4. Drehbuchentwurf für Spektrum-Video vom 12.12.91

[Time code_)

-1. Cover:

Headline: · "Chaos, Ordnung, Assoziatives Gedächtnis"

(Vorlage Folie 1)

Subline: "Nichtlineare Dynamik in rückgekoppelten Bildern"

Coverbild: gedrehtes Chaos, vom Dia

o. Anfanqssequenz:

Titel etc.

von •.•• Namen Univ. Erlangen,

1. Motivation

Chaos - scheinbar ZufälligeEntwicklung der Bildpunkte

Echtzeitchaos zeigen [10:31:50)

Ordnung - Die Bildpunkte fügen sich zu geordneten, großflächigen Strukturen zusammen

Gerechnete Ordnung zeigen {11:02:39)

Assoziatives Gedächtnis - Teilweise zerstörte Strukturen werden wieder zu den ursprünglichen Bildern rekonstruiert.

Die gestörte Struktur von vorher baut sich auf [11:05:39) ~~

Alle diese Phänomene kann mann durch die Wissenschft der NL- \ Dynamik verstehen.

Mit Feedback unterlegt buntes Echtzeitchaos [z.B. 10:18:30; 10:23:00; 10:29:04; 10:29:54]

Die Nichtlineare Dynamik beschäftigt sich mit Nichtlinearen Differentialgleichungen. Diese Gleichungen sind Modelle für die Vorgänge in der Welt. Jeder Mensch entwirft sich im Gehirn solche Modellvorstellungen um die Welt zu verstehen.

Unsere einfachsten Modellvorstellungen sind linear. Tatsächlich ist die Welt aber ein System von gekoppelten Größen, die nichtlinear voneinander abhängen. Solche Systeme, werden in der Nichtlinearen Dynamik modellhaft behandelt. Sie zeigen ein reich­haltiges Eigenleben: oft deterministisches Chaos, wie zum Bei­spiel in der Strömungsmechanik, manchmal Gestaltbildung wie beim Kristallwachstum. Auch höhere Gehirnfunktionen - beispielsweise das assoziative Gedächtnis oder das Abstraktionsvermögen - sind

1

nichtlineare dynamische Phänomene. Besonders interessant sind Systeme mit vielen gekoppelten Variablen: Die Lufthülle mit ihren wechselwirkenden Bestandteilen, ökologische Systeme, die Wirt­schaft.

Die entscheidenden nichtlinearen Phänomene wie Chaos, Gestalt­bildung und assoziatives Gedächtnis lassen sich einfach mit Hilfe eines optischen Rückkopplungskreislaufes erzeugen und gleichzei­tig anschaulich darstellen. In einem solchen Kreislauf blickt eine Kamera auf ihren eigenen Monitor. ·

Schema 1.1: Kamerakreis mit Monitor, ohne NL, weich einblenden v/

Die Kamera nimmt das Bild des Monitors auf, das dann auf diesem Monitor wieder angezeigt wird. Dieses Bild wird wiederum in einem endlosen Kreislauf weiter abgebildet.

Video: Kamera zeigt endlosen Monitor

Nun bewegt sich die Kamera auf den Monitor zu. Das Ergebnis ist ein uninte~essantes, konturloses Etwas.

Schema 1.2: Kamera mit Pfeil in Richtung des Monitors Video: Zoom auf Monitor mit blauem Fleck

~l( t/ .

Nun fügen wir ein Gerät in den Kreislauf ein, das das Kamerabild verfremdet.

Schema 1.3: Kamerakreis mit Monitor, mit NL

Der gewaltige Unterschied rührt von dem eben eingebauten Schaltungselement ~her, das eine nichtlineare Charakteristik besitzt. 11N~ -1- A. _u. J._ -·"'· ...

t.- ~ '{;CATv-v ~

Echtzeitchaos (auch im folgenden)

Der Schlüssel für das Verständnis dieses Verhaltens liegt also offensichtlich in dep Eigenschafteft .e4Res ltnichtlinearE'.Pt Syst:e'ffi'S begründet. dJu- pz_~~~/- ~

2. Grundlagen

2.1. Linear - nicht linear

Doch beginnen wir zunächst mit einem linearen Beispiel. Wir schicken einen einfachen Sinuston durch einen Verstärker mit linearer Kennlini~~ D~~Verstärke~eiit also eine lineare Abbildung dar. Grafisch wird eine solche lineare Abbildung durch eine Gerade dargestellt. Das Eingangssignal wird mittels dieses Verstärkers in das Ausgangssignal umgewandelt.

graphische Animation, incl. Ton.[11:08:28 nochmal zu machen) V

Die Form des Signals bleibt erhalten, der Klang ist also gleich.

