A Anhang

A.l Transformation von Langevin-G leichungen

Eine andere Form der allgemeinen L.G., die sich besonders für Trans­formationen eignet, lautet [3, S. 54]

mit

qi = ai(iJ) + L aij (q)f j (t) j

(A.1)

dabei ist ~ij das Kronecker Symbol (~ij = 1 für i = j; ~ij = 0 für i =1= j).

Die Abbildung von (A.1) in die L.G. (1.13) (mit gi(q) = 1) und F.P.G. (1.31) erfolgt mit

(A.2)

(A.3)

Der zweite Term in (A.2) ist der durch Rauschen induzierte Drift-Term

166 Anhang A

Soll (A.l) in ein anderes Koordinaten-System

(AA)

transformiert werden, so sind die neuen Größen a~ und O'~j der trans­formierten L.G.

q~ = a~(q') + L O'~j(q')rj(t) j

gegeben durch

(A.5)

(Der Vorteil dieser Schreibweise ist, daß die rj(t) bei Transformatio­nen invariant sind). Diese Regeln werden nun angewendet, um die Laser-Feldgleichung (3.24)

. 1 E = -2 -(1 + ja)(G - l)E + F(t)

Tph

((F(t)F*(t')) = Ro(t - t') (A.6)

in Polar-Koordinaten und in die zugehörige F.P.G. überzuführen.

Zunächst wird (A.6) in Real- und Imaginärteil getrennt (E = EI +jE2 ;

F = FI + jF2 )

(G - l)EI a(G - 1)E2 F -'----'--- - + I 2Tph 2Tph

(G - 1)E2 a(G - l)EI D -'---'--- + + r 2 2Tph 2Tph

(A.7)

A.l Transformation von Langevin-Gleichungen 167

mit

(A.7) entspricht der Form (A.1) (ql = EI; q2 = E2) mit

(G - 1)E1 a(G - 1)E2 2Tph 2Tph

(G - 1)E2 a(G - 1)E1 a2 = -"---'--- + . 2Tph 2Tph

(A.8)

Ferner folgt aus (A.7)

0"12 = 0"21 = 0 und (A.9)

O"U r l = F1 ; 0"22r 2 = F2 •

Damit ergibt sich

0"~1 (r1 (t)r l (t')) = (F1(t)F1(t'»

0"~128(t - t') = ~R<5(t - t')

und schließlich

0"11 = 0"22 = 1/2..fR.

Mit (A.8), (A.9) und (A.lO) lautet nun (A.7)

EI = al +O"Url(t)

E2 = a2 + 0"22r 2(t)

(A.10)

(A.ll)

168 Anhang A

Die Transformation in Polar koordinaten erfolgt wie

(A.12)

darin ist S die Photonenzahl und rp die Phase. Die neuen Größen (q~ = S; q~ = rp) sind mit den alten Größen EI und E2 wie folgt verknüpft

(A.13)

Mit (A.5) ergibt sich damit für

as as aEI al + aE2 a2

(G -1)S (A.14)

und in ähnlicher Weise für

I a(G - 1) acp = a2 = 2 .

'Tph (A.15)

Die neuen Größen a:j erhält man aus (A.5) unter Beachtung von (A.9 - A.13) zu

a~2 = ..; RS sin rp

a~2 = ~R cos rp.

Damit folgt für die L.G. in Polar-Koordinaten

cp=

(A.16)

(A.17)

A.l Transformation von Langevin-Gleichungen 169

(A.17) wird nun mit Hilfe von (A.2), (A.3) sowie mit (A.14), (A.15) und (A.16) in die äquivalente L.G. (1.13) (mit gi(ij) = 1) transformiert (ql = S; q2 = cp). Für die Drift-Terme folgt damit (vgl. (A.2)):

Die Diffusionskoeffizienten ergeben sich aus (A.3):

Dss = Du Dtptp = D22 Dstp = D12

Dtps = D21

(A.18)

(A.19) .

(A.20)

Die Bilanzgleichungen für die Photonenzahl S (vgl. (3.47)) und für die Phase cp (vgl. (3.30)) lauten nun

S = (G - l)SjTph + R + Fs(t)

(Fs(t)Fs(t')) = 2Dss8(t - t') = 2SR8(t - t') (A.21)

170

und

cj; = a(G - 1)/2Tph + Fep(t)

R (Fep(t)Fep(t') = 2Depepo(t - t') = 2So(t - t') .

