Simulation

2hJmi2

Hausaufgabensind auf der letzten

Seite

Poisson-Prozes.sn?EEs.---xxxx-f

0 t Zeit

Xi ~ exp (d)

PC Ntt ) = n ) = e-" t 4¥

"

,n = o

, ni . .

.

Erlang-verteilung-lsamma-verle.tn ng )

Sn = X,+ Xzt . . . + Xn

D

1--5O t t t b

F- Tp = i. a( h - t ) Ereignisse

P ( ts Sn < t t b ) = fs ! H . D

P ( Ntt ) = n - 1) . did = fs„CH . #

die - " t FEI = fsnlt )-

simulctiaeinerErlang-RVSn-Xn-Xzt.intXn

X = Log ( w )

Sn = - Flog ( Un ) - I Log ( Vz) . . .

Log (a) + Log (b) = Log ( a. b)

Sn = - ¥ . Log ( Ui Ui --

- Un )D

' II.F- Csu) = ¥ ; Var Csu ) = Jz

ß

Ihsnranee Disk Model-

Exkurs-

:

T .Gewinn Wahrscheinlichkeit

1- × ¥- y

E- 0

× - a e-" I you be

- bit

Satz : P ( XL Y ) =Inat b

Beweis :

• dt

PUK ) =/ Platt 7- t ) Pitt• 0=5[ 1- e-

at] . be

- btdt0

= Übe- btdt - Jb e-

ate- btdt

00

= T - Gb { ca + b) e-la + b) tat

0=1- Eu -

- ETF -

- Inga

2 .Minimum

min ( Xs , _ .

. . , Xn) = yFft ) : = P ( Hst )

= 1 - P ( H > t )

= 1 - P ( X ist n Xz > t . . - Xn > t )( stochastisch unabhängig )

= 1- Pcxn > t ) PCXZ > t ) . . .

o Put )

Exponentin verteilte ZV er

[ : ÷ .

> = 1 - Edit . e- dit. .

. e-tut

= 1 - e- Edi . t

d. h . Minimum ist auch exp - verteilt .

Der

3. Viele parallele Prozesse

- Y = min ( minus in ) ,min ( Zr , . . . , Zm))

- -

µ N

Y v expln.pt m . d)

- P ( min ( Xn , Xn ) < min ( Zn , " ,Zm ) )

h . µ= -

n . µ + mir

-

„

Gewinner"

bei 3 parallelen Prozessen

PCX gewinnt ) =A-

Axt drytdez

warum ?

- Versicherungs teilnehmer melden Schaden

→ Poisson prozess mit Rate N

→ Schadens höhe Y ~ E

- Neue Versicherungs teilnehmer

→ Poisson prozess mit Rate V

- Versicherungs teilnehmer Beitrags -

dauer

Der exp ( µ )

- Jeder Teilnehmer bezaht Prämiemit der Rate c pro Zeiteinheit

- Start der Simulation

ho : # Versicherungs teilnehme

ao DO : Anfangskapital- Problem : Ist a so für eine Zeitspanne

für T ?

N s N µ Ereignis sequenz

-0NUN an .

- Xz X , 74 Zeit

XsMarkov - Eigenschaft

13beachten !

1- ! } 3 parallele|

nie-7 Prozesse

,

o o er --# - a a .

- N -Xi Kitt

Xin EXP ( ytn.p-n.de )

PCN ) = Neuer KundeV-tn.p-n.it

Pls ) = SchadenVth - µ + n - R

PLK ) =

Kündigung✓ th.p-n.de

Simulation

Anfangsbedingungt = O

a = do : Startkapitalh = ho : Kunden bei t :O

tz = X : Erstes Ereignis

I : T ( Indikator )

White tz ET

a > at nie . ( tr - t )t = TE

Computer PCN ),PLS )

,PCK )

Generale Draw from { N , S ,K }

N : n > htt

K : h = n - r

S : Generale YIf Y > a

1=0 ; Terminale nen .

Elsen

a. = a- Y .

Geredet ; tritt × .

End

Outcomes : 1=0 ( pleite ) a < o

1=7 : Gewinn = a- ao D

Hausaufgaben ( Abgabe : in 2 Wochen)

I. Simuliere Erlang verteilungn = 10

, µ =I30

Z . X,Y

,Z sind exponentiell

2- Wen mit den Raten der = % ,

Ay = % und 12=2%0 °

a) Bestimme ( analytisch ) derErwartungswertvon :X, y ,

2 und S = min ( X , Y , 2) .

b) Wie groß ist die Wk,dass X

das Minimum ist ?

3 .Schreibe ein Script ,

um

das Risk insurance Model

Zu simulieren.

a) Wähle „ plausible" Parameter Werte

und bestimme E d. h .

die Risiko rate .

b) Wähle „ plausible" Parameter ,

sodass TI > 90% und

bestimme dazu der er -

-

warteten Gewinne > ä - ao