2

Die einzige Änderung die man an dieser linearen Abbildung vornehmen kann ist, die Steigung der Geraden, d.h. den Verstärkungsfaktor zu ändern.

Animation der Steigungsänderung ohne Signale {neu]

Dann mit Signalen {11:09:08 nochmal zu machen}

Noch immer ist der Klang derselbe, nur seine Lautstärke hat sich verändert.

Lineare Abbildungen sind also sehr überschaubar. Ganz anders .im ~ nichtlinearen Fall. Zunächst können nichtlineare Abbildungen in , ihrer Darstellung wesentlich komplexere Formen annehmen. Nun ~t beispielsweise ein quadratischer Zusammenhang zwischen Ausgangs- ~ und Eingangssignal.

Graphische Animation, incl. Ton, {1:09:48} zuerst ohne, dann mit Signal {nochmal zu machen}

Die Form des Ausgangsignals unterscheidet sich wesentlich vom Eingangssignal. Der Ton dieses Ausgangssignal klingt nun auch völlig anders. Während das Eingangssignal ein reiner Sinuston ist (kurz anhören) klingt das Ausgangssignal verzerrt (anhören).

Nichtlineare Abbildungen enthüllen also verblüffende Eigen­schaften, dies wird im fol9enden Experiment noch deutlicher:

Wir beginnen wieder mit einem reinen Sinuston. Im Frequenzspektrum erkennt man, aus welchen Frequenzen sich zusammensetzt. Da der Ton nur aus einer Frequenz besteht, erscheint nur ein Ausschlag an der entsprechenden Stelle.

ein Ton

Frequenzspektrum, alles mit hörbaren Tönen {nochmal wabernd]

Als zweites hören wir einen Sinuston anderer Frequenz. Im Spektrum erscheint wieder nur ein Ausschlag, diesmal jedoch an der bestimmten anderen Stelle. ·

Frequenzspektrum {so}

Nun werden beide Töne gleichzeitig durch den linearen Verstärker geschickt. Beide Töne sind deutlich zu hören. Auch im Frequenzspektrum kann man erkennen, daß sich der Klang nur aus den beiden ursprünglichen Frequenzen zusammensetzt. Er ist gleich der Summe seiner Teile.

Frequenzspektrum {so}

Ganz anders wird das Verhalten, wenn man beide Signale nun durch einen nichtlinearen Verstärker schickt: deutlich ist nun ein völlig rieuer Klang zu hören. Hohe und tiefe Töne sind neu L

entstanden. Besonders deutlich erkennt man diesen Unterschied ~ Spektrum: Die Frequenzen der Eingangssignale sind völlig verschwunden, dafür sind neue Frequenzen, tiefere und höhere, entstanden. Die Nichtlinearität hat also etwas Neues erzeugt.

Frequenzspektrum {so}

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Im Nichtlinearen Fall kann das Ganze also mehr sein, als nur die Summe seiner Teile.

2.2 Rückkopplung

Schauen wir uns nun noch einmal unseren optischen Rückkopplungs­kreislauf an. Die Funktion dieses Teils ist nun klar.

Schema 2.1 (wie 1.3): Rückkopplungskreislauf, NL Kasten farbig

Doch was hat es mit der Rückkopplung auf sich? Die Kamera blickt auf ihren eigenen Monitor.

Schema 1.3: opt. Rückkopplungskreislauf (??)

Das Bild, das sie jetzt aufnimmt, · hängt also vom Bild ab, das die Kamera kurz zuvor aufgenommen hat, denn dieses Bild ist ja jetzt auf dem Monitor sichtbar.

Kamera auf Monitor, snapshot, {neu} ~ ~~(.1.,-W \ucv Das Ergebnis unseres System zu einem bestimmten Zeitpunkt, hängt also vom Ergebnis des vorherigen Schrittes ab, welcher selbst wieder vom Ergebnis des Schrittes davor abhängt, usw. Dieses Prinzip der Rückkopplung, die sogenannte Iteration, wird häufig zur Berechnung dynamischer Vorgänge benutzt. Untersuchen wir es daher etwas genauer.

