Aufbau der Materie IIFestkörperphysik für LA nicht

vertieftneue Folien WS 09/10

Literaturempfehlungen1. Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik

(Oldenbourg Verlag)2. Konrad Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik

(Teubner Verlag)3. Harald Ibach & Hans Lüth: Festkörperphysik.

Einführung in die Grundlagen (Springer Verlag)4. N. W. Ashcroft, N. D. Mermin: Festkörperphysik

(Oldenbourg Verlag)

Warum Festkörperphysik?

Weil unsere Welt wesentlich ausFestkörpern bzw Flüssigkeiten besteht

Bisher: Atom- und Molekülphysik. Bei hoherTemperatur, bzw niedriger Dichte, ist allesgasförmig. Kann zB Gasplaneten, Sterne, … beschreiben. Auf riesigen Längen- und Zeitskalen komplexe Strukturen möglich, auf kleinen Skalen “langweilig”

Was kann die FK-Physikerklären?

• Warum sind manche Stoffe elektrischleitfähig, andere nicht?

• Warum sind manche Stoffe magnetisch?• Warum gibt es durchsichtige Materialien?• Wie wird Wärme gespeichert und

transportiert?• Warum dehnen sich Festkörper bei

Erwärmung aus?• Wie hart bzw. weich ist ein Material?

Worauf basieren die Erklärungen?

• wichtigstes Hilfsmittel: Kristalline Ordnungerleichtert Beschreibung

• Elektronische Eigenschaften (Leitfähigkeit, Lichtabsorption, …) aus Bandstruktur und Fermistatistik

• Phononen (Gitterschwingungen) gebenAuskunft über thermische Leitfähigkeit, Schallausbreitung, Härte, …

• und vieles mehr!

Millersche Indizes

• Beste Definition über reziprokes Gitter, siehespäter: (hkl)⊥Ghkl

• Im kubischen System gilt außerdem (hkl)-Ebene⊥ [hkl]-Richtung

• Begründung: Ebenengleichung kann man so schreiben: n ⋅ r = const

• Die Vektoren n und r beziehen sich auf die jeweilige Basis, die i. allg. nicht orthonormal ist, beim kubischen Gitter aber schon.

Millersche IndizesBei nicht-orthonormalen Einheitsvektoren steht dann n nicht mehr senkrecht auf der zugehörigen EbeneBeispiel: strecke 2D Quadratgitter zum 2D Rechteckgitter

Beide Ebenen haben dieselben Millerschen Indizes, weil die Achsenabschnittegleich sind. Im rechten Bild steht aber die Ebene nicht mehr senkrecht auf der Kristallrichtung mit gleichem Namen

Unterschied Beugung 3D, 2D

Optik: Beugungsgitter werden mit Licht bestrahltMan sieht immer ein Beugungsbild, egal unter welchem Winkel das Licht einfällt

Kristallstruktur: Röntgenreflex erscheint nur bei ausgewählten Winkeln

Grund: reziprokes Gitter in 3D besteht aus diskreten Punkten, bei einem 2D Objektwird die dritte Dimension durch kontinuierliche “Stäbe” im reziproken Raum ergänzt(Fouriertransformierte einer δ-Funktion)

Phasenproblem in derRöntgenstrukturanalyse

• Man kann nur die Intensität der Strahlungmessen, nicht die Phase

• Keine inverse Fouriertransformationmöglich

• verschiedene Strukturen können dasselbeBeugungsbild ergeben

• Nimm hypothetische Struktur an, berechneBeugungsbild und vergleiche mitExperiment

Beispiel in 1D

0 10 20-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Zeit0 10 20

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Zeit

1 2 3 4 5 60

90

1800.0

0.5

1.01 2 3 4 5 6

Am

plitu

de

Pha

se

Frequenz 1 2 3 4 5 6

0

90

1800.0

0.5

1.01 2 3 4 5 6

Am

plitu

de

Pha

se

Frequenz

Ionenbindung

• setzt mindestens zwei verschiedeneAtome voraus

• z.B. eine Atomsorte gibt ein Elektron ab, die andere nimmt es auf, um geschlossene Schalen zu erreichen

