42837701 Spezielle Relativitatstheorie Fur Die Schule

5/11/2018 42837701 Spezielle Relativitatstheorie Fur Die Schule - slidepdf.com

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Relativitätstheorie für

die Schule

Dr. Christian Wagner

Version 1.2

http://www.relativitaetstheorie.com

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Inhalt

Relativität von Raum und Zeit ................................................................................................................. 1

Das Relativitätsprinzip ......................................................................................................................... 1

Aufgaben zum Relativitätsprinzip.................................................................................................... 4

Die Zeitdehnung .................................................................................................................................. 5

Zerfall schneller Teilchen ................................................................................................................. 5

Schnell bewegte Uhren ................................................................................................................... 6

Aufgaben zur Zeitdilatation ............................................................................................................. 8

Konsequenzen aus der Zeitdehnung ................................................................................................. 10

Längenkontraktion ........................................................................................................................ 10

Aufgaben zur Längenkontraktion .................................................................................................. 14

Einfluss der Beschleunigung eines Beobachters ........................................................................... 15

Aufgaben zur Relativität der Gleichzeitigkeit ................................................................................ 22

Herleitung des Lorentz-Faktors ......................................................................................................... 24

Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ............................................................................................... 24

Bewegung eines Lichtstrahls in unterschiedlichen Inertialsystemen ........................................... 25

Koordinaten-Transformationen ........................................................................................................ 28

Spezielle Anlage und Ausrichtung der Inertialsysteme ................................................................. 28

Lorentz-Transformation ................................................................................................................ 28

Galilei-Transformation .................................................................................................................. 30

Aufgaben zu Koordinaten-Transformationen ............................................................................... 31

Bewegung mit Überlichtgeschwindigkeit .......................................................................................... 32

Geschwindigkeitsaddition ................................................................................................................. 33

Bewegung in x-Richtung ................................................................................................................ 33

Allgemeiner Fall ............................................................................................................................. 33

Aufgaben zur Geschwindigkeitsaddition ....................................................................................... 34

Der Dopplereffekt .............................................................................................................................. 35

Klassischer Dopplereffekt .............................................................................................................. 35

Optischer Dopplereffekt ................................................................................................................ 35

Komplexere Aufgaben zur Kinematik ................................................................................................ 39

Kraft, Impuls und Energie ...................................................................................................................... 40

Kraftdefinition bei schnell bewegten Körpern .................................................................................. 40

Gültigkeit von „Kraft = Gegenkraft“ .............................................................................................. 40

Gültigkeit von ......................................................................................................... 41

Kraftdefinition bei schnell bewegten Körpern .............................................................................. 42



2. Newton’sches Axiom ..................................................................................................................... 46

Kraft parallel zur Bewegungsrichtung ........................................................................................... 46

Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung ....................................................................................... 46

Relativistischer Impuls ....................................................................................................................... 47

Kraft parallel zur Bewegungsrichtung ........................................................................................... 49

Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung ....................................................................................... 50

Relativistische, kinetische Energie .................................................................................................... 51

Methode der kleinen Schritte ....................................................................................................... 51

Äquivalenz von Masse und Energie ................................................................................................... 52

Elemente der Allgemeinen Relativitätstheorie ..................................................................................... 54

Das Äquivalenzprinzip ....................................................................................................................... 54

Uhren im Gravitationsfeld ................................................................................................................. 54

Gravitationsrotverschiebung ......................................................................................................... 55

Gravitation und Geometrie ............................................................................................................... 56

Formelsammlung ................................................................................................................................... 58

Lösungen zu den Aufgaben ................................................................................................................... 63

Aufgaben zum Relativitätsprinzip.................................................................................................. 63

Aufgaben zur Zeitdilatation ........................................................................................................... 63



1

Relativität von Raum und Zeit

Lange Zeit glaubte man, dass der räumliche und der zeitliche Abstand zweier Ereignisse absolutenCharakter hat. Man dachte, dass jeder Beobachter bei der Frage, welche Zeit zwischen zwei

Ereignissen vergangen ist, zu demselben Ergebnis kommen muss. Ebenso sollten alle Beobachterdarin übereinstimmen, welcher Abstand zwischen den Orten besteht, an denen die Ereignisseauftraten.

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts stellte man jedoch fest, dass Zeit- und Raummessungen einensubjektiven Anteil haben. Welcher räumliche oder zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissenbesteht, hängt maßgeblich vom Bewegungszustand desjenigen ab, der die Messungen durchführt.

Die von Albert Einstein im Jahre 1905 veröffentlichte Spezielle Relativitätstheorie (SRT) beschreibtzunächst, wie sich die Bewegung eines Beobachters auf dessen Wahrnehmung von Raum und Zeitauswirkt. Im weiteren Verlauf der Theorie zeigt sich dann, dass viele Größen, denen ursprünglich

absoluter Charakter zugesprochen worden war, vom Bewegungszustand des Beobachters abhängen,also relative Größen sind. Zu diesen Größen gehören unter anderem Kraft, Energie, elektrische undmagnetische Felder. Daher leitet sich der Name Relativitätstheorie ab.

Man spricht von der Speziellen Relativitätstheorie, da die Theorie zunächst nur für den Spezialfall gilt,dass keine Gravitationsfelder auftreten. In der Allgemeinen Relativitätstheorie, die im Jahre 1915 vonAlbert Einstein fertiggestellt wurde, wird dann auch der Einfluss von Gravitationsfeldern diskutiert.

Das Relativitätsprinzip

Das grundlegende Element in der SRT ist das Ereignis. Ein Ereignis liegt vor, wenn irgendetwas zueinem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort passiert. Ein Ereignis könnte zum Beispielsein „Um 12 Uhr schlug ein Blitz in die Kirchturmuhr ein.“

Um zu beschreiben, wo und wann ein bestimmtes Ereignis stattgefunden hat, benötigt manBezugspunkte. Die Aussage „Das Ereignis fand an den Koordinaten (5 m; 2 m; 4 m) statt .“ ist sinnlos,solange man nicht weiß, wo sich der Koordinatenursprung befindet und in welche Richtungen dieAchsen des Koordinatensystems verlaufen. Wo sich der Ursprung des Koordinatensystems befindetund in welche Richtungen die Achsen zeigen, ist nicht festgelegt, aber bevor man Orte angeben kann,muss ein Koordinatensystem ausgewählt werden. Damit man auch noch den Zeitpunkt eines

Ereignisses angeben kann, muss man eine Uhr bestimmen, mit der die Zeit gemessen werden soll.

Einen Raum, der mit einem Koordinatensystem und einer Uhr versehen ist, nennt man einBezugssystem. Der Bewegungszustand dieses Raumes ist zunächst nicht näher festgelegt. Der Raumkann rotieren, gleichmäßig beschleunigt sein, sich mit hoher Geschwindigkeit gleichförmig bewegenoder einfach nur ruhen.

Prinzipiell unterscheidet man zwei unterschiedliche Arten von Bezugssystemen: beschleunigte undunbeschleunigte Bezugssysteme. Bei unbeschleunigten Bezugssystemen spricht der Physiker vonInertialsystemen. Häufig werden diese einfach mit IS abgekürzt. Inertialsysteme spielen in der Physikeine große Rolle, denn hier lassen sich Vorgänge oft besonders einfach beschreiben.

Streng genommen ist die Erde kein Inertialsystem, denn sie erfährt vielfältige Beschleunigungen. Daist zum einen die Rotation um sich selbst, zum anderen die Bewegung um die Sonne. Diese



2

Bewegungen sind näherungsweise kreisförmig und damit beschleunigt in dem Sinne, dass sich dieRichtung der Geschwindigkeit ständig verändert.

Die Rotation der Erde hat auch durchaus Auswirkungen auf den Ausgang von Experimenten. AlsBeispiel sei das Foucault’sche Pendel genannt, das seine Schwingungsebene aufgrund der Erdrotation

mit der Zeit verändert. Die auftretenden Beschleunigungen sind jedoch relativ klein, so dass manmeistens die Erde als Inertialsystem betrachten kann.

Inertialsysteme können unendlich viele verschiedene Geschwindigkeitszustände besitzen, denn eskommt ja nur darauf an, dass sich die Geschwindigkeit nicht verändert . Es gibt also Inertialsysteme,die sich relativ zueinander fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Wie wirkt sich die Geschwindigkeiteines Inertialsystems auf die Vorgänge in seinem Inneren aus?

Um diese Frage zu klären, wurden in der Vergangenheit viele Experimente durchgeführt, die dieTatsache ausnutzten, dass die Erde ihren Geschwindigkeitszustand innerhalb eines Jahres starkändert. Die Erde bewegt sich zwar mit einer relativ konstanten Bahngeschwindigkeit von etwa

30 km/s um die Sonne, ändert aber ihre Richtung innerhalb eines halben Jahres um 180°. Wenn siesich im Sommer mit 30 km/s in die eine Richtung bewegt und im Winter mit 30 km/s in dieentgegengesetzte Richtung, dann hat sie ihre Geschwindigkeit insgesamt um 60 km/s verändert.Führt man ein Experiment einmal im Sommer und einmal im Winter durch, so kann man ermitteln,welchen Einfluss die Geschwindigkeit des Bezugssystems auf den Ausgang des Experimentes hat.Oftmals wird in diesem Zusammenhang das Experiment von Michelson und Morley angeführt, beidem untersucht wurde, ob sich Licht zu unterschiedlichen Jahreszeiten unterschiedlich ausbreitet.

Alle diese Experimente haben Folgendes gezeigt: Die Geschwindigkeit eines Inertialsystems hatüberhaupt keinen Einfluss auf den Ablauf von Vorgängen in seinem Inneren.

Diese wichtige Erkenntnis, die für die Entwicklung der SRT eine große Rolle spielt, nennt man dasRelativitätsprinzip.

Relativitätsprinzip

Jedes Experiment nimmt denselben Ausgang, unabhängig davon, ob es ineinem ruhenden oder einem gleichförmig bewegten Raum durchführt wird.

Zur Erinnerung: „Gleichförmig bewegt“ bedeutet, dass der Raum unbeschleunigt ist. Ist der Raumbeschleunigt, kann man das beispielsweise daran feststellen, dass man gegen die Wand gedrücktwird, das heißt, das Relativitätsprinzip gilt hier nicht.

Solange ein Labor seinen Geschwindigkeitszustand nicht verändert, gibt es keine Möglichkeit,innerhalb des Labors zu ermitteln, dass man sich überhaupt bewegt, selbst dann nicht, wenn sich dasLabor fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegt: Jedes Experiment, das man durchführt, liefert dasselbeResultat wie wenn man es in einem ruhenden Labor durchgeführt hätte.

Weitere Formulierungen für das Relativitätsprinzip lauten:

Man kann durch kein Experiment feststellen, ob man sich in einem ruhenden Labor befindetoder in einem gleichförmig bewegten Labor, selbst dann nicht wenn die Geschwindigkeitsehr hoch ist.

In allen Inertialsystemen gelten dieselben Naturgesetze. Man kann prinzipiell nicht unterscheiden, ob man sich selbst bewegt oder der Gegenstand,

den man beobachtet.



3

In Inertialsystemen kann es viele verschiedene Beobachter geben, die sich alle an verschiedenenOrten aufhalten. Man macht folgende aus der Erfahrung abgeleitete Annahme:

Alle Beobachter eines Inertialsystems stimmen exakt darin überein, wie der Zustand der Welt ist,unabhängig davon, wo sie sich befinden. Betrachten beispielsweise alle Beobachter dieselbe Uhr,

dann werden alle Beobachter darin übereinstimmen, was die Uhr gerade anzeigt und wie schnell sieläuft. Oder schlagen beispielsweise an zwei verschiedenen Orten Blitze ein, dann werden alleBeobachter darin übereinstimmen, in welchem Abstand die Blitze einschlugen.

Prinzip von der Ortsunabhängigkeit der Beschreibung der Welt (POBW)

Beobachter, die in einem Inertialsystem an verschiedenen Orten ruhen,

beschreiben die Welt in identischer Weise.

Es sei hier angemerkt, dass mit „Beschreibung der Welt“ gemeint ist, wie die Welt tatsächlich ist,

nicht wie sie zu sein scheint. Beispielsweise wird ein Beobachter, der sich weit von einer Explosion

entfernt befindet, diese erst mit einer gewissen Zeitverzögerung bemerken. Die Schallwellen, die von

der Explosion ausgehen, bewegen sich nur mit etwa 300 m/s und auch das ausgesandte Licht hat die

endliche Geschwindigkeit von 300.000 km/s. Der weit entfernte Beobachter wird von der Explosion

also erst später erfahren als der nahe Beobachter. Aber der weit entfernte Beobachter weiß

natürlich, dass Schall und Licht eine gewisse Zeit gebraucht haben, um ihn zu erreichen. Er kann jetzt

rekonstruieren, wann die Explosion tatsächlich stattgefunden hat. Nach dieser Rekonstruktion

stimmt er mit einem nahen Beobachter in allen Details der Beschreibung der Explosion überein.

Grundsätzlich wird in diesem Buch nur beschrieben, wie die Welt ist, nicht wie sie aussieht. Wenn

also später zum Beispiel von einer Längenkontraktion schnell bewegter Körper die Rede ist, dann

bedeutet das, dass schnell bewegte Körper tatsächlich kontrahiert sind, nicht aber, dass man das

auch sieht. Um zu ergründen, was man tatsächlich sieht, müssten auch verschiedene optische

Täuschungen berücksichtigt werden, was die Untersuchung sehr viel schwieriger gestaltet. Im Fall

einer schnell bewegten Kugel ergibt sich tatsächlich, dass diese immer noch wie eine Kugel aussieht,

in Wirklichkeit aber in Bewegungsrichtung gestaucht ist, also keine Kugel, sondern ein Ellipsoid ist.



4

Aufgaben zum Relativitätsprinzip

Aufgabe 1 Erläutern Sie, welche Bewegung ein kräftefreier Körper in den folgendenBezugssystemen ausführt: a) Inertialsystem, b) gleichmäßig beschleunigtes Bezugssystem,

c) rotierendes Bezugssystem

Aufgabe 2 Erläutern Sie ein Experiment, mit dem man feststellen kann, ob man sich in einem

Inertialsystem befindet.

Aufgabe 3 Angenommen, man hat durch geeignete Experimente festgestellt, dass man sich ineinem Inertialsystem befindet. Wie bewegen sich alle anderen Inertialsysteme relativ zu demeigenen Bezugssystem?

Aufgabe 4 Nach dem Relativitätsprinzip dürfte man in einem schnell bewegten Flugzeug beiverdunkelten Fenstern nicht merken, dass man sich bewegt. In der Praxis kann man aber sehr wohlunterscheiden, ob sich das Flugzeug am Boden befindet oder sich mit hoher Geschwindigkeit durchdie Luft bewegt. Erläutern Sie die Ursache und warum kein Widerspruch zum Relativitätsprinzip

vorliegt.



5

Die Zeitdehnung

Zerfall schneller Teilchen

In der Physik sind viele Teilchen bekannt, die nach kurzer Zeit in andere Teilchen zerfallen. Infrüheren Jahrgangsstufen wurde das am Beispiel der Radioaktivität besprochen. Es gibt aber auchElementarteilchen, die nicht stabil sind, wie zum Beispiel die Myonen. Myonen zerfallen nach kurzerZeit in ein Elektron, ein Myonneutrino und ein Antielektronneutrino. Welche Teilchen bei so einemZerfall entstehen, ist hier aber nicht weiter von Bedeutung. Die Geschwindigkeit des Zerfalls wirdmeistens durch die Halbwertszeit beschrieben, die angibt, nach welcher Zeit die Hälfte derAusgangsmenge zerfallen ist. Die Halbwertszeit kann von außen nicht beeinflusst werden. Egal, obman den radioaktiven Stoff auf hohe Temperatur erhitzt oder den Druck verändert, der Zerfall findetimmer mit derselben Geschwindigkeit statt.