Betrachten wir zunächst einmal die Entwicklung der Welt-bevölkerung. Unter der Annahme, daß die Weltbevölkerung ~edes Jahrzehnt um ca. 20% wächst, kann man mit einer einfachen Iteration die Entwicklung vorherberechnen:

Balkendiagramm, leer

Ausgangbasis für die Berechnung ist die heutige Bevölkerungszahl

Balkendiagr-amm mit einem Balken, dann animiert

Um den Wert für das folgende Jahrzehnt zu erhalten, multipli­zieren wir die Ausgangszahl mit 1.2. Multipliziert man nun diesen Wert wiederum mit 1.2, so ergibt sich die Bevölkerungzahl des darauffolgenden Jahrzehnts, usw.

y = a * x mit einblenden

Da in diesem Beispiel der Ausgangswert x jeweils nur mit einem konstanten Faktor a multipliziert wird, um das Resultat y für den nächsten Schritt zu erhalten, handelt es sich hierbei um eine lineare Iteration. Sie führt zu einem bekannten Verhalten: dem exponentiellen Wachstum.

Wir iterieren nun mit einer nichtlinearen Vorschrift y = a * x * * ( 1 - x)

Einblenden: y = a * x * (1 - x)

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Y hängt hier auf nichtlineare Weise vom vorherigen Wert x und einem Parameter a ab. A wird zu Beginn der Iteration gewählt, und bleibt dann im gesamten Verlauf fest.

Um diese Iteration grafisch zu konstruieren, betrachten wir zunächst den Graphen der Funktion, z.B. mit dem Parameterwert a = 2.5.

Bild der Parabel {nochmal]

Diese Funktion wird logistische Parabel genannt. Als Konstruktionshilfe fügen wir die Winkelhalbierende ein.

Parabel mit WH {nochmal]

Starten wir mit dem Wert x = .0.1. Diesen bilden wir mit der Parabel auf die Y-Achse ab und erhalten 0.225 als Ergebnis des ersten Iterationsschritts. Dieses Ergebnis müssen wir nun wieder an der X-Achse antragen um die Iteration mit diesem Wert fortzuführen. Dazu wird der Wert an der Winkelhalbierenden gespiegelt. Mit diesem neuen X-Wert kann die Iteration nun fortgeführt werden.

Jeweils synchron mit Grafik {nochmal] /'! ,1'iyf~

Man sieht, daß diese Hilfslinien für die Konstruktion unnötig sind.

2 Linien blinken lassen, dann löschen, {nochmal]

Man k?nn sie also bei der folgenden Iteration weglassen.

graph. Anim., {nochmal]

Deutlich erkennt man bei diesem kleinen Wert des Parameters a, daß sich nach einiger Zeit das Iterationsergebnis einem festen Wert nähert, dem sogenannten FIXPUNKT. Die jeweiligen Ergebnisse der Iteration lassen sich auch in einem Diagramm darstellen. Nach einer gewissen Iterationsdauer, unterscheiden sich die Werte kaum noch, der Fixpunkt wird deutlich.

graph. Animation im Diagramm, {neuj

' Nun erhöhen wir den Wert des Parameters a auf 3.2. Die Parabel ist nun höher und dadurch steiler geworden.

graph. Anim. vorher - nachher, _{neul]

Die Iteration wird wieder bei 0.1 gestartet.

Animation, {nochmal]

Der Fixpunkt im vorigen Beispiel ist verschwunden, stattdessen oszilliert das System nach einiger Zeit zwischen zwei Werten.

die Fixpunkte zeigen {neu}

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Auch in diesem Fall ist die Periode im Diagramm gut zu erkennen.

Animiertes Diagramm {neu}

Wenn a nun weiter vergrößert wird, z.B. auf 3.5, so wird die Parabel noch höher.

Graph. _Animation, vorher- nachher~ Iteration {neu, nochmal]

Aus den 2 Fixpunkten von vorher, haben sich nun 4 entwickelt. Die Iteration oszilliert also zwischen 4 Werten. Bei weiterer Erhöhung von a ergeben sich dann LS, dann 16 Fixpunkte p sw. Dieses Verhalten heißt Periodenverdopplu~ - .

Für einen Wert von a, der größer ist als 3.7, z.b. für a=4 erhalten wir ein bis dahin unbekanntes Verhalten: es ist nicht mehr periodisch. Das System kommt in einem bestimmten Intervall jedem Wert beliebig nahe.

