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Prof. Dr. Eleni ChatziProfessur für Strukturmechanik

Institut für Baustatik und KonstruktionD-BAUG

BAUSTATIK II KOLLOQUIUM 10

Thema: Stabilität, Theorie II. Ordnung

Aufgabe 1

Gegeben: System (𝐿, 𝐸𝐼 = konstant, 𝐸𝐴 → ∞, 𝐸𝐴 → ∞), Einwirkung F  

Gesucht: Knickkraft Fcr für 𝐸𝐼 = 0; 𝐸𝐼 → ∞; 𝐸𝐼 = 𝐸𝐼 /4

Der Rahmen lässt sich zu einem Einzelstab AC reduzieren, wenn die Biegesteifigkeit der Riegel BC und CD als äquivalente Drehfeder im Punkt C eingeführt wird.

Die Federsteifigkeit 𝑘 kann anhand der entsprechenden Stabsteifigkeiten berechnet werden.

Beitrag BC (Stabendmomente aus Vorlesung 2)

𝑘 , = 3𝐸𝐼 /𝐿

Beitrag CD (Stabendmomente aus Vorlesung 2)

𝑘 , = 4𝐸𝐼 /𝐿

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Somit ist die Federsteifigkeit 𝑘 :

𝑘 =3𝐸𝐼

𝐿+

4𝐸𝐼

𝐿=

3𝐸𝐼

𝐿/2+

4𝐸𝐼

𝐿=

10𝐸𝐼

𝐿

Die Knickkraft wird mit der allgemeinen Differentialgleichung 𝐸𝐼 𝑤 − 𝑁𝑤 = 𝑞, und entsprechend der angegebenen kinematischen Randbedingungen hergeleitet. Falls 𝑁 > 0 ist der Stab unter Zug belastet. In unserem Fall hier ist 𝑁 < 0 und der Stab ist unter Druck. Damit ändert sich die zu lösende Differentialgleichung zu 𝐸𝐼 𝑤 + 𝑁𝑤 = 𝑞. Da q = 0, entspricht die homogene Lösung auch der allgemeinen Lösung.

Die homogene Lösung ist in der Form:

𝑤 (𝑥) = 𝑤 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑥 + 𝐶 ∙ cos(𝜆𝑥) + 𝐶 ∙ sin(𝜆𝑥) gegeben, wo 𝜆 = .

Wenn die Koordinaten von Punkt A als 𝑥 = 0 und Punkt C als 𝑥 = 𝐿 definiert sind, lassen sich die folgenden Konstanten, unter Berücksichtigung der kinematischen Randbedingungen am Punkt A sowie am Punkt C und der Federkonstante, bestimmen.

𝑤(𝑥) = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑥 + 𝐶 ∙ cos(𝜆𝑥) + 𝐶 ∙ sin(𝜆𝑥)

𝑤 (𝑥) = 𝐶 − 𝜆𝐶 ∙ sin(𝜆𝑥) + 𝜆𝐶 ∙ cos(𝜆𝑥)

𝑤 (𝑥) = −𝜆 𝐶 ∙ cos(𝜆𝑥) − 𝜆 𝐶 ∙ sin(𝜆𝑥)

Fall 1: 𝑬𝑰𝑹 = 𝟎

𝑤(0) = 0 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 0 + 𝐶 ∙ cos(𝜆 ∙ 0) + 𝐶 ∙ sin(𝜆 ∙ 0) (Ia)

𝑤 (0) = 0 = 𝐶 − 𝜆𝐶 ∙ sin(𝜆 ∙ 0) + 𝜆𝐶 ∙ cos(𝜆 ∙ 0) (IIa)

𝑤(𝐿) = 0 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝐿 + 𝐶 ∙ cos(𝜆 ∙ 𝐿) + 𝐶 ∙ sin (𝜆 ∙ 𝐿) (IIIa)

𝑤 (𝐿) = 0 = −𝜆 𝐶 ∙ cos(𝜆 ⋅ 𝐿) − 𝜆 𝐶 ∙ sin (𝜆 ⋅ 𝐿) (IVa)

Das durch Gleichungen Ia-IVa entstandene Gleichungssystem kann somit in Matrizenformat geschrieben werden.

