Baustatik 3 (Modul 3130) Veranstaltungen WS 2018/2019 … · 2019. 11. 27. · 3.2 Statisch...

Baustatik 3 (Modul 3130)

Veranstaltungen WS 2018/2019

Vorlesung Mo. 08:15 – 09:45 Uhr, R 1.116, Beginn: 8.10.2018

Hörsaalübung Mo. 10:00 – 11:30 Uhr, R 1.116, Beginn: 8.10.2018

Ansprechpartner Prof. Dr.-Ing. Andreas Falk

Sprechstunde: Mittwoch, 10:00 – 11:00 Uhr, R.1.110 Tel.: 05231 / 769 6049 email: [email protected] Internet: http://www.hs-owl.de/fb3/labore/tm0.html

mailto:[email protected]

Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk

27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 2

Literaturangaben

[1] Ahlert, H.: FEM – Finite-Elemente-Methode im konstruktiven Ingenieurbau. 3. Auflage, 2002. Werner-Verlag.

XBN 137

[2] Barth, C.; Rustler, W.: Finite Elemente in der Baustatik-Praxis – Mit vielen Anwendungsbeispielen. 1. Auflage, 2010. Bauwerk Verlag.

XBK 276

[3] Bletzinger, K.-U. et. al.: Aufgabensammlung zur Baustatik. Übungsaufgaben zur Berechnung ebener Stabtragwerke. 1. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.

XBK 292

[4] Dallmann, R.: Baustatik 2 - Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke. 4. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.

XBK 266

[5] Dallmann, R.: Baustatik 3 - Theorie II. Ordnung und computer-orientierte Methoden der Stabtragwerke. 2. Auflage 2015, Hanser Fachbuchverlag.

XBK 266

[6] Dinkler, D.: Grundlagen der Baustatik - Modelle und Berechnungsmethoden für ebene Stabtragwerke. 4. Auflage 2016. Springer Vieweg.

XBK 278

[7] Friedrich, M.: Das Kraft- und Weggrößenverfahren in Beispielen. 1. Auflage, 2013, Springer Vieweg.

[8] Hake, E.; Meskouris, K.: Statik der Flächentragwerke - Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2. Auflage 2007, Springer-Verlag.

XBK 206

[9] Hirschfeld, K.: Baustatik - Theorie und Beispiele. 4. Auflage 1998, Springer-Verlag.

XBK 186

[10] Homberg, H.; Ropers, W.: Fahrbahnplatten mit veränderlicher Dicke, Band 1 und 2, Springer-Verlag 1965 und 1968.

XDO 106

[11] Kirsch, W.: Statik im Bauwesen, Bd. 3, Statisch unbestimmte Systeme. 14. Auflage 2012, Beuth-Verlag.

XBK 128

[12] Knothe, K., Wessels, H.: Finite Elemente, 5. Auflage 2017, Springer-Verlag.

WCG137

[13] Krätzig, W.; Harte, R.; Meskouris, K.; Wittek, U..: Tragwerke 1 – Theorie und Berechnungsmethoden statisch bestimmter Tragwerke. 5. Auflage 2010, Springer-Verlag.

XBN 174

[14] Krätzig, W.: Tragwerke 2 - Theorie und Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Tragwerke. 4. Auflage 2004, Springer-Verlag

XBN 174

[15] Krätzig, W.; Basar, Y.: Tragwerke 3 - Theorie und Anwendung der Methode der Finiten Elemente. 1. Auflage, 1997, Springer-Verlag.

XBN 174


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[16] Krüger, U.: Stahlbau, Teil 2 - Stabilitätslehre, Stahlhochbau und Industriebau. 3. Auflage 2004, Verlag Ernst & Sohn.

XCG 168

[17] Link; M.: Finite Elemente in der Statik und Dynamik. 4. Auflage, 2014. Teubner-Verlag.

XBK 104

[18] Meskouris, K.; Hake, E.: Statik der Stabtragwerke - Einführung in die Tragwerkslehre. 2. Auflage 2009, Springer-Verlag.

XBK 204

[19] Nasdala, L.: FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik – Hintergrundinformationen, Tipps und Tricks. 2. Auflage 2012, Springer Vieweg.

WCG 192

[20] Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen. 3. Auflage 2002, Vieweg Teubner.

XBK 129

[21] Pucher, A.: Einflussfelder elastischer Platten. 5. Auflage 1977. Springer-Verlag.

XCF 263

[22] Steinke, A.: Finite-Element-Methode: Rechnergestützte Einführung. 4. Auflage 2012. Springer Vieweg.

WCG 180

[23] Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik - Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke. 3. Aufl. 2008, Vieweg Teubner.

XBK 198

Internet-Hinweise

Literatur www.hs-owl.de/skim

www.amazon.de

Bauwerke

www.structurae.de

www.brueckenweb.de

www.brueckenbau-links.de

Hochschulen

www.hs-owl.de/fb3

www.ki-smile.de

www.goettsche-web.de

http://www.ibnm.uni-hannover.de/Lehre/index.html.de

http://www.isd.uni-hannover.de/lehre.html

http://www.fembau.de

http://www.hs-owl.de/skimhttp://www.amazon.de/http://www.structurae.de/http://www.brueckenweb.de/http://www.brueckenbau-links.de/http://www.hs-owl.de/fb3http://www.ki-smie.de/http://www.goettsche-web.de/http://www.ibnm.uni-hannover.de/Lehre/index.html.dehttp://www.isd.uni-hannover.de/lehre.htmlhttp://www.fembau.de/


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Inhalt

1 EINFÜHRUNG IN DIE THEORIE 2. ORDNUNG FÜR STABWERKE 10

1.1 Einführendes Beispiel 10

1.2 Mögliche Nichtlinearitäten 11 1.2.1 Gleichgewicht am verformten System 11 1.2.2 Genaue Verschiebungsfigur 13 1.2.3 Nichtlineare Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehungen 13 1.2.4 Nicht-lineares Materialverhalten 13

1.3 Kurze Wiederholung zum Biegeknicken 14 1.3.1 Die vier Euler´schen Knickfälle 14 1.3.2 Ermittlung der Knicklängenbeiwerte mit Rahmenformeln 15 1.3.3 Schlankheit λ und Eulersche Knickspannung 19

1.4 Möglichkeiten zur Ermittlung der Schnittgrößen nach Th. 2. O. 21 1.4.1 Iterative Ermittlung des Zusatzmomentes mit dem Arbeitssatz 22 1.4.2 Herleitung einer Überschlagsformel mithilfe der Biegelinie 24 1.4.3 DGL für Elastizitätstheorie 2. Ordnung (exaktes Verfahren) 28 1.4.4 Eingespannte Stütze mit Hilfe der DGL 29

1.5 Beispiel: Rahmentragwerk 35 1.5.1 System, Belastung, Schnittkräfte nach Th. I. Ordnung 35 1.5.2 Ermittlung der Schnittkräfte nach Th. 2. Ordnung mit Hilfe des Arbeitssatzes 37 1.5.3 Zusammenfassende Darstellung der Ergebnisse 39 1.5.4 Computerunterstützte Berechnung 42

1.6 Zusammenfassung 43

2 VERSCHIEBLICHKEITSUNTERSUCHUNGEN MIT HILFE DES POLPLANS 44

2.1 Regeln für die Polplanerstellung 44

2.2 Kinematik 45 2.2.1 Allgemeines 45 2.2.2 Beispiele zur Ermittlung kinematischer Größen 45

2.3 Zusammenfassung 53

3 EINFLUSSLINIEN 54

3.1 Allgemeines 54

3.2 Statisch bestimmte Stabwerke 55 3.2.1 Gleichgewichtsmethode 55 3.2.2 Kinematische Methode basierend auf dem PdvV 56 3.2.3 Vorgehen und Merkregeln 59 3.2.4 Zusammenfassung 60

3.3 Einflusslinien bei statisch unbestimmten Stabtragwerken 61

3.4 Lastannahmen für Straßenbrücken und Eisenbahnüberführungen 62 3.4.1 Verkehrslasten auf Straßenbrücken nach DIN EN 1991 – 2NA/2012-08 62 3.4.2 Entwicklung der Lastannahmen für Straßenbrücken 64 3.4.3 Lastbild UIC 71 für Eisenbahnbrücken 65


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3.5 Beispielaufgaben 66 3.5.1 Gelenkträger 66 3.5.2 Gelenkträger 2 71 3.5.3 Gelenkträger 3 72 3.5.4 Ermittlung der Einflusslinien mit Hilfe STAB2D 73 3.5.5 Dreifeldträger 74 3.5.6 Fünffeldträger 77