Mithilfe von Teilchenbeschleunigern hat man herausgefunden, dass solche Teilchen abererstaunlicherweise länger stabil bleiben, wenn sie sich mit hoher Geschwindigkeit bewegen.Untersucht man den Zerfall bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten v, kann man denLorentz-Faktor γ bestimmen, um den der Zerfall verlangsamt ist. Man findet folgende Formel:

Dabei steht c für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: c = 299.792.458 m/s. Bewegt sich ein Myonalso zum Beispiel mit der Geschwindigkeit 0,4c, dann ergibt sich

Aus Sicht des ruhenden Beobachters zerfallen die Myonen um den Faktor 1,0911 langsamer. Da

ruhende Myonen eine Halbwertszeit von haben, misst man bei den mit 0,4 c bewegten

Myonen eine Halbwertszeit von .

Je näher sich die Geschwindigkeit der Teilchen an die Lichtgeschwindigkeit annähert, desto mehrnähert sich der Faktor γ an unendlich an. Der Funktionsgraph von γ veranschaulicht dies:



6

Auf der horizontalen Achse wurde die Geschwindigkeit des Körpers in Vielfachen der

Lichtgeschwindigkeit angegeben. Für Geschwindigkeiten, die größer als die Lichtgeschwindigkeit sind,

lässt sich γ nicht berechnen, da dann der Ausdruck unter der Wurzel negativ wird. Dies ist schon ein

erstes Indiz dafür, dass sich kein Körper schneller als das Licht bewegen kann. Eine ausführliche

Begründung dieser Tatsache folgt später. (siehe Seite 32)

Schnell bewegte Uhren

Sind grundsätzlich alle Prozesse in schnell bewegten Körpern verlangsamt oder handelt es sich umein Phänomen, das nur den Zerfall ganz bestimmter Teilchen betrifft? Die Anwendung desRelativitätsprinzips gibt hierüber Aufschluss: Man betrachte eine Anzahl von Myonen ( μ- ), die sich ineinem Teilchenbeschleuniger relativ zur Erde mit hoher Geschwindigkeit nach rechts bewegen. EinBeobachter, der relativ zur Erde ruht, wird als „ruhender Beobachter“ bezeichnet. Mit den Myonenzusammen bewege sich eine Uhr und ein weiterer Beobachter. Aus Sicht dieses mitbewegtenBeobachters („bewegter Beobachter“) läuft nach dem Relativitätsprinzip der Zerfall der Myonengenau so ab, als ob die Myonen ruhen würden. Ist die Hälfte der Myonen zerfallen, dann zeigt diemitbewegte Uhr 1,52 μs an, was genau der Halbwertszeit ruhender Myonen entspricht.

Aus Sicht des ruhenden Beobachters dauert es aber länger als 1,52 μs , bis die Hälfte der Myonenzerfallen ist, denn der Zerfall bewegter Teilchen läuft langsamer ab als der Zerfall ruhender Teilchen.Bewegen sich die Teilchen zum Beispiel mit 40% der Lichtgeschwindigkeit, dann dauert es - wie obenberechnet - 1,66 μs, bis im Durchschnitt die Hälfte der Myonen zerfallen ist.

0,00 μs

μ- μ

-

μ- μ

- μ- μ- μ-

μ-

1,52 μs

μ- μ

-

μ

- μ-

3,04 μs

μ-

μ-



7

Das kann also nur bedeuten, dass auch die mitbewegte Uhr langsamer laufen muss als die Uhr, dieder ruhende Beobachter zur Messung verwendet. Da überhaupt keine Annahme über den Aufbauder mitbewegten Uhr gemacht wurde, handelt es sich um einen Effekt, der alle Prozessegleichermaßen betreffen muss - unabhängig davon, ob sie zum Beispiel biologischer, mechanischeroder elektromagnetischer Natur sind. Da jede bewegte Uhr langsamer läuft als eine ruhende Uhr,

kann man sagen, dass die Zeit selbst langsamer vergeht.

Wie nimmt der mitbewegte Beobachter eine Uhr wahr, die relativ zur Erde ruht? Man könnteannehmen, dass für den bewegten Beobachter die ruhende Uhr dann schneller läuft. DasRelativitätsprinzip fordert aber, dass alle Experimente den gleichen Ausgang nehmen - unabhängigdavon, ob sie von einem bewegten oder einem unbewegten Beobachter durchgeführt werden. Dasich aus Sicht des bewegten Beobachters die ruhende Uhr bewegt, muss dieser Beobachter auchwahrnehmen, dass die Uhr langsamer läuft als die eigene, mitbewegte Uhr. Die obige Abbildung istnur aus Sicht des ruhenden Beobachters richtig. Wechselte man in das bewegte Bezugssystem,würden zusätzlich noch weitere Phänomene auftreten.

Zeitdehnung

Bewegt sich eine Uhr relativ zu einem unbeschleunigten Beobachter mit der konstanten Geschwindigkeit v, so läuft diese Uhr aus Beobachtersicht umeinen Faktor γ(v) langsamer als eine vom Beobachter mitgeführte Uhr.

0,00 μs

μ- μ-

μ- μ

- μ- μ

- μ-

μ-

1,52 μs

μ- μ

- μ-

μ-

3,04 μs

μ- μ-

0,00 μs 1,66 μs 3,32 μs



8

Aufgaben zur Zeitdilatation

Einheiten und Abkürzungen:

1 Jahr (a) = 365,25 Tage (d) = 8766 Stunden (h)

Ein Lichtjahr (Lj) ist die Strecke, die Licht in einem Jahr (365,25 Tage) zurücklegt:

Aufgabe 1 In einem Teilchenbeschleuniger werden Ne-25-Ionen auf 80 % der Lichtgeschwin-digkeit beschleunigt. Ne-25 ist ein β

--Strahler und zerfällt mit einer Halbwertszeit von 602Millisekunden. Wie viel Prozent der anfänglichen Ne-25-Ionen sind noch vorhanden, nachdem der

Strahl eine Strecke von 34000 Kilometer zurückgelegt hat?

Aufgabe 2 Beim Menschen dauert eine Schwangerschaft im Durchschnitt 267 Tage. Wie langedauert aus Sicht eines Erdbeobachters eine Schwangerschaft in einem Raumschiff, das sich relativ zur

Erde mit 75% der Lichtgeschwindigkeit bewegt? Wie lange dauert die Schwangerschaft aus Sicht derRaumschiffinsassen?

Aufgabe 3 Wie schnell müsste sich eine Uhr bewegen, damit aus Sicht eines ruhenden

Beobachters zwischen der Anzeige 12:00 Uhr und 13:00 Uhr 1,3 Stunden vergehen?

Aufgabe 4 Proxima Centauri ist der dem Sonnensystem nächstgelegene Stern, ein sogenannterRoter Zwerg der Klasse M, und ist 4,22 Lichtjahre von der Erde entfernt. Peter startet an seinem34. Geburtstag von der Erde aus seine Reise zu diesem Stern. Sein Raumschiff fliegt mit derGeschwindigkeit 250.000 km/s. Wie alt ist Peter bei seiner Ankunft? Wie alt ist PetersZwillingsbruder, der auf der Erde zurückgeblieben ist, zu diesem Zeitpunkt?

Aufgabe 5 In den obersten Atmosphärenschichten (20 Kilometer Höhe) werden proQuadratmeter und Sekunde etwa 250 Myonen erzeugt. Diese bewegen sich dann mit 99,98 % derLichtgeschwindigkeit auf die Erdoberfläche zu. Ruhende Myonen haben eine Halbwertszeit von1,52 Mikrosekunden. a) Angenommen, es gäbe keine Zeitdilatation, wie viele Myonen würden dannpro Quadratmeter und Sekunde auf der Erdoberfläche auftreffen? b) Wie viele Myonen treffen

tatsächlich auf der Erdoberfläche auf?

Aufgabe 6 Die Milchstraße ist eine sogenannte zweiarmige Balkenspiralgalaxie, die aus 100 bis300 Milliarden Sternen besteht. Die Ausdehnung der Milchstraße in der galaktischen Ebene beträgtetwa 100.000 Lichtjahre. Unser Sonnensystem befindet sich am äußeren Rand der Galaxie. Wieschnell müsste man reisen, um von der Erde aus innerhalb von 10 Jahren Eigenzeit an das gegenüber

liegende Ende unserer Galaxie zu kommen?

Aufgabe 7 1971 wurden Atomuhren in Flugzeugen auf eine hohe Geschwindigkeit gebracht unddie Zeitdehnung direkt gemessen. Bei kleinen Geschwindigkeiten (wie sie bei so einem Flug

auftreten) lässt sich der Lorentzfaktor mit folgender Näherungsformel berechnen: .

a) Zeigen Sie, dass der Lorentzfaktor bei einer Geschwindigkeit von 3000 km/h etwa beträgt. b) Wie lange müsste ein Flugzeug mit 3000 km/h fliegen, damit die Uhr im Flugzeug und dieUhr auf der Erde aufgrund der Zeitdilatation eine Differenz von einer Sekunde aufweisen?



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Aufgabe 8 Tim und Tom sind eineiige Zwillinge. Beide starten am gleichen Tag zu einemRaumflug. Tim fliegt zu einem 20 Lichtjahre entfernten Stern, hält sich dort für ein Jahr auf und fliegtzurück zur Erde. Sein Raumschiff fliegt jeweils mit 75 % der Lichtgeschwindigkeit. Tom reist in seinemRaumschiff nur mit 45 % der Lichtgeschwindigkeit zu einem 4,0 Lichtjahre entfernten Stern, hält sichdort für 2,0 Jahre auf und reist mit derselben Geschwindigkeit wieder zurück. Welcher der Zwillinge

ist älter, wenn sie sich auf der Erde wieder treffen? Wie groß ist der Altersunterschied der beiden?

Aufgabe 9 Ein gelegentlich gegen die Existenz von UFOs vorgebrachtes Argument ist dasfolgende: „Der der Sonne am nächsten gelegene Stern ist etwa 4 Lichtjahre entfernt. Die allermeistenSterne des Universums sind aber viele Millionen oder sogar Milliarden von Lichtjahren weit weg.Sollte es in dieser Entfernung von der Erde tatsächlich außerirdische Zivilisationen geben, könntenAußerirdische unmöglich in ihrer eigenen Lebenszeit die Erde erreichen. Eine Reise über eine Streckevon einer Million Lichtjahre dauert schließlich mindestens eine Million Jahre, da man ja nicht

schneller als das Licht reisen kann.“ Nehmen Sie Stellung!



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Konsequenzen aus der Zeitdehnung

Längenkontraktion

Kontraktion in Bewegungsrichtung

Damit die Zeitdehnung nicht zu Widersprüchen führt, muss man annehmen, dass es weitererelativistische Effekte gibt. Alle weiteren Phänomene der SRT können durch die Analyse des

folgenden Beispiels gewonnen werden:

Ein Astronaut fliegt mit seinem Raumschiff zu dem der Sonne nächstgelegenen Stern ProximaCentauri. Proxima Centauri ist etwa 4,2 Lichtjahre von der Erde entfernt. Das Raumschiff erreichtsofort nach dem Start die Reisegeschwindigkeit von 0,75 c und kann auch bei der Ankunft sofortvollständig abbremsen. Die gesamte Reise erfolgt also bei konstanter Geschwindigkeit.

Sicht des ruhenden Beobachters (Erde)

Aus Sicht des ruhenden Beobachters laufen alle Prozesse im Raumschiff verlangsamt ab. Wenn auf der Erde eine Stunde vergeht, dann ist aus Erdsicht auf den Uhren im Raumschiff weniger als eineStunde vergangen.

Die Reise dauert aus Sicht der Erde

Bei Ankunft des Raumschiffs zeigen die relativ zur Erde und Proxima Centauri ruhenden Uhren an,dass seit dem Start des Raumschiffs eine Zeit von 5,6 Jahren vergangen ist. Da es sich aber bewegt,

läuft die Zeit im Inneren des Raumschiffs aus Sicht der Erde langsamer ab. Der Zeitdehnungsfaktorbeträgt

Für den Raumfahrer vergeht deshalb nur die Zeit

Der Astronaut ist während der Reise nur um 3,7 Jahre gealtert. Zur Zeitmessung im Raumschiff werden dabei per definitionem nur Uhren benutzt, die von der Beschleunigung unbeeinflusst sind.Zum Beispiel ist bei instabilen Teilchen in Teilchenbeschleunigern nachgewiesen worden, dass ihreZerfallsrate nur von der Geschwindigkeit, aber nicht von der Beschleunigung abhängt. SolcheTeilchen könnte man nutzen, um die Uhren an Bord des Raumschiffs zu steuern. Natürlich erfülltaber nicht jede Uhr diese Bedingung. Eine Pendeluhr zum Beispiel würde durch die Beschleunigungdes Raumschiffs beeinflusst werden.

Sicht des bewegten Beobachters (Raumschiff)

Wie nimmt der Astronaut selbst die Reise wahr?

In der Wahrnehmung des Astronauten dauert seine Reise nur 3,7 Jahre, also um den Faktor 1,5weniger als die Reise aus Erdsicht dauert. Würde der Abstand zu Proxima Centauri aus Raumschiff-



11

Sicht unverändert 4,2 Lichtjahre betragen, würde der Astronaut eine um den Faktor 1,5 größereGeschwindigkeit von Proxima Centauri messen:

In diesem Beispiel würde er also Proxima Centauri sogar mit Überlichtgeschwindigkeit auf sich zukommen sehen. Es ist sinnvoll, anzunehmen, dass sich Proxima Centauri aus Raumschiff-Sicht auchnur mit 75 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt. Das kann nur dadurch erklärt werden, dass aus Sichtdes Raumschiffs der Abstand zu Proxima Centauri verkürzt ist. Statt der 4,2 Lichtjahre muss derAstronaut einen um den Faktor 1,5 verkürzten Abstand messen und so misst er trotz einer kürzerenZeitdauer der gesamten Reise die gleiche Geschwindigkeit wie ein Erdbeobachter:

Längenkontraktion

Bewegt sich ein Beobachter relativ zu einem Körper mit der Geschwindigkeit v,so ist der Körper für den Beobachter um den Faktor γ in Bewegungsrichtungverkürzt.

Vertiefung Die obige Ableitung beruhte auf der Annahme, dass sich Proxima Centauri aus Raumschiff-Sicht genausoschnell bewegt, wie sich das Raumschiff aus Erdsicht bewegt. Könnte es nicht aber auch sein, dass der Astronautals Abstand auch 4,2 Lichtjahre wahrnimmt, aber eben eine größere Relativgeschwindigkeit zwischen ProximaCentauri und seinem Raumschiff misst?

Folgende Überlegung zeigt, dass sich Proxima Centauri aus Raumschiff-Sicht aber tatsächlich auch mit 75 % derLichtgeschwindigkeit bewegt. Man betrachte zunächst folgende Abbildung:

Das oberste Bild zeigt die Situation aus Sicht von Proxima Centauri. Hier bewegt sich das Raumschiff mit 75 %der Lichtgeschwindigkeit. Der Astronaut sendet nun einen Hilfsbeobachter H1 aus, der sich genau in der Mittezwischen dem Raumschiff und Proxima Centauri aufhält und seine Geschwindigkeit so einrichtet, dass sowohldas Raumschiff als auch Proxima Centauri aus seiner Wahrnehmung mit der gleichen Geschwindigkeit auf ihn

Raumschiff Proxima Centauri

Raumschiff Proxima CentauriH1

Raumschiff Proxima CentauriH1H2 H3



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zukommen. Das mittlere Bild zeigt die Situation aus Sicht von H1. H1 sendet nun seinerseits zwei weitereHilfsbeobachter H2 und H3 aus, die sich beide von H1 in entgegengesetzten Richtungen mit der gleichenGeschwindigkeit entfernen. Die Geschwindigkeit ist so gewählt, dass für H2 Proxima Centauri ruhend erscheintund für H3 das Raumschiff. Aus Symmetriegründen ist dies möglich. Da H3 relativ zum Raumschiff ruht, wird erProxima Centauri genauso schnell auf sich zukommen sehen wie der Astronaut - sofern man unterstellt, dass dieMessung der Geschwindigkeit nur vom Bewegungszustand des Beobachters und nicht von seinem Ort

beeinflusst wird (POBW, siehe Seite 3). Der Beobachter H2 ruht relativ zu Proxima Centauri und sieht dasRaumschiff mit 75 % der Lichtgeschwindigkeit auf sich zukommen. Aus Symmetriegründen muss H2 dasRaumschiff genauso schnell auf sich zukommen sehen, wie H3 Proxima Centauri auf sich zukommen sieht.Daraus folgt, dass sich in der Wahrnehmung des Astronauten Proxima Centauri mit 75 % derLichtgeschwindigkeit auf ihn zubewegt.

