten, daß bei einem adiabatischen Vorgang Wärme weder zu- noch abgeführt wird. Infolgedessen ist dQ = 0, und der 1. Hauptsatz geht in die Gleichung über:

dU = -pdV = dW mit dU = mcvdT

Bei adiabatischer Zustandsänderung eines idealen Gases wird die Volumenar­beit auf Kosten der inneren Energie verrichtet.

19.4 Adiabati che Zustandsänderung 283

.......................... ............. :::: : :L:~~: : : • •••• 0 •• , •••• .... ...... '" . ...... , .... .

Bild 19.6: Bei adiabatischer Verdich­tung steigen Druck und Temperatur

Führen wir noch den Druck p = m~sT aus der Zustandsgleichung (17.23) ein, so folgt

dV -mcvdT = mRsT­

V

Diese Gleichung kann beiderseits integriert werden, wobei nach (19.2) Rs gesetzt wird:

Das ergibt dann

Tl V2 (TT21 ) CV __ (VV

2])CP-CV C v in - = (c p - cv) In - oder

T2 VI

Cp - Cv

Es ist ferner allgemein üblich, das Verhältnis der beiden spezifischen Wärmekapazitäten ais Adiabatenexponenten K (sprich: kappa) abzukürzen:

~ ~

Adiabatenexponent

Mit diesem Adiabatenexponenten folgt

Temperatur-Volumen-Beziehung bei adiabatischer Zustandsänderung

Nun ist nach der Zustandsgleichung (17.16)

oder

(19.9)

(19.10)

284 19 Zustandsänderungen idealer Gase

Dies, in (19.10) eingesetzt, ergibt

Tl = (PI )K-l (T2)K-l oder T2 P2 Tl

Temperatur-Druck-Beziehung bei adiabatischer Zustandsänderung

Durch Gleichsetzen der rechten Seiten von (19.10) und (19.11) folgt

Druck-Volumen-Beziehung bei adiabatischer Zustandsänderung

bzw . das Poissonsche Gesetz:

f

P2/

I P VK = const. Gleichung der Adiabaten . eines idealen Gases

J

---i---~~---.

V ---I~~ Bild ] 9.7: P, V-Diagramm für adiabatische und isotherme Kompression: P2i < P2a

(19.11)

(19.12)

(19.13)

Die Gleichungen (19, lO) bis (19.13) werden die Poissonschen Gleichungen genannt. Wird eine o1che Adiabate in das p,V -Diagramm eingezeichnet, so ist zu sehen, daß sie steiler al eine Isotherme verläuft (Bild 19.7). Dies ist deshalb leicht einzusehen, weil z. B. bei Kompre ion die gebildete Wärme im Gas enthalten bleibt und damit der Druck schneller an teigen muß als bei i othenner Verdichtung.

Beispiele:

I. Da in früheren Zeiten benutzte pneumatische Feuerzeug bestand aus einem MetaHzylinder, in den ein dicht chließender Kolben rasch hineingestoßen wurde. Dadurch kam ein Stückchen Feuer-chwamm zum Glimmen. Die Anfangstemperatur sei 20 oe, das Volumen werde auf 1120 verringert.

Welche Temperatur ent teht?

Nach ( 19.10) i t

(V )K-J

T2 = Tl v~ bzw. ( 1 ) t ,4-1

T2 = 293 K 1/20

= 293 K . 20°,4 = 971 K; f}2 = 698 oe

19.5 Polytrope Zustandsänderung 285

2. Im Dieselmotor wird die hohe Zündtemperatur im Zylinder durch adiabatische Kompression der angesaugten Luft erreicht. Welche Temperatur entsteht bei einer Anfangstemperatur von 25 oe und einem Anfangsdruck von 1 bar, wenn ein Enddruck von 38 bar erreicht wird?

Nach (19.11) ist

K-l

T2 = Tl (~~) -K- = 298 K . 38°,286 = 843,3 K;

ß2 = 570,4 oe

Die Volumenarbeit bei der adiabatischen Zustandsänderung kann bei Kenntnis der An­fangs- und Endtemperatur leicht angegeben werden: Die bereits angegebene, aus dem er­sten Hauptsatz folgende Gleichung

dW = mev dT

liefert, zwischen den Grenzen Tl und T2 integriert,

I W = mev (T2 - TJ) I Volumenarbeit bei adiabatischer Zustandsänderung

(19.14)

Da beispielsweise bei der Kompression T2 > Tl gilt, ergibt sich für die Arbeit Wein positi­ver Wert, wie es auch der in Abschnitt 18.2 getroffenen Vorzeichenvereinbarung ent pricht.