3.6 Zusammenfassung Einflusslinien 80

3.7 Einflussflächen bei Plattentragwerken 82

4 DREHWINKELVERFAHREN 83

4.1 Einführung 83 4.1.1 Steifigkeit – Systemsteifigkeit 83 4.1.2 Einführendes Beispiel 84 4.1.3 Idee und grundlegende Annahmen für das DWV 85 4.1.4 Statische und geometrische Unbestimmtheit 86 4.1.5 Bezeichnungen, Vorzeichendefinitionen für das DWV 88

4.2 Herleitung der Grundgleichungen für Stabendmomente 89 4.2.1 Ausgangssituation und Lösungsansatz 89 4.2.2 Stabendmomente infolge von Knotenverdrehungen und -verschiebungen 90 4.2.3 Stabendmomente infolge äußerer Lasten (Festeinspannmomente) 96 4.2.4 Endgültige Stabendmomente 100

4.3 Aufstellen der Systemgleichungen 100

4.4 Rechengang beim DWV 101

4.5 Einführende Beispiele 102 4.5.1 Beispiel 1 102 4.5.2 Beispiel 2 103 4.5.3 Beispiel 3 104 4.5.4 Beispiel 4 105

4.6 Vorgegebene Auflagerverdrehung und -verschiebungen 107 4.6.1 Allgemeines 107 4.6.2 Vorgegebene Auflagerverschiebung im einführenden Beispiel 108

4.7 Temperaturlastfälle 110 4.7.1 Gleichmäßige Temperaturveränderung T 110 4.7.2 Ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T über den Querschnitt 110 4.7.3 Gleichmäßige Temperaturänderung T im einführenden Beispiel 111 4.7.4 Ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T im einführenden Beispiel 113

4.8 Weitere Beispiele 115 4.8.1 Beispiel mit Federn 115 4.8.2 Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten 119 4.8.3 Klausuraufgabe 1 124 4.8.4 Klausuraufgabe 2 125 4.8.5 Klausuraufgabe 3 128 4.8.6 Klausuraufgabe 4 129 4.8.7 Durchlaufträger 133

4.9 Vergleich KGV – WGV 136

5 GRUNDLAGEN MATRIZENRECHNUNG 137


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5.1 Motivation aus dem Kraftgrößenverfahren 137

5.2 Vektoren und Matrizen 137 5.2.1 Einführung 137 5.2.2 Rechenregeln für Matrizen 139 5.2.3 Übungsaufgaben 140

6 FINITE-ELEMENT-METHODEN (FEM) 141

6.1 Einführung 141 6.1.1 Geschichtliche Entwicklung 141 6.1.2 Grundsätzliche Zusammenhänge 144 6.1.3 Kontinuierliches Problem – Diskretes Problem 145 6.1.4 Grundlagen der Modellierung 146 6.1.5 Wichtige Begriffe 147 6.1.6 Die FEM als Näherungsverfahren (für Flächentragwerke) 148 6.1.7 Arten von Finiten Elementen 149

6.2 Fachwerkelement 151 6.2.1 Grundgleichungen 151 6.2.2 Modellbildung mit Feder 152 6.2.3 Beziehung zwischen Verschiebung und Kraft 153 6.2.4 Transformationen 154 6.2.5 Die Elementsteifigkeitsmatrix 156 6.2.6 Zusammenbau zur Gesamtsteifigkeitsmatrix 157 6.2.7 Lösung des Gleichungssystems 161 6.2.8 Rückrechnung 162

6.3 Ablauf einer FE-Berechnung 167

6.4 Weitere Beispiele 168 6.4.1 Beispiel 1 168 6.4.2 Beispiel 2 176

6.5 Balkenelement 184 6.5.1 Zusammenhang zwischen Verschiebungsgrößen und Kraftgrößen 184 6.5.2 Die Elementsteifigkeitsmatrix 185 6.5.3 Transformationen 186 6.5.4 Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten 188 6.5.5 Zusammenbau 188 6.5.6 Berücksichtigung von Elementlasten (Festeinspannmomente) 189 6.5.7 Beispiel: 2-Feld-Träger 189


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Abbildungsverzeichnis Bild 1-1: Einführendes Beispiel zur Theorie 2. Ordnung 11 Bild 1-2: Rahmen nach Theorie 2. Ordnung 12 Bild 1-3: Theorie kleiner und großer Verformungen 13 Bild 1-4: Nichtlineare Werkstoffgesetze 13 Bild 1-5: Die vier Eulerfälle 14 Bild 1-6: Knicklängenbeiwerte für Gelenkrahmen nach DIN 4114 15 Bild 1-7: Knicklängenbeiwerte für eingespannte Rahmen nach DIN 4114 16 Bild 1-8: Knicklängenbeiwert für elastisch eingespannte Stütze mit angehängten Pendelstützen 17 Bild 1-9: Knicklängenbeiwert für einhüftige Rahmen 17 Bild 1-10: Knicklängenbeiwert für Zweigelenkrahmen mit angehängten Pendelstützen 18 Bild 1-11: Knicklängenbeiwert für eingespannte Rahmen mit angehängten Pendelstützen 18 Bild 1-12: Eulerhyperbel 19 Bild 1-13: Knickspannungskurven nach DIN EN 1993 (EC 3) 20 Bild 1-14: Einführendes Beispiel zur Th. 2. Ordnung – Eingespannte Stütze 22 Bild 1-15: Iterative Ermittlung der Zusatzverformungen mit dem Arbeitssatz 22 Bild 1-16: Schnittkraftdefinitionen bei Theorie 2. Ordnung 28 Bild 1-17: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL) 29 Bild 1-18: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL) 33 Bild 1-19: Rahmenbeispiel für Th. 2. Ordnung, [16] 35 Bild 1-20: Biegemomentenlinie nach Th. 1. O. 36 Bild 1-21: Momente und Verformungen nach Th. 1. Ordnung 37 Bild 1-22: Zusatzmomente für Theorie 2. Ordnung 38 Bild 1-23: Biegemomente und Verformung nach Th. 1. O. mit STAB2D 39 Bild 1-24: Biegemomente und Verformung nach Th. 2. O. mit STAB2D 39 Bild 1-25: Abtriebskraft 40 Bild 1-26: Verformungen nach Th. 2. O. mit STAB2D 40 Bild 1-27: Ergebnisse der Knickuntersuchung mit STAB2D 41 Bild 1-28: Rahmen mit EDV 42 Bild 1-29: Verzweigungsproblem - Spannungsproblem 43 Bild 2-1: Beispiel 1: Polplan und Verschiebungsfigur 46 Bild 2-2: Beispiel 2: Polplan und Verschiebungsfigur 47 Bild 2-3: Beispiel 2: Kinematik 48 Bild 2-4: Beispiel 3 49 Bild 2-5: Beispiel 4 49 Bild 2-6: Beispiel 5 50 Bild 2-7: Beispiel 6 50 Bild 2-8: Beispiel 7 51 Bild 2-9: Beispiel 8 51 Bild 2-10: Beispiel 9 52 Bild 2-11: Konstruktion des Mechanismus mit dem Polplan 53 Bild 3-1: Wanderlast 54 Bild 3-2: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment 55 Bild 3-3: Beispiele zum Prinzip der virtuellen Verrückungen 56 Bild 3-4: System und Lastbild für Einflusslinie 57 Bild 3-5: Kinematiken zu Einflusslinien an statisch bestimmten Systemen 57 Bild 3-6: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment 60 Bild 3-7: Einflusslinien für Auflagerkräfte und Biegemoment beim Zweifeldträger 61


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Bild 3-8: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 – 2 (Lastmodell LMM) 62 Bild 3-9: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 -2/NA für Fahrstreifen 1 63 Bild 3-10: Lastverteilung in Querrichtung bei Straßenbrücken (LMM) 63 Bild 3-11: Verkehrslasten auf Eisenbahnbrücken nach DIN-Fachbericht 101 65 Bild 3-12: Trägerrostmodell 65 Bild 3-13: Gelenkträger- System und Lastbild 66 Bild 3-14: Gelenkträger- Momentenlinie mit Stab2D 67 Bild 3-15: Gelenkträger 2 - System und Lastbild 71 Bild 3-16: Gelenkträger 3 - System und Lastbild 72 Bild 3-17: Einflusslinien Zweifeldträger mit STAB2D 73 Bild 3-18: Einflusslinien Dreifeldträger mit STAB2D 76 Bild 3-19: Einflusslinien Fünffeldträger mit STAB2D 79 Bild 3-20: Einflussfläche für ein Plattentragwerk 82 Bild 4-1: System-Dehnsteifigkeit 83 Bild 4-2: System-Biegesteifigkeit 83 Bild 4-3: Eingespannter Rahmen 84 Bild 4-4: Eingespannter Rahmen – qualitative Biegelinie und Momentenlinie 84 Bild 4-5: Skizze zum Drehwinkelverfahren 85 Bild 4-6: Beispiele zur geometrischen Unbestimmtheit 87 Bild 4-7: Vorzeichendefinition für Biegemomente beim DWV 88 Bild 4-8: Geometrische Größen beim DWV 88 Bild 4-9: Zum DWV 89 Bild 4-10: Einheitsverformungszustände am beidseitig eingespannten Stab und Stabendmomente

