6.4 Stetige FunktionenEine Funktion f heißt stetig im Punkt a , falls sie dort definiert ist und folgende Gleichung erfüllt:

limx/a f x = f a

Ist dies für alle Punkte des Definitionsbereichs A erfüllt, so nennt man f eine (auf A) stetige Funktion.

Anschaulich erkennt man solche Funktionen daran, dass man sie "in einem Zug" durch zeichnen kann, ohne abzusetzen.

Entsprechend sind linkseitige und rechtsseitige Stetigkeit eindimensionaler Fuktionen definiert.

Wie man sofort sieht, bedeutet für eine Funktion in einer Variablen Stetigkeit im Punkt a, daß sie dort sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig ist.

Gehört ein Punkt a nicht zum Definitionsbereich von f und gilt

limx/a f x = c ,

so sagt man, f sei im Punkt a stetig ergänzbar (durch f a = c).

Bei der konkreten Überprüfung der Stetigkeit arbeitet man meist mit dem

Folgenkriterium

Eine Funktion f ist genau dann stetig in einem Punkt a des Definitionsbereichs, wenn für jede gegen a konvergente Folge xn die Bildfolge f xn gegen f a konvergiert.

Besonders geeignet ist das Folgenkriterium zum Nachweis, dass eine Funktion in bestimmten Punkten a nicht stetig ist: Dazu muss man nur eine einzige gegen a konvergente Folge angeben, deren Bildfolgenicht gegen f a konvergiert.

Wir betrachten zunächst Funktionen in einer Variablen.

Beispiel 1: Die Gaußklammer

ordnet jeder reellen Zahl x die größte unter x liegende ganze Zahl x zu.

Diese Funktion ist in allen nicht ganzzahligen Punkten stetig; in den ganzzahligen Punkten ist sie rechtsseitig, aber nicht linksseitig stetig.

Beispiel 2: Die Diracsche Sprungfunktion

d x = 0 für x s 0 und d x = 1 für x = 0

ist im Nullpunkt weder linkseitig noch rechtsseitig stetig, da sowohl der links- als auch der rechtsseitige Grenzwert bei Annäherung an 0 gleich 0, also verschieden vom Funktionswert 1 ist.

Beispiel 3: Die Signum-Funktionhat für negative Argumente den Wert -1, für positive den Wert 1, und an der Stelle 0 den Wert 0.

Hier existiert der links- und der rechtsseitige Grenzwert bei 0, aber diese beiden Grenzwerte stimmen nicht überein. Wenn man 0 aus dem Definitionsbereich wegläßt, ist diese Funktion also bei 0 nicht stetigergänzbar.

Beispiel 4: Oszillation in der Nähe des NullpunktsAuch die für x s 0 definierte und stetige Funktion

f x = sin1x

ist an der Stelle 0 nicht stetig ergänzbar, da sie in deren Nähe immer stärker zwischen -1 und 1 oszilliert.Konkret nimmt man zur Widerlegung der stetigen Ergänzbarkeit z.B. die Nullfolge

xn =2

2 n C1

und bekommt die divergente Bildfolge

f xn = sin2 nC1

2 = K1 n.

xK3 K2 K1 1 2 3

K1,0

K0,5

0,5

1,0

Beispiel 5: Stetigkeit trotz Oszillation

Im Gegensatz zum vorigen Beispiel ist sowohl die Funktion

x sin1x

als auch die Funktion 1x

sin x

stetig an der Stelle 0 ergänzbar, und zwar im ersten Fall durch den Funktionswert 0 und im zweiten Fall durch 1. Beide Funktionen sind auf dem gesamten Definitionsbereich stetig.

Bei Annäherung an N ergibt sich:

limx/N

sin xx

= 0 , limx/N

x sin1x

= 1.

Zum Beweis der zweiten Gleichung beachte man

limx/N

x sin1x

= limy/0C

sin yy

.

xsin(1/x)

sin(x)/x

xK4 K3 K2 K1 1 2 3 4K0,2

0,2

0,6

1,0

Die Einsetzregel

sichert, daß man Grenzprozesse ineinander einsetzen darf:

limx/a

f x = c und limy/c

h y = d impliziert limx/a

h f x = d ,

sofern entweder h c = d gilt, also h an der Stelle c stetig ist, oder c gar nicht im Definitionsbereich vonh liegt.

Insbesondere ist die Hintereinanderschaltung von stetigen Funktionen wieder stetig:

Ist f stetig in a und h stetig im Bildpunkt f a , so ist h + f wieder stetig in a.

