a o= li, o{i) m i tl i=ef i *u ( D= - Y+u - TUM · 2010-01-28 · 10.4 Das SCHALENMODELL des...

10.4 Das SCHALENMODELL des Atomkerns

Hinweise auf Schalenstruktur:

Magische Zahlen: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

Kerne mit magischer Protonenzahl Z oder Neutronenzahl N sind besonders stabil

Doppelt-magische Kerne (Z und N magisch) sind außergewöhnlich stabil

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

r ( ' )I

-'.\' - -

\i.a#

- H

Abb. 10.10: Im Kernpotential werden die Einteilchenzust6nde gemiiB dem Pauli-Prinzip besetzt

Was haben wir nun aus dem Fermigasmodell gelernt? Nun, Volumen- und Asymmetrieterm

sind damit verstanden, ebenso die Favorisierung des Neutroneneinbaus bei schweren Kernen,

N > 2 .

10.4 Schalenmodell des Atomkerns

Empirische Hinweise deuten auf eine Schalenstruktur des Atomkerns hin, welche wir im Fol-

genclen niiher besprechen wollen. Eine Evidenz sind beispielsweise die sogenannten magischen

Zuhlen 2. 8. 20. 28. 50. 82. 126.

Kerne. bei denen die Neutronenzahl N oder die Protonenzahl Z eine magische Zahl ist, er-

weisen sich nlimlich als besonders stabil (Beispiel: o-Teilchen). Solche Kerne besitzen eine

besonders hohe Separationsenergie ftir ein einzelnes Nukleon, gleichzeitig ist die Separations-

energie fiir ein weiteres hinzugeftigtes Nukleon wesentlich kleiner. Kurzum, solche Phdnomene

sind uns aus der Physik der Elektronen in der Atomhtille bekannt: Wir wissen, daB Edelga-

se mit abgeschlossener Valenzschale sehr groBe Ionisationsenergien aufweisen, wdhrend man

bei Alkalimetallen, welche in ihrer Atomhiille gerade ein Elektron zuviel besitzen, sehr kleine

loni sationsenergien feststellt.

Ist nun Z oder N eine magische Zahl, so gibt es besonders viele stabile Kerne mit dieser

Protonen- bzw. Neutronenzahl. Beispielsweise finden wir 6 Kerne mit N = 50 bzw. 7 Kerne

mit N = 82. Von Sn (Z = 50) existieren 10 nati.irlich vorkommende Isotope.

AuBergewohnlich stabil sind cloppeltmagische Kerne, wie lHe, t[O,

]$Ca, lfiCa und 2!!lU. tn

Analogie zur Atomphysik ist man geneigt zu vermuten, magische Zahlen entsprdchen gerade

Schalenabschliissen im Kern.

Kernpotential: Die Nukleonen bewegen sich in einem mittleren (sphiirischen) Kernpotential,

in dem Einteilchenzustdnde gemiiB dem Pauli-Prinzip besetzt werden (Abb. 10.10).

Allerdings liegt beim Kernpotential kein Analogon zum Coulombpotential einer zentralen La-

dung wie in der Atomphysik vor, das mittlere Kernpotenti al V (r) wird vielmehr selbstkonsistent

durch die Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung erzeugt. Unter anderem erfuhren wir in Kap. 9

von der relativ kurzen Reichweite dieser Wechselwirkung: Wir konnen annehmen, das Kernpo-

tential ist proportional zur Nukleonendichte p(r):

v(r) x p(r) .

Beispiele:

In der Umgebung dieser magischen Protonen- oder Neutronenzahlen gibt es besonders viele Isotope/Isotone

Beispiele: es gibt 6 Kerne mit N = 50 und 7 Kerne mit N = 82

es gibt 10 natürlich vorkommende Isotope von Sn (Z = 50)

10.4.1

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

r ( ' )I

-'.\' - -

\i.a#

- H




N > 2 .




Zuhlen 2. 8. 20. 28. 50. 82. 126.























v(r) x p(r) .

Schalenmodell - Hypothese:

Jedes Nukleon bewegt sich in einem mittleren Potentialfeld U(r), das durch die Wechselwirkung mit allen anderen A-1 Nukleonen erzeugt wird.

Protonen Neutronen

Die Besetzung der diskreten Quantenzustände (Orbitale) im Schalenmodell-Potential erfolgt nach den Regeln des PAULI - Prinzips

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

r ( ' )I

-'.\' - -

\i.a#

- H




N > 2 .




Zuhlen 2. 8. 20. 28. 50. 82. 126.























v(r) x p(r) .Ansatz: Potential Dichte der Nukleonen

U(r)

U(r)

Teilchen und Kerne


10.4.1 Hamilton-Operator des Kerns

Allgemein gilt ftir einen Hamiltonoperator:

A .

i = \ - i ^ , ' ' I \ - - '

" = *

/ N ( r ) + j ) _ v t N t t . J l

Nun fi. ihren wir ein mitt leres Potential ein. Es gilt:

A

H=fr0*AAB"., mitHo=I (r , t ,+u(i)) undAAp".,= I t v,v,v(r. /) _

Lu(D; - t t + t I

Dabei ist Ao Aer Hamiltonoperator des Schalenmodells. Nun wird tiber Hartree-Fock-Verfahren

U(l) so optimiert, dass (AHp".,) mdglichst klein wird.

Gesucht sind nun die Ldsungen des Schalenmodell-Hamiltonoperators Hs mit

r l uwt t , . . . ,A ) = EY(1 , . . . ,A )

Das Pauliprinzip verlangt die totale Asyn-rmetrie der Wellenfunktion unter Veftauschung zweier

Teilchen:

Y ( l , . . . , i , . . . , j , . . , A ) = - Y ( 1 , . . . , i , . . . , i , . . . , 4 )

Wir nehmen nun an, dass sich A6 aus einzelnen Einteilchen-Hamiltonoperatoren zusammen-

SCIZT:

ao =li,o{i) mi t l ie =f i*u(D=-Y+u@

Fiir die Einteilchenenergien gilt: i0Vd(D = !oY,r(1, womit wir schlieBlich die Gesamtwellen-

funktion aus der Slaterdeterminante erhalten:

IY ( 1 , . . . , A ) = , - d e t i Y " , ( 4 ) l U - E a r + t c x 2 + . . . 1 t a r .

\ / Al

10.4.2 Phf,nomenologisches Kernpotential

Wir erhalten nun eine Einteilchen-Schrodingergleichung fiir hs:

/ i : \i ,oa(D= e@(D = | -^:- + U(D I @(i

\ 2M ' l

\ /

Hamiltonoperator des Kerns im Schalenmodell10.4.2

Ausgangspunkt: Kern-Hamiltooperator:

Mittleres Einteilchen - (Schalenmodell -) Potential U:

Teilchen und Kerne




A .

i = \ - i ^ , ' ' I \ - - '

" = *

/ N ( r ) + j ) _ v t N t t . J l


A


Lu(D; - t t + t I




r l uwt t , . . . ,A ) = EY(1 , . . . ,A )


Teilchen:

Y ( l , . . . , i , . . . , j , . . , A ) = - Y ( 1 , . . . , i , . . . , i , . . . , 4 )


SCIZT:





\ / Al



/ i : \i ,oa(D= e@(D = | -^:- + U(D I @(i

\ 2M ' l

\ /

Teilchen und Kerne




A .

i = \ - i ^ , ' ' I \ - - '

" = *

/ N ( r ) + j ) _ v t N t t . J l


A


Lu(D; - t t + t I




r l uwt t , . . . ,A ) = EY(1 , . . . ,A )


Teilchen:

Y ( l , . . . , i , . . . , j , . . , A ) = - Y ( 1 , . . . , i , . . . , i , . . . , 4 )


SCIZT:





\ / Al



/ i : \i ,oa(D= e@(D = | -^:- + U(D I @(i

\ 2M ' l

\ /

Teilchen und Kerne




A .