• ist dann möglich, wenn die Ionisierungsenergie der einen Sortekleiner als die Elektronenaffinität deranderen Sorte ist

Metallische BindungWellenfunktionen der äußeren Elektronen sind sehr weitreichend, Elektronen verteilen sich über mehrere Gitterperioden hinweg

Kovalente BindungMolekülbindung Kovalente Bindung im Festkörper

Ursache des Potentials, Born-Oppenheimer-Näherung

• Im vorigen Kapitel haben wir die verschiedenenBindungstypen untersucht: alle haben eineGleichgewichtslage

• Ursache ist jeweils die Elektronenkonfiguration

• übliche Näherung (Born-Oppenheimer): Atomkernesind so schwer, daß sich die (leichten) Elektroneninstantan um die Kerne herumgruppieren Trennungvon Elektronen- und Atombewegung

Welche Schwingungen gibt es?Je mehr Atome hinzukommen, umso mehr Schwingungsmoden gibt es

zB: Kristall mit N >> 1 Atomen: 3 Translations-, 3 Rotationsfreiheitsgrade, der Rest (3N - 6 ≈ 3N) Schwingungen.

Wie ordnet man das an? Mit Hilfe von ebenen Wellen!

ZustandsdichteZahl der Zustände im Energieintervall dε:dn = D(ε) dε

Problem 1: Bisher Kristall als unendlich angenommen. Dann kann D(k) auch nicht angegeben werden

Lösung: Nimm Kristall als beliebig groß, aber endlich an. Dann gibt es nur endlich viele Zustände. Am besten mit periodischen Randbedingungen

Problem 1: D(ε) ist nicht direkt bekannt, nun aber D(k), also die Zahl der Zustände im k-Raum

Lösung: Zähle Zustände im k-Raum ab und rechne in Energien um

Problem 1: Zustandsdichte im k-Raum

Periodische Randbedingungen: Fordere, daß sich die Phononenwellenfunktionnach einer Länge L im Raum periodisch wiederholt. (Später analog: Elektronen)

Also, in 1D:

exp(ik(x + L)) = exp(ikx)

Daraus folgt: exp(ikL) = 1, und damit k = (2π/L) n, (n: ganze Zahl)

Genauso kann man in drei Dimensionen periodische Randbedingungen fordern:

kx = (2p/L) l, ky = (2p/L) m, kz = (2p/L) n, (l, m, n: ganze Zahlen)

Problem 2: von k nach εIn einer Dimension: Zustände sind äquidistant in kD(ε) folgt aus Dispersionsrelation

Jeder Zustand nimmt im k-Raumden gleichen Platz ein

Je nach Steigung der Energiedispersionergibt dies mehr oder weniger dichtliegende Zustände auf der Energieachse

2πL

In mehreren Dimensionenz.B. zwei Dimensionen, isotrope Dispersion, alle Phononen unter einer bestimmten Energie

kx

kyMan sieht: je größer |k|, desto mehr Möglichkeiten gibt es.

3 Dimensionen:

Ohne Randbedingungen sind die Lösungen ebene Wellen. Sie sind nicht normierbar:

Abhilfe: Integrationsvolumen muß endlich sein!

2 Möglichkeiten: Teilchen im Kasten oder periodische Randbedingungen

L

L

Teilchen im Kasten: Lösungen verschwinden am Probenrandnur stehende Wellen möglich

Periodische Randbedingungen: Probe setzt sich periodisch fort, laufende Wellenmöglich: näher an der Realität

kx

ky

kz

In Kugel mit Volumen 4/3 kF3π ist die Gesamtzahl der erlaubten Zustände:

( )33

232

33

4;

32 LVNkVk

FL

F ===⋅π

ππ

3/123⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

VNkF

π

kF

Anlegen des Feldes zur Zeit t = 0; Mittelpunkt der Fermi-Kugel im Ursprung des k-Raums

