10 Der Hauptsatz über endlicheabelsche Gruppen

Übersicht10.1 Der Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10.2 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

10.3 Die zweite Version des Hauptsatzes * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Das Ziel dieses Kapitels ist es, die endlichen abelschen Gruppen zu klassifizieren.Wir zeigen, dass jede endliche abelsche Gruppe inneres direktes Produkt zyklischerGruppen ist, genauer: Ist G eine endliche abelsche Gruppe, so gibt es nicht not-wendig verschiedene Primzahlen p1, . . . , pr und natürliche Zahlen ν1, . . . , νr, so dassG ∼= Zp

ν11

× · · · × Zpνrr. Wir erreichen eine vollständige Übersicht über alle endlichen

abelschen Gruppen.

10.1 Der Hauptsatz

Nach Satz 8.6 ist jede endliche abelsche Gruppe G direktes Produkt ihrer p -Sylowgruppen: G = P1⊗· · ·⊗Pk. Daher zerlegen wir zuerst die abelschen p -Gruppen.

10.1.1 Zerlegung von p -GruppenDas folgende Lemma besagt, dass nichtzyklische abelsche p -Gruppen mindestens zweiUntergruppen der Ordnung p besitzen.

Lemma 10.1Eine endliche abelsche p-Gruppe, die nur eine Untergruppe der Ordnung p besitzt, istzyklisch.

Beweis: Es sei G eine abelsche p -Gruppe der Ordnung pn. Wir zeigen die Behaup-tung mit vollständiger Induktion nach n. Im Fall n = 1 folgt die Behauptung ausLemma 3.12. Es sei nun n ≥ 2, und G besitze nur eine Untergruppe P der Ordnungp. Dann hat der Endomorphismus ϕ : x �→ xp von G den Kern P , sodass ϕ(G) ∼= G/P

C. Karpfinger, K. Meyberg, Algebra, DOI 10.1007/978-3-8274-3012-0_11,© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

116 10 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen

nach dem Homomorphiesatz 4.10, also |ϕ(G)| = pn−1. Wegen Korollar 8.2 (Satz vonCauchy) und der Voraussetzung ist P die einzige Untergruppe der Ordnung p vonϕ(G) ≤ G. Nach Induktionsvoraussetzung ist ϕ(G) daher zyklisch, ϕ(G) = 〈ϕ(a)〉 fürein a ∈ G. Es folgt o(ϕ(a)) = o(ap) = pn−1, also o(a) = pn, sodass G = 〈a〉.

In einer abelschen p -Gruppe kann stets ein direkter Faktor abgespalten werden, letzt-lich erhält man so per Induktion eine gewünschte Zerlegung:

Lemma 10.2Es seien G eine abelsche p-Gruppe und a ∈ G ein Element mit maximaler Ordnung.Dann existiert eine Untergruppe U ≤ G mit G = 〈a〉 ⊗ U .

Beweis: Wir beweisen die Behauptung mit vollständiger Induktion nach |G|. Im FallG = 〈a〉 sei U := {e}. Im Fall G = 〈a〉 ist G nicht zyklisch. Damit existiert nach denLemmata 5.2 und 10.1 ein P ≤ G mit |P | = p und 〈a〉 ∩ P = {e}. Der kanonischeEpimorphismus π : G → G/P ist daher nach dem Monomorphiekriterium 2.12 auf 〈a〉injektiv. Wegen Lemma 3.6 ist aP somit ein Element maximaler Ordnung von G/P .Es gilt |G/P | = |G|

p < |G|. Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein V ≤ G/P mitG/P = 〈aP 〉 ⊗ V . Für U := π−1(V ) gilt

π(〈a〉 · U) = 〈aP 〉 · V = G/P .

Wegen P ⊆ U folgt G = π−1(〈aP 〉 · V ) = 〈a〉 · U · P = 〈a〉 · U .Nun ermitteln wir 〈a〉 ∩ U : Für x ∈ 〈a〉 ∩ U gilt π(x) = xP ∈ 〈aP 〉 ∩ V = {P} mitdem neutralen Element P in G/P . Es folgt x ∈ 〈a〉 ∩ P = {e}, d. h. x = e. Folglichgelten G = 〈a〉 · U und 〈a〉 ∩ U = {e}, das besagt G = 〈a〉 ⊗ U .

