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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Baustatik III – SS 2018

3. Einführung in die Plattentheorie

3.1 Flächentragwerke 3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie3.3 Schnittgrößen in Platten3.4 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten

3.4.1 Einfeldplatten3.4.1.1 Einachsig gespannte Platten3.4.1.2 Zweiachsig gespannte Platten

3.4.1.2.1 Drillfreie Platten (MARCUS-Verfahren, Tabellen nach STIGLAT/WIPPEL)

3.4.1.2.2 Drillsteife Platten (CZERNY-Tafeln, Tabellen nach HAHN)3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte (Einzugsflächen-

Verfahren)3.4.2 Durchlaufende Platten (Verfahren nach Pieper/Martens)

1




3.1 Flächentragwerke

2


Aufteilung der Tragwerke

3


Aufteilung der Flächentragwerke

Flächentragwerke

Ebene Flächentragwerke

Scheiben

Platten

Faltwerke

Gekrümmte Flächentragwerke

Schalen

Membrane

4


Scheiben: Voraussetzungen

Voraussetzungen: Dicke viel kleiner als die Seitenlängen Lasten wirken parallel zur Scheibenebene

Keine Verkrümmung der Scheibenebene!

5


Platten: Voraussetzungen

Voraussetzungen: Dicke viel kleiner als die Seitenlängen Lasten wirken quer zur Plattenebene

Verkrümmung der Plattenebene!

6


Scheiben

Scheiben sind ebene Flächentragwerke, bei denen die Belastung parallel zu ihrer Ebene wirkt.

Gottfried Leicher: Tragwerkslehre in Beispielen und Zeichnungen. 4. Auflage, BundesanzeigerVerlag GmbH, Köln, 2014.

7


Platten

Platten sind ebene Flächentragwerke, bei denen die Belastung senkrecht zu ihrer Ebene wirkt.Platten können linienförmig durch Unterzüge oder Wände oder punktförmig durch Stützen unterstützt sein.


8


Platten

Beispiele für liniengestützte und punktgestützte Platten


9


Faltwerke

10


Faltwerke

Faltwerke sind räumliche Flächentragwerke aus abgeknickten ebenenFlächentragwerken oder aus ebenen Einzelflächentragwerken, die zueinandergeneigt sind und längs ihrer gemeinsamen Kante miteinander verbunden sind.Faltwerke werden im Allgemeinen auf Zug/Druck und Biegung beansprucht.

Gottfried Leicher: Tragwerkslehre in Beispielen und Zeichnungen. 4. Auflage, Bundesanzeiger Verlag GmbH, Köln, 2014.

11


Schalen

12


Schalen

Schalen sind einfach oder doppelt gekrümmte räumlicheFlächentragwerke.Schalen werden im Allgemeinen auf Zug/Druck und Biegungbeansprucht.


13


Membrantragwerke

14


Membrantragwerke

https://de.wikipedia.org/wiki/Allianz_Arena

Water Cube in Beijing: Membranbau mit 100 Tonnen ETFE-Folien

http://www.detail.de/artikel/future-building-trends-neue-potenziale-durch-materialinnovationen-7364/

https://de.wikipedia.org/wiki/Membranbau

15




3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie

16



Die Durchbiegung w der Platte (Verschiebung in z-Richtung) ist unabhängig von z: w = w(x,y), d.h.: alle Punkte P auf der Normalen besitzen die gleiche Durchbiegung w(x,y).

Es gilt die Normalenhypothese:Die Normalen bleiben nach der Deformation weiterhin senkrecht (orthogonal) zur Plattenmittelebene!

Normale

zw

P

P

17



,, 0Z

w x yw w x y

z

0 Schubverzerrungxz yz

Daher werden die Kirchhoffschen Platten auch als „schubstarre“ Platten bezeichnet.

Die Normalspannung senkrecht zur Plattenmittelebene ist vernachlässigbar, d.h.

0z (Ebener Spannungszustand)

18




3.3 Schnittgrößen in Platten

19


Schnittgrößen in Scheiben

x

y

z

x

y

xy

yxh

Annahme:Alle Spannungskomponenten sind konstant über h=t , da h sehr klein ist!

