§ 5 Die Brownsche Bewegung, das Riemann- und dasLebesgue-Stieltjes Integral

5.3 Kriterium fur die Aquivalenz stochastischer Prozesse

5.4 Der aquivalente kanonische Prozess

5.5 Existenz einer d-dimensionalen Brownschen Bewegung

5.6 Prozesse mit unabhangigen Zuwachsen

5.7 Eine Brownsche Bewegung bzgl. (At)t≥0 ist auch eine Brownsche Bewegung bzgl.

(A+t )t≥0

5.9 Hinzufugung von P |A-Nullmengen zu einer Teil-σ-Algebra

5.10 (APt )t≥0 ist eine augmentierte Filtration

5.11 Augmentierte Filtrationen

5.12 Eine Brownsche Bewegung bzgl. (At)t≥0 ist eine Brownsche Bewegung bzgl.

(APt )t≥0

5.13 Standard-Filtration bzgl. einer Brownschen Bewegung

5.14 Das Blumenthalsche 0-1 Gesetz

5.15 Durch Brownsche Bewegungen erzeugte Martingale

5.17 Zerlegung von [a, b] und regulare Zerlegungsfolgen

5.18 Stetige Funktionen von beschrankter Variation besitzen quadratische Variation 0

5.19 Reelle Brownsche Bewegungen besitzen im L2-Sinne endliche und positive qua-dratische Variation

5.20 Reelle Brownsche Bewegungen sind von unbeschrankter lokaler Variation

5.22 Naive stochastische Integration ist unmoglich

5.24 Rechtsseitig stetige Funktionen von lokal-beschrankter Variation sind Differenzzweier monotoner, rechtsseitig stetiger Funktionen

5.25 Rechtsseitig stetige, monoton nicht fallende Funktionen liefern Borel-Maße

5.26 Zerlegungseigenschaft von g impliziert Zerlegungseigenschaft von µ g

5.28 Eigenschaften des Lebesgue-Stieltjes Integral

5.29 Zusammenhang zwischen dem Riemann-Stieltjes Integral und dem Lebesgue-Stieltjes Integral

5.31 Lokal Lebesgue-Stieltjes integrierbare Funktionen werden durch Integration zuFunktionen von lokal beschrankter Variation

5.34 Von einem v.l.b.V. Prozess abgeleitete monoton nicht fallende Prozesse

5.35 Durch punktweise Lebesgue-Stieltjes Integration bzgl. eines v.l.b.V. Prozesse ent-steht ein l.b.V. Prozess

5.37 Stetig differenzierbare Funktionen von v.l.b.V. Prozessen sind v.l.b.V. Prozesse

C5(WS08/09) [5]–1

Finanzmathematik I

In § 2 hatten wir schon darauf hingewiesen, dass die Preisentwicklungen an Finanzmarktendurch stochastische Prozesse mit Zeitparametermenge [0, T ] oder [0,∞[ beschrieben wer-den. Die derzeit am meisten zur Modellierung des stochastischen Preisprozesses herange-zogenen Prozesse beruhen auf der Brownschen Bewegung, die oft auch als Wienerprozessbezeichnet wird.

Robert Brown beschrieb 1827 das folgende Phanomen. Kleine Teilchen, die in einerFlussigkeit aufgeschwemmt sind, vollfuhren unregelmaßige Bewegungen, die man mit ei-nem Mikroskop beobachten kann. Einstein erklarte 1905 die Bewegung durch fortlaufendeZusammenstoße des Teilchens mit den Molekulen des umgebenden Mediums.

Es sei Xt der Ort des beobachteten Partikels zum Zeitpunkt t im Rd mit d = 3. Manwahle den Koordinatenursprung so, dass X0 = 0 ist. Im Intervall [0, t] erfolgt eine großeAnzahl von Zusammenstoßen des Teilchens mit den Molekulen des umgebenden Mediums,so dass der zentrale Grenzwertsatz anwendbar erscheint und Xt annahernd normalverteiltsein sollte. Außerdem erscheint es plausibel, dass die Zuwachse Xt −Xs von der vorhe-rigen zeitlichen Entwicklung unabhangig sein sollten. Dann beschreibt (Xt)t∈[0,∞[ eineBrownsche Bewegung im Sinne von 5.1.

Im Folgenden schreiben wir haufig (At)t≥0 fur (At)t∈[0,∞[ und (Xt)t≥0 fur (Xt)t∈[0,∞[.

5.1 d-dimensionale Brownsche Bewegung bezuglich einer Filtration

Es sei (Ω,A, P ) ein W-Raum und (At)t≥0 eine Filtration. Ein stochastischer Pro-

zess (Bt)t≥0 mit Werten in (Rd,B(Rd)), der zu (At)t≥0 adaptiert ist, heißt eineBrownsche Bewegung bzgl. (At)t≥0, wenn gilt:

(i) B0 = 0 P -f.s.

(ii) Fur 0 ≤ s < t gilt PBt−Bs = ⊗dk=1N(0, t− s);

(iii) Fur 0 ≤ s < t ist Bt −Bs von As unabhangig;

(iv) Der Prozess (Bt)t≥0 besitzt stetige Pfade, d.h. fur alle ω ∈ Ω ist

[0,∞[3 t → Bt(ω) stetig.

Ist d = 1, so spricht man von einer reellen Brownschen Bewegung.

Statt von einem Prozess mit stetigen Pfaden hatten wir in § 4 auch von einem stetigenProzess gesprochen.

Eine Zufallsvariable X : Ω → Rd heißt hierbei unabhangig von As, wenn σ(X) =X−1(B(Rd)) unabhangig von As ist.

Eine mathematisch fundierte Definition der Brownschen Bewegung sowie erste mathe-matische Ergebnisse uber die Brownsche Bewegung stammen von Wiener (1920-1950).

Weitere Anwendungen hat die Brownsche Bewegung in der Okonomie und in der Quan-tenmechanik gefunden. In der mathematischen Statistik spielt die Brownsche Bewegungbei der Herleitung der Verteilung von Anpassungstests eine wichtige Rolle.

Insbesondere von Levy sind dann die mathematischen Untersuchungen uber die Brown-sche Bewegung fortgefuhrt worden. Levy hat auch eine Klasse von Prozessen untersucht,

[5]–2 C5(WS08/09)

Die Brownsche Bewegung

die die Klasse der Poissonschen-Prozesse und der Brownschen Bewegung als Spezialfalleenthalt.

Erstmals ist die Brownschen Bewegung von Bachelier schon im Jahre 1900 benutzt wordenzur Beschreibung des Pariser Aktienmarktes, und zwar in seiner Dissertation bei Poincare.

Um die Existenz einer d-dimensionalen Brownschen Bewegung und einige Folgerungennotieren zu konnen, benotigen wir noch den Begriff der Aquivalenz von stochastischenProzessen. Ist (Ω,A) ein Messraum und Xt : Ω → Rd fur t ≥ 0 gegeben, so ist X =

(Xt)t∈[0,∞[ eine Abbildung in den (Rd)[0,∞[, definiert durch X(ω) := (Xt(ω))t∈[0,∞[ =

(Xt(ω))t≥0. Es gilt nach Ubungsaufgabe 12(i), dass X A, (B(Rd))[0,∞[-messbar ist ⇐⇒ Xt

A,B(Rd)-messbar fur jedes t ≥ 0 ist. Die Verteilung von X = (Xt)t≥0 ist also ein W-Maß

auf (B(Rd))[0,∞[.

Ist Xt : Ω → Rd A,B(Rd)-messbar fur jedes t ≥ 0, so nennen wir (Ω,A, P, (Xt)t≥0) einen

stochastischen Prozess mit Zustandsraum (Rd, B(Rd)).

5.2 Aquivalenz stochastischer Prozesse

Zwei stochastische Prozesse (Ω,A, P, (Xt)t≥0) und (Ω′,A′, P ′, (X ′t)t≥0) mit

Zustandsraum (Rd,B(Rd)) heißen aquivalent, falls sie die gleichen Verteilungen be-sitzen, d.h. falls gilt

P(Xt)t≥0= P ′

(X ′t)t≥0

.

Offenbar handelt es sich bei der Aquivalenz von stochastischen Prozessen mit Zustands-raum (Rd,B(Rd)) um eine Aquivalenzrelation.

Aquivalente Prozesse sind”wahrscheinlichkeitstheoretisch nicht unterscheidbar, sie besit-

zen nach Definition namlich die gleiche Verteilung“.

Ist E ⊂ [0,∞[ endlich, und (Ω,A, P, (Xt)t≥0) ein stochastischer Prozess, so heißt P(Xt)t∈E

eine endlich-dimensionale Randverteilung des Prozesses. Es laßt sich leicht beweisen (siehe

Ubungsaufgabe 34 (i)):

5.3 Kriterium fur die Aquivalenz stochastischer Prozesse

Zwei stochastische Prozesse mit Zustandsraum (Rd,B(Rd)) sind genau dann aquiva-lent, wenn sie die gleichen endlich-dimensionalen Randverteilungen besitzen.