Nun erhalten wir die gewünschte Zerlegung für p -Gruppen:

Korollar 10.3Jede endliche abelsche p-Gruppe G ist direktes Produkt

G = 〈a1〉 ⊗ · · · ⊗ 〈ar〉

zyklischer Gruppen mit o(a1) ≥ o(a2) ≥ · · · ≥ o(ar).Das r-Tupel (o(a1), o(a2), . . . , o(ar)) ist hierdurch eindeutig festgelegt.

Beweis: Die Existenz einer solchen Zerlegung folgt induktiv mit Lemma 10.2. ZurEindeutigkeit : Mit dem Endomorphismus ϕ : x �→ xp von G erhält man, falls o(ai) > p

für i = 1, . . . , k und o(ai) = p für i = k + 1, . . . , r gilt, ϕ(G) = 〈ap1〉 ⊗ · · · ⊗ 〈apk〉.Es gilt o(api ) = o(ai)/p für i = 1, . . . , k und |G/ϕ(G)| = pr. Folglich ist r durch G

festgelegt. Wir argumentieren mit vollständiger Induktion nach |G|: Es sind die Zahlenk und o(ai)/p für i = 1, . . . , k eindeutig durch ϕ(G) und damit durch G eindeutigbestimmt. Das liefert die Behauptung.

10.2 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen 117

10.1.2 Endliche abelsche Gruppen

Wir verallgemeinern die Zerlegung von endlichen abelschen p -Gruppen auf beliebigeendliche abelsche Gruppen. Der Satz stammt von Frobenius und Stickelberger 1879:

Satz 10.4 (Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen)Jede endliche abelsche Gruppe G = {e} ist direktes Produkt zyklischer Untergruppenvon Primzahlpotenzordnung = 1. Sind

G = 〈a1〉 ⊗ · · · ⊗ 〈ar〉 = 〈b1〉 ⊗ · · · ⊗ 〈bs〉

zwei derartige Darstellungen, so gilt r = s und die Elemente bi können so umnumme-riert werden, dass o(ai) = o(bi), d. h. 〈ai〉 ∼= 〈bi〉 für i = 1, . . . , r gilt.

Beweis: Wegen Satz 8.6 (b) ist G direktes Produkt ihrer Sylowgruppen P1, . . . , Pk,d. h. G = P1 ⊗ · · · ⊗ Pk. Die Existenz einer Zerlegung der Form

(∗) G = 〈a1〉 ⊗ · · · ⊗ 〈ar〉

folgt daher mit Korollar 10.3. Ist pi ein Primteiler von |G|, so enthält die pi-Sylowgruppe Pi von G nach Satz 8.6 (a) genau die Elemente von G, deren OrdnungenPotenzen von pi sind. Sind U

(i)1 , . . . , U

(i)ki

diejenigen Faktoren in (∗) mit pi | |U (i)j |, so

folgt|U (i)

1 ⊗ · · · ⊗ U(i)ki

| = |Pi| , also U(i)1 ⊗ · · · ⊗ U

(i)ki

= Pi .

Die Eindeutigkeitsaussage folgt daher ebenfalls mit Korollar 10.3.

Vorsicht. Im Allgemeinen ist 〈ai〉 = 〈bi〉 nicht erreichbar. So gilt etwa für dieKlein’sche Vierergruppe V = 〈a〉 ⊗ 〈b〉 = 〈b〉 ⊗ 〈c〉 = 〈c〉 ⊗ 〈a〉.

10.2 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen

Nach dem Hauptsatz 10.4 über endliche abelsche Gruppen ist jede solche Gruppeinneres direktes Produkt zyklischer Normalteiler. Mithilfe von Ergebnissen frühererKapitel erhalten wir eine vollständige Übersicht über alle endlichen abelschen Gruppen.

10.2.1 Der Typ einer endlichen abelschen Gruppe

Es sei G = 〈a1〉 ⊗ · · · ⊗ 〈ar〉 eine Darstellung der endlichen abelschen Gruppe G mitden Untergruppen 〈a1〉, . . . , 〈ar〉 von Primzahlpotenzordnung = 1, etwa o(ai) = pνi

i

mit Primzahlen pi und νi ∈ N, i = 1, . . . , r. Wir ordnen die pi der Größe nach, undbei gleichen Primzahlen pi = pi+1 wird die höhere pi -Potenz zuerst gezählt, d. h.

(∗) p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ pr ; pi = pi+1 ⇒ νi ≥ νi+1 .