Nach kurzer Zeit τ gilt :

h

τδ ⋅⋅−=

Ek e

In Folge der Stöße zwischen Elektronen und Verunreinigungen, Gitterfehlern und Phononen kann

die Verschiebung der Fermi-Kugel in einem elektrischen Feld als stationärer Zustand aufrecht

erhalten werden. Der Geschwindigkeitszuwachs ist

EEkpV μτδ=

⋅⋅−===

me

mmh

Bei n Elektronen der Ladung –e pro Volumeneinheit beträgt die Stromdichte in einem konstanten

elektrischen Feld E :EEVj ⋅==−= στ

mnene

2

(Ohmsches Gesetz)

μτσ nem

ne==

2

Elektrische Leitfähigkeit:

τ ist dabei die mittlere Zeitzwischen zwei Stößen(Impulsstreuzeit).

μ = eτ/m heißt Beweglichkeit

Driftgeschwindigkeit und Fermigeschwindigkeit

Er

Fermigeschwindigkeit sehr groß: typ. 106 m/s

Driftgeschwindigkeit bei typischen Stromstärken mm/s

Wegen des Pauli-Prinzips haben die Elektronen auch bei T=0 eine hohe kinetische Energie, undvF = kF/m.

Nach Mittelung über alle Elektronen ist aber <v> = 0

Mit elektrischem Feld erhält jedes Elektron eine kleine Extra-Geschwindigkeit, die Driftgeschwindigkeit vD

Streumechanismen

Elektron-Phonon-Streuung: Widerstandsbeitrag temperaturabhängig (da Zahl der Phononen temperaturabhängig). Man findet typischerweise:

Streuung an Verunreinigungen und anderen Punktdefekten: Widerstandsbeitragρimp konzentrations- aber nur schwach temperaturabhängig:

Gesamtwiderstand: Matthiessen‘sche Regel

Die wichtigsten Mechanismen sind:

v4

v3

v2

v1

Kollision

Elektron-Elektron Streuung hat keinen Einflussauf Impulsrelaxationszeit, da der Gesamtimpuls

erhalten bleibt.e ii

m v∑ r

θD: Debyetemperatur

Der Gesamtwiderstand setzt sichaus einem konstanten Beitrag auf-grund von Streuung an Defektenund einem T-abhängigen Beitrag aufgrund von Phononstreuung zu-sammen

Widerstand von Kalium. Der unter-schiedliche Restwiderstand bei T=0ist unterschiedlichen Defektkonzen-trationen zuzuschreiben.

Bloch-TheoremDas Kristallpotential ist translationssymmetrisch. Welchen Einfluß hat das auf die Wellenfunktionen?

Schrödingergleichung

mit

(also gitterperiodisch)

Für die Wellenfunktionen gilt dann:

ist eine gitterperiodische Funktion

D.h. eine Kombination ausebener Welle und einer gitterperiodischen Funktion

Der Wellenvektor k erfüllt dannwiederum die Funktion einesImpulses, wie beim freienElektronengas

Beispiel freies Elektronengas:un,k(r)=const.

Fast freie ElektronenBisher: freie Elektronen, Kristallstruktur nicht berücksichtigt.Jetzt: betrachte schwaches Kristallpotential

Wir wissen, daß nur Lösungen in der ersten Brillouinzone berücksichtigt werden müssen.Extremfall: “Leeres” Gitter in einer Dimension

Dann sind Lösungen, die sich um einen reziproken Gittervektor unterscheiden, äquivalent.

Einziger Problemfall: Ränder der Brillouinzone

Leeres Gitter in 3DHier wurde nur die freie Elektronenparabel in allen möglichen Richtungen in die erste Brillouinzone zurückgefaltet.

Schon dieses Bild ist kompliziert, dazu kommen jeweils Energielücken an den Rändern der BZ.

Erinnerung: Kovalente BindungMolekülbindung Kovalente Bindung im Festkörper

Tight-Binding-ModellBringt man Atome näher und näher zusammen so wird die Entartung der atomaren Niveaus aufgehoben. Annäherung von N-Atomen ⇒ Aufhebung der N-fachen Entartung

Isolierte Atome Kristalle

diskrete Energieniveaus Energiebänder