5 Polynomring

Frage: Was sind eine “Variable” oder “Unbestimmte x”, ihre Potenzen xi, sowie“Polynome”

!ni=0 aixi?

Rechenregeln: xi · xj = xi+j .Allgemein:

("

i

aixi)(

"

j

bjxj) =

"

ij

aibjxi+j .

Ubliche Interpretation: xi bedeutet die Potenzierung einer Zahl, 2 · x bedeutetdie Multiplikation einer Zahl mit 2.

Aber: Betrachte x2+x : Z/2Z ! Z/2Z, 0 "! 0, 1 "! 1+1 = 0 Nullabbildung.

Unterscheide also zwischen abstrakten Polynomen und Polynomfunktionen!

Ein Polynom uber R ist ein formaler Ausdruck

P =n"

i=0

aixi mit ai # R,

ai Koe!zienten von P , oder

P = (a0, a1, . . . , an, 0, 0, . . . )

Folge von Elementen in R, wobei fast alle Glieder gleich null sind.{Polynome uber R in einer Variablen} = R(N) = {endliche Folgen in R} ist einR-Modul mit Multiplikation

(a0, a1, . . . ) · (b0, b1, . . . ) = (c0, c1, . . . ), wobei ck ="

i+j=k

aibj .

Im Folgenden sei R ein kommutativer Ring mit 1.

5.1 Konstruktion des Polynomrings

Definition: Seien H Monoid (etwa H = N oder Nn), R kommutativer Ring mit1. R[H] = {a # Abb(H,R); a(s) = 0 fur fast alle s # H} mit Addition

(a + b)(s) = a(s) + b(s), a, b # R[H], s # H,

und Skalarmultiplikation

(ra)(s) = ra(s), a # R[H], s # H, r # R,

heißt der von H erzeugte (freie) R-Modul.Schreibweise: R[H] = R(H) = {endliche “Folgen” in R} $ a = (as)s!H , as = 0fur fast alle s # H.

Speziell: Sei H = N: R[N] = R(N) $ a = (a0, a1, . . . ) endliche Folge in R.

39

Satz: R[H] ist ein freier R-Modul mit Basis {es, s # H} wobei

es : H ! R, t "! es(t) =#

0 fur t %= s1 fur t = s

.

Speziell: H = N: Basis es = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ).Zudem: Die Abbildung H ! R[H], s "! es ist injektiv.

Beweis: (a) es Erzeugendensystem: Sei a # R[H]. Behauptung: a =!

s!H a(s)es.Denn: fur t # H ist

("

a(s)es)(t) ="

s!H

a(s) es(t)$%&'!s,t

= a(t).

(b) es R-linear unabhangig: Seien c(s) # R fur alle s # H, mit!

s!H c(s)es = 0.Zz: c(s) = 0 & s # H.Aber: Aus 0 =

!c(s)es folgt 0(t) = 0 = (

!c(s)es)(t) =

!c(s)es(t) = c(t).

Damit: c(t) = 0 & t # H.(c) es injektiv: es %= et fur s %= t. Also (s ! es) injektiv.

Beispiel: H = N, R = R, R[H] = R[N] (= “R adjungiert N”) = R(N) $(a0, a1, . . . ) endliche Folge in R.Basis von R[N]: ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ).N ! R[N], k "! ek (spater: ek = xk).

Satz (Monoidalgebra): Sei R kommutativer Ring, 1 # R, H Monoid.(1) '1 Multiplikation R[H](R[H] ! R[H] sodass e : H !! R[H] Monoidhomo-morphismus und R[H] R-Algebra, namlich:

es · et := est

(fur st verwende Verknupfung in H).Allgemein:

("

s!H

a(s)es)("

t!H

b(t)et) ="

s,t!H

a(s) · b(t) · es · et ="

s,t!H

a(s)b(t)est =

="

u!H

"

s,t!Hs·t=u

a(s)b(t)eu.

(2) Universelle Eigenschaft: Fur alle R-Algebren A, fur alle Monoidhomomor-phismen f : H ! A existiert genau ein Algebrenhomomorphismus g : R[H] ! Amit g ) e = f .

Hf*! A

e + , " g

R[H]

40

Beispiel: Sei H = (N2,+) $ (k, j), R = Q. Definiere e(k,j) =: xkyj , e(k,j)e(m,n) :=e(k,j)+(m,n) = e(k+m,j+n) = (xkyj) · (xmyn) = xk+myj+n.

Beweis: (1)(a) Existenz der Multiplikation: e : H ! R[H] ist genau dann Mo-noidhomomorphismus, wenn e(st) = e(s)e(t).Aber: e(st) = est = (nach Definition) eset = e(s)e(t).Ringmultiplikation, distributiv: nachrechnen.(b) Eindeutigkeit: Multiplikation von Basiselementen ist durch e vorgegeben,Rest folgt aus der Distributivitat.(2) universelle Eigenschaft: Sei f : H ! A, s "! f(s) Monoidhomomorphismus.Definiere g : R[H] ! A, g(es) = f(s).

es R[H] g*! A- . , f

s H

Damit: g(!

s!H a(s)es) = (da g linear)!

a(s)g(es) =!

a(s)f(s). Nach Kon-struktion ist g ein Algebrenhomomorphismus.Eindeutigkeit von g folgt nach Konstruktion.

Definition:Ist H ein Monoid, so heißt R[H] Monoidalgebra von H uber R.Ist H eine Gruppe, so heißt R[H] Gruppenalgebra von H uber R.

Beispiel: R[x] := R[N] heißt der Polynomring in einer Variablen mit Koe!-zienten in R. (x . . . “Platzhalter”, “Unbestimmte”, “Variable”.)R-Basis: ek, k # N, wird jetzt geschrieben als xk, k # N.Beliebiges Element:

"

k!Nakxk, ak # R, fast alle ak = 0.

Universelle Eigenschaft:

f : R[x] ! R[x] R*Algebrenhomomorphismusx "! 3x2 * 1 Einsetzungshomomorphismus

2x "! 2(3x2 * 1)x2 "! f(x2) = f(xx) = f(x)f(x) = (3x2 * 1)(3x2 * 1)!

aixi "!!

ai(3x2 * 1)i.

Wichtig: f ist eindeutig durch das Bild von x festgelegt!

Haufiger Schreibweise: "

s!H

rs · s

Multiplikation:("

s!H

rs · s) · ("

t!H

pt · t) ="

s,t!H

rsptst

41

Speziell: H = Nn: Sei " = ("1, . . . ,"n) # Nn mit "i # N.Definiere e" =: x"1

1 · · ·x"nn = x", wobei x = (x1, . . . , xn) mit Variablen x1, . . . , xn.

" heißt Exponent des Monoms x".Dann:

R[Nn] = R[x1, . . . , xn] $"

"!Nn

a"x"11 . . . x"n

n , a" # R, fast alle a" = 0.

