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Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-1

30.08.18

2. Zentrale Kraftsysteme

● Definition:

– Ein Kraftsystem, bei dem sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden, wird als zentrales Kraftsystem bezeich-net.

– Die Kräfte dürfen entlang ihrer Wirkungslinie in den gemeinsa-men Angriffspunkt verschoben werden.

F1

F1

F2

F2

F3

F3

F4

F4


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– Beispiel:


30.08.18


2.1 Zentrale Kraftsysteme in der Ebene

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum


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F1

F2

F

● Addition zweier Kräfte:

– Die resultierende Kraft hat die gleiche Wirkung wie die bei-den Einzelkräfte.

– Die Addition erfolgt nach der Parallelogrammregel:

– Aneinanderfügen der Kraft-pfeile führt zum gleichen Er-gebnis.

F1

F2

F

F

F1

F2

F⃗=F⃗ 1+ F⃗ 2


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● Kraftvektoren:

– Pfeile, für die eine Addition nach der Parallelogrammregel definiert ist, erfüllen die Rechengesetze für Vektoren.

– Kräfte sind Vektoren, die entlang ihrer Wirkungslinie ver-schoben werden dürfen.

– Sie werden daher als linienflüchtige Vektoren bezeichnet.


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● Lageplan:

– Im Lageplan werden die Kräfte so eingezeichnet, wie sie am Körper angrei-fen:

● Kräfteplan:

– Im Kräfteplan werden die Kräfte zum Kräftepolygon zusammengesetzt:

F1

F2

F

F1

F2

F


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F1

F2

α1

α2

Fα

● Beispiel: Öse

– Gegeben:● F1 = 250 N, α1 = 30˚

● F2 = 375 N, α2 = 45˚

– Gesucht:● Resultierende Kraft F, α

– Lageplan:


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F 2=F 1

2+F 2

2−2 F 1 F 2 cos(α1+α2)

sin(90 °−α1+α)

F 2=

sin (α1+α2)

F

→ cos(α1−α)=F 2

F sin (α1+α2)

– Kräfteplan: – Kosinussatz:

– Sinussatz:

F1

F2

α1

α2

F

α

α1

β

β=90 °−α1+α


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F 2=2502 N2

+3752 N2−2⋅250 N⋅375 N cos(75 °)=154600 N2

→ F=393,2 N

cos(30 °−α)=375

393,2sin (75°)=0,9212

→ 30 °−α=22,90 °→ α=30 °−22,90 °=7,100 °

– Zahlenwerte:


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F1

F2

F

● Zerlegung von Kräften:

– Eine Kraft kann eindeutig in ihre Komponenten entlang von zwei vorgegebenen Wirkungs-linien zerlegt werden.

● Kartesische Komponenten:

F

Fx

Fy

x

y

α

β

F⃗=F⃗ x+ F⃗ y

F x=F cos(α)=F sin (β)

F y=F sin (α)=F cos(β)

F=√F x2+F y

2 , tan (α)=F y

F x


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● Addition in Komponenten:

– Die Kräfte werden in ihre Komponen-ten zerlegt.

– Die Komponenten werden nach dem Kräfteplan addiert.

– Für die Beträge der Komponenten gilt:

– Dabei werden Komponenten in Koor-dinatenrichtung positiv und Komponen-ten entgegen der Koordinatenrichtung negativ gezählt.

x

y

F1

F2

F1x

F2x

F1y

F2y

F1x

F2x

F1y

F2y

F x=F 1 x+F 2 x , F y=F 1 y+F 2 y


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● Einheitsvektoren:

– Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge eins.