Wir wollen die Einsetzregel wegen ihrer großen Wichtigkeit kurz beweisen:

Zu jeder Umgebung W von d gibt es eine Umgebung V von c, die durch h in W abgebildet wird; und zu diesem V gibt es eine Umgebung U von a, so daß U ohne a von f in V, also von h + f in W abgebildet wird. (Dabei meinen wir mit "f bildet U in V ab", daß für jedes zum Definitionsbereich gehörige x aus U das Bild f x in V liegt.)

Wir haben die Einsetzregel intuitiv schon mehrfach angewandt, zum Beispiel bei der

Vertauschung von Grenzwerten mit ProduktenWas Inge mit der Abschätzung beim Ausmessen der Platte bewiesen hatte, ist die Gleichung

limx, y / a, b

f x, y = a b .

Nach Umbenennung der Variablen wird daraus

limy, z / c, d

f y, z = c d

und nun liefert die Einsetzregel, angewandt auf die Funktionen

F x = f x , g x und h y, z = y z ,

die Implikation

limx/a f x = c und limx/a g x = d => limx/a f x g x = cd .

Beispiel 6: Grenzwert einer zusammengesetzten Funktion

Mehrfache Anwendung der Einsetzregel liefert

limx/0

2xK xK4

x3C C x

2

=92 , lim

x/1

2xK xK4

x3C C x

2

= 1.

In kleineren Bereichen sieht die Funktion folgendermaßen aus:

x0 1 2 3 4 5

y

0

0,5

1,0

1,5

2,0

Der Schein trügt: Für große Argumente strebt diese Funktion nicht gegen 0, sondern gegen N !Denn 2x wächst viel schneller als jede Potenz von x. Also:

limx/N

2xK xK4

x3C C x

2

=N .

x0 2 4 6 8 10 12

y

0

2

4

6

8

10

Daß man die Einsetzregel nicht bedingungslos ohne die genannten Voraussetzungen anwenden darf, zeigt folgendes Beispiel:

Beispiel 7: Eine unstetige Grenzwertbetrachtung

Die Funktion f mit

f x = x sin1x

für x s 0 und f 0 = 0

ist überall stetig (siehe Beispiel 5) und erfüllt insbesondere

limx/0

f x = 0 .

Für die Diracfunktion d (siehe Beispiel 2) mit

d x = 0 für x s 0 und d 0 = 1

gilt ebenfalls lim

x/0 d x = 0 .

Aber d ist unstetig in 0, und d + f konvergiert überhaupt nicht bei Annäherung an 0:

Denn für xn =1

n ist f xn = 0 , also h f xn = 1 ,

aber für yn =1

2 n C0.5 ist f yn = yn , also h f yn = 0 .

xsin(1/x)

h(xsin(1/x))

h(xsin(1/x))

Zusammenfassung

Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte gilt:

Summe, Differenz, Produkt, Quotient und Verknüpfung (Hintereinanderschaltung) stetiger Funktionen sind (soweit definiert) wieder stetig.

Mit diesen Regeln kann man aus einfachen stetigen Funktionen viele neue zusammensetzen. Z.B. ist jedes Polynom und jede rationale Funktion (d.h. jeder Quotient zweier Polynome) stetig.

Beachten Sie, daß z.B. die Funktion 1x

in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist, obwohl der

Grenzwert bei 0 nicht existiert (dort ist die Funktion aber gar nicht definiert).

Beispiel 8: Die trigonometrischen Funktionen

Sinus sinx , Cosinus cosx , Tangens tanx , Cotangens cot x

sind in ihrem jeweiligen Definitionsbereich stetig.

sincos

tancot

xK6 K4 K2 0 2 4 6

K6

K4

K2

2

4

6

Daß z.B. die Sinusfunktion überall stetig ist, sieht man mit der trigonometrischen Summenformel

sinx Ksin a = 2 cosxCa

2 sin

xKa2

und den Abschätzungen

cosxCa

2% 1 und sin

xKa2

%xKa

2.

Zusammen liefern sie

sinx Ksin a % xKa ,

so daß man mit = arbeiten kann. Ähnlich geht es mit dem Cosinus, und wegen

tanx =sin x

cos x und cotx =

cos x

sin x

sind dann auch Tangens und Cotangens in ihrem Definitionsbereich stetig:

tan(x) ist für x s nC12

definiert, cot(x) für x s n .

Beispiel 9: Die natürliche Exponentialfunktion

ist definiert als Grenzfunktion

e x =>k= 0

Nxk

k! = lim

n/Nsn x mit sn x =>

k= 0

nxk

k! = 1 + x +

x2

2 + ... +

xn

n !.