Multiplikation:

("

"!Nn

a"x")("

#!Nn

b#x#) ="

",#!Nn

a"b#x"+# ="

$!Nn

( "

",#!Nn

"+#=$

a"b#

)x$ .

Beachte: R[Nn] = R[x1, . . . , xn] ist ein freier R-Modul mit Basis {x"; " # Nn}.

Beispiel: Sei n = 3, also R[x1, x2, x3] = R[x, y, z].P (x, y, z) = x2 +y3 +z5*xyz ist noch keine Funktion oder Abbildung, sondernnur eine R-Linearkombination von Monomen.

Satz (universelle Eigenschaft des Polynomrings): Sei A eine kommu-tative R-Algebra, n # N, seien a1, . . . , an # A beliebig gewahlt.Dann existiert genau ein Algebrenhomomorphismus f : R[x1, . . . , xn] ! A, xi "!f(xi) = ai, namlich

f(P (x1, . . . , xn)) = f("

"!Nn

r"x") = (da f additiv)"

"!Nn

f(r"x") =

= (da f R*linear)"

"!Nn

r"f(x") = (da f multiplikativ)

="

"!Nn

r"f(x"11 ) · · · f(x"n

n ) ="

"!Nn

r"a"11 · · · a"n

n =

="

"!Nn

r"a"

mit a = (a1, . . . , an).f heißt der durch a1, . . . , an gegebene Einsetzungshomomorphismus.

f = #a : R[x] ! A, P (x) "! P (a).

f ist durch die Bilder der Variablen x1, . . . , xn eindeutig festgelegt!

Beweis:

" "! a" = a"11 · · · a"n

n

" H = Nn h*! A/ . , "1 f

x" R[x] = R[Nn]

f existiert nach universeller Eigenschaft von Monoidalgebren.

42

Beispiele: (1) Betrachte R[x, y, z] ! R[s, t], x "! s2, y "! st, z "! t2. Dann:x3z3 * y4 "! (s2)3(t2)3 * (st)4 = s6t6 * s4t4.(2) Betrachte R[x] ! C, x "! i, P (x) "! P (i).Z.B.: x3 + x + 1 "! i3 + i + 1 = *i + i + 1 = 1, 4x2 * x "! *4 * i.

Bemerkung: Sei n 0 m # N. Dann ist Nn = Nn ( 0m#n 1 Nm.Betrachte die Inklusionsabbildung Nn !! Nm," = ("1, . . . ,"n) "! ("1, . . . ,"n, 0, . . . , 0).Diese ist ein Monoidhomomorphismus. Erhalten daraus einen R-AlgebrenhomomorphismusR[x1, . . . , xn] !! R[x1, . . . , xm], P (x1, . . . , xn) "! P (x1, . . . , xm).

Beispiel: R (= konstante Polynome) 1 R[x] 1 R[x, y] 1 R[x, y, z].

Satz: Sei R ein kommutativer Ring mit 1R # R und seien x, y Variablen. Danngilt:

(R[x])[y] = R[x, y].

Beweis: S = R[x] ist kommutativer Ring mit 1, damit ist S[y] wohldefiniert.Weiters: S = R[x] 1 R[x, y] Unterring (R-Unteralgebra).Betrachte den Einsetzungshomomorphismus: S[y] %! R[x, y], y "! y (S[y] undR[x, y] sind R[x]-Algebren). Klarerweise ist # bijektiv, also S[y] = R[x, y].

Bemerkung: Damit gilt allgemeiner:

R[x1, . . . , xn#1][xn] = R[x1, . . . , xn].

Satz: Seien A kommutative R-Algebra, a1, . . . , an # A, a = (a1, . . . , an), x =(x1, . . . , xn), f : R[x1, . . . , xn] ! A, xi "! ai, f(P (x)) = P (a) Einsetzungsho-momorphismus.Dann ist Bild(f) = {P (a); P # R[x]} =: R[a1, . . . , an] = R[a] = {Polynome ina1, . . . , an mit Koe!zienten in R} 1 A eine R-Unteralgebra von A, namlich diekleinste R-Unteralgebra, die a1, . . . , an enthalt.Man nennt R[a] die von a1, . . . , an erzeugte R-Unteralgebra von A.

Beweis: Ubung.

Bemerkung: Seien f : Kn ! W K-Homomorphismus, w1, . . . , wn # W fixeVektoren mit f(ei) = wi. Dann gilt: Bild(f) = K2w1, . . . , wn3 0 W kleinsterUntervektorraum von W , der w1, . . . , wn enthalt.

Hier:R2a1, . . . , an3 1 R[a1, . . . , an] 1 A.

R*Untermonoid R*Unteralgebra

Bezeichnung: Man sagt, dass R[a1, . . . , an] von a1, . . . , an als Algebra erzeugtwird.Allgemeiner:

43

Definition: Sei A eine kommutative R-Algebra. Dann heißen a1, . . . , an # A R-Algebren Erzeugendensystem von A 4 A = R[a1, . . . , an] 4 & b # A ' P (x1, . . . , xn) #R[x1, . . . , xn] mit b = P (a1, . . . , an) 4 Jedes Element von A ist Polynom ina1, . . . , an mit Koe!zienten in R.A heißt endlich erzeugte R-Algebra 4 ' a1, . . . , an # A mit A = R[a1, . . . , an].

Bezeichnung: P # R[x1, . . . , xn],

P ="

"!Nn

r"x" Polynom.

r" # R heißen die Koe!zienten von P .Ein Polynom der Form x" = x"1

1 . . . x"nn nennt man (reines) Monom (oder

Term) in x1, . . . , xn.Man nennt Trager(P ) = {" # Nn; r" %= 0} = Exponentenmenge von P 1 Nn

den Trager von P .

Beispiel: Sei P = x3y2z * x7yz7 + 1.Dann: Tr(P ) = {(3, 2, 1), (7, 1, 7), (0, 0, 0)}.

Bemerkung: Ein Polynom ist eine R-Linearkombination von reinen Monomen.

Definition: Seien A eine R-Algebra, a1, . . . , an # A.a1, . . . , an heißen algebraisch unabhangig uber R 4 ! P # R[x1, . . . , xn], P %= 0mit P (a1, . . . , an) = 0 4 Es existiert keine polynomiale Relation zwischen denai 4 Die Abbildung R[x] = R[x1, . . . , xn] ! A, xi "! ai ist injektiv.a # A heißt algebraisch uber R 4 ' P # R[x] Polynom in einer Variablen x mitP (a) = 0.Ist a # A nicht algebraisch uber R, so heißt a transzendent (4 die Potenzenvon a sind R-linear unabhangig).