Spannungen

20


Schnittgrößen in Scheiben

Scheibenkräfte

h

y

zx

yxn

xn

xyn

yn

Normalkräfte in x-Richtung: Normalkräfte in y-Richtung:

Schubkräfte:

wobei , da

x x

y y

xy xy xy

xy yx xy yx

n hn h

n h h

n n

21


Schnittgrößen in Platten

xy

xyyx

x

y

zh

yz xz

SpannungenPlattenmittelebene

• Normalspannungen: ,x y

• Schubspannungen: , ,xy yx xz yz

22



Schnittgrößen Plattenmittelebene

x

y

zh

xymyxm

xqyqxm

ym

• Biegemomente: ,x ym m

• Querkräfte: ,x yq q

• Drillmoment: xy yxm m

23



Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungen:

h

2hz

2hz

z

2

2

wobei: h

hx x x xxm z dz m m

2

2

wobei: h

hy y y yym z dz m m

• Biegemomente:

24



• Drillmoment2

2

h

hxy xym z dz

xy yxm m

• Querkräfte

2

2

h

hx xzq dz

(qx = resultierende Kraft von xz )

2

2

h

hy yzq dz

(qy = resultierende Kraft von yz)

25



Hauptmomente:

1 2, , , Hauptmomentex y xym m m m m

22

1,2 2 2x y x y

xy

m m m mm m

2

tan 2 xy

x y

mm m

2m

1m

yxm

ym

xym

xm

x

y

26


Bemerkungen:

Die Hauptmomente und die Hauptrichtungen können auch mit dem Mohrschen Kreis bestimmt werden.

Vorgehensweise zur Konstruktion des Mohrschen Kreises: Siehe Mohrscher Spannungskreis oder Mohrscher Dehnungskreis!


27


Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast

1xm m

2ym m

2m1m

2

27,2pl2

21,6xyplm 2m

1 2 xym m m

x

y

auf der -Achsexm xmax. xm

28


Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast

1infolge bzw. xym m

Bemerkungen:• mx und my in der Plattenmitte am größten, |mxy| in den Ecken am größten.• Rissbilder auf der Plattenunterseite

Rissbilder auf der Plattenoberseite2infolge bzw. - xym m

29


Eckkräfte in der Platte

Bei manchen Auflagerbedingungen sind Eckkräfte vorhanden, die abhebend sind!

Maßnahmen gegen Abheben:1) durch Auflast in der Ecke,2) durch Verankerung,3) durch biegesteife Verbindung der Ecke mit

der Unterstützung oder benachbarter Platte.

Quelle: Prof. J. Hegger: Vorlesung Massivbau II, RWTH Aachen.

1m

2m

30




3.4 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten3.4.1 Einfeldplatten

3.4.1.1 Einachsig gespannte Platten3.4.1.2 Zweiachsig gespannte Platten

3.4.1.2.1 Drillfreie Platten (MARCUS-Verfahren, Tabellen nach STIGLAT/WIPPEL)

3.4.1.2.2 Drillsteife Platten (CZERNY-Tafeln, Tabellen nach HAHN)3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte (Einzugsflächen-

Verfahren)3.4.2 Durchlaufende Platten (Verfahren nach Pieper/Martens)

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3.4 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten

Bei komplizierten Plattengeometrien und Belastungen sind analytischeLösungen der Plattengleichung meistens aussichtslos. Vielmehr müssenComputerprogramme (z.B. Finite Elemente Methode bzw. FEM) verwendetwerden. Auch Näherungslösungen oder vereinfachte Methoden in Form vonTabellen und Diagrammen können dafür eingesetzt werden.

3.4.1 Einfeldplatten

xy

a

b

32


3.4.1 Einfeldplatten

Einachsig gespannte Platte 2-achsig gespannte Platte

Einachsig gespannte Platten:Lastabtragung nur in einer Richtung

2-achsig gespannte Platten:Lastabtragung in 2 Richtungen

Einfeldplatten

33


3.4.1.1 Einachsig gespannte Platten

1m1m Streifen

p

a

Einachsig gespannte Platten:•Bedingung:•Bei einer einachsig gespannter Platte kann ein 1m-Streifen als Balken betrachtet werden.•Beispiel: konstante Flächenlast

2

max. 8x

pam

max. 2xpaq

2 !y xl l

max. y xm m

34


3.4.1.2 Zweiachsig gespannte Platten

Drillfreie bzw. drillweiche Platten:

Drillsteife Platten:

2-achsig gespannte

Platten

0xym

0xym

35


Drillfreie bzw. drillweiche Platten:• Marcus-Verfahren (Streifenkreuz-Verfahren, Streifenmethode,

Lastaufteilungsverfahren).• Tabellen nach Stiglat-Wippel

Drillsteife Platten:• Czerny-Tafeln:

4- und 3-seitige Lagerung, konstante und dreiecksförmige Belastung.• Hahn:

3-seitige Lagerung, Linienlast am freien Rand.• Bruckner:

4- und 3-seitige Lagerung, Punkt- und Linienlasten.• Stiglat und Wippel, Pucher, Bittner:

Sonderfälle.

2-achsig gespannte Platten: Überblick

36


Literatur:Bittner, E.: Platten und Behälter. Springer-Verlag, Wien/New York, 1965.

Bruckner, H.: Elastische Platten. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1977.

Hahn, J.: Durchlaufträger, Rahmen, Platten und Balken auf elastische Bettung.

Werner-Verlag, Düsseldorf, 1981.

Pucher, A.: Einflußfelder elastischer Platten. 5. Auflage, Springer-Verlag, 1977.

Stiglat, K., Wippel, H.: Massive Platten. In: Beton-Kalender, Teil 2, Ernst & Sohn

Verlag, 2000, Seiten 211-290.

Stiglat, K, Wippel, H.: Platten. Ernst & Sohn Verlag, 3. Auflage, 1993.

Czerny, F.: Tafeln für Rechteckplatten. In: Beton-Kalender, Teil 1, Ernst & Sohn

Verlag, 1999, Seiten 277-330.

2-achsig gespannte Platten: Überblick

37


3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren

xl

yl

1m

1m

p

xp

xl

yl

yp

Lastaufteilung:

x y

x x

y y

p p p

p k pp k p

1x yk k

und sind von RB abhängig und sie sind tabelliert!x yk k

Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast

22

max. , max. , 0 8 8

y yx xx y xy

p lp lm m m

38


1 4 4

4 4 4 4 4

11 , 1 y xx y x

x y x y

l lk k kl l l l

y

x

ll


Aus der nachfolgenden Tabelle abgelesen:

Bemerkung:Die beiden Lastaufteilungsfaktoren können aus der Bedingung der gleichenDurchbiegung der beiden Streifen in der Plattenmitte (Kompatibilitätsbedingung)bestimmt werden.

Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast

39


xl

yl

1m

1m

p

xp

xf

yf

yp

44 55 , 384 384

y yx xx y

p lp lf fEI EI

x yf f

4 4x x y yp l p l

x yp p p

4

4 4

y

x

x y

k

yl

lp p

l

4

4 4 ,

x

y

y

k

xx

ll l

p p


40


Bautabelle Schneider

Drillfreie Platten:

Streifenkreuz-

Verfahren

41


3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel

Alle 4 Ränder gelenkig gelagert

Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 2000. 42


Alle 4 Ränder eingespannt

3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel

Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 2000. 43


Annahme: 0

3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln

gelenkig

eingespannt

44




45




46




47




48




49




50


3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn

3-seitig gelenkig gelagert

51



52


Quelle: Bautabelle Schneider


3-seitig eingespannt

53



54


Bemerkungen:•Bei einigen Tabellen wird vereinfachend =0 angenommen (z. B. Czerny-Tafeln, Bittner). Dies ist zulässig im Stahlbetonbau, mit der Ausnahme von Fahrbahnplatten.•Falls die Querkontraktionszahl zu berücksichtigen ist, dann erfolgt die folgende Umrechnung:

( ) ( 0) ( 0)

( ) ( 0) ( 0)

( ) (1 ) ( 0)

( ) ( 0)( ) ( 0)

( 0)( ) ( 0) (1 )

( 0)( ) ( 0) (1 )

x x y

y y x

xy xy

x x

y y

xyx x

xyy y

m m m

m m m

m m

q qq q

mq q

ym

q qx

Drillsteife Platten

55


Mit Hilfe der Tabellen• Stiglat/Wippel-Tafeln /drillweiche Platten): Seiten 42-43.• Czerny-Tafeln (drillsteife Platten): Seiten 44-50.• Hahn-Tafeln (drillsteife, dreiseitig gelagerte Platten): Seiten 51-54.