95 Bild 4-11: Vorzeichen der Festeinspannmomente bei Stützensenkung 97 Bild 4-12: Beispiel 1 zum DWV 102 Bild 4-13: Beispiel 1 zum DWV – Ergebnisse Stab2D 102 Bild 4-14: Beispiel 2 zum DWV 103 Bild 4-15: Beispiel 3 zum DWV 104 Bild 4-16: Beispiel 4 zum DWV 105 Bild 4-17: Ergebnisse zum einführenden Beispiel 106 Bild 4-18: Festeinspannmomente für Auflagerbewegungen 107 Bild 4-19: Rahmenbeispiel mit Knotenverformung 108 Bild 4-20: Ergebnisse zum Rahmen mit Knotenverformung 109 Bild 4-21: Temperaturlastfälle 110 Bild 4-22: Rahmenbeispiel mit Temperatur Ts 111 Bild 4-23: Ergebnisse zum Rahmen mit Temperatur Ts 112 Bild 4-24: Rahmenbeispiel mit Temperaturgradient 113 Bild 4-25: Ergebnisse zum Rahmen mit Temperaturgradient 114 Bild 4-26: Beispiel mit Federn 115 Bild 4-27: Federbeispiel - Kinematik 116 Bild 4-28: Kinematik und virtuelle Arbeit 117 Bild 4-29: Ergebnisse zum Beispiel mit Federn 118 Bild 4-30: Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten 119 Bild 4-31: Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten: Momentenlinie und Verformungen 123 Bild 4-32: Klausuraufgabe 1: System, Belastung, Momentenlinie 124 Bild 4-33: Klausuraufgabe 2: System und Belastung 125 Bild 4-34: Klausuraufgabe 2: Momentenlinie und Verformungen 127 Bild 4-35: Klausuraufgabe 3: System und Belastung 128


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Bild 4-36: Klausuraufgabe 4: System und Belastung 129 Bild 4-37: Klausuraufgabe 4: Momentenlinie und Verformungen 132 Bild 4-38: Durchlaufträger: System und Belastung 133 Bild 4-39: Durchlaufträger: Biegemomente und Verformungen 135 Bild 6-1: Die Finite-Element-Welt 146 Bild 6-2: Die Finite-Element-Methode als Näherungsverfahren 148 Bild 6-3: Finite Stab- und Flächenelemente 149 Bild 6-4: Finite Faltwerk-, Schalen- und 3D-Elemente 150 Bild 6-5: Verformungen am Fachwerkstab 153 Bild 6-6: Verformungen am schrägen Fachwerkstab - Transformation 154 Bild 6-7: Kräfte am Fachwerkstab - Transformation 155 Bild 6-8: Einführendes Beispiel 157 Bild 6-9: Schema der Gesamt-Steifigkeitsmatrix 158 Bild 6-10: Ergebnisse des einführenden Beispiels 165 Bild 6-11: Ablauf einer FE-Berechnung 167 Bild 6-12: Beispiel 1 168 Bild 6-13: Beispiel 2 176 Bild 6-14: Verformungen und Freiheitsgrade am Balkenelement 184 Bild 6-15: Freiheitsgrade am Balkenelement 184 Bild 6-16: Transformation der Verformungen am Balkenelement 186 Bild 6-17: Lokale und globale Verformungen am Balkenelement 186 Bild 6-18: Transformation der Kraftgrößen am Balkenelement 187 Bild 6-19: Lokale und globale Kraftgrößen am Balkenelement 187 Bild 6-20: Einführendes Beispiel zum Balkenelement 189 Bild 6-21: Aufbau des Lastvektors Element 1 190 Bild 6-22: Aufbau des Lastvektors Element 2 191


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1 Einführung in die Theorie 2. Ordnung für Stabwerke 1.1 Einführendes Beispiel Gesucht:

a) LF 1: fH(H) b) LF 2: fH(V)

c) Stabkennzahl (für LFK 1: LF 1 + 2) 𝜀𝜀 = �|𝑆𝑆|∙𝑙𝑙2

𝐸𝐸∙𝐼𝐼

H = 5 kN

V =50 kN

15 m

2 m

300 mm

d = 20 mm

120°

A A

Querschnitt im Schnitt A-A


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1.2 Mögliche Nichtlinearitäten

Mögliche Nicht-Linearitäten Gleichgewicht am verformten System Genaue Verschiebungsgeometrie (bei großen Verformungen) Nicht-lineare Verzerrungsverschiebungsbeziehungen (bei großen Verformungen,

Verdrehungen) Nicht-lineares Materialverhalten

1.2.1 Gleichgewicht am verformten System Beispiel: Brückenpfeiler Bild 1-1: Einführendes Beispiel zur Theorie 2. Ordnung

h

H

V

wo


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Beispiel: Hallenrahmen Bild 1-2: Rahmen nach Theorie 2. Ordnung Die Anwendung von Theorie 2. Ordnung, kann entfallen, wenn

∆M0 = N ⋅ w0 ≤ 0,1 M0 Im Stahlbau kann gem DIN EN 1993-1-1 ein Nachweis nach Theorie 2. Ordnung entfallen, wenn eine der nachfolgenden Bedingungen eingehalten ist.

• Crdd

crcr NNF

F 1,010 ≤⇔≥=α ; Ncr : Ideale Systemknicklast

≈=crN

• NAf dy ⋅⋅≤ ,3,0λ , bezogener Schlankheitsgrad des Systems

• LLcr

s =≤⋅ βεβ ;1 (Knicklängenbeiwert )

EIlS ss

s

2

±=ε (Stabkennzahl)

Die Knicklänge ist vorher zu schätzen (s. Eulerfälle, Überschlagsformeln Stahlbau).

A B

AH BH

h

wo


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1.2.2 Genaue Verschiebungsfigur Bei großen Verschiebungen und großen Rotationen: Bild 1-3: Theorie kleiner und großer Verformungen

1.2.3 Nichtlineare Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehungen Genaue Beziehungen linearisierte Beziehungen

bei kleinen Verformungen

( 1)1 22 −′+′+= wuε u′≈ε

′+′

=u

w1

arctanϕ wu

w ′≈′+

′≈

1ϕ

22)1()1(

wuwuuw

′+′+′⋅′′−′+⋅′′

=′ϕ wu

w ′′≈′+

′′≈′

21ϕ

1.2.4 Nicht-lineares Materialverhalten Bild 1-4: Nichtlineare Werkstoffgesetze Weitere Materialeigenschaften bei Kriech- und Relaxationsvorgängen (zeitabhängig; z.B. Beton, Salz) viskoelastisch viskoplastisch

Theorie kleiner Verformungen Tangente; sin ϕ ≈ tan ϕ ≈ ϕ

Theorie großer Verformungen Kreisbogen !

ε

σ

ε

σ

ε

σ

linear elastisch

nichtlinear elastisch

linear elastisch ideal plastisch

nichtlinear elastoplastisch

N = EA ε M = -EΙ ϕ′


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1.3 Kurze Wiederholung zum Biegeknicken

1.3.1 Die vier Euler´schen Knickfälle

Allgemein gilt: 2

2

crcr L

EIN ⋅= π "Euler´sche Knicklast"

Leonhard Euler, Schweizer Mathematiker 1707 - 1783

mit Lcr =β ⋅ L: Knicklänge (sk)

β: Knicklängenbeiwert

und NKi, Ncr : ideelle kritische Last

Eulerfall

Bild 1-5: Die vier Eulerfälle

Bei Rahmentragwerken wird β > 2 (s. folgenden Abschnitt und Bautabellen).