Animation {nochmal]

Das System zeigt also in ·diesem Fall nach jedem Zeitschritt ein anderes Ausgangssignal und wiederholt sich nie. Auch im Diagramm ist keine Regelmäßigkeit mehr zu erkennen.

Animiertes Diagramm {neu]

Dies ist bereits eine sehr komplexes Verhalten für eine so einfache Funktion.

2.3 Chaos

Betrachten wir nun einmal gleichzeitig die Entwicklung zweier hebeneinanderliegender Startwerte, die sich also im Wert nur sehr wenig unterscheiden.

Animation mit zwei Farben {neu}

Zunächst verläuft die Entwicklung ähnlich.

Animation mit zwei Farben {neu}

Aber nach etwa ... Zyklen hat der Verlauf der beiden Iterationsschienen nichts mehr miteinander gemeinsam. Dieser Effekt, die empfindliche Abhhängigkeit von den Anfangsbedingun­gen, führt zum deterministischen Chaos. Selbst wenn der Startpunkt auf 10 Stellen hinterm Komma genau bekannt ist, so führen Unterschiede in der 11. Stelle bereits nach ca. 50 Iterationsschritten zu völlig unterschiedlichen Ergebnissen.

In Experimenten sind die Anfangsbedingungen meist wesentlich weniger genau bekannt. Damit sind Vorhersagen schon nach kurzer Iterationszeit unmöglich, weil die Ergebnisse praktisch zufällig sind.

Dies ist wohl der Ursprung für die Bezeichnung des Phänomens: Deterministisches Chaos.

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3. Mehrdimensionale Systeme

Bereits eindimensionale nichtlineare Systeme, die somit nur von einer Variablen x abhängen, zeigen also schon extrem komplexes Verhalten.

Schema 3.I: I dim-Kreislauf

Als Nichtlinearität tritt aber nicht nur die log. Parabel auf, sondern beliebige, nichtlineare Funktionen.

Schema 3.2: I dim-Kreislauf mit anderer NL dazu

Wenn zwei solcher eindimensionaler Systeme gekoppelt werden, ergibt sich ein zweidim. System. Logischerweise sind deren Eigenschaften noch komplizierter.

Schema 3.3: 2 dim-Kreislauf

In der Natur treten noch wesentlich hochdimensionalere Systeme auf. Viele tausende von Größen sind hier nichtlinear miteinander verknüpft und bilden ein kaum mehr durchschaubares Netzwerk.

Schema 3.4: Vieldim-Kreislauf

4. Optische RUckkopplung als Modell

Hier kommt uns der optische Rückkopplungskreislauf zu Hilfe. Jeder Bildpunkt des Monitors entspricht einer Variable, deren Wert ~urch die Helligkeit und Farbe des Punktes ausgedrückt wird.

Schema I.3: TV-opt. R-Systems

Als Nichtlinearität befindet sich die logistische Parabel im Kreislauf.

Dieses Bild zeigt einen Fixpunkt des Rückkopplungssystems für einen niedrigen Wert des Parameters a. Wie in der eindimensionalen Iteration ist das Ergebnis zeitlich konstant.

SW-Chaos, nicht chaotisch {neu]

Jetzt WUrde h ''ht D M . . 't b' ld . 11' t . ( F. ~Ct..k-1?. a er o . as on1 or 1 osz1 1er , e1n 1xzy us , tritt auf.

SW-Chaos, oszillierend {neu]

Eine weitere Erhöhung von a bringt im Gegensatz zum eindimen­sionalen Fall nicht nur zeitliches Chaos, sondern auch räumliches Chaos. Nicht nur die zeitliche Entwicklung der Bilder ist also von Interesse, sondern gerade die Strukturen die erzeugt werden. Im Gegensatz zu langen Zahlenkolonnen auf einem Blatt Papier, können die komplexen Muster in dieser bildhaften Darstellung vom Gehirn problemlos erfaßt werden.

SW-Chaos {IO:II:OB oder besser neu}

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Bisher werden die Zahlen nur durch Grauwerte dargestellt. Dabei wird Schwarz der 0 zugeordnet, 1 wird durch Weiß dargestellt und die Werte dazwischen erscheinen als Grautöne.

Graukeil [11:20:07]

Wesentlich sehenswerter werden die Bilder durch eine Falsch­farbendarstellung. Hier werden die Zahlen durch beliebige Farben und Helligkeiten wiedergegeben.