In einer Aquivalenzklasse von stochastischen Prozessen mit Zustandsraum (Rd,B(Rd))

gibt es einen kanonischen Prozess, siehe Ubungsaufgabe 34 (ii):

C5(WS08/09) [5]–3

Finanzmathematik I

5.4 Der aquivalente kanonische Prozess

Es sei (Ω,A, P, (Xt)t≥0) ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum (Rd,B(Rd)).

Hierzu ist ((Rd)[0,∞[, (B(Rd))[0,∞[, PX , (πt)t≥0) ein aquivalenter stochastischer Pro-zess, er heißt der kanonische Prozess zu (Ω,A, P, (Xt)t≥0).

Hierbei ist πt, die t-Projektion von (Rd)[0,∞[ in den Rd, definiert durchπt(xu)u≥0 = xt.

Ist X = (Xt)t≥0 ein stochastischer Prozess, so nennt man (AXt )t≥0 definiert durch (siehe

4.2)

AXt := σ(Xs : s ≤ t), t ≥ 0

die kanonische Filtration von X. Jeder stochastische Prozess ist bzgl. seiner kanonischenFiltration adaptiert.

Wir sprechen von einer d-dimensionalen Brownschen Bewegung, wenn wir eine d-dimen-sionale Brownsche Bewegung bzgl. der kanonischen Filtration meinen. Es gilt der folgendewichtige Existenzsatz (fur einen Beweis siehe z.B. Bauer, Wahrscheinlichkeitstheorie, Satz40.3, Seite 349).

5.5 Existenz einer d-dimensionalen Brownschen Bewegung

(i) Fur jedes d ≥ 1 existiert eine d-dimensionale Brownsche Bewegung.

(ii) Je zwei d-dimensionale Brownsche Bewegungen (Ω,A, P, (Bt)t≥0) und(Ω′,A′, P ′, (B′

t)t≥0) sind aquivalent.

(iii) Ist eine Brownsche Bewegung (Ω,A, P, (Bt)t≥0) zu einem d-dimensiona-len Prozess (Ω′,A′, P ′, (Xt)t≥0) mit stetigen Pfaden aquivalent, so ist(Ω′,A′, P ′, (Xt)t≥0) selbst eine Brownsche Bewegung.

Der Begriff der d-dimensionalen Brownschen Bewegung bzgl. der kanonischen Filtrationwird haufig auch anders formuliert. Hierzu vorweg

5.6 Prozesse mit unabhangigen Zuwachsen

Es sei (Ω,A, P, (Xt)t≥0) ein stochastischer Prozess mit Rd als Zustandsraum. Erheißt ein Prozess mit unabhangigen Zuwachsen, wenn eine der beiden aquivalentenBedingungen gilt

(i) Fur je endlich viele Zeitpunkte 0 = t0 < t1 < . . . < tn sind die Zufallsvaria-blen Xt0 , Xt1 −Xt0,...,Xtn −Xtn−1 unabhangig.

(ii) Fur je zwei Zeitpunkte 0 ≤ s < t, ist Xt −Xs unabhangig von AXs .

[5]–4 C5(WS08/09)

Die Brownsche Bewegung

Beweis. Siehe Lemma 45.1, Seite 403 in W. von Bauer.

Eine Brownsche Bewegung bzgl. einer Filtration (At)t≥0 ist offensichtlich auch eine Brown-

sche Bewegung bzgl. (ABt )t≥0 und auch bzgl. jeder Filtration (A′t)t≥0 mit AB

t ⊂ A′t ⊂ At.Dies folgt aus der trivialen Feststellung, dass die Unabhangigkeit von Bt−Bs von As dieUnabhangigkeit von Bt −Bs bzgl. A′s nach sich zieht. Die ubrigen Bedingungen fur eineBrownsche Bewegung hangen nicht von der Filtration ab.

Ist eine Brownsche Bewegung bzgl. (At)t≥0 auch eine Brownsche Bewegung bzgl. derrechtsseitig stetigen Filtration (A+

t )t≥0? Diese Frage lasst sich sogar allgemeiner positivbeantworten.

5.7 Eine Brownsche Bewegung bzgl. (At)t≥0 ist auch eine Brownsche

Bewegung bzgl. (A+t )t≥0

Es sei (Ω,A, P, (Xt)t≥0) ein zu (At)t≥0 adaptierter, stochastischer Prozess mit Rd

als Zustandsraum und rechtsseitig stetigen Pfaden. Es sei Xt−Xs unabhangig vonAs fur je zwei Zeitpunkte 0 ≤ s < t. Dann ist auch Xt − Xs unabhangig von A+

s

fur je zwei Zeitpunkte 0 ≤ s < t.

Beweis. Setze Y := Xt −Xs fur festes 0 ≤ s < t. Es ist z.z.

(1) Y ist unabhangig von A+s .

Da E := Y −1(O) : O offen ein ∩-stabiler Erzeuger von σ(Y ) ist, reicht es fur (1) nachS. 3.23 Stochastik I zu zeigen:

(2) E und A+s sind unabhangig.

Sei also O offen und A ∈ A+s , dann ist z.z.:

(3) P ((1O Y ) · 1A) = P (1O Y )P (A).

Da O offen ist, gibt es nach Ubungsaufgabe 35 (i) stetige Funktionen fn : Rd → [0, 1] mitfn ↑ 1O. Zum Nachweis von (3) reicht es daher nach dem Satz von Lebesgue zu zeigen,ist f : Rd → [0, 1] stetig, so gilt

(4) P ((f Y ) · 1A) = P (f Y )P (A).

Da Xt −Xs+1/n unabhangig von As+1/n ist, ist auch f (Xt −Xs+1/n) unabhangig vonAs+1/n und somit erst recht von A ∈ As+1/n. Also gilt nach S. 9.7

(5) P (f (Xt −Xs+1/n)1A) = P (f (Xt −Xs+1/n))P (A).

Da s → Xs rechtsseitig stetig und f stetig ist, folgt

(6) f (Xt −Xs+1/n) → f Y.

Aus (5) und (6) folgt dann mit dem Konvergenzsatz von Lebesgue die Aussage (4) undsomit (1).

Ist nun (Bt)t≥0 eine Brownsche-Bewegung bzgl. (At)t≥0, dann ist nach eben Bewiesenemfur 0 ≤ s < t auch Bt −Bs unabhangig von A+

s . 5.1 (i), (ii) und (iv) der Definition einerBrownschen Bewegung hangen aber gar nicht von der Filtration ab. Damit ist auch dieUberschrift des Satzes bewiesen.

C5(WS08/09) [5]–5

Finanzmathematik I

Fur das Folgende erweisen sich Filtrationen als nutzlich, die alle P -Nullmengen N ∈ Aenthalten.

5.8 Augmentierte Filtrationen

Sei (Ω,A, P ) ein W-Raum und (At)t≥0 eine Filtration. Wir sagen (At)t≥0 ist eineaugmentierte Filtration (bzgl. P |A) wenn gilt

(∀N ∈ A)(P (N) = 0 ⇒ N ∈ A0).

Setzt man N := A ∈ A : P (A) = 0, so ist also eine Filtration (At)t≥0 genaudann augmentiert, wenn N ⊂ A0 ist.

Wir wollen zeigen, dass jede Filtration zu einer augmentierten Filtration vergroßert wer-den kann. Hierzu zunachst eine Voruberlegung:

5.9 Hinzufugung von P |A-Nullmengen zu einer Teil-σ-Algebra

Sei (Ω,A, P ) ein W-Raum und C ⊂ A eine Teil-σ-Algebra. Dann setzt man

CP := Aσ(C ∪ N ) mit N := A ∈ A : P (A) = 0.Es gilt

(i)CP = C4N : C ∈ C, N ∈ N

= D ⊂ Ω : ∃C ∈ C mit D4C ∈ N.(ii) Ist U : Ω → Rd CP -messbar und V : Ω → Rd A-messbar mit P (U 6= V ) =

0, so ist V CP -messbar.

(iii) Ist U : Ω → Rd CP -messbar, so existiert eine C-messbare Abbildung V :=

Ω → Rd mit P (U 6= V ) = 0.

Beweis. Ubungsaufgabe 36.

5.10 (APt )t≥0 ist eine augmentierte Filtration

Sei(Ω,A, P ) ein W-Raum und (At)t≥0 eine Filtration. Dann ist (APt )t≥0 eine aug-

mentierte Filtration mit At ⊂ APt fur t ≥ 0.

(i) Ist X : Ω → Rd APt -messbar fur ein t ∈ [0,∞] und Y : Ω → Rd A-messbar

mit P (Y 6= X) = 0, so ist auch Y APt -messbar.

(ii) Ist X : Ω → Rd APt -messbar fur ein t ∈ [0,∞], so existiert ein Y : Ω → Rd,

welches At-messbar ist, mit P (X 6= Y ) = 0.

(iii) Es ist AP∞ = Aσ( ∪

t≥0AP

t ).

[5]–6 C5(WS08/09)

Die Brownsche Bewegung

Beweis. Wir wenden Satz 5.9 an auf

At := C fur ein t ∈ [0,∞].

Wegen APt = Aσ(At ∪N ) ist At ⊂ AP

t und (APt )t≥0 ist augmentiert.

(i) und (ii) folgen aus 5.9 (ii) und 5.9 (iii).

