AHMEN SYSTEMBERECHNUNGEN FÜR EBENE TAB ......Rolf Kindmann Henning Uphoff FE-RAHMEN...

Rolf Kindmann

Henning Uphoff

FE-RAHMEN

SYSTEMBERECHNUNGEN FÜR EBENE STAB-WERKE BEI EINACHSIGER BIEGUNG UND NORMALKRAFT

Entwurf vom 05.06.2014

Veröffentlichung des Lehrstuhls für Stahl-, Holz- und Leichtbau Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann

Herausgeber: Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau Fakultät für Bau- und Umweltingenieurwissenschaften Ruhr-Universität Bochum Universitätsstr. 150 D-44801 Bochum Tel.-Nr.: +49 (0)234/32-22575 Fax-Nr.: +49 (0)234/32-14646 E-Mail: [email protected] http://www.rub.de/stahlbau

2014 Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum

Alle Rechte, auch das der Vervielfältigung, des auszugsweisen Nachdrucks, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten.

Inhaltsverzeichnis

1 Leistungsumfang 1

2 Grundlagen 2

2.1 Koordinatensysteme, Normierung und Definition 3

2.2 Berücksichtigung von Gelenken 8

2.3 Transformationsbeziehungen 8

3 Eingabe 11

3.1 Vorbemerkung 11

3.2 Berechnungsoptionen 11

3.3 Eingabe des baustatischen Systems 12

3.4 Knotenlasten und Gleichstreckenlasten 15

3.5 Vorverformungen 16

3.6 Querschnittswerte 17

3.7 Start der Berechnung 19

4 Ausgabe 20

5 Berechnungsbeispiele 22

5.1 Vorbemerkung 22

5.2 Zweigelenkrahmen 22

5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 33

Literatur 44

1 Leistungsumfang

Das RUBSTAHL-Programm FE-Rahmen ist ein leistungsfähiges FE-Programm zur

Berechnung ebener Stäbe und Stabtragwerke. Erfasst wird die einachsige Biegung

mit Normalkraft. Neben Stäben mit konstantem Querschnitt können Stäbe mit

veränderlichen (gevouteten) Querschnitten berücksichtigt werden. Die wesentlichen

Anwendungsgebiete des Programms lassen sich wie folgt zusammenfassen:

Berechnung von Verformungen und Schnittgrößen nach der Elastizitätstheorie I. oder II. Ordnung

Ermittlung von positiven und negativen Eigenwerten bzw. Verzweigungslasten und den dazugehörigen Eigenformen bzw. Knickbiegelinien für das

Stabilitätsproblem Biegeknicken in der Ebene

Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit für Stäbe mit Standardquerschnitten

Berücksichtigung von Vorverformungen bzw. geometrischen Ersatzimperfektionen als Schiefstellung und als Vorkrümmung

Berücksichtigung aussteifender Konstruktionen durch Federsteifigkeiten

Berücksichtigung beliebiger Querschnittsformen

Berechnung von Auflager- und Federkräften

Das Programm bietet somit die Möglichkeit ebene Rahmensysteme zu untersuchen,

die im Stahlbau häufig zur Anwendung kommen. Neben der Ermittlung der

Schnittgrößenverläufe von bspw. statisch unbestimmten Systemen kann das

Programm verwendet werden um die Tragfähigkeit des Rahmens in der Ebene

nachzuweisen. Durch die Berücksichtigung von geometrischen Ersatzimperfektionen

und die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung kann mit dem

geführten Nachweis der ausreichenden Querschnittstragfähigkeit auch der Stabilitäts-

nachweis für das ebene Tragwerk geführt werden. Die Anwendung des Ersatz-

imperfektionsverfahrens für den Nachweis der ausreichenden Tragfähigkeit ebener

Rahmen stellt den Stand der Technik in Deutschland dar. Eine weiterführende

Untersuchung der räumlichen Tragwirkung der Bauteile kann dann im Anschluss z.B.

mit dem RUBSTAHL-Programm FE-STAB erfolgen.

Besonders hervorgehoben sei an dieser Stelle das Buch „Finite-Elemente-Methoden

im Stahlbau“ [3] von Rolf Kindmann und Matthias Kraus. Es enthält eine komplette

und umfangreiche Darstellung der im Folgenden kurz behandelten theoretischen

Hintergründe.

FE-Rahmen ist in Visual Basic programmiert. Als Programmoberfläche dient

Microsoft Excel. Das vorliegende Programmpaket 2014 der RUBSTAHL-Programme

beinhaltet eine Version von FE-Rahmen für MS-Excel 2003 und ältere

Programmversionen sowie eine Version von FE-Rahmen für MS-Excel 2007 und

jüngere Programmversionen.

2 Grundlagen 2

2 Grundlagen

Die Tragwerksberechnung im Programm FE-Rahmen erfolgt mit der Methode der

finiten Elemente. Die betrachteten Stäbe werden in Stabelemente mit jeweils einem

Knoten pro Elementende aufgeteilt. Zur Erfassung der einachsigen Biegung mit

Normalkraft ist die Berücksichtigung von drei Verformungsgrößen pro Knoten

notwendig:

Verschiebungen u und w

Verdrehung w′

Die so abgebildete ebene Stabtheorie folgt einer klar definierten Normierung sowohl

auf Querschnitts- als auch auf Stabebene, die zur korrekten Anwendung des

Programms zu berücksichtigen ist.

Im Wesentlichen basiert das Programm FE-Rahmen auf dem RUBSTAHL-Programm

FE-STAB, welches die vollständige Stabtheorie erfasst. Auf eine vollständige Dar-

stellung der theoretischen Grundlagen wird daher an dieser Stelle verzichtet und es

wird ausschließlich auf die Aspekte eingegangen, die nur für das Programm FE-

Rahmen relevant sind. Weiterführende Informationen zu den Themengebieten

Werkstoffgesetz

Prinzip der virtuellen Arbeit

Steifigkeitsbeziehungen, Lastvektoren und Gleichgewichtsbedingungen der FE-Methode

Ermittlung der Verformungs- und Schnittgrößen, dabei insbesondere die Differenzierung zwischen Gleichgewichts- und Nachweisschnittgrößen

Ermittlung der Eigenwerte und Eigenformen

Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel [2]

sind dem Kapitel zum Programm FE-STAB [6] zu entnehmen. Die dort gezeigten

Zusammenhänge reduzieren sich entsprechend, da statt der sieben Verformungs-

größen der vollständigen Stabtheorie nur die drei Verschiebungsgrößen u, w und w′

der ebenen Stabtheorie zu berücksichtigt werden.