i = \ - i ^ , ' ' I \ - - '

" = *

/ N ( r ) + j ) _ v t N t t . J l


A


Lu(D; - t t + t I




r l uwt t , . . . ,A ) = EY(1 , . . . ,A )


Teilchen:

Y ( l , . . . , i , . . . , j , . . , A ) = - Y ( 1 , . . . , i , . . . , i , . . . , 4 )


SCIZT:





\ / Al



/ i : \i ,oa(D= e@(D = | -^:- + U(D I @(i

\ 2M ' l

\ /

Schalenmodell - Hamiltonoperator

Optimierung des Schalenmodell - Potentials: Hartree - Fock - Verfahren

Teilchen und Kerne




A .

i = \ - i ^ , ' ' I \ - - '

" = *

/ N ( r ) + j ) _ v t N t t . J l


A


Lu(D; - t t + t I




r l uwt t , . . . ,A ) = EY(1 , . . . ,A )


Teilchen:

Y ( l , . . . , i , . . . , j , . . , A ) = - Y ( 1 , . . . , i , . . . , i , . . . , 4 )


SCIZT:





\ / Al



/ i : \i ,oa(D= e@(D = | -^:- + U(D I @(i

\ 2M ' l

\ /

Restwechselwirkung “klein”

Schrödinger - Gleichung

Teilchen und Kerne




A .

i = \ - i ^ , ' ' I \ - - '

" = *

/ N ( r ) + j ) _ v t N t t . J l


A


Lu(D; - t t + t I




r l uwt t , . . . ,A ) = EY(1 , . . . ,A )


Teilchen:

Y ( l , . . . , i , . . . , j , . . , A ) = - Y ( 1 , . . . , i , . . . , i , . . . , 4 )


SCIZT:





\ / Al



/ i : \i ,oa(D= e@(D = | -^:- + U(D I @(i

\ 2M ' l

\ /

Teilchen und Kerne




A .

i = \ - i ^ , ' ' I \ - - '

" = *

/ N ( r ) + j ) _ v t N t t . J l


A


Lu(D; - t t + t I




r l uwt t , . . . ,A ) = EY(1 , . . . ,A )


Teilchen:

Y ( l , . . . , i , . . . , j , . . , A ) = - Y ( 1 , . . . , i , . . . , i , . . . , 4 )


SCIZT:





\ / Al



/ i : \i ,oa(D= e@(D = | -^:- + U(D I @(i

\ 2M ' l

\ /

PAULI - Prinzip:Wellenfunktion total antisymmetrisch unter Vertauschung zweier Nukleonen

Isospin - Symmetrie: Proton und Neutron als Isospin - Dublett

|Nukleon! = |n, !; s =1

2, ms = ±

1

2; t =

1

2, mt = ±

1

2!

Bahn Spin Isospin

Proton

Neutron

Teilchen und Kerne




A .

i = \ - i ^ , ' ' I \ - - '

" = *

/ N ( r ) + j ) _ v t N t t . J l


A


Lu(D; - t t + t I




r l uwt t , . . . ,A ) = EY(1 , . . . ,A )


Teilchen:

Y ( l , . . . , i , . . . , j , . . , A ) = - Y ( 1 , . . . , i , . . . , i , . . . , 4 )


SCIZT:





\ / Al



/ i : \i ,oa(D= e@(D = | -^:- + U(D I @(i

\ 2M ' l

\ /

Lösungen der Einteilchen-Schrödingergleichung

h0 ψα("r ) = εα ψα("r ) =

!

!""2

2M+ U("r )

"

ψα("r ) ! = {n", ms, mt}

Antisymmetrisierte Produktwellenfunktion des Kerns:

!(!r1, . . . ,!rA) =1√A!

det |"!i(!rj)| (Slater - Determinante)

Energie: E = !!1+ !!2

+ . . . + !!A

T

Teilchen und Kerne

Abb. l0. l l : Potential im Harmonischen Oszi l lator

Linie) irn Vergleich

Mit dem bereits erwdhnten Ansatz U(r) x

tale gemZiB

Kernmodelle

V(r) =

(ausgezogene Linie) und Woods-Saxon-Potential (gestr ichelte

p(r) lassen sich nun die Wellenfunktionen der Orbi-

/ r r \-u, ( r - n, )

tn ., Vo

t'- =

n,

@(D = R,ilr) ' Yt,,,(8, Q)

separieren. Hierbei ist n- 1 = 0, 1, 2,3, ... die Anzahl der Knoten der Radialwellenfunktion, I =

0,1,2,3 ... stellt den Bahndrehimpuls dar. Die Entartung von E ist 2(2{+1), wobei der Vorfaktor

2 den zwei, nach dem Pauli-Prinzip mdglichen, entarteten Spineinstellungen Rechnung triigt.

Beriicksichtigt man nun auch noch den Spin, so ergibt sich mit dem Gesamtdrehimpuls/= 1a;

die Gesamtwellenfunktion fiir ein Teilchen zu:

r t l \

V,,riu,(D = [o,,(/) + Xuz) i,,, = R,,t(rlL (,,r, i l im) Y,,,,,{ i"11,,r,,,,

t n l t t t \ \ - l

/

Welche Potentiale spannt man nun vor den Wagen, um die Schalenstruktur und insbesondere

die empirisch evidenten magischen Zahlen zu erkldren?

Harmonisches Oszillatorpotential. Beim analytisch l6sbaren harmonischen Oszillator V(r) =

-Vo(l - fi), wobei4 a2 =

# (durchgezogene Linie in Abb. 10.11) gilt bekanntermaBen:

E, , , = -v0+ha ( , r ,+ n , + r . * l ) = -vo*n, (2n. , - +)

\ f f i1 / \L /

Man beachte die im Dreidimensionalen natiirlich dreifach vorhandene Nullpunktsenergie. Mit

dem Modell des harmonischen Oszillators sind die ersten drei Zustiinde sofort erkliirbar. danach

allerdings gibt es Abweichungen.

Woods-Saxon-Potential. Realistischer niihert bereits ein Potential der Form

-V"V(r) =

I + e x p ( s )U(r)

Phänomenologische Kernpotentiale im Schalenmodell10.4.3

h0 ψα("r ) = εα ψα("r ) =

!

!""2

2M+ U("r )

"

ψα("r )

Teilchen und Kerne




tale gemZiB

Kernmodelle

V(r) =



/ r r \-u, ( r - n, )

tn ., Vo

t'- =

n,

@(D = R,ilr) ' Yt,,,(8, Q)






r t l \


t n l t t t \ \ - l

/






E, , , = -v0+ha ( , r ,+ n , + r . * l ) = -vo*n, (2n. , - +)

\ f f i1 / \L /





-V"V(r) =

I + e x p ( s )

U(r)Teilchen und Kerne




tale gemZiB

Kernmodelle

V(r) =



/ r r \-u, ( r - n, )

tn ., Vo

t'- =

n,

@(D = R,ilr) ' Yt,,,(8, Q)






r t l \


t n l t t t \ \ - l

/






E, , , = -v0+ha ( , r ,+ n , + r . * l ) = -vo*n, (2n. , - +)

\ f f i1 / \L /





-V"V(r) =

I + e x p ( s )

3-dimensionaler harmonischer Oszillator:

U(r)

Teilchen und Kerne




tale gemZiB

Kernmodelle

V(r) =



/ r r \-u, ( r - n, )

tn ., Vo

t'- =

n,

@(D = R,ilr) ' Yt,,,(8, Q)






r t l \


t n l t t t \ \ - l

/






E, , , = -v0+ha ( , r ,+ n , + r . * l ) = -vo*n, (2n. , - +)

\ f f i1 / \L /





-V"V(r) =

I + e x p ( s )

Teilchen und Kerne




tale gemZiB

Kernmodelle

V(r) =



/ r r \-u, ( r - n, )

tn ., Vo

t'- =

n,

@(D = R,ilr) ' Yt,,,(8, Q)






r t l \


t n l t t t \ \ - l

/






E, , , = -v0+ha ( , r ,+ n , + r . * l ) = -vo*n, (2n. , - +)

\ f f i1 / \L /





-V"V(r) =

I + e x p ( s )

!n!