– Jeder Vektor lässt sich schreiben als Produkt seines Betrags mit einem Einheitsvektor, der seine Richtung angibt:

– In einem kartesischen Koordinatensystem gilt:

– Oft wird dafür die Matrix-Schreibweise verwendet:

e⃗

F⃗

F⃗=F e⃗

F⃗=F⃗ x+ F⃗ y=F x e⃗ x+F y e⃗ y

[ F⃗ ]=[F x

F y ]

ex

ey

x

yF

e


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● Beispiel: Öse

– Gegeben:● F1 = 250 N, α1 = 30˚

● F2 = 375 N, α2 = 45˚

– Gesucht:● Resultierende Kraft F, α

F1

F2

α1

α2

Fα


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– Zerlegung der Kräfte in ihre Kompo-nenten:

– Resultierende Kraft:

F1

F2

α1

α2

x

y

F1y F

1xF

2x

F2y

F 1 x=F 1 sin (α1)

F 1 y=F 1 cos(α1)

F 2 x=F 2 sin (α2)

F 2 y=−F 2 cos(α2)

F 1 x = 250 N⋅sin (30 °) = 125,0 NF 2 x = 375 N⋅sin(45°) = 265,2 NF x = 390,2 N


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– Betrag und Richtung:

F 1 y = 250 N⋅cos(30 °) = 216,5 NF 2 y = −375 N⋅cos(45° ) = −265,2 NF y = −48,7 N

Fα

x

yF

x

Fy

F=√390,22+48,72 N=393,2 N

tan (α)=F y

F x=

−48,7390,2

=−0,1248 → α=−7,114 °


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F1

F2

F3

F4

F1

F2

F3

F4

F

F

(F3 )

(F2 )

Lageplan Kräfteplan

● Addition mehrerer Kräfte:

– Zeichnerische Lösung:

– Die Reihenfolge der Addition ist beliebig.


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– Rechnerische Lösung● Zerlegung der Einzelkräfte in x- und y-Komponenten● (skalare) Addition der einzelnen Komponenten● (vektorielle) Addition der Gesamtkomponenten

F x = ∑n

F n x

F y = ∑n

F n y } → F⃗=F x e⃗ x+F y e⃗ y


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● Beispiel: Öse

– Gegeben:● F1 = 600 N, α1 = 45°

● F2 = 800 N, α2 = 60°

● F3 = 450 N, α3 = 75°

– Gesucht:● Betrag F und Richtung α

der resultierenden Kraft

α1

α2

α3

x

y

F1

F2

F3


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2.1 Zentrale Kraftsystem in der Ebene

– Lösung:

F 1 x = F 1 cos(α1) = 600 N⋅cos(45°) = 424,3 NF 2 x = −F 2 sin (α2) = −800 N⋅sin (60 °) = −692,8 NF 3 x = −F 3 sin (α3) = −450 N⋅sin (75° ) = −434,7 NF x = −703,2 N

F 1 y = F 1 sin (α1) = 600 N⋅sin (45 °) = 424,3 NF 2 y = F 2 cos(α2) = 800 N⋅cos(60 ° ) = 400,0 NF 3 y = −F 3 cos(α3) = −450 N⋅cos(75° ) = −116,5 NF y = 707,8 N


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2.1 Zentrale Kraftsysteme

F=√F x2+F y

2=√703,22

+707,82 N=997,7 N

tan (α)=F y

F x=

707,8−703,2

=−1,006 → α=−45,18°+180 °=134,8 °

α

F

Fy

Fx

x

y


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Lageplan: Kräfteplan:

F1

F2

F3

F4

F5

F1

F2

F3

F4

F5

∑ F⃗=0⃗ :

∑ F x=0

∑ F y=0

● Gleichgewichtsbedingung:

– Ein zentrales Kraftsystem ist im Gleichgewicht, wenn die Vektorsumme aller Kräfte null ist.


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● Beispiel:

– Eine Kugel liegt auf einer glatten schie-fen Ebene und wird von einer glatten Wand gehalten.

– Gegeben:● Gewicht G = 100 N● Winkel α = 20°

– Gesucht:● Kräfte zwischen Kugel und Wänden

α

G


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– Schritt 1: Freischneiden der Kugel● Die Wände werden entfernt.● Die Kräfte, die die Wände auf die

Kugel ausüben, werden als unbe-kannte Kräfte eingetragen.