Falschfarbenkeil darunter einblenden [11:~0:27]

So sieht jetzt das Chaos von vorher in Falschfarben aus.

Chaos in Falschfarben [10:17:20]

Dieses dynamische Chaos, jetzt mit anderen Farben, entsteht aus einem fast einheitlichen Anfangsbild. Die Entwicklung sieht man in der Zeitlupe.

Chaos aus leerem Bild, Snapshot [10:29:54] 9.8.j3a, Anfangsbild erst stehen lassen

Da die Kamera den Monitor niemals völlig scharf sieht, erhält jeder Bildpunkt ein wenig Licht von seinen Nachbarpunkten. Dadurch sind die Punkte miteinander gekoppelt.

fokussiertes Chaos (10:30:44] und im weiteren (unscharf werdend)

Ist ~as Bild möglichst scharf, so ist die Kopplung nur auf die unmittelbaren Nachbarpunkte begrenzt. Dadurch ergeben sich feine Strukturen. Stellt man die Kamera unschärfer, so koppeln immer entferntere Punkte miteinander und die Strukturen im Bild werden gröber.

Auch der Abstand der Kamera vom Monitor läßt sich var11eren. Ist sie zu nahe, so sieht die Kamera nur einen Ausschnitt des Monitor. Der Eindruck .entsteht, man würde ins Bild eintauchen.

Kamera zu nah, "Wolken" {neu}

Nun konnen noch eine Reihe unkommentierter Szenen folgen

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s. Computer Simulation

Einen optischen Rückkopplungskreislauf kann man auch im Computer simulieren. Ein im Computer gespeichertes Bild wird rechnerisch Bildpunkt für Bildpunkt iteriert. Die Berechnung und Darstellung eines jeden Bildes benötigt jedoch auf herkömmlichen Computern ein vielfaches der Zeit im Vergleich zum optischen Rückkopplungskreislauf.

Wenn im Compu~er die selben Vorgänge wie vorher simuliert werden, ergeben sich ähnliche, chaotische Bilder.

Chaos [11:01:09]

Ein Vorteil der Berechnung im Computer ist, daß es keine Verzerrungen durch 'Monitorfehler gibt. Dadurch bleiben Symmetrien völlig erhalten. Das Ausgangsbild ist komplett symmetrisch. Diese Symmetrie bleibt während der gesamten Iterationsdauer erhalten, obwohl die zeitliche Entwicklung chaotisch ist.

symmetrisch [10:41:14], startbild stehen lassen

Bei diesem Startbild ist der linke obere Block nur um eine Zeile nach oben und um eine Spalte nach links verschoben. Die daraus entstehende Unsymmetrie macht sich bei der Iteration deutlich bemerkbar. ·

Unsymmetrisch [10:43:14], zunächst startbild stehen lassen

6. Kopplung: Grundlagen

Bis jetzt haben wir Bilder erzeugt, die sich räumlich und zeitlich chaotisch entwickelt haben. Aber das Chaos ist nicht zwangsläufig. Nichtlineare dynamische Systeme zeigen auch oft zeitliche Stabilität und räumliche Ordnung, wie wir sie in der Natur z.B. bei Kristallen, Wolken, Blumen . beobachten.

(schöne Bilder von Frau v.Kolczynski ?)

Auch in unserem optischen Rückkopplungskreis können wir Stabili­tät und räumliche Ordnung erzeugen,

Hier haben wir die Kamera um die optische Achse gedreht:

Bildbeispiele ? g~drehte Kamera,

danach Bildbeispiele: gerechnet zu neuem Thema

Was haben wir anders gemacht, bei den nun nicht mehr chaotischen Experimenten? Die Wechselwirkung zwischen benachbarten · Bildpunkten ist nun anders als vorher: bislang haben wir z. B. die Kamera defokussiert. Dadurch wird ein Bildpunkt etwas un­scharf auf das Kameratarget abgebildet: er gibt etwas Licht an die Nachbarn ab.

Skizze 6.1: scharfer Bildpunkt gibt Intensität an Nachb. ab

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Wenn wir nun ein Fernsehbild in unserem opt. Rückkopplungskreis umlaufen lassen, mit defokussierter Kamera, dann diffundiert das Licht in seine Umgebung, wie ein Tintentropfen in Wasser. Wir nenne~ deshalb diese Kopplung auch 'diffusiv'.