(iii) Wegen APt ⊂ AP

∞ folgt Aσ( ∪t≥0

APt ) ⊂ AP

∞. Die Umkehrung folgt aus A∞ ∪ N ⊂

Aσ( ∪t≥0

APt ), wegen AP

∞ = Aσ(A∞ ∪N ).

5.11 Augmentierte Filtrationen

Sei (Ω,A, P ) ein W-Raum und (At)t≥0 eine Filtration.

(i) (At)t≥0 ist augmentiert genau dann, wenn At = APt fur t ≥ 0 ist.

(ii) Ist (At)t≥0 augmentiert und X : Ω → Rd At-messbar fur ein t ∈ [0,∞],

sowie Y : Ω → Rd A-messbar mit P (X 6= Y ) = 0, so ist auch Y At-messbar.

Beweis. (i)”⇐“ siehe 5.10. Ist (At)t≥0 augmentiert, so gilt N ⊂ At und somit

APt = Aσ(At ∪N ) ⊂ At.

(ii) Nach (i) ist At = APt . Die Behauptung folgt daher aus 5.10 (i).

Eine unmittelbare Folgerung aus S. 3.23 Stochastik I ist:

5.12 Eine Brownsche Bewegung bzgl. (At)t≥0 ist auch eine Brownsche

Bewegung bzgl. (APt )t≥0

Sei (Ω,A, P ) ein W-Raum und (Xt)t≥0 ein bzgl. (At)t≥0 adaptierter Rd-wertigerProzess. Gilt dann fur zwei feste Zeitpunkte 0 ≤ s < t, dass Xt −Xs unabhangigvon As ist, dann ist auch Xt −Xs unabhangig von AP

s .

Beweis. Sei 0 ≤ s < t und Xt − Xs von As unabhangig. Dann ist Xt − Xs auch vonAs∪N unabhangig, undAs∪N ist ∩-stabil. Daher ist Xt−Xs auch von Aσ(As∪N ) = AP

s

unabhangig (siehe S. 3.23).

Die Behauptung der Uberschrift erhalt man wie folgt: Es sei (Bt)t≥0 eine BrownscheBewegung bzgl. (At)t≥0. Dann ist nach Definition 5.1 auch (Bt)t≥0 eine Brownsche Bewe-

gung bzgl. (APt )t≥0, wenn Bt − Bs unabhangig von AP

s ist. Dies hatten wir aber geradegezeigt, da Bt−Bs nach Definition einer Brownschen Bewegung bzgl. As unabhangig ist.

Es gilt das folgende, wichtige Ergebnis

C5(WS08/09) [5]–7

Finanzmathematik I

5.13 Standard-Filtration bzgl. einer Brownschen Bewegung

Sei (Ω,A, P ) ein W-Raum und (Bt)t≥0 eine d-dimensionale, Brownsche Bewegungbzgl. einer Filtration. Dann gilt

(i) (Bt)t≥0 ist eine Brownsche Bewegung bzgl. (ABt )Pt≥0.

(ii) Die Standard-Filtration At := (ABt )P ist rechtsseitig stetig.

Beweis. (i) Es ist (Bt)t≥0 eine d-dimensionale Brownsche Bewegung bzgl. (ABt )t≥0 und

daher auch bzgl. (At)t≥0 := (ABt )Pt≥0 nach 5.12 angewandt auf At := AB

t .

(ii) Siehe z.B. Karatzas-Shreve.

5.14 Das Blumenthalsche 0-1 Gesetz

Sei(Ω,A, P ) ein W-Raum und (Bt)t≥0 eine d-dimensionale Brownsche Bewegung

bzgl. einer Filtration. Dann gilt P (A) = 0 oder 1 fur jedes A ∈ A+0 und somit

erst recht fur jedes A ∈ (AB0 )+.

Beweis. Nach 5.13 (ii) gilt A0 = A+0 ⊃ (AB

0 )+. Somit bleibt zu zeigen P (A) = 0 oder

1 fur A ∈ A0. Nach 5.9 (i) gibt es zu A ∈ A0 ein A0 ∈ AB0 mit P (A4A0) = 0, also

insbesondere P (A) = P (A0). Zu A0 ∈ AB0 gibt es ein C ∈ B(Rd) mit A0 = B−1

0 (C), sodass

P (A0) = P (B−10 (C)) =

0 fur 0 6∈ C1 fur 0 ∈ C

ist,

da B0 = 0 P -f.s. nach Definition einer Brownschen Bewegung ist. Hieraus folgt dannP (A) = 0 oder 1.

Die Aussage des Blumenthalschen 0−1 Gesetzes besitzt wichtige Folgerungen: Sei (Bt)t≥0

eine reelle Brownsche Bewegung und wir stellen die Frage, wie schnell die BrownscheBewegung den Nullpunkt verlaßt. Betrachte hierzu eine feste stetige Funktion h :]0,∞[→]0,∞[, ein c ∈ R und Ac := ω : lim

t↓0Bt(ω)h(t) ≤ c. Dann gilt

(mit limt↓0

Bt(ω)h(t) := lim

t↓0sup

s∈]0,t]

Bs(ω)h(s) ) Ac ∈ AB

t fur jedes t > 0.

Somit ist Ac ∈ (AB0 )+ und es gilt P (Ac) = 0 oder 1 nach 5.14. Zum Nachweis von

P (Ac) = 1, reicht es also P (Ac) > 0 zu beweisen. Aus P (Ac) = 0 oder 1 fur jedes c ∈ Rfolgt, es gibt ein c0 ∈ R mit Pω : lim

t↓0Bt(ω)h(t) = c0 = 1 (siehe Ubungsaufgabe 42).

[5]–8 C5(WS08/09)

Die Brownsche Bewegung

5.15 Durch Brownsche Bewegungen erzeugte Martingale

Sei (Bt)t≥0 eine reelle Brownsche Bewegung bzgl. (At)t≥0. Dann gilt:

(i) (Bt)t≥0 ist ein Martingal bzgl. (At)t≥0.

(ii) (B2t − t)t≥0 ist ein ein Martingal bzgl. (At)t≥0.

(iii) (exp(αBt − α2

2 t))t≥0 ist ein Martingal bzgl.(At)t≥0 fur jedes α ∈ R.

Beweis. Da Borel-messbare Funktionen von (At)t≥0 adaptierten Prozessen, (At)t≥0

adaptiert sind, sind auch die Prozesse in (ii) und (iii) bzgl. (At)t≥0 adaptiert.

(i) Nach 5.1 (i) + (ii) ist Bt nach N(0, t)-verteilt. Also gilt

(1)∫

(Bt −Bs)dP = 0 fur 0 ≤ s < t.

Nun ist Bt − Bs unabhangig von As fur 0 ≤ s < t nach 5.1 (iii), und Bs ist As-messbar.Also gilt

P (Bt|As) = P (Bt −Bs|As) + Bs

=3.11

P (Bt −Bs) + Bs =(1)

0 + Bs = Bs.

(ii) Es sind B2t und BsBt integrierbar. Nun ist B2

t − t = (Bt −Bs)2 + 2BsBt −B2

s − t.Daher folgt, da Bt −Bs und somit (Bt −Bs)

2 von As unabhangig ist

P (B2t − t|As) = P ((Bt −Bs)

2|As) + 2P (BsBt|As)−B2s − t

3.11=

3.12(i)P (Bt −Bs)

2 + 2BsP (Bt|As)−B2s − t

5.1(ii)=(i)

(t− s) + 2B2s −B2

s − t = B2s − s.

(iii) Nach Ubungsaufgabe 33 folgt: Ist X nach N(0, σ2)-verteilt, so gilt

(2)∫

eXdP = eσ2/2.

Wir zeigen spater

(3)∫

exp(α(Bt −Bs))dP = eα2

2 (t−s) fur 0 ≤ s < t

(4) exp(αBt) ist P -integrierbar fur t ≥ 0.

Hieraus erhalt man wie folgt die Behauptung

P (exp[αBt − α2

2 t]|As) = P (exp(αBs) exp[α(Bt −Bs)− α2

2 t]|As)

(3)(4)=

3.12 (i)exp(αBs)P [(exp[α(Bt −Bs)− α2

2 t]|As) =3.11

= exp(αBs)∫

exp[α(Bt −Bs)− α2

t t]dP =(3)

= exp(αBs)eα2

2 (t−s)e−α2

2 t = exp(αBs − α2

2 s).

(3) folgt aus (2), da Bt−Bs nach N(0, t− s) und somit α(Bt−Bs) nach N(0, α2(t− s))-verteilt ist. (4) folgt aus (3) wegen B0 = 0 P -f.s.

C5(WS08/09) [5]–9

Finanzmathematik I

Die Pfade einer reellen Brownschen Bewegung (Bt)t≥0 sind P -f.s. auf jedem Intervall [0, t]

von unbeschrankter Variation (siehe 5.20). Eine pfadweise Integration∫ t0 f(s)B(ds, ω)

auch nur fur alle stetigen Funktionen f ist daher nicht moglich. Dies ist der Grund,

dass ein Integral der Form∫ t0 XsdBs fur previsible Prozesse nicht als pfadweises Inte-

gral∫ t0 Xs(ω)B(ds, ω) eingefuhrt werden kann, d.h. fur festes ω ∈ Ω als Integral von

[0, t] 3 s → X(s, ω) bzgl. [0, t] 3 s → B(s, ω). Wir werden statt dessen in den nachstenParagrafen die stochastische Integration entwickeln.