Anhang A

(A.22)

Mit (A.18) bis (A.20) kann nun nach (1.31) die Fokker-Planck Glei­chung für den Fabry-Perot Laser aufgestellt werden

aw 8t

aWKs as (A.23)

Sowohl in Ks als auch in Kep ist der Gewinn in der Form (G - 1) = Gn · (n - ns ) enthalten. Durch Anwendung der adiabatischen Appro­ximation (3.59) werden n und ns eliminiert. Mit den Abkürzungen (3.61) lauten dann diese Drift-Koeffizienten

Ks = 2(a - eS)S + R

Kep = a(a - eS) . (A.24)

Da Ktp unabgängig von cp ist, kann (A.23) umgeschrieben werden

aw a aw - = - -[2W(a - eS)S - RS-] 8t as as

aw R a2w - a(a - eS) acp + 4S acp2 '

(A.25)

dabei wurde von der Umrechnung R°:;'/ = RW + RS~~ Gebrauch gemacht. Da die stationäre Lösung Wo von (A.25) unabhängig von der Phase cp ist und die im verbleibenden Klammerausdruck enthaltene Komponen­te des Wahrscheinlichkeit-Stromes verschwindet (Wo =0 für S ---t 00), ergibt sich als Lösung

Wo = No exp - (cS2 - 2aS) / R , (A.26)

A.l Transformation von Langevin-Gleichungen 171

welche mit den normierten Größen (3.70) und (3.71) der Lösung von (3.69) entspricht.

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[30] Sze, S.M.: Physics ofSemiconductor Devices. J. Wiley, New York, 1982

Stichwortverzeichnis

Absorption stimulierte, 65-68

AM Rauschen, 23, 27, 46, 47, 50,

55, 56 Rauschleistung, 46, 54 Rauschspektrum, 46

Amplitudenstabilisierung, 27, 33,44,46,50,56,83,84

Attraktor, 32-36 Autokorrelationsfunktion

allgemein, 1-7 Amplitude, 33 Lawinenprozeß, 115-121,

134 Leistungsspektrum, 48, 51,

84, 94 Rekombination, 17 Schrotrauschen, 113

Bifurkation, 26, 27, 75 Bilanzgleichung

Feld, 63 Photonenzahl, 65, 169

Brillouin-Zone, 151 Brownsche Bewegung, 5, 50

Diffusionskoeffizient allgemein, 3-6, 15, 16

Elektronen heiße, 157

Emission spontane, 63, 66, 169

Lawinenprozeß, 116 Schrotrauschen, 113, 121 Widerstand, 28, 29, 155

negativer, 29 Diffusionsterm

allgemein, 8 Driftterm

allgemein, 4, 8, 15 Elektronen

heiße, 157 Emission

spontane, 34, 65, 169 Rauschen

induziertes, 30, 69, 165 Schrotrauschen, 111 Synchronisation, 97

Driftzone, 118, 123, 131, 138 Durchbruchbedingung, 120, 140

Eigenrauschen, 91 Einstein-Beziehung, 155, 158,

164 Emission

spontane, 63, 72, 75, 78, 80

176

stimulierte, 65, 66, 70

Fabry-Perot Anordnung, 57 Laser, 170 Resonator, 60

Faktor der spontanen Emission, 68

Feldgleichung, 63 Fermi-Dirac Verteilung, 67 Fluktuationen

kritische, 26, 27, 32, 33, 75 FI uktuations­

Dissipationstheorem, 6 FM

interne, 95 Rauschen, 23,27,47,55,81,

90, 100, 101 Rauschleistung, 47, 55 Rauschspektrum, 46, 91 Rauschunterdrückung, 102

Fokker-Planck Gleichung allgemein, 8, 13 Injektionslaser, 75, 80, 170 Leistungsspektrum, 49 Schroteffekt, 110 Van der Pol Oszillator, 34

Frequenzabweichung mittlere, 47

Frequenzhub, 47, 82

Gaußverteilung, 76 verschobene, 111

Generation, 14, 16 Rate, 108, 114

Gewinn

Stich wort verzeichnis

optischer, 57 Schwellen-, 60 differentieller, 59 dimensionsloser , 63 Netto-, 58 Umlauf-,58

Gitter-Temperatur, 152 Greensche Funktion, 142, 143,

159 Gunn-Effekt, 152 Gunn-Element, 150-154, 162,

164 Güte

externe, 40, 48, 56

Henry-Faktor, 59, 86, 91 HF-Leistung, 35, 40, 54

mittlere, 38

Impedanz Großsignal, 131 Kleinsignal, 125, 142, 154,

162 Lawinenzone, 126

Innenwiderstand, 126 Intensitätsrauschen, 80

relatives, 88-90 Ionisationsrate, 114, 120, 121

Langevin-G leichung allgemein, 3, 4, 8, 13 Amplitude, 24, 25, 74, 97 Feld, 63 Gunn-Effekt, 153-156 Inversionsdichte, 69 Lawinenprozeß, 114, 140