Experiment: 1 Bildpunk't iterativ unscharf abgebildet, gibt langweiligen Matsch)

Nun starten wir nicht nur mit 1 Punkt, sondern mit einem Bild aus mehreren Bildpunkten. Die Diffusion durch die Defokussierung der Kamera führt zur Überlappung und damit zur Kopplung benachbarter Bildpunkte.

Experiment: Bild aus isolierten Punkten wird unscharf iteriert

In diesem Fall überlagern sich einfach die Intensitäten additiv.

Skizze 6.2: Darstellung von add. Kopplung (A+B)

Die Intensität B ergibt sich einfach z. B. als Summe von A und B.

Mit diffusiver K. haben wir in unseren TV­Rückkopplungsexperimenten entweder nur Ausgleich ('konstanter Fixpunkt mit gleichmäßiger Helligkeit) beobachtet, oder Chaos.

Man beobachtet man übrigens auch nie den umgekehrten Vorgang, also die Konzentration von Tinte aus der Mischung. Dies ist ein Bsp. für den 2. HS der Th., der für Systeme gilt, ohne Energiezufuhr von außen. Obergang zu Ordnung, Entropieerniedrigung: Entstehung von geordneten STrukturen im Bild nur durch andere Art von Kopplung.

Eine andere mögliche Art der Kopplung funktioniert so, daß nach der Abbildung die Nachbarintensitäten nicht addiert werden zum betrachteten Punkt, sonqern subtrahiert werden.

Skizze 6.3: Darstellung symbol. B= A-C

hier ergibt sich die Intensität des Bildpunktes B z. B. als Differenz C-B.

(noch c1, c2, Kopplungskonstanten einführen? Auch viel weitere Nachbarschaft möglich, dann gibt es sehr viele . Koppelkoeffizienten. Werden später wichtig, Skizze 6.4)

Die Helligkeit ist natürlich immer eine positive Größe, deshalb kann eine Subtraktion nicht rein optisch durchgeführt werden, sondern nur im Computer. Solche Experimente kann man also zu Hause nicht mehr durchführen. Man benötigt neben der Fernsehkamera und dem Monitor noch einen schnellen Computer, der die Bildpunkte miteinander verrechnet. Das Auftreten von negativen Werten wird durch Addition eines konstanten Untergrundes verhindert.

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Wenn man die Helligkeit eines Bildpunktes nach dem obigen Rezept aus der Differenz seiner Nachbarn ausrechnet, so ergibt sich z.B. aus dem Bild dieser bekannten Dame,

Bild von Mona Lisa, ~o Mark-Schein

dieses Bild.

Bild nach Filterung.

Interessanterweise werden die Zellen unserer Netzhaut mit subtraktiver Kopplung verschaltet, damit wir Kanten in Bildern besser sehen, oder damit kleine Intensitätsunterschiede verstärkt werden. Dieses Prinzip heißt laterale Inhibition.

Die Mühe, diese Kopplungsart zu verwenden, lohnt sich: Subtraktive Kopplung erzeugt viel interessantere Muster, die auch stabil sein können, als diffusive Kopplung:

(Experiment: ~ Punkt wird iterativ mit subtraktiver Koppl. iteriert) {~~:02:39-~~:04:39]

7. Ordnung

Nun verfolgen wir einmal ein System mit einem willkürlichen Startbild, mit der uns bekannten NL (logpar), und mit einer bestimmten Wahl der Kopplungskoeffizienten.

hier Sequenz zeigen

Hier dauert es etwa 20 Umläufe, bis das Bild sich nicht mehr ändert. Das NL Dynamische System hat nahezu einen Fixpunkt, dh. hier, ein stabiles Bild, erreicht.

Wie dieses stabile Bild aussehen wird, sieht man den eingestellten Parametern i. a. (KK, NL, Startbild) nicht an. Man muß es ausprobieren, dh. die Iteration wirklich durchführen.

Wählen wir nun z. B. das gleiche Startbild, aber eine andere ·Kopplung, so entwickelt sich nach vielen Iterationen ein anderer Fixpunkt.

Experiment: gleiches Startbild, andere Kopplung

8. Assoziatives Gedächtnis

Nun lassen wir die Kopplung konstant und variieren das Startbild.

Experimente: zwei wirklich versch. Anfangsbilder

führen auch zu sehr verschiedenen Fixpunkten.

Das System hat also mehrere (i. a. ungeheuer viele) Fixpunkte. Es ist ja auch hochdimensional.