5.16 Funktionen von beschrankter Variation

(i) Seien a < b und h : [a, b] → R. Dann heißt h von beschrankter Variationuber [a, b], wenn die Variation Va,b(h) endlich ist:

Va,b(h) := sup∑n

ν=1 |h(xν)− h(xν−1)| : a = x0 < x1 . . . < xn = b, n ∈ N.(ii) g : [0,∞[→ R heißt von lokal beschrankter Variation, wenn h := g|[a; b] von

beschrankter Variation uber [a, b] fur alle 0 ≤ a < b ist.

Fur das Folgende benotigen wir den Begriff der Zerlegung von [a, b] und der regularenZerlegungsfolge.

5.17 Zerlegung von [a, b] und regulare Zerlegungsfolgen

(i) Ist a < b, so heißt Z := Za,b = (x0, . . . , xk) eine Zerlegung von [a, b], wenna = x0 < x1 . . . < xk = b ist.

δ(Za,b) := max|xν − xν−1| : ν = 1, . . . , k heißt die Zerlegungsweite.

(ii) Eine Folge von Zerlegungen Za,bn heißt regulare Zerlegungsfolge von [a, b],

wenn δ(Za,bn ) −→

n→∞0.

(iii) Ist h : [a, b] → R, so gibt es eine regulare Zerlegungsfolge Za,bn = (xn

0 , . . . , xnkn

)mit kn∑

ν=1|h(xn

ν )− h(xnν−1)| −→n→∞

Va,b(h).

Beweis. (iii) Ubungsaufgabe 37 (i).

5.18 Stetige Funkionen von beschrankter Variation besitzen quadrati-sche Variation 0

Sei h : [a, b] → R stetig und von beschrankter Variation. Dann gilt fur jede regulare

Zerlegungsfolge Za,bn = (xn

0 , xn1 , . . . , xn

kn) von [a, b] :

kn∑ν=1

[h(xnν )− h(xn

ν−1)]2 −→

n→∞0.

Beweis. Ubungsaufgabe 37 (ii).

[5]–10 C5(WS08/09)

Die Brownsche Bewegung

5.19 Reelle Brownsche Bewegungen besitzen im L2-Sinne endliche undpositive quadratische Variation

Sei (Bt)t≥0 eine reelle Brownsche Bewegung und 0 ≤ a < b. Dann gilt fur jede

regulare Zerlegungsfolge Za,bn = (xn

0 , . . . , xnkn

) von [a, b], dass

QZn :=kn∑

ν=1(Bxn

ν −Bxnν−1

)2 −→n→∞

(b− a) im L2(P ).

Insbesondere gibt es daher eine Teilfolge mit

(QZn)n∈N1→ (b− a) P -f.s.

Beweis. Es gilt mit

(1) Dν := (Bxnν −Bxn

ν−1)2 − (xn

ν − xnν−1), ν = 1, . . . , kn.

(2) E(Dν) = 0, D1, . . . , Dkn sind unabhangig.

Da Bxnν −Bxn

ν−1nach N(0, xn

ν−xnν−1)-verteilt ist, gilt E(Dν) = 0 fur ν = 1, . . . , kn. Ferner

sind nach 5.6 auch Bxnν − Bxn

ν−1, ν = 1, . . . , kn unabhangig und somit nach Stochastik I

auch Dν , ν = 1, . . . , kn.

Ist X N(0, 1)-verteilt, so gilt E(X4) = 3 und somit

(3) Y N(0, t)-verteilt ⇒ E(Y 4) = t2E( Y√t)4 = 3t2.

Also erhalten wir

(4)

E(D2ν) =

(1)E(Bxn

ν −Bxnν−1

)4 − 2(xnν − xn

ν−1)E(Bxnν −Bxn

ν−1)2 + (xn

ν − xnν−1)

2

=(3)

3(xnν − xn

ν−1)2 − 2(xn

ν − xnν−1)

2 + (xnν − xn

ν−1)2 = 2(xn

ν − xnν−1)

2.

Also gilt wegen (b− a) =∑kn

ν=1(xnν − xn

ν−1)

E[kn∑

n=1(Bxn

ν −Bxnν−1

)2 − (b− a)]2 =(1)

E[kn∑

ν=1Dν ]2

=(2)

kn∑ν=1

E(D2ν) =

(4)2

kn∑ν=1

(xnν − xn

ν−1)2 ≤ 2δ(Za,b

n )(b− a) −→n→∞

0.

Aus der L2(P )-Konvergenz folgt die stochastische Konvergenz von QZn gegen (b − a).Also gibt es auch eine Teilfolge von QZn die P -f.s. gegen b− a konvergiert.

5.20 Reelle Brownsche Bewegungen sind von unbeschrankter lokalerVariation

Außerhalb einer Nullmenge sind alle Pfade einer reellen Brownschen Bewegung aufjedem Intervall [a, b] mit 0 ≤ a < b von unbeschrankter Variation.

C5(WS08/09) [5]–11

Finanzmathematik I

Beweis. Es reicht z. z. fur p, q rational mit p < q, gibt es eine Nullmenge Np,q mit

(1) Vp,q(Bt(ω)|[p, q]) = ∞ fur ω 6∈ Np,q.

Denn dann ist N := ∪p<q∈Q

Np,q eine Nullmenge und fur ω 6∈ N ist Va,b(Bt(ω)|[a, b]) = ∞

fur jedes a, b ∈ [0,∞[ mit a < b. Benutze hierzu, dass es zu solchen a, b rationale Zahlen0 ≤ p < q mit a ≤ p < q ≤ b gibt, und Va,b(Bt(ω)|[a, b]) ≥ Vp,q(Bt(ω)|[p, q]) ist.

Zu (1): Nach 5.19 gibt es eine regulare Zerlegungsfolge Zn := Zp,qn , mit Np,q ∈ A sowie

P (Np,q) = 0 und

(2) QZn(ω) −→n→∞

(q − p) fur ω 6∈ Np,q.

Fur jedes feste ω ∈ Ω ist die Funktion h definiert durch h(t) = B(t, ω) fur t ∈ [p, q] stetig,und nach (2) gilt:

QZn(ω) =kn∑

ν=1[h(xn

ν )− h(xnν−1)]

2 → q − p > 0 fur ω 6∈ Np,q.

Somit folgt nach 5.18 fur ω 6∈ Np,q, dass Vp,q(h) = ∞ ist. Also gilt (1).

Bezuglich Funktionen von lokal-beschrankter Variation sind eine große Klasse von Funk-tionen Riemann-Stieltjes integrierbar.

5.21 Das Riemann-Stieltjes Integral

Sei f : [a, b] → R und h : [a, b] → R. Sei Za,bn = (xn

0 , . . . , xnkn

) eine Zerlegung von

[a, b]. Setze

S(f,Za,bn ) :=

kn∑ν=1

f(xnν−1)[h(xn

ν )− h(xnν−1)].

Konvergiert dann S(f,Za,bn ) fur jede regulare Zerlegungsfolge Za,b

n so heißt der von

der regularen Zerlegungsfolge unabhangige Grenzwert limn→∞

S(f,Za,bn ) das Riemann-

Stieltjes Integral von f uber [a, b] bzgl. h und wird mit∫ ba f dh =

b∫a

f(x)h(dx)

bezeichnet.

Aus der Definition folgt, dass die Riemann-Stieltjes integrierbaren Funktionen einen li-nearen Raum bilden, und dass das Riemann-Stieltjes Integral eine lineare Abbildung ist.

Haufig fordert man fur die Riemann-Stieltjes-Integrierbarkeit eine starkere Konvergenzei-genschaft, namlich die Konvergenz aller Zwischensummenfolgen∑kn

ν=1 f(ξnν )[h(xn

ν )− h(xnν−1)] mit ξn

ν ∈ [xnν−1, x

nν ].

Wir sprechen in diesem Fall von einem starken Riemann-Stieltjes Integral. Unser Ziel istes zumindestens fur stetige Prozesse (Xs)s≥0 und stetige L2(P )-Martingale (Ms)s≥0 das

Integral∫ t0 Xs dM fur alle t > 0 einzufuhren. Betrachten wir z.B. die reelle Brownsche

Bewegung, so ist (Bs)s≥0 ein stetiges L2(P )-Martingal (siehe 5.15 (i)). Man konnte nun

versuchen∫ t0 Xs dB als punktweises Riemann-Stieltjes Integral einzufuhren, d.h. fur festes

ω durch ∫ t0 X(s, ω), B(ds, ω) = lim

n→∞

kn∑ν=1

X(xnν−1, ω)[B(xn

ν , ω)−B(xnν−1, ω)].

[5]–12 C5(WS08/09)

Die Brownsche Bewegung

Unser Ziel ware es also zumindestens fur stetige Funktionen f : [0, t] → R das Integral∫ t0 f(x)B(dx, ω) als Riemann-Stieltjes Integral zu erklaren. Dieser Versuch scheitert je-

doch klaglich, da dann [0, t] 3 s → B(s, ω) von beschrankter Variation sein mußte (siehe5.22). Dieses ist jedoch (bis auf eine Nullmenge) nie der Fall nach 5.20.