Energie-Eigenwerte:

Woods - Saxon - Potential: typische Parameterwerte:

V0 ! 50 MeV

R ! 1.27 fm · A1/3

a ! 0.67 fm

M

Woods- SaxonPotential

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

6 Du.r" -\x

rr= + I \r\\\N

o) 'N\

ot b) c) 2g7/z _ B)

\ r r1 3O l rs5/c - Ql

\ ' , - 3dn - (61

E i \ U g - l i r s ^ - ( 1 6 ), r@P

T. . \ 1 i f /2 - (21

fi=- r tf,,,a. \ ,', ..^=,

2g94

\t\.';)-=--:-'ri1i.[?\t'ei, n - t2 )\ \ ;:x-ii #161,=-, 2Ty) - ilJ\, r!.=_ \_ ,"r,uifU ??14" - hi'

4 h c r . , ^ - \ * \ -

" r ' : ( 8 ) , ; 6 / : - ( 1 0 )

n=?r \r. \ ,7 ii{}\ioi )ii/, - i8'\- . . \ ,z ' t r t et r11s1 7f t /2

\\1 \I1- @\ . ' . \ ^ ' \

_3sy | l l ) ?s th _ e )|r\-j!---\- iii;iii ier; - (4)\, '\ 2d --'

- lnti(A thtlA - ilZl\

. - < - 2 d 5 / r ( 6 j 1 9 7 / 2 - ( 8 )3hc,.,o -\ \,

--- ,- ?li/lrli

n=-1 '\), U9_---

\ \' ---- 1g9h(o)\ \ .

t J ' 4

3hcz.ro Tr \ r

, - - 1s7/r (81 2d5/2 - (6); \ \ , - /

' i f . ---- tgsh(i l i9s/z - (10)

\r\\ zp =-::_?iI;,1i1 iff; f l3l\ ,. ...-.=-

2p372$) _ 2p3/z - (/.)

2fio4 -\ u_<' @rr=+ I

' \r.. --___ ff 7/2rc)\

,, ,4 _ (8)\ \ ( 2 0 )\ ) ' . ?< ldTzUio '0 t7 , - (4 )

\ \.j

, - __ ) *_ Zs lh (21 z ryz - (2 )

\-13-i- td5/261 14s/z - (6)

t h rz" -\

n = - 1 \

}hat1o - ' - - - ls

l = + IvH v*s

-,Jt Vztzl _

1s 1/z t- Q\

\-/-

z v*r, rr* N

\. , f tpt /z tZl -

lp rh - (Z)-:-g<a--

b3/zu, l tp3/2. - (4)

Ahb. 10.12: Zustandsschema im Schalenmodell (a) ftir isotropes harmonisches Oszillatorpotential VH (b) fi.ir

Woods-Saxon-Potential Vws (c) mit Spin-Bahn-Kopplung und Coulomb-Korrektur Vws.ser. Angegeben sind je-

weils auch die magischen Zahlen, die sich bei Besetzung bis zum jeweiligen Niveau ergeben (aus [Mu95]).

Spektrum der Einteilchen-Orbitale:

3-dimensionalerharmonischer Oszillator

Spektroskopische Notation:

Besetzungs- zahlen

[2]

[6]

Hauptquantenzahl

Bahndrehimpulsquantenzahl

n = 1, 2, 3, . . .

! = 0, 1, 2, 3, 4 . . .

s p d f g . . .

[10][2]

[14]

[6]

[18]

[10][2]

2

8

20

. . .

40

. . .

?

? falscheSequenz

Spin - Bahn - Kopplung10.4.4

Wichtige Erweiterung des Schalenmodell-Potentials(Göppert-Mayer und Jensen (beide Nobelpreis 1963); Haxel und Suess)

Gesamtdrehimpuls eines Nukleons im Kern:

Teilchen und Kerne


das woods-Saxon-Potential, die Kernniveaus an' Hier bedeuten vo = 50MeV die Potentialtief-e'

R = roAtt3 den Kernradius und a = 0,65fmist ein Oberfliichenparameter, der die Randunschzirfe

angibt. Man erhiilt zundchst eine Aufspaltung im harmonischen Potential noch entarteter Ni-

veaus; dies ist bei Wegnahme von Symmetrie auch nicht weiter verwunderlich. Die magischen

Zahlen dndern sich beim Ubergang vom harmonischen zum Woods-Saxon-Potential allerdings

nicht. Wie auch immer man sich beim Drehen an Potentialformen anstellt, mehr als die Er-

kliirung der ersten drei magischen Zahlen wird man nicht zustande bringen.

10.4.3 Spin-Bahn-Kopplung

Die grundlegende, neue Idee zum Verstdndnis der Schalenstruktur in Kernen entstand vor et-

wa 50 Jahren: GopperrMayer, Jensen (beide Nobelpreis+ 1963), Haxel und Suess vetmuteten

ganz richtig, die Wechselwirkungsenergie zwischen Spin Lrnd Bahndrehimpuls der Nukleonen

spiele eine entscheidende Rolle. Aus der schon des ofteren bemi.ihten Analogie zur Atomphysik

wissen wir, daB dort die Spin-Bahn-Wechselwirkung zur Feinstrukturaufspaltung fiihrt (Abb.

10 . I 3 ) .

Dementsprechend setzt sich das mittlere Kernpotential aus einem Zentralpotential und einem

auf Spin-Bahn-Kopplung zuri-ickzuftihrenden Potential zusammen:

Vr.,n(r) = Vc?) + V1.,Q) | . i

Der Gesamtdrehimpuls betrzigt

j = ( l + i

Die Zustiinde werden als n(,iangeschrieben, und ihre Entartung betriigt 2i + l.n i t j = 2+ t .

i : -( J -

s l _luzAl

- \-rz +Dtz

I t= ;

l . tU+ t l -

l rr l : 1 - ) - )- t t - ( - . \

1 t '4 l+ r ) -

f i i r T = { + l l 2

f t i r T = ( . - l Z

Somit ergibt sich eine Spin-Bahn-Auf'spaltung von LE1., = (l + IIZ)(V,,(r)).

Im Atomkern sind die Verhiiltnisse gerade umgekehrt (beziiglich 6 zu denen in der Atomhiille:

Ein Zustand mitT = l. + ll2 wird abgesenkt, ein Zustand mitT = (. - ll2 wird angehoben; d. h.

(V'r.(r)) < 0.

Die Spin-Bahn-Aufspaltung ist grof3, so groB, daB sie die Niveauaufspaltung im Kern we-

sentlich beeinfluBt. Beispielsweise wird das 1/zrz-Niveau stark abgesenkt, was die magische

Zahl28 erkliirt.

ahttp://www.nobel. se/laureates/physics- I 963.html

Teilchen und Kerne















10 . I 3 ) .



Vr.,n(r) = Vc?) + V1.,Q) | . i


j = ( l + i


i : -( J -

s l _luzAl

- \-rz +Dtz

I t= ;

l . tU+ t l -

l rr l : 1 - ) - )- t t - ( - . \

1 t '4 l+ r ) -

f i i r T = { + l l 2

f t i r T = ( . - l Z




(V'r.(r)) < 0.



Zahl28 erkliirt.


Teilchen und Kerne















10 . I 3 ) .