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Nun wird es Zeit, daß wir uns klarmachen, was ein Fixpunkt wirklich ist. Wir symbolisieren dies an der Graphik

Skizze 8.1: Fixpunktgebirge

Unser hochdimensionales NL Rückkopplungssystem kann vereinfacht betrachtet werden, wie eine Kugel, die einem Gebirge rollt. Wenn wir die Kugel an einem bestimmten Startort loslassen, so wird sie ins nächste Tal rollen, und dort im tiefsten Punkt liegen bleiben.

Skizze 8.2: Kugel rollt ins 1. Tal

Die Verbindung zu unserem Rückkopplungskreis ist folgende: Der Startor der Kugel entspricht dem Startbild im Kreislauf. Der stabile Ruhepunkt der Kugel entspricht dem Fixpunkt oder stabilen Bild nach vielen Iterationen.

Es wird nun klar, daß die Wahl eines sehr weit entfernten Startortes zu einem anderen Fixpunkt führt.

Skizze 8.3: anderer Startort zu anderem Tal führend

Die Menge aller startorte (Startbilder), die zum gleichen FP führen, heißt 'Bassin der Anziehung' oder 'Einzugsgebiet des Attraktors'.

Demnach müssen zwei nur leicht verschiedene Bilder, die zum gleichen Einzugsgebiet eines Fixpunktes gehören, auch zu diesem gleichen Fixpunkt laufen.

Insbesondere wird sich natürlich das Bild überhaupt nicht ändern, wenn man als Startort gleich den Fixpunkt gewählt hat. Und ein leicht gestörtes Fixpunkt-Bild sollte zum Fixpunkt zurückwandern, genau wie eine Kugel, die im Talpunkt liegt, und die durch einen Stoß aus dem Gleichgewicht gebracht wird.

Graphik 8.4: Kugel kurz ausgelenkt

Wir wollen diese Überlegungen nun experimentell veranschaulichen:

Als erstes lassen wir nun ein Beispielsystem zu einem Fixpunkt · l~f~:

Experiment: Lauf zum Fixpkt.

Nach etwa 400 It. ist das Bild stabil, dh. ' bei weiteren Umläufen ändert es sich nicht. Nun zerstören wir einen Teil des Bildes, indem wir einen hier gelb dargestellten Balken über das Bild malen. Die Information unter dem Balken ist unwiderbringlich verloren.

Und nun kommt das Verblüffende: wenn wir das gestörte Bild weiter in unserem Rückkopplungskreis umlaufen lassen,

Experiment: Bildregeneration

so heilt die Störung perfekt wieder aus. Der Fixpunkt ist wieder identisch mit dem ungestörten Bild zuvor.

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systeme, _die diese verblüffende Eigenschaft haben, aus unvollständiger und fehlerhafter Information die ungestörte Information perfekt zu -rekonstruieren, nennt man assoziative Speicher. Unser Rückkopplungskreis besitzt die Fähigkeit des Asso_ziativen Gedächtnis. Mit anderen Worten, Objekte können erkannt (klassifiziert) werden, auch wenn sie jeweils eine etwas andere Erscheinungsform haben.

Hierzu noch einige Beispiele für willkürliche Muster .

. Experimente, willk. Muster

Für Anwendungen in der Robotik ist es wichtig, daß man den Fixpunkt definiert vorherbestimmen kann. Das System soll z. B. einen bestimmten Buchstaben 'gelernt' haben, oder ein bestimmtes Gesicht ..•

Experimente: unscharfes wird scharf, Rauschen verschwindet, Störungen heilen aus, falsches Objekt wird nicht rekonstruiert

Wie oben gesagt, ist es sehr schwierig, den Fixpunkt eines NL Systems vorherzusagen oder gar die Parameter so zu wählen, daß ein gewollter FP entsteht.

Das zu können ist Gegenstand der Forschung der NN Theoretiker. ·

Unser OR zeigt also Ass. Ged., kann verallgemeinern, und zeigt damit in gewissem Sinne etwas Intelligenz.

DAmit hat das OR eine Fähigkeit des menschliche Gehirns, auf sehr niedrigem Niveau, modelliert. Gibt es at"so Ähnlichkeiten zwischen der Grunästruktur der Verarbeitung im Gehirn und in unseren RS?

Wenn man das aufs allerwesentlichste reduziert, ja:

Bildpkte =Neuronen, Kopplung= Synapsen

Graphik

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