Ausgleich von Ausgleich von SterbetafelnSterbetafeln

Andrea Borenich

Ausgleich von Sterbetafeln

Sterbetafeln Bestimmung der rohen

Sterbewahrscheinlichkeiten Ausgleich von Sterbetafeln

Inhalt von Sterbetafeln

Sterbewahrscheinlichkeit qx eines x-jährigen

zahlreiche weitere Kenngrößen

Arten von Sterbetafeln:

Periodensterbetafel Selektionssterbetafel Kompakttafel Dekrementtafel Generationssterbetafel

Periodensterbetafel

Werden auf Grund von gewöhnlichen

Sterbehäufigkeiten berechnet Beziehen keine weiteren Parameter außer

dem Alter mit ein

Selektionssterbetafel

Zusätzliche Parameter (Zeitpunkt)

z.B.: Eintreten der Invalidität Durchführung einer ärztlichen Kontrolle

Kompakttafel

beinhaltet Abschlusszeitpunkt der Versicherung

Dekrementtafel

Auch andere Austrittsmöglichkeiten als Tod zugelassen (werden wie Tod behandelt)

Generationssterbetafel

Entwicklung der Sterbewahrscheinlichkeiten über einen längeren Zeitraum hinweg betrachtet

Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (1) Lx… Gesamtheit der Personen mit Alter x

Tx… Anzahl der Todesfälle im folgenden Jahr

qx… Wahrscheinlichkeit des Todes einer Person (Zufallsereignis)

Rel. Häufigkeit: (einfacher Schätzwert für qx)

xxx LqTE

x

x

L

T

Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (2) Geschlossene Gemeinschaft:

Eintritt nur durch Geburt möglich

Austritt nur durch Tod möglich Offene Gemeinschaft:

Freiwilliger Ein- und Austritt möglich

Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (3) Geburtsdaten der Personengesamtheit

unterscheiden sich voneinander die Daten aus Volkszählungen ergeben

sich zu gewissen Stichtagen => Einführung von ganzzahligen t, τ

Schätzwert für qx bei geschlossener Gemeinschaft (1) L(t, τ ):

Anzahl der Lebenden am 1.1. eines Kalenderjahres t, die im Kalenderjahr τ geboren sind

T(−)(t, τ ):Zahl der Todesfälle im Kalenderjahr t von Personen, die im Jahr τgeboren sind und das Lebensjahr t− τ zum Zeitpunkt des Todes noch nicht vollendet haben

T(+)(t, τ )Zahl der Todesfälle im Kalenderjahr t von Personen, die im Jahr τ geboren sind und das Lebensjahr t − τ zum Zeitpunkt des Todes bereits vollendet haben

Schätzwert für qx bei geschlossener Gemeinschaft (2)am Stichtag 1.1. des Jahres t:

Lx = L(t, t − x − 1) + T(+)(t − 1, t − x − 1)

sowie

Tx = T(+)(t − 1, t − x − 1) + T(−)(t, t − x − 1),

Schätzwert für qx:

1) - x - t 1, -(t T 1) - x - t L(t,

1) - x - t (t,T 1) - x - t 1, -(t T

L

Tq̂

)(

(-))(

x

xx

Schätzwert für qx bei offener Gemeinschaft (1) Ex… Die Zahl neu eintretender Personen des Alters x Ax… Die Anzahl abwandernder Personen des Alters x ex,v... die vom v-ten Eintretenden im

Beobachtungszeitraum innerhalb der Personengemeinschaft verbrachte Zeit

ax,v … die vom v-ten Austretenden außerhalb verbrachte Zeit

diese Zeiten betragen im Durchschnitt ein halbes Jahr (sofern keine anderen Informationen vorliegen).

Schätzwert für qx bei offener Gemeinschaft (2)Es gilt und .

