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Agenda für heute, 19. Januar 2007

• Informationssysteme: ETH-BibliothekInformationssysteme: ETH-Bibliothek• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die

Informationsgewinnung

• Mengendiagramme, Wahrheitstabellen

• Boolesche Algebra

© Institut für Computational Science, ETH Zürich

ETH-Bibliothek

Vortrag von Frau E. Benninger• Grösste Bibliothek der Schweiz

• Schwerpunkte im Bereich des elektronischen Informationsangebotes

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• Informationssysteme: ETH-Bibliothek

• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Logische Verknüpfungen als Grundlage für die InformationsgewinnungInformationsgewinnung


• Boolesche Algebra


Wiedergewinnung von Information: Relationale Datenbank

Normalisieren

Relationale Operatoren (Select, Project, Join)

Ursprüngliche Information

Relationen

Wiedergewonnene Information

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Wiedergewinnung von Information: Aussagenlogik

Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen?

Name in Nahrungsmittel mit Nährstoff = Eisen und Menge < 2

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Aussage

ausgewertet mit Tupel einer Datenbank

wahr falsch

Datenbankabfrage


Elemente der Aussagenlogik

• Eine Aussage hat einen Wahrheitswert ("wahr", "falsch").

• Aussagen können aus Teilaussagen zusammengesetzt sein.

• Diese Teilaussagen sind durch logische Operatoren (Konjunktion, Disjunktion, Negation) verknüpft.

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Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist vollständig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen und die Art und Weise wie diese in der Aussage verknüpft sind, gegeben.


Konjunktion

p und q seien Teilaussagen, w = wahr, f = falsch

Der Wahrheitswert von p and q wird durch die Wahrheitstabelle der Konjunktion präzise definiert:

p q p and q

w w w Die erste Zeile ist eine Kurzform für:w f f "Falls p wahr ist und q wahr ist, dann f w f ist p and q wahr. f f f

Symbole: und, and, •,

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Beispiel

Rosen sind rot and Veilchen sind blau

ist wahr

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Rosen sind rot and Veilchen sind grün

ist falsch


Disjunktion

p und q seien Teilaussagen, w = wahr, f = falsch

Der Wahrheitswert von p or q wird durch die Wahrheitstabelle der Konjunktion präzise definiert:

p q p or q

w w w Beachte: p or q ist nur falsch wennw f w beide Teilaussagen falsch sind. f w w f f f

Symbole: oder, or, +,

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Beispiel

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Rosen sind rot or Veilchen sind blauist wahr

Rosen sind rot or Veilchen sind grün

ist wahr

Rosen sind silbrig or Veilchen sind grün

ist falsch


Negation

p sei eine (Teil)aussage, w = wahr, f = falsch

Der Wahrheitswert von not p wird durch die Wahrheitstabelle der Negation präzise definiert:

p not p

w f

f w

Symbole: nicht, not, ¬

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Reihenfolge der Auswertung von Operatoren in logischen Ausdrücken:

1. NOT 2. AND 3. OR


Bemerkung zur Disjunktion

Umgangssprachlich bedeutet "oder" meistens:

p oder q oder beide (sie ist intelligent oder sie studiert jede Nacht)

p or q ist durch die Wahrheitstabelle definiert und bedeutet immer

"p oder q oder beide".

manchmal bedeutet "oder" :

p oder q aber nicht beide (sie telefoniert aus Basel oder aus Genf)

"oder" in letzterem Sinn wird exklusive Disjunktion (xor) genannt.

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p q p xor q

w w f Beachte: p xor q ist falsch wennw f w beide Teilaussagen entweder falsch f w w oder richtig sind f f f


Disjunktion oder exklusive Disjunktion?

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Genauer: drink and < 1 Glas xor drive

Genauer: drink xor drive Aber stimmt das?

Genauer: drink and ≤ 1 Glas and drive or drink and > 1 Glas and not drive

Stimmts jetzt?


Ein paar Spezialfälle

Logische Äquivalenzennot p or not q not ( p and q ) (de Morgan)not p and not q not ( p or q )

Tautologie Widerspruch

p or not p p and not p

p not p p or not p w f w f w w

p not p p and not p w f f f w f

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Logische Operatoren im Web: "+" und "-"

Inklusion und ExklusionAnstelle der logischen Operatoren "and", "or" und "not" setzen Suchhilfen oft auch die Zeichen "+" und "-" ein.