Kontraktion senkrecht zur Bewegungsrichtung

Wird ein schnell bewegter Körper nur in Bewegungsrichtung oder auch senkrecht dazu kontrahiert?Dazu betrachten wir einen Stab der Länge l und ein Loch, das gerade so groß ist, dass der Stab

hindurch passt:

Stab und das Loch ruhen dabei zunächst. Nun stelle man sich vor, der Stab wird beschleunigt und

man nehme weiterhin an, dass eine Kontraktion senkrecht zur Bewegungsrichtung auftritt. Aus Sichtdes ruhenden Loches stellt sich die Situation dann wie folgt dar:

Der Stab ist verkürzt und passt jetzt noch besser durch das Loch hindurch. Wechselt man jetzt aber indas System des Stabes, bewegt sich das Loch und müsste nach dem Relativitätsprinzip verkürzt sein:

Der Stab würde demnach im Ruhesystem des Loches durch das Loch hindurch passen, imRuhesystem des Stabes aber nicht. Beides kann aber nicht gleichzeitig richtig sein. Die Schluss-



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folgerung ist, dass senkrecht zur Bewegungsrichtung keine Längenkontraktion auftreten kann.

Ergebnis

Senkrecht zur Bewegungsrichtung findet keine Längenkontraktion statt.



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Aufgaben zur Längenkontraktion

Aufgabe 1 Ein Raumschiff bewegt sich mit 40 % der Lichtgeschwindigkeit relativ zur Erde. DieAstronauten vermessen ihr Raumschiff und ermitteln eine Länge von 120 Meter. Wie lang ist das

Raumschiff aus Sicht der Erde?

Aufgabe 2 Wie schnell müsste sich ein Raumschiff bewegen, damit seine Länge aus Sicht einesruhenden Beobachters auf die Hälfte zusammengeschrumpft ist?

Aufgabe 3 Um wie viele Jahre altern die Astronauten in einem Raumschiff, das mit 67 % derLichtgeschwindigkeit zu einem 20 Lichtjahre entfernten Planeten reist? Führen Sie die Berechnungkonsequent im Raumschiff-System durch.

Aufgabe 4 Ein Quader hat in seinem Ruhesystem die Ausdehnungen und . a) Welche Ausdehnungen hat der Körper für einen Beobachter, der sich mit 0,8c inRichtung der x-Achse bewegt? b) Welche Ausdehnung hat der Quader für einen Beobachter, der sich

in der x-y-Ebene mit der Geschwindigkeit 0,8c entlang der ersten Winkelhalbierenden bewegt?

Aufgabe 5 Ein Asteroid bewegt sich aus der Sicht eines Raumschiffs mit 40% derLichtgeschwindigkeit. Die Länge des Asteroiden beträgt aus Raumschiff-Sicht 350 m. Welche Längemisst die Besatzung eines anderen Raumschiffs, das sich in dieselbe Richtung wie das ersteRaumschiff bewegt, aber für das sich der Asteroid nur mit 20 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt?



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Einfluss der Beschleunigung eines Beobachters

Beschleunigung auf eine Uhr zu

Zusammenfassend ist also Folgendes über die Reise nach Proxima Centauri bekannt:

Zunächst einmal schematisch aus Erdsicht:

Die Reise lässt sich in drei Phasen gliedern: Ganz oben die Situation vor dem Start des Raumschiffs.Die Uhr im Raumschiff und die Uhr auf Proxima Centauri werden synchronisiert, also gleichzeitig auf Null gestellt. In der Mitte sieht man die Situation direkt nach der Beschleunigung. Die Beschleunigungsoll hier in sehr kurzer Zeit auf die Endgeschwindigkeit erfolgen. Es wird vereinbart, dass zurZeitmessung nur Uhren verwendet werden, die von der Beschleunigung unbeeinflusst bleiben. Da die

Beschleunigungszeit sehr kurz ist und die Uhr von der Beschleunigung selbst nicht beeinflusst wird,wird die Uhr im Raumschiff nach der Beschleunigung immer noch Null anzeigen. Da sich dasRaumschiff schnell bewegt, ist es kontrahiert dargestellt. Das unterste Bild zeigt die Situation beimErreichen von Proxima Centauri. Während der Reise geht die Raumschiff-Uhr langsamer als dieProxima Centauri-Uhr und zeigt deshalb beim Erreichen von Proxima Centauri auch deutlich wenigeran.

Zum Vergleich die Reise aus Sicht des Astronauten:

Raumschiff

t’ = 0

Proxima Centauri

t = 0

Proxima CentauriRaumschiff

t’ = 0

Proxima Centauri

t = 5,6 a

Raumschiff

t’ = 3,7 a

Raumschiff

t’ = 0

Proxima Centauri

t = 0

Raumschiff

t’ = 0

Proxima Centauri

t = 0

Proxima Centauri

t = 5,6 a

Raumschiff

t’ = 3,7 a



16

Vor der Reise sind beide Uhren synchronisiert und zeigen null an. Dann beschleunigt das Raumschiff sprunghaft (mittleres Bild), wobei für den Astronauten selbst keine Zeit vergeht. Während seinerReise bewegt sich die auf Proxima Centauri stationierte Uhr und ist für den Astronauten deshalbverlangsamt. Proxima Centauri bewegt sich sehr schnell und erscheint dem Astronauten deshalbverkürzt. Im dritten Bild schließlich erreicht das Raumschiff Proxima Centauri. Was die Uhren in

diesem Moment anzeigen, ist schon von der Betrachtung aus Erdsicht bekannt.

An dieser Stelle scheint ein Widerspruch zu entstehen. Wie kann es sein, dass die Proxima-Centauri-Uhr während der Reise langsamer läuft, aber zum Schluss eine größere Zeit anzeigt als die vomRaumschiff mitgeführte Uhr?

Die Lösung muss in der Beschleunigungsphase liegen. Damit es zu keinem Widerspruch kommt, mussdie Proxima-Centauri-Uhr in der Beschleunigungsphase sehr schnell laufen und direkt nach derBeschleunigungsphase schon einen sehr großen Wert anzeigen - und zwar so groß, dass ihre Anzeige(obwohl sie während der Reise langsamer läuft) zum Schluss immer noch größer ist als die Anzeigeder Raumschiff-Uhr.

Welche Zeit zeigt die Uhr direkt nach der Beschleunigungsphase an? Die Reise dauert aus Sicht desAstronauten 3,7 Jahre. Die Proxima-Centauri-Uhr läuft aber um den Faktor γ langsamer. Also nimmtdie Anzeige der Proxima-Centauri-Uhr nur um 3,7 Jahre : γ zu. Danach zeigt sie 5,6 Jahre an. Alsomuss sie direkt nach der Beschleunigungsphase die Zeit 5,6 Jahre - 3,7 Jahre : γ = 3,1 Jahre angezeigthaben. Vollständig verläuft die Reise dann wie unten dargestellt:

Diese Überlegungen sollen nun verallgemeinert werden. Was zeigen Uhren in anderen Entfernungenan? Was zeigt die Uhr an, wenn sich das Raumschiff mit kleinerer oder größerer Geschwindigkeitbewegt?

Folgende Bezeichnungen werden verwendet:

: Geschwindigkeit der Uhr nach der Beschleunigung aus Raumschiff-Sicht

: Abstand der Uhr zum Raumschiff im Ruhesystem der Uhr

: Änderung in der Anzeige der weit entfernten Uhr

Man erhält nach denselben Überlegungen wie oben:

Raumschiff

t’ = 0

Proxima Centauri

t = 0

Proxima Centauri

t = 3,1 a

Raumschiff

t’ = 0

Proxima Centauri

t = 5,6 a

Raumschiff

t’ = 3,7 a



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Dabei gibt der erste Term nach dem Gleichheitszeichen die Reisedauer aus Erd- und Proxima-Centauri-Sicht an und der zweite Term gibt an, wie viel Zeit aus Sicht des Raumschiffs während der

Reise für die Proxima Centauri-Uhr vergangen ist. Dabei tritt der Faktor γ zweimal auf: Einmal gehtdie Raumschiff-Uhr um den Faktor γ langsamer als die Erd-Uhr und dann geht aus Raumschiff-Sichtdie Proxima-Centauri-Uhr wieder um den Faktor γ langsamer als die mitgeführte Uhr.

Der Ausdruck lässt sich weiter vereinfachen:

Beschleunigt ein Beobachter auf eine zunächst relativ zu ihm ruhende Uhr zu, dann läuft aus seiner

Sicht während der Beschleunigungsphase die Zeit auf der Uhr schneller ab. Stellt man sich vor, dassdie Beschleunigung sprunghaft stattfindet und der Beobachter sich nach der Beschleunigung mit derGeschwindigkeit v auf die Uhr zubewegt, dann ist aus Beobachter-Sicht während der

Beschleunigungsphase für die Uhr die Zeit vergangen.

Beschleunigung von einer Uhr weg

Nun soll zusätzlich die Uhr auf der Erde betrachtet werden. Zu Beginn der Reise zeigen Raumschiff-

Uhr und Erd-Uhr die Zeit null an. Am Ende der Reise zeigt die Raumschiff-Uhr die Zeit an. Da

aus Raumschiff-Sicht die Erd-Uhr langsamer läuft, zeigt sie am Ende der Reise die kleinere Zeit

an. Der relativ zu Proxima Centauri ruhende Beobachter misst aber beim Eintreffen des

Raumschiffs eine größere Anzeige auf der Erd-Uhr, nämlich . Ein zweites auf Proxima Centauristationiertes Raumschiff, das beim Eintreffen des ersten Raumschiffes sprungartig auf dieGeschwindigkeit des ersten Raumschiffes beschleunigt, nimmt die Welt genauso wahr wie das ersteRaumschiff (POBW). Aus Sicht des zweiten Raumschiffes müssen also bei diesem Sprung die Erd-Uhren rückwärts laufen. Die Änderung auf der Anzeige der Erd-Uhr beträgt:

Beide Fälle können in einer Formel zusammengefasst werden, wenn man vereinbart, dassGeschwindigkeiten, die von der Uhr wegzeigen, ein negatives Vorzeichen erhalten sollen.

Ergebnis:

Beschleunigt ein Beobachter auf eine vorher ruhende Uhr zu (v > 0) oder vonihr weg (v < 0), dann ändert sich in seiner Wahrnehmung die Anzeige auf der Uhr um

s ist der Abstand zwischen Uhr und Raumschiff aus Sicht der Uhr.



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Vertiefung Welche Veränderung der Anzeige einer entfernten Uhr nimmt ein Beobachter wahr, der sich zunächst mit der

Geschwindigkeit relativ zur Uhr bewegt und dann auf die Geschwindigkeit beschleunigt? Die Entfernung

des Beobachters aus Sicht der Uhr werde mit bezeichnet. Ein Beobachter, der zunächst ruht und dann auf die

Geschwindigkeit

oder

springt, nimmt eine Anzeigenveränderung auf der weit entfernten Uhr um

wahr. Beim Sprung von nach muss sich die Anzeige auf der Uhr somit um

verändern.

Relativität der Gleichzeitigkeit

Man betrachte zwei Uhren, die synchronisiert sind und relativ zu einem Inertialsystem IS ruhen. Indiesem Inertialsystem IS befinde sich außerdem ein zunächst ruhender Beobachter (oberes Bild). DerBeobachter beschleunigt dann von den Uhren weg, sodass er aus Uhren-Sicht die Geschwindigkeit vhat (unteres Bild).

Wie nimmt der Beobachter die Uhren nach der Beschleunigung wahr?

Die Uhren werden sich natürlich von ihm wegbewegen und kontrahiert sein. Der Abstand der Uhrenzum Beobachter wird auch kleiner sein. Aber außerdem werden sie gemäß der oben abgeleitetenFormel unterschiedliche Zeiten anzeigen, da sie unterschiedliche Entfernungen zum Beobachteraufweisen:

Obwohl sich an den Uhren selbst überhaupt nichts verändert hat, zeigen sie unterschiedliche Zeitenan. Die rechte Uhr zeigt eine kleinere Zeit an als die linke Uhr, weil sie weiter vom Beobachterentfernt ist. Man bedenke hier, dass v negativ ist, da die Beschleunigung von den Uhren weg erfolgte.Beide Uhren zeigen negative Zeiten an. Die beiden Ereignisse „Die Uhr 1 zeigt die Zeit 0 an“ und „DieUhr 2 zeigt die Zeit 0 an“ sind im Beobachtersystem direkt nach der Beschleunigung noch nicht

Beobachter

t1 = 0 t1 = 0Beobachter

t1 = 0 t1 = 0Beobachter



19

eingetreten. Da beide Uhren zwar gleich schnell laufen, aber zu Beginn nicht mehr dieselbe Zeitanzeigen, werden die Ereignisse auch nicht mehr gleichzeitig eintreten. Ob Ereignisse als gleichzeitigwahrgenommen werden, hängt also nicht nur von den Ereignissen selbst, sondern auch vomBewegungszustand des Beobachters ab. Ändert ein Beobachter seinen Geschwindigkeitszustand,dann nimmt er Ereignisse als gleichzeitig wahr, die vorher nicht gleichzeitig eingetreten sind.

Nach einer Beschleunigung befindet sich der Beobachter sozusagen in einer neuen Welt, in derEreignisse, die bereits eingetreten waren, noch nicht eingetreten sind und in der andere Ereignisse,die noch nicht eingetreten waren, schon eingetreten sind.

Dieses Phänomen wird als Relativität der Gleichzeitigkeit bezeichnet. „Gleichzeitigkeit“ ist eineEigenschaft, die Ereignisse nicht „an sich“ besitzen. Sie ist eine Eigenschaft, die bestimmte Ereignissefür einen ganz bestimmten Beobachter haben.

Folgende Analogie ist für das Verständnis des Phänomens sehr hilfreich. Man betrachte einen Park, indem neben vielen Bäumen auch ein Weg für Spaziergänger verläuft:

Die beiden Kreise stehen dabei jeweils für einen Baum. Für den Spaziergänger, der sich auf Weg 1

bewegt, erscheinen beide Bäume gleichzeitig am Wegesrand. Bewegt sich der Spaziergänger aber auf einem anderen Weg, dann erscheint zum Beispiel der rechte Baum früher als der linke:

„Gleichzeitiges Erscheinen“ ist also eine Eigenschaft, die die Bäume nicht an sich besitzen, sonderndie nur für ganz bestimmte Wege auftritt. Sehr ähnlich verhält es sich mit Ereignissen in derSpeziellen Relativitätstheorie. Ob zwei Ereignisse für einen Beobachter gleichzeitig sind, hängt davonab, wie sich der Beobachter durch die Zeit bewegt. Ein schneller Beobachter bewegt sich andersdurch die Zeit als ein langsamer Beobachter. Die Eigenschaft „Gleichzeitigkeit“ ist nur beifestgelegtem Bewegungszustand des Beobachters ein sinnvolles Kriterium, um die relative, zeitlicheLage zweier Ereignisse zu beschreiben.

Bisher wurde nur der Fall untersucht, dass der Beobachter direkt auf die Uhr zu beschleunigt.Weitere Untersuchungen ergeben, dass ein Abstand der Uhr senkrecht zur Beschleunigungsrichtung

keinen Einfluss auf die Ganggeschwindigkeit der Uhr ausübt.

Weg 2

Weg 1



20

Ergebnis

Wie stark eine Uhr durch die Beschleunigung des Beobachters in der Zeit vor-

oder zurückläuft, hängt nur vom Abstand zwischen Beobachter und Uhr in

Beschleunigungsrichtung ab. Der Abstand senkrecht zur Beschleunigungs-

richtung hat keinen Einfluss.

Vertiefung Zur Erläuterung dieses Sachverhaltes wird eine Uhr betrachtet, die nur senkrecht zur Beschleunigungsrichtung

einen Abstand aufweist. Im linken Bild sieht man den ruhenden Beobachter und im rechten Bild die Situation

aus Sicht der Uhr nach der Beschleunigung des Beobachters nach rechts.