Der größte Unterschied zwischen FE-Rahmen und FE-STAB besteht darin, dass nicht

nur gerade Stäbe sondern ebene Stabtragwerke berechnet werden können. Es müssen

daher Transformationsbeziehungen formuliert werden, die den Zusammenhang

zwischen den lokalen Systemen der Stabelemente und dem globalen System des

Stabwerkes darstellen. Die Transformationsbeziehungen sind notwendig damit aus

lokalen Elementsteifigkeitsmatrizen und Lastvektoren die Gesamtsteifigkeitsmatrix

und der globale Lastvektor assembliert werden kann. Nach dem Lösen der globalen


Gleichungssysteme erfolgt die Rücktransformation auf das lokale Stabelement zur

Ermittlung der Stabendschnittgrößen.

Da in FE-Rahmen nicht nur einzelne Stäbe sondern Stabwerke untersucht werden

können, ist die Berücksichtigung von Stabgelenken notwendig.

2.1 Koordinatensysteme, Normierung und Definition

In FE-Rahmen wird die ebene Stabtheorie berücksichtigt, das heißt es können gerade

Stäbe und Stabwerke berechnet werden, die durch einachsige Biegung mit Normal-

kraft beansprucht werden. Bild 2.1 zeigt einen geraden Stab im lokalen Hauptachsen-

system. Die lokale Stabachse durch den Schwerpunkt ist dabei die x-Achse, die

lokalen Hauptachsen des Querschnitts definieren die y- und z-Achse.

Bild 2.1 Gerader Stab mit Verschiebungs- und Schnittgrößen im lokalen Hauptachsensystem

Zusätzlich zeigt Bild 2.1 die positiven Wirkungsrichtungen und Angriffspunkte der

lokalen Verschiebungsgrößen uS, vM und wM und der betrachteten Schnittgrößen N,

Vz und My. Sie werden auf den Schwerpunkt S bzw. den Schubmittelpunkt M

bezogen (y = yM, z = zM).

2 Grundlagen 4

Da in FE-Rahmen ebene Stabwerke betrachtet werden wird in der Ebene zwischen

dem lokalem x-z-Koordinatensystem und dem globalen X-Z-Koordinatensystem

unterschieden. Bild 2.2 zeigt den Zusammenhang zwischen globalem und lokalem

Koordinatensystem. In Bild 2.3 ist die Definition der globalen und lokalen

Verschiebungsgrößen dargestellt. Es gilt weiterhin folgende Definitionen und

Bezeichnungen zu beachten:

Koordinaten, Ordinaten und Bezugspunkte

X globale Systemkoordinate horizontal

Z globale Systemkoordinate vertikale

x lokale Stablängsrichtung

y, z lokale Hauptachsen in der Querschnittsebene

S Schwerpunkt

M Schubmittelpunkt (y = yM, z = zM)

Stabdrehwinkel

Bild 2.2 Lokales und globales Koordinatensystem am Stabelement

Verschiebungsgrößen

Su globale Verschiebung in X-Richtung

Mw globale Verschiebung in Z-Richtung

w Verdrehung um die Y-Achse (senkrecht zur X-Z Achse)

uS lokale Verschiebung in x-Richtung

wM lokale Verschiebung in z-Richtung

Mw Verdrehung um die y-Achse


Bild 2.3 Definition des a) globalen und b) lokalen Koordinatensystems und der zugehörigen Verschiebungsgrößen

Die Transformationsbeziehung zwischen lokalen und globalen Koordinaten lautet wie

folgt:

x cos sin X

z sin cos Z

(2.1)

Schnittgrößen

N Längskraft, Normalkraft

Vz Querkraft

My Biegemoment

Index el: Grenzschnittgrößen nach der Elastizitätstheorie

Index pl: Grenzschnittgrößen nach der Plastizitätstheorie

Index d: Bemessungswert (design)

Index k: charakteristischer Wert

Spannungen

x Normalspannungen

xz Schubspannungen

v Vergleichsspannung

Einzellasten FX, FZ und MYL wirken gemäß Bild 2.4 im globalen Koordinatensystem

in Richtung der positiven Achsen. Streckenlasten können wahlweise im lokalen oder

globalen Koordinatensystem eingegeben werden, siehe Bild 2.5.

Eiwirkungen, Lastgrößen

qx, qz Lokale Streckenlasten

qX, qZ Globale Streckenlasten

FX, FZ Globale Einzellasten

MYL Lastbiegemoment

2 Grundlagen 6

Bild 2.4 Positive Wirkungsrichtung und Angriffspunkte der Einzellasten

Bild 2.5 Positive Wirkungsrichtungen der Streckenlasten im a) globalen und b) lokalen Koordinatensystem

Bild 2.6 zeigt die Wirkungsrichtung der Lagerbedingungen. Sie wirken

definitionsgemäß im globalen Koordinatensystem, unabhängig von der Stabneigung.

Bild 2.6 Lagerbedingungen im globalen Koordinatensystem

Weitere Informationen zur Berechnung der Querschnittskennwerte können Kapitel 3

Kindmann/Frickel [2] entnommen werden.


Querschnittskennwerte

A Fläche

Iy Hauptträgheitsmoment

Wy Widerstandsmoment

Sy Statisches Moment

Teilsicherheitsbeiwerte

M Beiwert für die Beanspruchbarkeit (material)

F Beiwert für die Beanspruchung (force)

Zur Anwendung der FE-Methode werden Vektoren und Matrizen formuliert.

Vektoren (Kleinbuchstaben) und Matrizen (Großbuchstaben) werden durch einen

Unterstrich gekennzeichnet. Der Index „e“ zeigt, dass es sich um Vektoren und

Matrizen für Stabelemente handelt. Vektoren und Matrizen im globalen Koordinaten-

system werden durch einen zusätzlichen „Überstrich“ kenntlich gemacht.