L

1 2 3 4

LLcr = LLcr ⋅≈ 7,0 LLcr ⋅= 5,0

2

2

4 LEINcr ⋅

⋅=

π2

2

LEINcr

⋅=

π2

22L

EINcr⋅⋅

≈π

2

24L

EINcr⋅⋅

=π

LLcr ⋅= 2

F

crL

crL

F

crL

WP

WP

F

crL

WP

2=β 1=β 6992,0=β 5,0=β

WP: Wendepunkt


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1.3.2 Ermittlung der Knicklängenbeiwerte mit Rahmenformeln Knicklängenbeiwerte mit Krüger Bd. 2, S. 41

Für alle Rahmen:

Zweigelenkrahmen

Dreigelenkrahmen

Bild 1-6: Knicklängenbeiwerte für Gelenkrahmen nach DIN 4114

( ) 202,04,14121 ccn ⋅+⋅+⋅+⋅=β

202,04,14 cc ⋅+⋅+=β

202,04,1496,01 ccn ⋅+⋅+⋅⋅+=β

10≤⋅⋅

=hIbIc

R

s

20 1 ≤=≤NNn

b

N N1

h

ΙR

ΙS 10 1 ≤=≤NNn

ΙR

ΙS

N

b/2

ΙR

ΙS

N

b/2

N1

h

h


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 16

Für alle Rahmen:

Eingespannte Rahmen

Dreigelenkrahmen Bild 1-7: Knicklängenbeiwerte für eingespannte Rahmen nach DIN 4114

10≤⋅⋅

=hIbIc

R

s

20 1 ≤=≤NNn

b

N N1

h

ΙR

ΙS 10 1 ≤=≤NNn

ΙR

ΙS

N

b/2

ΙR

ΙS

N

b/2

N1

h

h

( ) 2017,035,01121 ccn ⋅−⋅+⋅+⋅=β

2017,035,01 cc ⋅−⋅+=β

2017,035,0186,01 ccn ⋅−⋅+⋅⋅+=β


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 17

Ermittlung der Knicklänge mit Holschemacher S. 2.53

𝜅𝜅 = 𝑙𝑙𝐹𝐹∙ ∑ 𝐹𝐹𝑖𝑖

𝑙𝑙𝑖𝑖 ; ohne Pendelstützen: κ=0

Elastisch eingespannte Stütze mit angehängten Pendelstützen Bild 1-8: Knicklängenbeiwert für elastisch eingespannte Stütze mit angehängten Pendelstützen Einhüftiger Rahmen Bild 1-9: Knicklängenbeiwert für einhüftige Rahmen

lcEIS

⋅⋅+

++

⋅=ϕ

κκπβ )1(12

45

lEIlEI

R

RS

⋅⋅⋅⋅+

++

⋅=3

)1(12

45 κκπβ

ℓR

F F1 Fi

Fn

cϕ

ℓ ℓi

ℓR

F F1

ℓ ℓ1

EΙR

EΙS

EΙS


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 18

Zweigelenkrahmen mit/ohne angehängten Pendelstützen Bild 1-10: Knicklängenbeiwert für Zweigelenkrahmen mit angehängten

Pendelstützen

Eingespannter Rahmen mit/ohne angehängten Pendelstützen Bild 1-11: Knicklängenbeiwert für eingespannte Rahmen mit angehängten

Pendelstützen

lEIlEI

m

R

RS

⋅⋅⋅⋅

=

++

+⋅

+⋅=

611

21

311

125

21

γ

κγγ

πβ

+⋅

=⋅⋅

⋅⋅=

++

+−+⋅⋅

++⋅=

γ

φγ

φφφγ

κπβ

112

1;611

961

311

21 22

lEIlEI

mm

R

RS

ℓR

F F1

ℓ ℓi

EΙR

EΙS

mF Fi Fn

F F1

ℓ

EΙR

EΙS

mF Fi

Fn

ℓR

ℓi


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 19

1.3.3 Schlankheit λ und Eulersche Knickspannung

iLcr

min=λ

crL : Knicklänge

i: Trägheitsradius

AI

iAI

i yyy

y =→=2

; AIi

AIi zzzz =→=

2

Maßgebend ist der minimale Trägheitsradius.

2

2

crcr L

EIN ⋅= π

AI

LE

crcr ⋅

⋅= 2

2πσ mit 22

2

λcrL

AIi == folgt:

2

2

λπσ Ecr

⋅= "ideelle Eulersche Knickspannung" (Hyperbel)

Bild 1-12: Eulerhyperbel


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 20

Nachweis im Stahlbau

Den Abminderungsfaktor χ erhält man aus den Knickspannungslinien der DIN EN 1993. Sie sind aus Versuchen für unterschiedliche Profile unter Berücksichtigung von Imperfektionen ermittelt worden.

Bild 1-13: Knickspannungskurven nach DIN EN 1993 (EC 3)

Aus folgt mit Einsetzen der maximal zulässigen Spannung

die Bezugsschlankheit bei S 235: 9,93/5,23/21000

2

2

=⋅=⋅=cmkN

cmkNfE

ya ππλ

Mit iLcr

k min=λ wird der bezogene Schlankheitsgrad

a

kk λ

λλ = berechnet.

Hiermit erhält man aus den Knickspannungslinien den Abminderungsfaktor χ.

Weiteres siehe

• Schneider Bautabellen, 22. Auflage, S. 8.24 ff

• Holschemacher, 7. Auflage, S. 5.12 ff

Mit2

2

2

22

2

2

2

2

2,

ka

k

a

cr

a

crcry

cr

dpl

iL

ILA

EILAf

NN

λλλ

λλπ==

⋅=

⋅⋅

=⋅

⋅⋅= ergibt sich:

AfNundN

NmitNN

ydplM

dplRdb

Rdb

d ⋅=⋅=≤ ,1

,,

,

1γ

χ

2

2

λπσ Ecr

⋅= kycr f ,max =σ

cr

dpl

a

kk N

N ,==λλλ

χ

�̅�𝜆

Eulerhyperbel

1,02

0,4

0,2

0,4 0,8

0,6

0,8

1,2 1,6 2,0 2,4 2,8

Kurve für Biegedrillknicken

a b

c

d


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 21

1.4 Möglichkeiten zur Ermittlung der Schnittgrößen nach Th. 2. O.

1. Arbeitssatz: dxEIxMxMw

l∫=

)(0

)()(

Verformung w0 Zusatzmoment ∆M0 Zusatzverformung ∆w0 . . .

2. Biegelinie für unbelasteten Stab

43

2

2

3

1

32

2

1

11

1

26)(

2)('

)('')()(

0)(

CxCxCxCxEIw

CxCxCxEIw

CxCxEIwxVCxwEI

xwEI

+⋅+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

+⋅=−==′′′

=′′′′

Biegelinie w0 (x) Zusatzmoment ∆M0 Zusatzbiegelinie ∆w0 . . .

Ergebnis aus 1 und 2: Überschlagsformel („Dischinger-Formel“)

0

0

00

1wwwNMM II

∆−

⋅+=

3. Aufstellen der DGL und exakte Lösung der DGL Gleichgewicht am verformten System unter Berücksichtigung des Zusatzmomentes infolge Normalkraft * Verformung Differenzialgleichung


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 22

1.4.1 Iterative Ermittlung des Zusatzmomentes mit dem Arbeitssatz Beispiel: Bild 1-14: Einführendes Beispiel zur Th. 2. Ordnung – Eingespannte Stütze 1. Schritt: Verformung w0 mit dem Arbeitssatz ausrechnen

2. Schritt: Verformung ∆w0 infolge Zusatzmoment ∆M0 (N⋅w0) mit dem Arbeitssatz Bild 1-15: Iterative Ermittlung der Zusatzverformungen mit dem Arbeitssatz

10 m

HEA 260: Ιy = 10450 cm4 E = 210.000 MN/m2

EΙ = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 10450 ⋅ 10-8 m4

EΙ = 21945 kNm2

V = 200 KN

H = 15 KN


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 23

3. Schritt: Verformung ∆w1(0) infolge ∆M1 = N ⋅ ∆w0(0) ∆M1 = -V ⋅ ∆w0(0) = - 200 KN ⋅ 0,0830 m = -

∆w1(0) ≈ 0,4 ⋅ 1EΙ ⋅ ℓ ⋅ [ -V ⋅ ∆w0(0)] [-1 ⋅ℓ] =

≈ 0,3645 ⋅ ∆w0(0) = 0,3645 ⋅ 0,0830 m =

4. Schritt: Verformung ∆w2(0) infolge ∆M2 = N ∆w1(0) ∆w2(0) ≈ 0,3645 ⋅ ∆w1(0) = 0,3645 ⋅ m =



7. Schritt: Verformung ∆w5(0) infolge ∆M5 = N ∆w4(0) ∆w5(0) ≈ 0,3645 ⋅ ∆w4(0) = 0,3645 ⋅ m = Addition:

w(0) = w0(0) + Fehler! Textmarke nicht definiert.Σ ∆wi(0) = 0,2278 m + = 0,3581 m MII = MI + S w(0)

= -15 kN ⋅ 10 m – 200 kN ⋅ 0,3581 m =


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 24

1.4.2 Herleitung einer Überschlagsformel mithilfe der Biegelinie Ausgang: M(x) = -EI w0´´(x)

EIxMw )(−=′′

ξξξ ⋅⋅−=⋅⋅−=°° lHMMlEI

w )();(1 2

ξ⋅⋅⋅⋅=°° lHlEI

w 21

)2

( 123

CEI

lHw +⋅⋅=° ξ

)6

( 2133

CCEI

lHw +⋅+⋅⋅= ξξ

w°(1) = 0 ⇒ C1 = w(1) = 0 ⇒ C2 =

)31

26(

33

+−⋅⋅

=ξξ

EIlHw

Hebelarm: e0 (ξ) = w0(0) – w0(ξ) = )31

26(

3

333

+−⋅⋅

−⋅ ξξ

EIlH

EIlH

e0 (ξ) = )26

(33 ξξ

+−⋅⋅

EIlH

Zusatzmoment ∆M0(ξ) = -N ⋅ e0 (ξ)