Mit funktionalanalytischen Mitteln lasst sich beweisen

5.22 Naive stochastische Integration ist unmoglich

Sei h : [a, b] → R und Zn eine regulare Zerlegungsfolge von [a, b] mit∑knν=1 |h(xn

ν )− h(xnν−1)| −→n→∞

Va,b(h).

Existiert dann fur jede stetige Funktion f : [a, b] → R der Grenzwert in R von

kn∑ν=1

f(xnν−1)[h(xn

ν )− h(xnν−1)] fur n →∞,

so ist h von beschrankter Variation uber [a, b].

Die in 5.22 gemachte Voraussetzung∑kn

ν=1 |h(xnν )− h(xn

ν−1)| → Va,b(h) ist fur rechtssei-tige stetige h fur jede regulare Zerlegungsfolge erfullt.

5.23 Satz

Sei h : [a, b] → R rechtsseitig stetig, dann gilt fur jede regulare Zerlegungsfolge

Za,bn = (xn

0 , . . . , xnkn

)

kn∑ν=1

|h(xnν )− h(xn

ν−1)| −→n→∞Va,b(h).

Beweis. Ubungsaufgabe 38

Sei (Bt)t≥0 eine reelle Brownsche Bewegung bzgl. (ABt )t≥0 und

(Xt)t≥0 ein zu (ABt )t≥0 adaptierter und stetiger Prozess.

Wir werden im § 7 zeigen, dass fur jede regulare Zerlegungsfolge von [0, t] gilt, dass

Sn(ω) :=kn∑

ν=1X(xn

ν−1, ω)[B(xnν , ω)−B(xn

ν−1, ω)]

in Wahrscheinlichkeit gegen das noch zu definierende stochastische Integral∫ t0 X dB fur

n →∞ konvergiert (∫ t0 X dB ist eine reelle Zufallsvariable). Also gibt es fur jede regulare

Zerlegungsfolge eine Teilfolge von Sn die P -f.s. gegen∫ t0 X dP konvergiert. Somit existiert

insbesondere eine regulare Zerlegungsfolge, so dass fur ω 6∈ N1 mitP (N1) = 0 gilt:

(I)kn∑

ν=1X(xn

ν−1, ω)[B(xnν , ω)−B(xn

ν−1, ω)] → (∫ t0 X dB)(ω) ∈ R.

Nach 5.20 und 5.23 gilt fur ω 6∈ N2 mit P (N2) = 0

C5(WS08/09) [5]–13

Finanzmathematik I

(II)kn∑

ν=1|B(xn

ν , ω)−B(xnν−1, ω)| −→

n→∞Va,b(Bω|[0, t]) = ∞.

Setzt man N := N1 ∪N2, so ist P (N) = 0 und fur alle ω 6∈ N gelten (I) und (II) gleich-zeitig. Dies widerspricht jedoch nicht dem Satz 5.22, da nicht alle stetigen Prozesse zurpunktweisen Integration zugelassen werden, sondern nur stetige und adaptierte Prozesse.

Warum wird in (I) der Punkt xnν−1 und nicht xn

ν fur X ausgewahlt?

(α) Bei Auswahl von xnν−1 an Stelle von xn

ν ist (∫ t0 X dB)t≥0 wieder ein Martingal,

bei xnν in der Regel nicht; so gilt fur jede regulare Zerlegungsfolge von [0, t]

Ln :=kn∑

ν=1B(xn

ν−1, ω)[B(xnν , ω)−B(xn

ν−1, ω)]stoch.−→n→∞

∫ t0 BdB

und (∫ t0 B dB)t≥0 ist ein Martingal. Setzt man

Rn :=kn∑

ν=1B(xn

ν , ω)[B(xnν , ω)−B(xn

ν−1, ω)],

so gilt

Rn − Ln =kn∑

ν=1[B(xν , ω)−B(xn

ν−1, ω)2]5.19−→

stoch.t.

Da (∫ t0 B dB)t≥0 ein Martingal ist, kann lim

n→∞Rn = (

∫ t0 B dB + t)t≥0 kein Mar-

tingal sein.

(β) Beschreibt X die Handelsstrategie und S den Preis einer Aktie, und andert manden Anteil der Aktie zu den Zeitpunkten xn

k fur k = 0, . . . , kn− 1 zu X(xnk , ω), so

ist der Gesamtgewinn im Zeitintervall [0, t] gegeben durch

kn−1∑k=0

X(xnk , ω)[S(xn

k+1, ω)− S(xnk , ω)] =

kn∑ν=1

X(xnν−1, ω)[S(xn

ν , ω)− S(xnν−1, ω)]

und nicht durchkn∑

ν=1X(xn

ν , ω)[S(xnν , ω)− S(xn

ν−1(ω)].

Um nicht nur stetige, adaptierte Prozesse integrieren zu konnen, wird die obige Vor-gehensweise (mittels Definition von Summen Sn) nicht zur Definition des stochastischenIntegrals verwenden, sondern eine allgemeinere Vorgehensweise, die eine Analogie zurLebesgue-Stieltjes Integration darstellt. Zur Einfuhrung dieses Lebesgue-Stieltjes Inte-grals dient der folgende Satz.

5.24 Rechtsseitig stetige Funktionen von lokalbeschrankter Variationsind Differenz zweier monotoner, rechtsseitig stetiger Funktionen

Sei g : [0,∞[→ R eine rechtsseitig stetige Funktion von lokalbeschrankter Variationmit g(0) = 0. Eine solche Funktion heiße l.b.V.-Funktion. Dann gilt:

(i) g besitzt linksseitige Grenzwerte.

[5]–14 C5(WS08/09)

Die Brownsche Bewegung

(ii) Es gibt zwei eindeutig bestimmte Funktionen F1, F2 : [0,∞[→ R mit denfolgenden drei Eigenschaften.

(I) g = F1 − F2.

(II) F1, F2 sind monoton nicht fallend und rechtsseitig stetig mit

F1(0) = F2(0) = 0.

(III) Haben wir eine Zerlegung g = F 1− F 2 mit F 1, F 2 die (II) erfullen, sogilt

F1 ≤ F 1, F2 ≤ F 2.

(iii) Setze g (x) := V0,x(g) fur x ∈ [0,∞[ (wobei Va,a(g) = 0 gesetzt sei). Dannist g (0) = 0, und g ist monoton nicht fallend, rechtsseitig stetig undbesitzt linksseitige Grenzwerte. Ferner ist g = F1 +F2 mit F1, F2 aus (ii).

(iv) g ist genau dann stetig in x0, wenn g stetig in x0 ist.

Beweis. (i) Da monotone Funktionen linksseitige Grenzwerte besitzen, folgt (i) unmit-telbar aus der in (ii) angegebenen Zerlegung.

(ii) Es ergibt sich fur 0 ≤ a ≤ b ≤ c aus der Definition der Variation (beachte Va,a(g) :=0)

Va,b(g) + Vb,c(g) = Va,c(g).

Setze nun fur x ∈ [0,∞[

F1(x) := 12 [V0,x(g) + g(x)], F2(x) := 1

2 [V0,x(g)− g(x)].

Dann gilt g = F1 − F2 mit F1(0) = F2(0) = 0. Der Beweis des Restes von (ii) und (iii) +

(iv) erfolgen in Ubungsaufgabe 43.

Analog zur Stochastik I beweist man

5.25 Rechtsseitig stetige, monoton nicht fallende Funktionen liefernBorel-Maße

(i) Ist F : [0,∞[→ R monoton nicht fallend und rechtsseitig stetig mit F (0) = 0,so existiert genau ein Maß µF auf B(]0,∞[) mit

F (t) = µF (]0, t]) fur t ≥ 0.

(ii) Fur t > 0 ist F genau dann stetig in t, wenn µF (t) = 0 ist.

(iii) Ist µ : B(]0,∞[) → [0,∞] ein Maß mit µ(]0, t]) < ∞ fur t ≥ 0, so istF (t) :=µ(]0, t]), t ≥ 0 monoton nicht fallend, rechtsseitig stetig mit F (0) = 0.Ferner gilt fur das nach (i) mit F gebildete µF , dass µF = µ ist.

(iv) Die Abbildung F → µF ist eine bijektive Abbildung von der Menge dermonoton nicht fallenden, rechtsseitig stetigen Funktionen F : [0,∞[→ RmitF (0) = 0 auf die Menge aller Maße µ auf B(]0,∞[) mit µ(]0, t]) < ∞fur t ≥ 0.

C5(WS08/09) [5]–15

Finanzmathematik I

Beweis. (i) Die Eindeutigkeit von µF folgt aus dem Eindeutigkeitssatz fur Maßeangewandt auf das ∩-stabile System C = ]0, t] : t ≥ 0 wegen Aσ(C) = B(]0,∞[).

Setzt man µF (]s, t]) := F (t) − F (s) fur s ≤ t, so kann man nachweisen, dass µF aufdem Semiring S = ]s, t] : 0 ≤ s ≤ t σ-additiv ist. Nach dem Erweiterungssatz vonCaratheodory (siehe Stochastik I oder Bauer Maßtheorie, Satz 5.1 Seite 23), laßt sichdann µF zu einem Maß auf B(]0,∞[) erweitern.

