81

5. Balken und Stäbe

5.1. Die Grashofsche Theorie von gekrümmten Balken /Stäben

Ebener gekrümmter Balken/Stab: die Mittellinie (Biegelinie) des Balkens ist eine ebene Kur-

ve.

Bezeichnungen, Vorzeichen:

Ps

0 0

0 0 0

e

et

n

Die Lage eines Punktes P an der Biegelinie

wird durch der Bogenkoordinate s (Bogen-

länge) gegeben.

Im Punkt P wird ein lokales Koordinatensy-

stem aufgenommen: , , .xe e e e

0 - der Krümmungsradius der Biegelinie

vor der Formänderung,

- der Krümmungsradius der Biegelinie

nach der Formänderung.

Vorzeichen:

- 00 , wenn der Krümmungsmittelpunkt an der rechten Seite der Kurve liegt.

- 00 , wenn der Krümmungsmittelpunkt an der linken Seite der Kurve liegt.

Wir fahren der Kurve entlang in der Richtung der Bogenkoordinate s.

Die Belastung des Balkens: t nf f t f n - Linienbelastung

Gleichgewichtsbedingungen:

,

,

t

0

n

0

TdNf 0

ds

dTNf 0

ds

.hxdMT 0

ds

Der Zug-Druck Kraft ( )N s und die Schubkraft ( )T s sind

voneinander nicht unabhängig.

Der Zusammenhang zwischen dem Biegemoment hxM und

der Schubkraft T ist derselbe wie bei den geraden Balken.

Beanspruchungen: sie können nach der Definition der Beanspruchungen aus den Belastungen

bestimmt werden.

Die zu lösenden Aufgaben:

- Bestimmung der Formänderungskennwerte.

- Bestimmung der Spannungen.

5.1.1. Formänderungskennwerte

Anfangsannahmen:

- Die Form der Mittellinie / Biegelinie des Balkens ist ein Kreisbogen mit dem Radius 0 .

- Der Balken ist prismatisch und die Achse ist die Symmetrieachse des Querschnittes.

- Die Beanspruchung des Balkens ist reine Biegung.

- Im Balken gibt es einen einachsigen Spannungszustand.

82

Vor der Belastung

e

e

s 0P

0konstant

0

O

Nach der Belastung

s P e

hxM hxM

konstant

e

Der Querschnitt des Stabes:

- Symmetrieachse

, - die Hauptachsen der Trägheitsmo-

mente des Querschnittes.

S hxM

x

Annahmen für die Formänderung:

- Nach der Belastung / Formänderung bleiben die Querschnitte eben und sie bleiben senk-

recht zur Mittellinie / Biegelinie des Balkens (Bernoullische Hypothese).

- Der ursprüngliche Kreisbogen mit dem Radius 0 verformt sich für den Kreisbogen mit

dem Radius .

Die spezifische Längenänderung der Linie von :

0 0

0 0

.

Der Spannungszustand ist einachsig:

0 0

E E 1

, - eine hyperbolische Funktion.

Wenn hxM 0 ist, dann wird 0 und 0 .

Die Asymptoten der Hyperbel: , dann ,0

, dann ,0

E 1

, dann 0

0 0

0 E 1

.

83

Veranschaulichung der

Spannungsverteilung:

0

1e

hxM

0

max

2e

x S

O

V

5.1.2. Zusammenhang zwischen der Spannung und der Beanspruchung / dem Biege-

moment

a) Die resultierende Kraft: .

( ) ( )

SF dA e dA 0

A A

( )

dA 0

A

max liegt im allgemeinen an der Seite des Krümmungsmittel-

punktes in dem äußeren Faden.

b) Das resultierende Moment: .

( ) ( )

S hxM R dA e e e dA M e

A A

Skalare Gleichungen:

( )

dA 0

A

( )

hxdA M

A

.

Die Gleichung ist identisch Null, wenn die Achse die Symmet-

rieachse des Querschnittes ist.

Aus den Gleichungen kann und durch das Biegemoment hxM ausgedrückt wer-

den.

Die Grashofsche Formel: .hx hx 0

0 r 0

M M

A I

Bezeichnung: hx0

0

M

A

.

84

Das reduzierte axiale Flächenträgheitsmoment: .

( )

20r

0

I dA

A

Im allgemeinen: rI I

Vorzeichenregel:

s

O s

O

0hxM 0hxM 0hxM 0hxM 0 0

0 0

5.1.3. Die Veranschaulichung des axialen Flächenträgheitsmomentes

S

a

O

a

d1e

2e

x

0

Definition:

( )

20r

0

I dA

A

.