Zeigt die Uhr aus Sicht des bewegten Beobachters immer noch 12:00 Uhr an oder ist die Uhr aus seiner Sicht inder Beschleunigungsphase vorwärts oder rückwärts gelaufen? Das linke Bild zeigt, wie der Beobachter die Uhrwahrnehmen würde, wenn die Anzeige in der Beschleunigungsphase rückwärts läuft; das rechte Bild zeigt die inder Zeit vorgelaufene Uhr. Die Uhren bewegen sich jeweils nach links, da sie aus Sicht des nach rechtsbeschleunigten Beobachters betrachtet werden.

Man nehme an, es läge der rechte Fall vor: Beim Beschleunigen nach rechts springt die Anzeige auf der Uhr auf einen größeren Wert.

Man stelle sich weiter vor, dass nach der Beschleunigung des Beobachters auch die Uhr nach rechts beschleunigt

wird, so dass sie sich aus Sicht des Beobachters nicht mehr bewegt. Das Beschleunigen der Uhr ändert dabei dieAnzeige nicht, denn es werden per definitionem nur Uhren verwendet, die nicht von Beschleunigungenbeeinflusst werden. Es ergibt sich dann folgendes Bild für den Beobachter:

Der Beobachter beschleunige danach nach links und zwar so, dass er wieder denselben Geschwindigkeitszustanderreicht wie vor seiner ersten Beschleunigung. Aus Symmetriegründen müsste die Uhr wieder in der Zeitvorlaufen:

Beobachter

12:01

Beobachter

11:59 ?

Beobachter

12:01 ?

oder

Beobachter

12:00

Beobachter

12:00



21

Nun wird auch die Uhr wieder nach links beschleunigt, wobei sich ihre Anzeige nicht ändert:

Nach all diesen sprunghaften Beschleunigungen, während derer (idealisiert) keinerlei Zeit vergangen ist,befindet sich der Beobachter im selben Bewegungszustand wie ein Beobachter, der in Ruhe geblieben ist und ausdessen Sicht die hin und her beschleunigte Uhr immer noch 12:00 Uhr anzeigt. Nach dem POBW muss aberauch der beschleunigte Beobachter dann auf der Uhr die Anzeige 12:00 Uhr wahrnehmen. Dieser Widerspruchlöst sich nur auf, wenn es auf der betrachteten Uhr keine Veränderung während der Beschleunigung desBeobachters gibt. Eine vom Beobachter mitgeführte Uhr liefe direkt nach seiner Beschleunigung immer nochsynchron mit der nach oben versetzten Uhr.

Beobachter

12:02

Beobachter

12:02



22

Aufgaben zur Relativität der Gleichzeitigkeit

Aufgabe 1 Wie kann man die Uhren in zwei weit entfernten, relativ zueinander ruhendenRaumschiffen synchronisieren?

Aufgabe 2 Ergänzen Sie in den Abbildungen zur Reise nach Proxima Centauri die Erde samt einerauf der Erde stationierten Uhr. Was zeigt die Erduhr nach dem Abbremsen des Raumschiffs bei der

Ankunft auf Proxima Centauri an?

Aufgabe 3 In einem Inertialsystem IS befinden sich zwei synchronisierte, ruhende Uhren, die inx-Richtung einen Abstand von 100 m haben. Welche Zeitdifferenz zeigen beide Uhren für einenBeobachter in einem Inertialsystem IS’, das sich mit 0,90 c in Richtung der x-Achse von IS bewegt?

Wie groß kann die Zeitdifferenz bei anderen Geschwindigkeiten maximal werden?

Aufgabe 4 Auf dem Mond und auf der Erde schlagen aus Erd- und Mondsicht exakt gleichzeitigMeteoriten ein. Ein Raumschiff, das vom Mond kommt, passiert im Moment des Einschlages auf derErde die Erde mit einer Geschwindigkeit von 0,80 c. Wie lange dauert es aus Sicht der Astronauten

noch, bis der Einschlag auf dem Mond erfolgt? Abstand Erde-Mond: 380.000 km.

Aufgabe 5 Michael Jackson starb am 25. Juni 2009 in Los Angeles. Wie weit müsste man sichmindestens von der Erde entfernt befinden und wie müsste man sich bewegen, damit Michael

Jackson in der eigenen Wahrnehmung noch nicht tot ist?

Aufgabe 6 In einem Inertialsystem IS seien mehrere Uhren angebracht, die aus Sicht von IS zumbetrachteten Zeitpunkt alle die Zeit 12:00 Uhr anzeigen. Die Kamera symbolisiert einen mit demSystem verbunden Beobachter.

a) Der Beobachter beschleunige jetzt nach rechts. Skizzieren Sie die Uhren aus der Sicht des

bewegten Beobachters, wobei Sie alle relativistischen Effekte qualitativ berücksichtigen. b) Statt desBeobachters nach rechts werden alle Uhren gleichzeitig nach links beschleunigt. Wie unterscheidetsich die Wahrnehmung des Beobachters von der aus a)?

Aufgabe 7 Ein Haus besitzt links und rechts zwei Türen, die einen Abstand von 30 m haben. EinStab hat eine Länge von 40 m. Kann man den Stab so stark beschleunigen, dass er aufgrund derLängenkontraktion für einen Moment ganz in das Haus hineinpasst und beide Türen für einenMoment geschlossen werden können? Bedenken Sie auch, wie der Vorgang aus Sicht des Stabesaussieht. In der Literatur ist diese Aufgabe als das „Stab-Haus-Paradoxon“ bekannt.

Aufgabe 8 Von zwei Zwillingen tritt einer eine Raumreise an, bei der er sich relativ zur Erde mit

hoher Geschwindigkeit bewegt, und kehrt nach einiger Zeit zurück. Man könnte jetzt argumentieren,dass jeder der beiden Brüder den jeweils anderen als jünger wahrnehmen müsste, da sich auseigener Sicht jeweils der andere Zwilling mit hoher Geschwindigkeit bewegt hat. Welcher der

http://knol.google.com/k/-/-/1dq1mgqulgll8/gt60r9/abb1%20(2).tif



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Zwillinge ist tatsächlich jünger? In der Literatur ist diese Aufgabe als das „Zwillings-Paradoxon“bekannt.

Aufgabe 9 Im Inertialsystem IS geschehen zwei Ereignisse gleichzeitig, aber 1500 m voneinanderentfernt. In welchem zeitlichen Abstand treten die Ereignisse in dem Inertialsystem IS ’ ein, das sich

parallel zur räumlichen Verbindungslinie der Ereignisse mit 70 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt?

Aufgabe 10 In einem Inertialsystem IS sind hintereinander zwei Beobachter und eine Uhr in einerLinie aufgestellt. Aus Sicht von IS beschleunigen beide Beobachter gleichzeitig auf die Uhr zu. DieBeschleunigung auf die Endgeschwindigkeit erfolge ohne Zeitverzögerung. Da beide Beobachtereinen unterschiedlichen Abstand zur Uhr haben, müsste die Uhr in der Wahrnehmung beiderBeobachter nach der Beschleunigung unterschiedliche Zeiten anzeigen. Bedeutet das, dass dieBeobachter, obwohl sie sich nach der Beschleunigung im selben Bewegungszustand befinden, dieWelt unterschiedlich wahrnehmen?



24

Herleitung des Lorentz-Faktors

Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Man betrachte eine Verfolgungsjagd zweier Raumschiffe. Die Besatzung des verfolgten Raumschiffs Vsieht das angreifende Raumschiff A mit einer Geschwindigkeit von 0,6 c auf sich zukommen. Dabeifeuert Raumschiff A aus einer Bordkanone Photonentorpedos in Bewegungsrichtung ab, die sich ausSicht von Raumschiff A mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Mit welcher Geschwindigkeit bewegensich die Geschosse aus Sicht der Besatzung von Raumschiff V?

Klassisch würde man erwarten, dass sich die Geschosse mit einer Geschwindigkeit von 1,6 cbewegen. Berücksichtigt man die Ergebnisse der SRT, ist das nicht mehr so. Man betrachte zunächstfolgende Abbildung:

Man sieht aus Sicht von Raumschiff A, wie sich das Geschoss zwischen zwei Markierungen mit demAbstand ∆s ausbreitet. Im oberen Bild startet das Geschoss bei der linken Markierung; im unteren

Bild erreicht das Geschoss gerade die rechte Markierung. Da sich das Geschoss mit

Lichtgeschwindigkeit bewegt, benötigt es die Zeit , um von der linken zur rechten Markierung

zu gelangen.

Man wechselt nun in ein Inertialsystem IS’, das sich relativ zu Raumschiff A (das jetzt auch als ISbezeichnet wird) mit 0,6 c nach links bewegt, also entgegengesetzt zur Ausbreitungsrichtung desGeschosses. Hier ist der Abstand zwischen den Markierungen aufgrund der Lorentz-Kontraktionverkürzt und die beiden an den Markierungen angebrachten Uhren laufen nicht mehr synchron. Imfolgenden Bild ist die Situation aus Sicht eines Beobachters gezeigt, der sich bei Start des Torpedosbei der linken Markierung befindet und gleichzeitig mit dem Start des Geschosses nach links auf die

Geschwindigkeit 0,6 c beschleunigt. Für diesen Beobachter laufen die beiden Uhren nicht mehrsynchron. Während sich die Uhr an der linken Markierung bei der Beschleunigung nicht verändert,läuft die Uhr an der rechten Markierung in der Zeit zurück.

t = 0 t = 0



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Die Uhr, die an der rechten Markierung angebracht ist, ändert ihre Anzeige bis zur Ankunft des

Torpedos um . Aus Sicht von IS’ läuft diese Uhr langsamer als eine relativ zu IS’

ruhende Uhr. In IS’ vergeht zwischen Start und Ankunft des Geschosses folgende Zeit t’:

Zur Berechnung der Geschwindigkeit des Geschosses in IS’, muss noch ermittelt werden, welcheWegstrecke das Geschoss zurücklegt. Der Abstand der beiden Markierungen ist einerseits verkürzt,andererseits muss bedacht werden, dass sich aus Sicht von IS’ die beiden Markierungen nach rechtsbewegen und so das Geschoss in IS’ einen größeren Weg als in IS zurücklegt. Insgesamt ergibt sich:

Vereinfacht man noch und berechnet dann, erhält man:

Aus Sicht von Raumschiff V bewegen sich die Geschosse also nicht mit 1,6 c, sondern mit der gleichenGeschwindigkeit, mit der sie sich auch für Raumschiff A bewegten.

Ergebnis:

Ein Körper, der sich in irgendeinem Inertialsystem IS mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, bewegt sich auch in jedem anderen Inertialsystem IS’ mit Lichtgeschwindigkeit.

Bewegung eines Lichtstrahls in unterschiedlichen Inertialsystemen

Als Albert Einstein die Relativitätstheorie aufstellte, waren Experimente zur Zeitdehnung, wie zumBeispiel der verzögerte Zerfall schnell bewegter Myonen, noch nicht bekannt. Es gab aber bereits

starke Indizien dafür, dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem den gleichen Wert cannimmt. Albert Einstein leitete aus dieser Annahme die Formel für die Zeitdehnung ab.

Die Herleitung erfolgt an einem Gedankenexperiment:

In einem Inertialsystem IS wird ein Photon senkrecht nach oben ausgesendet und nach einer Streckel von einem horizontal ausgerichteten, ruhenden Spiegel reflektiert.



26

Das Photon gelangt nach der Zeit

wieder an seinen Ausgangspunkt zurück. Wie würde derselbe Vorgang aus einem Inertialsystem IS ’

aussehen, das zunächst relativ zum Spiegel ruht und dann mit Aussendung des Photons instantannach rechts auf die Geschwindigkeit vB beschleunigt? Es wird angenommen (ohne es näher zubegründen, weil es der Alltagsvorstellung nicht widerspricht), dass der Abstand des Spiegels vomAussendeort des Photons unverändert geblieben ist. Mit bezeichnen wir die Zeit, die der gesamteVorgang in IS’ dauert. Wenn das Photon aus der Sicht von IS’ am oberen Spiegel ankommt, hat diesersich schon um

nach links bewegt. Der Lichtstrahl bewegt sich für die Beobachter in IS’ nicht mehr senkrecht nach

oben, sondern schräg nach links oben:

Das Licht muss also in IS’ einen viel größeren Weg als im Ruhesystem des Spiegels zurücklegen. Dadie Lichtgeschwindigkeit aber in allen Inertialsystemen gleich groß ist, nämlich etwa 300.000 km/s,muss für die Beobachter in IS’ mehr Zeit vergehen, bis das Photon wieder am Ausgangsort ankommt.

Um welchen Faktor

vergrößert sich die verstrichene Zeit? Durch Anwenden des Satzes

von Pythagoras lässt sich die Zeit berechnen:



27

Den Abstand l der beiden Spiegel kann man nun noch durch die Zeit ausdrücken, die das Licht in IS

bis zum Erreichen des oberen Spiegels benötigt:

Für den Lorentz-Faktor ergibt sich dann:



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Koordinaten-Transformationen

In der SRT besteht die Aufgabe oft darin, zu ermitteln, wie ein Vorgang in unterschiedlichenInertialsystemen abläuft. Dazu hat sich folgende Vorgehensweise gut bewährt: Zunächst wird dermeistens komplexe Vorgang in einem Inertialsystem IS in einzelne, wenige Ereignisse zerlegt. Diesen

Ereignissen werden jeweils drei Raum- und eine Zeit-Koordinate zugeordnet. Mithilfe von noch zuermittelnden Gleichungen werden die IS-Koordinaten in IS’-Koordinaten umgerechnet. Man weißdann, wann und wo die Ereignisse in IS’ eintreten und kann beschreiben wie der Vorgang in IS’ abläuft. Ziel der folgenden Überlegungen ist es, diese Gleichungen zu entwickeln, mit denen aus denKoordinaten in IS die Koordinaten im dazu bewegten System IS’ berechnet werden können.

Spezielle Anlage und Ausrichtung der Inertialsysteme

Zur Formulierung der gesuchten Gleichungen ist es nützlich, sich zunächst auf zwei Inertialsysteme ISund IS’ zu beschränken, die sich in genau definierter Weise zueinander verhalten. Die Systemewerden so gewählt, dass sich der Ursprung von IS’ mit der Geschwindigkeit v auf der x-Achse von ISbewegt. Gleichnamige Achsen sollen parallel verlaufen, das heißt die x-Achse von IS’ verläuft parallelzur x-Achse von IS usw. Eine positive Geschwindigkeit bedeutet, dass sich IS’ in Richtung größerwerdender x-Werte bewegt. Umgekehrt zeigt ein negativer Geschwindigkeitswert eine Bewegungvon IS’ entgegen der x-Achsen-Richtung an. Beide Inertialsysteme sind mit Uhren ausgestattet, dierelativ zu dem jeweiligen Inertialsystem ruhen. Die Uhren innerhalb eines Inertialsystems sinduntereinander synchronisiert.

Die Koordinatensysteme der beiden Inertialsysteme sind so ausgerichtet, dass sie zu irgendeinemZeitpunkt in der Vergangenheit oder Zukunft alle exakt übereinander liegen. Die Uhren sind sosynchronisiert, dass in diesem Moment die Uhren in den Ursprüngen der beiden Bezugssysteme 0anzeigen. Es sei noch einmal erwähnt, dass Uhren, die innerhalb von IS’ synchronisiert sind, aus Sichtvon IS nicht mehr synchron laufen (Relativität der Gleichzeitigkeit) und umgekehrt. Sofern nichtsanderes definiert wird, sind mit IS und IS’ in Zukunft immer die so festgelegten Inertialsystemegemeint.