118 10 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen

Das bei dieser Anordnung nach dem Hauptsatz 10.4 durch G eindeutig bestimmte r-Tupel (pν1

1 , . . . , pνrr ) nennt man den Typ von G. Wegen 〈ai〉 ∼= Zp

νii

(vgl. Satz 5.3) füralle i = 1, . . . , r gilt für G = 〈a1〉 ⊗ · · · ⊗ 〈ar〉:

G ∼= Zpν11

× · · · × Zpνrr

.

Die Gruppe G ist also bis auf Isomorphie durch ihren Typ festgelegt. Isomorphe end-liche abelsche Gruppen haben offenbar denselben Typ. Umgekehrt gibt es zu jedemr-Tupel τ = (pν1

1 , . . . , pνrr ) mit wie in (∗) angeordneten Primzahlpotenzen = 1 bis auf

Isomorphie genau eine abelsche Gruppe vom Typ τ , nämlich Zpν11

× · · · ×Zpνrr. Damit

ist eine perfekte Klassifizierung der endlichen abelschen Gruppen erzielt.

10.2.2 Anzahlformel und Partitionen natürlicher Zahlen

Es sei ν ∈ N. Ein k-Tupel (α1, . . . , αr) natürlicher Zahlen α1, . . . , αr heißt eine Par-tition von ν, falls gilt

α1 ≥ α2 ≥ · · · ≥ αr ≥ 1 , α1 + · · ·+ αr = ν .

Die Menge aller Partitionen einer natürlichen Zahl ν bezeichnen wir mit P (ν).

Beispiel 10.1Es gilt etwa P (1) = {(1)}, P (2) = {(1, 1) , (2)}, P (3) = {(1, 1, 1) , (2, 1) , (3)},P (4) = {(1, 1, 1, 1) , (2, 1, 1) , (2, 2) , (3, 1) , (4)}. Und weiter |P (6)| = 10 undbeispielsweise |P (200)| = 3972999029388.

Bemerkung. Die Anzahl der Partitionen einer natürlichen Zahl ν nimmt mit ν enormzu. In der analytischen Zahlentheorie werden Abschätzungen für |P (ν)| für große ν

ermittelt.

Ist G eine endliche abelsche Gruppe mit |G| = pν mit ν ∈ N und einer Primzahlp, so liefert der Typ τ = (pα1 , . . . , pαr ) von G nach Abschnitt 10.2.1 die Partition(α1, . . . , αr) von ν. Offenbar ist die Abbildung

(pα1 , . . . , pαr ) �→ (α1, . . . , αr)

eine Bijektion von der Menge der Typen von G auf die Menge P (ν) der Partitionenvon ν. Folglich existieren z.B. 3972999029388 nichtisomorphe abelsche Gruppen derOrdnung 2200.Ist nun allgemeiner G eine abelsche Gruppe der Ordnung n = pν1

1 · · · pνrr mit verschie-

denen Primzahlen p1, . . . , pr, so ist offenbar die Abbildung

(pα

(1)1

1 , . . . , pα(1)

r11 , p

α(2)1

2 , . . . , pα(2)

r22 , . . . , p

α(k)1

k , . . . , pα(k)

rk

k ) �→

�→ ((α(1)1 , . . . , α(1)

r1), . . . , (α

(k)1 , . . . , α(k)

rk))

eine Bijektion von der Menge der Typen von G auf die Menge P (ν1)× · · · × P (νk).

10.3 Die zweite Version des Hauptsatzes * 119

Lemma 10.5Die Anzahl nichtisomorpher abelscher Gruppen der Ordnung pν1

1 · · · pνrr mit verschie-

denen Primzahlen p1, . . . , pr ist |P (ν1)| · · · |P (νr)|.

Beispiel 10.2Es sei n = 360 = 23 · 32 · 5. Die möglichen Typen der Gruppen der Ordnung 360 sind

(23, 32, 5), (23, 3, 3, 5), (22, 2, 32, 5), (22, 2, 3, 3, 5), (2, 2, 2, 32, 5), (2, 2, 2, 3, 3, 5).