Beispiele: (1) 7 und 11 sind uber Z algebraisch abhangig, denn 11 ·7*7 ·11 = 0(sogar linear abhangig).(2)

52 ist algebraisch uber Q, denn (

52)2 * 2 = 0, also P (x) = x2 * 2.

k5

m, k # N, m # N ist algebraisch uber Q mit P (x) = xk * m.(3) 3

*1 + 7

55 ist algebraisch uber Z, denn (x3 * 1)7 = 5.

(4) Wurzelziehen $= Konstruktion mit Zirkel und Lineal.Die Griechen versuchten $ mit Zirkel und Lineal zu konstruieren (Quadraturdes Kreises).Lindemann (19.Jahrhundert): $ ist transzendent uber Q.Wissen: e ist transzendent uber Q, ebenso ee.$ und e sind algebraisch unabhangig uber Q.(5) i =

5*1 ist algebraisch uber Q und uber R mit P (x) = x2 + 1 (Minimalpo-

lynom von i uber R).(6) t2, t3 # R[x] sind algebraisch abhangig, denn (t2)3 = (t3)2, also P (x, y) =x3 * y2.t3, t4, t5 sind ebenfalls algebraisch abhangig, etwa P (x, y, z) = xz * y2.

Bemerkung: Sei A endlich erzeugte R-Algebra, d.h. ' a1, . . . , an # A mit A =R[a1, . . . , an]. Dies ist aquivalent mit #a : R[x1, . . . , xn] ! A, xi "! ai ist sur-

44

jektiv.Homomorphiesatz liefert: R[x1, . . . , xn]/ker #a

6= A R-Algebrenisomorphismus,wobei I := ker #a 0 R[x1, . . . , xn] Ideal.Damit: Jede kommutative endlich erzeugte R-Algebra ist Faktorring eines Po-lynomrings modulo einem Ideal:

A 6= R[x1, . . . , xn]/I .

Satz (Koe!zientenhomomorphismus): Seien R,S kommutative Ringe, f :R ! S Ringhomomorphismus. Dann existiert eine Fortsetzung f : R[x1, . . . , xn] !S[x1, . . . , xn] (Ringhomomorphismus), gegeben durch

!r"x" "!

!f(r")x".

Es gilt: ker f = (ker f)[x1, . . . , xn].

Beweis: Nachrechnen.

Beispiel: Sei f = kan : Z ! Z/27Z und P # Z[x, y, z].Dann: 28x2 + 54yz * 93z5 "! 1x2 + 0yz + 15z5.

Bemerkung: Fur I 0 R Ideal gilt: (R/I )[x] 6= R[x]/I[x]. (PS)

Definition (Polynomfunktion): Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ei-ne Abbildung f : Rn ! R heißt Polynomfunktion 4 ' P # R[x1, . . . , xn] mitf(a) = P (a) & a # Rn.Damit erhalten wir eine Surjektion:

R[x1, . . . , xn] ! {Polynomfkt. : Rn ! R} 1 Abb(Rn, R), P "! (a "! P (a)).

Beispiele: (1) Sei R = R, n = 2 und f : R2 ! R, (a, b) "! a2 + 2ab + b2.f ist eine Polynomfunktion, da P (x, y) = x2 + 2xy + y2 = (x + y)2.(2) Sei R = Z/2Z, P (x) = x2 + x.f : Z/2Z ! Z/2Z Nullfunktion (obwohl Polynom %= 0)

0 "! 02 + 0 = 01 "! 12 + 1 = 0

Abb(Z/2Z, Z/2Z) = {const0, const1, Id, Id + const1} = Polynomfunktion(Z/2Z, Z/2Z).Aber: Z/2Z[x] ! Poly(Z/2Z, Z/2Z) ist nicht injektiv.Achtung: die Polynomfunktion bestimmt im allgemeinen das Polynom nicht ein-deutig.(3)Sei K unendlicher Korper (etwa Q, R, C).Betrachten " : K[x1, . . . , xn] ! Poly(Kn,K), xi "! (a = (a1, . . . , an) "! ai)i-te Projektion." ist ein Algebrenisomorphismus.

Bemerkung: Sei f : Rn ! R polynomiale Funktion, d.h. es existiert ein P #R[x1, . . . , xn] mit f(a) = P (a) & a # Rn.Dann ist P (x1, . . . , xn) die Taylor-Entwicklung der di"erenzierbaren Funktionf im Nullpunkt.Die Taylor-Entwicklung von f im Punkt b # Rn ist P (x + b) (als Polynom in

45

x).

Beispiel: Fur P (x) = x2 ist a0 + a11 (x* 1) + a2

2 (x* 1)2 die Taylor-Entwicklungin x = 1 (!).

5.2 Der Polynomring in einer Variablen

Im Folgenden sei R ein kommutativer Ring mit 1 # R. R[x] bezeichne denPolynomring in einer Unbestimmten x, also R[x] = R[N]. Weiters sei P # R[x],d.h.

P ="

i!Npix

i =d"

i=0

pixi.

Definition: Der Grad von P ist definiert als Grad(P ) = deg(P ) = gr(P ) =max{i # N, pi %= 0} fur P %= 0 und deg(0) := *7.Sei deg P = m, also

P =m"

i=0

pixi mit pm %= 0.

Dann heißt pm der Leitkoe!zient von P ;Bezeichnung: pm = lk(P ).Das Monom pmxm heißt Leitmonom von P ;Bezeichnung: pmxn = lm(P ). (lm(0) := 0).Ist pm = 1, so heißt P normiert.

Beispiel: Das konstantes Polynom P = 1 ist normiert mit deg P = 0.P = x hat deg P = 1.Die Menge {P # R[x]; deg P = 0} = R sind gerade die konstanten Polynome.R[x]%d = {P # R[x]; deg P 0 d} 0 R[x] ist ein R-Untermodul, aber im allge-meinen kein Ideal. R[x]%d ist frei mit R-Basis 1, x, x2, . . . , xd#1, xd.

Definition: Sei

P =m"

i=0

pixi.

Dann nennt man ord0 P = Untergrad0P = min{i # N; pi %= 0} die Ordnungvon P in 0. Sie gibt die Vielfachheit von 0 als Nullstelle von P an. Man definiert:ord0 0 := +7.

Beispiel: Fur P = x3+7x4+x9 ist deg P = 9, ord0 P = 3, (P = x3(1+7x+x6)).

Definition: P heißt homogen vom Grad d 4 ord0 P = deg P = d 4 P = pdxd

mit pd %= 0, P Monom.

Bemerkung: Sei P =!m

i=0 pixi # R[x]. Betrachtet man P als di"erenzierba-re Funktion fP : R ! R, so ist

!mi=0 pixi die Taylor-Entwicklung von fP in

0 # R.Zur Bestimmung der Taylor-Entwicklung in a # R beliebig betrachte:

P (x + a) =m"

i=0

qixi mit qi # R abhangig von a

46

(qi Polynome in a). Dann ist

m"

i=0

qi(x * a)i

die Taylor-Entwicklung von fP in a # R.Denn:

m"

i=0

qi(x * a)i = P (x * a + a) = P (x) = fP (x).