α

G

α

N1

N2

✄

Die Kraft, die eine glatte Wand auf einen Körperausübt, ist senkrecht zur Wand.

Die Kraft, die eine glatte Wand auf einen Körperausübt, ist senkrecht zur Wand.


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– Schritt 2: Gleichgewichtsbedingung● Die unbekannten Kräfte werden so bestimmt, dass die

Gleichgewichtsbedingung erfüllt ist.● Mit Kräfteplan:

G

α

N1

N2 G=N 2 cos(α) → N 2=

Gcos(α)

N 1

G =tan(α) → N 1=G tan(α)


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● In Komponenten:

● Zahlenwerte:

Gα

N1

N2x

y

N 2=100 N

cos(20 °)=

100 N0,9397

=106,4 N

N 1=100 N⋅tan(20 ° )=100 N⋅0,3640=36,4 N

∑ F y=0 : −G+N 2 cos (α)=0

→ N 2=G

cos(α)

∑ F x=0 : N 1−N 2 sin (α)=0→ N 1=G tan (α)


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● Beispiel: Windenstart

– Gegeben:● Flugzeuggewicht G● Seilwinkel β● Bahnwinkel θ

– Gesucht:● Anstellwinkel α● Seilkraft S● Auftriebskraft A● Luftwiderstand W

v

θβ

g


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– Freischnitt:● Die Auftriebskraft steht

senkrecht auf der Flug-bahn.

● Die Luftwiderstandskraft wirkt tangential zur Flugbahn.

– Gleichgewichtsbedingun-gen:

W

θβ

A

S

G

β θ

θx

y

∑ F x=0 : −S cos(β)+W cos(θ)+A sin (θ)=0 (1)

∑ F y=0 : −S sin (β)−W sin (θ)+A cos(θ)−G=0 (2)


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– Aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen kann zunächst die Seilkraft S eliminiert werden:

– Mit den Additionstheoremen der Winkelfunktionen

folgt daraus:

(1)sin (β)−(2)cos(β) :W (cos(θ)sin (β)+sin (θ)cos(β))

+A (sin (θ)sin (β)−cos(θ)cos(β))+G cos(β)=0

sin (β+θ)=sin (β)cos(θ)+cos(β)sin (θ)

cos(β+θ)=cos(β)cos(θ)−sin (β)sin (θ)

W sin (β+θ)−A cos(β+θ)+G cos(β)=0 (3)


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– Die Aerodynamik liefert einen Zusammenhang zwischen den Luftkräften und dem Anstellwinkel α.

– Bei geeigneter Wahl der Bezugsrichtung für den Anstellwin-kel gilt für kleine Anstellwinkel mit guter Näherung:

– Dabei sind Aα, W0 und k Konstanten, die von der Flugge-schwindigkeit abhängen, und der Anstellwinkel ist im Bo-genmaß einzusetzen.

– Einsetzen in (3) ergibt eine quadratische Gleichung für α:

A (α)=Aα α , W (α)=W 0+k A2=W 0+k Aα

2α

2

α2 k Aα

2 sin (β+θ)−α Aα cos(β+θ)+W 0 sin(β+θ)+G cos(β)=0


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– Typische Zahlenwerte für ein Standardklasse-Segelflugzeug bei 110 km/h:

● Gewicht: G = 3200 N● Aerodynamische Parameter:

Aα = 40500 N, W0 = 65 N, k = 2,6·10-6 N-1

● Winkel: θ = 40°, β = 30°● Koeffizienten der quadratischen Gleichung:

a=k Aα

2 sin (β+θ)=2,6⋅10−6 N−1⋅405002 N2

⋅sin (70 °)=4007 N

b=−Aα cos (β+θ)=−40500 N⋅cos(70 ° )=−13850 N

c=W 0 sin (β+θ)+G cos(β)=65 N⋅sin (70 °)+3200 N⋅cos (30 °)=2832 N


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● Anstellwinkel:

● Nur der kleinere Anstellwinkel α1 = 0,2184 ist physikalisch sinnvoll.