Die Konvergenz dieser Reihe folgt unmittelbar aus dem Quotientenkriterium: Die Quotienten

x nC1 n!

nC1 ! x n =x

nC1

konvergieren gegen 0. Definitionsgemäß ist e 0 = 1 und e 1 = e, die Eulersche Zahl.

Die Exponentialfunktion wird uns noch viel beschäftigen (siehe insbesondere 4.4). Wir nehmen hier eineihrer wichtigsten Eigenschaften vorweg, dieFunktionalgleichung

e xCy = e x e y .

Aus ihr folgt induktiv die Gleichung

e x = ex

für alle natürlichen Exponenten und dann auch für alle rationalen Exponenten x, was den Namen "Exponentialfunktion" rechtfertigt.

Aus der Dreiecksungleichung erhält man für 0 < x %1 die Abschätzung

e x K1 %>k= 1

Nx k

k! < x >

k= 1

N1

k!= x eK1

und damit schon einmal die Stetigkeit im Nullpunkt. Für beliebiges a ergibt sich nun

limx/a

e xKa K1 = 0

und daraus mit der Funktionalgleichung die Stetigkeit in jedem Punkt a:

limx/a e x Ke a = limx/a e a e xKa K1 = 0 .

s1(x)s2(x)

s3(x)

s4(x)

e(x)

e(x)

xK4 K3 K2 1 2 3

K2

K1

1

2

3

4

5

Die Exponentialfunktion ist also in jedem Punkt stetig. Daher sind auch alle aus Exponentialfunktionen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zusammengesetzten Funktionen stetig, insbesondere die sogenannten "hyperbolischen" Funktionen (die trotz des Namens keine Hyperbeln darstellen):

der Sinus hyperbolicus sinhx =e x Ke Kx

2 ,

der Cosinus hyperbolicus coshx =e x Ce Kx

2 ,

der Tangens hyperbolicus tanh x =sinh x

cosh x ,

der Cotangens hyperbolicus coth x =cosh x

sinh x .

sinhcosh

tanh

coth

coth

xK3 K2 K1 0 1 2 3

K3

K2

K1

1

2

3

Für die Praxis besonders nützlich ist der

Zwischenwertsatz Eine auf dem Intervall [a,b] stetige reellwertige Funktion f nimmt jeden Wert zwischen f a und f b an.

Er stellt z.B. sicher, daß eine stetige Funktion mindestens eine Nullstelle hat, falls sie sowohl positive alsauch negative Werte annimmt. Insbesondere ist das für jedes Polynom ungeraden Grades der Fall.Auch die Existenz n-ter Wurzeln aus positiven Zahlen c ist damit gesichert, denn die Monome xn sind stetig, haben den Wert 0 für x = 0 und werden für große x beliebig groß, insbesondere größer als c.

x5

x0 0,5 1,0 1,5 2,0

0

1

2

3

4

5

x5 = 3 <=> x = 35

Das Halbierungsverfahrenliefert für jede auf einem Intervall [a,b] stetige Funktion f und jedes c zwischen f a und f b gute Näherungen für die Lösung der Gleichung f x = c,und zusätzlich einen konstrukiven Beweis für den Zwischenwertsatz:

Ist f a ! c < f b , so stellt man fest, ob der Funktionswert f m in der Mitte m =aCb

2größer oder kleiner als c ist (im dritten Fall f m = c hat man eine Lösung gefunden).

Im ersten Fall beschränkt man sich nun auf das Intervall [a,m], im zweiten auf das Intervall [m,b] und setzt das Verfahren mit dieser halbierten Strecke fort. Eine gegen die gesuchte Lösung x konvergente Folge mn liefert das Halbierungsverfahren durch folgende

rekursive Festsetzung:

a0 := a , b0 := b , m0 :=a0Cb0

2 ,

... a

nC1:= mn und b

nC1:= bn , falls f mn % c,

anC1 := an und bnC1 := mn , falls f mn > c , mnC1 :=anCbn

2 .

Dann ist an monoton wachsend, bn monoton fallend, und wegen

an %mn , mn % bn und bnKan =bKa

2n

konvergieren alle drei Folgen gegen den gleichen Grenzwert x. Nun ist aber f an % c und c % f bn ,

also f x = lim

n/Nf an = lim

n/Nf bn = lim

n/Nf mn = c .

Der Fall f b ! f a geht analog.

