Dissertation

Analyse und Prognosevon Zeitreihen mit Fuzzy-Daten

zur Prdiktion von Strukturantworten

zur Erlangung des akademischen GradesDoktor-Ingenieur (Dr.-Ing.)

unter der Leitung von

Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Bernd MllerInstitut fr Statik und Dynamik der Tragwerke

eingereicht am 6. Februar 2006an der Fakultt Bauingenieurwesen

der Technischen Universitt Dresden

von

Dipl.-Ing. Uwe Reuter

Kurzfassung und Thesen

Uwe Reuter Analyse und Prognose von Zeitreihen mit Fuzzy-Datenzur Prdiktion von Strukturantworten

KurzfassungIn der Arbeit werden neue Methoden zur Analyse und Prognose von Zeitreihenmit Fuzzy-Daten zur Prdiktion von Strukturantworten entwickelt. Ausgangspunktist die berlegung, da auf der Basis regelmiger Beobachtungen und Messungenan Tragwerken Kenntnisse ber die Gesetzmigkeiten des zeitlichen Verlaufs vonStrukturantworten erhalten werden knnen. In der Regel sind die Beobachtungenund Messungen durch Unschrfe gekennzeichnet. Die Bercksichtigung der Unschr-fe erfolgt durch Modellierung der Daten als Fuzzy-Gren. Damit liegen Zeitreihenmit Fuzzy-Daten vor. Die Analyse und die Prognose von Fuzzy-Zeitreihen liefernErkenntnisse ber Strukturantworten. Die Arbeit widmet sich folgenden vier The-menkomplexen:

Deskription von Zeitreihen mit Fuzzy-DatenZiel der Deskription von Zeitreihen mit Fuzzy-Daten ist es, strukturelle Merkmale(z. B. Fuzzy-Trend oder zyklische Eigenschaften) einer vorliegenden Fuzzy-Zeitrei-he zu erkennen. Deshalb wird fr die Reprsentation der einzelnen Fuzzy-Grendie lr-Diskretisierung eingefhrt. Das Problem der Halblinearitt des Raumes derunscharfen Zahlen und der damit verbundenen Schwierigkeiten bei der Darstel-lung einer unscharfen Beobachtung als Summe unscharfer Zahlen wird mit Hilfedieser neuen Reprsentation gelst. Die lr-Reprsentation erlaubt auch die Erwei-terung der klassischen deskriptiven Zeitreihenanalyse auf unscharfe Beobachtungenmit der Charakteristik Fuzziness. Unter diesen Voraussetzungen lt sich das klas-sische Komponentenmodell ebenfalls auf Zeitreihen mit Fuzzy-Gren erweitern.Zugleich wird das Erkennen und gegebenenfalls das Eliminieren (Bereinigen) derFuzzy-Trendfunktion und der Fuzzy-Zyklusfunktion mglich. Eine spezielle empiri-sche lr-Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion ermglicht Aussagen ber die Ver-teilung von Fuzzy-Zufallsgren und bildet die Grundlage fr statistische Analysenvon Fuzzy-Zeitreihen. Die neuentwickelte empirische Verteilungsfunktion ermglichtdie Reproduktion der zugrundeliegenden Fuzzy-Gren durch Monte-Carlo-Simula-tion.

Modellierung von Zeitreihen mit Fuzzy-DatenBei der Modellierung von Zeitreihen mit Fuzzy-Daten werden vorliegende Fuzzy-Zeitreihen als Realisierungen fuzzy-stochastischer Prozesse interpretiert. Hierfr wer-den fuzzy-stochastische Prozesse als Familien von (mit dem Parameter der Zeit in-dizierten) Fuzzy-Zufallsgren definiert. Fr die Reprsentation der Fuzzy-Zufalls-gren wird die lr-Diskretisierung eingefhrt. Die hierfr neuentwickelten lr-Zufallsinkremente bilden die Grundlage der vorgestellten Fuzzy-Wahrscheinlichkeits-verteilungsfunktion fr Fuzzy-Zufallsgren. Die neue Fuzzy-Wahrscheinlichkeits-verteilungsfunktion ermglicht vorteilhaft die Beschreibung von Fuzzy-Zufallsgrenund gewhrleistet die Reproduktion einer vorliegenden konkreten Stichprobe.Als spezielle fuzzy-stochastische Prozesse werden Fuzzy-Moving-Average-Prozesse,Fuzzy-Autoregressive-Prozesse, Fuzzy-Autoregressive-Moving-Average-Prozesse und