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 25

Berechnung von ∆w0 infolge ∆M0

∆w0°° = - 1EΙ ℓ

2 ∆M0 (ξ);

= )3(6

)( 322

ξξε −⋅⋅⋅−⋅− lHEIl

∆w0(ξ) =

−+−⋅⋅−

54

45

2206

3523 ξξξεEIHl

∆e0 (ξ) = ∆w0(0) – ∆w0(ξ)

∆e0 (ξ) =

+−⋅⋅

45

2206

3523 ξξξεEIHl

Zusatzmoment ∆M1(ξ) = -N ⋅ ∆e0 (ξ)

= - N ⋅

+−⋅⋅

45

2206

3523 ξξξεEIHl

= - ( )ξξξεε 2510!5

352

2 +−⋅⋅Hl

=


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 26

Berechnung der Zusatzmomente durch Auswertung der Biegelinien s.a Krüger, Stahlbau II

Das exakte Ergebnis lautet MII = 221,8969 kNm

36936,0

36931,0

36889,0

36355,0

30379,0

3

4

2

3

1

2

0

1

0

0

=∆∆

=∆∆

=∆∆

=∆∆

=∆

MMMMMMMM

MM

kNmMMM

kNmMkNmMkNmMkNmMkNmMkNmMkNmM

kNmMMMMM

kNmMMM

kNmMMM

kNmMMM

kNmMMM

kNmMMM

kNmmkNlHM

ii

IIges 8966,221

0003,00008,00021,00057,00156,00421,01140,0

3087,036936,0

8359,000557,01559251382

2631,201509,02835

62

1279,604085,0315

17

6119,1611075,03

2

5685,4530379,03

0000,1501015

11

10

12

11

10

9

8

7

6

443

45

00

8

4

00

6

3

00

4

2

00

4

1

00

3

0

0

−==∆+=

−==∆−==∆−==∆−==∆−==∆−==∆−==∆

−=∆⋅=∆⋅∆∆

=∆

−=⋅=⋅⋅

=∆

−=⋅=⋅⋅

=∆

−=⋅=⋅⋅

=∆

−=⋅=⋅⋅

=∆

−=⋅=⋅=∆

−=⋅−=⋅−=

∑=

ε

ε

ε

ε

ε


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 27

Zusammenfassend ergibt sich:

....22

31

1

20

0

100 +∆∆

∆+∆

∆∆

+∆∆∆

+∆+= MMMM

MMM

MMMMM II

0

1

MM

∆∆ ≈

1

2

MM

∆∆

≈ 2

3

MM

∆∆

≈ 3

4

MM

∆∆

≈ ...

....20

11

0

10

0

100 +∆∆

∆+∆

∆∆

+∆∆∆

+∆+= MMMM

MMM

MMMMM II

...)1( 543200 ++++++⋅∆+= αααααMMMII

α−∆

+=1

00

MMM II ;

0

1

00

1MM

MMM II

∆∆

−

∆+=

∆M0 = N ⋅ w0; ∆M1 = N ⋅ ∆w0

0

0

00

1wwwNMM II

∆−

⋅+= =

0

0

00

1ww

wNM∆

−+ = IIwNM ⋅+0

0

0

0

1ww

wwII∆

−=

Für unser Beispiel:

=⋅

=EI

lHw3

3

0 ;

mlwNlEI

w 0831,0)1()(4,01 00 =⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=∆

=−

=∆

−=

2278,00831,01

2278,0

10

0

0

ww

wwII

=⋅+=⋅+= 3586,02001500IIII wNMM


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 28

1.4.3 DGL für Elastizitätstheorie 2. Ordnung (exaktes Verfahren) Gleichgewicht am verformten System bei kleinen Verformungen

Bild 1-16: Schnittkraftdefinitionen bei Theorie 2. Ordnung

00:0

=′

=−+=∑S

SdSSFx

)(0)(:0

xqTdxxqTdTTFz

−=′

=⋅+−+=∑

TwSMdxTdwSdM

dxTdwSdxqMdMMM

=′⋅+′=⋅−⋅+

=⋅−⋅+⋅+−+=∑0

02

:02

02 =′′⋅+′′′′ ww ω Lösung:

A,B,C,D mit Randbedingungen

charakteristische Gleichungen für unterschiedliche Eulerfälle

Eigenwerte, Eigenformen

Knicklasten, Knicklängen

M

S M+ dM T+dT

S+dS

T dw

q(x)

KnickenbeiqFSEIS

EIqw

EISw

xqwSwEIwEIM

xqwSMSxqwSwSM

TwSM

0;;;

)()(

)(0);(

)(

2 =−===′′⋅−′′′′

−=′′⋅+′′′′⋅−

′′⋅−=−=′′⋅+′′

=′−=′′⋅+′⋅′+′′′=′′⋅+′′

ω

dx

DxCxBxAxw +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ωωω )sin()cos()(


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 29

02 =′′⋅+′′′′ ww ω

1.4.4 Eingespannte Stütze mit Hilfe der DGL Bild 1-17: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL) Lösung nach Theorie 1. Ordnung

)sin()cos()()cos()sin()(

)sin()cos()()cos()sin()(

)sin()cos()(

44

33

22

xBxAxwxBxAxw

xBxAxwCxBxAxw

DxCxBxAxw

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=′′′′

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=′′′

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=′′

⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=′+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

ωωωω

ωωωω

ωωωω

ωωωωωωωω

10 m

HEA 260: Ιy = 10450 cm4 E = 210.000 MN/m2

EΙ = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 10450 ⋅ 10-8 m4

EΙ = 21945 kNm2

V = 200 KN H = 15 KN


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 30

Lösung nach Theorie 2. Ordnung

RB 1: w(0) = 0

RB 2: w´(0) = 0

RB 3: w´´(ℓ) = 0

RB 4:

Mit C = -B folgt

und

ADDADCBAw

−==++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

;00)0sin()0cos()0( ωωω

BCCBCBAw

−==+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=′

;0)0cos()0sin()0( ωωωωω

BlAlBlAlw

⋅⋅−==⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=′′

)tan(0)sin()cos()( 22

ωωωωω

DxCxBxAxw +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ωωω )sin()cos()(

[ ][ ] HCBAS

BAIEwSMHT

=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−

′⋅+′==

ωωωωωωωωω

)0cos()0sin()0cos()0sin(

)0()0()0(33

[ ][ ]

3

333

33

2

)0cos()0sin(

)0cos()0sin(

ω

ωωωωω

ωωωω

⋅⋅=+⋅

⋅=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−

IEHCB

IEHCBA

BA

3ω⋅⋅=

IEHB

3)tan()tan( ωωω

⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅−=

IEHlBlA


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 31

Damit für dieses Beispiel

𝑤𝑤(𝑥𝑥) = − tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) ∙𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3∙ cos(𝜔𝜔 ∙ 𝑥𝑥) +

𝐻𝐻𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3

∙ sin(𝜔𝜔 ∙ 𝑥𝑥)

−𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3∙ 𝜔𝜔 ∙ 𝑥𝑥 +


∙ tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙)

𝑤𝑤(0) = − tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) ∙𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3∙ cos(𝜔𝜔 ∙ 0) +


∙ sin(𝜔𝜔 ∙ 0)

−𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3∙ 𝜔𝜔 ∙ 0 +



𝑤𝑤(𝑙𝑙) = − tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) ∙𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3∙ cos(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) +


∙ sin(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙)

−𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3∙ 𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙 +




27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 32

Lösung mit normierten Koordinaten

EIqlw

EISlw

EIqw

EIS

lw

l

ddww

ddw

lw

lx

42

24

11

;1;

=°°⋅−°°°°

=°°⋅−°°°°⋅

=°⋅=′⇒=ξξ

ξ

Bei Druck ist S < 0

EIqlq

hlStabkennzaEI

lSEIS

l

qwwEIqlw

EIS

lw

SS

4*

2

222

*2

42

;;

=

⋅==⋅=

=°°⋅+°°°°

=°°⋅+°°°°

εεε

ε

Homogene DGL

DCBAwww

H +⋅+⋅⋅+⋅⋅==°°⋅+°°°°

ξξεξεε

)sin()cos(02

Probe:

)sin()cos()cos()sin(

)sin()cos()cos()sin(

44

33

22

ξεεξεε

ξεεξεε

ξεεξεε

ξεεξεε

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=°°°°

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=°°°

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=°°

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=°

BAwBAwBAw

CBAw

Partikularlösung für konstante Querlast: wp = ± 2

2*

21

s

qεξ


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 33

Beispiel mit normierter DGL

Bild 1-18: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL)

DCBAw +⋅+⋅⋅+⋅⋅= ξξεξε )sin()cos( Lösung für Th. II. O auf Basis der DGL durch Einsetzen der RB:

10 m

HEA 260: Ιy = 10450 cm4 E = 210.000 MN/m2

EΙ = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 10450 ⋅ 10-8 m4

EΙ = 21945 kNm2

V = 200 KN

H = 15 KN

Lösung nach Th.I.O.