● Für die aerodynamischen Kräfte folgt:

α1/2=13850 N±√138502

−4⋅4007⋅2832 N2⋅4007 N

=13850±12100

8014

→ α1=13850−12100

8014=0,2184=12,51°

α2=13850+12100

8014=3,238=185,5°

A=Aαα1=40500 N⋅0,2184=8845 NW=W 0+k A2

=65 N+2,6⋅10−6 N−1⋅88452 N2

=268,4 N


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● Die Seilkraft kann aus Gleichung (1) berechnet werden:

● Gleichung (2) kann zur Probe verwendet werden:

S=W cos(θ)+A sin (θ)

cos (β)=

268,4 N⋅cos (40 °)+8845 N⋅sin(40 °)cos(30 °)

=6802 N

−6802 N⋅sin (30 ° )−268,4 N⋅sin (40 °)+8845N⋅cos(40 °)−3200 N=2 N≈0 N


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● Wechselwirkungsgesetz:

– Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und haben die glei-che Wirkungslinie.

– Beispiel: Zwei glatte Kugeln

G

GG

GN

1

N2

N3

N3

N4

✄


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xy

z

F

Fy

Fx

Fz

α

β

F⃗=F x e⃗ x+F y e⃗ y+F z e⃗ z

F=√F x2+F y

2+F z

2

● Kräfte im Raum: – Komponenten:

F x=F sin (β)cos(α)

F y=F sin (β)sin (α)

F z=F cos(β)

[ F⃗ ]=[F x

F y

F z]=F [

sin(β)cos(α)

sin (β)sin (α)

cos(β) ]


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– Mit dem Einheitsvektor

gilt:

– Addition:

– Gleichgewichtsbedingun-gen:

[ e⃗ ]=[sin(β)cos(α)

sin (β)sin (α)

cos(β) ]F⃗=F e⃗

F x=∑n

F nx

F y=∑n

F ny

F z=∑n

F nz

∑ F x=0

∑ F y=0

∑ F z=0


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– Definition der Wirkungslinie durch zwei Punkte im Raum:

B

A

α

β

x

y

z

xB

xA

yB

yA

zB

zA

eAB

cos(β)=zB−zA

LAB

sin (β)=√ ( xB−xA )

2+ ( yB−yA )

2

LAB

sin (α)=yB−y A

√ ( xB−xA )2+ ( yB−ya )

2

cos(α)=xB−x A

√ ( x B−xA )2+ ( yB−ya )

2


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LAB=√ ( x B−x A )2+ ( yB−yA )

2+ ( zB−zA )

2

[ e⃗AB ]=[sin (β)cos(α)

sin (β)sin (α)

cos(β) ]= 1LAB [

xB−xA

y B−y A

zB−zA]


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● Beispiel:

a b

ch

xy

z

O

A

B

C

SA

SB

SC


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– Im Punkt O sind drei Seile befestigt, an denen die Kräfte SA , SB und SC angreifen.

– Gegeben:● SA = 400 N, SB = 500 N, SC = 300 N● a = 40 cm, b = 30 cm, c = 60 cm, h = 70 cm

– Gesucht:● Komponenten Sx , Sy und Sz der resultierenden Kraft S


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– Geometrie:

a b

c

h

xy

z

O

A

B

C

α

βγ

tan (α)=ab=

43

tan (γ)=√a2

+b2

h

=5070

=57

tan (β)=ac =

46=

23


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sin (α)=cos(α) tan (α)=35

43=

45=0,8

cos(α)=1

√1+ tan2(α)