Mit dem "+"-Operator (Inklusion oder Einschluss) sagen wir, dass der nachfolgende Suchbegriff auf jeden Fall im Suchergebnis enthalten sein muss.

Der "-"-Operator (Exklusion oder Ausschluss) schliesst Dokumente im Suchergebnis aus, welche den nachfolgenden Suchbegriff enthalten.

Beispiel

Vogelgrippe –China

Es werden nur Dokumente gesucht, in denen der Begriff "China" nicht enthalten ist.

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• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung

• Mengendiagramme, WahrheitstabellenMengendiagramme, Wahrheitstabellen• Boolesche Algebra


Grafische und formale Darstellung logischer Verknüpfungen

Alle Nahrungsmittelmit Eisen

Alle Nahrungsmittel mit Zink

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Logischer Ausdruck

(Nährstoff = Eisen OR Nährstoff = Zink) AND Menge < 2 mg

Mengendiagramme

Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen oder Zink?

Alle Nahrungsmittel mit Menge < 2 mg


Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke

Eisen Zink < 2 mg Eisen OR Zink (Eisen OR Zink) AND < 2 mg

W W W W W

W W F W F

W F W W W

W F F W F

F W W W W

F W F W F

F F W F F

F F F F F

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(Nährstoff = Eisen OR Nährstoff = Zink) AND Menge < 2 mg


• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung


• Boolesche AlgebraBoolesche Algebra


Boolesche Algebra

Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen "•" und "+" heisst Boolesche* Algebra, wenn für alle x, y, z M gilt:

(1) x • (y • z) = (x • y) • z; Assoziativ

(2) x + (y + z) = (x + y) + z; Assoziativ

(3) x • y = y • x; Assoziativ

(4) x + y = y + x; Assoziativ

(5) x • (x + y) = x; Absorption

(6) x + (x • y) = x; Absorption

(8) x • (y + z) = (x • y) + (x • z); Distributiv

(8) x + (y • z) = (x + y) • (x + z); Distributiv

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* nach George Boole, englischer Mathematiker, 1815 – 1864

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Boole.html


Boolesche Algebra

(9) es gibt ein Element 0 M mit 0 • x = 0 und 0 + x = x für alle x M ;Neutrales Element

(10) es gibt ein Element 1 M mit 1 • x = x und 1 + x = x für alle x M ;

Neutrales Element

(11) zu jedem x M existiert genau ein y M mit x • y = 0 und x + y = 1;

Komplementäres Element

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Wir ersetzen "wahr" mit "1" und "falsch" mit "0" und wenden die Boolesche Algebra auf logische Ausdrücke an.


Vereinfachung logischer Ausdrücke

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Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane

Wir möchten einen Fruchtsalat mit Ananas und Bananen oder mit Ananas und keinen Bananen oder mit keinen Ananas und keinen Bananen.

Können wir das einfacher sagen?

Was sagen wir überhaupt?


Vereinfachung logischer Ausdrücke

1. (A • B) + (A • ¬B) + (¬A • ¬B)

2. [A • (B + ¬B)] + (¬A • ¬B) Distributivgesetz

3. (A • 1) + (¬A • ¬B) komplementäres Element bez. +

4. A + (¬A • ¬B) neutrales Element bez. •

5. (A + ¬A) • (A + ¬B) Distributivgesetz

6. 1 • (A + ¬B) komplementäres Element bez. +

7. A + ¬B neutrales Element bez. •

Aber . . . sind der 1. und der 7. Ausdruck auch äquivalent?

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Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane

Ananas oder keine Banane


Verifizierung logischer Ausdrücke

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A B ((A • B) + (A • ¬B)) + (¬A • ¬B)

1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

Schritt: 1 2 1 5 1 3 1 6 1 4 1

A B A + ¬B

1 1 1 1 0

1 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 0 0 1 1

Schritt: 1 2 1

Reihenfolge:AussageLogischer Ausdruck (Symbole)Boolesche AlgebraAusdruck evaluieren

1. Ausdruck:

7. Ausdruck:

Wir wünschen Ihnen ein schönes Wochenende

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