Bemerkung: Sei n # N. Dann ist R[x]2xd3 = {P # R[x]; ord0 P 8 d} 0 R[x] einIdeal.Speziell: {P # R[x]; ord0 P 8 1} = R[x]2x3 = {Polynome ohne konstantenTerm} = {P # R[x]; P (0) = 0}.

Definition: Fur a # R definiert man orda P (x) := ord0 P (x + a) = Unter-grad der Taylor-Entwicklung von fP in a.

Satz: Seien P,Q # R[x] mit P,Q, P + Q %= 0. Dann gilt:(1) deg(P + Q) 0 max(deg P,deg Q).Gleichheit gilt zumindest dann, wenn deg P %= deg Q.(2) deg(P · Q) 0 deg P + deg Q.Sind die Leitkoe!zienten von P und Q Nichtnullteiler in R, so gilt: deg(P ·Q) =deg P + deg Q.(3) Ist R ein Integritatsbereich (d.h. R hat keine Nullteiler), so ist auch R[x]Integritatsbereich.

Analoger Satz fur die OrdnungSatz:(1’) ord0 (P + Q) 8 min(ord0 P, ord0 Q).(2’) ord0 (P · Q) 8 ord0 P + ord0 Q.Gleichheit gilt zumindest dann, wenn R ein Integritatsbereich ist.

Beweis:(1) Seien P = pmxm + . . . , deg P = m und Q = qnxn + . . . , deg Q = n.Fall (a) n %= m : deg(P + Q) = max(m,n).Fall (b) n = m : Ist pm +qm %= 0, so folgt deg(P +Q) = m = n, ist pm +qm = 0,so folgt deg(P + Q) < m = n.(2) P · Q = pmqnxm+n + . . .Fall (a) pm · qn %= 0, so folgt deg(P · Q) = m + n = deg P + deg Q.Fall (b) pm · qn = 0, so folgt deg(P · Q) < m + n.(3) Klar nach Definition von Nullteilern.(1’), (2’) Ubung.

Folgerung: R Integritatsbereich 9 R[x1, . . . , xn] Integritatsbereich.

Beweis: Induktion uber n:

47

R[x1, . . . , xn] = R[x1, . . . , xn#1]$ %& '[xn] 9 (letztem Satz) Behauptung.

Integritatsbereich per Induktionsannahme

Bemerkung: Fur R Integritatsbereich gilt (R[x])& = R&.Im allgemeinen gilt: (R[x])& : R&.

Beweis: Klar: R& 1 (R[x])&.Noch z.z.: (R[x])& 1 R&. Sei dazu P # (R[x])&, d.h. ' Q # R[x] mit P · Q = 1.Da R Integritatsbereich ist, folgt deg(PQ) = deg P + deg Q = deg 1 = 0. Daaber deg P 8 0 sein muss, folgt deg P = 0, also P # R&.

Definition: Sei K ein Korper (also insbesondere Integritatsbereich). Dann heißtQuot(K[x1, . . . , xn]) = {P

Q ; P,Q # K[x1, . . . , xn], Q %= 0} =: K(x1, . . . , xn) derKorper der rationalen Funktionen uber K in n Variablen (Funktionenkorper vonKn).

Satz (Division von Polynomen mit Rest, euklidischer Algorithmusfur Polynome): Seien P,Q # R[x] Polynome, wobei der Leitkoe!zienten vonQ in R invertierbar sei, d.h. lk(Q) # R&.Dann existiert genau eine Darstellung

P = A · Q + B

mit Polynomen A,B # R[x] und deg B < deg Q.Man nennt A den “Quotienten” und B den “Rest” der Division.Es gibt einen (endlichen) Algorithmus um A und B auszurechnen (sofern dieDivision in R konstruierbar ist).

Beweis: (a) Eindeutigkeit: Sei P = AQ + B = A'Q + B' mit A,A', B,B' # R[x]und deg B < deg Q, deg B' < deg Q.Z.z.: A = A', B = B'.Aber: 0 = (A * A')Q + (B * B'). Also (A * A')Q = *(B * B').Annahme: A %= A'. Daher A*A' %= 0. Da lk(Q) # R&, also Nichtnullteiler, folgtdeg((A * A') · Q) = deg(A * A') + deg Q 8 deg Q.Andererseits: Ist B %= B', so folgt deg(B * B') 0 max(deg B,deg B') 0 deg Qund damit erhalten wir einen Widerspruch.Damit A = A' und B = B'.(b) Existenz: Induktion uber deg P .(i) Ist deg P < deg Q so setze P = 0$%&'

=A

·Q + P$%&'=B

.

(ii) Sei also deg P 8 deg Q, d = deg P, e = deg Q, lk(P ) = pd, lk(Q) = qe.Idee: “Dividiere Leitmonom von P durch Leitmonom von Q.”Genauer: Setze P1 = P * pdq#1

e · xd#e · Q = (pdxd + . . . ) * (pdxd + . . . ), alsodeg P1 < d = deg P .Nach Induktionsannahme gilt: P1 = A1 · Q + B1 mit deg B1 < deg Q.Zusammen: P = P1+pdq#1

e xd#e·Q = A1Q+B1+pdq#1e xd#e·Q = A1 + pdq

#1e xd#e

$ %& 'A

Q+

B1$%&'B

.

Beispiel: Sei P = x2 + 1, Q = 2x * 1, R = Q. Mit obigem Algorithmus ergibt

48

sichP1 = P * 1

2xQ = x2 + 1 * 12x(2x * 1) = x2 + 1 * x2 + 1

2x = 12x + 1,

P2 = P1 * 14Q = 1

2x + 1 * 12x + 1

4 = 54 ,

damit: P = (12x * 1

4 )Q + 54 .

Folgerung: Ist Q # R[x] mit lk(Q) # R& und deg Q = d, so ist R[x]/2Q3ein freier R-Modul mit Basis 1, x, x2, . . . , xd#1.

Beispiel: Sei Q = xd Monom. Dann ist R[x]/2xd3 = R · 1;R ·x; · · ·;R ·xd#1

als R-Modul.In Worten: Jedes Polynom laßt sich bis auf Addition eines Vielfachen von xd

als R-Linearkombination der Monome xi, 0 0 i < d schreiben.

Beweis (der Folgerung): Betrachte " : R[x] ! R[x]%d#1 = {B # R[x], deg B <d}, P "! Rest von P bei Division durch Q." R-linear und R-homogen: Nachprufen." surjektiv: "|R[x]!d"1 = id.ker": P # ker" 4 "(P ) = 0 4 P ist Vielfaches von Q 4 P # 2Q3 1 R[x].Also: ker" = 2Q3.Homomorphiesatz besagt: " induziert einen Isomorphismus von R-Moduln" : R[x]/2Q3 ! R[x]%d#1.