=1

√1+( a /b )2=

1

√1+(4 /3)2=

35=0,6

cos(β)=1

√1+(2 /3)2=0,8321 , sin (β)=

23⋅0,8321=0,5547

cos(γ)=1

√1+(5 /7)2=0,8137 , sin(γ)=

57⋅0,8137=0,5812


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– Komponenten der Kräfte:

x

y

z

O

α

βγ

SA

SB

SC

S Ax=S A cos(α)

S Ay=S A sin (α)

S Az=0

S Bx=−S B cos(β)

S By=S B sin (β)

S Bz=0

S Cx=S C sin(γ)cos(α)

S Cy=S C sin(γ)sin (α)

S Cz=SC cos(γ)


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– Resultierende Kraft:

S Ax = 400 N⋅0,6 = 240,0 NS Bx = −500 N⋅0,8321 = −416,1 NS Cx = 174,4 N⋅0,6 = 104,6 NS x = −71,5 N

S C sin (γ)=300 N⋅0,5812=174,4 NS Cz=SC cos(γ)=300 N⋅0,8137=244,1 N

S Ay = 400 N⋅0,8 = 320,0 NS By = 500 N⋅0,5547 = 277,4 NS Cy = 174,4 N⋅0,8 = 139,5 NS y = 736,9 N


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● Beispiel:

– Eine Last hängt an drei Seilen, die an einem Haken befestigt sind.

– Die Wirkungslinie der Gewichts-kraft geht durch den Haken.

– Gegeben:● Koordinaten der Punkte:

● Gewicht G = 10 kN

A= (0, 0, 0 ) m , B= (2, 0,0 ) mC=(1,2, 0 ) m , H=(1,1, 4 ) m – Gesucht:

● Seilkräfte

A

B

C

H

x

y

z

G


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– Richtungen der Seilkräfte:

Ein Seil überträgt nur Zugkräfte. Die Wirkungslinie stimmt mitder Seilrichtung überein.

Ein Seil überträgt nur Zugkräfte. Die Wirkungslinie stimmt mitder Seilrichtung überein.

[ e⃗AH ]=1

LAH [x H−x A

yH−yA

zH−zA]= 1

√18 [114 ]= 1

3√2 [114 ]

[ e⃗BH ]=1

LBH [xH−xB

y H−yB

zH−zB]= 1

3√2 [−114 ] , [ e⃗CH ]=

1LCH [

x H−xC

yH−yC

zH−zC]= 1

√17 [0

−14 ]


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– Kraftvektoren:

A

B

C

H

x

y

z

G

SA

SB

SC

✄[ S⃗ A ]=[

S Ax

S Ay

S Az]=S A [ e⃗AH ]=

S A

3√2 [114]

[ S⃗ B ]=[S Bx

S By

S Bz]=S B [ e⃗BH ]=

S B

3√2 [−114 ]

[ S⃗C ]=[S Cx

S Cy

S Cz]=S C [ e⃗CH ]=

S C

√17 [0

−14 ] , [G⃗ ]=G [

00

−1]


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– Gleichgewichtsbedingungen:

– Lösung des Gleichungssystems:● Aus Gleichung (1) folgt:● Addition der ersten beiden Gleichungen liefert:

∑ F x=0 : 13√2

S A −1

3√2S B = 0 (1)

∑ F y=0 : 13√2

S A +1

3√2S B −

1√17

S C = 0 (2)

∑ F z=0 : 43√2

S A +4

3√2S B +

4√17

SC−G = 0 (3)

S B=S A

23√2

S A−1

√17SC=0 → SC=

2√173√2

S A


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● Einsetzen in Gleichung (3) ergibt:

● Für die anderen beiden Seilkräfte folgt daraus:

● Zahlenwerte:

( 2⋅43√2

+4

√172 √173√2 )S A=G →

163√2

S A=G → S A=3 √216

G

S B=S A=3 √216

G , SC=2√173√2

3√216

G=√17

8G

S A=2,65 kN , S B=2,65 kN , SC=5,15 kN

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