Unter Verwendung der Beziehung dW = - pd V und der POISSONschen Gleichung (19.12) ergibt sich für die Volumen arbeit bei adiabatischer Zustandsänderung der folgende Au -druck:

W = PI 1 _1 -1 v [(V)K-t ] K -1 V2

(19.15)

19.5 Polytrope Zustandsänderung

Isotherme und adiabatische Zustandsänderung sind ideale Grenzfälle, die ich in reiner Form technisch nicht verwirklichen lassen. Weder ist es möglich, die Arbeitstemperatur eines Gases genau konstant zu halten, noch kann man den Zu- oder Abfluß von Wärme vollständig verhindern. Der Realfall ist zwischen diesen beiden idealen Grenzfällen zu ver­muten. Wird allgemein K durch den Polytropenexponenten n er etzt und dafür ein Wert angenommen, der (für Luft) zwischen 1 und 1,4 liegt - etwa 1,2 oder 1,3 -, so geben die Gleichungen (19.10) bis (19.13) die wirklichen Verhältnisse einigermaßen richtig wieder. Eine Zustandsänderung, die weder isotherm noch adiabatisch verläuft, heißt polytrop. Die entsprechend geänderte Gleichung (J 9.13) lautet dann

I pVn = const. !

Cl < n < K)

Gleichung der Polytrope eines idealen Gases

(19.16)

302 21 Kreisprozesse und zweiter Haupt atz der Wärmelehre

Im Zeitraum dt legt das Molekül eine Strecke v dt zurück. Dann i t die Strecke zwi chen vdt v

zwei Zu ammenstößen im Durchschnitt gleich - = - .. Diese Strecke I heißt dN N

1 1= N

rc.J2d2 -V

[I] = m (Meter)

Mittlere freie Weglänge (20.29)

Die mittlere freie Weglänge wird für die Berechnung von Transporterscheinungen in Ga­sen benötigt, insbesondere für die Diffusion, die innere Reibung und die Wärmeleitung in Ga en. Bei Kenntnis des Wirkungsradius d läßt sich die mittlere freie Weglänge leicht berechnen. Als Bei piele führen wir folgende Werte an:

Stoff

Wirkung radius in 10- 10 m 2,98 3,18 2,47

Bei Normbedingungen wird die Teilchendichte N / V durch die LOSCHMIDT-Kon tante gegeben. Um nun unter anderen, davon abweichenden Bedingungen N / V nicht gesondert berechnen zu müs en, kann Gleichung (20.19) herangezogen werden, wobei sich dann

kT l = --=--

n.J2d2 p

ergibt.

Beispiele:

Mittlere freie Weglänge

1. Für Wa ser toff ist nach (20.29) die mittlere freie Weglänge bei 0 oe und l 013,25 hPa

1 ,=-~--

n.../2d2 NL

1020 m3 --=--------- = ],38 . 10-7 m n.J2 . 2, 472 m2 . 2,69 . 1025

(20.30)

Demnach erleidet ein Wa serstoffmolekül auf einer Strecke von 1 cm fast 100000 Zusammen töße, womit die Bahn zu einer vöHig unregelmäßigen Zickzacklinie wird.

2. Berechne die mittlere freie Weglänge in Wasserstoff bei 20 oe und einem Druck von 101,3 jLPa (= 10- 9 Pn mÜ Nonndruck Pn; sogenanntes Hochvakuum).

Nach (20.30) i t

1 = kT n·JicJ2p

1,38.10- 23 Nm · 293, 2 Km2 ---=------------- = ]47 m K · n.J2 .2,472 . 10-20 m2 . 101,3 . 10-6 N

21 Kreisprozesse und zweiter Hauptsatz der Wärmelehre

Die bisher be prochenen Zu tandsänderungen der Gase sind von grundlegender Bedeutung für die Wirkungsweise aller Wärmekraftma chinen. In einem sich periodi ch wiederholen­den Arbeit zyklu wird dabei der Ma chi ne Wärme (z. B. unter Verwendung von Dampf,

21.1 Wirkung wei e einer Wärmekraftma chine 303

gasförmigen oder ftü igen Brennstoffen) zugeführt und in mechanische Arbeit umgewan­delt. Der Druck p, da Volumen V und die Temperatur T müssen also nach jedem Ar­beitszyklu wieder ihre ur prüngLichen Werte annehmen. Wenn das nicht der Fall wäre, würde mindesten eine dieser Zu tandsgrößen im Laufe der Zeit immer im gleichen Sinne anwachsen oder abnehmen, was aber einen technisch durchführbaren Dauerbetrieb unmög­lich machen würde. Daher heißt der sich dabei vollziehende Vorgang Kreisprozeß. Würde z. B. bei einem Viertakt-Benzinmotor von n = 3000 l/min die Temperatur am Ende eines Zyklu nur um 1 K höher gegenüber vorher sein, so wäre sie bereits nach 1 min um 1 500 K ge tiegen.