Vr.,n(r) = Vc?) + V1.,Q) | . i


j = ( l + i


i : -( J -

s l _luzAl

- \-rz +Dtz

I t= ;

l . tU+ t l -

l rr l : 1 - ) - )- t t - ( - . \

1 t '4 l+ r ) -

f i i r T = { + l l 2

f t i r T = ( . - l Z




(V'r.(r)) < 0.



Zahl28 erkliirt.


Eigenwerte des Spin-Bahn-Operators:

Spin-Bahn-Aufspaltung der Einteilchenenergien:

Teilchen und Kerne















10 . I 3 ) .



Vr.,n(r) = Vc?) + V1.,Q) | . i


j = ( l + i


i : -( J -

s l _luzAl

- \-rz +Dtz

I t= ;

l . tU+ t l -

l rr l : 1 - ) - )- t t - ( - . \

1 t '4 l+ r ) -

f i i r T = { + l l 2

f t i r T = ( . - l Z




(V'r.(r)) < 0.



Zahl28 erkliirt.


!!!s

Einteilchen-Wellenfunktion mit Spin-Bahn-Kopplung:

!n!jm("r ) = Rn!(r)!

m!,ms

(# m! 1/2 ms|j m) Y!m!(r) $ms

U(!r ) = Uc(r) + U!s(!r ) = Uc(r) + V!s(r) !" · !s

(! != 0)

Zur Erinnerung: Spin-Bahn-Potential in der Atomphysik

Teilchen und Kerne

10,4 Schalenmodell des Atomkerns

lP'r':

lo , . -+

sehr k le iner- _ l p r : l E f l e k r r a r

l . l s n

Abb. 10.13: Feinstrukturaufspaltung in der Atomphysik

Diskussion der Spin-Bahn-Wechselwirkung in der Kernphysik: Zuniichst stellen wir einen

Vergleich mit der schon bekannten Spin-Bahn-Wechselwirkung aus der Atomphysik an. Dort

war die Auf-spaltung ein sehr kleiner Eft-ekt. Dieser kam durch die "Thomas-Prdzession" des

Elektrons im Coulombfeld des Atomkern zustande. Das Potential war:

[Jr , (D = r- dv ' ' : ' tQ)

7 ' ' .1,m: r Or

,-

Mit dem bekanntem Coulombpotential Vs,,,,1(r) = -Ze2l(4rr)ergibt sich:

z^)IJr,lr) = ---:-1 11

6Tnl-.r-

Empirische Stiirke von Ur. in Kernen: Wir parametrisieren nun das Zentralpotential im Kern

durch:

| / r - R \ l - lV ( r ) = - V o f t ) m i t z . B . f ( r ) = l 1 + e x p ( ^ l l

L \ 0 / )

Mit dem eben bestimmten Spin-Bahn-Potential (Jt,(A = VP,?aflr)/dr und den bekannten Wer-

ten von Vo = 50MeV und ro = 1,25fm ergibt sich fi.ir V,-! ein enorrn groBer Wert von V,! =

20MeV!

Versuch mit der Thomas-Prilzession: Mit dem Ansatz

I dV(r) ; - Vs df(r)-| J , . . ( t l = - - l . . s = - / . S -

2Mf,r dr 2Mfl2r dr

ergibt sich der Wert y,l = -#;F = -lMeV. Dieser Wert hat das falsche Vorzeichen und ist

etwa um den Faktor 20 zu klein!

Wie kann also eine relativistische Korrektur so sroB sein?

Teilchen und Kerne


lP'r':

lo , . -+


l . l s n






[Jr , (D = r- dv ' ' : ' tQ)

7 ' ' .1,m: r Or

,-


z^)IJr,lr) = ---:-1 11

6Tnl-.r-


durch:


L \ 0 / )



20MeV!



2Mf,r dr 2Mfl2r dr




Teilchen und Kerne


lP'r':

lo , . -+


l . l s n






[Jr , (D = r- dv ' ' : ' tQ)

7 ' ' .1,m: r Or

,-


z^)IJr,lr) = ---:-1 11

6Tnl-.r-


durch:


L \ 0 / )



20MeV!



2Mf,r dr 2Mfl2r dr




(Thomas - Präzession)

Teilchen und Kerne


lP'r':

lo , . -+


l . l s n






[Jr , (D = r- dv ' ' : ' tQ)

7 ' ' .1,m: r Or

,-


z^)IJr,lr) = ---:-1 11

6Tnl-.r-


durch:


L \ 0 / )



20MeV!



2Mf,r dr 2Mfl2r dr




Spin-Bahn-Potential in der Kernphysik

Versuch mit analogem Ansatz

Teilchen und Kerne


lP'r':

lo , . -+


l . l s n






[Jr , (D = r- dv ' ' : ' tQ)

7 ' ' .1,m: r Or

,-


z^)IJr,lr) = ---:-1 11

6Tnl-.r-


durch:


L \ 0 / )



20MeV!



2Mf,r dr 2Mfl2r dr




Vls(r) =1

2M2

Nr

dUc(r)

dr

U!s = !

V0

2M2N

r

df(r)

dr!" · !s

Uc(r) = !V0 f(r)

falsches Vorzeichen und viel zu klein (um ca. Faktor 20)

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

6 Du.r" -\x

rr= + I \r\\\N

o) 'N\

ot b) c) 2g7/z _ B)

\ r r1 3O l rs5/c - Ql

\ ' , - 3dn - (61

E i \ U g - l i r s ^ - ( 1 6 ), r@P

T. . \ 1 i f /2 - (21

fi=- r tf,,,a. \ ,', ..^=,

2g94

\t\.';)-=--:-'ri1i.[?\t'ei, n - t2 )\ \ ;:x-ii #161,=-, 2Ty) - ilJ\, r!.=_ \_ ,"r,uifU ??14" - hi'

4 h c r . , ^ - \ * \ -

" r ' : ( 8 ) , ; 6 / : - ( 1 0 )

n=?r \r. \ ,7 ii{}\ioi )ii/, - i8'\- . . \ ,z ' t r t et r11s1 7f t /2

\\1 \I1- @\ . ' . \ ^ ' \

_3sy | l l ) ?s th _ e )|r\-j!---\- iii;iii ier; - (4)\, '\ 2d --'

- lnti(A thtlA - ilZl\

. - < - 2 d 5 / r ( 6 j 1 9 7 / 2 - ( 8 )3hc,.,o -\ \,

--- ,- ?li/lrli

n=-1 '\), U9_---

\ \' ---- 1g9h(o)\ \ .

t J ' 4

3hcz.ro Tr \ r

, - - 1s7/r (81 2d5/2 - (6); \ \ , - /

' i f . ---- tgsh(i l i9s/z - (10)

\r\\ zp =-::_?iI;,1i1 iff; f l3l\ ,. ...-.=-

2p372$) _ 2p3/z - (/.)

2fio4 -\ u_<' @rr=+ I

' \r.. --___ ff 7/2rc)\

,, ,4 _ (8)\ \ ( 2 0 )\ ) ' . ?< ldTzUio '0 t7 , - (4 )

\ \.j

, - __ ) *_ Zs lh (21 z ryz - (2 )

\-13-i- td5/261 14s/z - (6)

t h rz" -\

n = - 1 \

}hat1o - ' - - - ls

l = + IvH v*s

-,Jt Vztzl _

1s 1/z t- Q\

\-/-

z v*r, rr* N

\. , f tpt /z tZl -

lp rh - (Z)-:-g<a--

b3/zu, l tp3/2. - (4)

Ahb. 10.12: Zustandsschema im Schalenmodell (a) ftir isotropes harmonisches Oszillatorpotential VH (b) fi.ir

Woods-Saxon-Potential Vws (c) mit Spin-Bahn-Kopplung und Coulomb-Korrektur Vws.ser. Angegeben sind je-

weils auch die magischen Zahlen, die sich bei Besetzung bis zum jeweiligen Niveau ergeben (aus [Mu95]).

