Ein Ingenieur, der berech-net hat, dass einWerkstückeine kinge von 1E cm ha-ben solbe, wird der Werk-statt mitteilen, dass diegeJorderte Länge 1,73 cmbetragen muss.

Es ist übetaschend, dassderkrm der Funktion g,d. h. die Zahlen r, s und tüberhaupt nicht bestimmtwerden müssen,

3 Näherungsweise Berechnung von Integralen

1 Große Tore werden aus statischenGründen oft oben mit einem Bogen abge-schlossen (Fig. 1). Bei Tor I ist dies einKreisbogen.a) Durch welche Kurven kann man die Bö-gen der Tore II und III annähern und wiekann man eine Gleichung dieser Kurven er-halten?b) Wie kann man nun den Flächeninhalt derTore II und III näherungsweise bestimmen?

2 Durch wie viele Punkte ist eine Parabelzweiter Ordnung eindeutig bestimmt?

o Fig. I

( ^ .Um ein Integral I = lf (x) dx zu berechnen, benötigt man eine Stammfunktion F von f. Kann F

;nicht bestimmt werden, muss man sich mit einem Näherungswert von J begnügen.

Ersetzt man das Schaubild von fzwischen den Punkten P(alf(a)) und Q@lf(b)) durch eineGerade durch diese Punkte (Fig. 2), ergibt sich: J =

+(b - a)(f (a) + f (b)). Meist erhält man

einen besseren Näherungswert für J, wenn man das Schaubild von f zwischen P und Q durcheine Parabel (Fig. 2) ersetzt, die durch die Punkte P. Q und R(+lf (+)) verläuft.Ist diese Parabel das Schaubild der Funktion gm i t g ( x ) = rx2+ sx+ t , sog i l tf ( a ) = g ( a ) = r a 2 + s a + t ,f(b) = g(b) = rb2 + sb + t undf t ' l b I = c r u ; 0 , = ' . 1 + l + s . u j b + t .Damit wird

b b

J = Je(x)dx = !{rx2+ sx + t)dx

t r 1 r - r b= L j r x r + ; s x z + r x ] a

= 1115: - a3) + j r (u ' - a2) + t (b - a) .

Wegen b3 - a3 = (b - a) (b2 + ab + a2) kannb - a ausgeklammert werden. Dies ergibtJ =

*@(b - a)[2r(a2 + ab + b2) + 3 s(a + b) + 6t]

= *(t - a) [(ra2 + sa + t) + (rb2 + sb + t) + r(a2 + 2ab + b2) + 2s (a + b) + 4t]

= *@o- a; l r1a; + f (b) + +' . (*) ' +as.T + 4t l =] fu-ul f r fu; + f (b) +4 r(+) l

Fassregel von KBplBn: Ist feine aufdem Intervall [a; b] stetige Funktion, so giltb

Jr1*l4" = f 1n - a; [r1a1 + +.r(]l) + f(b)].

173

y = f (x)

v = c(x)

Näherungsweise Berechnung von Integralen

Tabelle der auf vier Dezimalen gerundeten Funlctionswerte:

Die Schaubilder stetiger Funktionen f, die aufeinem Intervall [a; b] definiert sind, lassensich oft nur sehr grob durch eine einzelne Pa-rabel zweiter Ordnung annähem. Deshalb ver-sucht man, mehrere Parabeln an solcheSchaubilder abschnittsweise anzupassen.Dazu wird das Intervall [a; b] in eine geradeAnzahl n=2m von Teilintervallen gleicherLänge h-f unterteilt(Fig. 1).

Y * = u n = 6 x = b

h

x

v.

o x0 x l x2 x3 Xr x5 x6

Fig. I

Fig.2

Hinweß: DerexakteWertdes Integrals im Beispielbetrögt offensichtlich

In = 7,06e.Wie groJ3 sind. damitdie proryntualen Fehkrjeweils?

174

Man erhält dabei die n + | Zalilen xs - E, x1 = a * h, xz= a + 2h, ..., Xn-1 = ä + (n - 1)h undxn = ä * nh = b. Wendet man nun die Fassregel auf die Funktion f in den Intervallen [xo; xz],

[xz; x+], ..., [xn-zl xn] an und setzt zurAbkürzung y0 = f(xo), yr = f(xr), yz= f(xz), ...,yo = f (xn), erhält man:b

Jr1*; a* = *. zn(t o + 4y r + yrl + !u. zn1y, + 4y 3 + y+) + . . . + +. 2h(y ^-z+ 4yn-, + yn)u = l t r (yo * 4yr+2y2+ 4y3+2yo+ . . .+ 4yn-z+2ynt+y) .Dies ereibt:

Regel von SnvrpsoN: Es sei f eine auf dem Intervall [a; b] stetige Funktion und n > 2gerade Zahl. setztman h=? und Yo =f(xo). Yr =f(xr), ..., Yn=f(x), so gilt

j t t . l i r ' äh l$o + y . ) + 4 (y r + y r + . . . + yo - r ) +2 (y2+ya + . . .+ y " - z )1 .

elne

a

Beispiel: (Anwendung der Regeln von KEpLen und Snrarsor'r)

Bestimmen Sie für f mit f (x) = ti9 - x2 (Fig. 2) einen Näherungswert ftir if 1xl a x mitI

a) derFassregel von KsplenLösuns:

b) der Regel von SrupsoN für n = 6.

a) Berechnung eines Näherungswertes mit der Fassregel von Krpr-rx:3

Jli -* a*= +e -o)(3 + 4'2,5981 + 0) = 6,696.0

b) Berechnung eines Näherungswertes mit der Regel von SItvtpsoN flir n = 6:3

[ , ,1s-*d*=+.+.t(3 +0) +4.(2,9580+2,598t + 1,6583) +2'(2,8284+2,236r)]=6,998.0

Aufgaben

3 '

Berechnen Sie für das Integral mit der Fassregel von KspLsn einen auf drei Dezimalengerundeten Näherungswert.

4

al Jr.--!ax2

4

ul Jt' ax0

3 3

c; J/t +7ox d) J?."^o*0 1

I

e) Je{r)dx- 1