Aus ähnlichen Dreiecken:

0 0

a a

0

0

a a

.

( ) ( )

2 20r

0

I ad a d I

dAA A dA

.

Man muß das Moment I für einen modifizierten

Querschnitt bestimmen.

max max ,1 2e e e

Maß der Krümmung des Biegestabes:

max

0

e

Dieser Quotient charakterisiert das Maß der Krümmung des Stabes.

- Wenn max

0

e

klein ist, dann ist der Stab sehr gekrümmt.

- Wenn max

0

e

groß ist, dann ist der Stab nur schwach gekrümmt.

5.1.4. Die Anwendbarkeit der Theorie

- Wenn max

, dann ist die sche Formel und das Trägheitsmoment benutzt.0r3 4 Grashof I

e

- Wenn max

, dann ist die sche Formel und benutzt.0r3 4 8 10 Grashof I I

e

85

- Wenn max

, dann kann der Fall als gerader Stab betrachtet werden : .0 hxM8 10

e I

5.1.5. Die kinematischen Kenngrößen der Mittellinie

s

O

Formänderung

s

O

0

0

Die Änderung der Krümmung der Mittellinie: hx

0 r

M1 1

I E .

Die Winkeländerung der Endquerschnitte: hx hx0 0 0

r r

M Ml

I E I E ,

l - die Länge der Mittellinie des Balkens.

5.1.6. Die Verallgemeinerung der Ergebnisse

- Die Beanspruchungen des ebenen gekrümmten Balkens sind mit den allgemeinen ebenen

Beanspruchungen gleich: , hxN T M .

- Die Mittellinie ist nicht ein Kreisbogen. Es wird aber angenommen, daß der Krümmungsra-

dius sich nur langsam und nur im geringen Maße entlang der Mittellinie des Balkens ändert.

- Der Balken ist nicht prismatisch, aber es wird angenommen, daß der Querschnitt sich nur

langsam und nur im geringen Maße entlang der Mittellinie des Balkens ändert.

Näherungslösung (Superposition):

Biegung: hx hx 0

0 r 0

M M

A I

,

Zug/Druck:

Zusammenhänge für gerade Stäbe.

Schub:

N

A

T S

I a

Bei stark gekrümmten Balken sind die obigen Zusammenhänge nicht mehr gültig.

Die Formänderungsenergie:

86

BiegeU U Bei Balken sind im allgemeinen der aus der Biegung stammenden Formände-

rungsenergieteile dominant.

.hx

r

M1U ds

2 I El

Die Arbeitssätze von Betti und Castigliano sind in der gleichen Form wie bei Balken mit

gerader und gebrochener Mittellinie gültig.

5.2. Reine Torsion prismatischer Stäbe

Reine Torsion (Saint Venantsche Torsion):

Bei Torsion von Stäben mit einem nichtkreisförmigen Querschnitt kann man eine

Verwölbung der Querschnittsfläche in Richtung der Stabachse beobachten.

Wenn die eintretende Verwölbung nicht behindert ist ( 0z ), spricht man von reiner Torsi-

on.

Wölbkrafttorsion:

Wenn die Verschiebungen in Richtung der Stabachse behindert werden ( 0z ), spricht

man von Wölbkrafttorsion.

Die Wölbkrafttorsion spielt besonders bei dünnwandigen Stäben eine wichtige Rolle.

5.2.1. Reine Torsion – exakte Lösung

y

x

y

z

P

S

H

l

P

cM

0AlA

rR R

n

cM

cM

Anfangsannahmen:

- q 0 ,

- der Mantel H des Stabes ist unbelastet: ( 0n F n ),

- Bestimmte Spannungskomponente sind Null: x y z xy 0 ,

- Die Beanspruchungen:

( )

z dA 0

A

,

( )

z c zR dA M e

A

.

Dynamische Randbedingungen: - H ist unbelastet n 0 .

87

-

( )

z dA 0

A

,

( )

z c zR dA M e

A

.

- 0A sind dieselbe, wie auf lA

Spannungszustand:

0 0, ,

0 0 , wobei, .

0

xzxz xz

yzyz yz

zx zy

x yF

x y

Gleichgewichtsbedingungen:

0 0 0,

0 0 0,

xz

yz

z

z

Beide Gleichungen sind gleich Null, weil die Schub-

spannungen nur von z abhängen.

Die 3. Gleichgewichtsbedingung: 0 0.zyzx

x y

Die Erfüllung dieser Gleichung wird mit Hilfe der Einleitung einer Spannungsfunktion

( , )U x y erreicht.