Es gibt also bis auf Isomorphie genau 6 abelsche Gruppen der Ordnung 360. Wir gebendiese Isomorphietypen explizit an:

G1 := Z8 × Z9 × Z5 , G2 := Z8 × Z3 × Z3 × Z5 ,

G3 := Z4 × Z2 × Z9 × Z5 , G4 := Z4 × Z2 × Z3 × Z3 × Z5 ,

G5 := Z2 × Z2 × Z2 × Z9 × Z5 , G6 := Z2 × Z2 × Z2 × Z3 × Z3 × Z5 .

10.3 Die zweite Version des Hauptsatzes *

Durch ein Umsortieren und Zusammenfassen von Faktoren der Zerlegung einer endli-chen abelschen Gruppe erhalten wir eine weitere Version des Hauptsatzes.

10.3.1 Die zweite Fassung

Die endliche abelsche Gruppe G vom Typ τ = (pν11 , . . . , pνr

r ) sei als direktes Produktentsprechender zyklischer Untergruppen gegeben, d. h.

(∗) G = 〈a1〉 ⊗ · · · ⊗ 〈ar〉 mit o(ai) = pνi

i .

Es seien q1, . . . , qs die verschiedenen Primzahlen, die in τ vorkommen und μi füri = 1, . . . , s jeweils ein maximaler Exponent von qi in τ .Wir fassen in der Zerlegung (∗) von G die Untergruppen 〈aj〉 mit o(aj) = qμi

i zu einemFaktor C1

∼= Zqμ11

×· · ·×Zqμss

zusammen. Es gilt G = C1⊗B, wobei C1 nach Korollar6.11 zyklisch von der Ordnung qμ1

1 · · · qμss ist. Und B ist das direkte Produkt der übrigen

zyklischen Untergruppen von (∗). Wir verfahren nun mit B ebenso: Umsortieren undZusammenfassen einiger zyklischer Faktoren zur zyklischen Gruppe C2 etc. Damiterhalten wir:

Satz 10.6 (Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen. 2. Fassung)Jede endliche abelsche Gruppe G = {e} ist direktes Produkt

G = C1 ⊗ · · · ⊗ Ct

120 10 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen

zyklischer Untergruppen C1, . . . , Ct = {e} mit der Eigenschaft

|Ct| | |Ct−1|, . . . , |C2| | |C1| .

Ist G = D1 ⊗ · · · ⊗ Ds eine zweite derartige Zerlegung, so gilt s = t und |Di| = |Ci|,d. h. Ci

∼= Di für i = 1, . . . , t.

Beispiel 10.3Für die Gruppen G1, . . . , G6 aus Beispiel 10.2 erhalten wir:

G1∼= Z360 , G2

∼= Z120 × Z3 ,

G3∼= Z180 × Z2 , G4

∼= Z60 × Z6 ,

G5∼= Z90 × Z2 × Z2 , G6

∼= Z30 × Z6 × Z2 .

Bemerkung. Der Hauptsatz 10.4 über endliche abelsche Gruppen liefert eine feinsteZerlegung in direkte Faktoren, in der zweiten Fassung liefert er eine gröbste Zerlegung.

10.3.2 Invariante Faktoren abelscher Gruppen

Die Zahlen c1 := |C1|, . . . , ct := |Ct| aus Satz 10.6 heißen die invarianten Faktorenvon G. Das t -Tupel

i(G) := (c1, . . . , ct)

wird die Invariante von G genannt. Der Hauptsatz besagt in seiner zweiten Fassung

i(G) ist durch den Isomorphietyp von G eindeutig bestimmt.G ∼= Zc1 × · · · × Zct .

Umgekehrt existiert zu jedem t -Tupel i = (c1, . . . , ct) natürlicher Zahlen c1, . . . , ct > 1

mit ct | ct−1 · · · c2 | c1 eine endliche abelsche Gruppe mit der Invarianten i, nämlichZc1 × · · · × Zct .

Beispiel 10.4Die Invarianten der abelschen Gruppen der Ordnung 360 sind

(30, 6, 2) , (90, 2, 2) , (60, 6) , (180, 2) , (120, 3) , (360) .

Aufgaben

10.1 Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle endlichen abelschen Gruppen der Ordnung 36.

10.2 Wie viele nichtisomorphe abelsche Gruppen der Ordnung 26 · 34 · 52 gibt es?

10.3 Bestimmen Sie die Automorphismengruppe A der zyklischen Gruppe Z40 bzw. Z35 undschreiben Sie A als A ∼= Zd1

× Zd2× . . .× Zdr

mit di | di+1 für i = 1, . . . , r − 1.