"#1(1)$ %& '=1

, . . . ,"#1(xd#1)$ %& '=xd"1

ist eine R-Basis von R[x]/2Q3.

Bemerkung: Ringe, in denen es eine eindeutige Division mit Rest gibt, heißeneuklidische Ringe.

Beispiele: Z und K[x] (K Korper) sind euklidische Ringe.

Definition (Teilbarkeit): Seien R Integritatsbereich, a, b, c # R.(1) a|b in R 4 a teilt b in R 4 ' p # R mit p · b = a 4 b ist Vielfaches vona 4 a ist Teiler von b.(2) a # R heißt irreduzibel (unzerlegbar) 4 a /# R&, a %= 0 und aus a = bc folgtb # R& oder c # R& 4 a hat nur triviale Teiler.(3) c ist ein großter gemeinsamer Teiler von a1, . . . , an # R 4 c = ggT(a1, . . . , an)(nicht notwendig eindeutig!) 4 R2c3 = R2a1, . . . , an3 4 Rc = Ra1 + · · · +Ran 4 c teilt alle ai und jedes c das alle ai teilt, teilt auch c. (c muss nichtexistieren.)

Bemerkung:(1) Fur R = Z haben wir die Teilbarkeit bereits definiert und es gilt:irreduzibel = prim.(2) Aus a|b und b|a folgt ' c # R& mit a = cb.Schreibweise: a 6 b (a assoziiert zu b).Denn: b = xa, a = yb 9 b = xyb 9 (1 * xy)b = 0 9 (R Integritatsbereich)1 * xy = 0 9 x, y # R&.(3) Aus c, c = ggT(a1, . . . , an) folgt c 6 c.

49

Beispiele: (1) In R = Z[x] teilt (x+1) P = (x2*1) aber 2(x+1) teilt P = x2*1nicht.(2) In Q[x], teilt auch 2(x + 1) P = x2 * 1.(3) In Z[x] existiert der ggT nicht notwendigerweise: ggT(2, x) existiert nicht(!).(4) In R[x] ist x2+1 irreduzibel, in C[x] ist x2+1 reduzibel (x2+1 = (x*i)(x+i)).

Bemerkung: Ist R Hauptidealring, so existiert ein ggT immer.

Satz: Seien K Korper, P,Q # K[x], P,Q %= 0. Dann gilt: ggT(P,Q) existiertin K[x] und es gibt einen Algorithmus, um Polynome A,B auszurechnen mit

AP + BQ = ggT(P,Q).

Folgerung: K[x] ist ein Hauptidealring.

Beweis: Sei o.B.d.A.: deg P 8 deg Q. Division von P durch Q ergibt P = FQ+Gmit deg G < deg Q.Aber: ggT(P,Q) = ggT(Q,G).Rest folgt mit Induktion uber min(deg P,deg Q).

Beispiel: Vergleiche PS.

Definition (Grad, Untergrad): Sei P # R[x1, . . . , xn], d.h.

P ="

"!Nn

p"x".

Dann heißt deg P := max{|"|, p" %= 0} wobei |"| := "1 + · · · + "n, der Gradvon P und ord0 P := min{|"|, p" = 0} der Untergrad von P in 0.

Beispiel: Sei P = xyz * y4 + 3x2y + 7x * 2xyz2.Grade: 3 4 3 1 4, also deg P = 4, ord0 P = 1.

Fur deg(P + Q) und deg(P · Q) gelten die selben Regeln wie in einer Varia-blen.

5.3 Algebraische Mengen

Definition: Seien R ein unitarer Ring oder Korper (etwa R = Z, Q, R, C),E 1 R[x1, . . . , xn], a # Rn = R ( · · ·( R.(1) a heißt Losung des polynomialen Gleichungssystems P (x) = 0 & P # E 4P (a) = P (a1, . . . , an) = 0 & P # E.(2) V(E) = VRn(E) = VR(E) = {a # Rn; P (a) = 0 & P # E} heißt die Ver-schwindungsmenge von E in Rn.

Beispiele:

50

(1) VC(x4 * 1) = {±1,±i}.(2) VR(xy) = x-Achse < y-Achse 1 R2.(3) VR(x2 + y2 * 1) = Kreislinie = S1 1 R2.(4) VR(x2 + x3 * y2) = "-Schleife 1 R2.(5) VZ(xn+yn*zn) hat nur triviale Losungen fur n 8 3 (Wiles 6 1993, Fermat)#

x = 0 y = ±zy = 0 x = ±z

fur n = 2: x2 + y2 = z2 z.B: (3, 4, 5), (5, 12, 13) pythagoraische Tripel.(6) Sei das lineare Gleichungssystem 2x * 3y + z = 0, x + y * z = 0. Dann:VR(E) = Gerade 1 R3.

Definition: Sei V 1 Rn. Dann nennt man I(V) = {P # R[x1, . . . , xn], P (a) =0 & a # V} = das Ideal der auf V verschwindenden Polynome (siehe PS).

Definition: X 1 Rn heißt algebraische Menge 4 ' E 1 R[x1, . . . , xn] mitX = V(E).

Beispiele:(1) Kegelschnitte in R2 sind algebraisch.(2) Sn#1 1 Rn algebraisch.(3) V(x2 + y2 * z2) 1 R3 algebraisch (Doppelkegel).(4) Z 1 R, Q 1 R nicht algebraisch.

Bemerkung: Algebraische Mengen konnen auch durch unendlich viele polyno-miale Gleichungen gegeben sein.

Aber:

Satz (Hilbert’scher Basissatz):(1) Ist K ein Korper, so ist jedes Ideal in K[x1, . . . , xn] endlich erzeugt, genau-er: Fur jedes I 0 K[x1, . . . , xn] Ideal, existieren P1, . . . , Pk # K[x1, . . . , xn] mitI = 2P1, . . . , Pk3.Damit: Jede algebraische Menge in Kn wird schon durch endlich viele polyno-miale Gleichungen definiert.(2) Ist R ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal endlich erzeugt ist, so istauch jedes Ideal in R[x1, . . . , xn] endlich erzeugt.

Beispiel: In Z[x1, . . . , xn] ist jedes Ideal endlich erzeugt.

Beweis: Wir zeigen mit Induktion uber n.Verwende: R[x1, . . . , xn] = R[x1, . . . , xn#1]$ %& '

=R#

[xn] und R' ist nach Induktionsan-

nahme endlich erzeugt.Also ausreichend z.z.: In R[x] ist jedes Ideal endlich erzeugt.Indirekt: Angenommen es existiert I 0 R[x] Ideal, das nicht endlich erzeugt ist.Wahle P1 # I, P1 %= 0 von minimalem Grad. Dann: 2P13 " I. Wahle P2 #I\2P13 von minimalem Grad.

2P13 " 2P1, P23 " 2P1, P2, P33 " · · · " I.