(1)

Beispiel 10: Berechnung der fünften Wurzel aus 3

Auf 10 Stellen genau gibt MAPLE dafür den Wert 1.245730940 an.Wir beginnen mit dem Intervall [1, 1.3] und führen 10 Halbierungsschritte mit der Funktion x5 durch:

n = 1, f mn = 2.011357188,an = 1.150000000,bn = 1.300000000

n = 2, f mn = 2.758547354,an = 1.225000000,bn = 1.300000000

n = 3, f mn = 3.207428131,an = 1.225000000,bn = 1.262500000

n = 4, f mn = 2.976223001,an = 1.243750000,bn = 1.262500000

n = 5, f mn = 3.090095997,an = 1.243750000,bn = 1.253125000

n = 6, f mn = 3.032731950,an = 1.243750000,bn = 1.248437500

n = 7, f mn = 3.004371190,an = 1.243750000,bn = 1.246093750

n = 8, f mn = 2.990270599,an = 1.244921875,bn = 1.246093750

n = 9, f mn = 2.997314255,an = 1.245507812,bn = 1.246093750

n = 10, f mn = 3.000841063,an = 1.245507812,bn = 1.245800781

UmkehrfunktionenZur Erinnerung: Eine Funktion f : A / B heißt

injektiv , höchstens

surjektiv , wenn zu jedem y aus B mindestens ein x aus A mit f x = y existiert.

bijektiv , genau

Im dritten Fall gibt es eine einzige Funktion g : B / A mit

f x = y 5 x = g y .

Diese Funktion g heißt Umkehrfunktion zu f und wird gelegentlich mit fK1 bezeichnet. Man sollte sie nicht verwechseln mit der durch h x = 1/f x gegebenen Funktion h.

Jede streng monoton wachsende (bzw. fallende) Funktion ist injektiv, und die Umkehrfunktion ist (soweit definiert) wieder streng monoton wachsend (bzw. fallend).

Denn für die Umkehrfunktion g mit f x = y 5 x = g y bedeutet

x1! x2 5 f x1 ! f x2 das Gleiche wie g y1 ! g y2 5 y1! y2 .

Sehr nützlich ist die keineswegs selbstverständliche Tatsache, daß die Umkehrfunktion einer stetigen Funktion (soweit sie existiert) wieder stetig ist. Dies folgt aus dem

Satz über monotone Funktionen

Für eine Funktion f zwischen zwei Intervallen [a,b] und [c,d] mit f a = c und f b = d (bzw. f a = d und f b = c) sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend:

(1) f ist surjektiv und streng monoton wachsend (bzw. fallend)

(2) f ist bijektiv und monoton wachsend (bzw. fallend)

(3) f ist injektiv und stetig

und falls diese Bedingungen erfüllt sind, hat auch die Umkehrfunktion diese Eigenschaften.

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar, da "streng monoton" das Gleiche wie "injektiv und monoton" bedeutet. (2) => (3) ergibt sich aus der Tatsache, daß für jede monotone Funktion in allen Punkten aus dem Definitionsbereich der linkseitige und der rechtsseitige Grenzwert existiert (mit Ausnahme von a und b, wo natürlich nur die Existenz des rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerts verlangt wird). Für (3) =>(2) nutzt man mehrfach den Zwischenwertsatz aus.

stetig,surjektiv, nicht injektiv, nicht monoton

unstetig, injektiv, nicht surjektiv, streng monoton wachsend

Potenzfunktionen

f x = xn

sind auf jedem Intervall rechts von 0 stetig und streng monoton wachsend (Beweis durch Induktion).

Beispiel 11: Dritte Potenz und Wurzel

Die Funktion f : 0, 2 / 0, 2 mit

f x = xK1 3C1

ist stetig, streng monoton wachsend und hat wegen

y = xK1 3C1 <=> yK1 = xK1 3 <=> yK1

13 = xK1 <=> yK1

13C1 =x

die stetige und streng monoton wachsende Umkehrfunktion

g y = yK1

13C1 .

f

g

x0 0,5 1,0 1,5 2,0

0

0,5

1,0

1,5

2,0

Die zuvor diskutierten Funktionen sind allesamt stetig und zumindest auf bestimmten Intervallen streng monoton. Dort existieren also Umkehrfunktionen, und diese sind wieder stetig und streng monoton. Wir stellen sie in einer kleinen Liste zusammen.

Tabelle zu Umkehrfunktionen

Funktion xa ex ax sin cos tan cot sinh cosh tanh coth

Umkehrfunktion

x

1a ln x loga x arcsin arccos arctan arccot Arsinh Arcosh Artanh Arcoth

Beispiel 12: Arcustangens und Tangens hyperbolicus

Diese beiden Funktionen sehen recht ähnlich aus, haben aber verschiedenes Grenzverhalten:

limx/N

arctan x =2

, limx/N

tanh x = 1 , limx/KN

arctan x =K2

, limx/KN

tanh x =K1

arctan

tanh

xK4 K2 2 4

K1,0

1,0