Spin-Bahn-Potential in der Kernphysikist ungewöhnlich groß

Erklärung der empirischbeobachtetenmagischen Zahlen

insbesondere: magische Zahl 28 nur mitstarker Spin-Bahn-Kopplungmöglich

Dirac - Phänomenologie (relativistisches Schalenmodell)10.4.5

Ausgangspunkt: Dirac-Gleichung mit (attraktivem) skalaren Potentialund (repulsivem) Vektor-Potential

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

IMeV]

Abb. 10.14: Veranschaulichung von Uv, Us sowie 7r.

10.4.4 Relativistisches (Dirac-)Schalenmodell

Diese Umkehrung und die groBe Auf.spaltung lassen sich wie fblgt erkliiren. Die relativistischen

Dirac-Nukleonen bewegen sich in starken mittleren Skalar- und Vektorfeldern. Gehen wir von

der Dirac-Gleichung aus,

Ityrau - f ur?) - M - ur(')] V(.r) = o

mit der nichtrelativistischen Reduktion

- /t t t ( i . t l - . " ' '

(E(D )x,(n /

E=M+E ' . E '<<M

( r-i\

Die Entwicklung von 7

uv-M-us - idv )r t

io i -E+r /y -M-ur ) \ x

nach Potenzen von 1/M ausgedri.ickt durch

(E' - Us - Uig =td .YX

td . iE=(zM + E' - Uy + u)y

ln' - @,+ uu)l e=-d i l( +* u"

;1:-u')- L\zM 4M2 )

y: I t : - U!,= - - t o + 6 F - ) , t , - ' d ' V g + . . .

2M' , -

4M2r

und erhalten mit dr'. dV = i.V +td (i x fl Oie iiquivalente Schrddingergleichung fiir die

Yobere Komponente der Dirac-Wellenfunktion g(fl :

)=(3)E liefert:

- t- v re)

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

IMeV]








- /t t t ( i . t l - . " ' '

(E(D )x,(n /

E=M+E ' . E '<<M

( r-i\


uv-M-us - idv )r t





ln' - @,+ uu)l e=-d i l( +* u"

;1:-u')- L\zM 4M2 )

y: I t : - U!,= - - t o + 6 F - ) , t , - ' d ' V g + . . .

2M' , -

4M2r



)=(3)E liefert:

- t- v re)

E = M + !

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

IMeV]








- /t t t ( i . t l - . " ' '

(E(D )x,(n /

E=M+E ' . E '<<M

( r-i\


uv-M-us - idv )r t





ln' - @,+ uu)l e=-d i l( +* u"

;1:-u')- L\zM 4M2 )

y: I t : - U!,= - - t o + 6 F - ) , t , - ' d ' V g + . . .

2M' , -

4M2r



)=(3)E liefert:

- t- v re)

Eliminieren der unteren Komponente der Dirac-Wellenfunktion . . .

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

IMeV]








- /t t t ( i . t l - . " ' '

(E(D )x,(n /

E=M+E ' . E '<<M

( r-i\


uv-M-us - idv )r t





ln' - @,+ uu)l e=-d i l( +* u"

;1:-u')- L\zM 4M2 )

y: I t : - U!,= - - t o + 6 F - ) , t , - ' d ' V g + . . .

2M' , -

4M2r



)=(3)E liefert:

- t- v re)

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

IMeV]








- /t t t ( i . t l - . " ' '

(E(D )x,(n /

E=M+E ' . E '<<M

( r-i\


uv-M-us - idv )r t





ln' - @,+ uu)l e=-d i l( +* u"

;1:-u')- L\zM 4M2 )

y: I t : - U!,= - - t o + 6 F - ) , t , - ' d ' V g + . . .

2M' , -

4M2r



)=(3)E liefert:

- t- v re). . . und Entwicklung in Potenzen von 1/M:

!!

. . .

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

IMeV]








- /t t t ( i . t l - . " ' '

(E(D )x,(n /

E=M+E ' . E '<<M

( r-i\


uv-M-us - idv )r t





ln' - @,+ uu)l e=-d i l( +* u"

;1:-u')- L\zM 4M2 )

y: I t : - U!,= - - t o + 6 F - ) , t , - ' d ' V g + . . .

2M' , -

4M2r



)=(3)E liefert:

- t- v re)

V!s(r)

0

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

IMeV]








- /t t t ( i . t l - . " ' '

(E(D )x,(n /

E=M+E ' . E '<<M

( r-i\


uv-M-us - idv )r t





ln' - @,+ uu)l e=-d i l( +* u"

;1:-u')- L\zM 4M2 )

y: I t : - U!,= - - t o + 6 F - ) , t , - ' d ' V g + . . .

2M' , -

4M2r



)=(3)E liefert:

- t- v re)

!" · !r !" · !! =verwende

äquivalente Schrödingergleichung

Teilchen und Kerne

10.4 Schalenmodell des Atomkerns 447

.lI v 'I

l- 214L

* %"n,,r(r) + V6Q) Q(7) = E'9(D

%"n,,(r) =Uv?) + Us(r)1 . {

V, , ( r )= - ; . lUv l r ) - Us(r ) l2M : rd r '

10.4.5 EinfacheVorhersagendesSchalenmodells

Wir nehmen ein zentralsymmetrisches mittleres Potential sowie vernachl2issigbare Restwech-

selwirkungen der Nukleonen an. Das Schalenmodell wird folglich besonders gut anwendbar

sein auf sphrirische Kerne in der Nrihe von Schalenabschltissen. Wir werden sehen, daR Ein-

Teilchen, und Ein-Loch-Zustiinde wesentliche Kerneigenschaften erkldren kcinnen (Tab. 10. 1).

s.so- l /a* . " .

. /- ^ - - c t J - . . - J ' ?

. ..r " '2+ s-la-i lz.

t .rs t :2-1.9! I '2-5.38-3t;- s ++-3/2-

5 .oa -3 /a+ 5oo-312+

4.55..............'.''_3/2- 1.6a-3/z'

3.95........''....'....._5/2- z.at-5/2-

3 .06- l l z - 3 . f i -1 lz -

- 1t2_ - 1,2_

A,67 - 1t21

0.50_ 1/2r

_ o! _ SJ2+ _Si2+

'i*,B " z

I A

o d

l 7 n 1 7 _

B - g g t g

Tab, l0. l : Einfache Vorhersagen des Schalenmodells: Ein-Tei lchen- und Ein-Loch-Zustdnde kcinnen wesentl iche

Kerneigenschaften erklr iren. Im 16O (Mitte) koppeln die Drehimpulse zu Null , Neutron- und Protonschalen sind je-

weils vol lbesetzt. Die rechts und l inks aufgetragenen Kerne zeichnen sich jeweils durch Proton-/Neutronloch bzw.

zusi i tzl iches Proton/Neutron, sogenannte Leuchtnukleonen, aus" Ihre Quantenzahlen werden somit ausschl iel l l ich

durch das Loch bzw. Leuchtnukleon bestimmt. In Analogie zu den Alkal irnetal len in der Atomphysik sind die

Leuchtnukleonen uon l7O bzw. l7F (rechts) relut iv leicht aus dem Kernverband entf 'ernbar.

Magnetische Momente: Die Spins und Bahndrehimpulse der Nukleonen in einer vollgefi.ill-

ten 7-Schale koppeln zu Null. Drehimpuls und magnetisches Moment des Kerns werden dann

einzig vom Leuchtnukleon (bzw. vom Nukleon-Loch) bestimmt.

Teilchen und Kerne


.lI v 'I

l- 214L

* %"n,,r(r) + V6Q) Q(7) = E'9(D

%"n,,(r) =Uv?) + Us(r)1 . {







s.so- l /a* . " .

. /- ^ - - c t J - . . - J ' ?