Demnach arbeiten alle Wärmekraftmaschinen, gleichgültig, ob es sich um eine Kolben­dampfmaschine, eine Dampfturbine, einen Benzin-, Gas- oder Dieselmotor handelt, nach gemeinsamen physikalischen PIinzipien. Um vorer t das Wesen der sich dabei abspielen­den Krei prozes e deutlicher zu machen, ei die an Hand des bekannten, in vielen Kraft­fahrzeugen eingebauten Viertakt-OTTO-Motors näher betrachtet.

Im Abschnitt 18.2 war die Vereinbarung genannt,jede dem System zugeführte Energie oder Arbeit positiv und jede vom System abgegebene Energie oder Arbeit negativ zu zählen. Diese Vereinbarung wird beibehalten, auch wenn es nicht sehr sinnvoll erscheint, die Arbeit einer Wärmekraftmaschine negativ zu rechnen.

Arbeitsberechnung bei Kreisprozessen (21.1)

21.1 Wirkungsweise einer Wärmekraftmaschine

Die einzelnen Arbeitstakte des Viertakt-OTTO-Motors werden zweckmäßig in einem p, V­Diagramm dargestellt. Das ent tehende Arbeitsdiagramm ist in der folgenden Darstellung jedoch chematisch vereinfacht. In Wirklichkeit gehen die einzelnen Linien stetig ineinan­der über.

1. Takt: Ansaugen. Bei offenem Einlaßventil saugt der nach unten gehende Kolben ein Benzin-Luft-Gemisch an (Bild 21.1). Dieses wird im Vergaser herge teIlt, wo der an einer Düse vorbei streichende Luftstrom da Benzin zerstäubt. Im Arbeitsdiagramm entsteht die parallel zur V -Achse verlaufende Linie 1 (Bild 21.2). Es ist dies eine Isobare.

2. Takt: Verdichten. Bei geschlossenen Ventilen bewegt sich der Kolben nach oben und drückt den Zylinderinhalt im Verhältnis von etwa 8 : 1 zu ammen. Wegen der Schnelligkeit dieses Vorganges ist die im Diagramm er ichtliche Arbeitslinie 2 eine Adiabate.

3. Takt: Explosion und Entspannung. Kurz vor der höchsten Kolben teIlung wird da Brenn toffgemi ch durch einen an der Zündkerze über pringenden elektri chen Funken ge­zündet. Es verpufft ehr schnell, so daß Druck und Temperatur augenblicklich ansteigen. Es entsteht die Arbeitslinie 3a (eine Isochore). Anschließend chiebt der Druck den Kolben vorwärts, wodurch sich die Adiabate 3b ergibt.

4. Takt: Auspuff. Da Au laßventil öffnet ich, der Druck fällt sofort ab und ergibt die Isochore 4a. Der wieder zurückgehende Kolben schiebt die Verbrennungsga e hinau (Li­nie 4b).

304 21 Krei proze e und zweiter Haupt atz der Wärme1ehre

~~z'"

E A ... ' ;:. :. ~.",

~". .

E E A

o o o

a) b) c) d)

Bild 21.1: Arbeit wei e des Viertakt-OTTo-Motor : a) An augen, b) Verdichten, c) Explo ion und Entspannung (Arbeit takt), d) Au puff

v----Bild 21.2: Arbeit diagramm de Viertakt-OTTo-Motor (idealisiert)

Beim näch ten Arbeit zyklu liegen wieder genau die gleichen Verhältni e vor. Da Ar­beitsdiagramm wird in immer gleicher Wei e durchlaufen der Kurvenzug gibt mithin einen Krei 'prozeß wieder.