(ii) Sei t > 0. Dann gilt, da µF ein Maß ist

µF (t) = lims↑t

µF (]s, t]) = lims↑t

[F (t)− F (s)] = F (t)− F (t−).

Also ist die linksseitige Stetigkeit von F in t aquivalent zu µFt = 0. Da F rechtsseitigstetig in t nach Voraussetzung ist, folgt (ii).

(iii) F ist monoton nicht fallend, da aus s ≤ t folgt F (s) = µ(]0, s]) ≤ µ(]0, t]) = F (t).Die rechtsseitige Stetigkeit von F folgt aus der absteigenden Stetigkeit von Maßen.

Es ist µ(]0, t]) = F (t) = µF (]0, t]) fur t ≥ 0 und daher µ = µF auf B(]0,∞[) nach (i).

(iv) Nach (i) ist F → µF eine Abbildung von den monton nicht fallenden, rechtsseitigstetigen Funktionen mit F (0) = 0 in die Menge aller Borel-Maße uber ]0,∞[, die endlichuber allen ]0, t] sind. Aus F1(t) 6= F2(t) fur ein t > 0 folgt µF1(]0, t]) 6= µF2(]0, t]). Dieangegebene Abbildung ist also injektiv. Die Abbildung ist surjektiv nach (iii).

5.26 Zerlegungseigenschaft von g impliziert Zerlegungseigenschaft vonµ g

Sei g : [0,∞[→ R eine rechtsseitig stetige Funktion von lokalbeschrankter Variationmit Darstellung g = g(0)+F1−F2, g = F1+F2 gemaß 5.24. Dann sind g , F1, F2

drei Funktionen die den Voraussetzungen von F in 5.25 genugen. Die zu g , F1

und F2 gehorigen Maße Borel-Maße µ g , µF1 und µF2 genugen dann folgendenBedingungen.

(i) µ g = µF1 + µF2 .

(ii) Fur A ∈ B(]0,∞[) gilt

µ g (A) = 0 ⇐⇒ µF1(A) = µF2(A) = 0.

(iii) Fur t > 0 gilt:

g ist stetig in t ⇐⇒ g ist stetig in t ⇐⇒ µ g (t) = 0.

(iv) Ist f Borel-messbar so gilt:

f ist bzgl. µ g -integrierbar ⇐⇒ f ist bzgl. µF1 und µF2 integrierbar. Furµ g -integrierbares f gilt∫

f dµ g =∫

f dµF1 +∫

f dµF2 .

(v) Haben wir eine weitere Zerlegung g = g(0) + F 1 − F 2 mit F 1, F 2 die (II)

von 5.24 (ii) erfullen, so gilt µFi ≤ µF i fur i = 1, 2 und µ g ≤ µF 1 + µF 2 .

Beweis. Man beachte, dass h(t) := g(t)−g(0) eine Funktion ist, die den Voraussetzungen5.24 erfullt mit h = g . Hieraus folgt die angegebene Zerlegung mit 5.24.

[5]–16 C5(WS08/09)

Die Brownsche Bewegung

(i) Auf Grund des Eindeutigkeitssatzes fur Maße reicht es fur t > 0, wegen (µF1 +

µF2)]0, t] = µF1(]0, t]) + µF2(]0, t]), zu zeigen

µ g (]0, t]) = µF1(]0, t]) + µF2(]0, t]).

Dies folgt unmittelbar aus der Zerlegungseigenschaft von g

µ g (]0, t]) =5.25

g (t) = F1(t) + F2(t) =5.25

µF1(]0, t]) + µF2(]0, t]).

(ii) folgt unmittelbar aus (i).

(iii) Die erste Aquivalenz folgt aus 5.24 (iv).

Die zweite aus 5.25 (ii) angewandt auf F := g .

(iv) Man zeigt in der ublichen Weise, dass wegen (i) fur nicht negative Borel-messbareFunktionen f gilt: ∫

f dµ g =∫

f dµF1 +∫

f dµF2 .

Hieraus erhalt man (iv).

(v) Erfolgt in Ubungsaufgabe 44.

Sei f : ]0,∞[→ R B(]0,∞[)-messbar, dann heißt f Lebesgue-Stieltjes integrierbar bzgl.g, wenn f bzgl. µ g |B(]0,∞[) integrierbar im Sinne der Stochastik (I) ist. Nach 5.26 (iv)

ist dies auch aquivalent zu f ist bzgl. µF1 und µF2 integrierbar.

5.27 Das Lebesgue-Stieltjes Integral

Sei g : [0,∞[→ R eine rechtsseitig stetige Funktion von lokal beschrankter Variation.Dann nennt man L(g) := L(µ g ), das System der Lebesgue-Stieltjes integrierbarenFunktionen bzgl. g. Man setzt fur f ∈ L(g)∫

f dg :=∫

f dµF1 −∫

f dµF2 .

Ist f : [a, b] → R mit 0 ≤ a < b, so setzt man

f]a,b](x) =

f(x) fur x ∈]a, b]

0 fur x ∈]0,∞[\]a, b].

Nach Definition in 5.27 ist L(g) = L(g − g(0)) und∫

fdg =∫

fd(g − g(0)) fur f ∈ L(g).

Ist F : [0,∞[→ R rechtsseitig stetig und monoton nicht fallend und F (0) = 0, so ist

L(F ) = L(µF ) und∫

f dF =∫

f dµF .

Als Eigenschaften erhalten wir mit Hilfe der Stochastik I:

C5(WS08/09) [5]–17

Finanzmathematik I

5.28 Eigenschaften des Lebesgue-Stieltjes Integrals

Sei g : [0,∞[→ R eine rechtsseitig stetige Funktion von lokal beschrankter Variation.Dann gilt:

(i) L(g) ist R-linearer Raum der mit f auch |f | enthalt, und

L(g) 3 f →∫

f dg ist R-linear.

(ii) Sind fn, f B(]0,∞[)-messbar und fn → f µ g -f.u. mit |fn| ≤ h µ g f.u.und h ∈ L(g), dann folgt

fn, f ∈ L(g) und∫

fn dg →∫

f dg.

(iii) Ist f =n∑

ν=1αν1]xν ,yν ] mit 0 ≤ xν < yν , so gilt f ∈ L(g) und

∫f dg =

n∑ν=1

αν(g(yν)− g(xν)).

(iv) Ist f : [a, b] → R linksseitig stetig mit rechtsseitigen Grenzwerten und0 ≤ a < b, so ist f]a,b] ∈ L(g).

(v) Fur f ∈ L(g) gilt

|∫

f dg| ≤∫|f |d g =

∫|f |dµ g .

(vi) Ist A ∈ B(]0,∞[) mit µ g (A) = 0, so ist∫A

f dg = 0 fur jede B(]0,∞[)-

messbare Funktion f.

Beweis. (i) L(g) = L(µ g ) ist nach Stochastik I ein R-linearer Raum, der mit f auch|f | enthalt.

Die R-Linearitat von L(g) 3 f →∫

f dg folgt nach Stochastik I wegen∫f dg =

∫f dµF1 −

∫f dµF2 .

(ii) Da h ∈ L(µ g ), ist h ∈ L(µFi) fur i = 1, 2 nach 5.26 (iv). Aus 5.26 (ii) folgtfn −→

n→∞f µFi f.u. und |fn|, |f | ≤ h µFi-f.u.. Somit sind nach Stochastik I dann fn, f ∈

L(µFi) mit∫

fndµFi →∫

f dµFi fur i = 1, 2. Die Behauptung folgt aus∫fn dg =

∫fn dµFi −

∫fn dµF2 ,

∫f dg =

∫f dµF1 −

∫f dµF2 .

(iii) Nach (i) ist∫

f dg =n∑

i=1αν

∫1]xν ,yν ]dg. Die Behauptung folgt nun aus∫

1]xν ,yν ]dg =Def.

∫1]xν ,yν ]dµF1 −

∫1]xν ,yν ]dµF2

= µF1(]xν , yν ])− µF2(]xν , yν ]) = F1(yν)− F1(xν)− (F2(yν)− F2(xν))

= g(yν)− g(xν).

(iv) Eine linksseitig stetige Funktion f : [a, b] → R mit rechtsseitigen Grenzwerten istgleichmaßiger Limes von Treppenfunktion und somit insbesondere beschrankt und Borel-messbar. Also ist f]a,b] Borel-messbar mit |f]a,b]| ≤ c1]a,b]. Da c1]a,b] ∈ L(µ g ) ist, ist

f]a,b] ∈ L(µ g ) (wende (ii) an auf fn = f := f]a,b])

[5]–18 C5(WS08/09)

Die Brownsche Bewegung

(v) Es gilt

|∫

f dg| = |∫

f dµF1 −∫

f dµF2 | ≤ |∫

f dµF1 |+ |∫

f dµF2 |≤St.I

∫|f |dµF1 +

∫|f |dµF2 =

5.26 (iv)

∫|f |dµ g .

(vi) Da 1Af = 0 µ‖g‖ – f.u. ist, ist 1Af ∈ L(g)mit |

∫A

f dg| = |∫

1Af dg| ≤(v)

∫1A|f |dµ g = 0.