. ..r " '2+ s-la-i lz.

t .rs t :2-1.9! I '2-5.38-3t;- s ++-3/2-

5 .oa -3 /a+ 5oo-312+

4.55..............'.''_3/2- 1.6a-3/z'

3.95........''....'....._5/2- z.at-5/2-

3 .06- l l z - 3 . f i -1 lz -

- 1t2_ - 1,2_

A,67 - 1t21

0.50_ 1/2r

_ o! _ SJ2+ _Si2+

'i*,B " z

I A

o d

l 7 n 1 7 _

B - g g t g










Teilchen und Kerne


.lI v 'I

l- 214L

* %"n,,r(r) + V6Q) Q(7) = E'9(D

%"n,,(r) =Uv?) + Us(r)1 . {







s.so- l /a* . " .

. /- ^ - - c t J - . . - J ' ?

. ..r " '2+ s-la-i lz.

t .rs t :2-1.9! I '2-5.38-3t;- s ++-3/2-

5 .oa -3 /a+ 5oo-312+

4.55..............'.''_3/2- 1.6a-3/z'

3.95........''....'....._5/2- z.at-5/2-

3 .06- l l z - 3 . f i -1 lz -

- 1t2_ - 1,2_

A,67 - 1t21

0.50_ 1/2r

_ o! _ SJ2+ _Si2+

'i*,B " z

I A

o d

l 7 n 1 7 _

B - g g t g










!" · !s

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

IMeV]








- /t t t ( i . t l - . " ' '

(E(D )x,(n /

E=M+E ' . E '<<M

( r-i\


uv-M-us - idv )r t





ln' - @,+ uu)l e=-d i l( +* u"

;1:-u')- L\zM 4M2 )

y: I t : - U!,= - - t o + 6 F - ) , t , - ' d ' V g + . . .

2M' , -

4M2r



)=(3)E liefert:

- t- v re)

r

UV(r)

US(r)

Vcentral(r)

350

! 400

[MeV]

!

0

Starke Skalar- und Vektor-Felder

Erfolgreiche Phänomenologie derSpin-Bahn-Kopplung in Kernen

Teilchen und Kerne


.lI v 'I

l- 214L

* %"n,,r(r) + V6Q) Q(7) = E'9(D

%"n,,(r) =Uv?) + Us(r)1 . {







s.so- l /a* . " .

. /- ^ - - c t J - . . - J ' ?

. ..r " '2+ s-la-i lz.

t .rs t :2-1.9! I '2-5.38-3t;- s ++-3/2-

5 .oa -3 /a+ 5oo-312+

4.55..............'.''_3/2- 1.6a-3/z'

3.95........''....'....._5/2- z.at-5/2-

3 .06- l l z - 3 . f i -1 lz -

- 1t2_ - 1,2_

A,67 - 1t21

0.50_ 1/2r

_ o! _ SJ2+ _Si2+

'i*,B " z

I A

o d

l 7 n 1 7 _

B - g g t g










Einfache Vorhersagen des Schalenmodells: Spektroskopie10.4.6

Ein Teilchen oder ein “Loch” außerhalb abgeschlossener Schalen

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

r ( ' )I

-'.\' - -

\i.a#

- H




N > 2 .




Zuhlen 2. 8. 20. 28. 50. 82. 126.























v(r) x p(r) .

1s1/2

1p1/2

1p3/2

1d5/2Teilchen

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

r ( ' )I

-'.\' - -

\i.a#

- H




N > 2 .




Zuhlen 2. 8. 20. 28. 50. 82. 126.























v(r) x p(r) .

1p1/2

1p3/2

1s1/2

1d5/2

Loch

Einfache Vorhersagen des Schalenmodells: Magnetische Momente10.4.7

Operator des magnetischen Moments eines Nukleons:

mit dem Kernmagneton

Teilchen und Kerne


+ = g, f+,<,f (operator)FN

mit den gyromagnetischen Faktoren:

en,mit Ptlv =

zMo,

f t fijr Protonen< l - \

l0 f t i r Neutronen

f s.sa fi.ir Protonen8'=\-- l .sz

I ' i . i r Neutronen

Das magnetische Moment des Kerns ist folgenden Erwartungswert gegeben:

FK..n = A,rt = jltrk ,nlj, nt = j'1 = g*",.,, (,f l/'liy)p* = sr.,,Fx './

Mit Hilt'e des Vektorprojektions-Theorems be-

rechnen wir den .e-Faktor des Kerns:

/ . . 1 : : 1 . . \

_ VJl l t r"* J

[J/8Ke.n

\ r r l t - \ i l )

j0+1 )

Mit folgenden Beziehungen, die man wegen ir = 0t- l]2 einsehen kann,

_)- . t -

r- ( -

erhdlt man:

z [ . j= j ' )+ t ]

2 i . j = j2+ i2

I . l . . { , ( ( , + I ) - s ( . r+1 )SKern =

l lS t+ 8 ' )+

t (8 , - , q ' ) jU . D

Der letzte Faktor lautet exDlizit:

{ ( { + \ - }

(+5( +,t ( {+r)- i

11- \ ) ( t+ ! )

21 _ _-

2 l+ l

2I - r -- '

2 ( . + l

Teilchen und Kerne




en,mit Ptlv =

zMo,









/ . . 1 : : 1 . . \

_ VJl l t r"* J

[J/8Ke.n

\ r r l t - \ i l )

j0+1 )


_)- . t -

r- ( -

erhdlt man:

z [ . j= j ' )+ t ]

2 i . j = j2+ i2

I . l . . { , ( ( , + I ) - s ( . r+1 )SKern =

l lS t+ 8 ' )+

t (8 , - , q ' ) jU . D


{ ( { + \ - }

(+5( +,t ( {+r)- i

11- \ ) ( t+ ! )

21 _ _-

2 l+ l

2I - r -- '

2 ( . + l

Teilchen und Kerne




en,mit Ptlv =

zMo,









/ . . 1 : : 1 . . \

_ VJl l t r"* J

[J/8Ke.n

\ r r l t - \ i l )

j0+1 )


_)- . t -

r- ( -

erhdlt man:

z [ . j= j ' )+ t ]

2 i . j = j2+ i2

I . l . . { , ( ( , + I ) - s ( . r+1 )SKern =

l lS t+ 8 ' )+

t (8 , - , q ' ) jU . D


{ ( { + \ - }

(+5( +,t ( {+r)- i

11- \ ) ( t+ ! )

21 _ _-

2 l+ l

2I - r -- '

2 ( . + l

Gyromagnetische Faktoren (g - Faktoren) der freien Nukleonen:

Magnetische Kernmomente sind gegeben durch den Erwartungswert

Teilchen und Kerne




en,mit Ptlv =

zMo,









/ . . 1 : : 1 . . \

_ VJl l t r"* J

[J/8Ke.n

\ r r l t - \ i l )

j0+1 )


_)- . t -

r- ( -

erhdlt man:

z [ . j= j ' )+ t ]

2 i . j = j2+ i2

I . l . . { , ( ( , + I ) - s ( . r+1 )SKern =

l lS t+ 8 ' )+

t (8 , - , q ' ) jU . D


{ ( { + \ - }

(+5( +,t ( {+r)- i

11- \ ) ( t+ ! )

21 _ _-

2 l+ l

2I - r -- '

2 ( . + l

µ

µN

µKern = !J, mJ = J |A!

i=1

µz(i)|J, mJ = J"

mit dem Gesamtdrehimpuls !J =A!

i=1

[!"(i) + !s(i)]

Kerne mit einem Teilchen / Loch außerhalb abgeschlossener Schalen:

µKern = !j, mj = j|µz|j, mj = j"

Teilchen und Kerne




en,mit Ptlv =

zMo,









/ . . 1 : : 1 . . \

_ VJl l t r"* J

[J/8Ke.n

\ r r l t - \ i l )

j0+1 )


_)- . t -

r- ( -

erhdlt man:

z [ . j= j ' )+ t ]