Lorentz-Transformation

Man versetze sich in die Lage eines Beobachters in IS. Am Ort (x,y,z) in IS und zur Zeit t in IS geschiehtein beliebiges Ereignis E. Seine Orts- und Zeitkoordinaten können zu einem 4-Tupel zusammengefasstwerden: E(x,y,z,t). Welche Koordinaten wird ein Beobachter in IS’ diesem Ereignis zuschreiben?Hierfür sind mehrere Effekte zu berücksichtigen:

Seit die Achsen der beiden Bezugssysteme exakt übereinander gelegen haben, ist in IS die Zeitt vergangen. In dieser Zeit hat sich IS’ bewegt, weshalb aus Sicht von IS die Entfernung desEreignisses zum Ursprung von IS’ eine andere sein wird als die Entfernung des Ereignisses zumUrsprung von IS. Diesen Effekt hat man auch bei einer nichtrelativistischen Betrachtung.Nichtrelativistisch ergäbe sich:

Aus Sicht von IS sind die Koordinatenachsen von IS’ um den Faktor γ kontrahiert, das heißt dieMarkierungen liegen dichter beieinander als in IS. Der Abstand zwischen der y ’-Achse und

dem Ereignis ist aus Sicht von IS , in IS’ gemessen ist der Abstand jedoch um den Faktorγ größer. Es gilt also:



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Die Uhr, die im Ursprung von IS’ befestigt ist, läuft aus IS-Sicht um den Faktor γ langsamer alsdie Uhren in IS. Da in IS die Uhren die Zeit t anzeigen, zeigt die Uhr im Ursprung von IS’ die

Zeit t/γ an. Aus IS-Sicht laufen die Uhren in IS’ aber nicht synchron, das heißt die Uhr, die sichan der Position des Ereignisses befindet, zeigt nicht t/γ an, sondern es liegt die bekannte

Synchronisationsdifferenz von vor. entspricht hier der x’-Koordinate des

Ereignisses. Es gilt also:

Die Situation ist in folgender Abbildung dargestellt:

Es ist wünschenswert, die Zeitkoordinate des Ereignisses in IS’ nur mithilfe von IS-Koordinaten, alsonicht mit x’, auszudrücken.

Die y- und die z-Koordinate des Ereignisses ändern sich bei einem Wechsel des Bezugssystems nicht,da ja weder eine Bewegung von IS’ in y- oder z-Richtung erfolgt, noch eine Kontraktion in dieserRichtung existiert. Also gilt: und . Damit kann die Lorentz-Transformation vollständigangegeben werden:

http://knol.google.com/k/-/-/1dq1mgqulgll8/gt60r9/abb53%20(1).tif



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Sind die Orts- und Zeit-Koordinaten eines Ereignisses in IS bekannt, kann mithilfe der Lorentz-Transformation berechnet werden, wann und wo das Ereignis in IS’ stattfindet.

Galilei-Transformation

Es ist an dieser Stelle interessant, zu vergleichen, wie sich diese neuen Transformationsgleichungenvon den vorrelativistischen Gleichungen, der Galilei-Transformation, unterscheiden. Da keineKontraktion der Achsen auftritt, gilt:

. Außerdem wurde klassisch davon ausgegangen,

dass die Zeit eine absolute Größe ist, dass dem Ereignis also in jedem Bezugssystem, dessen Uhrenwie oben beschrieben eingerichtet wurden, die Zeit t zugeordnet wird: t’ = t.

Die Galilei-Transformation lautet demnach:

Für

geht die Lorentz-Transformation in die Galilei-Transformation über, da

gilt.

Für fast alle Anwendungen des Alltagslebens genügt es, die Galilei-Transformation zu verwenden.

Erst wenn die Geschwindigkeit eines Körpers mehrere Prozent der Lichtgeschwindigkeit beträgt, trittdabei ein merklicher Fehler auf.



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Aufgaben zu Koordinaten-Transformationen

Aufgabe 1 Betrachten Sie zwei Inertialsysteme IS und IS’, wie sie in der Herleitung der Lorentz-Transformation beschrieben wurden. Die Relativgeschwindigkeit betrage 200.000 km/s. In IS findetzum Zeitpunkt t = 12 s an den Koordinaten (100 m, 891 m, -654 m) eine Explosion statt. a) Wann und

wo findet dieses Ereignis in IS’ statt? b) Wann und wo würde das Ereignis eintreten, wennrelativistische Effekte nicht berücksichtigt werden?

Aufgabe 2 Betrachtet werden zwei Ereignisse, die in einem Inertialsystem IS die Koordinaten und haben. Weisen Sie nach, dass die Größe in jedem Inertialsystem denselben Wert liefert.

Aufgabe 3 Zeigen Sie, wie man aus der Lorentz-Transformation die Formel für die Zeitdilatationableiten kann.



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Bewegung mit Überlichtgeschwindigkeit

Können sich Körper - oder zumindest Informationen - schneller als das Licht bewegen? Dazubetrachtet man folgende Situation:

Im Inertialsystem IS sind zwei Punkte A und B markiert, die innerhalb von IS ruhen. An dem Punkt A,der im Ursprung von IS liegen soll, startet zum Zeitpunkt 0 eine Information und breitet sich mit derGeschwindigkeit aus. Zur Zeit t erreicht diese Information den Punkt B. Für B gilt auch y = 0 undz = 0. Der Abstand zwischen A und B beträgt demnach

. Man nehme an:

. Zu welchem

Zeitpunkt tritt dann das Ereignis „Die Information kommt am Punkt B an.“ in einem Inertialsystem IS’ ein, das sich in Richtung der x-Achse von IS mit der Geschwindigkeit bewegt? Die Uhr im Ursprungvon IS’ überfliegt beim Aussenden des Signals gerade den Punkt A und wird in diesem Moment auf Null gestellt. Damit erfüllt IS’ die Voraussetzungen, die zur Anwendung der Lorentz-Transformationnötig sind. Es gilt:

Wie folgende Rechnung zeigt, kann man vB < c so wählen, dass t’ = 0 gilt.

Da

angenommen wurde, gilt

. Das heißt, in einem solchen Inertialsystem IS’ kommt die

Information im gleichen Moment am Punkt B an, in dem sie bei A ausgesendet wurde, obwohl zumZeitpunkt t’ = 0 auch in IS’ A und B einen räumlichen Abstand voneinander haben. Erhöht man nundie Geschwindigkeit um einen beliebig kleinen Wert, wird t’ negativ, was bedeutet, dass dieInformation bei B ankommt, bevor sie überhaupt bei A ausgesendet wurde. Im System IS ’ würde dieWirkung also vor der Ursache eintreten. So etwas scheint nicht möglich zu sein. Deshalb muss dieAnnahme falsch sein. Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit ist nicht möglich. Natürlich können sich dann auch massebehaftete Körper nicht schneller als das Lichtbewegen. Eine weitere Untersuchung im Rahmen des dynamischen Teils der SRT zeigt sogar, dass siesich immer ein bisschen langsamer als das Licht bewegen müssen.

http://knol.google.com/k/-/-/1dq1mgqulgll8/gj0xd1/berlichtgeschwindigkeit.tif

http://knol.google.com/k/-/-/1dq1mgqulgll8/gt60r9/abb57.tif

http://knol.google.com/k/-/-/1dq1mgqulgll8/gj0xd1/berlichtgeschwindigkeit.tif



33

Geschwindigkeitsaddition

Bewegt sich ein Körper in einem Inertialsystem mit Lichtgeschwindigkeit, so bewegt er sich für jedeninertialen Beobachter mit Lichtgeschwindigkeit. Die Geschwindigkeit des Beobachters darf also nicht- wie klassisch angenommen - einfach zur Körpergeschwindigkeit dazu addiert werden. Der Grund für

das Versagen dieses sogenannten „Galileischen Geschwindigkeits-Additionstheorems“ bei hohenGeschwindigkeiten besteht darin, dass Längen und Zeiten - im Gegensatz zu dem, was vor 1905angenommen wurde - vom Bewegungszustand des Beobachters abhängig sind. In diesem Abschnittsoll jetzt das richtige Geschwindigkeits-Additionsgesetz abgeleitet werden, dass fortan das„Einsteinsche Geschwindigkeits-Additionstheorem“ genannt wird.

IS’ bewege sich wie üblich mit der Geschwindigkeit in Richtung der x-Achse von IS. Ein Körperhabe in IS die Geschwindigkeit v. Welche Geschwindigkeit hat dieser Körper in IS’?

Bewegung in x-Richtung

Der Körper bewege sich parallel zur x-Achse in IS. Klassisch würde man in IS’ die Geschwindigkeit erwarten, aber bekanntlich ist diese Galileische Geschwindigkeitsaddition falsch. Man nehmean, dass der Körper sich zum Zeitpunkt 0 am Koordinatenursprung befindet, zum Zeitpunkt t erreichter den Punkt (vt,0,0). Diese beiden Ereignisse haben die Ereigniskoordinaten (0,0,0,0) und (vt,0,0,t).Welche Koordinaten haben diese Ereignisse in IS’? Die Lorentz-Transformation liefert die Antwort:

Zur Ermittlung der Geschwindigkeit v’ des Körpers in IS’ muss lediglich die x’-Koordinate durch t’

dividiert werden:

Allgemeiner Fall

Ein Körper befinde sich zur Zeit t = 0 im Ursprung von IS (Ereigniskoordinaten (0,0,0,0)) und bewegesich in IS mit der Geschwindigkeit vx in x-Richtung, mit der Geschwindigkeit vy in y-Richtung und mitder Geschwindigkeit vz in z-Richtung. Zum Zeitpunkt t erreicht der Körper den Ort (v xt,vyt,vzt), diezugehörigen Ereigniskoordinaten lauten also (vxt,vyt,vzt,t). Welche Koordinaten haben diese beidenEreignisse in IS’? Die Lorentz-Transformation liefert:

Daraus lässt sich nun die x’-, y’-, bzw. z’-Komponente der Geschwindigkeit in IS’ berechnen:



34

Bewegt sich der Beobachter entgegen der x-Achse (also entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung desKörpers), muss in den Gleichungen nur durch ersetzt werden. Der Index B bei γB deutet an,dass in die Formel für γ die Beobachtergeschwindigkeit und nicht die Körpergeschwindigkeiteingesetzt wird.

Aufgaben zur Geschwindigkeitsaddition

Aufgabe 1 Ein Raumschiff schießt eine Rakete auf ein feindliches Raumschiff, das sich aus Sichtdes angreifenden Raumschiffs von diesem mit 0,55 c wegbewegt. Aus Sicht des angreifendenRaumschiffs entfernt sich die Rakete nach kurzer Beschleunigungsphase mit 0,70 c. Mit welcherGeschwindigkeit sehen die Astronauten des beschossenen Raumschiffs die Rakete auf sich

zukommen?

Aufgabe 2 Man stelle sich eine relativ zu IS ruhende Lichterkette vor, deren einzelne Lampen ineinem Abstand von 10 Metern angebracht sind. Die Lichterkette erstrecke sich über viele Lichtjahrehinweg. Nacheinander (von links nach rechts) beginnen jetzt die einzelnen Lampen zu leuchten, sodass sich das leuchtende Ende nach rechts zu bewegen scheint. a) In welchem zeitlichen Abstandbeginnen zwei benachbarte Lampen zu leuchten, wenn sich eine scheinbare Geschwindigkeit von1,2 c ergeben soll? b) Ein Inertialsystem IS’ bewege sich relativ zu IS mit der Geschwindigkeit 0,56 cund zwar entgegengesetzt zur Richtung der Bewegung des leuchtenden Punktes der Lichterkette. Inwelchem zeitlichen und räumlichen Abstand erfolgt das Aufleuchten benachbarter Lampen? Mitwelcher Geschwindigkeit scheint sich demnach das leuchtende Ende in IS’ zu bewegen?

Aufgabe 3 In IS bewegt sich ein Körper parallel zur y-Achse mit der Geschwindigkeit . Welche

Geschwindigkeiten hat der Körper in einem Inertialsystem IS’, das sich mit der

Geschwindigkeit in Richtung der x-Achse von IS bewegt? IS und IS’ seien wie üblich orientiert.

Aufgabe 4 In IS bewegt sich ein Körper parallel zur y-Achse mit der Geschwindigkeit

. a) Welche Geschwindigkeit hat der Körper in einem Inertialsystem IS ’, das sich mit der

Geschwindigkeit in Richtung der x-Achse von IS bewegt? b) Welche Geschwindigkeit hätteer in IS’, wenn man relativistische Effekte nicht berücksichtigt?



35

Der Dopplereffekt

Klassischer Dopplereffekt

Der Dopplereffekt ist schon aus der vorrelativistischen Physik bekannt: Wenn sich ein Krankenwagen

mit Sirene von einem Beobachter wegbewegt, dann hört sich die Sirene tiefer an, als wenn sich das

Fahrzeug auf den Beobachter zubewegt. Der Grund liegt darin, dass durch die Bewegung des

Fahrzeuges die Wellenberge der Schallwellen in Bewegungsrichtung näher aneinander rücken und

entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung ihren Abstand vergrößern:

Die Erklärung dafür ist einfach: Jedes Mal wenn ein neuer Wellenberg erzeugt wird, hat sich das

Fahrzeug bereits ein Stück von dem vorherigen Wellenberg wegbewegt. Der Abstand zwischen zwei

Wellenbergen in Richtung Empfänger B ist größer, als wenn der Sender stillstehen würde. Beim

Empfänger treffen die Wellenberge, dann in größeren Abständen ein. Dies äußert sich in einer

erniedrigten Frequenz f. Bewegt sich der Sender auf den Empfänger zu, so ist die Frequenz erhöht.

Optischer Dopplereffekt

Genauso verhält es sich, wenn statt Schallwellen Lichtwellen ausgesendet werden. Zudem soll jetzt

noch berücksichtigt werden, dass sich der Sender auch mit hoher Geschwindigkeit bewegen kann,

wodurch relativistische Effekte auftreten.

Longitudinaler Dopplereffekt

Die Aussendung zweier Wellenberge erfolge im Ruhesystem des Senders im zeitlichen Abstand T.

Aufgrund der Zeitdilatation ist die Aussendung im Beobachtersystem verlangsamt. Zwischen der

Aussendung zweier Wellenberge vergeht hier die Zeit

. Zwischen der Aussendung zweier

Wellenberge hat sich der Sender um weiterbewegt.

Würde der Sender ruhen und Lichtwellen mit der Frequenz aussenden, dann ergäbe sich eine

Wellenlänge von . Aufgrund der Bewegung beträgt die Wellenlänge des Lichtes aber nicht

mehr , sondern . Der Empfänger nimmt demnach eine Frequenz von

wahr.

B



36

Dieses Ergebnis lässt sich etwas vereinfachen, wenn man bedenkt, dass gilt:

Dann folgt:

Ergebnis

Entfernt sich eine Lichtquelle von einem Empfänger mit der Geschwindigkeit v,

wobei sie in ihrem Ruhesystem Licht der Frequenz emittiert, so nimmt der

Empfänger eine erniedrigte Lichtfrequenz wahr.

Bewegt sich der Sender auf den Empfänger zu, muss für v ein negativer Wert

eingesetzt werden.

Transversaler Dopplereffekt

Es wird eine Situation betrachtet, in der sich der Sender senkrecht zur Verbindungslinie Empfänger-

Sender bewegt.

Werden im Ruhesystem des Senders zwei Wellenberge im zeitlichen Abstand T erzeugt, vergeht im

Empfänger-System die Zeit . Wie ändert sich in dieser Zeit der Abstand zwischen Sender und

Empfänger? Bei Aussendung des ersten Wellenberges betrage der Abstand zwischen Beobachter und

Sender . Dieser Abstand sei sehr viel größer als der vom Sender in der Zeit zurückgelegte Weg

s. Wie groß ist der Abstand

des Senders zum Empfänger bei der Aussendung des nächsten

Wellenberges?

Bd



37

Durch Anwendung des Satzes von Pythagoras ergibt sich:

Für sehr kleine gilt folgende Näherungsformel:

Durch Einsetzen einiger Zahlenwerte kann man sich leicht von der Richtigkeit der Formel überzeugen.

Wählt man zum Beispiel , dann ergibt sich (gerundet auf die dritte Nachkommastelle):

Je kleiner x ist, desto genauer ist die Näherung.

Wendet man die Abschätzung auf die Berechnung von an, erhält man:

Bei sehr großem Abstand gilt:

Wird sehr groß, dann wird die Differenz zwischen und beliebig klein. Die Wellenberge

werden somit aus Sicht des Beobachters in konstantem Abstand erzeugt. Sie haben aus Empfänger-

Sicht denselben Abstand, den sie hätten, wenn sich der Sender nicht bewegen und die Wellenbergeim Abstand erzeugen würde. Die Frequenz, die der Empfänger wahrnimmt, ist nur aufgrund der

Zeitdehnung reduziert. Es gilt

.