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Fuzzy-White-Noise-Prozesse eingefhrt. Die Modellierung einer vorliegenden Fuz-zy-Zeitreihe erfordert die Identifikation des zugrundeliegenden fuzzy-stochastischenProzesses und die Ermittlung der zugehrigen Parameter. In der Arbeit werden Me-thoden zur Identifikation und Parameterschtzung entwickelt. Sie basieren auf derErweiterung klassischer Verfahren auf Fuzzy-Zeitreihen und auf neuen numerischenSimulationsverfahren. Alternativ zur Modellierung von Fuzzy-Zeitreihen mit spe-zifischen Prozemodellen knnen Methoden der Knstlichen Intelligenz eingesetztwerden. Dazu werden klassische Knstliche Neuronale Netze um neuronale Lsun-gen zur Abbildung von Fuzzy-Gren erweitert.

Prognose von Zeitreihen mit Fuzzy-DatenDas Ziel der Prognose von Zeitreihen mit Fuzzy-Daten ist eine bewertete Aussageber nachfolgende, zuknftige Werte einer beobachteten Fuzzy-Zeitreihe. Grundle-gende Voraussetzung hierfr sind die Unterstellung und Anpassung eines zugrun-deliegenden fuzzy-stochastischen Prozesses. Fr die Prognose von Zeitreihen mitFuzzy-Daten werden optimale Ein- und Mehrschritt-Prognosen, Fuzzy-Prognose-intervalle und Fuzzy-Zufallsprognosen eingefhrt. Optimale Ein- und Mehrschritt-Prognosen liefern konkrete Folgewerte einer Fuzzy-Zeitreihe bei minimalem Pro-gnosefehler. Fuzzy-Prognoseintervalle geben Bereiche an, innerhalb deren die zu er-wartenden Fuzzy-Gren mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegen werden.Fuzzy-Zufallsprognosen liefern detaillierte Aussagen ber die Eigenschaften der Ver-teilung der zuknftigen Fuzzy-Zufallsgren. Fr die Prognose von Fuzzy-Zeitreihenbietet der Einsatz Knstlicher Neuronaler Netze fr Fuzzy-Gren besondere Vor-teile. Die Vorgabe eines zugrundeliegenden fuzzy-stochastischen Prozesses ist nichterforderlich.

Prognose von StrukturantwortenAls Strukturantworten werden die Reaktionen von Tragwerken auf Beanspruchungenbezeichnet. Fr die Prognose der Strukturantworten wird ein neuer wissenschaftli-cher Ansatz vorgestellt. Regelmig durchgefhrte (unscharfe) Beobachtungen undMessungen an Tragwerken werden als Fuzzy-Zeitreihe modelliert. Die Prognosender Fuzzy-Zeitreihen liefern Erkenntnisse ber zu erwartende Beobachtungen undMessungen. Aus den zu erwartenden Medaten lassen sich entweder direkt oderindirekt (unter Verwendung eines Berechnungsmodells) Aussagen ber die zuknfti-gen Strukturantworten ableiten. Die Strukturantworten knnen sowohl als optimaleEin- und Mehrschritt-Prognosen als auch als Fuzzy-Prognoseintervalle und Fuzzy-Zufallsprognosen ermittelt werden. Auf der Basis vorliegender Fuzzy-Zeitreihen las-sen sich also Erkenntnisse ber die Gesetzmigkeiten des (zuknftigen) Verlaufsder Strukturantworten gewinnen.