51

Erhalte eine aufsteigende Folge von Idealen (nicht stationar in R[x]):Sei ai # R der Leitkoe!zient von Pi. Erhalte Folge von Idealen in R: 2a13 12a1, a23 1 2a1, a2, a33 1 · · · 1 R.Behauptung: Die Inklusionen sind strikt (").Denn: Ware ak+1 =

!ki=1 ciai mit ci # R fur ein n # N, so setzte Q := Pk+1 *!k

i=1 cixdk+1#diPi mit di = deg Pi. Das Leitmonom von!k

i=1 cixdk+1#diPi ist!ki=1 ciaixdk+1 = ak+1xdk+1 = Leitmonom von Pk+1. Damit deg Q < dk+1 =

deg(Pk+1) und Q /# 2P1, . . . , Pk3, aber Q # I.Widerspruch zu deg Pk+1 minimal. Also folgt die Behauptung.Wir erhalten also eine strikt aufsteigende Folge 2a13 " 2a1, a23 " 2a1, a2, a33 "· · · " R.Dies ist ein Widerspruch zum nachstem Lemma.

Lemma: Sei R ein Ring. Dann gilt:Jedes Ideal von R ist endlich erzeugt 4 Jede aufsteigende Folge von Idealen inR wird stationar (d.h. I1 1 I2 1 · · · 1 R Folge von Idealen in R 9 ' k 8 1 mitIk = Ik+j & j 8 1).

Beweis:9: I1 1 I2 1 I3 1 · · · 1 R eine Folge von Idealen in R. Setze I :=

+k(1 Ik 1 R.

Dann ist I wieder ein Ideal in R (!). Also ist nach Voraussetzung I endlich er-zeugt, d.h. ' a1, . . . , am # R mit I = 2a1, . . . , am3.Aber: & i = 1, . . . , m ' k(i) mit ai # Ik(i). Sei q = max{k(i), i = 1, . . . ,m}.Dann ist ai # Iq & i = 1, . . . ,m.Damit: I = 2a1, . . . , am3 1 Iq 1 Iq+j 1 I, also Iq+j = I & j 8 0.=: Angenommen es existiert I 0 R Ideal das nicht endlich erzeugt ist. Dannexistieren a1, a2, · · · # I mit 2a13 " 2a1, a23 " 2a1, a2, a33 " · · · " R eine striktaufsteigende Folge von Idealen. Widerspruch zu Voraussetzung.

Definition (noethersch): Ringe, in denen jedes Ideal endlich erzeugt ist,heißen noether’sche Ringe.

5.4 Noether’sche Ringe und Moduln

Erinnerung: Seien V endlich dimensionaler K-Vektorraum, U 0 V Untervek-torraum. Dann ist U endlich dimensional (dimK U 0 dimK V ).Beispiel: U = Losungsmenge eines linearen Gleichungssystems in V .

Dies ist im allgemeinen falsch bei Moduln: Es existieren endlich erzeugte R-Moduln mit nicht endlich erzeugten Untermoduln.

Satz: Seien R Ring, M R-Modul. Dann ist aquivalent:(1) Jeder R-Untermodul N von M ist endlich erzeugt (als R-Modul).(2) Jede aufsteigende Folge M1 0 M2 0 · · · 0 M von R-Untermoduln wirdstationar (aufsteigende Kettenbedingung).(3) Jede nicht leere Menge von Untermoduln von M besitzt mindestens ein ma-ximales Element bezuglich der Inklusion.

Definition (noethersch): Ein R-Modul der (1)-(3) erfullt heißt noether’scher

52

R-Modul.

Bemerkung: Vergleiche mit Wohlordnung (Lineare Algebra).

Beweis:(1) 4 (2): Wie bei Ringen (siehe Lemma).(2) 9 (3): Sei E eine nicht leere Menge von Untermoduln von M .Annahme: E hat kein maximales Element. Sei M1 # E beliebig. Dann ist M1

nicht maximal. Also existiert M2 # E nicht maximal mit M1 " M2, usw.M1 " M2 " M3 " . . . . Damit existiert eine strikt aufsteigende Folge vonUntermoduln, im Widerspruch zu (2).(3) 9 (2): Ist M1 1 M2 1 · · · 1 M eine Folge von Untermoduln. Sei E ={Mi; i 8 1} dann hat E nach (3) ein maximales Element, etwa N .Aber: N = Mi fur ein i # N, denn Mi+j = Mi fur j 8 0, also Folge stationar.

Beispiele:(1) Endlich dimensionale K-Vektorraume sind noethersch.(2) Z ist noethersch als Ring.(3) Z(N), ZN nicht noethersch als Z-Moduln (da Z(N), ZN nicht endlich erzeugt).(4) Ist R ein noetherscher Ring, so ist R[x1, . . . , xn] noethersch als Ring abernicht noethersch als R-Modul (als R-Modul nicht endlich erzeugt).

Satz: Sei N > M R-Untermodul.

M ist noetherscher R-Modul 4 N noethersch und M/N noethersch.

Allgemeiner: Sei 0 ! N ! M ! L ! 0 kurze, exakte Folge von R-Moduln.Dann gilt:

M noethersch 4 N und L noethersch.

Beweis von Teil 1 des Satzes:9: Aus M noethersch folgt N noethersch (da jeder Untermodul von N auchUntermodul von M ist).Noch z.z.: M/N ist noethersch.Sei also M ' 0 M/N R-Untermodul. Z.z.: M ' ist endlich erzeugt.Betrachte $ : M ! M/N , x "! x.$#1(M ') = M '' 0 M Untermodul und endlich erzeugt, etwa M '' = Rx1 + · · ·+Rxk mit xi # M .Daher: M ' = R · x + · · · + R · xk endlich erzeugt.=: Wir zeigen, dass jede aufsteigende Folge M1 0 M2 0 · · · 0 M von R-Untermoduln stationar wird.Aber: $(M1) 0 $(M2) 0 · · · 0 M/N aufsteigende Folge von R-Untermoduln.Da M/N noethersch folgt: ' m # N mit $(Mm) = $(Mm+j) & j 8 0.Weiters: M1 ? N 0 M2 ? N 0 · · · 0 N ist eine aufsteigende Folge von R-Untermoduln.Da N noethersch folgt ' k # N mit Mk ? N = Mk+j ? N & j 8 0. O.B.d.A.:m = k. Wir zeigen: Mk = Mk+j & j 8 0.Mk 1 Mk+j : Klar.Mk+j 1 Mk: Sei x # Mk+j . Dann ist $(x) = x # $(Mk+j) = $(Mk). Damitfolgt ' y # N, ' z # Mk mit x = z + y.

53

Daher: y = x * z # Mk+j ? N = Mk ? N .Also: x = z + y # Mk.

Folgerung 1: Sei f : M ! N R-linear und surjektiv. Dann gilt:

M noethersch 4 N noethersch und ker f noethersch.