Matrizen und Vektoren s Schnittgrößenvektor

K Steifigkeitsmatrix

G geometrische Steifigkeitsmatrix

v Verformungsgrößenvektor

p Lastgrößenvektor

Die Berechnung der Verformungen und Schnittgrößen in FE-Rahmen erfolgt auf

Grundlage der Elastizitätstheorie. Es gilt das Hookesche Gesetz, d.h. es wird

linearelastisches Werkstoffverhalten angenommen. Beim Nachweis der plastischen

Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren wird linearelastisch-

idealplastisches Werkstoffverhalten vorausgesetzt. Näheres kann den Erläuterungen

zu FE-STAB [6] entnommen werden.

Werkstoffkennwerte

E Elastizitätsmodul

G Schubmodul

Querkontraktionszahl, Poissonsche Zahl

fy Streckgrenze

fu Zugfestigkeit

u Bruchdehnung

2 Grundlagen 8

2.2 Berücksichtigung von Gelenken

Da in FE-Rahmen ganze Stabwerke berechnet werden können, ist es notwendig, dass

Gelenke für alle drei Lastgrößen N, Vz und My im System angeordnet werden

können. Die Gelenke werden über eine Reduktion der Elementsteifigkeitsmatrix in

der Berechnung mit der finite Elemente Methode berücksichtigt. Hierbei wird die

konjugierte Verformungsgröße aus der Matrix eliminiert und die jeweilige Zeile der

Gelenkschnittkraft als Bestimmungsgleichung für die zugehörige Verformungsgröße

verwendet. Der Ablauf entspricht der Kondensation nach Schwarz [7]. Auf eine

nähere Betrachtung der nummerischen Abläufe wird an dieser Stelle verzichtet.

2.3 Transformationsbeziehungen

In FE-Rahmen werden anders als in FE-STAB Stabwerke und nicht einzelne gerade

Stäbe berücksichtigt. Die Elementsteifigkeitsmatrizen und Lastvektoren der einzelnen

Stäbe müssen daher zunächst vom lokalen Koordinatensystem der Stabelemente in

das globale Koordinatensystem der X-Z-Ebene transformiert werden, bevor die

Gesamtsteifigkeitsmatrix und der globale Lastvektor aufgestellt werden kann. Für die

Transformation muss der Stabdrehwinkel gemäß Bild 2.7 bekannt sein, der die

Drehung in die X-Z-Ebene beschreibt.

Bild 2.7 Lage der Stäbe im globalen Koordinatensystem

Die Beziehungen zwischen den lokalen und globalen Knotenverformungen sind in

Tabelle 2.1 aufgeführt.

2.3 Transformationsbeziehungen 9

Tabelle 2.1 Transformationsbeziehung zwischen dem lokalen Verformungsvektor v und dem globalen v

Kv T v

u cos sin 0 u

w sin cos 0 w

w 0 0 1 w

mit v Vektor der globalen Knotenverformungen

v Vektor der lokalen Knotenverformungen

Die Transformationsmatrix ist orthogonal, d.h. es gilt

1 TK KT T (2.2)

Für die Schnittgrößen-Verformungsbeziehungen je Element gilt im lokalen x-z-

Koordinatensystem

e e es K v p (2.3)

Mit der Transformationsmatrix nach Tabelle 2.2 können die lokalen Schnittgrößen-

Verformungsbeziehungen in das globale System überführt werden. Dafür ist folgende

Transformation erforderlich:

T

e eK T K T

Te ep T p

(2.4)

mit:

ep , eK : Vektoren bzw. Matrix im globalen KOS

pe, Ke: Vektoren bzw. Matrix im lokalen KOS

Tabelle 2.2 Besetzung der Transformationsmatrix T

1 2 3 4 5 6

1 cos sin

0

2 -sin cos

3 1

4

0

cos sin

5 -sin cos

6 1

2 Grundlagen 10

Entsprechendes gilt für die Anteile der Theorie II. Ordnung:

T

e eG T G T

Te 0,e e 0,ep p T p p (2.5)

mit:

eG : globale geometrische Elementsteifigkeitsmatrix

e 0,ep p : globale Vektoren der Lastgrößen infolge von Lasten am Stabelement und Vorverformungen

3.1 Vorbemerkung 11

3 Eingabe

3.1 Vorbemerkung

Als Programmoberfläche dient MS-Excel. Im Tabellenblatt „Eingabe“ erfolgt die

Eingabe sämtlicher Berechnungsparameter. Bei Eingabe von Querschnittswerten

werden automatisch weitere Tabellenblätter geöffnet. Als Maßeinheit der Eingabe-

werte müssen kN und cm verwendet werden.

3.2 Berechnungsoptionen

Bild 3.1 zeigt einen Teil des Eingabeblattes von FE-Rahmen. In den ersten Zeilen

„Projekt“ und „Kommentar“ besteht die Möglichkeit die durchgeführte Berechnung

kurz zu beschreiben.

Bild 3.1 Eingabemaske FE-Rahmen: Berechnungsoptionen

Theorie

Die Tragwerksberechnung erfolgt wahlweise nach Theorie I. oder II. Ordnung.

Entsprechend sind in das Feld eine „1“ oder eine „2“ einzutragen. Wird eine Zahl

größer als 2 eingegeben, erfolgt die Berechnung mehrfach (n-1 mal). Bei einer

Berechnung nach Theorie II. Ordnung erfolgt keine Ausgabe der Schnittgrößen und

Verformungen wenn der Eigenwert überschritten ist, d.h. cr < 1. Programmintern

erfolgt keine Begrenzung der Verformungen. Diese sind vom Benutzer zu

kontrollieren.

3 Eingabe 12

Werkstoffkennwerte und Teilsicherheitsbeiwerte

Die Kennwerte Elastizitätsmodul E, Schubmodul G, Streckgrenze fy,k des

verwendeten Werkstoffes sowie der für die Nachweisführung maßgebende

Teilsicherheitsbeiwert für die Beanspruchbarkeit M werden vom Anwender

vorgegeben. Sie sind konstant für das gesamte Stabwerk. Der Bemessungswert der

Streckgrenze ergibt sich zu:

fy,d = fy,k / M (3.1)

Der Elastizitätsmodul E und der Schubmodul G sind für die Berechnung nach

Theorie II. Ordnung gemäß DIN EN 1993-1-1 [1] nicht durch den Teilsicherheits-

beiwert abzumindern.