Er kann nun gedanklich in zwei Teile zerlegt werden, wie die auf Bild 21.3 gezeigt i t. Der er te Teil a) teIlt denjenigen Teil de Krei proze es dar, im Verlaufe de en das Volumen V zunimmt. Die unter die er Kurve liegende Fläche kennzeichnet dann die Arbeit WI, die da Ga abgibt wenn e ich au dehnt. Sie kann al Integral (21.1)

au gedrückt werden, und die e nimmt einen negativen Wert an. Wie zu ehen ist chließt der zweite Teil b) de Kurvenzuge mit der Ab zi e einen viel kleineren Aächenbetrag

21.1 Wirkung wei e einer Wärmekraftma chine 305

v, dV Vz v---:"~ V---i"~

a) b)

Bild 21.3: Die im Arbei diagramm (Bild 21.2) enthaltenen Arbeit beiträge: a) abgegebene Arbeit, b aufzuwendende Arbeit; punktiert: gewonnene Arbeit

ein. Die zugehörige Arbeit W2 kann ebenfali a1 Integral

aufgefaßt werden. Die es hat einen po itiven Wert und reprä entiert die zur Verdichtung aufzuwendende Arbeit. Die von der Ma chine gelieferte Arbeit i t omit im ganzen

Ihr ent pricht im p V -Diagramm die Differenz der beiden ent prechenden Flächenbeträge und mithin die vom ge amten Kurvenzug um chlo ene Fläche:

Der von der rbeitskurve eines Kreisprozesses umschlossene Flächeninhalt stellt die während eines rbeitszykJus gewonnene Arbeit dar.

Auch die bei den anderen Wärmekraftma chinen ablaufenden Krei proze e la . en ich durch ent prechende Arbeit diagramme veran chaulichen. Je nach ihrer Arbeit wei e ha­ben die von den einzelnen Kurven um chlo enen Flächen unter chiedliche Form. Man kann ie jedoch tet in der be chriebenen Wei e al Differenz zweier Einzelftächenbeträge betrachten.

Das Ergebni i t aber in jedem Fall, daß die letzten Endes gewonnene Arbeit W aL Diffe­renz zweier Wärmemengenbeträge er cheint:

1 Q 11 - 1 Q21 = Q 1 + Q 2 = - W > 0

Die Wärmemenge QI i t d r Ma chine zuzuführen, während die Wärmemenge Q2 von der Ma chine wieder abgegeben wird. Für die Beträge gilt 1 Q 11 > 1 Q21. Dabei i tauch

306 21 Kreisprozesse und zweiter Haupt atz der Wärmelehre

17 Wiirmebehiilfer

hoher Temp.

\ '- W<O -r~~---'7-----~I~Nu-t~M-r~be~i~tl

Wä rmebehölter niederer Temp

Tl Bild 21.4: Energieflußdiagramm einer Wärmekraftmaschine

immer die Temperatur Tl, bei der sich die Wärme Q 1 in Arbeit verwandelt, höher als die Temperatur T2, mit der das entsprechende Arbeitsmedium (Verbrennungsgase, Abdampf) die Ma chine wieder verläßt (Bild 21.4).

Al Wirkungsgrad '1 einer Wärmekraftmaschine wird daher das Verhältnis der in Arbeit W umgewandelten Wärmemenge Q 1 + Q2 zur gesamten zugeführten Wärmemenge Q I definiert. E ist also

Thermischer Wirkungsgrad (21.2)

Wegen Q2 < 0 und Q 1 > 0 ist natürlich '1 < 1.

Die Aufgabe der Technik besteht darin, diesen Wirkungsgrad möglichst günstig zu gestal­ten, also die Wärmeverluste I Q21 weitgehend zu vermindern.

Im Ab chnitt 21.4 wird gezeigt, daß es hier prinzipielle Grenzen gibt und es praktisch nicht möglich ist, eine bestimmte Wärmemenge Q 1 vollständig in mechanische Arbeit umzu­wandeln.

21.2 Kältemaschine und Wärmepumpe

Durchläuft man jedoch das Arbeitsdiagramm im entgegengesetzten Sinn, so müssen sich alle Proze se umkehren. Dies wird technisch in der Kältemaschine und bei der Wärme­pumpe verwirklicht. In diesen Anlagen laufen Kreisprozesse ab, die sich nach dem Schema von Bild 21.5 vollziehen. Beim oberen Kurvenverlauf in a) wird ein zweckmäßig gewählter Arbeits toff, z. B. Ammoniakgas, unter Aufwand von mechanischer Arbeit zusammenge­preßt, wobei das unter die em Kurventeilliegende Flächenstück und damit die Arbeit Wl bzw. da Integral