Die Prandtlsche Spannungsfunktion

,U x y - eine mindestens zweimal differenzierbare Funktion der Ortskoordinaten , .x y

Die Berechnung der Spannungskomponente: zx xz

U

y

, zy yz

U

x

.

Eingesetzt in die Gleichgewichtsbedingung 3.: 2 2

0U U

x y x y

. Es ist identisch gleich Null.

Der Spannungsvektor:

z xz x yz z ze e .

.z x y x y z z

U U U Ue e e e e U e

y x x y

U

.z zU e

Die Spannungsfunktion ,U x y muß noch die folgenden Bedingungen erfüllen:

- Randbedingungen,

- Kompatibilitätsbedingungen, - -Gleichungen.

- Das sche Gesetz,Beltrami Michell

Hooke

Die Erfüllung der Randbedingungen:

- Der Mantel ist unbelastet:

88

0n F n ,

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

xz x

n yz y

zx zy zx x zy y

n

n

n n

.

0,zx x zy yn n

0.z n

y

x

P

S

n

cM

zt

z

s 0g

Am Rand des Querschnittes hat die Schubspannung eine tangentiale Richtung.

Umformungen: 0.

Ableitung

in Richtung

z z z

Un U e n U e n U t

st

s

0 konstant 0g U . - eine willkürliche, aber zweckmäßige Wahl.

- Querschnitt lA (das rechtseitige Ende des Stabes):

Die resultierende Kraft:

( )

z

l

F dA 0

A

.

Beweis:

Umformung:nach dem Ersatz der Definition von z :

( ) ( )

z z

l l

dA U e dA

A A

.

Bezeichnung: Das Produkt kann von den Produkten beliebig sein.

s

0g

n

t

Der Gaußsche - Ostrogradskysche Integralsatz:

( )

.

( ) 0

C dA C n ds

gA

Anwendung des Integralsatzes:

t

z

l

U e dA

A

0 0

U t ds U t ds 0 ,    

g g

z

0

e U n ds

g

89

weil 0

=g

U konstant und

0

0 .t ds

g

Die Gleichung 0F ist dann gültig, wenn die Spannungsfunktion U am Rand (g0) des

Querschnittes gleich Null ist. (Das ist die vorige Randbedingung für U.)

Das resultierende Moment:

( )

S z c z

l

M R dA M e

A

.

Umformung:

0

c z z z z

l l

M e R U e dA U R e e R U dA

A A

z z

l l

e R U dA e RU R U dA

A A

2

z z

l l

e RU dA e R UdA,

A A

Anwendung des Gaußschen Satzes auf das erste Integralglied:

weil 00

0

n RU ds 0 , U .g

g

Das Torsionsmoment:

c

l l

M R U dA 2U dA.

A A

1+1=2x y x yR e e xe yex y

.

Auch das Torsionsmoment kann auf Grund der Spannungsfunktion U(x, y) dargestellt wer-

den:

.

( )

cM 2 U dA

A

Die Erfüllung der Beltramischen - Michellschen Kompatibilitätsgleichungen:

, .2 2

I Ixz yz

F F1 10 0

1 x z 1 y z

, , weil .2 2

I II x y z

F F0 0 F 0

x z y z

Setzen wir die Schubspannungen ein:

90

konstant.

xz

yz

UU 0

y yU

UU 0

x x

Nach der Benutzung des Hookeschen Gesetzes und der kinematischen Gleichungen:

sche-partielle DifferentialgleichungU 2G Poisson ,

wo G der Schubmodul (Materialkennwert) ist,

- spezifische Verdrehung Verwindung.

Die Bestimmung des Verschiebungsfeldes: , ,x

u0 u u y z

x

, ,y

v0 v v x z

y

, .z

w0 w w x y

z

Wenn undu y f z v x f z dann .xy

u vf f 0

y x

,

,xz

xz xz

x yu w df wy x y

z x dz x G

,

In dieser Gleichung ist ,xz xz x y ,weil xz nur von ,x y abhängt.

2

xz

2

d f0 y 0 f z z

z dz

, wobei konstant (Verwindung).

Nach dem gleichen Gedankengang für yz

v wf z z

z y

.

Das Verschiebungsfeld:

,

,

, ,

u y z y z

v x z x z

w x y w x y

Die skalaren Verschiebungsfelder erfüllen jede kinematische

Gleichung.

Der Verschiebungsvektor:

, , ,

Der Querschnitt verdreht die Punkte des Querschnittessich mit dem Winkel verschieben sich in Achsenrichtung

z z

z

u x y z z e R w x y e

z

z z - die Verdrehung des Querschnittes z im Vergleich zum Querschnitt z=0.