Verzweigungslastfaktor cr und höhere positive und negative Eigenwerte

Die Ermittlung des Eigenwertes cr erfolgt ausschließlich bei einer

Tragwerksberechnung nach Theorie II. Ordnung. Ist die Option „cr berechnen“

gewählt, erfolgt die Berechnung automatisch nach Theorie II. Ordnung. Ebenfalls

erfolgt bei einer Berechnung nach Theorie II. Ordnung stets die Überprüfung der

Bedingung cr > 1. Neben dem 1. Positiven Eigenwert des Systems, dem

Verzweigungslastfaktor cr, kann jeder weitere positive und negative Eigenwert des

Systems bestimmt werden, auch wenn dieser kleiner als 1 ist. Die maximale Anzahl

der Iterationsschritte sowie die Genauigkeit für die Bestimmung des Eigenwertes

können festgelegt werden. In den meisten Fällen sind ca. 25 Iterationsschritte bei

einer Genauigkeit von 10-4 ausreichend. Ist die Anzahl der gewählten Iterations-

schritte zu gering oder wird kein Eigenwert gefunden, erfolgt eine Fehlermeldung des

Programms. Für cr < 1 und negative Eigenwerte folgt keine Ausgabe der Schnitt-

größen und Verformungen.

Zusätzlich zum Eigenwert kann die zugehörige Eigenform, bzw. Knickbiegelinie,

ausgegeben werden. Dazu muss die Option „cr berechnen“ gewählt sein.

Eine Ausgabe der verwendeten Steifigkeitsmatrizen ist ebenfalls möglich. Die

Ausgabe sollte aber nur bei der Verwendung von maximal 30 Stabelementen

erfolgen.

3.3 Eingabe des baustatischen Systems

Die Eingabe des baustatischen Systems erfolgt in den in Bild 3.2 dargestellten

Tabellen. Zunächst sind Stabknoten und die globalen Lagerbedingungen zu

definieren. Zwischen den Stabknoten werden Stäbe mit konstanten oder ver-

änderlichen Querschnitten angeordnet. An Stabenden können Gelenke angeordnet

werden. Außerdem ist es möglich für einzelne Stäbe Streckenfedern zu definieren.

3.3 Eingabe des baustatischen Systems 13

Bild 3.2 Eingabemaske FE-Rahmen: Systemeingabe

Knotenkoordinaten und globale Lagerbedingungen

Zunächst sind die Stabanfangs- bzw. endknoten des Stabwerks zu definieren. Es

können maximal 20 Knoten definiert werden. Die Anordnung der Knoten in der X-Z-

Ebene erfolgt durch Eingabe der globalen X-Ordinate (von links nach rechts positiv)

und der globalen Z-Ordinate (von oben nach unten positiv).

Jeder Knoten besitzt drei freie Verformungsgrößen im globalen Koordinatensystem:

die Verschiebung in Richtung der X- und Z-Achse sowie die Verdrehung um die Y-

Achse. Zur Berücksichtigung der globalen Lagerbedingungen können diese wahl-

weise als frei beweglich oder gesperrt definiert werden. Neben den Knoten-

verformungen können auch die Verformungen des gesamten Stabes gesperrt werden.

Außerdem ist es möglich Punktfedern korrespondierend zu den Verformungs-

richtungen bzw. der Verdrehung in den Knoten anzuordnen.

Die Eingabe der Lagerbedingungen bzw. der Punktfedern erfolgt durch die Eingabe

von Kennzahlen in der vierten bis sechsten Zeile der dafür vorgesehenen Tabelle. Die

zu verwendenden Kennzahlen sind in Tabelle 3.1 aufgeführt.

3 Eingabe 14

Tabelle 3.1 Kennzahlen zur Festlegung der Lagerungsbedingungen

Kennzahl Lagerungsbedingung

-1 festes Lager

-2 in der 1. Spalte festes Lager in allen Knoten, Verformungsgröße im gesamten Stab behindert

0 bzw. leere Zelle kein Lager und keine Punktfeder, Verformungsgröße unbehindert

>0 Punktfeder, Federsteifigkeit entspricht dem angegebenen Zahlenwert

Stababschnitte und Gelenke

Mithilfe der definierten Knoten erfolgt die Eingabe der Stababschnitte. Dafür werden

die Knoten entweder als Stabanfangsknoten („Knoten a“) oder Stabendknoten

(„Knoten b“) des jeweiligen Stabes festgelegt. Die Einteilung des Stabes in finite

Elemente kann für jeden Stab einzeln gewählt werden. Eine Auswertung der

Schnittgrößen, Verformungen und Querschnittstragfähigkeit erfolgt nur in den Stab-

bzw. Elementknoten. Ebenfalls ist zu beachten, dass abschnittsweise Gleichstrecken-

lasten und Vorverformungen zwischen Stab- bzw. Elementknoten anzuordnen sind.

Weiterhin ist bei Stabilitätsberechnungen (Biegeknicken) und Berechnungen zur

Tragfähigkeit darauf zu achten, dass eine ausreichend große Anzahl von finiten

Elementen gewählt wird. Beispielsweise solle beim Biegeknicken die Elementanzahl

so festgelegt werden, dass die Stabkennzahl der Elemente ε = N EI 1l ist.

Den Stabknoten wird jeweils ein Querschnitt aus der Tabelle „Querschnittswerte“

zugeordnet, s. Kapitel 3.6. Handelt es sich um einen Stab mit konstantem Querschnitt

ist in Zelle „Q Anfang“ und „Q Ende“ dieselbe Querschnittsnummer einzutragen. Es

ist auch möglich Stäbe mit abschnittsweise veränderlichen Querschnitten (Vouten) zu

berücksichtigen, solange es sich um Typ2- oder Typ3-Querschnitte handelt. Die

jeweilige Querschnittsnummer ist dann dem Stabanfang bzw. -ende zuzuordnen.

Programmintern erfolgt die Berechnung der Querschnittswerte je Element auf Basis

des Blechmittellinienmodells. Dies kann dazu führen, dass sich im Vergleich zum

Walzprofil leicht geänderte Querschnittswerte ergeben.

An den Stabknoten können durch die Eingabe der Kennzahl „-8“ Gelenke ent-

sprechend den freizusetzenden Verformungsgrößen u, w bzw. w′ angeordnet werden.