1 00 1

1 00 𝜆

1 𝐿0 0

cos(𝜆 ∙ 𝐿) sin(𝜆 ∙ 𝐿)

−𝜆 ∙ cos(𝜆 ⋅ 𝐿) −𝜆 ∙ sin(𝜆 ⋅ 𝐿)

𝐶𝐶𝐶𝐶

=

0000

(Va)

Das Gleichungssystems hat eine nicht-triviale Lösung wenn

det(𝑨) = 0 wodurch (VIa)

1 0

0 1

A

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𝜆 (sin(𝜆𝐿) − 𝜆𝐿cos(𝜆𝐿)) = 0 und

tan(𝜆𝐿) = 𝜆𝐿 → 𝜆 ≈𝜋

0.7𝐿

Die kritische Länge ist daher 𝑙 = ≈ 0.7𝐿 und somit ist die Knickkraft:

𝐹 = 𝐸𝐼𝜋

𝐿≈ 𝐸𝐼

2𝜋

𝐿.

Fall 2: 𝑬𝑰𝑹 → ∞

w(0) = 0 = C + C ∙ 0 + C ∙ cos(λ ∙ 0) + C ∙ sin(λ ∙ 0) (Ib)

w (0) = 0 = C − λC ∙ sin(λ ∙ 0) + λC ∙ cos(λ ∙ 0) (IIb)

w(L) = 0 = C + C ∙ L + C ∙ cos(λ ∙ L) + C ∙ sin(λ ∙ L) (IIIb)

w (L) = 0 = C − λC ∙ sin(λ ∙ L) + λC ∙ cos(λ ∙ L) (IVb)

Das durch Gleichungen Ib-IVb entstandene Gleichungssystem kann somit in Matrizenformat geschrieben werden.

1 00 1

1 00 λ

1 L0 1

cos(λ ∙ L) sin(λ ∙ L)

−λ ⋅ sin (λ ∙ L) λ ⋅ cos(λ ⋅ L)

CCCC

=

0000

(Vb)

Die Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems erfolgt durch

det(𝑨) = 0 wodurch

𝜆[2 − 2 cos(𝜆𝐿) − 𝜆𝐿 sin(𝜆𝐿)] = 0, wobei durch Doppelwinkelfunktionen der Trigonometrie

cos(𝜆𝐿) − 1 = −2 sin & sin(𝜆𝐿) = 2 sin cos Doppelwinkelfunktion

Die Gleichung wird durch die trigonometrische Gleichungen in (VIIb) ergänzt.

sin𝜆𝐿

2

𝜆𝐿

2cos

𝜆𝐿

2− sin

𝜆𝐿

2= 0

Die Lösung von sin = 0 führt zu

𝜆𝐿

2= 𝑛𝜋 → 𝜆 =

𝑛𝜋

0.5𝐿

(VIb)

(VIIb)

Für 𝑛 = 1 ist die kritische Länge 𝑙 = = 0.5𝐿, und somit ist die Knickkraft:

1 0

0 1

A

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𝐹 = 𝐸𝐼𝜋

𝐿= 𝐸𝐼

4𝜋

𝐿.

Fall 3: 𝑬𝑰𝑹 =𝑬𝑰𝑺

𝟒

w(0) = 0 = C + C ∙ 0 + C ∙ cos(λ ∙ 0) + C ∙ sin(λ ∙ 0)

𝐂𝟏 = −𝐂𝟑

(Ic)

w (0) = 0 = C − λC ∙ sin(λ ∙ 0) + λC ∙ cos(λ ∙ 0)

𝐂𝟐 = −𝛌𝐂𝟒

(IIc)

w(L) = 0 = C + C ∙ L + C ∙ cos(λ ∙ L) + C ∙ sin(λ ∙ L)

𝐂𝟒 = 𝐂𝟑 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝛌𝐋)

𝐬𝐢𝐧(𝛌𝐋) − 𝛌𝐋

(IIIc)

M(L) = k w , wo M = −EI w′′ und k =

EI λ C ∙ cos(λL) + λ C ∙ sin(λL) = k (C − λC ∙ sin(λL) + λC ∙ cos(λL))

10EI

EI2 − 2 cos(λL) − λL sin(λL) = λL (λL cos(λL) − sin(λL))

(IVc)

(Vc)

Für 𝐸𝐼 = kann die Gleichung (Vc) wie folgt geschrieben werden:

5

22 − 2 cos(λL) − λL sin(λL) − λL λL cos(λL) − sin(λL) = 0

Die Lösung für 𝜆 ergibt 𝜆 =.

, und somit ist die kritische Länge 𝜆 =.

→ 𝐿 = 0.6147𝐿

Daraus folgt die Knickkraft 𝐹 = 𝐸𝐼 = 2.6463 ⋅ 𝐸𝐼

Die zwei ersten Fälle können auch mit Einsetzung der entsprechenden Riegelsteifigkeiten in Gleichung (Vc) berechnet werden.

1 0

1 0