21.2 Kältema chine und Wärmepumpe 307

pOSitIve Vorzeichen erhält. Beim unteren Kurvendurchlauf b) entspannt sich der Arbeits­toff wieder, womit die nunmehr betragsmäßig kleinere Fläche einer Arbeit W2 mit nega­

tivem Vorzeichen entspricht. Die Differenzfläche ist damit gleich der insge amt aufzuwen­denden Arbeit

o} v--.~ b) V---l·~

Bild 2l.5: Umgekehrt ablaufender Kreisprozeß: a) aufgewandte Arbeit, b) abgegebene Arbeit; punktiert: in Wärme umgewandelte Arbeit

Ihr entspricht eine bestimmte Wärmemenge

die als Gegenwert diese Arbeitsaufwandes von der Maschine geliefert wird. Dabei wird die Wärmemenge Q 1 bei der höheren Temperatur Tl nach außen hin abgegeben und die Wärmemenge Q2 bei der niederen Temperatur T2 von außen her aufgenommen, wobei für die Beträge I Q 11 > I Q21 gilt.

T7

Umgebung

I \ '-w-.--I '..... W>O I

I Nutzenergie I

Kühlraum

12 Bild 21.6: Energieflußdiagramm einer Kältemaschine

Es wird praktisch kältere Wärme Q2 der Temperatur T2 durch Arbeitsaufwand W von au­ßen auf höhere Temperatur gebracht (gepumpt) und dann a1 höherwertige Wärme Q 1 an

308 21 Kreisprozesse und zweiter Haupt atz der Wärmelehre

das Wärmereservoir der Temperatur Tl abgegeben. Das gescrueht dadurch, daß die Wär­memenge Q2 einem entsprechenden Arbeitsmedium entzogen wird, welche sich dabei abkühlt. Wenn die Anlage so eingerichtet ist, daß die hierbei entstehende Abkühlung ge­nutzt wird, so erhält man eine Kältemaserune (Bild 21.6).

Eine Kompressionskältemaschine arbeitet folgendermaßen (Bild 21 .7): Mittels einer Pum­pe wird Ammoniakdampf im Kompressor an gesaugt und verdichtet. Die Kompressions­und die Kondensationswärme Q I wird im Kondensator abgegeben. Das teilweise verflüs­sigte Ammoniak wird danach entspannt und nimmt im Verdampfer die Wärme Q2 aus dem Kühlraum auf.

Q,~

Abgabe der Kondensations­wärme

+20·C

Kompressor

-20·C

Verdampfer

Drosselventil

Kühlraum

Bild 21.7: Schema der Ammoniak-Kältemaschine

Derselbe Grundvorgang ist aber noch in anderer technischer Form verwirklicht, und zwar so, daß e auf die Verwertung der bei der höheren Temperatur TI entstehenden Wärme­menge Q 1 ankommt. Dies geschieht in der Wärmepumpe. Die Verdampfung und Ent­spannung geht an einem Ort vor sich, wo die entstehende Kälte nicht weiter stört, z. B . in einem nahe gelegenen Fluß oder See, auch in der Außenluft, im Erdreich oder Grund­wa sero Eine Pumpe komprimiert das Gas in einem Wärmespeicher, wo es seine Wärme Q J an Was er abgibt, das, in Heizkörpern zirkulierend, zur Heizung von Räumlichkeiten dient. Die den Heizkörpern entströmende Wärme ist also zweierlei Ursprungs: einerseits Kondensationswärme des Ammoniaks, die als Verdampfungswärme Q2 dem Verdampfer entnommen wird, andererseits die von der Pumpe durch den Aufwand mechanischer Arbeit Werzeugte Verdichtungswärme (Bild 21.8).

Wärmepumpen arbeiten bei gegebenen Voraussetzungen außerordentlich wirtschaftlich. Sie liefern an nutzbarer Wärme das Zwei- bis Vierfache des zum Betrieb der Pumpe er­forderlichen elektri chen Energieaufwandes.

21.3 Reversible und irreversible Vorgänge

Das Streben nach einem möglichst großen Wirkungsgrad." hängt nun aufs engste mit der Frage zusammen, inwieweit sich Vorgänge der Energieumwandlung, in besondere die der gegenseitigen Umwandlung von mechanischer Arbeit und Wärme, umkehren lassen oder nicht. E geht darum, ob z. B. durch Wärmeabgabe an die Umgebung oder durch ungenutz­ten Temperaturau gleich oder nichtnutzbare Strömungen im Arbeitsga oder anderweitig Verlu te ent tehen, die eine prinzipielle Umkehrung der Energieumwandlung unmöglich machen oder einen zusätzlichen Arbeit aufwand von außen erfordern würden.