Wenn in die entsprechenden Zellen Zahlen > 0 eingetragen werden, werden diese als

Steifigkeiten von Gelenkfedern angesetzt. So können beispielsweise nachgiebige

Rahmeneckausbildungen im Programm berücksichtigt werden. Je Knoten dürfe bei i

Stäben maximal (i-1) Gelenke angeordnet werden. Die Berücksichtigung der Gelenke

im Programm erfolgt durch Kondensation, siehe Kapitel 2.2.

3.4 Knotenlasten und Gleichstreckenlasten 15

Streckenfedern

Kontinuierlich wirkende Aussteifungen können in Form von Streckenwegfedern cw

berücksichtigt werden. Die Streckenwegfeder cw wirkt im Schubmittelpunkt M in

Richtung der Verschiebungsgröße w im lokalen Koordinatensystem, also quer zur

Stabachse. Die Steifigkeiten der Streckenfeder sind als Bemessungswerte einzugeben.

Durch die Verwendung von Streckenfedern können beispielsweise elastische

gebettete Stäbe modelliert werden.

3.4 Knotenlasten und Gleichstreckenlasten

Einzellasten Fx, Fz und Einzellastmomente MyL können in jedem Stabendknoten

angeordnet werden. Hierfür sind die Nummern der vorher definierten Knoten zu

verwenden. Die Lasten wirken definitionsgemäß im Schwerpunkt S bzw. im

Schubmittelpunkt M, so dass keine zusätzlichen Beanspruchungen infolge ex-

zentrischen Lastangriffs auftreten. Die Einzellasten wirken entsprechend dem

globalen X-Z-Koordinatensystem. Die Einzellastmomente werden als richtungstreue

Vektoren aufgefasst, so dass Verdrehungen keinen Einfluss auf die Einzelmomente

haben.

Bild 3.3 Eingabemaske FE-Rahmen: Knotenlasten und Gleichstreckenlasten

An den Stäben können abschnittsweise konstante Streckenlasten qx und qz wirken.

Die Streckenlasten können wahlweise im lokalen x-z- oder im globalen X-Z-

Koordinatensystem eingegeben werden. Entsprechend ist die Kennzahl „0“ für das

3 Eingabe 16

globale und die Kennzahl „1“ für das lokale Koordinatensystem einzutragen. Last-

angriffspunkte sind definitionsgemäß der Schwerpunkt S für die Last qx und der

Schubmittelpunkt für die Last qz, so dass keine zusätzlichen Beanspruchungen durch

Lastexzentrizität entstehen.

Die Abschnitte der Gleichstreckenlasten sind zwischen Stab- bzw. Elementknoten an-

zuordnen, s. Kapitel 3.3. Außerdem dürfen sich Abschnitte von Gleichstreckenlasten

nicht überlappen, so dass pro Stababschnitt und pro Streckenlast nur eine Eingabe

zulässig ist. Wirkt eine Streckenlast über die gesamte Stablänge, kann vereinfacht „e“

in das Eingabefeld „bis x“ eingetragen werden.

3.5 Vorverformungen

Zur Berücksichtigung von geometrischen Ersatzimperfektionen werden bei bau-

praktischen Berechnungen nach Theorie II. Ordnung Vorverformungen angesetzt. In

FE-Rahmen können abschnittsweise

Geraden

Geraden + quadratische Parabeln

Geraden + Sinushalbwellen

für die Vorverformungsfunktion w0(x) eingegeben werden. Die Art der Vorver-

formung wird durch die Eingabe der entsprechenden Kennzahl definiert.

Bild 3.4 Eingabe von Vorverformungen

Die Vorverformung kann abschnittsweise pro Stab definiert werden. Die Indices

kennzeichnen den Anfang (A), das Ende (E) und die Mitte (M) der Stababschnitte.

Wie bei Streckenlasten müssen Anfang und Ende der Vorverformungen entweder auf

einem Element- oder Stabknoten liegen. Pro Stababschnitt ist nur die Eingabe einer

Vorverformung zulässig, d.h. geradlinige und gekrümmte Vorverformungen müssen

in einem Zug eingegeben werden, s. Bild 3.4. Außerdem dürfen sich Vorver-

formungen angrenzender Stababschnitte nicht überlappen. Wirkt eine Vorverformung

über die gesamte Stablänge kann dies durch die Eingabe von „e“ im Feld „bis x“

vorgegeben werden, s. Bild 3.5.

3.6 Querschnittswerte 17

Bild 3.5 Eingabemaske FE-Rahmen: Vorverformungen

Die Wirkungsrichtung der Vorverformung entspricht der Verschiebungsgröße w im

lokalen x-z-Koordinatensystem auf Stabebene.

3.6 Querschnittswerte

FE-Rahmen beinhaltet 3 Möglichkeiten, Querschnitte zu wählen:

Typ1: beliebige Querschnittswerte

Typ2: Zwei- und Dreiblechquerschnitte

Typ3: Walzprofile

Nach Wahl des zu verwenden Querschnittstyps durch Klicke auf den entsprechenden

Button, öffnen sich weitere Tabellenblätter zur Eingabe der Querschnittswerte. Ein

separater Eintrag in die Tabelle „Querschnittswerte“ ist nicht notwendig, s. Bild 3.6.

Bei Typ1-Querschnitten handelt es sich um beliebige Querschnitte. Die für die

Berechnung notwendigen Querschnittswerte werden separat eingegeben und müssen

vorher berechnet werden. Bei den Querschnittswerten handelt es sich um die

Querschnittswerte im y-z-Hauptachsensystem. Bezugspunkte im Querschnitt sind der

Schwerpunkt S sowie der Schubmittelpunkt M. Die eingetragenen Querschnittswerte

müssen den Querschnittswerten des Hauptachsensystems entsprechen. Ein Nachweis

der plastischen Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren (TSV)

nach Kindmann/Frickel [2] kann verfahrensbedingt nicht erfolgen, da nicht alle dafür

notwendigen Querschnittsparameter bekannt sind.

3 Eingabe 18

Bild 3.6 Eingabemaske FE-Rahmen: Querschnittswerte

Die Wahl eines Typ2-Querschnittes ermöglicht die Eingabe eines Zwei- bzw.

Dreiblechquerschnittes. Die Querschnittswerte werden automatisch im Hauptachsen-

system berechnet. Zur Eingabe des Querschnitts werden die Abmessungen der Bleche

und Abstände zueinander auf Grundlage des Blechmittellinienmodells eingegeben.