2 i . j = j2+ i2

I . l . . { , ( ( , + I ) - s ( . r+1 )SKern =

l lS t+ 8 ' )+

t (8 , - , q ' ) jU . D


{ ( { + \ - }

(+5( +,t ( {+r)- i

11- \ ) ( t+ ! )

21 _ _-

2 l+ l

2I - r -- '

2 ( . + l

= gKern µN !j, mj = j|jz|j, mj = j" = gKern µN j

gKern =!j, j|!µ ·!j|j, j"

µN !j, j|!j2|j, j"

verwende:

Teilchen und Kerne




en,mit Ptlv =

zMo,









/ . . 1 : : 1 . . \

_ VJl l t r"* J

[J/8Ke.n

\ r r l t - \ i l )

j0+1 )


_)- . t -

r- ( -

erhdlt man:

z [ . j= j ' )+ t ]

2 i . j = j2+ i2

I . l . . { , ( ( , + I ) - s ( . r+1 )SKern =

l lS t+ 8 ' )+

t (8 , - , q ' ) jU . D


{ ( { + \ - }

(+5( +,t ( {+r)- i

11- \ ) ( t+ ! )

21 _ _-

2 l+ l

2I - r -- '

2 ( . + l

Teilchen und Kerne




en,mit Ptlv =

zMo,









/ . . 1 : : 1 . . \

_ VJl l t r"* J

[J/8Ke.n

\ r r l t - \ i l )

j0+1 )


_)- . t -

r- ( -

erhdlt man:

z [ . j= j ' )+ t ]

2 i . j = j2+ i2

I . l . . { , ( ( , + I ) - s ( . r+1 )SKern =

l lS t+ 8 ' )+

t (8 , - , q ' ) jU . D


{ ( { + \ - }

(+5( +,t ( {+r)- i

11- \ ) ( t+ ! )

21 _ _-

2 l+ l

2I - r -- '

2 ( . + l

gKern =

g - Faktor des Kerns

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

Abb. 10.16: Niveauschema der isobaren Analogzustdnde bei l lC. r lN und ' f iO

seine Spin-Parit : i t JP laus [Po96])

Angegeben ist zu jedem Niveau

o - o ,, 5 \ 6 f

a ' K e r n -

5 f - 1 / , rL f T I

Ifijr j = l.+ -

So ergeben sich die sogenannten Schmidtschen LinierL, wie sie in Abb. 10.17 gezeigt sind.

Die folgende Auf.stellung gibt die vom Schalenmodell vorausgesagten und die entsprechenden

experimentell bestimmten Werte fiir 1,t76.,,,1/prN = SKern .7 an. Diese sind im jeweiligen Einteil-

chenzustand erklart: Das Schalenmodell l iefert fi.ir Einteilchenzustande (also ftir ein Teilchen

auBerhalb abgeschlossener Schalen) verniinftige Vorhersagen.

Grundzustand JP Schalenmodell experimentell

N p- I pv'r u2- -0.264

llL- +0.638

5lZ* +1.913

5lZ* +4.722

Abweichungen ergeben sich bei schwereren Kernen mit mehr Nukleonen bzw. Lochern auBer-

halb geschlossener Schalen: Der Rumpf wird dort durch die Valenz-Nukleonen polarisiert"

t o Ntoc

15o

1 7 o

17F

n-1p vtzn-1d572

P-ldsrz

-0.283

+0.719

+1.894

+4.793

gKern =

g - Faktor des Kerns

Teilchen und Kerne

Kernmodelle




o - o ,, 5 \ 6 f

a ' K e r n -

5 f - 1 / , rL f T I

Ifijr j = l.+ -


Die folgende Auf.stellung gibt die vom Schalenmodell vorausgesagten und die entsprechenden

experimentell bestimmten Werte fiir 1,t76.,,,1/prN = SKern .7 an. Diese sind im jeweiligen Einteil-

chenzustand erklart: Das Schalenmodell l iefert fi.ir Einteilchenzustande (also ftir ein Teilchen

auBerhalb abgeschlossener Schalen) verniinftige Vorhersagen.


N p- I pv'r u2- -0.264

llL- +0.638

5lZ* +1.913

5lZ* +4.722

Abweichungen ergeben sich bei schwereren Kernen mit mehr Nukleonen bzw. Lochern auBer-

halb geschlossener Schalen: Der Rumpf wird dort durch die Valenz-Nukleonen polarisiert"

t o Ntoc

15o

1 7 o

17F

n-1p vtzn-1d572

P-ldsrz

-0.283

+0.719

+1.894

+4.793

Beispiele für Kerne mit einem Teilchen / einem Loch außerhalb desabgeschlossenen Rumpfes von 16O

Teilchen und Kerne


u/. ,(LK

Abb. 10.17: Schmidtsche Linien und rnagnetische Dipolmorrente. Oben: ftjr Kerne mit ungeraderProlonenzahlZ.

unten: ftir Kerne mit ungerader Neutronenzahl N (aus [Mu95]).

j , [ '+llSr^ = "t'

: l^ ,1 l l l : r| -1 , ,;','i-: = iiiS: ,,u,-, I ,,u,o

-!:4,,*,:+:-13ell :,,,, iiii: = g,"./1risi 8r8. = ilb

'u*' -t2?r iii" =

iti;

#JFf,F-$r:1fift s;-;t*tz_ *^ ,- ar X l-

i 1 L !

13780

, . ,8o

8 l x "

3s

6l xiq?-

F . .

1$Gars?Gd

#,7Fq

=

I=

Schmidt - Linien und magnetische Momentefür Kerne mit ungerader Protonenzahl

magn

eti

sch

es

Mo

me

nt

Gesamtdrehimpuls

Teilchen und Kerne


u/. ,(LK

Abb. 10.17: Schmidtsche Linien und rnagnetische Dipolmorrente. Oben: ftjr Kerne mit ungeraderProlonenzahlZ.

unten: ftir Kerne mit ungerader Neutronenzahl N (aus [Mu95]).

j , [ '+llSr^ = "t'

: l^ ,1 l l l : r| -1 , ,;','i-: = iiiS: ,,u,-, I ,,u,o

-!:4,,*,:+:-13ell :,,,, iiii: = g,"./1risi 8r8. = ilb

'u*' -t2?r iii" =

iti;

#JFf,F-$r:1fift s;-;t*tz_ *^ ,- ar X l-

i 1 L !

13780

, . ,8o

8 l x "

3s

6l xiq?-

F . .

1$Gars?Gd

#,7Fq

=

I=

Schmidt - Linien und magnetische Momentefür Kerne mit ungerader Neutronenzahl

magn

eti

sch

es

Mo

me

nt

Gesamtdrehimpuls

Isobare Analogzustände10.4.8

Isospin von Atomkernen

Unter Berücksichtigung nur der starken Wechselwirkung(d.h. ohne elektromagnetische Wechselwirkung) ist der Isospineine gute Symmetrie, falls die Massendifferenz von Proton undNeutron vernachlässigt wird.

Isospin des Nukleons:

Proton:

T = 1/2

T3 = +1/2 Neutron: T3 = !1/2

Kern mit Z Protonen und N Neutronen: T3 =1

2(Z ! N)

Gesamtisospin von Kernen:

Teilchen und Kerne

Ubungen

10.4.6 Isospin von Atomkernen

Fiir Proton und Neutron wurden im lsospin-Formalismus folgende Quantenzahlen eingefiihrt:

P r o t o n : f = l I : = + - j

N e u t r o n : f = l f r = - {/ ' L

Frir einen Kern mit Z Protonen und l/ Neutronen (somit Massenzahl A = Z+N) ergibt sich also:

.t

f .= rq - fn )

Was ist der Gesamt-Isospin 7 des Kerns?