Stichwort verzeichnis

Phase, 24,46,50,81,84,97 Photonenzahl, 65, 69 Rekombination, 16 Widerstand, 29

Laser-Resonanzkreisfrequenz, 87

Laufwinkel, 124, 146, 160, 162 Laufzeit, 119, 146, 147 Lawinen-

Gleichung, 115 Prozeß, 114 Resonanzkreisfrequenz, 147 Zone, 118, 122

Lawinenkreisfrequenz Großsignal-, 131 Kleinsignal-, 123, 141

Lebensdauer Elektronen-, 69 Photonen-,60

Leerlauf-Rauschspannung, 126, 137, 144, 158-160

Leistungsspektrum, 48, 52, 85, 94,104,105

Linienbreite, 52, 82, 85, 104-105

Lorentzspektrum Injektionslaser, 82, 85 Ornstein-Uhlenbeck­

Prozeß,7 Van der Pol Oszillator, 52-

54

Mastergleichung allgemein, 13 Gunn-Effekt, 156 Injektionslaser, 65, 69, 70

177

Schrot-Effekt, 108 Mikroresonator , 80 Mitziehbereich, 100 Modulationsrauschen, 91 Modulationssteilheit, 87, 88, 91 Momente

Fokker-Planck-G leichung, 9, 12

Injektionslaser, 77 Schroteffekt, 111 Van der Pol Oszillator, 38-

42

Nichtlinearitätsfaktor , 56 Normal-Moden, 18-21 Nyquist-Theorem, 29

Ornstein-Uhlenbeck Prozess allgemein, 5-7, 12, 13 Amplitude, 33, 44 Feld, 154 Phase, 100 Read- Gleichung, 120 Widerstand, 28

Oszillator, 27 Oszillator-Schwingbedingung,

57

Phasenübergang, 32-34, 36, 40, 75

Photonenzahl, 63, 65, 71-73, 76-79, 89, 168, 169

pin-Diode, 138, 142, 143 Poisson-

Verteilung, 110 Gleichung, 114, 140, 152

178

Prozeß,14 Potential

allgemein, 11, 12 Injektionslaser , 75 Synchronisation, 97 Van der Pol Oszillator, 31,

35 Pump-Term,70

Quasi-Ferminiveau,67

Rauschmaß, 48 Großsignal-, 137 Kleinsignal-, 128, 162, 163 optimales, 128, 129

Rauschspannung Leerlauf-, 126, 145, 158

Rauschstrom, 136, 137 Rauschtemperatur

äquivalente, 29, 128, 164 Read-Diode, 117 Read-Gleichung, 120, 129, 134 Rekombination, 14, 16,70 Relaxationszeit, 33

dielektrische, 154 Repeller, 32, 38 Reziprozität, 159 Reziprozitätstheorem, 143, 144

Satellitental, 151 Schottky- Diode, 106 Schroteffekt, 111 Schrotrauschen, 106, 115, 135 Schwelle, 71-78 Schwellenbedingung, 61 Schwellengewinn, 60

Stichwortverzeichnis

Schwellenstrom, 133, 134 Schwellenstromdichte, 71 Schwingbedingung, 60, 133 slowing down, 26, 32, 34, 36 Spektrale Dichte

allgemein, 2 AM-Rauschen, 46 Leerlauf-Rauschspannung,

126, 143-147, 160 Leistungsspektrum, 52 Phasenänderung, 47, 81 primärer Rauschstrom, 125,

137 Symmetriebrechung, 26, 34 Synchronisation

externe, 96, 98, 100, 101, 104

Transparenzdichte, 61

Umlaufgewinn, 58

Van der Pol Gleichung, 25

Van der Pol Oszillator, 20, 74, 80

Varianz allgemein, 2 Amplitude, 45, 46 Frequenzhub, 47 Leistung, 41 Phasendifferenz, 50, 85, 91,

102 Photonenzahl, 78

Verluste Gesamt-,60

Stichwort verzeichnis

interne, 57, 60 Spiegel-, 60

Wiener-Prozeß allgemein, 4 Phasenänderung, 24, 46,

50, 81, 84

Zentralminimum, 151

179