Die Flansche sind horizontal und orthogonal zum senkrechten Steg angeordnet. Das

Bezugs-Koordinatensystem der Eingabe befindet sich in Stegmitte. Es ist darauf zu

achten, dass keine Diskontinuitäten zwischen den Einzelblechen entstehen. Es erfolgt

eine Untersuchung der plastischen Querschnittstragfähigkeit mittels TSV.

Bei der Wahl von Typ3-Querschnitten können gewalzte oder gleichartig geschweißte

Querschnitte ausgewählt werden. Das Programm beinhaltet eine umfangreiche

Datenbank mit Querschnittswerten von Standardwalzprofilen. Im Programm sind

folgende Profilreihen vorhanden:

IPE, IPEo, IPEv, IPEa, HEAA, HEA, HEB, HEM, HL, HD, HP, UAP, UPE,

gleichschenklige und ungleichschenklige Winkel sowie kreisförmige,

quadratische und rechteckige Hohlprofile

Es besteht außerdem die Möglichkeit I-, U- und L-Profile sowie kreisförmige

Hohlprofile frei zu definieren, in dem die wichtigsten Querschnittsabmessungen

eingegeben werden. Setzt man die Ausrundungsradien dabei zu Null, können so auch

geschweißte Profile erfasst werden. Für Querschnitte vom Typ3 erfolgt eine

Untersuchung der plastischen Querschnittstragfähigkeit mittels TSV.

Die Systemberechnung erfolgt in FE-Rahmen ausschließlich in der x-z-Ebene. Dabei

wird grundsätzlich das Hauptträgheitsmoment verwendet. Bei der Wahl der

Querschnitte ist darauf zu achten dass bei bestimmten Querschnittsformen, z.B. bei

L- oder U-Querschnitten, Zusatzbeanspruchungen infolge geneigter Hauptachsen

oder Exzentrizitäten auftreten können. Es erfolgt ausschließlich eine Berechnung der


Schnittgrößen N, My und Vz, so dass eine Bemessung nur für diese Schnittgrößen

erfolgen kann. Der Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit mittels TSV

erfolgt ebenfalls ausschließlich für diese drei Schnittgrößen.

3.7 Start der Berechnung

Durch den Button „System berechnen“ wird die Berechnung gestartet. Das Programm

überprüft zunächst ob bei den Eingabewerten Unstimmigkeiten auftreten. Für

ausgewählte Eingabefehler erfolgt eine Fehlermeldung und ein Hinweis auf die

mögliche Fehlerquelle.

Das eingegebene baustatische System kann in einer Systemgrafik dargestellt werden.

Neben der Systemgeometrie werden die Lasten und ihre Wirkungsrichtung angezeigt.

Zusätzlich ist es möglich die getätigte Eingabe zu speichern. Mit dem Button

„Eingabe speichern“ wird das Eingabeblatt separat gespeichert (Datei-Endung *.est)

und kann später wieder geladen und verwendet werden. Es ist daher nicht notwendig

für jede Berechnung das Excel-Programm FE-Rahmen selbst zu speichern.

Die weiteren Buttons in der Eingabeoberfläche dienen zur Navigation im Programm.

4 Ausgabe 20

4 Ausgabe

Nach erfolgter Berechnung werden die Ergebnisse in verschiedenen Tabellenblättern

ausgegeben.

Tabellenblatt Ausgabe

Im Tabellenblatt „Ausgabe“ werden die Eingabe sowie die wesentlichen Ergebnisse

der Berechnung dargestellt, so dass es möglich ist die durchgeführte Berechnung

eindeutig nachzuvollziehen. Im Aufbau ähnelt es stark dem Tabellenblatt „Eingabe“.

Es ist so formatiert, dass die Ausgabe der Ergebnisse ohne weitere Skalierung auf

drei Seiten des Formats DIN-A4 möglich ist.

Neben den Eingabewerten des Systems werden die ermittelten Auflagerkräfte

ausgegeben. Erfolgt eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung erfolgt die Ausgabe

des zu ermittelnden Eigenwertes cr. Bei der Verwendung von Typ2- bzw. Typ3-

Querschnitten werden die maximale Querschnittsausnutzung sowie der Verlauf der

Querschnittsausnutzung über die Stablängen gemäß TSV angezeigt.

Zusätzlich wird das baustatische System grafisch ausgegeben.

Tabellenblatt Schnittgrößen

Im Tabellenblatt „Schnittgrößen“ werden die in den Knoten ermittelten Schnittgrößen

in tabellarischer und grafischer ausgegeben. Es wird unterschieden zwischen

Nachweisschnittgrößen und Gleichgewichtsschnittgrößen, s. Kapitel 2.4.3 FE-STAB

[6]. Die Nachweisschnittgrößen dienen zur Ermittlung von Spannungen oder zur

Überprüfung der Querschnittstragfähigkeit. Sie wirken entsprechend der verformten

Stabachse. Die Gleichgewichtsschnittgrößen beziehen sich auf die unverformte

Stabachse und resultieren direkt aus den Gleichgewichtsbedingungen der finiten

Elemente Methode. Erfolgt die Berechnung nach Theorie I. Ordnung entsprechen die

Nachweisschnittgrößen den Gleichgewichtsschnittgrößen.

Bei Überschreitung des Eigenwertes (cr < 1) werden keine Schnittgrößen

ausgegeben.

Tabellenblatt Verformungen

Im Tabellenblatt „Verformungen“ werden die berechneten Knotenverformungen und

im globalen Koordinatensystem tabellarisch ausgegeben. Zusätzlich erfolgt eine

grafische Darstellung der ebenen Verschiebungsfigur des Systems. Das Blatt enthält

auch die Verläufe der angesetzten Vorverformungen w0(x).

Bei Überschreitung des Eigenwertes (cr < 1) werden keine Verformungen

ausgegeben.


Tabellenblatt Eigen

Das Tabellenblatt „Eigen“ enthält Angaben über den errechneten Wert sowie die

iterative Ermittlung des Eigenwertes cr. Es werden das Intervall, in dem der

Eigenwert mit der gewählten Genauigkeit liegt, und der Verlauf der iterativen

Eigenwertermittlung angezeigt. Zusätzlich wird die zugehörige Eigenform w(x) in

grafischer Form ausgegeben.

