7 TRIGONOMETRIEWorkshops zur Aufarbeitung des Schulsto↵s

Wintersemester 2014/15

7 Trigonometrie

Wir beschaftigen uns hier mit der ebenen Trigonometrie, dabei geht es hauptsachlichum die geometrische Untersuchung von Dreiecken in der Ebene. Ein wichtigesHilfsmittel dafur sind die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus, denen wir unsals erstes widmen wollen: Dabei handelt es sich um eine Funktion, dh. um eineZuordnungsvorschrift, bei der verschiedenen Winkeln reelle Zahlen zugeordnetwerden:

2�sin7! 0, 0349 30�

sin7! 0, 5

10�cos7! 0, 9848 50�

cos7! 0, 6428

7.1 Defintion am Einheitskreis

Um die beiden Funktionen einzufuhren, stellen wir uns am besten einen Uhrzeigerder Lange 1 vor, der im Koordinatensystem im Punkt (0,0) festgemacht ist undsich gegen den Uhrzeigersinn dreht. Wenn sich der Zeiger einmal um den Nullpunktdreht, entstehen alle Winkel zwischen 0 und 360 Grad.

Dabei ist wichtig, dass der Winkel immer gegen den Uhrzeiger gemessen wird!Wir interessieren uns nun fur zwei bestimmte Strecken, die man fur jeden Winkeleinzeichnen kann:

Die Strecke bezeichnen wir als Sinus und als Cosinus.

Grundsatzlich sind diese Funktionen nicht so einfach mit der Hand auszu-rechnen, man verwendet dafur meist Taschenrechner oder Computer. Fur mancheWerte kann man Cosinus und Sinus aber am Einheitskreis ablesen:

Um eine Beziehung zwischen Cosinus und Sinus herzustellen, kann man ganzeinfach eine Gleichung mit Hilfe des Satzes von Pythagoras herleiten:

Fur jeden Winkel entsteht ein rechtwinkeliges Dreieck, in demwir den Satz des Pythagoras anwenden konnen:

cos2(x) + sin2(x) = 1

Neben dem Sinus und Cosinus, lasst sich nun auch der Tangens als Streckeam Einheitskreis definieren:

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7.2 Die Winkelfunktionen in rechtwinkeligen Dreiecken

Als nachstes wollen wir rechtwinkelige Dreiecke betrachten. Nach Wahl einesWinkels ↵, werden die Seiten (in Bezug auf ↵) folgendermaßen bezeichnet:

In rechtwinkeligen Dreiecken mit 0 < ↵ < 90 gilt:

sin(↵) = GegenkatheteHypotenuse , cos(↵) = Ankathete

Hypotenuse , tan(↵) = GegenkatheteAnkathete

Kennt man von einem rechtwinkeligen Dreieck nur eine Seitenlange und einenWinkel oder nur zwei Seitenlangen, dann kann man mit diesen Beziehungen dierestlichen Seitenlangen und Winkel berechnen.

7.2.1 Anwendungsbeispiel: Berechnung von Werten ohne TR

Neben den Werten fur 0�, 90�, 180� und 270� gibt es noch einige andere Werte, dieman ohne Taschenrechner berechnen kann.

Fur 30� und 60� kann man sich die Werte uber ein gleichseitiges Dreieck herleiten:

Nach Pythagoras gilt: a

2 = (a2

)2 + h

2 ) h

2 = a

2 � a2

4

= 3a2

4

cos(60�) = AnkatheteHypotenuse =

a2a = a

2a = 1

2

cos(30�) = ha = 1

2

p3

sin(30�) = GegenkatheteHypotenuse = 1

2

sin(60�) = ha = 1

2

p3

Fur 45� kann man sich die Werte beispielsweise uber die Diagonale einesQuadrates herleiten.Es gilt: sin(45�) = cos(45�) = 1

2

p2

Kennt man fur diese Winkel die Funktionswerte von Cosinus und Sinus kann mandamit auch gleich die des Tangens berechnen.Weiters kann man sich noch zu diesen bekannten Werten im ersten Quadrantenuberlegen, wie diese in den anderen Quadranten aussehen.

