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Nur für den Dienstgebrauch!

Abiturprüfung 2010

Mathematik, Leistungskurs

Aufgabenstellung:

In dieser Aufgabe werden Flugbahnen von Flugzeugen mit Hilfe von Geraden modelliert,

auf denen sich die Flugzeuge jeweils mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.

Die Bewegung zweier Flugzeuge 1F und 2F wird während des Steigflugs, beginnend mit

dem Zeitpunkt 0t des Starts, durch die beiden Gleichungen

1

0 2: 4 0

0 1f x t

und 2

2 2: 2 1

0 1f x t

, 0t , beschrieben.

Dabei ist t die Zeit in Stunden; die Koordinaten der Ortsvektoren bezeichnen Längen in der

Längeneinheit 100 Kilometer, die Koordinaten der Geschwindigkeitsvektoren Geschwindig-

keiten in der Einheit 100 Kilometer pro Stunde.

a) Geben Sie die Koordinaten der Startpositionen beider Flugzeuge an.

Berechnen Sie den Abstand der beiden Startpositionen sowie die Geschwindigkeiten der beiden Flugzeuge während des Steigflugs in km/h.

Bestimmen Sie die Winkel, unter denen die beiden Flugzeuge gegenüber der x1-x2-Ebene nach dem Start steigen. (11 Punkte)

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b) (1) Der Steigflug des Flugzeugs 1 ist zur Zeit 1t im Punkt 1P beendet, wenn es eine

Flughöhe von 10 000 Metern erreicht hat.

Berechnen Sie 1t und die Koordinaten des Punktes 1P .

[Zur Kontrolle: 1(0,2 | 4 | 0,1)P ]

(2) Nach Erreichen der Flughöhe von 10 000 m fliegt das Flugzeug 1 in Richtung des

Geschwindigkeitsvektors 1

530

v

weiter. Während dieser Phase des Fluges wird es

von einer Radarstation erfasst, die sich in der Position )0|6|2(R befindet. Auf dem

Radarschirm ist das Flugzeug sichtbar, wenn es maximal 200 km von R entfernt ist.

Ermitteln Sie, wie lange das Flugzeug 1 auf dem Radarschirm sichtbar ist.

(13 Punkte)

c) Das Flugzeug 2 erreicht seine maximale Flughöhe im Punkt 2 (2,18 | 2,09 | 0,09)P und

fliegt dann in Richtung des Geschwindigkeitsvektors 2

500

v

weiter.

(1) Geben Sie die maximale Flughöhe des Flugzeugs 2 an.

Flugzeug 2 erreicht seine maximale Flughöhe 36 Sekunden eher als Flugzeug 1.

Begründen Sie diesen Sachverhalt.

Nach Erreichen ihrer maximalen Flughöhe bewegen sich die beiden Flugzeuge 1F und

2F auf den Geraden 1g bzw. 2g mit den Gleichungen

1

0,2 5: 4 ( 0,1) 3

0,1 0g x t

und 2

2,18 5: 2,09 ( 0,09) 0

0,09 0g x t

, t IR .

(2) Interpretieren Sie die Bedeutung des in diesen beiden Geradengleichungen auftreten-den Parameters t im Sachzusammenhang.

(3) Erklären Sie, dass der Abstand dieser beiden Geraden 0,01 Längeneinheiten (1000 Meter) beträgt, und bestimmen Sie den Punkt der Geraden 1g , der von der Geraden 2g genau diesen Abstand hat.

(4) Begründen Sie, dass der Abstand der Flugzeuge, während sie sich beide auf den Geraden 1g bzw. 2g bewegen, stets größer als 1000 Meter ist. (19 Punkte)

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d) Nach seinem Horizontalflug beginnt Flugzeug 1 den Landeanflug längs eines Leitstrahls,

der vom Anfangspunkt der Landebahn )0|2,10|4,10(L in Richtung 22

1l

gesendet

wird.

(1) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Q, an dem das Flugzeug 1 den Lande-anflug beginnt.

[Zur Kontrolle: (10,2 | 10 | 0,1)Q ]

(2) Bestimmen Sie die Zeit, die das Flugzeug 1 für den Landeanflug (bis zum Aufsetzen) benötigt, wenn dieser mit der konstanten Geschwindigkeit 210 km/h durchgeführt wird. (7 Punkte)

Zugelassene Hilfsmittel:

Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Muttersprachliches Wörterbuch für Studierende, deren Muttersprache nicht Deutsch ist