Aufgaben zu Abbildungen der Ebene auf sich selbst
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Aufgaben zur Vorlesung "Ausgewählte Kapitel der Mathematik" von D. Totaro und C. Spannagel, PH Heidelberg, WiSe 2012/13
Transcript of Aufgaben zu Abbildungen der Ebene auf sich selbst
Ausgewählte Kapitel der Mathematik D. Totaro & C. Spannagel
Aufgaben für Entdecker(innen) 5
Aufgabe 1: Untersuchen Sie die drei verschiedenen Kongruenzabbildungen auf ihre
Eigenschaften. Füllen Sie die Tabelle aus. Überprüfen Sie anhand von Beispielen.
Spiegelung Drehung Verschiebung
Fixpunkte
Fixgeraden
Fixpunktgeraden
parallelentreu
winkeltreu
längentreu
geradentreu
orientierungstreu
Aufgabe 2: Wählen Sie eine nicht-symmetrische Figur F und zwei Achsen a, b. Führen Sie die
beiden Achsenspiegelungen hintereinander aus. Vergleichen Sie die neu entstandene Figur
mit der Ausgangsfigur. Was fällt Ihnen auf? Probieren Sie für die Lagen von a, b verschiedene
Fälle aus (a‖ b, a �b, a∩ b = �S�, a=b,…).
Aufgabe 3: Gilt bei einem der obigen Fälle das Kommutativgesetz? (a ∘ b = b ∘ a) Können Sie
das begründen?
Aufgabe 4: Drehungen kann man durch eine Verkettung von Achsenspiegelungen erwirken.
Versuchen Sie dies einmal mit einer Drehung (Z, 120°). Wie viele Geraden benötigen Sie, und
wie müssen diese liegen? Wie ist dies im allgemeinen Fall bei einer Drehung um den Winkel
α?
Aufgabe 5: Wählen Sie eine nicht-symmetrische Figur F und drei Achsen a, b, c. Führen Sie
drei Achsenspiegelungen hintereinander aus. Vergleichen Sie die neu entstandene Figur mit
der Ausgangsfigur. Was fällt Ihnen auf? Probieren Sie für die Lagen von a, b, c die Fälle a ∥ b∥
c sowie a∩b∩c = �S� aus.
Aufgabe 6: Sind zwei Achsen a, b parallel und die dritte Achse dazu senkrecht entsteht der
vierte Typ von Kongruenzabbildungen – eine Schubspiegelung.
Probieren Sie mit einer beliebigen (nicht-symmetrischen) Figur aus, wie diese
Kongruenzabbildung aussieht. Bestimmen Sie die Eigenschaften einer Schubspiegelung
(siehe Aufgabe 1).
Ausgewählte Kapitel der Mathematik D. Totaro & C. Spannagel
Aufgabe 7: Das Rotkäppchenproblem: Rotkäppchen soll die Großmutter besuchen. Vorher
muss sie aber zunächst noch am Fluss Wasser holen. Was ist der kürzeste Weg (d.h. an
welcher Stelle des Flusses holt Rotkäppchen Wasser)? Begründen Sie!
Rotkäppchen
Großmutter
Fluss
