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Baustatik III – SS 2017

4. Einführung in die Baudynamik

4.1 Allgemeine Vorbemerkungen4.1.1 Bedeutungen der Baudynamik4.1.2 Grundbegriffe und Klassifizierung4.1.3 Modellierung der Bauwerksschwingungen

4.2 Freie Schwingungen4.2.1 Freie ungedämpfte Schwingungen4.2.2 Federzahlen und Federschaltungen4.2.3 Freie gedämpfte Schwingungen

4.3 Erzwungene Schwingungen4.3.1 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen4.3.2 Erzwungene gedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 1

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4.1 Allgemeine Vorbemerkungen

4.1.1 Bedeutungen der Baudynamik

4.1.2 Grundbegriffe und Klassifizierung

4.1.3 Modellierung der Bauwerksschwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Literatur:Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag, 2015.

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Bedeutungen der Baudynamik


Baudynamik befasst sich mit der Berechnung und Beurteilung dynamischbelasteter Bauwerke.

Schwingungen von Bauwerken spielen in der Baudynamik eine besonderswichtige Rolle.

Definition: Als Schwingungen bezeichnet man die Hin- und Her-Bewegungeneines Systems oder Bauwerks.

Der Schwingungsvorgang eines Systems kann durch eine zeitabhängigeFunktion x(t) beschrieben werden. Der Verlauf von x(t) wird häufig auch alsWeg-Zeit-Diagramm bezeichnet.

( )x t

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Können Schwingungen nützlich sein?


Nützliche Schwingungen im Bauwesen:

Betonrüttler zum Verdichten von Beton.

Stemmhammer.

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Wann sind Schwingungen unerwünscht?


Unerwünschte Schwingungen im Bauwesen:

Bauwerksschwingungen infolge von Erdbeben

Bauwerksschwingungen infolge von Wind

Bauwerksschwingungen infolge von Erschütterungen• Bahnerschütterungen• Erschütterungen aus Baubetrieb (z. B. Spundbohlen-Einrütteln)• Industrielle Erschütterungen (KFZ- und Schwerindustrie)

Bauwerksschwingungen infolge von Stoßbelastungen Bauwerksschwingungen infolge von Verkehrslasten (z. B. Brücken unter

LKW- und PKW-lasten)In der Praxis muss der Baudynamiker neben den analytischen und numerischenLösungsstrategien sich auf dem Gebiet der Schwingungsmessungen auskennen.Dynamische Messungen sind für die Erhebung von Eingangsdaten und für dasSystemverständnis unerlässlich (Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Baudynamik).

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Beispiel: Einsturz der Tacoma Narrows Bridge


Die Tacoma Narrows Bridge im US-Bundesstaat Washington (eröffnet am 01.07.1940 undeingestürzt am 07.11.1940) versagte durch selbstinduzierte Schwingungen verursacht durchbestimmte Windbedingungen. Nach ihrem Versagen wurden neue Brücken nicht mehr nurstatisch, sondern auch dynamisch ausgelegt.

Quelle: http://www.computational-acoustics.de/html/bauakustik.html

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Grundbegriffe und Klassifizierung


Schwingungen

Periodische Schwingungen

Zufallsschwingungen oder stochastische

Schwingungen

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1.) Aufteilung nach der Zeitabhängigkeit


Schwingungen

Deterministische Schwingungen


(Sonderfall: Harmonische

Schwingungen)

Transiente (stoßartige)

Schwingungen

Nicht-deterministische Schwingungen

Zufalls-schwingungen

Quelle: http://www.isotildam.de/index.php?id=16

Andere Möglichkeit:

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• Periodische Schwingungen sind Bewegungen, die sich wiederholen.

• Die Zeit T, nach der sich die Bewegung wiederholt, nennt manPeriode oder Schwingungsdauer.

( ) ( )x t T x t



• Die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit nennt man Frequenz.

• Sonderfall: Harmonische Schwingungen

1fT


Einheit: Hz (nach Hertz, 1857-1894) 1Hz = 1/s

( ) sin( )oder

( ) cos( )

x t A t

x t B t


2 2 fT


, : Schwingungsamplitude: Kreisfrequenz A B

Zufallsschwingungen

• Auch als stochastische oder regellose Schwingungen bezeichnet.

• Keine Gesetzmäßigkeit in Zeit.

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Schwingungen

UngedämpfteSchwingungen

Gedämpfte Schwingungen

Angefachte Schwingungen

2.) Aufteilung nach der Dämpfung


Ungedämpfte Schwingungen

• Schwingungsamplitude bleibt während der Schwingung erhalten.