Im Folgenden zeigen wir, dass eine linksseitig stetige Funktion f : [a, b] → R mit rechtssei-tigen Grenzwerten auch Riemann-Stieltjes integrierbar ist, und dass das Riemann-Stieltjes

Integral∫ ba f dg gleich dem Lebesgue-Stieltjes Integral

∫f]a,b]dg ist.

5.29 Zusammenhang zwischen dem Riemann-Stieltjes Integral unddem Lebesgue-Stieltjes Integral

Sei g : [0,∞[→ R eine rechtsseitig stetige Funktion von lokalbeschrankter Variation.

Sei 0 ≤ a < b und f : [a, b] → R eine linksseitig stetige Funktion mit rechtsseitigenGrenzwerten. Dann gilt:

(i) Das Riemann-Stieltjes Integral∫ ba f dg von f bzgl. g|[a, b] existiert.

(ii) Das Lebesgue-Stieltjes Integral∫

f]a,b]dg existiert, und es gilt∫ ba f(x)g(dx) :=

∫ ba f dg =

∫f]a,b]dg =:

∫f]a,b](x)g(dx).

(iii) Ist f : [a, b] → R sogar stetig, dann gilt fur jede regulare Zerlegungsfolge

Za,bn und beliebigen ξn

ν ∈ [xnν−1, x

nν ], dass

kn∑ν=1

f(ξnν )[g(xn

ν )− g(xnν−1)] →

∫ ba f dg.

Beweis. Das Lebesgue-Stieltjes Integral∫

f]a,b]dg existiert nach 5.28 (iv). Sei nun Za,bn

eine regulare Zerlegungsfolge. Dann reicht es zum Nachweis von (i) und (ii) zu zeigen

(1)kn∑

ν=1f(xn

ν−1)[g(xnν )− g(xn

ν−1)] →∫

f]a,b]dg.

Aus (1) folgt dann namlich die Existenz des Riemann-Stieltjes Integrals mit∫ ba f dg =∫

f]a,b]dg.

Zum Nachweis von (1) setze:

(2) fn(x) :=kn∑

ν=1f(xn

ν−1)1]xnν−1,xn

ν ](x) :]0,∞[→ R.

Sei c := supx∈[a,b]

|f(x)|. Dann gilt c < ∞ (f besitzt links- und rechtsseitige Grenzwerte) und

(3) |fn(x)| ≤ c1]a,b] ∈ L(g).

Zum Nachweis von (1) reicht es zu zeigen

C5(WS08/09) [5]–19

Finanzmathematik I

(4) fn(x) → f]a,b](x) fur x ∈]0,∞[.

Aus (3) und (4) folgt dann namlich nach 5.28

kn∑ν=1

f(xnν−1)[g(xn

ν )− g(xnν−1)]

5.28 (iii)=

∫fndg

5.28(ii)−→n→∞

∫f]a,b]dg.

Zu (4): Nach Definition von fn und f]a,b] reicht es (4) fur x ∈]a, b] zu beweisen. Nun

gibt es zu x ∈]a, b] fur jedes n genau ein ν(n) ∈ N mit x ∈]xnν(n)−1, x

nν(n)]. Es ist dann

fn(x) = f(xnν(n)−1) mit xν(n)−1 < x und xν(n)−1 −→

n→∞x, da δ(Za,b

n ) −→n→∞

0.

Da f linksseitig stetig ist, gilt daher fn(x) = f(xnν(n)−1) −→n→∞

f(x), d.h. es gilt (4).

(iii) Wegen (1) reicht es zu zeigen

(5) an :=kn∑

ν=1[f(xn

ν−1)− f(ξnν )][g(xn

ν )− g(xnν−1)] −→n→∞

0.

Da f gleichmaßig stetig auf [a, b] ist, folgt sup1≤ν≤kn

|f(xnν−1)− f(ξn

ν )| −→n→∞

0. Hieraus folgt

(5) wegen V[a,b](g) < ∞ aus

|an| ≤ sup1≤ν≤kn

|f(xnν−1)− f(ξn

ν )|kn∑

ν=1|g(xn

ν )− g(xnν−1)|

≤ sup1≤ν≤kn

|f(xnν−1)− f(ξn

ν )|Va,b(g) −→n→∞

0.

Auf Grund des Satzes 5.29 (ii) schreiben wir auch∫ ba f dg fur das Lebesgue-Stieltjes-

Integral von f]a,b]. Wir definieren noch

5.30 Lokal Lebesgue-Stieltjes integrierbare Funktionen

Sei g eine rechtsseitig stetige Funktion von lokal beschrankter Variation und f :]0,∞[→ R eine B(]0,∞[)-messbare Funktion. f heißt lokal bzgl. g Lebesgue-Stieltjes integrierbar, wenn f]0,t] = 1]0,t]f fur jedes t ≥ 0 bzgl. g Lebesgue-Stieltjes

integrierbar ist. Wir setzen∫ ba f dg :=

∫1]a,b]f dg fur bzgl. g lokal Lebesgue-

Stieltjes integrierbare Funktionen f.

5.31 Lokal Lebesgue-Stieltjes integrierbare Funktionen werden durchIntegration zu Funktionen von lokal beschrankter Variation

Sei g : [0,∞[→ R rechtsseitig stetig und von lokalbeschrankter Variation. Seif :]0,∞[→ R lokal Lebesgue-Stieltjes integrierbar bzgl. g. Setze

h(t) :=∫ t0 f dg fur t ≥ 0.

[5]–20 C5(WS08/09)

Die Brownsche Bewegung

(i) h ist rechtsseitig stetig und von lokal-beschrankter Variation mit h(0) = 0.

(ii) Mit g ist auch h stetig in t > 0.

(iii) Sei k : ]0,∞[→ R linksseitig stetig und besitze rechtsseitige Grenzwerte.Dann ist k lokal Lebesgue-Stieltjes integrierbar bzgl. h und k f bzgl. g, undes gilt∫ t

0 k dh =∫ t0 k f dg.

(iv) Sei k :]0,∞[→ R Borel-messbar. Dann ist 1]0,t]k genau dann bzgl. h-inte-grierbar, wenn 1]0,t]kf bzgl. g integrierbar ist, und es gilt bei Integrierbarkeit∫ t

0 k dh =∫ t0 kf dg.

Beweis. (i) - (iii) Ubungsaufgabe 45.

(iv) Beweisskizze: In (i) wird bewiesen Vs,t(h) ≤∫

1]s,t]|f |dµ g . Man zeigt alsVerscharfung hiervon

µ h (]s, t]) =Def.

Vs,t(h) =∫

1]s,t]|f |dµ g .

Hieraus folgt nach dem Eindeutigkeitssatz fur Maße

µ h (B) =∫

1B|f |dµ g fur B ∈ B(]0,∞[).

Hieraus folgt fur nicht negative Borel-messbare u :]0,∞[→ [0,∞[∫udµ h =

∫u|f |dµ g .

Betrachtet man u := |k|1]0,t], so folgt die Aussage uber die Aquivalenz der Integrierbar-keiten. Zum Nachweis uber die Gleichheit der Integrale konnen wir k ≥ 0 mit Tragerin ]0, t] voraussetzen. Analog zum Eindeutigkeitssatz fur Maße zeigt man, dass aus∫

1]s,u]dh = h(u)− h(s) =∫

1]s,u]f dg folgt

(3)∫

1Bdh =∫

1Bf dg fur B ∈ B(]0, t]).

Sei nun 0 ≤ en eine Folge von elementaren B(]0,∞[)-messbaren Funktionen mit Trager in]0, t] und en ↑ k. Es sei k bzgl. h integrierbar und somit k · f bzgl. g. Dann folgt, wegen|enf | ≤ k|f |, durch zweimalige Anwendung von 5.28 (ii)∫

k dh = limn→∞

∫en dh =

(3)lim

n→∞

∫enf dg

=∫

kf dg.

Wegen k = k1]0,t] folgt die Behauptung.

Die zur Beschreibung von Aktienkursen (St)t≥0 benutzten stetigen Semimartingale (sieheauch Definition 2.1) werden definiert durch St = Mt + Vt, hierbei ist (Mt)t≥0 ein stetiges(lokales) Martingal und (Vt)t≥0 ein stetiger l.b.V. Prozess im Sinne von Definition 5.32.

C5(WS08/09) [5]–21

Finanzmathematik I

5.32 L.b.V. Prozesse

Ein bzgl. der Filtration (At)t≥0 adaptierter, reellwertiger stochastischer Prozess(Vt)t≥0 heißt ein v.l.b.V. Prozess bzgl. (At)t≥0, wenn fur alle ω ∈ Ω gilt

[0,∞[3 t → V (t, ω)

ist rechtsseitig stetig und von lokalbeschrankter Variation.

Gilt zusatzlich V0(ω) ≡ 0, so sprechen wir von einem l.b.V.-Prozess.

Ein adaptierter Prozess (Vt)t≥0 ist also genau dann ein l.b.V. Prozess, wenn fur jedesfeste ω ∈ Ω die Funktion [0,∞[3 t → V (t, ω) eine rechtsseitig stetige Funktion vonlokalbeschrankter Variation mit V (0, ω) = 0 ist, d.h. fur jedes ω ∈ Ω eine l.b.V. Funktionist.