38

Ergebnis

Bewegt sich ein Sender mit der Geschwindigkeit v senkrecht zur

Verbindungslinie Sender-Empfänger und sendet dabei Licht aus, dann nimmt

der Empfänger das Licht mit kleinerer Frequenz wahr als der Sender. Zwischen

Empfänger-Frequenz und Sender-Frequenz besteht der Zusammenhang:



39

Komplexere Aufgaben zur Kinematik

Aufgabe 1 Ein Stab fliegt mit hoher Geschwindigkeit - wie in der Abbildung dargestellt - schrägauf ein ruhendes Loch zu. Der Stab ist eigentlich größer als das Loch, aber aufgrund der Längen-kontraktion passt er gerade durch. Wie sieht der Vorgang aus Sicht des Stabes aus? Müsste hier nicht

das Loch kontrahiert sein, sodass der Stab gar nicht hindurch passen kann? In der Literatur ist diesesProblem als das „Stab-Loch-Paradoxon“ bekannt.

Aufgabe 2 Ein Raumschiff fliegt von der Erde zu Proxima Centauri und wieder zurück. DieEntfernung beträgt 4,2 Lichtjahre. Aus Raumschiffsicht führt das Raumschiff eine konstante

Beschleunigung von durch. Bis zur Hälfte der Strecke wird das Raumschiff schneller,

danach bremst es mit derselben Beschleunigung ab, sodass es bei der Ankunft am Ziel gerade dieGeschwindigkeit 0 erreicht. Der Rückweg zur Erde soll genauso erfolgen. a) Wie lange dauert dieReise aus Erdsicht? b) Wie lange dauert die Reise in der Wahrnehmung der Astronauten? Wenden Sie

die Methode der kleinen Schritte an. Benutzen Sie dazu ein Tabellenkalkulationsprogramm.



40

Kraft, Impuls und Energie

Kraftdefinition bei schnell bewegten Körpern

Angenommen, ein Körper, der sich schon mit hoher Geschwindigkeit bewegt, werde durch eineruhende Feder in Bewegungsrichtung weiter beschleunigt. Da sich kein Körper schneller als das Lichtbewegen kann und die Beschleunigung des Körpers vermutlich nicht abrupt bei derLichtgeschwindigkeit aufhören wird, muss man davon ausgehen, dass die Beschleunigungkontinuierlich abnimmt. Je größer die Geschwindigkeit des Körpers ist, desto kleiner ist seineBeschleunigung bei derselben äußeren Ursache, zum Beispiel der Dehnung der Feder. Wendet manzur Bestimmung der auf den Körper wirkenden Kraft die Gleichung an (m: Ruhemasse desKörpers), müsste die Kraft bei gleichbleibender Ursache und zunehmender Geschwindigkeit

kontinuierlich abnehmen.

Wie weiter unten gezeigt wird, hätte die so definierte Kraft nicht mehr die Eigenschaft, dass manmithilfe der einfachen, aus der vorrelativistischen Physik bekannten Formel

die

Energieänderung des Körpers ermitteln kann. Zudem würde auch nicht mehr „Kraft = Gegenkraft“ gelten. Üblicherweise beschreitet man einen anderen Weg. Man versucht die Kraft auf schnellbewegte Körper so zu definieren, dass und „Kraft = Gegenkraft“ gelten und nimmt

dafür in Kauf, dass nicht mehr gilt. Welche Beschleunigung eine Kraft auf einen schnellbewegten Körper verursacht, muss dann neu abgeleitet werden. Bei sehr langsam bewegten oder

ruhenden Körpern bleiben wir aber bei der alten Definition der Kraft.

Gültigkeit von „Kraft = Gegenkraft“

Zunächst soll hier nachgewiesen werden, dass bei einer Kraftdefinition über

das

3. Newton’sche Axiom nicht mehr erfüllt ist. Dazu nimmt man zunächst an, dass „Kraft = Gegenkraft“ ganz allgemein erfüllt ist und zeigt dann, dass ein Widerspruch entsteht. Man betrachte zwei Kugeln(beide mit der Ruhemasse m), die zu Beginn in einem Inertialsystem IS ruhen. Die linke Kugel drückt jetzt die rechte Kugel mit einer konstanten Kraft nach rechts. Aufgrund des Wechselwirkungssatzes(von dem wir im Moment annehmen, dass er gilt) erfahren beide Kugeln betragsmäßig gleich große

Beschleunigungen. Nach dem Abstoßen haben beide Kugeln die Geschwindigkeiten v bzw. -v.

IS’ sei ein Inertialsystem, das sich relativ zu IS mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Hiersieht der Vorgang folgendermaßen aus: Beide Kugeln bewegen sich vor der Wechselwirkung mit derGeschwindigkeit v nach links. Welche Geschwindigkeiten die Kugeln nach der Wechselwirkung

haben, lässt sich mithilfe des Einstein’schen Geschwindigkeitsadditionstheorems ermitteln:

http://knol.google.com/k/-/-/1dq1mgqulgll8/uhnf62/srt%20(29).tif



41

Die Geschwindigkeitsänderungen der beiden Kugeln sind in IS’ betragsmäßig unterschiedlich, denndie Kugel 2 ändert ihre Geschwindigkeit um v, die Kugel 1 aber nicht um -v, sondern um einengeringeren Wert.

Zur Berechnung der Beschleunigungen müssen noch die Zeiten bestimmt werden, in der dieGeschwindigkeitsänderungen stattfinden. Obwohl beide Kugeln in IS in derselben Zeit auf dieEndgeschwindigkeit beschleunigt werden, ist dies in IS’ nicht mehr der Fall. Wir nehmen an, dass sich

beide Kugeln zum Zeitpunkt t = t’ = 0 im Ursprung der Koordinatensysteme von IS und IS’ befinden,was den Ereigniskoordinaten (0,0,0,0) entspricht. Nach Abschluss der Beschleunigungen hat die linkeKugel in IS die x-Koordinate -s, die rechte Kugel die x-Koordinate +s. Außerdem ist eine unbekannteZeit t vergangen, die aber für die linke und rechte Kugel gleich groß ist. Diese Ereignisse werden in ISdurch die Ereigniskoordinaten (-s,0,0,t) und (s,0,0,t) beschrieben. Mithilfe der Lorentz-Transformation kann man nun bestimmen, welche Ereigniskoordinaten in IS’ vorliegen. Für die Zeitenergibt sich:

Die Beschleunigung dauert demnach bei der linken Kugel länger als bei der rechten Kugel. Aus Sichtvon IS’ erfährt die linke Kugel also eine kleinere Beschleunigung als die rechte Kugel. Würde man dieKraft auch in IS’ über definieren, dann würde dort nicht „Kraft = Gegenkraft“ vorliegen. Inallen Inertialsystemen gelten aber die gleichen Naturgesetze (Relativitätstprinzip). Nimmt man an,dass in IS ganz allgemein „Kraft = Gegenkraft“ gilt, so müsste dieses Gesetz auch ganz allgemein in IS’ gelten. Da es das aber nicht tut, gilt der Wechselwirkungssatz bereits in IS nicht allgemein, sondernhöchstens näherungsweise für langsam bewegte Körper.

Gültigkeit von

Der Kraftbegriff bedarf offensichtlich bei schnellen Körpern einer Umdefinition, wenn man möchte,dass der Wechselwirkungssatz erfüllt ist. Im Folgenden wird gezeigt, dass bei einer Definition derKraft über auch der bekannte Zusammenhang zwischen Kraft, Verschiebung

und Energieänderung nicht mehr gelten würde. Hierfür muss jedoch zunächst der Energiebegriff präzise definiert werden. Insbesondere darf er nicht auf der Kraftdefinition aufbauen.

Um die kinetische Energie eines schnell bewegten Körpers zu definieren, stelle man sich einenphysikalischen Prozess vor, der die Energie des schnell bewegten Körpers auf einen oder mehrerelangsam bewegte Körper überträgt. Man kann zum Beispiel annehmen, dass der schnell bewegteKörper durch elastische Stöße mit vielen Kugeln abgebremst wird, sodass sich nach dem

Zusammenstoß alle Kugeln und der ursprüngliche Körper nur noch langsam bewegen. Für solcheKugeln ist die Energie definiert und lässt sich über berechnen. Man definiert jetzt die

kinetische Energie des schnell bewegten Körpers als genau so groß wie die Gesamtenergie aller




42

Körper nach den Zusammenstößen. Auch andere physikalische Prozesse sind denkbar: zum Beispielkönnte man den schnell bewegten Körper in einen Wassertank schießen und messen, wie stark dieTemperatur des Wassers zunimmt. Die Energiezunahme des Wassers entspricht dann perdefinitionem der Ausgangsenergie des schnell bewegten Körpers.

Diese Energiedefinition ermöglicht jetzt zumindest experimentell jedem schnell bewegten Körpereine kinetische Energie zuzuordnen. Weiterhin wird unterstellt, dass die so definierte Energie beiallen Prozessen erhalten und somit eindeutig ist. Es spielt keine Rolle, welchen physikalischenProzess man genau verwendet, um die relativistische Energie in eine klassische Energieumzuwandeln, es ergibt sich immer dasselbe Resultat. Wäre dem nämlich nicht so, könnte manzunächst klassische Energie verwenden, um einen Körper auf eine relativistische Geschwindigkeit zubeschleunigen. Danach könnte man den Körper auf zweierlei Arten abbremsen: einmal so, dass vielklassische Energie frei wird und einmal so, dass wenig klassische Energie frei wird. Dann wäre aberauch schon die klassische Energie keine Erhaltungsgröße mehr, worauf es jedoch keinerleiexperimentelle Hinweise gibt.

Nachdem die kinetische Energie eines schnellen Körpers definiert ist, kann nun gezeigt werden, dass

nicht gilt, wenn die Kraft gleichzeitig über definiert wird.

Man betrachte eine Feder, die eine Masse beschleunigt, die sich bereits mit hoher Geschwindigkeit v

bewegt:

Die Energiemenge, die die Feder während des Beschleunigungsvorgangs verliert, hängt nicht davonab, wie schnell sich die Kugel bewegt, sondern nur von der Strecke, um die sich die Feder ausdehnt,

da . Während sich die Feder um die Strecke ∆s streckt, wird die Kugel ebenfalls um die

Strecke ∆s verschoben und nimmt auf dieser Wegstrecke genau die Energiemenge auf, die die Federverliert. Diese Energiemenge ist unabhängig von der Geschwindigkeit der Kugel. Bei großer

Geschwindigkeit wird die Kugel aber weniger stark beschleunigt, weshalb bei einer Kraftdefininitionüber auch die Kraft geschwindigkeitsabhängig würde. Somit kann also alsgeschwindigkeitsabhängige Größe nicht mehr die Energieänderung der Kugel darstellen, da diesegeschwindigkeitsunabhängig ist .

Definiert man also die Kraft auf einen schnell bewegten Körper mithilfe der Formel , gilt dereinfache Zusammenhang zwischen Energiezunahme und Kraft nicht mehr.

Kraftdefinition bei schnell bewegten Körpern

Kräfte parallel zur Bewegungsrichtung

Ausgangspunkt der neuen Definition ist die Kraftdefinition im Ruhesystem IS des Körpers. Dort wird




43

festgelegt: . Man wechselt nun in ein Inertialsystem IS’ und überlegt, wie sich die Kraft

transformieren muss, damit auch in IS’ „Kraft = Gegenkraft“ erfüllt ist.

Man betrachte im System IS den zentralen Stoß einer schnell bewegten Kugel auf eine identische,ruhende Kugel. Zentraler Stoß bedeutet dabei, dass die stoßende Kugel die andere Kugel genau inder Mitte trifft. Aus Symmetriegründen muss sich die gestoßene Kugel dann in dieselbe Richtung inBewegung setzen, in die sich die stoßende Kugel zuvor bewegte. Beide Kugeln sollen die Ruhemasse

m besitzen.

Im ersten Moment des Zusammenstoßes ist die Kraft auf die ruhende Kugel definiert. Solange sichdie Kugel nur langsam bewegt, gilt per definitionem . Welche Kraft wirkt auf die rechteKugel in einem anderen Inertialsystem IS’? Es wird ein ganz spezielles System betrachtet, das sichgenau mit der Geschwindigkeit v nach links bewegt. In diesem Inertialsystem bewegt sich die linkeKugel vor dem Stoß nicht und die rechte Kugel bewegt sich mit der Geschwindigkeit v auf sie zu.

Auf die linke Kugel wirkt in IS’ im ersten Moment der Wechselwirkung aus Symmetriegründendieselbe Kraft F, die in IS auf die rechte Kugel wirkte. Will man, dass in IS ’ „Kraft = Gegenkraft“ gilt,muss man die Kraft auf die rechte Kugel auch als F definieren, also als genauso groß wie die Kraft, dieschon im Ruhesystem IS auf die rechte Kugel wirkt. Die Forderung „Kraft = Gegenkraft“ führt somit dazu, dass sich beim Inertialsystemwechsel von IS nach IS’ die Kraft nicht verändert. Man könnteeinwenden, dass nur ein ganz bestimmter Bezugssystemwechsel betrachtet wurde. DurchVergrößerung der Massen der Kugeln und gleichzeitige Verkleinerung der Geschwindigkeit derstoßenden Kugel lässt sich im ersten Moment der Wechselwirkung dieselbe Kraft F wie vorher beianderer Stoßgeschwindigkeit erzeugen. Wie genau die Massen und die Stoßgeschwindigkeiteingestellt sein müssen, lässt sich experimentell prüfen, da die Kraft auf die ruhende Kugel ja bereitsdefiniert ist. Nach dem Wechsel in das System IS ’’ ergibt sich wiederum, dass sich die Kraft auf dierechte Kugel nicht verändert hat. Egal in welches Inertialsystem man wechselt, die Kraft bleibt

unverändert, solange sich das Inertialsystem nur parallel zur Stoßrichtung der Kugeln bewegt.

Diese Überlegungen legen folgende Kraftdefinition nahe:

Definition

Wirkt auf einen schnell bewegten Körper in Bewegungsrichtung oder

entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung eine Kraft, dann wird diese Kraft als

genauso groß festgelegt wie die Kraft , die im Ruhesystem des Körpers

wirkt:





44

Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung

Es fehlt nun noch die Definition einer Kraft, die senkrecht zur Bewegungsrichtung eines Körpers

wirkt. Man betrachte dazu in einem Inertialsystem IS eine ruhende Umlenkrolle, über der ein(zunächst ruhendes) Seil liegt. Am linken und rechten Ende des Seils greifen zwei betragsmäßig gleich

große Kräfte an, sodass sich das System im Gleichgewicht befindet:

Zieht man kurz an dem Seilende, das nach unten zeigt, wird es danach mit konstanterGeschwindigkeit nach rechts bzw. unten gleiten. Nach einer gewissen Zeit ist das Seil um ∆s nachrechts gerutscht. In diesem Moment wird die Bewegung des Seils gestoppt. Wie ist dieser Vorgangaus energetischer Sicht zu beurteilen? Die Kraft +F hat positive Arbeit verrichtet, die KraftF|| hingegen (genauso viel) negative Arbeit. Die Gesamtenergieänderung beträgt Null.

Man betrachte nun den Vorgang aus einem relativ zur Anordnung nach rechts bewegtenInertialsystem IS’.

Aufgrund der Lorentz-Kontraktion ist das parallel zur Bewegungsrichtung orientierte Seil verkürzt,das senkrecht orientierte Seilstück hingegen nicht. Das Transformationsverhalten von F|| wurde





45

zuvor bereits untersucht. Es gilt: F’|| = F|| = F+. Die Kraft F’+ hingegen ist noch undefiniert. Wirdefinieren F’+ so, dass gilt:

+

+

Daraus folgt:

+ +

+

+

Diese Transformationsregel gilt jedoch nicht allgemein. Dies wird sofort klar, wenn man vom SystemIS’ wieder in das ursprüngliche System IS wechselt, da jetzt die senkrecht orientierte Kraft größer

statt kleiner wird. Man muss also annehmen, dass die Regel nur gilt, wenn IS ein System ist, in demsich der Angriffspunkt der Kraft wie in unserem Beispiel nicht verschiebt.