Allgemein gilt also:

sin(↵) = sin(180� � ↵) = � sin(180� + ↵) = � sin(360� � ↵) = sin(↵+ 360�)cos(↵) = � cos(180� � ↵) = � cos(180� + ↵) = cos(360� � ↵) = cos(↵+ 360�)tan(↵) = � tan(180� � ↵) = tan(180� + ↵) = � tan(360� � ↵) = tan(↵+ 360�)

7.3 Die Winkels

¨

atze

Um fehlende Großen auch in nicht rechtwinkeligen Dreiecken zu berechnen, kannman Winkelsatze herleiten, die in jedem beliebigen Dreieck gelten.

Sinussatz: asin(↵) =

bsin(�) =

csin(�)

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Cosinussatz: a

2 = b

2 + c

2 � 2bc · cos(↵)b

2 = a

2 + c

2 � 2ac · cos(�)c

2 = a

2 + b

2 � 2ab · cos(�)

7.4 Polarkoordinaten

Neben den Cartesischen Koordinaten gibt es noch eine andere Moglichkeit, Punktein der Ebene zu beschreiben. Wir beschranken uns dabei auf Punkte, fur die P 6=0 gilt:

In Cartesischen Koordinaten ist P = (p1

, p

2

)Will man den Punkt P mit Polarkoordinaten beschreiben, gibt man den Winkel �und den Radius r an: P = (r;�)

7.4.1 Umrechnung von Polar- in Cartesische Koordinaten

Betrachtet man die Zeichnung, erkennt man ein rechtwinkeliges Dreieck, in dem wirdie Winkelfunktionen anwenden konnen:

cos(�) = p1

r , sin(�) = p2

r

) p

1

= r · cos(�) und p

2

= r · sin(�)

7.4.2 Umrechnung von Cartesische- in Polarkoordinaten

Wieder konnen wir mit dem rechtwinkeligen Dreieck arbeiten und den Satz desPythagoras anwenden: r =

pp

2

1

+ p

2

2

Weiters gilt: tan(�) = p2

p1

) � = arctan(p2

p1)

7.5 Die Normalprojektion

Eine weitere Verwendung findet der Cosinus in der Normalprojektion.

Anschaulich leuchtet man bei der Normalprojektion von oben auf den Vektorb und will wissen, wie lange der Schatten auf dem Vektor a ist. Dabei wird derSchatten mit ba bezeichnet und es gilt:

| ba |=| b | · cos(�)

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7.6 Das Bogenmaß

Bis jetzt haben wir den Winkel immer in Grad angegeben, es gibt allerdings nocheine andere Moglichkeit, namlich das Bogenmaß. Dabei gibt man die Lange desKreisbogens an, der zum Winkel gehort, wobei dabei zu beachten ist, dass die Langedes Kreisbogens vom Radius abhangt.

b und b’ bezeichnet die Bogenlange,s und s’ die dazugehorige Sehnenlange.Aufgrund der Ahnlichkeit der Dreiecke gilt:sr = s0

r0 und ebenso br = b0

r0 .Man sieht, dass die zweite Gleichung unabhangig vom Radius ist und definiert daher:

DefinitionDas Bogenmaß eines Winkels ist der Quotient a = b

r , wobei b die Lange einesWinkelbogens mit dem Radius r ist.

Wenn man r = 1 wahlt, gilt: a = b1

= b, dh. das Bogenmaß ist gleich der Langedes Winkelbogens mit dem Radius 1.

Umrechnung zwischen Grad- und BogenmaßBezeichnet a das Bogenmaß und g das Gradmaß, dann gilt die Beziehung:a⇡ = g

180

Denn wir wissen ja, dass im Einheitskreis 180� dem halben Kreisumfang r · ⇡entspricht und daher gilt:180� = r·⇡

r = ⇡ ) 1� = ⇡180

) g

� = ⇡180

· g = a

Somit gilt nun z.B.: cos(90�) = cos(⇡2

) = 0 oder sin(270�) = sin( 3⇡2

) = �1

7.7 Einige Eigenschahften von Cosinus und Sinus

Bis jetzt hat der Uhrzeiger immer nur eine Umdrehung gemacht. Was aber passiert,wenn er sich weiterdreht, der Winkel also > ⇡ (360�) ist?

Man sieht, dass der Zeiger bei 60� und bei 420� auf der gleichenPosition steht, dh. die Funktionswerte von Cosinus und Sinus sind gleich.