Gedämpfte Schwingungen

• Schwingungsamplitude klingt mit der Zeit ab.

Angefachte Schwingungen

• Schwingungsamplitude nimmt mit der Zeit zu.

• Solche Schwingungen sind instabil.

2.) Aufteilung nach der Dämpfung

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Schwingungen

Freie Schwingungen (Eigenschwingungen)

Erzwungene Schwingungen

3.) Aufteilung nach den äußeren Einwirkungen

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3.) Aufteilung nach den äußeren Einwirkungen


Freie Schwingungen

• Sie werden auch als Eigenschwingungen bezeichnet.

• Keine äußeren Kräfte wirken am System.

• Die dynamischen Eigenschaften eines schwingfähigen Systemswerden durch die Eigenschwingungen beschrieben.

• Die Frequenz einer Eigenschwingung nennt man Eigenfrequenz.

Erzwungene Schwingungen

• Äußere Kräfte (Erregerkräfte) wirken am System.

• Bei Erregerfrequenz (Frequenz der Erregerkraft) = Eigenfrequenzkommt es zur Resonanz, die besonders gefährlich sein kann.

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Schwingungen

LineareSchwingungen

NichtlineareSchwingungen

Lineare Schwingungen sind durch lineare Differentialgleichungenbeschrieben.

Nichtlineare Schwingungen sind durch nichtlineare Differentialglei-chungen beschrieben.

4.) Aufteilung nach der Linearität

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Schwingungen

Einmassenschwinger

Zwei- und Mehrmassenschwinger

Schwingungen kontinuierlicher

Systeme (Kontinua)

u

w

w

Stab

Balken

Platten

5.) Aufteilung nach der Anzahl der Freiheitsgrade

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Modellierung der Bauwerksschwingungen


Quelle:Wriggers, Mnackenhorst, Buermann, Spiess, Löhnert: Technische Mechanik kompakt. 2. Auflage, B. G. Teubner Verlag, 2006.

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Modellierung der Bauwerksschwingungen


0( )( ) sin x ty t yl

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4.2 Freie Schwingungen

4.2.1 Freie ungedämpfte Schwingungen

4.2.2 Federzahlen und Federschaltungen

4.2.3 Freie gedämpfte Schwingungen



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4.2.1 Freie ungedämpfte Schwingungen



Baudynamik (Master) – SS 2017

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Freie ungedämpfte Schwingungen


0mx+cx= 2 0x+ x=Schwingungsgleichung2. Newtonsches Gesetz:

cm

Eigenfrequenz:

Freie Schwingung wird häufig auch als Eigenschwingung bezeichnet. Diedynamischen Eigenschaften eines Systems werden durch die freie Schwingungdes Systems beschrieben.

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Lösung der Differentialgleichung:

Die unbekannten Integrationskonstanten A und B können aus den Anfangs-bedingungen (AB) bestimmt werden.

( ) cos sin( )x t A t B t

0 0

00

(0)

(0)

x x A xvx v B

Anfangsbedingungen:

00( ) cos sin( )vx t x t t

Lösung der Differentialgleichung:

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Alternative Darstellung der Lösung:

( ) cosx t C t Die unbekannten Integrationskonstanten C und können aus den Anfangs-bedingungen (AB) bestimmt werden.

0

0

(0)(0)x xx v

Anfangsbedingungen:

220 0

0

0

/

arctan

C x v

vx

: Schwingungsamplitude: Phasenwinkel

C

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Einfluss des Eigengewichtes:

2 0x+ x=Schwingungsgleichung:

cm

Das Gewicht der Masse hat also keinen Einfluss auf die Schwingung, wenn dieAuslenkung von der statischen Ruhelage xst aus gezählt wird.

Eigenfrequenz:

stmgxc

Statische Ruhelage:

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Andere Beispiele:

1.) Mathematisches Pendel

sin bei 1

sin 0g+ =l

0g+ =l

2 0+ =

gl

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2.) Physikalisches Pendel

sin bei 1

sin 0A +mgl =

0A +mgl =

2 0+ = A

mgl

Trägheitsmoment: A

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4.2.2 Federzahlen und Federschaltungen




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Federkonstanten

FF c l cl


Beispiel: Stab

Federzahl bzw. Federkonstante:

KraftFederzahlVerschiebung

l l

Fl F EAl cEA l l

F

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Federkonstanten


Beispiel: Balken

3

3

48 48 BFl F EIw cEI w l

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Federkonstanten


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Federschaltungen


Charakteristik: Gleiche Verschiebung in den Federn!

1.) Parallelschaltung

1 2F c x c x c x

xx

1 2c c c

Verallgemeinerung: 1 21

...N

N ii

c c c c c

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Federschaltungen


Charakteristik: Gleiche Kraft in den Federn!