ADDCBAwRB −=⇒=+⋅+⋅⋅+⋅⋅== 00)0sin()0cos(0)0(:1 εε

[ ]

[ ]

IElH

IESC

IESB

lB

IElHCBA

IES

BAl

IElH

lwS

lowEI

Hl

wSl

wEI

HwSMTRB

⋅⋅

=⋅

⋅+⋅⋅

⋅+⋅

⋅⋅

=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅

+

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

=°

⋅+°°°

⋅−

=°

⋅+°°°

⋅−

=′⋅+′=

εε

εεεε

εεεε

2

3

332

3

3

)0cos()0sin(

)0cos()0sin(1

)0()(

)0()0()0()0()0(:4

εεεεε ⋅−=⇒+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−==° BCCBAwRB )0cos()0sin(0)0(:2

εεεεε tan)1sin)1cos(0)1(:3 22 ⋅−=⇒⋅⋅⋅+⋅⋅==°° BABAwRB


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 34

Damit ergibt sich für dieses Beispiel:

)1tan()0()0()sin(cos

)0(−+⋅+⋅

⋅⋅⋅

−=ε

εξεξεε S

TlS

TlS

TlwII

−=== 1tan)1()1(max

εεξ

STlwwII

T(0) = ; S =

EIlS ss

ss

2

2 == εε =

=εtan

=ε

εtan

=IIwmax

)0(wSMM III ⋅+=

= -

−⋅⋅+⋅ 1tan)0(

εε

STlSlH

= -

−+⋅⋅ 1tan1

εεlH

=

⋅−

εεtanHl =


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 35

1.5 Beispiel: Rahmentragwerk

1.5.1 System, Belastung, Schnittkräfte nach Th. I. Ordnung

Bild 1-19: Rahmenbeispiel für Th. 2. Ordnung, [16]

Stiel: ΙPE 400, ΙS = 23130 cm4

EΙS = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 23130 ⋅ 10-8 m4 = 48573 kNm2

Riegel: ΙPE 500, ΙR = 48200 cm4; 480,04820023130

==R

S

II

Auflagerkräfte

H = 18 kN

F = 200 kN

IPE 400

IPE 500 HEA 160

5,00 m

15,00 m

3,50 m

F = 200 kN q = 12 kN/m

H = 18 kN

F = 200 kN

5,00 m 3,50 m

F = 200 kN q = 12 kN/m


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 36

Momentenlinie M0 Bild 1-20: Biegemomentenlinie nach Th. 1. O. Erfordernis von Theorie 2. Ordnung Kriterium 1

2

2

,, ?1,0k

dKidKi sEINNN ⋅=> π ; Ideelle Knicklast

lsk ⋅= β mit Tabellenwerken, s.u. Oder: Kriterium 2:

β ⋅ εs > 1 ?; β = Lcr/ (Knicklängenbeiwert , mit Tabellenwerken, s.u.)

=±=EI

lS sss

2

ε

Mit Rahmenformel Holschemacher Mit Rahmenformel Krüger Kriterium 1

Kriterium 2

=⋅

=++⋅+=

=⋅⋅

=

==

βε

β 2

1

02,04,1496,01 ccn

hIbIc

NNn

R

S

=⋅

=

=⋅=

=

⋅⋅⋅⋅+

++

⋅=

=

2

2

,

3)1(

1245

kdKi

K

R

RS

sEIN

ls

hIlI

π

β

κκπβ

κ


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 37

1.5.2 Ermittlung der Schnittkräfte nach Th. 2. Ordnung mit Hilfe des Arbeitssatzes

Momentenlinie M0 Berechnung von w0

Bild 1-21: Momente und Verformungen nach Th. 1. Ordnung

H = 1


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 38

Zusatzmomente ∆M0 infolge w0

Bild 1-22: Zusatzmomente für Theorie 2. Ordnung Berechnung von ∆w0


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 39

1.5.3 Zusammenfassende Darstellung der Ergebnisse Theorie I. Ordnung Bild 1-23: Biegemomente und Verformung nach Th. 1. O. mit STAB2D Theorie 2. Ordnung Bild 1-24: Biegemomente und Verformung nach Th. 2. O. mit STAB2D


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Abtriebskraft Bild 1-25: Abtriebskraft * Bild 1-26: Verformungen nach Th. 2. O. mit STAB2D

Unterschiede Theorie 1. Ordnung – Theorie 2. Ordnung Aspekt Th. I. Ordnung Th. II. Ordnung Eckverformung w0 = 0,121 m

(Arbeitssatz) ∆w0= 0,037 m (2. Mal Arbeitssatz)

174,0

121,0037,01

121,0

10

0

0 =−

=∆

−=

ww

wwII

Auflagerkräfte BH = 0 kN, A = 284 kN, B = 296 kN

BH = 15 kN (Abtriebskraft !!) A = 276 kN, B = 304 kN

Eckmoment Meck = AH·5 = 18·5 = 90 kNm

Meck = AH ·5

+ ∆AH ·5 (Abtriebskraft)

+ A ·wΙΙ (N*Hebelarm) = 213 kNm


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 41

Knickuntersuchung Bild 1-27: Ergebnisse der Knickuntersuchung mit STAB2D Ergebnis: Ncr = Lcr=


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 42

1.5.4 Computerunterstützte Berechnung Bild 1-28: Rahmen mit EDV Programmsystem DTE von PCAE: Wesentliche Arbeitsschritte (2D-Rahmen) Programm DTE aufrufen Schreibtisch (Rechnername, z.B. Hiddesen) wählen Projekt wählen, ggfs. erzeugen (z.B. KGrossmann) Projekt wählen, ggfs. erzeugen (z.B. Statik-Übung) Bauteil wählen, ggfs. erzeugen (z.B. Stahlrahmen)

o Problemklasse zuordnen (Platte oder Scheibe oder 2D-Rahmen ...) Systemdefinition

o Rechenmodus (Material, lineare und/oder nichtlineare Berechnung) o Punkte, Linien erzeugen o Ggfs. Punkttabelle anpassen (genaue Koordinateneingabe) o Lagerungsbedingungen o Gelenksituation an den Stäben o den Stäben Querschnitte zuordnen o Lastfälle definieren

LF1: Gleichlast LF2: Einzellasten

o Einwirkungen definieren o Extremierung / Lastkollektive definieren

Berechnung Visualisierung und drucken

(0 / 5)

(0 / 0) (15 / 0)

(15 / 3,50)

1

2 3

4

X

Z H = 18 kN

F = 200 kN

IPE 400

IPE 500 HEA 160

5,00 m

15,00 m

3,50 m

F = 200 kN q = 12 kN/m


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 43

1.6 Zusammenfassung

DGL / Arbeitsintegral Lösung Th. 1. O. )()( xqxwEI =′′′′

dxEI

xMxMwl∫=

)(0

)()(

43

2

2

3

1

4

2624)( CxCxCxCxqxEIw +⋅+⋅+⋅+⋅=

(Polynom !)

z.B.: EIlqw

EIlFw

⋅⋅⋅

=⋅⋅

=3845max;

3

43

0

Th. 2.0

02 =°°⋅+°°°°

=′′⋅−′′′′

wwEIqw

EISw

ε

dxEI

xMxMwl

ii ∫

∆=∆

)(

)()(

21)cos()sin( CCBAwH +⋅+⋅⋅+⋅⋅= ξξεξε

0

0

0

1ww

wwII∆

−=

(„Dischinger-Formel“)

Stabilität Kein q vorh. !

02 =+′′ ww λ

EIN

=2λ

Eigenwertproblem

xBxAw λλ sincos ⋅+⋅= Lösung: Eigenform ( z.B. Sinushalbwelle)

Eigenwert: 2

22,2

ln

EN idK

nπλ ⋅=

Ι=

2

2

, lEIN idk

π⋅=

Bild 1-29: Verzweigungsproblem - Spannungsproblem

F

Spannungsproblem

W

Verzweigungspunkt

Stabilitätsproblem

Fcr


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2 Verschieblichkeitsuntersuchungen mit Hilfe des Polplans

2.1 Regeln für die Polplanerstellung

1. Jedes Tragwerksteil i dreht sich um seinen Hauptpol (i). 2. Feste (zweiwertige) Lager sind Hauptpole.

3. Der Hauptpol eines durch ein bewegliches (einwertiges) Lager gestützten Tragwerkteils liegt auf der im Lagerpunkt errichteten Senkrechten zur möglichen Bewegungsrichtung.