Zusammenfassung der Ergebnisse:

91

Die Lösung der reinen Torsion prismatischer Stäbe kann auf die Bestimmung der Span-

nungsfunktion U(x, y) zurückgeführt werden.

U(x, y) – die Prandtlsche Spannungsfunktion ist nicht beliebig.

1) Die Funktion muß erfüllen:

U 2G die Poissionsche partielle Differentialgleichung,

az 0

0Ug

die Randbedingung.

2) Die Darstellung des Torsionsmomentes und der Schubspannung:

, , .

( )

C z zM 2 U x y dA U e

A

Die Einführung einer Spannungsfunktion mit reinem geometrischem Inhalt

, ,0U x y G U x y

, ,0

1U x y U x y

G

,0U x y hängt ausschließlich von der Geometrie des Querschnittes ab.

Die Gleichungen, die erfüllt werden müssen.

1) 0U 2 , die Poissonsche-Gleichung,

00

0Ug

, die Randbedingung für die Spannungsfunktion.

2) , ,

( )

c 0 cM 2G U x y dA G I

A

,

( )

c 0I 2 U x y dA

A

das Torsionträgheitsmoment des Querschnittes.

Die Schubspannung: .z 0 zG U e

Die Verwindung / die spezifische Verdrehung: .c

c

M

G I

Die Verdrehung: .cz

c

Mz

G I

Die Membran-Analogie nach Prandtl:

Die Analogie / Ähnlichkeit besteht zwischen der Spannungsfunktion und der Form einer

gespannten und aufgeblasenen Membran.

Grundlage der Analogie: Identität der Differentialgleichung und der Randbedingung.

92

x

y

x

0g

0N

0N

2N/mmp

( , )x y

0 N/mmN

0N - Spannkraft (Linienlast),

p - Druck (Flächenlast).

Die Membran wird auf eine Bohrung aufge-

spannt.

Die Form der Bohrung ist mit dem Quer-

schnitt identisch.

Die Differentialgleichung der aufgeblasten Membran: ,

0

p x y

N .

Randbedingung g0

0 .

Analogie: die Differentialgleichung und die Randbedingung sind mit der DG. und der RB.

der reinen Torsion identisch.

5.2.2. Reine Torsion - Näherungslösung

a) Reine Torsion von Stäben mit dünnem Querschnitt (offener dünner Querschnitt)

- Dünner Rechteck – Querschnitt (dünnwandiger)

S

x

v

b

cM

y

Näherungsspannungsfunktion: .2

2vU G x

4

Die Poissonsche Gleichung: ,2 2

U U2G

x y

2G 0 2G

Randbedingung: - erfüllt,v

x U 02

- nicht erfüllt.

by U 0

2

Die Spannungsfunktion U(x, y) erfüllt die Randbedingung an

einem kurzen Teil des Randes nicht (Annäherung!).

Die Spannungen: xz

U0

y

, eine lineare Verteilung .yz

U2G x

x

93

Das Torsionsmoment: ,

( )

2 32

c

c

v

2v bv

M 2 U dA 2G b x dx G4 3

vAIx

2

.c cM G I

Torsionsträgheitsmoment: 3

c

bvI

3 .

Umformung: .c

c

MG

I

Die Spannungen: , cxz yz

c

M0 2 x

I max .c

c

M

I

- Dünner zusammengesetzter Querschnitt:

Die Verallgemeinerung der Ergebnisse des dünnen Rechteck-Querschnittes.

S

x

y

s

3b

3v

cM2b

sz

sz

1b

1v

2v

,3

i ic

3b v

I3

i 1

,csz

c

M2

I

.c cM G I

- Dünner gekrümmter Querschnitt:

s

( )v s

.3c

1I v ds

3b

Die weiteren Zusammenhänge sind

unveränderlich.

b) Geschlossene dünnwandige Querschnitte

94

x

y

x

S

Os

v

( , )U x y

1U

sz

cM

kA

Näherungsspannungsfunktion:

, 1UU h

v .

Wir nehmen an, daß die Funktion ,U

eine lineare Funktion entlang der Wanddicke

ist.

Spannungsverteilung:

konstant.1sz

UU

v

Die stufenweise Näherung der linearen

Funktion , :U

( )

.cc k 1 1

kA

MM 2 U dA 2 A U U

2 A

c1sz

k

MU

v 2 A v - die Bredtsche Formel.

Das Torsionsträgheitsmoment des geschlossenen dünnwandigen Querschnittes: 2k

c

4 AI

1ds

v

.