Die Ermittlung und Ausgabe des Eigenwertes und der korrespondierenden Eigenform

erfolgt nur, wenn diese Option im Eingabeblatt ausgewählt wird.

Tabellenblatt Info

Im Tabellenblatt „Info“ kann bei Verwendung von Typ2- und Typ3-Querschnitten

die Ausnutzung der Querschnittstragfähigkeit in jedem Knoten abgelesen werden.

Die Ermittlung der Ausnutzung der Querschnitte erfolgt für die berechneten

Nachweisschnittgrößen mit dem Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel

[2]. Es handelt sich dabei um einen Nachweis der plastischen Querschnittstrag-

fähigkeit. Das TSV kann verfahrensbedingt nur auf Typ2- und Typ3-Querschnitte

angewendet werden. Zusätzlich werden die Knotenwerte der Vorverformungen und

der Eigenform tabellarisch ausgegeben. Außerdem können die Intervalle der

iterativen Eigenwertermittlung abgelesen werden.

Zusätzlich werden die benötigten Rechenzeiten ausgegeben.

Tabellenblatt Federkräfte

Dem Tabellenblatt „Federkräfte“ können die von den Streckenfedern cw auf-

genommenen Federkräfte entnommen werden.

Tabellenblatt Q-Typ1, Q-Typ2, Q-Typ3

In den Tabellenblättern „Q-Typ1“ bis „Q-Typ2“ sind umfangreiche Informationen zu

den Querschnittswerten des gewählten Querschnitts aufgeführt.

Tabellenblatt K-Matrix, G-Matrix

In den Tabellenblättern „K-Matrix“ und „G-Matrix“ befinden sich die Zahlenwerte

der Steifigkeitsmatrix K, der geometrischen Steifigkeitsmatrix G und die

Lastvektoren nach Theorie I. und II. Ordnung, sofern diese Option im Eingabeblatt

ausgewählt wurde. Die Ausgabe ist auf maximal 30 Stabelemente beschränkt. Eine

größere Anzahl an Elementen sollte daher nicht gewählt werden, falls eine Ausgabe

gewünscht ist.


5 Berechnungsbeispiele

5.1 Vorbemerkung

In den Kapiteln 1 und 2 werden der Leistungsumfang sowie die theoretischen

Grundlagen des Programms FE-Rahmen erläutert. In den Kapiteln 3 und 4 folgen

eine detaillierte Beschreibung der Eingabe von System- und Berechnungsparametern

sowie eine Beschreibung der wichtigsten Aspekte der Ausgabe der Ergebnisse. Zur

Veranschaulichung von FE-Rahmen werden in diesem Kapitel 2 Berechnungs-

beispiele gezeigt:

Tragfähigkeitsnachweis eines ebenen Zweigelenkrahmens

Tragfähigkeitsnachweis und Stabilitätsuntersuchung eines ebenen einhüftigen Rahmens mit Pendelstütze

Bei beiden Systemen handelt es sich seitlich verschiebliche Rahmen mit gelenkigen

Fußpunkten und zumindest einem biegesteifen Riegel-Stützen-Anschluss. Seitlich

verschiebliche Rahmen mit gelenkigen Fußpunkten stellen eine häufige Konstruktion

im Stahlbau dar. Der biegesteife Riegel-Stützen-Anschluss ermöglicht neben dem

Lastabtrag vertikaler Lasten auch die Aufnahme horizontaler Lasten.

Die gezeigten Beispiele sollen den Umfang des Programms zeigen und die Eingabe

von baustatischen Systemen in FE-Rahmen verdeutlichen. Der Fokus liegt dabei auf

der Berechnung und Nachweisführung mit FE-Rahmen. Da die Beispiele dem Buch

„Stahlbau - Teil 1“ [4] entnommen sind, sind dort weitere Informationen zu den

Berechnungsbeispielen zu finden.

Die Ergebnisse der Berechnungen befinden sich auf den Tabellenblättern, die in

Kapitel 4 erläutert wurden. Zur Begrenzung des Umfangs werden hier nur

ausgewählte Teile der Ausgabe wiedergegeben.

5.2 Zweigelenkrahmen

In Bild 5.1 ist das baustatische System des untersuchten Zweigelenkrahmens dar-

gestellt. Der Zweigelenkrahmen wird in der Ebene untersucht und mittels Ersatz-

imperfektionsverfahrens wird der Nachweis der ausreichenden Tragfähigkeit geführt.

Hierzu werden Ersatzimperfektionen angesetzt, die Schnittgrößen nach Theorie II.

Ordnung bestimmt und anschließend die Querschnittstragfähigkeit nachgewiesen.

Das Berechnungsbeispiel ist Kapitel 2.10.10.2 [4] entnommen. Weitere Einzelheiten

sind dort zu finden.


Bild 5.1 Baustatisches System des Zweigelenkrahmens

Es wird folgende Lastfallkombination untersucht, die aus Eigengewicht, Schnee- und

Windlasten resultiert:

qv = 31,5 kN/m

qh1 = 2,0 kN/m

qh2 = 1,3 kN/m

Die zu berücksichtigenden Imperfektionen werden gemäß [1] als Stützenschief-

stellung angesetzt. Der Wert für die Schiefstellung ergibt sich zu 0 = 1/200 ∙ h ∙ m

= 1/283 mit h = 0,816 und m = 0,866. Zur Berücksichtigung der Schiefstellung als

Vorverformung in FE-Rahmen wird die Kopfpunktverschiebung w0 der Stiele

berechnet:

w0 = 600/283 = 2,12 cm

Die Berechnung des Rahmensystems mit FE-Rahmen nach Theorie II. Ordnung

ergibt einen relativ großen Verzweigungslastfaktor (1. positiven Eigenwert) von

cr = 10,95. Der Einfluss der Theorie II. Ordnung ist daher als gering anzusehen, s.

Kapitel 7.1 [4].

Der mit den Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung geführte Nachweis der

Querschnittstragfähigkeit ergibt mit einer Ausnutzung von 101,5 % eine leichte

Überschreitung im Riegel in der rechten Rahmenecke.