21.3 Reversible und irrever ible Vorgänge

T1

Heizkörper

I Nu tzenergie I I \ .... W>O I '-..... .....-__ _

Umgebung

Tz Bild 21.8: Energieflußdiagramm einer Wärmepumpe

309

Denken wir an einen völlig wärmedicht umhüllten Zylinder, in dem sich ein Kolben oh­ne jede Reibung auf und ab bewegen kann, so wird der Gasinhalt beim Hineingehen des Kolbens adiabatisch verdichtet. Die gesamte aufgewandte mechanische Arbeit erscheint in Form von Wärme und bleibt als zusätzliche innere Energie im Gas gespeichert. Beim Loslassen des Kolbens wird dieser wieder nach außen getrieben. Die zuvor gebildete Wär­me verwandelt sich restlos wieder in mechanische Arbeit zurück. Man nennt dies einen vollständig umkehrbaren oder reversiblen Vorgang (B ild 21.9):

entstandene verbrauchte Wärme Wärme

~ N

Bild 21.9: a) Rever ibler Vorgang: adiabatische Verdichtung und Entspannung, b) lrreversibler Vorgang: Reibung zweier Holzklötze

Ein Vorgang ist reversibel, wenn nach seinem Ablauf der Anfangszustand voll­ständig wiederherstellbar ist, ohne daß Veränderungen zurückbleiben.

Ein reversibler Vorgang ist ein solcher, der ebensogut auch in umgekehrter Richtung durch­geführt werden oder ablaufen kann. Es gibt auch keine Veränderungen der Umgebung.

Da bei einem reversiblen Vorgang keinerlei Wärmeverluste auftreten, wird bei einem re­versibel gefÜhrten Kreisprozeß einer Wärmekraftmaschine die maximal mögliche Arbeit abgegeben.

310 21 Kreisprozesse und zweiter Haupt atz der Wärmelehre

Reibt man dagegen zwei Holzstücke gegeneinander, so wandelt sich ebenfalls mechanische Arbeit in Wärmeenergie um (Bild 21.9b). Diese Wärme wird sich aber beim Aufbören des Reibungsvorganges auf keinen Fall wieder in mechanische Arbeit zurückverwandeln. Infolge von Wärmeleitung wird sie sich sofort zwischen den bei den Körpern verteilen, und es ist keine Vorrichtung denkbar, die eine vollständige Rückverwandlung in mechani che Arbeit ermöglichen könnte. Solche Vorgänge heißen nicht umkehrbar oder irreversibel.

Ein Vorgang ist irreversibel, wenn er nur durch Veränderung der Umgebung, z. B. durch Arbeit von außen, rückgängig gemacht werden kann.

IlTever ible Vorgänge verlaufen von selbst nur in einer Richtung, und es wird dabei Arbeit vergeudet, wie die Reibungsverluste bei obigen Beispielen. Ein weiterer typischer irreversi­bler Vorgang ist die adiabati che Ausdehnung eines Gases, wenn die Trennwand zwischen gefülltem und leerem Behälter entfernt wird. Auch die Durchmischung zweier Gase nach Entfernen einer Trennwand ist irreversibeL

Ein prinzipiell wichtiger irreversibler Vorgang ist die Wärmeleitung. Temperaturunterschie­de zwi chen heißen und kalten Körpern gleichen sich von selbst aus. Eine Umkehrung ist zwar mit einer Kältemaschine prinzipiell möglich, erfordert aber Arbeit aus der Umgebung.

Schwieriger ist es, wirklich reversible Vorgänge zu finden. Wird von Reibung abgesehen o können wir viele Vorgänge in der Mechanik, z. B. das Schwingen eines Pendels oder die

Reflexion einer Stahlkugel auf einer Spiegelglasplatte, als reversibel betrachten. Genauge­nommen aber gibt es streng reversible Vorgänge in der Natur überhaupt nicht. Sie stellen nur ideale Grenzfälle dar.

So ist auch die i otherme Verdichtung eines Gases grundsätzlich irreversibel, weil die nach außen abfließende Wärme niemals von selbst wieder in den Zylinder zurückfließen wird. Wird angenommen, der Zylinder steht mit einem unendlich großen Wärmebehälter in Ver­bindung, dessen Temperatur sich von der des Zylinders nur um einen unendlich kleinen Betrag unter cheidet, so stünde einer Rückkehr der Wärme und ihrer Rückverwandlung in Arbeit nichts im Wege (s. quasistatischer Prozeß in 19.3). Unter dieser allerdings sehr gekünstelten und techni ch niemals realisierbaren Voraussetzung könnten auch isotherme Proze e reversibel ablaufen.