Beweis: Satz vorher und Homomorphiesatz (!).

Folgerung 2: Sei M beliebiger R-Modul (nicht notwendig noethersch). Wei-ters seien M1, . . . ,Mk 0 M R-Untermodul. Dann gilt:Sind M1, . . . ,Mk noethersch, dann ist auch M1 + · · · + Mk noethersch.

Beweis: Induktion uber k.k = 1: Klar.

k = 2: Sei M = M1+M2. Dann gilt: M/M1= (M1+M2)/M1

(PS)6= M2/(M1 ? M2)noethersch.Daher M = M1 + M2 noethersch.k beliebig: M1+· · ·+Mk = (M1 + · · · + Mk#1)$ %& '

noethersch nach Induktionsannahme

+ Mk$%&'noethersch nach Voraussetzung$ %& '

noethersch, da Summe

Folgerung 3: Ist R als Ring noethersch, so ist jeder zyklische R-Modul Mnoethersch. (M zyklisch 4 ' x # M, M = Rx).

Beweis: Betrachte f : R ! M = Rx, r "! r · x. f ist R-linear und surjek-tiv. Sei I = ker f 0 R Ideal. Dann ist nach Folgerung (1) M noethersch.

Folgerung 4: Sei R als Ring noethersch, dann ist jeder endlich erzeugte R-Modul noethersch.

Beweis: Ist M ein endlich erzeugter R-Modul, so existieren x1, . . . , xk # Mmit M = Rx1 + · · · + Rxk.Aber: nach Folgerung (3): Rxi noethersch,nach Folgerung (2): Rx1 + · · · + Rx4 noethersch.

Beispiele:(1) Zn ist noetherscher Z-Modul, d.h. jeder Z-Untermodul M 0 Zn ist endlicherzeugt.Speziell: Sei M der Losungsraum eines linearen Gleichungssystems, so existierenv1, . . . , vk # Zn mit M = Z2v1, . . . , vk3 = Zv1 + · · · + Zvk 1 Zn.(2) K[x1, . . . , xn]p ist noetherscher K[x1, . . . , xn]-Modul (K-Korper). Also: Je-der K[x1, . . . , xn]-Untermodul ist endlich erzeugt.(3) Z und K[x1, . . . , xn] (K Korper) sind als Ringe noethersch.

Bemerkung: Seien I = 2f1, . . . , fk3 1 R Ideal, J = 2g1, . . . , gm3 1 R Ideal.Dann gilt: I = J 4 ' A # Mkm(R) und ' B # Mmk(R) mit

54

,

-.f1...

fk

/

01 = A

,

-.g1...

gm

/

01 und

,

-.g1...

gm

/

01 = B

,

-.f1...

fk

/

01.

Gilt auch fur Moduln.Bei Vektorraumen ist meistens m = k und dann ist A = B#1 # GLk(K) inver-tierbar.

Spezialfall: Sei I = 2f1, . . . , fk3. Dann ist g1 = f1, . . . , gk#1 = fk#1, gk =fk +

!k#1i=1 aifi, mit ai # R wieder ein Erzeugendensystem von I. Die Transfor-

mationsmatrix ist (nach Kriterium vorher) invertierbar (!).

Beispiel: Sei M = 2(

12

),

(*34

)3 1 Z2. (Abb. 8 unten)

Abbildung 8:

Dann: M = 2(

12

),

(*34

)+ 7

(12

)3 = 2

(12

),

(418

)3.

5.5 Potenzreihen

Verallgemeinerung von Polynomen bzw. unendlichen Summen von Monomen.

Sei stets R ein kommutativer Ring mit 1 # R (meistens R = K Korper).

Definition (formale Potenzreihe): Der R-Modul RN = Abb(N, R) = {(a0, a1, . . . ),Folgen in R} wird mit folgender Multiplikation

(P · Q)(k) =k"

i,j=0i+j=k

P (i)Q(j) =k"

i=0

P (i)Q(k * i)

zu einer kommutativen R-Algebra, dem Ring der formalen Potenzreihen in einerUnbestimmten mit Koe!zienten in R.Alternativ:

(a0, a1, . . . ) · (b0, b1, . . . ) = (c0, c1, . . . ),mit ck =k"

i=0

aibk#i (Cauchy Produkt).

55

Schreibweise:

(a0, a1, . . . ) =)"

i=0

aixi # R[[x]]

mit Variable x (Platzhalter). Damit erhalt man eine einfache Formel fur dieMultiplikation (“distributives Ausmultiplizieren”):

()"

i=0

aixi)(

)"

j=0

bjxj) =

)"

i=0

)"

j=0

aibjxi+j =

=)"

k=0

( "

i+j=k

aibj

$ %& 'endliche Summe

)xk =:

)"

k=0

ckxk.

Bemerkung:(1) Sei f : R ! R, x "! x + x2. f ist polynomial und di"erenzierbar.Df(0) = 1 # R& 9 (Satz uber inverse Funktionen) ' g = f#1 : V 1 R ! U 1 R(U, V o"ene Umgebungen von 0 (Intervalle)) mit g di"erenzierbar.Aber: g ist nicht polynomial (!).(2) f : R ! R, x "! 1 + x2. f ist di"erenzierbar, f(x) %= 0 & x # R.Damit h = 1

f = 11+x2 : R ! R di"erenzierbar.

h ist nicht polynomial, aber eine Potenzreihe.Taylor-Entwicklung von h in 0 # R: h = 1 * x2 + x4 * x6 + x8 * + . . .

Definition: RNn= Abb(Nn, R) = {(a")"!Nn} wird mit folgender Multipli-

kation(a")"!Nn · (b#)#!Nn = (c$)$!Nn , mit c$ =

"

",#!Nn

"+#=$

a"b#

zu einer kommutativen R-Algebra R[[x1, . . . , xn]] = R[[x]], dem Potenzreihen-ring in den Variablen x1, . . . , xn mit Koe!zienten in R.

Schreibweise: "

"!Nn

a"x" ="

"=("1,...,"n)!Nn

a"x"11 . . . x"n

n .

Beispiele: (1) R 1 R[x1, . . . , xn] 1 R[[x1, . . . , xn]].(2) ex =

!)k=0

xk

k! , sin x, cos x, ln(1 + x) # R[[x]] (bzw. C[[x]]).(3) Taylor-Entwicklung einer di"erenzierbaren Funktion in einem gegebenenPunkt ist eine formale Potenzreihe.(4) 1

1#x = 1 + x + x2 + · · · =!)

k=0 xk geometrische Reihe.Analog: Sei P # R[[x]], ohne konstanten Term. Dann: 1

1#P = 1+P +P 2 + · · · =!)k=0 P k (siehe unten).