2.) Reihenschaltung

1 1 2 2

1 2

F c x c x c xx x x

2x x

1 2

F F Fxc c c

Verallgemeinerung:

1x

1 2

1 1 1c c c

11 2

1 1 1 1 1...N

iN ic c c c c

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Federschaltungen


3.) Kombination von Parallel- und Reihenschaltung

12 1 2c c c

12 3 1 2 3

1 1 1 1 1c c c c c c

12c 3c

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4.2.3 Freie gedämpfte Schwingungen




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Freie gedämpfte Schwingungen


Dämpfungskraft: dF dx

Diese Dämpfungsart nennt man „viskose Dämpfung“ (z.B. Stoßdämpfer im Fahrzeug).

Die Dämpfungskraft Fd wirkt immer entgegengesetzt zu der Geschwindigkeit.

d: Dämpfungskonstante (Einheit: Kraft/Geschwindigkeit)

F

,x x

dFd

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Newton: mx cx dx

0mx dx cx

22 0x x x 2dm

: Abklingkoeffizient

cm

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tx Ae

2 22 0


Exponentialansatz:

Charakteristische Gleichung

22 0x x x

2 2 21,2 1D

D

: Dämpfungsgrad, Lehrsches Dämpfungsmaß

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1.) D>1: Starke Dämpfung

2

1,20

1 (reell)D

1 21 2 1 2

t t t t tx A e A e e Ae A e Lösung:

Kriechbewegung (keine Schwingung)!

1 0 bei , da !t te Ae t

Die Konstanten A1 und A2 können aus den AB bestimmt werden.

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2.) D=1: Aperiodischer Grenzfall

2

1,20

1 (reell)D

1 21 2 1 2

t t tx Ae A te e A A t Lösung:

Kriechbewegung (keine Schwingung)!

1 2( ) 0 bei !tx t e A A t t

Die Konstanten A1 und A2 können aus den AB bestimmt werden.

Der Ausschlag im Grenzfall D=1 klingt schneller als bei starker Dämpfung D>1 ab!

, 2d mc Im Grenzfall D=1:

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3.) D<1: Schwache Dämpfung

2 2

1,20 0

1 1 (komplex)dD i D i

1 21 2 1 2

1 2 1 2 = ( ) cos( ) ( )sin( )

= cos( ) sin( )

d di t i tt t t

td d

td d

x Ae A e e Ae A e

e A A t i A A t

e A t B t

Lösung:

Die Konstanten A und B können aus den AB bestimmt werden.

cos( )tdx Ce t Alternativ:

Die Bewegung ist eine Schwingung!44

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( )

( ) cos( )

( ) cos ( )

cos( )

d

d

td

t Td d d

Ttd

x t Ce t

x t T Ce t T

Ce e t

( )( )

dT

d

x t ex t T

2

( ) 2 2ln( ) 1

dd d

x t DTx t T D

Logarithmisches Dekrement

Das logarithmische Dekrement kann experimentell bestimmt werden. Danach kann D oder dbestimmt werden!

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Abklingkoeffizient D 2 2(2 )

Dämpfungsgrad D

2 2(2 )

Logarithmisches Dekrement 2 2

2

2

21DD


Zusammenfassung: Dämpfung

2dm

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4.3 Erzwungene Schwingungen

4.3.1 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

4.3.2 Erzwungene gedämpfte Schwingungen



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4.3.1 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen




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Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

0 cos( )mx+cx= F t

2 20 cos( )x+ x= x t

( ) ( )h px t x t x t Allgemeine Lösung:

( ) : homogene Lösung( ) : Partikularlösung

h

p

x tx t

Differentialgleichung:

00Fxc

Statische Auslenkung:

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Homogene Lösung:Die homogene Lösung ist gleich der Lösung der ungedämpften freien Schwingung:

( ) coshx t C t

0( ) cospx t x V t Partikularlösung:

: Vergrößerungsfunktion, Amplituden-FrequenzgangV

Durch das Einsetzen der Partikularlösung in die Dgl. kann die Vergrößerungsfunktion V bestimmt werden.

50



Vergrößerungsfunktion:2

2 2 2

11

V

Frequenzverhältnis, Abstimmung:

51


Sonderfälle:

0 0

Statischer Ausschlag!

1V


1.) Statische Belastung:

00( )pFx t xc

52


1

Resonanz tritt auf, wenn die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz ist. In diesem Fall ist die Schwingungsamplitude unendlich groß!

Daher: Resonanz möglichst vermeiden!