Mit Streifenkreuz-Verfahren (drillweiche Platten): Seiten 38-41.

3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte

Methoden zur Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte:

56

, 2 2

y yx xx y

p lp lA A xl

yl

1m

1m

p

xp

xl

yl

yp

xA xA

yA

yA

Mit den Einzugsflächen




Die Auflager- und Eckkräfte können mit der Methode der Einzugsflächenäherungsweise bestimmt werden.

57



Bestimmung der

Auflager- und

Eckkräfte:

Methode der

Einzugsfläche

58




59


xl

yl

p

x

yBeispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte

unter konstanter Flächenlast

/ 1,5y xl l

22

2max

22

22

max

22

0,07313,7

0,073

0,02835,7

0,02934,7

0,06116,3

xxm x

x xm x

xym x

xy x

xxye x

plm pl

m m pl

plm pl

plm pl

plm pl

22

2max

22

22

max

0,1287,8

0,128

0,0520

0,0519,9

0

xxm x

x xm x

xym x

xy x

xye

plm pl

m m pl

plm pl

plm pl

m

22

2max

22

2max

0,1048

0,104

0,0468

0,046

0

x xxm x

x xm x

y yym x

y ym x

xye

p lm pl

m m pl

p lm pl

m m pl

m

Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte

Czerny-Tafel:Stiglat/Wippel:

Marcus:

60


Momente Czerny(drillsteif)

Stiglat/Wippel(drillweich)

Marcus(drillweich)

xmm

maxxm

maxymymm

xyem

20,073 xpl

20,073 xpl

20,028 xpl

20,029 xpl20,061 xpl

20,128 xpl

20,128 xpl

20,05 xpl20,05 xpl

0

20,104 xpl

20,104 xpl

20,046 xpl20,046 xpl

0

Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte

Bemerkungen: Die maximalen Feldmomente bei der drillsteifen Platte sind kleiner als bei der

drillweichen Platte! Grund: Die 4 Ecken der drillsteifen Platte tragen die Last mit!

61


Überblick:

Belastungsumordnungsverfahren (BU-Verfahren)• Dieses Verfahren wird auch als „Schachbrettverfahren“ bezeichnet.• Dabei werden die Verkehrslast (veränderliche Last) „schachbrettartig“ so

umgeordnet, dass es jeweils zu max. Feldmomenten und max. Stützmomenten (in Betrag) führt.

• Voraussetzung: min. l / max. l ≥0,75.

Verfahren nach Pieper/Martens• Voraussetzungen: q ≤ 2g, q ≤ 2(g+q)/3 (g: Eigenlast, q: Verkehrslast).• Verfahren beruht auf BU-Verfahren.• Verfahren liefert im Allgemeinen größere Feldmomente als BU-Verfahren

(auf der sicheren Seite).• Rechenaufwand wesentlich geringer als BU-Verfahren.

3.4.2 Durchlaufende Platten

62


Wände

3.4.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren

Schachbrettartige Anordnung der Verkehrslast q

Für max. Feldmoment Für max. Stützmoment (Betrag)

x

y

63


Eigenlast : g

Verkehrslast : q

Eigenlast : g

Verkehrslast : / 2q

Verkehrslast : / 2q

Anordnung der Verkehrslast q


+

64


/2g q

Ersatzsystem für max. Feldmoment

Innenfeld


/ 2q

Innenfeld


1.) Belastung aller Felder durch g+q/2 2.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/2

Bestimmung von max. Feldmoment

In y-Richtung genauso!

gelenkigeingespannt/2g q / 2q

x

65


/2g q

Ersatzsystem für max. Stützmoment

Innenfeld


Innenfeld


1.) Belastung aller Felder durch g+q/2 2.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/2

Bestimmung von max. Stützmoment (in Betrag)

In x-Richtung wie beim max. Feldmoment!

/ 2q

eingespannt

gelenkig

y

66

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Quelle: Bautabelle Schneider

3.4.2 Durchlaufende Platten: Verfahren nach Pieper/Martens

67



Durchlaufende Platten:

Verfahren nach

Pieper/Martens

68

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Quelle: Bautabelle Schneider


69



Durchlaufende

Platten:

Verfahren nach

Pieper/Martens

70




Wände 4

6

Beispiel

71

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