Gemäß DIN EN 1993-1-1 [1] kann der Einfluss der Querkraft vernachlässigt werden

wenn gilt VEd < 0,5 ∙ Vpl,Rd. Diese Bedingung ist an der Stelle der Überschreitung ein-

gehalten: 195,65 kN < 0,5 ∙ 558,1 kN. Der Nachweis der Querschnittstragfähigkeit

kann somit mit der Interaktionsbedingung für einachsige Biegung und Normalkraft

erfolgen, s. Tabelle 5.1.


Tabelle 5.1 N-My-Interaktionen für doppeltsymmetrische I-Querschnitte gemäß Tabelle 5.2a [4]

Baupraktisch genaue Bedingungen (Walzprofile: 99,89 bis 100,24%)

0 NEd Nw,Rd = tw · hw · fy,Rd: 2Ed

y,Ed pl,y,Rdw y,Rd

NM M

4 t f

Nw,Rd < NEd Npl,Rd: pl,Rd Edy,Ed pl,Rd Edy,Rd

N NhM N N

2 4 b f

Hinweis: Für NEd und My,Ed stets Absolutwerte einsetzen.

Da das Riegelprofil HEA 320 der Stahlgüte S 235 mindestens der Querschnittsklasse

2 zugeordnet werden kann, s. Tabelle 2.14 [4], kann mit der N-My-Interaktion der

Nachweis der ausreichenden Querschnittstragfähigkeit geführt werden.

N = 48,90 kN < 0,90 31,0 2 1,55 23,5 1,1 = 536,4 kN

2

y

38260 50,6M = 33474 kNcm < = 34749 kNcm

1,1 4 0,90 23,5 1,1

Der Nachweis der Querschnittstragfähigkeit ist damit erfüllt.

Durch die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung unter

Berücksichtigung der geometrischen Ersatzimperfektionen und dem damit geführten

Nachweis der Querschnittstragfähigkeit ist die Stabilität des Rahmens in der Ebene

ausreichend erfasst. Ergänzende Stabilitätsnachweise mit Abminderungsfaktoren sind

nicht erforderlich. Allerdings wird das Biegeknicken senkrecht zur Ebene und das

Biegedrillknicken an dieser Stelle nicht untersucht. Für die Nachweise der

räumlichen Stabilität des Rahmens und seiner Bauteile sind weitere Nachweise zu

führen. Diese können beispielsweise mit dem RUBSTAHL-Programm FE-STAB

geführt werden. Hinweise zum weiteren Vorgehen können den Abschnitten 11.5.4

und 11.5.5 [4] entnommen werden.


Anmerkung: Die Werte der Schnittgrößen wurden manuell eingefügt.


5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze

Das Beispiel zeigt die Berechnung eines einhüftigen Rahmens mit Pendelstütze in der

Rahmenebene. Das statische System mit den gewählten Querschnitten und den

Belastungen ist in Bild 5.2 dargestellt. Die gewählten Querschnitte können gemäß

2.14 [4] mindestens der Querschnittsklasse 2 zugeordnet werden. Weitere Einzel-

heiten zu dem Beispiel können Kapitel 2.10.10.3 [4] entnommen werden.

Bild 5.2 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze

Durch das Gelenk zwischen der Pendelstütze und dem einhüftigem Rahmen entstehen

zwei Teilsysteme, die unabhängig voneinander ausknicken. Die Bauteile sind in

unterschiedlicher Intensität stabilitätsgefährdet. Es müssen daher beide Teilsysteme

separat bezüglich Biegeknicken untersucht werden.

Verzweigungslastfaktoren und Knickbiegelinien

Eine Berechnung des Systems nach Theorie II. Ordnung ergibt den kleinsten

positiven Eigenwert cr = 3,39. Die zugehörige Eigenform zeigt ein Knicken des

Rahmens und die Pendelstütze bleibt gerade. Der zweite positive Eigenwert liefert

cr = 6,92 und die zugehörige Eigenform zeigt das Knicken der Pendelstütze. Der ein-

hüftige Rahmen verformt sich dabei nicht.

Einhüftiger Rahmen

Zum Berechnung des Rahmens werden die in Bild 5.2 dargestellten Vorverdrehungen

als geometrische Ersatzimperfektionen des Rahmens angesetzt. Mit den ermittelten

Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung wird der Querschnittsnachweis geführt. Der

Nachweis mit dem Teilschnittgrößenverfahren zeigt eine maximale Auslastung des


Rahmens von 97,8 % in der Mitte des Rahmenriegels. Es liegt somit eine aus-

reichende Tragfähigkeit des Rahmens vor.

Pendelstütze

Die Pendelstütze kann direkt in FE-Rahmen mit dem Ersatzimperfektionsverfahren

nachgewiesen werden, so dass auf eine separate Ermittlung von Abminderungs-

faktoren verzichtet werden kann. Für den Stabilitätsfall Biegeknicken um die starke

Achse und den Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit mittels TSV wird

gemäß Tabelle 7.1 [4] eine parabelförmige Vorkrümmung w0 = L/250 = 400/250 =

1,60 cm in Feldmitte der Stütze angesetzt. Der so geführte Nachweis zeigt eine

ausreichende Tragfähigkeit der Pendelstütze.


Anmerkung: Die Werte der Schnittgrößen wurden manuell eingefügt.

Literatur

[1] DIN EN 1993-1-1 (12/10), Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den

Hochbau; nationaler Anhang (12/10)

[2] Kindmann, R.; Frickel, J.: Elastische und plastische Querschnittstragfähigkeit. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2002

[3] Kindmann, R., Kraus, M.: Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2007

[4] Kindmann, R., Krüger, U.: Stahlbau - Teil 1: Grundlagen, 5. Auflage. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2013

[5] Kindmann, R., Laumann, J., Kraus, M.: Computerorientierte Berechnungen und Tragsicherheitsnachweise im Stahlbau. Veröffentlichung des Lehrstuhls

für Stahl- und Verbundbau, Ruhr-Universität Bochum, Bochum 2005

[6] Kindmann, R., Uphoff, H.: Berechnungen mit den RUBSTAHL-Programmen. FE-STAB, Tragfähigkeit und Stabilität von Stäben bei zweiachsiger Biegung

mit Normalkraft und Wölbkrafttorsion. Veröffentlichung des Lehrstuhls für

Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum 2014

[7] Schwarz, H. R.: Methode der finiten Elemente, 3. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1991

AHMEN SYSTEMBERECHNUNGEN FÜR EBENE TAB ......Rolf Kindmann Henning Uphoff FE-RAHMEN...

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