V

01( ) sin2px t x t t

Partikularlösung im Resonanzfall:

instabil!


2.) Resonanz:

( )px t

53


Bei sehr hoher Erregerfrequenz keine Antwort vom System! Das System ist nicht mehr in der Lage, auf die Erregung zu reagieren!

0V


3.) Sehr große Erregerfrequenz:

( ) 0px t

54


Die Konstanten C und können aus den Anfangsbedingungen (AB) bestimmt werden.

0cos( ) cos( )h px x x C t x V t

Allgemeine Lösung:


55

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4.3.2 Erzwungene gedämpfte Schwingungen




56


Arten der Erregungen

0 cosEx x t

Mögliche Fälle:

1.) Krafterregung

2.) Federerregung

3.) Dämpfererregung

4.) Unwuchterregung

5.) Fußpunkterregung 2.) 3.)

4.) 5.)

1.)

Für alle 5 Fälle kann eine einheitliche Differential-gleichung bzw. Schwingungsgleichung hergeleitet werden!

57


Erzwungene gedämpfte Schwingungen

02

1 2 cosDx x x x E t

2

1, Fall 1.), 2.): Krafterregung & Federerregung2 , Fall 3.): Dämpfererregung

, Fall 4.), 5.): Unwuchterregung & FusspunkterregungE D

( ) ( )h px t x t x t

Differentialgleichung:

Allgemeine Lösung:

( ) : homogene Lösung( ) : Partikularlösung

h

p

x tx t

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Homogene Lösung:Die homogene Lösung ist gleich der Lösung der freien gedämpften Schwingung. Sie klingt exponentiell ab.

( ) costh dx t Ce t


59


( ) ( )h px t x t

0( ) cospx t x V t

Homogene Lösung:

Partikularlösung:

Nach hinreichend großer Zeit ist xh(t) im Vergleich zu xp(t)vernachlässigbar klein, d.h.,

Die Schwingung bis zu diesem Zeitpunkt tE nennt man Einschwingvorgang!

: Vergrößerungsfunktion, Amplituden-Frequenzgang: Phasenverschiebung, Phasen-Frequenzgang

V


( ) ( ) ( ) ( ), h p p Ex t x t x t x t t t

60


2

2

cos( ) : (- cos 2 sin cos )sin( ) : - sin 2 cos sin 0

t D V Et D

Durch Einsetzen der Partikularlösung in die Differentialgleichung und dann Koeffizienten-Vergleich können die Vergrößerungs-funktion und die Phasenverschiebung bestimmt werden.


...tan ...V

61


2

2tan1D

Vergrößerungsfunktion bzw. Amplituden-Frequenzgang:

Phasenverschiebung bzw. Phasen-Frequenzgang:

2 2 2 2(1 ) 4

EVD


62


Fall 1.) & 2.): V1

Fall 3.): V2

Fall 4.) & 5.): V3


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(0)V (1)V ( )V m ( )m mV

Fall 1.) und 2.) 1 12D

0 21 2D 2

1

2 1D D

Fall 3.) 0 1 0 1 1

Fall 4.) und 5.) 0 1

2D 1 2

1

1 D

2

1

2 1D D

(0) (1) ( )

Fall 1.) – 5.) 0 2

Charakteristische Werte von V() und ():


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Eigenschaften von V1: Fall 1.) & 2.)

1

2 2 21

21

# 0 : Ungedämpfte Schwingungen, Resonanz bei 1.# 1: 1/ 2 , Resonanz bei 1.

# 0,5 : 1/ (2 1 ) bei 1 2 .

# 0,5 : 1 bei 0, Kurven fallen monoton gegen 0.

m m

m m

m m

DD V D

D V D D D

D V

Eigenschaften von V2: Fall 3.)

2Maximum 1 ist unabhängig von und immer bei 1!m mV D

65



Eigenschaften von V3: Fall 4.) & 5.)

3

2 2 23

23

# 0 : Ungedämpfte Schwingungen, Resonanz bei 1.# 1: 1/ 2 , Resonanz bei 1.

# 0,5 : 1/ (2 1 ) bei 1/ 1 .

# 0,5 : 1 bei , Kurven wachsen monoton gegen 1.

m m

m m

m m

DD V D

D V D D D

D V

Phasenverschiebung für alle 5 Fälle:# 0 : Sprung von 0 nach bei 1 (Resonanz).# 1: Niederige Erregerfrequenz, 0, Ausschlag und Erregung in Phase.# 1: Hohe Erregerfrequenz, , Ausschlag und Erregung in Gegenphase.

D

Die Phasenverschiebung gibt an, um wieviel der Ausschlag hinter der Erregung nacheilt!

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