Allgemein gilt fur 0 ↵ 2⇡:sin(↵+ 2⇡) = sin(↵)cos(↵+ 2⇡) = cos(↵)Man spricht in diesem Fall von einer periodischen Funktion. Die Periode

bezeichnet die Lange, ab der sich der Funktionswerte wiederholen. Im Fall vonCosinus und Sinus betragt die Periode 2⇡.

Neben der Periodizitat von Cosinus und Sinus kann man noch ablesen, dass gilt:cos(�↵) = cos(↵) (symmetrisch)

sin(�↵) = � sin(↵) (antisymmetrisch)

Weiters sieht man aus der Zeichnung, dass Cosinus und Sinus nur Werte zwischen-1 und 1 annehmen: �1 cos(↵) 1 und �1 sin(↵) 1Man spricht in so einem Fall von einer beschr

¨

ankten Funktion.

Wir konnen uns außerdem noch uberlegen, welches Vorzeichen die Winkelfunktio-nen in den Quadranten I - IV haben:

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Fur den Sinus gilt: Fur den Cosinus gilt:

0 ↵ ⇡ : + 0 ↵ ⇡2

und 3⇡4

↵ 2⇡: +⇡ ↵ 2⇡ : � ⇡

2

↵ 3⇡4

: �

7.8 Die Graphen von Cosinus und Sinus

Mit Hilfe des Bogenmaß wollen wir uns nun uberlegen, wie die Funktionsgraphenvon Cosinus, Sinus und Tangens ausschauen.

Sinus und Cosinus:

Tangens:

7.9 Die Arcusfunktionen

Wir wissen jetzt schon, dass verschiedene Winkel gleichen Sinus, Cosinus oderTangens haben konnen. Wenn man sich aber auf passende Bereiche einschrankt,dann findet man zu einem gegebenen Wert der Winkelfunktionen einen eindeutigenWinkel:

1. Fur jedes x 2 [�1, 1] gibt es einen eindeutigen Winkel ↵ 2 [0,⇡], sodasscos(↵) = x gilt. Dieser Winkel wird mit arccos(x) bezeichnet undArcuscosinus von x genannt.

2. Fur jedes x 2 [�1, 1] gibt es einen eindeutigen Winkel ↵ 2 [�⇡2

,

⇡2

], so-dass sin(↵) = x gilt. Dieser Winkel wird mit arcsin(x) bezeichnet undArcussinus von x genannt.

3. Fur jedes x 2 R gibt es einen eindeutigen Winkel ↵ 2 (�⇡2

,

⇡2

), sodasstan(↵) = x gilt. Dieser Winkel wird mit arccos(x) bezeichnet undArcustangens von x genannt.

Arcuscosinus, Arcussinus und Arcustangens konnen als Funktionen betrachtetwerden. Die zugehorigen Graphen sehen dann folgendermaßen aus:

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7.10 BEISPIELE

1. Rechne das Gradmaß ins Bogenmaß um.a) 135� b) 30� c) 240�

2. Rechne das Bogenmaß ins Gradmaß um.a) 3⇡

4

b) 2⇡3

c) 7⇡10

3. Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man zwei Seiten:a = 5, 4 und b = 3, 9. Berechne die dritte Seite und die Winkel des Dreiecks!

4. Von einem beliebigen Dreieck kennt man a = 7, c = 10 und � = 87�.Berechne die Seite b und die restlichen Winkel!

5. Von einem Viereck kennt man a = 6, b = 6, d = 7, ↵ = 80� und � = 110�.Berechne die ubrigen Seiten und Winkel!

6. Berechne die Polarkoordinaten von P = (3, 1) und Q = (4,�1).

7. Rechne S = (1; 130�) und T = (10; 300�) in Cartesische Koordinaten um.

Losungen:

1. a) 3

4

⇡ b) 1

6

⇡ c) 4

3

⇡

2. a) 135� b) 120� c) 126�

3. c = 6, 67, ↵ = 54, 16�, � = 35, 84�

4. b = 7, 52, ↵ = 44, 35�, � = 48, 65�

5. e = 9, 83, f = 8, 39 (wobei mit e und f die beiden Diagonalen bezeichnetwerden), c = 6, 9, � = 80�, � = 90�

6. P = (3, 16; 18, 43�), Q = (4, 12; 345�)

7. S = (�0, 642; 0, 766), T = (5; �8, 66)

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