Man bilde nun fur festes ω die Zerlegung von Vω(t)(:= V (t, ω)) in A1(t, ω) := Fω1 (t) und

A2(t, ω) := Fω2 (t) gemaß Satz 5.26. Schreibt man V (t, ω) fur Vω (t), so gilt

(1) V (t, ω) = V0(ω) + A1(t, ω)− A2(t, ω),

(2) V (t, ω) = A1(t, ω) + A2(t, ω).

Wir werden zeigen, dass A1, A2 und V monoton nicht-fallende Prozesse im Sinne derfolgenden Definition sind.

5.33 Monoton nicht fallende Prozesse

Ein l.b.V.-Prozess (At)t≥0 bzgl. (At)t≥0 heißt ein monton nicht fallender Prozessbzgl. (At)t≥0, wenn fur alle ω ∈ Ω gilt

[0,∞[3 t → A(t, ω) ist monoton nicht fallend.

Fur das folgende Ergebnis benutzen wir insbesondere den Satz 5.23, um die Adaptiertheitvon (A1

t )t≥0, (A2t )t≥0 und ( V t)t≥0 zu beweisen.

5.34 Von einem v.l.b.V. Prozess abgeleitete monoton nicht fallendeProzesse

Es sei (Vt)t≥0 ein v.l.b.V. Prozess bzgl. (At)t≥0.

(i) Die Prozesse (A1t )t≥0, (A

2t )t≥0 und ( V t)t≥0 sind monoton nicht fallende

Prozesse bzgl. (At)t≥0 mit

V = V0 + A1 − A2, V = A1 + A2.

(ii) Ist (Vt)t≥0 daruber hinaus ein Prozess mit stetigen Pfaden, so besitzen auch(A1

t )t≥0, (A2t )t≥0 und ( V t)t≥0 stetige Pfade.

Beweis. (i) Nach Voruberlegung erhalten wir die angegebene Darstellung fur Vund V . Aus 5.24 folgt, dass fur festes ω jeder der Pfade t → A1

t (ω), t → A2t (ω)

[5]–22 C5(WS08/09)

Die Brownsche Bewegung

und t → V t(ω) rechtsseitig stetig und monoton nicht fallend mit A10(ω) = A2

0(ω) =V 0(ω) = 0 ist. Es bleibt zu zeigen, dass fur t > 0 gilt:

A1t , A

2t , V t sind At-messbar.

Da (Vt)t≥0 nach Voraussetzung adaptiert ist, und

(1) A1 = 1/2(V − V0 + V ), A2 = 1/2( V − (V − V0))

sind, reicht es zu zeigen

(2) V t ist At-messbar.

Nun ist fur festes ω die Funktion s → Vs(ω) rechtsseitig stetig. Wir konnen daher fur

festes t ein von ω unabhangige, regulare Zerlegungsfolge Z0,tn von [0, t] wahlen mit (benutze

5.23)

(3)kn∑

ν=1|V (xn

ν , ω)− V (xnν−1, ω)| −→

n→∞V (t, ω).

Wegen xnν ≤ t und der Adaptiertheit von (Vt)t≥0 ist

kn∑ν=1

|V (xnν , ω)− V (xn

ν−1, ω)| eine

At-messbare Funktion fur jedes n ∈ N. Aus (3) folgt daher die At-Messbarkeit von V t.

(ii) Nach Satz 5.24 (iv) ist ( V t)t≥0 ein Prozess mit stetigen Pfaden. Die Stetigkeit derPfade der ubrigen Prozesse folgt aus (1).

X :]0,∞[×Ω → Rd heißt progressiv messbar, wenn fur jedes t > 0 gilt: X : |]0, t]× Ωist B(]0, t]) ⊗ At-messbar. Also ist X : [0,∞[×Ω → R progressiv messbar im Sinne von4.28, wenn X0 A0-messbar und (Xt)t>0 progressiv messbar im gerade definierten Sinneist.

5.35 Durch punktweise Lebesgue-Stieltjes Integration bzgl. eines v.l.b.V. Prozesses entsteht ein l.b.V. Prozess

Sei (Vt)t≥0 ein v.l.b.V. Prozess bzgl. (At)t≥0 und (Xt)t>0 ein progressiv messbarerProzess. Es sei die Funktion ]0,∞[3 t → X(t, ω) fur jedes feste ω bzgl. [0,∞[3 t →V (t, ω) lokal Lebesgue-Stieltjes integrierbar. Dann gilt

(i) Y (t, ω) :=∫ t0 X(s, ω)V (ds, ω) ist ein l.b.V. Prozess bzgl. (At)t≥0.

(ii) (Yt)t≥0 besitzt stetige Pfade, wenn (Vt)t≥0 stetige Pfade besitzt.

(iii) Sei (Zt)t>0 ein progressiv messbarer Prozess, dann gilt∫ t0 Z(s, ω)Y (ds, ω) =

∫ t0 Z(s, ω)X(s, ω)V (ds, ω)

in dem Sinne, dass das Integral auf der linken Seite genau dann existiert,wenn das Integral auf der rechten Seite existiert, und bei Existenz dannbeide Integrale gleich sind.

Beweis. (ii) folgt aus 5.31 (i) und (ii); (iii) aus 5.31 (iv) durch Anwendung auf jedesfeste ω ∈ Ω.

(i) folgt bis auf die At-Messbarkeit von Yt aus 5.31 (i). Zur At-Messbarkeit von Yt:Wegen

C5(WS08/09) [5]–23

Finanzmathematik I

∫ t0 X(s, ω)V (ds, ω)

Def. 5.27=

5.34(i)

∫ t0 X(s, ω)A1(ds, ω)−

∫ t0 X(s, ω)A2(ds, ω),

durfen wir A := V als monoton nicht fallenden Prozess voraussetzen. Damit konnen wir,wegen X = X+ − X−, X als nicht-negativen progressiv messbaren Prozess ansehen. InUbungsaufgabe 46 wird sogar gezeigt:

(1) X :]0,∞[×Ω → [0,∞] progressiv messbar ⇒∫

1]0,t]X(s, ω)A(ds, ω) ist At-mess-bar.

5.36 Bemerkung

Ist(Xt)t>0 ein nicht-negativer, progressiv-messbarer Prozess und (At)t≥0 ein mono-toner Prozess, so folgt aus (1) des Beweises von 5.35

(i)∫ t0 X(s, ω)A(ds, ω) istAt-messbar.

Insbesondere erhalten wir hieraus

(ii)∫

X(s, ω)A(ds, ω) ist A∞-messbar.

Beweis. (ii) folgt aus (i) , da nach dem Satz von der monotonen Konvergenz gilt∫ n0 X(s, ω)A(ds, ω) −→

n→∞

∫X(s, ω)A(ds, ω).

Zum Vergleich mit der stochastischen Integration benotigen wir noch

5.37 Stetig differenzierbare Funktionen von stetigen v.l.b.V.-Prozessensindv.l.b.V.-Prozesse

Es sei V ein stetiger v.l.b.V. Prozess bzgl. (At)t≥0 und f : R → R stetig differen-zierbar, dann ist (f(Vt))t≥0 ein stetiger v.l.b.V. Prozess bzgl. (At)t≥0 mit

f(Vt(ω)) = f(V0(ω)) +∫ t0 f ′(Vs(ω))V (ds, ω).

Beweis. Es ist s → f ′(Vs)nach Voraussetzung stetig, und ω → f ′(Vs(ω)) ist As-messbar. Somit ist X(s, ω) := f ′(Vs(ω)) progressiv messbar, nach 4.29 (i). Es ist daher∫ t0 f ′(Vs)V (ds, ω) ein stetiger l.b.V. Prozess bzgl. (At)t≥0 nach 5.35 (i)+(ii), und es ist

f(V0) A0-messbar. Wenn also die im Satz angegebene Darstellung gilt, ist (f(Vt))t≥0

ein stetiger v.l.b.V. Prozes bzgl. (At)t≥0.

Es bleibt also die Darstellung zu beweisen. Sei nun Z0,tn eine regulare Zerlegungsfolge von

[0, t] und ω ∈ Ω fest, dann gilt mit einer Zwischenstelle ξnν = ξn

ν (ω) ∈ [xnν−1, x

nν ] nach dem

Mittelwertsatz der Differentialgleichung

(1) f(Vt)− f(V0) =kn∑

ν=1(f(Vxn

ν )− f(Vxnν−1

)) =kn∑

ν=1f ′(Vξn

ν)(Vxn

ν − Vxnν−1

).

Wir wenden nun 5.29 (iii) an (bei festem ω) auf f(t) := f ′(Vt(ω)), g(t) := Vt(ω) underhalten

[5]–24 C5(WS08/09)

Die Brownsche Bewegung

kn∑ν=1

f ′(Vξnν)(Vxn

ν − Vxnν−1

) −→n→∞

∫ t0 f ′(Vs(ω))V (ds, ω).

Hieraus folgt mit (1) die Behauptung.

Ist V ein stetiger v.l.b.V. Prozess, dann gilt mit f(t) := t2 nach 5.37

5.38 V 2t (ω) = V 2

0 (ω) + 2∫ t0 Vs(ω)V (ds, ω).

C5(WS08/09) [5]–25