Definition

Wirkt auf einen schnell bewegten Körper senkrecht zur Bewegungsrichtung

eine Kraft, so wird diese Kraft ausgehend von der Kraft im Ruhesystem +

wie

folgt definiert:

+

+

Zusammenfassung: Allgemeine Kraftdefinition

Für langsam bewegte Körper ist die Kraft über definiert. Die so definierte Kraft hat dieweitere interessante Eigenschaft, dass „Kraft mal Weg“ die Energieänderung darstellt. Würde manbei schnellen Körpern ebenfalls die Kraftdefinition wählen, hätte diese Kraft nicht mehrdiese Zusatzeigenschaft. Ebenso würde der Wechselwirkungssatz nicht mehr gelten. Man wählt

deshalb für bewegte Körper eine andere Kraftdefinition.

Wirkt in seinem Ruhesystem auf einen Körper die Kraft

+

so definieren wir, dass in einem relativ dazu bewegten Inertialsystem IS’ auf den Körper die Kraft

+

wirkt. Dabei beziehen sich die Indizes auf die Bewegungsrichtung von IS’. Die Vorüberlegungen, die

zu dieser Definition geführt haben, lassen zumindest hoffen, dass für die neu definierte Kraft sowohlder Wechselwirkungssatz als auch gilt. Beides bleibt experimentell zu prüfen.



46

2. Newton’sches Axiom

Für langsam bewegte Körper kann man bei Kenntnis der Kraft über die Beschleunigung desKörpers bestimmen. Wie bereits diskutiert wurde, gilt diese Beziehung bei schnell bewegten Körpern

nicht. Es soll nun besprochen werden, wie das 2. Newton‘sche Axiom verallgemeinert werden kann,sodass es auch für schnelle Körper gilt.

Kraft parallel zur Bewegungsrichtung

Man betrachte einen Körper mit der Masse m, der sich in IS’ mit der Geschwindigkeit v’ bewegt und

auf den in Bewegungsrichtung die Kraft F’|| wirkt. Welche Beschleunigung a’ erfährt der Körper in IS’?

Im Ruhesystem IS des Körpers beträgt die Kraft ebenfalls F|| = F’||. Hier ist die Wirkung der Kraftbekannt: a = F/m. Nachdem der Körper in IS über eine Zeit ∆t beschleunigt wurde, besitzt er die

Geschwindigkeit

Mithilfe der Regeln für die Geschwindigkeitsaddition lässt sich die neue Geschwindigkeit und damitdie Geschwindigkeitsänderung in IS’ bestimmen:

Wenn das Zeitintervall ∆t sehr klein gewählt wird, so ist v ebenfalls sehr klein und man macht nur

einen vernachlässigbaren prozentualen Fehler, wenn man den Nenner durch 1 ersetzt:

Das Auflösen nach F’|| ergibt das gesuchte neue 2. Newton‘sche Axiom: Die Trägheit des Körpers, also der Widerstand gegen Beschleunigung, nimmt mit größer werdenderGeschwindigkeit zu. Ein Körper, der die Ruhemasse m hat und sich mit der Geschwindigkeit v bewegt,

scheint, vereinfacht ausgedrückt, die Masse zu besitzen. Je schneller der Körper bereits ist,

umso schwieriger ist es, ihn noch weiter zu beschleunigen.

Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung

Im System IS’ bewege sich ein Körper mit der Geschwindigkeit v’. Senkrecht zur Bewegungsrichtungwirke die Kraft F’

+. Welche Beschleunigung a’ erfährt der Körper?



47

Zur Lösung des Problems wechselt man wieder ins Ruhesystem des Körpers. Dort ist die Kraft um den

Faktor γ(v’) größer. Der Körper erreicht nach einer kurzen Zeitspanne ∆t die Geschwindigkeit

+

+

In IS’ ergibt sich damit die Geschwindigkeitsänderung

+

+

+

+

+

Das Auflösen nach F’+ ergibt das gesuchte neue 2. Newton‘sche Axiom:+

+

Interessant ist, dass sich die Trägheit eines Körpers senkrecht zur Bewegungsrichtung andersverändert als die Trägheit bei Beschleunigung parallel zur Bewegungsrichtung. Bei Beschleunigungensenkrecht zur Bewegungsrichtung scheint die Masse nur zu betragen. Um Verwirrungen zuvermeiden, wird in Zukunft der Begriff „Masse“ nur im Sinne von „Ruhemasse“ verwendet. EinenBegriff wie „relativistische Masse“ benötigt man nicht.

Relativistischer Impuls

Jedem Körper wird in der vorrelativistischen Physik eine Größe „Impuls“ (Formelzeichen )zugeordnet. Der Impuls ist eine sogenannte vektorielle Größe, das heißt man kann ihn durch einenPfeil veranschaulichen. Der Impuls-Pfeil zeigt in Bewegungsrichtung des Körpers und hat den Betrag(die Länge) . Dieser Impuls-Pfeil setzt sich aus 3 Einzelkomponenten zusammen: dem

Impuls in x-Richtung, dem Impuls in y-Richtung und dem Impuls in z-Richtung:

Der Betrag des Gesamtimpulses kann aus den einzelnen Komponenten mithilfe des Satzes vonPythagoras berechnet werden:



48

Situation vereinfacht dargestellt für

Dabei ist v die Gesamtgeschwindigkeit des Körpers.

Mithilfe der Größe „Impuls“ lässt sich in der vorrelativistischen Physik das 2. Newton‘sche Axiom

umformulieren. Für die x-Komponente des Impulses gilt:

Die zeitliche Änderung der x-Komponente des Impulses entspricht gerade der in x-Richtung auf denKörper wirkenden Kraft. Gleiches gilt für die anderen Impulskomponenten. Zusammenfassend also:

Aus dieser Darstellung des 2. Newton‘schen Axioms lässt sich ableiten, wie sich dieImpulskomponenten eines Systems verändern, wenn zwei Körper miteinander wechselwirken. Bei

einer solchen Wechselwirkung treten die Kräfte in jeder Richtung paarweise als Kraft und Gegenkraftauf. Übt der zweite Körper auf den ersten in x-Richtung die Kraft aus, so übt der erste Körper auf

den zweiten die Kraft aus. Gleiches gilt für die beiden anderen Richtungen. Berechnet man die

Impulsänderungen der beiden Körper bei der Wechselwirkung nach der Wechsel-

wirkungszeit ∆t, folgt somit für die x-Richtung wie für die beiden anderen Richtungen:

Die x-Impulsänderung von Körper 1 ist also das Negative der x-Impulsänderung von Körper 2.



49

Die x-Komponente des Systemimpulses bleibt also bei der Wechselwirkung konstant. Gleiches giltwieder für die beiden anderen Komponenten. Zu bedenken ist jedoch, dass diese Ableitung auf derKraftdefinition aufbaut, die nur bei langsamen Körpern gilt.

In der relativistischen Physik definiert man den Impuls etwas anders - aber so, dass er im Fall kleiner

Geschwindigkeiten mit dem klassischen Impuls übereinstimmt: Dabei ist die Gesamtgeschwindigkeit des Körpers.

Wie lautet nun der Zusammenhang zwischen Kraft und Impulsänderung? Man stelle sich einen

Körper vor, der sich in x-Richtung mit hoher Geschwindigkeit bewegt. Auf diesen Körper wirke ineiner beliebigen Richtung eine Kraft. Welche Beschleunigungen diese Kraft verursacht, wurde oben

abgeleitet:

Im nächsten Schritt soll die zeitliche Änderung des relativistischen Impulses mit der auf den Körper

wirkenden Kraft verglichen werden.

Kraft parallel zur Bewegungsrichtung

Zuerst wird ein Körper betrachtet, auf den nur eine Kraft in Bewegungsrichtung wirkt. DerEinfachheit halber stelle man sich vor, diese Bewegung erfolge in x-Richtung. Zu Beginn derBetrachtung (Zeitpunkt t = 0) habe der Körper die Geschwindigkeit v0. Innerhalb eines kleinenZeitintervalls wird sich die Beschleunigung nur wenig ändern. Man kann somit die Beschleunigung fürein sehr klein gewähltes Zeitintervall als konstant annehmen. Die Geschwindigkeit zu einem

bestimmten Zeitpunkt t lässt sich dann folgendermaßen berechnen:

Der x-Impuls wird folglich zeitabhängig:

Es soll die zeitliche Änderung des relativistischen Impulses mit der auf den Körper wirkenden Kraft

verglichen werden. Dies lässt sich mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms leicht durchführen.



50

Ganz oben wurden frei gewählte Ausgangswerte für die Geschwindigkeit des Körpers, seineBeschleunigung, das Zeitintervall, in dem die Beschleunigung erfolgen soll, und seine Massefestgelegt. In der mittleren Zeile wurde zunächst die Geschwindigkeit des Körpers am Ende desZeitintervalls ∆t berechnet. Aus diesen Werten lässt sich die Änderung des relativistischen Impulses∆p während des Zeitintervalls ∆t berechnen. In der letzten Zeile wurde

die auf den Körper wirkende Kraft und seine Impulsänderung pro Zeiteinheit

ermittelt. Beide Werte stimmen überein. Durch Veränderung der Ausgangswerte stellt man fest, dass

diese Übereinstimmung grundsätzlich gilt. Wie im klassischen Fall gilt also:

Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung

Wie verhält es sich mit Kräften, die senkrecht zur Bewegungsrichtung wirken? Wieder nehme manan, der Körper bewege sich zum Zeitpunkt t = 0 mit der Geschwindigkeit v 0 in x-Richtung. Auf den

Körper wirke aber nur eine Kraft in y-Richtung. Man bestimmt die zeitliche Änderung des y-Impulsesund vergleicht sie mit der in y-Richtung wirkenden Kraft. Da die Kraft senkrecht auf derBewegungsrichtung steht, wird dem Körper keine Energie zugeführt. Der Betrag der Geschwindigkeitbleibt demnach konstant, die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich aber. Da der Betrag derGeschwindigkeit konstant bleibt, ändert sich auch während der Zeitspanne ∆t, in der die Kraftwirkt, nicht. Nimmt man wieder an, dass die Beschleunigung in dem kleinen Zeitintervall ∆t konstantist, gilt: und damit:

Es folgt:

+ +



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Also gilt auch hier wieder, dass die zeitliche Änderung des Impulses der Kraft entspricht:

+

+

Nimmt man an, dass bei der Wechselwirkung zweier Körper „Kraft = Gegenkraft“ gilt (was wir tun), so folgt sofort (nach genau der gleichen Argumentation wie im klassischen Fall), dass der relativistischeImpuls eine Erhaltungsgröße ist. Diese Vorhersage kann experimentell sehr gut überprüft werden.

Relativistische, kinetische Energie

Methode der kleinen Schritte

Man betrachte einen Körper der Masse m, der zum Zeitpunkt t = 0 die Geschwindigkeit 0 und den Ort0 hat. Auf diesen Körper soll eine konstante Kraft F wirken, die die Masse immer weiter inBewegungsrichtung beschleunigt. Durch ein numerisches Verfahren wird die Geschwindigkeit v undder Ort s zu einem beliebigen Zeitpunkt bestimmt. Sobald das geleistet ist, kann man die zu einembestimmten Zeitpunkt t zugeführte Energie ( ) mit der Geschwindigkeit v vergleichen undeinen formelmäßigen Zusammenhang herstellen.

Der Zusammenhang zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung wurde bereits oben hergeleitet.Mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms kann nun die Geschwindigkeit und der Ort der Massein Abhängigkeit von der Zeit berechnet werden. Hierfür zerlegt man die Bewegung des Körpers inviele kleine Zeitschritte der Größe ∆t und nimmt an, dass die Beschleunigung innerhalb der

Zeitspanne ∆t konstant ist (Methode der kleinen Schritte, vgl. Jahrgangsstufe 10). Es können dieBewegungsfunktionen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung verwendet werden. Angenommenzu einem beliebigen Zeitpunkt t0 gilt v(t0) = v0 und s(t0) = s0. Wie groß sind Ort und Geschwindigkeit

zum Zeitpunkt t1 = t0 + ∆t? Es gilt:

Um den Ort s1 = s(t1) zu berechnen, ermittelt man zunächst die Durchschnittsgeschwindigkeit imZeitintervall von t0 bis t1. Es gilt dann:

Ein mehrmaliges Anwenden der Gleichungen ermöglicht die Berechnung von Ort undGeschwindigkeit zu jedem beliebigen Zeitpunkt. Im letzten Schritt lässt man vomTabellenkalkulationsprogramm die zugeführte Energie ( ) gegen die Geschwindigkeit vauftragen. Dieses Diagramm vergleicht man anschließend mit dem Graphen der Funktion f mit . Man stellt fest, dass beide Graphen sehr gut übereinstimmen, wenn manbei der numerischen Berechnung das Zeitintervall ∆t klein genug gewählt hat.

Die Formel für die relativistische, kinetische Energie lautet also:



52

Äquivalenz von Masse und Energie

Das wohl bekannteste Ergebnis der SRT ist die sogenannte Äquivalenz von Masse und Energie. Siebesagt zum Beispiel, dass eine zusammengedrückte Feder mehr Masse hat als eine entspannte

Feder. Mithilfe der Formel kann ausgerechnet werden, wie groß der Massezuwachs beientsprechender Energiezunahme ist. Diese Formel soll im Folgenden abgeleitet werden.

Wir betrachten eine punktförmige Masse m, an der zwei (masselose) Federn angebracht sind:

Beiden Federn werden jetzt durch die zwei (mittleren) Kräfte F und -F von außen zusammengedrückt- und zwar so, dass die Masse insgesamt in Ruhe bleibt. Die Krafteinwirkung beginnt und endet alsoauf der linken und rechten Seite des Systems zur selben Zeit. Jede Feder wird um die Strecke sgestaucht, sodass am Ende des Vorgangs die Federn die Länge Null haben. Beim Zusammendrückender Federn wird dem System die Energie zugeführt.

Derselbe Vorgang wird jetzt aus Sicht eines mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegtenBeobachters (IS’) betrachtet. In diesem System (im Folgenden Beobachtersystem genannt) bewegt

sich die Masse samt Federn mit der Geschwindigkeit v nach links. Der Beginn der Krafteinwirkungerfolgte im Massesystem (IS) gleichzeitig. Aus der relativistischen Kinematik ist bekannt, dassEreignisse, die in einem Inertialsystem gleichzeitig stattfinden, in einem relativ dazu bewegtenInertialsystem nicht mehr gleichzeitig stattfinden, wenn die Ereignisse in Bewegungsrichtung einenAbstand voneinander haben. Das ist hier der Fall. Der Abstand beträgt 2s. Die Kraftwirkung endetaber sowohl im Massesystem als auch im Beobachtersystem zum gleichen Zeitpunkt, da die Orte derKrafteinwirkung mit dem Ort der Masse identisch sind.

Zwischen zwei im Massesystem gleichzeitigen Ereignissen besteht im Beobachtersystem derZeitunterschied

Der Beginn der Krafteinwirkung auf die linke und auf die rechte Feder unterscheidet sich im

Beobachtersystem also um

Die Krafteinwirkung auf die rechte Feder beginnt früher als die Krafteinwirkung auf die linke Feder.Da beide Krafteinwirkungen aber gleichzeitig enden (auch im Beobachtersystem), wirkt die rechteKraft also insgesamt länger auf das System ein als die linke Kraft. Deshalb gewinnt das System anImpuls (

), obwohl sich die Geschwindigkeit nicht verändert. Die Impulsänderung im

Beobachtersystem ∆p’ berechnet sich zu

http://knol.google.com/k/-/-/1dq1mgqulgll8/r52k4x/1%20(44).tif



53

Dabei wurde ausgenutzt, dass sich die Kraft beim Wechsel des Inertialsystems nicht verändert. Es gilt:F’ = F. Da sich die Geschwindigkeit des Systems während der Einwirkungszeit der Kräfte nichtverändert, muss die Impulsänderung aus einer Masseänderung des Systems resultieren. Es gilt:

Die Energiezufuhr führt zu einer Zunahme der Masse. Masse ist also nur eine besondereErscheinungsform der Energie. Diesen Zusammenhang bezeichnet man als die Äquivalenz von Masseund Energie. Aufgelöst nach der Energie erhält man eine der berühmtesten Formeln der Physik:

Äquivalenz von Masse und Energie



54

Elemente der Allgemeinen Relativitätstheorie

Das Äquivalenzprinzip

Betrachtet man zwei Körper aus unterschiedlichem Material mit unterschiedlicher Masse, stellt man

erstaunlicherweise immer fest, dass diese Körper im Schwerefeld der Erde mit gleicher

Beschleunigung fallen, sofern man die Luftreibung eliminiert. Genau dieselben Ergebnisse würde

man erhalten, wenn man sich nicht in einem Gravitationsfeld, sondern in einem nach oben

beschleunigten Kasten aufhalten würde. In diesem Kasten würden sich ebenfalls alle nicht

befestigten Körper mit gleicher Beschleunigung nach unten bewegen. Einstein verallgemeinerte

diese Überlegung: Er behauptete, nicht nur der freie Fall von Körpern liefe im beschleunigten System

genauso ab wie im Gravitationsfeld; seiner Auffassung nach laufen grundsätzlich alle physikalischen

Prozesse im Gravitationsfeld genauso ab wie in einem entsprechend beschleunigten Bezugssystem.