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Thesen1. Tragwerksstrukturen sind im Verlauf ihrer Nutzungsdauer einer Vielzahl von

Beanspruchungen ausgesetzt. Die Reaktionen eines Tragwerkes auf Beanspru-chungen werden als Strukturantworten bezeichnet. Beobachtungen und Mes-sungen an Tragwerken sind die Grundlage zur Ermittlung und Beurteilungder Strukturantworten. Zur wirklichkeitsnahen Erfassung und Bewertung vonBeobachtungen an Tragwerken mu die Unschrfe der Daten bercksichtigtwerden.

2. Unscharfe Daten resultieren aus Messungen, denen ein reellwertiges Meergeb-nis nicht zweifelsfrei zugeordnet werden kann.

3. ber einen gewissen Zeitraum regelmig durchgefhrte Beobachtungen undMessungen bilden eine Me- bzw. Zeitreihe. Durch Unschrfe gekennzeichneteBeobachtungen an Tragwerken fhren zu Zeitreihen mit unscharfen Daten.

4. Aus der Auswertung der Me- bzw. Zeitreihen mit unscharfen Daten lassensich Gesetzmigkeiten des zeitlichen Verlaufs der Beobachtungen ableiten.Unter Kenntnis der zugrundeliegenden Gesetzmigkeiten sind Prognosen deszuknftigen Verlaufs der Me- bzw. Zeitreihe mglich.

5. Unscharfe Beobachtungen werden als Fuzzy-Gren modelliert. Die Modellie-rung unscharfer Daten, die ber einen gewissen Zeitraum vorliegen, erfolgt alsZeitreihe mit Fuzzy-Daten.

6. Die lr-Diskretisierung ermglicht die alternative Reprsentation von Fuzzy-Gren und bildet die Voraussetzung der numerischen Analyse- und Progno-semethoden fr Zeitreihen mit Fuzzy-Daten.

7. Mit Hilfe der lr-Diskretisierung von Fuzzy-Gren gelingt die Deskriptionvon Zeitreihen mit Fuzzy-Daten durch Erweiterung der Methoden der klassi-schen deskriptiven Zeitreihenanalyse um Fuzziness.

8. Eine Zeitreihe mit Fuzzy-Daten wird als Realisierung des zugrundeliegen-den fuzzy-stochastischen Prozesses modelliert. Ein fuzzy-stochastischer Prozewird als Familie von (mit dem Parameter der Zeit indizierten) Fuzzy-Zufalls-gren definiert.

9. Fuzzy-Zufallsgren und fuzzy-stochastische Prozesse lassen sich mit Hilfe derlr-Diskretisierung ebenfalls alternativ reprsentieren. Damit gelingt die Er-weiterung des klassischen ARMA-Prozemodells auf das Fuzzy-ARMA-Pro-zemodell. Fuzzy-Zufallsgren werden mit der neuen Fuzzy-Wahrscheinlich-keitsverteilungsfunktion Typ II eineindeutig beschrieben.

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10. Die Modellierung einer Zeitreihe mit Fuzzy-Daten als Realisierung eines fuz-zy-stochastischen Prozesses ermglicht die Prognose fr nachfolgende Fuzzy-Gren der Zeitreihe. Die Prognose von Zeitreihen mit Fuzzy-Daten erfolgt alsoptimale Prognose, Fuzzy-Prognoseintervall und Fuzzy-Zufallsprognose.

11. Anhand optimaler Prognosen sind Aussagen ber den zu erwartenden zuknf-tigen Verlauf einer Zeitreihe mit Fuzzy-Daten mglich. Fuzzy-Prognoseinter-valle geben Bereiche an, innerhalb deren die zu erwartenden Fuzzy-Grenmit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegen werden. Fuzzy-Zufallsprogno-sen liefern detaillierte Aussagen ber die Eigenschaften der Verteilung vonFuzzy-Zufallsgren im Prognosezeitraum.

12. Zur Analyse und Prognose von Zeitreihen mit Fuzzy-Daten knnen ebensoKnstliche Neuronale Netze fr Fuzzy-Gren eingesetzt werden. KnstlicheNeuronale Netze fr Fuzzy-Gren sind in der Lage, die Gesetzmigkeiten ei-ner vorliegenden Zeitreihe mit Fuzzy-Daten zu erlernen, den zugrundeliegen-den fuzz