Halten wir also fest, daß adiabatische und i otherme Prozesse im idealen Fall reversibel ge­fülut werden können. Eine Wärmekraftmaschine, die mit solchen Prozessen arbeitet, wird unter gegebenen Bedingungen den höchsten Wirkungsgrad erreichen. Da gilt insbesonde­re für die CARNOT-Maschine.

21.4 Carnotscher Kreisprozeß

Wie wjr oeben ge ehen haben, können einsinnig verlaufende adiabatische oder isotherme Prozes e in gewissen Grenzfallen rever ibel, d. h. mit maximalem Wirkungsgrad vor sich gehen. Dann muß ein Krei prozeß, der sich au einzelnen reversibel ablaufenden Teilpro­ze en zu ammen etzt, ebenfall den denkbar günstigsten Wirkungsgrad aufweisen. Einen olchen Krei prozeß erdachte der Franzose SADI CARNOT (1796-1832). Bemerkenswert

i t dabei , daß CARNOT eine Theorie bereits zu einer Zeit darstellte, als die Entwicklung der Dampfma chine noch in den ersten Anfängen stand.

21.4 CARNOTscher Kreisprozeß 311

Den CARNOT chen Krei prozeß können wir uns ähnlich einem ohne alle mechanische Energieverluste arbeitenden Heißluftmotor vorstellen, dem die Gesetze des idealen Ga­ses zugrunde liegen (Bild 21.10). Ein Arbeitszyklus verläuft in 4 Takten, die wir im p, V­Diagramm verfolgen wollen (Bild 21.11):

t

a)

t

... Q 2 ... T ... :::~~

::::::::::: :::::::::::::

b)

. . . ... .......... . .............. . ::::::::::::::::::::::::::::

c) d)

Bild 21.10: Verlauf des CARNoTsehen Kreisprozesses: a) 1. Takt, b) 2. Takt, e) 3. Takt, d) 4. Takt

1. Takt: Bei der tiefsten Kolbenstellung wird der eingeschlos enen Luft eine bestimmte Wärmemenge Ql bei gleichbleibender Temperatur Tl reversibel, d. h. unter Vermittlung eines unendlich großen Wärmebehälters von der Temperatur Tl zugeführt. Die Luft dehnt sich aus und verrichtet Arbeit. Die verbrauchte Wärme ist nach (19.7)

V2 Q 1 = m Rs Tl In - > 0

VI

Dies gibt die Isotherme 1.

2. Takt: Der Zylinder wird wärmedicht umhüllt. Das Gas dehnt ich weiter aus und kühlt sich auf T2 ab. Es entsteht die Adiabate 2.

t p

Bild 21.11: p. V -Diagramm de CARNOTsehen Kreisproze 'se

3. Takt: Die im Schwungrad gespeicherte Energie treibt den Kolben zurück. Die Umhül­lung de Zylinders lassen wir dabei fallen, 0 daß die freiwerdende Verdichtung wärme

312 21 Kreisprozesse und zweiter Haupt atz der Wärmelehre

in einen ebenfalls unendlich großen Wärmebehälter von der Temperatur T2 bei konstanter Temperatur T2 abfließen kann. Isotherme 3. Die abfließende Wärme ist

V4 V3 Q2 = mRsT2 ln - = -mRsT2ln - < 0

V3 V4

4. Takt: Schließlich wird nach abermaliger Umhüllung des Zylinders der Gasinhalt auf das Anfangsvolumen VI verdichtet, wobei die Temperatur wieder auf den anfänglichen Wert Tl ansteigt: Adiabate 4.

Nach Beendigung dieses Zyklus ist der Ausgangszustand wiederhergestellt.. Das Ergebnis ist folgendes. Takt 2 liefert genausoviel Arbeit, wie Takt 4 verzehrt~ denn diese hängt bei adiabatischen Vorgängen nach (19.14) lediglich von den Temperaturen Tl und T2 ab, die hier übereinstimmen. Ferner gilt für diese beiden Takte nach (19.10):

_1 = -.2 = ~ , woraus sich ergibt: T (V)K-I (Y. )K-I T2 V2 VI

Dividiert man den Ausdruck für Q2 durch den für Ql, so ergibt sich wegen der eben fest­gestellten Gleichheit der Volumenverhältnisse die Beziehung

Q2 T2 ----Ql Tl

Damit wird auf Grund von (21.2)

1~=TI;T2=1-tl Thermischer Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses

(21.3)

(21.4)

Dieser ist demnach nur von den bei den Temperaturen abhängig, bei denen der Wärme­au tausch stattfindet. Von allen denkbaren Kreisprozessen, die zwischen den Temperaturen TI und T2 arbeiten, hat der CARNOT-Prozeß den günstigsten Wirkungsgrad. Das geht be­reits daraus hervor, daß er in allen seinen Teilen reversibel verläuft. Folglich ist auch der CARNOT-Prozeß im ganzen umkehrbar.