Man spricht vom „Äquivalenzprinzip“. Gravitationsfelder sind nach Einstein äquivalent zu

gleichmäßig beschleunigten Bezugssystemen.

Uhren im Gravitationsfeld

Man betrachte einen Kasten, der zunächst unbeschleunigt ist. Im Abstand h befinden sich zwei

synchronisierte Uhren; neben der oberen Uhr befindet sich zudem ein Beobachter B.

Der Kasten samt Uhren und Beobachter wird nun nach oben beschleunigt. Man stelle sich vor, dass

die Beschleunigung nicht kontinuierlich erfolgt, sondern in ständigen Sprüngen, die im zeitlichen

Abstand

stattfinden. Zunächst wird der Beobachter und seine Uhr von 0 auf die Geschwindigkeit

beschleunigt. Im Anschluss daran folgt die Beschleunigung der unteren Uhr auf dieselbe

Geschwindigkeit. Diese Beschleunigung der Uhr ändert die Anzeige der unteren Uhr nicht. Nachdem

12:00

12:00

h

B



55

beide Uhren beschleunigt wurden, laufen sie in der Wahrnehmung des Beobachters mit gleicher

Geschwindigkeit, aber nicht mehr synchron. Die Differenz in den Anzeigen der beiden Uhren beträgt . Dabei zeigt die untere Uhr einen kleineren Wert an als die obere Uhr, weil der

Beobachter von der Uhr weg beschleunigt wurde. Die Uhr geht also aus Sicht des Beobachters

langsamer als die eigene Uhr. Während die obere Uhr aus Beobachtersicht um vorangeschrittenist, hat sich die Anzeige auf der unteren Uhr nur um verändert. Die untere Uhr läuft

demnach um den Faktor langsamer.

Ergebnis

Eine Uhr, die in einem homogenen Gravitationsfeld gegenüber einer anderen

Uhr in Richtung des Gravitationsfeldes um h verschoben ist, läuft um den

Faktor

langsamer.

Gravitationsrotverschiebung

In einem homogenen Gravitationsfeld mit dem Ortsfaktor g werde Licht einer ganz bestimmten

Frequenz f erzeugt und entgegengesetzt zum Gravitationsfeld ausgesendet. Nach einem gewissen

Laufweg wird es von einem Beobachter B wieder detektiert. Welche Frequenz misst der Beobachter?

Die Erzeugung zweier Wellenberge erfolge im zeitlichen Abstand T, gemessen von einer Uhr, die sich

am Ort der Erzeugung befindet. Diese Uhr läuft allerdings langsamer als eine Uhr, die sich am Ort desBeobachters befindet. Für den Beobachter vergeht zwischen der Aussendung zweier

Gravitationsfeld

B



56

aufeinanderfolgender Wellenberge die Zeit , wenn das Licht die Höhe h überwinden

musste. Man könnte nun einwenden, dass die Gravitation einen noch unbekannten Einfluss auf die

Bewegung der Lichtwellen ausüben könnte. Dieser Einfluss verändert vielleicht das Ergebnis.

Tatsächlich kann man erst einmal nicht sagen, wie sich ein Wellenberg nach oben bewegt, ob seineGeschwindigkeit dabei konstant ist oder sich irgendwie verändert. Zwei aufeinanderfolgende

Wellenberge werden aber sicherlich in derselben Weise von der Gravitation beeinflusst, sodass beide

dieselbe Zeitdauer benötigen, um vom Erzeugungsort zum Beobachter zu gelangen. Die Zeitdifferenz

zwischen zwei ankommenden Wellenbergen ist also identisch mit der Zeit, die zwischen dem

Aussenden der beiden Wellenberge vergangen ist.

Der Beobachter misst also eine veränderte Lichtfrequenz

Ergebnis

Steigt Licht der Frequenz f in einem homogenen Gravitationsfeld mit dem

Ortsfaktor g um die Höhe h auf, so verringert sich dabei seine Frequenz auf

einen Wert f ’ . Das Licht erscheint rötlicher. Es gilt:

Gravitation und Geometrie

Die Gravitation verursacht dieselben Effekte, die auch in einem entsprechend beschleunigtenBezugssystem auftreten. Es gibt aber auch beschleunigte Bezugssysteme, die keine Entsprechung inder Gravitation haben, wie zum Beispiel eine rotierende Scheibe.



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Ein Beobachter, der sich auf dieser Scheibe aufhält, wird eine Zentrifugalkraft spüren, die nach außenhin gerichtet ist. Je weiter der Beobachter vom Mittelpunkt entfernt ist, desto größer ist die

Zentrifugalkraft. Deshalb gibt es auch kein Gravitationsfeld, das überall die gleichen Wirkungen hat,da die Gravitationskräfte, die von einer Masse verursacht werden, nach außen hin immer weiter

abnehmen. Trotzdem verhält sich dieses System in mancher Hinsicht wie ein Gravitationsfeld.

Aus dem nichtrotierenden Bezugssystem heraus betrachtet, hat die Scheibe den Durchmesser undden Umfang . Welchen Umfang und welchen Durchmesser nimmt ein mitrotierenderBeobachter im Vergleich zum ruhenden Beobachter wahr? Der äußere Rand der Scheibe bewegt sichim nichtrotierenden System mit einer Geschwindigkeit v, was bedeutet, dass hier seine Längeverkürzt erscheint. Für den mitrotierenden Beobachter scheint der Rand zu ruhen, weshalb keineLängenkontraktion auftritt. Er misst demnach eine größere Länge als der ruhende Beobachter.Anders verhält es sich mit dem Durchmesser. Jedes Stückchen des Durchmessers ist im ruhenden

System senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung orientiert, weshalb im Ruhesystem keine Kontraktionauftritt. Der rotierende und der ruhende Beobachter messen also denselben Durchmesser derScheibe. Wenn der Umfang für den rotierenden Beobachter größer erscheint, aber der Durchmesser

unverändert geblieben ist, dann muss für den rotierenden Beobachter gelten:

Offensichtlich gelten also im rotierenden Bezugssystem nicht die Regeln der sogenannten„Euklidischen Geometrie“, aus denen man abgeleitet hat, dass für jeden Kreis gelten muss. In diesem Sinne kann man sagen, der Beobachter des rotierenden

Bezugssystems nimmt einen gekrümmten Raum wahr.

Beschleunigungskräfte und Gravitationskräfte werden in der Allgemeinen Relativitätstheorie alsäquivalent angesehen. Deshalb folgt, dass auch in Gravitationsfeldern die Euklidische Geometrie nur

näherungsweise gilt.

Durchmesser d



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Formelsammlung

In dieser Formelsammlung bezeichnen IS und IS’ zwei Inertialsysteme, für die gilt:

Die Achsen der Koordinatensysteme von IS und IS’ sind parallel ausgerichtet, das heißt x’-Achse|| x-Achse, y’-Achse || y-Achse und z’-Achse || z-Achse.

IS’ bewege sich mit der Geschwindigkeit in Richtung der x-Achse von IS. In dem Moment, in dem die Koordinatenachsen von IS und IS’ exakt übereinander liegen, werden

in IS und IS’ jeweils alle Uhren auf Null gestellt.

Gestrichene Größen (zum Beispiel x’) sind in IS’ gemessen.

Ist nicht die Geschwindigkeit des Beobachters , sondern die Geschwindigkeit eines Körpers

gemeint, wird das Symbol verwendet.

Lorentz-Faktor

Der Lorentz-Faktor gibt an, wie stark bewegteUhren verlangsamt oder um welchen Faktorbewegte Körper in Bewegungsrichtung verkürztsind.

: Geschwindigkeit der Uhr oder des Körpers: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

Lichtgeschwindigkeit

Definition

Die Einheit „Meter“ wird aus der Licht-geschwindigkeit abgeleitet.

Relativität der Gleichzeitigkeit

Uhren, die in IS synchronisiert sind, laufen in IS’ nicht mehr synchron.

: gleichzeitige Anzeigen der Uhren inIS’

: Positionen der Uhren in IS

: Geschwindigkeit von IS’ relativ zu IS

: Lichtgeschwindigkeit



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Lorentz-Transformation

Ereignissen, denen im System IS die Koordinaten(x,y,z,t) zugeordnet werden, haben im System IS’ die Koordinaten (x’,y’,z’,t’).

Galilei-Transformation

Für Geschwindigkeiten, die sehr viel kleiner alsdie Lichtgeschwindigkeit sind, geht die Lorentz-Transformation in die Galilei-Transformationüber.

Geschwindigkeitsaddition (allgemeiner Fall)

: Geschwindigkeitskomponenten

eines Körpers in IS

: Geschwindigkeits-

komponenten des Körpers in IS’

: Geschwindigkeit von IS’ relativ zu IS


: Lorentz-Faktor, wobei für v die

Geschwindigkeit

eingesetzt wird

Geschwindigkeitsaddition (Spezialfälle)

Spezialfall:

: Geschwindigkeit eines Körpers in IS

: Geschwindigkeit eines Körpers in IS’



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Spezialfall:

: Geschwindigkeit eines Körpers in IS

: Geschwindigkeit eines Körpers in IS’ in

Richtung i = x’, y’ oder z’

Optischer Doppler-Effekt

Longitudinaler Doppler-Effekt

: Geschwindigkeit mit der sich der Sender vomEmpfänger wegbewegt

: Frequenz des ausgesandten Lichtes in derWahrnehmung des Empfängers, bzw. desSenders

Transversaler Doppler-Effekt

: Geschwindigkeit mit der sich der Sendersenkrecht zur Verbindungslinie Sender-Empfänger bewegt

: Frequenz des ausgesandten Lichtes in derWahrnehmung des Empfängers, bzw. desSenders

Kraft auf ruhende Körper

: Beschleunigungskomponente in Richtung i

: Kraftkomponente in Richtung i

m: Ruhemasse des Körpers



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Kraft auf bewegte Körper

: Kraftkomponente in Richtung i im Ruhe-system IS des Körpers

: Kraftkomponente in Richtung i im System IS’ : Geschwindigkeit von IS’ relativ zu IS

Relativistischer Impuls

: Komponente des relativistischen Impulses inRichtung i

: Gesamtgeschwindigkeit des Körpers

: Geschwindigkeitskomponente des Körpers inRichtung i

: Ruhemasse des Körpers

Kraft und Impulsänderung

: Kraftkomponente in Richtung i

: Änderung der Impulskomponente inRichtung i

: Zeitdauer der Kraftwirkung

Relativistische kinetische Energie

: Bewegungsenergie

: Gesamtgeschwindigkeit des Körpers

: Ruhemasse des Körpers




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Änderung der Ruhemasse

: Energieänderung im Ruhesystem einesKörpers

: durch die Energieänderung bewirkteÄnderung der Ruhemasse des Körpers


Gravitationsrotverschiebung

: Frequenz, mit der das Licht ausgesandt wird : Frequenz, nachdem das Licht die Strecke imGravitationsfeld nach oben gelaufen ist


: Ortsfaktor



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Lösungen zu den Aufgaben

Aufgaben zum Relativitätsprinzip

Aufgabe 1:

a) Der Körper bewegt sich nach dem Trägheitssatz gleichförmig, d.h. mit konstanter

Geschwindigkeit entlang einer Geraden.

b) Der Körper ist gleichmäßig beschleunigt.

c) Der Körper bewegt sich auf einer Kreis- oder Spiralbahn.

Aufgabe 2:

Man betrachtet an verschiedenen Positionen des Bezugssystems kräftefreie Körper und untersucht

deren Bewegung. Sind die Körper unbeschleunigt, dann liegt ein Inertialsystem vor.

Aufgabe 3:

Alle anderen Inertialsysteme bewegen sich gleichförmig.

Aufgabe 4:

Ein Flugzeug stellt nur näherungsweise ein Inertialsystem dar. Durch Winde oder

Druckschwankungen in der Luft, ergeben sich während des Fluges ständig kleine Beschleunigungen

nach oben oder unten. Diese Beschleunigungen kann man wahrnehmen.

Aufgaben zur ZeitdilatationAufgabe 1:

Lorentzfaktor:

Die Halbwertszeit der bewegten Ne-25-Ionen ist größer als die der ruhenden und beträgt

Die Ionen benötigen um die 34000 Kilometer zurückzulegen. Pro

Verstreichen der Halbwertszeit muss die Ausgangsmenge an Ionen mit dem Faktor 0,5 multipliziert

werden.

Aufgabe 2:

Dauer aus Sicht des Erdbeobachters:

Aus Sicht des Raumschiffs dauert die Schwangerschaft immer noch 267 Tage, denn aus dem

Relativitätsprinzip folgt, dass innerhalb des Raumschiffs dieselben Naturgesetze wie auf der Erde

gelten.



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Aufgabe 3:

Der Lorentzfaktor beträgt 1,3.

Die Uhr müsste sich mit 63,9 % der Lichtgeschwindigkeit bewegen.

Aufgabe 4:

Die Rechnung erfolgt konsequent im Bezugssystem „Erde“, da hier keine Beschleunigungseffekteberücksichtigt werden müssen. Zuerst ist es hilfreich, Peters Geschwindigkeit in Vielfachen der

Lichtgeschwindigkeit anzugeben:

Aus Sicht der Erde dauert die Reise

Peters Zwillingsbruder altert also während der Reise um , wohingegen für Peter selbst

weniger Zeit vergeht. Zeit, die für Peter vergeht:

Peter ist bei seiner Ankunft 36,8 Jahre alte, sein Bruder hingegen 39,1 Jahre.

Aufgabe 5:

a)

Zeit bis zum Auftreffen der Myonen aus Sicht der Erde:

Teilchen, die nach dieser Zeit noch nicht zerfallen sind: Gäbe es keine Zeitdehnung, würde pro Sekunde und Quadratmeter im Durchschnitt deutlich weniger

als ein Myon auf der Erdoberfläche ankommen.

b)

Tatsächlich ist die Halbwertszeit der bewegten Myonen aber deutlich größer als 1,52 Mikrosekunden:

Also:



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Aufgabe 6:

Zeitdauer der Reise aus Erdsicht:

Zeitdauer der Reise aus Sicht des Raumschiffs:

Also:

Man müsste etwa mit

der Lichtgeschwindigkeit reisen.

Aufgabe 7:

a)

b)

Aufgabe 8:

Die Betrachtung erfolgt konsequent im unbeschleunigten Erdsystem.

Alterung Tim bei Rückkehr:

Alterung Tom bei Rückkehr zur Erde:

Dauer von Tim’s Reise aus Erdsicht:

Dauer von Tom’s Reise aus Erdsicht:

Tom kehrt zuerst zur Erde zurück. Er muss noch 34,55 Jahre warten bis auch sein Bruder

zurückkommt. Zu diesem Zeitpunkt ist Tom seit Beginn der Reise um 52,43 Jahre gealtert. Sein

Bruder ist hingegen nur um 36,28 Jahre gealtert. Der Altersunterschied beträgt 16,15 Jahre.

Aufgabe 9:

Obwohl die Reise vielleicht eine Million Jahre oder länger dauert, vergeht im Inneren des Raumschiffs

aufgrund der Zeitdehnung eine sehr viel geringere Zeit. Außerirdische könnten die Erde also sehr

wohl in ihrer eigenen Lebenszeit erreichen, wenn ihre Reisegeschwindigkeit nur groß genug ist.

42837701 Spezielle Relativitatstheorie Fur Die Schule

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