4. Der Hauptpol eines Tragwerksteils, das nur Translationsbewegungen erfährt, liegt im Unendlichen.

5. Der Nebenpol (ij) liegt stets auf der Verbindungslinie der beiden Hauptpole (i) und (j). Fallen zwei dieser Pole zusammen, dann liegt der dritte am selben Ort.

6. Zwei Tragwerksteile i und j drehen sich gegeneinander in ihrem Nebenpol (ij).

Liegt dieser Nebenpol im Unendlichen, so bewegen sich beide Tragwerksteile parallel mit dem gleichen Drehwinkel.

(1)

(1,2) (2)

∞

(1)

(1)

(1) ∞

(1)


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7. Das Verbindungsgelenk zweier Tragwerksteile ist deren gemeinsamer Nebenpol. 8. Nebenpole bei V- und N-Mechanismen liegen im Unendlichen senkrecht zur

möglichen Bewegungsrichtung. 9. Die drei Nebenpole (ij), (jk) und (ik) liegen stets auf einer Geraden. Fallen zwei

dieser Nebenpole zusammen, dann liegt der dritte am selben Ort. 10. Tritt im Polplan bei einem Tragwerksteil ein Widerspruch auf, dann ist dieses

Tragwerksteil entweder fest oder Teil eines in sich unverschieblichen Tragwerkverbandes, der als ein Tragwerksteil betrachtet werden kann.

Regeln aus [18] Meskouris/ Hake: Statik der Stabtragwerke

2.2 Kinematik

2.2.1 Allgemeines Der Polplan ist ein Hilfsmittel für Verschieblichkeitsuntersuchungen (z.B. Ausnahmefall der Statik), bei der Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückungen (PdvV)

o zur alternativen Bestimmung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen, o im Rahmen des Drehwinkelverfahrens, o für die Ermittlung von Einflusslinien.

Bei der Anwendung des PdvV ist zu beachten: Die Verschiebungen sind gedacht und sehr klein. Zur Ermittlung von Zustandsgrößen mithilfe des PdvV ist die Ermittlung der geometrischen Zusammenhänge (Kinematik) bei der Verschiebung erforderlich.

2.2.2 Beispiele zur Ermittlung kinematischer Größen Für die im Folgenden dargestellten verschieblichen Systeme sind

a) der Polplan zu zeichnen (Regeln in Kap 1.1 beachten !), b) die Verschiebungsfiguren zu zeichnen

(Jeder Punkt bewegt sich senkrecht zu seinem eigenen Polstrahl. Ein Polstrahl ist die Verbindungslinie vom betrachteten Punkt zum zugehörigen Pol.)

c) sowie die kinematischen Zusammenhänge zu ermitteln (Abhängigkeit der Stabdrehwinkel untereinander sowie ausgewählter Verschiebungsgrößen).

(GK/AK = Winkel ψ = Differenzwinkel zwischen Ursprungspolstrahl und „ausgelenktem Polstrahl“ für jeden betrachteten Punkt.

I.d.R. ist ψ1 gegeben. Gesucht sind dann beispielsweise:

ψ2 (ψ1) ; ∆g(ψ1);


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 46

Beispiel 1 a) Polplan

b) Verschiebungsfigur

Bild 2-1: Beispiel 1: Polplan und Verschiebungsfigur

4

4

2


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 47

Beispiel 2 (Video) a) Polplan b) Verschiebungsfigur

Bild 2-2: Beispiel 2: Polplan und Verschiebungsfigur

2

4

3

6


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 48

c) Kinematik Bild 2-3: Beispiel 2: Kinematik


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 49

Beispiel 3 Bild 2-4: Beispiel 3 Beispiel 4

Bild 2-5: Beispiel 4

5

4

3 3 3

6

4

5


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 50

Beispiel 5

Bild 2-6: Beispiel 5 Beispiel 6 Bild 2-7: Beispiel 6

x‘ x ℓ

Geg.: ℓ, x, x´; ψ1 + ψ2 = 1 Ges.: ∆g (ℓ, x, x‘)

6 26

26


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 51

Beispiel 7

Bild 2-8: Beispiel 7 Beispiel 8 Bild 2-9: Beispiel 8

1

3 2 5 4

2

6

4


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 52

Beispiel 9 Bild 2-10: Beispiel 9 Gesucht:

a) Polplan

b) Verschiebungsfigur

c) Nachvollziehbare Ermittlung mit Zahlen und Einheiten von

ψ1, ψ2, ∆s1v, ∆s1h, ∆s1, ∆s2v, ∆s2h, ∆s2, ∆s3v, ∆s3h, ∆s3, ∆s4v, ∆s4h, ∆s4

infolge ∆sA = 2 cm

m 2

4m

m 3

m 3

1 2

3 4

∆sA = 2 cm

m 3


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 53

2.3 Zusammenfassung

• Statisch unterbestimmte Systeme sind verschieblich. • Die Verschiebungsfigur nennt man Mechanismus oder

kinematische Kette. • Die formelmäßige Beschreibung des Mechanismus nennt man

Kinematik. • Bei der Verschiebung hat jedes Tragwerksteil einen festen

Drehpunkt (Pol). • Regeln zur Polplanerstellung: s. Abschn. 1.1. • Bei der Beschreibung des Mechanismus wird sich auf sehr kleine

Verschiebungen bezogen, die dann vergrößert dargestellt werden. • Tangente, nicht Kreisbogen!

• Es ergibt sich: Winkel = Gegenkathete zu Ankathete • Die Verbindung von einem Punkt zum zugehörigen Pol nennt man

Polstrahl. • Ein Punkt eines verschieblichen Tragwerksteils bewegt sich immer

senkrecht zum zugehörigen Polstrahl. • Zur Berechnung von Horizontal- oder Vertikalanteilen von schrägen

Verschiebungen „Projizierte Polpläne“ Bild 2-11: Konstruktion des Mechanismus mit dem Polplan


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 54

3 Einflusslinien 3.1 Allgemeines

Zur Ermittlung der Einflusslinie für eine Auflagerkraft / Schnittgröße oder für eine Verformung

an einer ausgewählten Stelle m lässt man eine Last F = 1 kN über das Tragwerk wandern

und trägt die sich ergebenden Werte der gesuchten statischen Größe unter der jeweiligen Laststellung xL als Ordinate auf.

Bild 3-1: Wanderlast

Die Einflussordinate ηSm (xL) gibt die statische Größe Sm an der Stelle m im Tragwerk

infolge der äußeren Einheitsbelastung an der Stelle xL an. Die statische Größe Sm infolge wirklicher Einzellasten und / oder Streckenlasten

in gewählten Laststellungen xL ergibt sich zu

∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη .

Die Maßeinheit der Einflussordinate wird sowohl durch die Art der statischen Größe Sm als auch durch die Art der Lastgröße bestimmt.

F = 1 kN

m


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 55

3.2 Statisch bestimmte Stabwerke

3.2.1 Gleichgewichtsmethode Beispiel: Balken auf 2 Stützen

Gesucht: Einflusslinien für die Auflagerkräfte A und B : ηA und ηB

sowie die Einflusslinien für das Biegemoment und die Querkraft bei x1 : ηM1 und ηV1

Bild 3-2: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment Anschauliches Excel-Programm von Prof. Dr.-Ing. Jens Göttsche, FH Buxtehude: http://extra.hs21.de/seiten/goettsche/index.htm

F = 1 kN xL

x1 x´1 = -x1

lx

A −= 1ηlx

B =η

F = 1 kN xL

F = 1 kN xL

x1 x´1 = -x1

F = 1 kN xL

http://extra.hs21.de/seiten/goettsche/index.htm


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 56

3.2.2 Kinematische Methode basierend auf dem PdvV Das Prinzip der virtuellen Verrückungen

Zur Bestimmung einer Auflagergröße oder Schnittgröße wird an der entsprechenden Stelle die gesuchte Größe durch Entfernen der Auflagerbindung oder Einführung eines Gelenkes gelöst. Danach wird durch Aufbringen einer virtuellen Verrückung (sehr klein, gedacht ) eine Verschiebungsfigur erzeugt. Mit Hilfe der kinematischen Zusammenhänge lassen sich aus der Formulierung des Arbeitssatzes

**WA =

die gesuchten Schnittgrößen oder Auflagerkräfte ermitteln. Beispiele Bild 3-3: Beispiele zum Prinzip der virtuellen Verrückungen Ohne weitere Herleitung: Erzeugt man eine Verschiebungsfigur (Biegelinie) durch Aufbringen der Verformung (Verschiebung oder Verdrehung) von der Größe 1 entgegen gesetzt zur gesuchten statischen Größe, so stellt die Verschiebungsfigur (Biegelinie) die Einflusslinie dar.