Der Carnot-Prozeß ist vollständig umkehrbar (reversibel).

Läßt man ihn in entgegengesetzter Richtung ablaufen, so wird er als ideale Kältemaschine funktionieren. Nach je einem Vorwärts- und einem Rückwärtsgang ist auch in der Umge­bung der Au gang zustand vollständig wiederhergestellt.

Damit hat auch der in Gleichung (21.4) stehende Bruch (Tl - T2) / Tl den größtmöglichen Wert. Bei allen technischen Motoren vollzieht ich die Umwandlung der Wärme Q I in me­chani che Energie unterhalb der höchsten Arbeitstemperatur Tl. Ebenso setzt die Ableitung der Wärmemenge Q2 bereits vor dem Erreichen der tiefsten Temperatur T2 ein, so daß der Quotient Q2/ Q L stets dem Betrage nach einen größeren Wert hat, als ihn Gleichung (21.3) angibt. Damit i t auch der nach Gleichung (21.2) definierte Wirkungsgrad in jedem Fall kleiner al der des CARNOT-Prozesses. Aus (21.4) ist ferner zu ersehen: Ein Wirkungsgrad von 1, d. h. 100 %, kann selb t bei diesem idealen Fall niemals erreicht werden, da der Zähler de Bruches tets kleiner als der Nenner ist.

314 21 Krei proze e und zweiter Hauptsatz der Wärmelehre

Der Wirkung grad ist im Idealfall nach (21.2) 17 = QI + Q2 und anderer eit nach (21.4) QI

17 = Tl - T2. Nach Gleich etzen folgt für die bereitzustellende Wärmeenergie Tl

Ql = (Ql + Q2)TI = W Tl Tl - T2 Tl - T2

wobei QI + Q2 = - W den Energieaufwand (Elektroenergie) W = 100 kJ dar teilt. Damit wird -100 kJ . 323 K

Q 1 = 50 K = -646 kJ

die bei der höheren Temperatur 1Jl = 50 oe zur Verfügung teben. Da Verhältnis von Nutzenergie (Bild 21.8) zu Aufwandsenergie ergibt sich hier zu QI/ W = 6,46 (Leistung zahl). In der Praxi werden Leistungszahlen von etwa 3 bis 4 erreicht.

21.5 Zweiter Hauptsatz der Wärmelehre

21.5.1 Entropie beim Carnotschen Kreisprozeß

Ob nun ein Vorgang rever ibel oder irreversibel verläuft, läßt sich mit Hilfe des 1. Haupt-atzes, der nur eine spezielle Fassung des Ge etzes von der Erhaltung der Energie ist, nicht

ent cheiden. Bei beiden Arten von Vorgängen bleibt die Gesamtsumme der Energie kon­stant. Es fragt sich also, ob es eine physikalische Größe gibt, die al Gradme ser für die Irreversibilität irgendweIcher Naturvorgänge verwendet werden kann. Man findet sie an Hand de CARNOT-Proze ses der von vornherein so angelegt ist, daß er reversibel ver­läuft.

Hierbei stoßen wir auf die Beziehung (21.3) Q 1 = _ Tl . Q2 T2

Durch Umformung ergibt sich hieraus Q I - _ Q2 oder Tl T2

(21.5)

Q 1 und Q2 bedeuten die beiden auf reversiblem Weg bei den Temperaturen Tl und T2 aus­getau chten Wärmemengen, was durch die Schreibweise Qrev I und Qrev 2 noch besonders betont werden oll. Dieser beim CARNOT -Prozeß (und anderen reversibel gedachten Vorgängen) auftretende Quotient Qrev/T wurde von CLAUSIUS (1854) als Entropieänderung I1S bezeichnet. Er führte den Beweis, daß die Entropie S ähnlich der Energie eine charakteristische Zu-tandsgröße ist von der man jeweils agen kann, ob sie während eines Vorganges zu- oder

abnimmt oder auch unverändert bleibt.

reversibel ausgetauschte Wärmemenge Entropieänderung = ------=---------­

Austauschtemperatur

I ßS Q;ev I Entropieänderung

[I1S] = J /K (Joule je Kelvin)

(21.6)