Zahl der Todesfälle:

Schätzwert für qx:

v

xvx, 2

Ee

v

xvx, 2

Aa

xxx

v vxxxvx,xvx,xxx q

2

A - E qL qaqe qL]E[T

2A-E

L

Tq̂

xxx

xx

Ausgleich von Sterbetafeln

Anzahl der Todesfälle ist als Zufallsvariable gewissen Schwankungen unterworfen

Möglichkeiten

Graphische Ausgleichung Sterbegesetze Analytische Ausgleichung Mechanische Ausgleichung

Graphische Ausgleichung

Konstruktion einer Kurve, die sich optisch gut an die Daten anpasst

Sterbegesetze (1)

Gompertz:

Aus der Annahme, die Sterbeintensität

sei von der Form

ergibt sich .

lx… Zahl der Lebenden

xx lnldx

dμ x

x bcμ

xcx kgl

Sterbegesetze (2)

Makeham:

Erweitert man dies auf , so erhält man

.

Der Vorteil besteht hier darin, dass verschiedenste

versicherungsmathematische Formeln eine

besonders schöne Form erhalten.

xx bcaμ

xcxx gksl

Analytische Ausgleichung (1)

Ausgleichende Kurve in der Form f(x,a0,…,am), wobei ai Parameter

Analytisches Verfahren von King und Hardy (1)

Formel von Makehamxcx

x gksl 1)(cc

x

1xxx

x

sgl

lq1p

xbca lng1)(cclnslnp xx

Analytisches Verfahren von King und Hardy (2)Parameter a, b, c müssen geschätzt werdendie rohen Sterbewahrscheinlichkeiten für x0 < x < x0+3m−1 gegeben

die Wahrscheinlichkeit für einen (x0 + (k − 1)m)-jährigen, weitere m Jahre zu leben

1

11 0

ˆˆm

iixp

1

12 0

ˆˆm

iimxp

1

123 0

ˆˆm

iimxp

1

11 0

m

iixp

1

12 0

m

iimxp

1

123 0

m

iimxp

k

Analytisches Verfahren von King und Hardy (3)

1

011 0)ˆln(ˆlnln

0

0

m

iix

ix pcbca

1

022 0)ˆln(ˆlnln

0

0

m

iimx

imx pcbca

1

02

233 0)ˆln(ˆlnln

0

0

m

iimx

imx pcbca

mc1

12

23 )ˆlnˆln

ˆlnˆln(

)ˆlnˆln()1(

121

m

mc

cma)ˆlnˆ(ln

)1(

11220

mx cc

cb

n

xnx

nxnx cpp

pp

lnln

lnln 2

Analytische Ausgleichung (2)

Nachteil:

Bei geringer Anzahl von Parametern werden die

Kurven nicht gut genug angepasst bzw. erst ab

einem gewissen Alter (meist etwa > 30 Jahre)

können brauchbare Näherungen geliefert werden.

Bei großer Parameterzahl wächst hingegen der

rechnerische Aufwand.

Mechanische Ausgleichung

Durch Mittelwertbildung werden

Schwankungen ausgeglichen und dadurch

wird die Datenreiche geglättet

Mechanische Ausgleichung von Wittstein (1) arithmetische Mittel aus fünf aufeinander

folgenden Werten gebildet und dieser Vorgang einmal iteriert

jinji

n aA

2

2

2

2 5

1

5

1

)a a2 a3 a4 a5 a4a3a2(a25

1A 4n3n2n1nn1n-2n3n4nn

Mechanische Ausgleichung von Wittstein (2)Dies kann auch folgendermaßen interpretiert werden. Man legt für je eine Gerade

durch die Punkte (n − i, an−i) und (n − i + 5,

an−i+5). Auf jeder dieser Geraden wird der Wert an der Stelle n bestimmt und daraus das arithmetische Mittel gebildet. Dabei kommt man auf

50 i

4

0555

1

iinininn aa

iaA

Andere Methoden

Wollhouse -> Parabeln Karup -> Polynome 3. Grades