Allgemeine Mineralogie -Kristallographie

Diamant

Bravaisgitter• Aus den fünf 2-D Gittern können durch

Translation in die dritte Dimension insgesamt 14 Bravaisgitter erzeugt werden

• Einteilung der Bravais Gitter in sechs Gruppen basierend auf der Form der Einheitszelle

• triklin• monklin• orthorhombisch• tetragonal• Hexagonal• trigonal rhomboedrisch• kubisch

KristallographischeKoordinatensysteme

Gitterkonstanten: a,b,c: Einheitslängen auf den Koordinatenahcsen a,b,c

Winkel: α,β,γ

Die sieben kristallographischenKoordinatensysteme

Koordinatensystem Gitterkonstanten Winkel

Triklin a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ

Monoklin a ≠ b ≠ c α = γ = 90° ≠ β

Orthorhombisch a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90°

Tetragonal a = b ≠ c α = β = γ = 90°

Hexagonal/Trigonal(rhomboedrisch)

a = b = c α = β = γ ≠ 90°

Hexagonal a = b ≠ c α = β = 90°, γ = 120°

Kubisch a = b = c α = β = γ = 90°

Die 32 3-D Punktgruppen

Triklin: beliebig: 1 1 Monoklin: [010]: 2 m 2/m Orthorhombisch: [100] [010] [001] 2 2 2 m m 2 2/m 2/m 2/m Tetragonal: [001] [100] [110] 4 4 4/m 4 m m 4 2 2 4 2 m 4/m 2/m 2/m

Trigonal: [001] [100] 3 3 3 m 3 2 3 2/m Hexagonal: [001] [100] [11 0] 6 6 6/m 6 m m 6 2 2 6 2 m 6/m 2/m 2/m Kubisch: [100] [111] [110] 2 3 2/m 3 4 3 2 4 3 m 4/m 3 2/m

Darstellung von Flächen:Weiss-Indizes

• Ebene Schnitt mit Koordinatenachsen a,b,c in den Punkten m00, 0n0 und 00o

• Orientierung der Ebene gegeben durch die in runde Klammern gesetzten Achsenabschnitte (mno) Weiss-Indizes

Weiss Indizes: (232)

Miller Indizes

• Bestimmung der Weiss Indizes (mno)• Bildung der reziproken Werte 1/m, 1/n, 1/o• Bestimmung des kleinsten gemeinsamen

Nenners: no/mno, mo/mno, mn/mno• Miller-Indizes: h = no, k = mo, l = mn ⇒

(hkl).

Miller Indizes

• Weiss Indizes: (232)

• Reziproke Weiss-Indizes1/2, 1/3. 1/2

• Kleinster gemeinsamer Nenner: 3/6, 2/6, 3/6

• Miller-Indizes: (323).

Miller Indizes• Beschreibung einer Ebene mit Miller-Indizes - äquivalent

zur Darstellung mit Flächennormale H, • h,k,l sind die Vektorkomponenten der Flächennormalen• Weiss-Indizes können von Miller-Indizes nicht ohne

explizite Angabe unterschieden werden• In der kristallographischen Praxis werden praktisch

ausschliesslich Miller-Indizes verwendet

Miller Indizes

Stereographische Projektion- Man lege eine Kugel um das Objekt (Kristall).- Man konstruiere die Flächennormalenvektoren auf die

Kristallflächen.- Die Durchstosspunkte der Flächennormalenvektoren auf

der Kugel bilden die Flächenpole- Man verbinde die Flächenpole der ‚Nordhalbkugel’ mit

dem Südpol und die Flächenpole der Südhalbkugel mit dem Nordpol der Projektionskugel

- Die Projektion der Flächenpole auf die Äquatorialebene entlang den Verbindungslinien ergibt die stereographische Projektion.

- Die Projektionen der Nordhalbkugel werden mit einem Punkt ( ) gekennzeichnet, diejenigen der Südhalbkugel mit einem Kreis ( )

Stereographische Projektion

Stereographische Projektion

Wulf‘sches Netz

Längenkreise

Breitenkreise

60°

Stereographische Projektion

Stereographische Projektion

3-D Punktgruppen

Die 230 Raumgruppen• Die 32 Punktgruppen geben die makroskopisch an

Kristallen unterscheidbaren Symmetriekombinationen wieder. Im atomaren Bereich kommt als weitere Symmetrieoperation die Translation hinzu.

• Translation + Spiegelebenen = Gleitspiegelebene• Translation + Drehung = Schraubenachse

• Es gibt insgesamt 230 Möglichkeiten die n-zähligenDrehachsen, die Drehinversion, Spiegelung, Gleitspiegelung und Schraubenachsen zu kombinieren

• Die 230 Raumgruppen

Gleitspiegelung und Schraubenachse

Gleitspiegelung Schraubenachse

3-D Raumgruppen

• Kombination der 32 dreidimensionalen Punktgruppen mit den 14 dreidimensionalen Translationsgittern(Bravais Gittern) ergibt 230 dreidimensionale Raumgruppen

Röntgenbeugung am Kristallgitter

Bragg‘sche Beziehungn*λ = 2 d sin δ

Atomarer Aufbau der Kristalle• Walter Friedrich und Paul Knipping, zwei von Max von

Laue angestellte Physiker weisen 1911 mittels Beugung von Röntgenstrahlen an einem Kupfersulfat den translations-symmetrischen Aufbau eines aus Atomen aufgebauten Raumgitters nach

Laue-Aufnahmen von Kupfersulfat aus der Originalpublikation von Laue. Die diskreten Interferenzmaxima beweisen die translationsperiodische Natur von Kristallen