IZ_N I A

2 - - 2

Ein kleinerer Wert als lZ - Nl/2 ist nicht moglich. da Z3 = !)Z

- N) vorkommt, ein grciBerer als

(Z+ N)/2 ebenfalls nicht, da dieser Maximalwert einfach A ' j (Isospin des Nukleons) entspricht.

Beim Abschalten der elektromagnetischen Coulombwechselwirkung und des Proton-Neutron-

Massenunterschiedes von 1.3MeV wird die Isospinsymmetrie exakt. Ein Kernzustand (Ener-

gieniveau) mit Gesamt-Isospin Z ist in diesem Fall (27 + 1)-fach entartet und sollte in isobaren

Nachbarkernen (A = N +Z gleich,Z-N verschieden) aufireten. Solche Isospinmultipletts nennt

man isobare Analogzustcinde.Ein Beispiel ist in Abb. 10.16 gezeigt. Korrekturen ergeben sich

wegen des tatszichlich vorhandenen Massenunterschieds L,M = N,,- Mp = 1.293 MeV sowie

wegen der Coulombenergie der Protonen,

322e2AEcnulnn,b =

SR '

wenn man von einer homogen geladenen Kugel ausgeht. Betrachten wir die isobaren Analo-

gzr-rstdnde in Abb. 10.16 etwas eingehender: Der Grundzustand von rlN mit JP = 1+ ist ein

Isospinsinglett (Z = 0). Falls dem nicht so wdre, gzibe es in t[C einen aufgrund der geringeren

Coulombenergie tief-erliegenden l*-Zustand. llC und 'fiO haben Ts = -l und 13 = +1. Ihre

0*-Grundzustdnde bilden zusammen mit dem ersten angeregten Zustand in tf N (I: = 0) ein Iso-

spintriplett. Betrachten wir als anderes Beispiel Abb. 10.18. Der Grundzustand und die ersten

funf angeregten Zustiinde von ]Li und lBe bilden Isospindubletts. Bei schweren Kernen lie-

gen solche bzgl. Isospin entarteten Zustiinde oft im Kontinuum. Man spricht dann von isobaren

Analo g re s o ncmze n (Abb. 1 0. I 9).

Ubungen zrr Kapitel 10

Ubung 10.1: Fermigasmodell. Nehmen Sie an, daB die Nukleonen im Kern nicht unterein-

ander wechselwirken. Die Nukleonen seien freie Teilchen in einem Rechteckpotential von der

Form eines Wlirfels mit der Kantenldnge a.

Z+N

Kerne bilden Isospin-Multipletts. Im Falle exakter Isospin-Symmetrie: (2T + 1) fache Entartung der Energiezustände bei gegebenem T

Isospin-Multipletts heißen isobare Analogzustände

Teilchen und Kerne

Ubungen

10.4.6 Isospin von Atomkernen

Fiir Proton und Neutron wurden im lsospin-Formalismus folgende Quantenzahlen eingefiihrt:

P r o t o n : f = l I : = + - j

N e u t r o n : f = l f r = - {/ ' L

Frir einen Kern mit Z Protonen und l/ Neutronen (somit Massenzahl A = Z+N) ergibt sich also:

.t

f .= rq - fn )

Was ist der Gesamt-Isospin 7 des Kerns?

IZ_N I A

2 - - 2

Ein kleinerer Wert als lZ - Nl/2 ist nicht moglich. da Z3 = !)Z

- N) vorkommt, ein grciBerer als

(Z+ N)/2 ebenfalls nicht, da dieser Maximalwert einfach A ' j (Isospin des Nukleons) entspricht.

Beim Abschalten der elektromagnetischen Coulombwechselwirkung und des Proton-Neutron-

Massenunterschiedes von 1.3MeV wird die Isospinsymmetrie exakt. Ein Kernzustand (Ener-

gieniveau) mit Gesamt-Isospin Z ist in diesem Fall (27 + 1)-fach entartet und sollte in isobaren

Nachbarkernen (A = N +Z gleich,Z-N verschieden) aufireten. Solche Isospinmultipletts nennt

man isobare Analogzustcinde.Ein Beispiel ist in Abb. 10.16 gezeigt. Korrekturen ergeben sich

wegen des tatszichlich vorhandenen Massenunterschieds L,M = N,,- Mp = 1.293 MeV sowie

wegen der Coulombenergie der Protonen,

322e2AEcnulnn,b =

SR '

wenn man von einer homogen geladenen Kugel ausgeht. Betrachten wir die isobaren Analo-

gzr-rstdnde in Abb. 10.16 etwas eingehender: Der Grundzustand von rlN mit JP = 1+ ist ein

Isospinsinglett (Z = 0). Falls dem nicht so wdre, gzibe es in t[C einen aufgrund der geringeren

Coulombenergie tief-erliegenden l*-Zustand. llC und 'fiO haben Ts = -l und 13 = +1. Ihre

0*-Grundzustdnde bilden zusammen mit dem ersten angeregten Zustand in tf N (I: = 0) ein Iso-

spintriplett. Betrachten wir als anderes Beispiel Abb. 10.18. Der Grundzustand und die ersten

funf angeregten Zustiinde von ]Li und lBe bilden Isospindubletts. Bei schweren Kernen lie-

gen solche bzgl. Isospin entarteten Zustiinde oft im Kontinuum. Man spricht dann von isobaren

Analo g re s o ncmze n (Abb. 1 0. I 9).

Ubungen zrr Kapitel 10

Ubung 10.1: Fermigasmodell. Nehmen Sie an, daB die Nukleonen im Kern nicht unterein-

ander wechselwirken. Die Nukleonen seien freie Teilchen in einem Rechteckpotential von der

Form eines Wlirfels mit der Kantenldnge a.

Z+N

Teilchen und Kerne

Kernmodelle




o - o ,, 5 \ 6 f

a ' K e r n -

5 f - 1 / , rL f T I

Ifijr j = l.+ -


Die folgende Auf.stellung gibt die vom Schalenmodell vorausgesagten und die entsprechendenexperimentell bestimmten Werte fiir 1,t76.,,,1/prN = SKern

.7 an. Diese sind im jeweiligen Einteil-chenzustand erklart: Das Schalenmodell l iefert fi.ir Einteilchenzustande (also ftir ein TeilchenauBerhalb abgeschlossener Schalen) verniinftige Vorhersagen.


N p- I pv'r u2- -0.264

llL- +0.6385lZ* +1.9135lZ* +4.722

Abweichungen ergeben sich bei schwereren Kernen mit mehr Nukleonen bzw. Lochern auBer-halb geschlossener Schalen: Der Rumpf wird dort durch die Valenz-Nukleonen polarisiert"

t o Ntoc

15o

1 7 o

17F

n-1p vtzn-1d572

P-ldsrz

-0.283

+0.719+1.894+4.793

Beispiel: Isobare Analogzustände in Kernen mit A = 14

Brechung der Isospin-Symmetrie durch:

!M = Mn ! Mp = 1.293 MeVMassendifferenz

Coulombenergie

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

r ( ' )I

-'.\' - -

\i.a#

- H




N > 2 .




Zuhlen 2. 8. 20. 28. 50. 82. 126.























v(r) x p(r) .

1p1/2

1p3/2

1s1/2

Neutronen Protonen

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

r ( ' )I

-'.\' - -

\i.a#

- H




N > 2 .




Zuhlen 2. 8. 20. 28. 50. 82. 126.























v(r) x p(r) .

1p1/2

1p3/2

1s1/2

Neutronen ProtonenTeilchen und Kerne

Kernmodelle

r ( ' )I

-'.\' - -

\i.a#

- H




N > 2 .




Zuhlen 2. 8. 20. 28. 50. 82. 126.























v(r) x p(r) .

1p1/2

1p3/2

1s1/2

Neutronen Protonen

a o= li, o{i) m i tl i=ef i *u ( D= - Y+u - TUM · 2010-01-28 · 10.4 Das SCHALENMODELL des...

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