(5) Erzeugende Funktion: Ist (ak)k!N eine Folge von Zahlen (in Z, Q, R oder C),so heißt

!)k=0 akxk die zugehorige erzeugende Funktion (wichtig in der Kombi-

natorik).Beispiel (Fibonacci-Folge): a0 = a1 = 1, ak = ak#2+ak#1 fur k 8 2 (1,1,2,3,5,8,13,21,. . . ),erzeugende Funktion:

!)k=0 akxk = f(x).

56

Bemerkung: ak+1ak

! 1, 6 . . . “goldener Schnitt.”

Bemerkung:(1) Fur P =

!"!Nn p"x" # R[[x1, . . . , xn]] gilt:

P = 0 4 p" = 0 &" # Nn.Die Koe!zienten bestimmen die Potenzreihe eindeutig!(2) Es gilt: R[[x1, . . . , xn]] = (R[[x1, . . . , xn#1]])[[xn]],speziell: R[[x, y]] = (R[[x]])[[y]], denn:

"

i,j!Naijx

iyj ="

j!N

( "

i!Naijx

i

)yj .

(3) Es gilt: Ist R ein Integritatsbereich, so auch R[[x1, . . . , xn]]; Ist R noethersch,so auch R[[x1, . . . , xn]].(ohne Beweis)Folgerung: Jedes Ideal von formalen Potenzreihen ist endlich erzeugt falls Rnoethersch ist.Weiters gilt: Fur K Korper ist K[[x]] ein Hauptidealring (ggT existiert).(4) {x"}"!Nn ist keine Basis von R[[x1, . . . , xn]], da Potenzreihen unendlicheLinearkombinationen dieser Monome sind.(Man sagt: {x"}"!Nn ist eine topologische Basis, siehe Funktionalanalysis.)(5) Sei Pk # R[[x]] eine Folge von Potenzreihen.Pk konvergiert gegen Potenzreihe P # R[[x]] :4 Pk * P konvergiert gegen0 # R[[x]] :4 Untergrad(Pk * P ) ! 7, wobei Untergrad(

!"!Nn c"x") :=

min{|"|; c" %= 0} = ord0 (!

c"x").In Worten: Pk ! P , wenn fur jedes i # N die Koe!zientenfolge (pki)k!N stati-onar wird. (Vergleiche Beispiele unten.)Speziell: Sei (Pk)k!N eine Folge in R[[x]] mit ord0 (Pk) ! 7. Dann existiert!

k!N Pk # R[[x]] als formale Potenzreihe. (!)Beispiele:(a) Pk = xk 9

!Pk =

!k!N xk Potenzreihe.

(b) Pk = x+xk 9!

k!N Pk ist nicht definiert (da x + x + x + . . .$ %& 'unendlich oft

nicht definiert

ist).(6) {P # R[[x]] ohne konstanten Term} = {P # R[[x]], ord0 P 8 1} =2x1, . . . , xn3 0 R[[x]] maximales Ideal.(7) Komposition von formalen Potenzreihen:Sei A eine R-Algebra (etwa A = R) und sei P # R[[x]].Betrachte R[[x]] ! A, Q(x) "! Q(P (x)) = (Q ) P )(x) definiert durch

P =)"

i=0

cixi, Q =

)"

k=0

akxk,

Q ) P :=)"

k=0

akP k =)"

k=0

ak

( )"

i=0

cixi

)k

(%).

Dies liefert nur dann eine wirkliche Abbildung wenn P keinen konstanten Termhat (ord0 P 8 1 9 ord0 P k 8 k).

57

Dann besteht der Koe!zient von xj in (%) nur aus einer endlichen Summe vonKonstanten in R.

Beispiele: (1) Seien

Q =)"

i=1

xi

i!= ex * 1 = f(x), P =

)"

i=1

(*1)i+1 xi

i= ln(1 + x) = g(x).

Q ) P = eln(1+x) * 1 = 1 + x * 1 = x.Daher gilt: g = f#1 in der Nahe von x = 0.Formales Einsetzen liefert genauso:

Q ) P =)"

i=1

1i!

( )"

j=1

(*1)j+1 xj

j

)i

= x + 0x2 + 0x3 + · · · = x.

(2) Sei P # R[[x]] mit P (0) = 1. Dann folgt: 1P = 1 * Q + Q2 * Q3 + * . . . mit

Q = P * P (0). P = 1 + Q, ord0 Q 8 1, ord0 Q2 8 2, . . .Beispiel:

P = 1* (x + x3),1P

=1

1 * x + x3= 1 + (x + x3) + (x + x3)2 + (x + x3)3 + . . .

liefert Taylor-Entwicklung der di"erenzierbaren Funktion 1P (x) in x = 0.

Satz: Seien P # K[[x1, . . . , xn]], K Korper.P ist multiplikativ invertierbar 4 P (0) %= 0 4 P (0) # K& 4 ord0 P = 0.

Beweis: : =: siehe oben.9: P · Q = 1 mit Q = P#1 # K[[x1, . . . , xn]] 9 P (0) · Q(0) = 1 9 P (0) %= 0.

Definition (konvergente Potenzreihen): Seien K = R oder C und P =!"!Nn p"x" # K[[x]] eine formale Potenzreihe.

P konvergent (im Nullpunkt 0 # Kn) 4 ' # > 0 sodass fur alle a # Kn mit||a|| < # gilt:

!"!Nn p"a" existiert in K (d.h. ist eine konvergente Reihe in K).

Schreibweise: K{x1, . . . , xn} K-Algebra der konvergenten Potenzreihen.Es gilt: K[x1, . . . , xn] 1 K{x1, . . . , xn} 1 K[[x1, . . . , xn]].Konvergente Potenzreihen definieren in einer Umgebungen von 0 # Kn einereell oder komplex di"erenzierbare Funktion f : U 1 Kn ! K.

Beispiel (Losen von Di"erentialgleichungen durch Potenzreihen-Ansatze):Betrachte

t2f ''(t) + 2f '(t) * 2f(t) = 0.

Suche fur t # R, |t| < # (# > 0 klein) eine Losung f(t).Unbestimmter Ansatz:

P (x) ="

i!Npix

i # R[[x]] 9 P '(x) ="

i=1

piixi#1

(formale Ableitung).Einsetzen in Di"erentialgleichung liefert:x2P '' + 2P ' * 2P = · · · = (2p1 * 2p0) + (4p2 * 2p1)x +

!i(2

2i(i * 1)pi + 2(i +

58

1)pi+1 * 2pi

3xi = 0

9 (Koe!zientenvergleich) 2p1 * 2p0 = 0,4p2 * 2p1 = 0,pi+1 = 1

2(i+1) (i(i * 1) * 2)pi.Damit: p1 = p0 # R, p2 = p1

2 = p02 , p3 = 0 = p4 = pk, k 8 3.

Also: P = p02 (x2 + 2x + 2).

Losung der Di"erentialgleichung ist die di"erenzierbare Funktion f(t) = c(t2 +2t + 2).

59