Bei statisch bestimmten Systemen verlaufen die Einflusslinien geradlinig.

Bei statisch unbestimmten Systemen verlaufen die Einflusslinien gekrümmt.


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 57

Beispiel zur Ermittlung von Einflusslinien mithilfe der kinematischen Methode Bild 3-4: System und Lastbild für Einflusslinie Gegeben: System und Lastenzug gem. Zeichnung

Gesucht: 1) ηA, ηB , ηM1 und ηV1 2) Auswertung der ELn für Laststellungen, die extremale Schnittgrößen hervorrufen

Kinematik für ηV1 Kinematik für ηM1 Bild 3-5: Kinematiken zu Einflusslinien an statisch bestimmten Systemen

2,4 3,6 3,0

3*100 kN

1,5 1,5


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Auswertung: ∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη max A min A max A = min A = max B min B max B = min B = max M1 min M1 max M1 = min M1 = max V1 min V1 max V1 = min V1 =


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 59

3.2.3 Vorgehen und Merkregeln Die Ermittlung von Einflusslinien für Kraftgrößen erfolgt an statisch bestimmten Systemen in vier Schritten:

1. Man erzeugt die zugehörige zwangläufige kinematische Kette, indem man die gesuchte statische Größe - die Lagerreaktion oder Schnittgröße - freisetzt.

2. Im Polplan werden die Haupt- und Nebenpole aller Scheiben ermittelt. 3. Die Verschiebungsfigur der kinematischen Kette entsteht infolge der Verschie-

bungsgröße 1, die entgegen der Richtung der gesuchten statischen Größe angesetzt wird.

4. Je nach Art der Lastgröße sind als Einflusslinie die vertikalen - oder die horizontalen - Verschiebungen oder die Neigungen derjenigen Scheiben auf-zutragen, über die die Last wandert.

Diese Einflusslinien haben folgende Eigenschaften: 1. Geradliniger Verlauf im Bereich eines Tragwerkteiles. 2. Nullstellen unter den Hauptpolen von Tragwerksteilen. 3. Knicke unter den Nebenpolen benachbarter Tragwerksteile. 4. Sprünge in Richtung der Verschiebungsmöglichkeiten bei Querkraft- und

Normalkraftgelenken. Für die Darstellung einer Einflusslinie gelten dieselben Regeln wie für Darstellungen von Zustandslinien:

1. Positive Einflussordinaten werden in positiver z-Richtung aufgetragen. 2. Die Funktionen werden aus Gründen der Übersichtlichkeit schraffiert und mit

Vorzeichen versehen. 3. Es genügt die Angabe einer Ordinate oder eines charakteristischen Winkels, da

sich alle übrigen Ordinaten nach dem Strahlensatz berechnen lassen. 4. Die Angabe der Maßeinheit der Einflussordinaten ist der nachfolgenden Tabelle zu

entnehmen. Tabelle 3-1: Dimensionen für Einflusslinien )(xSmη

Einflusslinien für Belastung Schnittgrößen Auflagerkräfte N V M A ME FV = 1 - - L - L FH = 1 - - L - L M = 1 1/L 1/L - 1/L -


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 60

3.2.4 Zusammenfassung Aus Gleichgewicht Kinematische Methode Bild 3-6: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment

1

1

1

F = 1 kN x

lx

A −= 1η

1

lx

B =η

lxx

M11

1′⋅

=η

x1

x1


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 61

3.3 Einflusslinien bei statisch unbestimmten Stabtragwerken

Satz von Land Die Einflusslinie für eine Kraftgröße

entspricht der Biegelinie am (n-1)-fachen statisch unbestimmten System, wenn entgegen der Kraftgröße

die zugehörige Verschiebungsgröße 1 erzeugt wird.

EL für A: ηA EL für M1 : ηM1 Bild 3-7: Einflusslinien für Auflagerkräfte und Biegemoment beim Zweifeldträger Positive Schnittgröße an der Stelle m Zugehörige entgegen gestezte Einheitsverschiebung

1

Vm

Nm

Mm

wr=-1

ur=-1

ϕ r=-1

MTm

ϑr=-1

1


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 62

3.4 Lastannahmen für Straßenbrücken und Eisenbahnüberführungen

3.4.1 Verkehrslasten auf Straßenbrücken nach DIN EN 1991 – 2NA/2012-08 Bild 3-8: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 – 2 (Lastmodell LMM) Tabelle 3-2: Belastung auf Straßenbrücken nach DIN EN 1991 – 2/NA2012-08

Stellung

Doppelachse Gleichmäßig verteilte Last

Grundwert Angepasster Grundwert

Grundwert Angepasster Grundwert

Achslast Qik in kN

αQi Achslast

αQi ∙Qik in kN

qik (oder qrk) in kN/m2

αqi αQi ∙qik in kN/m

Fahrstreifen 1 300 1,0 300 9,0 1,33 12

Fahrstreifen 2 200 1,0 200 2,5 2,4 6

Fahrstreifen 3 100 1,0 100 2,5 1,2 3

Andere Fahrstreifen

0 - 0 2,5 1,2 3

Restfläche 0 - 0 2,5 1,2 3 Charakteristischer Wert der Achslast:

mit Qik :charakteristischer Wert (Grundwert) der Achslast im Fahrstreifen i und αQi: Abminderungsfaktor

1,20

2 3 Doppelachse

Die Fahrstreifen 1 bis 3 sind unmittelbar nebeneinander ohne Restfläche zwischen diesen Fahrstreifen anzuordnen. Die Doppelachsen in diesen Fahrstreifen sind in Querrichtung als nebeneinander stehend anzusehen.

ikQik QQ ⋅= α

Fahrstreifen 1

Fahrstreifen 2

Fahrstreifen 3

Restfläche

3 m

3 m

3 m

12 kN/m2

6 kN/m2

3 kN/m2

3 kN/m2

3 kN/m2


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Für den Fahrstreifen 1 ergibt sich folgendes Lastbild bezogen auf einen gedachten Balken von 3 m Breite:

Bild 3-9: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 -2/NA für Fahrstreifen 1 Betrachtung der Querrichtung

Bild 3-10: Lastverteilung in Querrichtung bei Straßenbrücken (LMM)

150 kN

p =12 kN/m2

150 kN

100 kN 100 kN

p = 3 kN/m2

Überbau

2 m 2 m

1,20

300 kN 300 kN

p = 36 kN/m

p =6 kN/m2

50 kN 50 kN

2 m

Geländer

Belag Kappen

p = 3 kN/m2


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 64

3.4.2 Entwicklung der Lastannahmen für Straßenbrücken

DIN 1072 (1985)

BKL 60/30

DIN Fachbericht 101 (2003/2009)

Lastmodell 1 (LM1)

DIN EN 1991-2/NA2012-10

Modifiziertes Lastmodell

(LMM)

SLW 60: 3 Achsen á ϕ⋅200 kN

SLW 30: 3 Achsen à 100 kN

Hauptfahrstreifen: ϕ⋅5 kN/m2

Nebenfahrstreifen: 3 kN/m2

Restfläche: 3 kN/m2

SLW: Schwerlastwagen

ϕ: Schwingbeiwert

TS 1: 2 Achsen á 240 kN


Fahrstreifen 1: 9 kN/m2

Fahrstreifen 2: 2,5 kN/m2

Restfläche: 2,5 kN/m2

TS: Tandemsystem







Restfläche: 3 kN/m2

TS: Tandemsystem

p =12 kN/m2

150 kN 100 kN 100 kN

p = 3 kN/m2

2 m

p =6 kN/m2

50 kN 50 kN

2 m

p = 3 kN/m2

150 kN

2 m

p =9 kN/m2

120 kN

80 kN 80 kN

p = 2,5 kN/m2

2 m 2 m

p = 2,5 kN/m2

120 kN

2 m

Fahr

stre

ifen

1

Fahr

stre

ifen

2

Fahr

stre

ifen

3 1,2 m

3 m 3 m 3 m

Hau

ptfa

hrst

reife

n 1

Neb

enfa

hrst

reife

n 2

3 m 3 m

1,5 m

1,5 m

1,5 m

1,5 m

Fahr

stre

ifen

1

Fahr

stre

ifen

2

Fahr

stre

ifen

3

1,2 m

3 m 3 m 3 m

p =ϕ⋅5 kN/m2

ϕ100 kN 50 kN 50 kN

p = 3 kN/m2

2 m

p =3 kN/m2

2 m

ϕ100 kN


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 65

3.4.3 Lastbild UIC 71 für Eisenbahnbrücken (Union international chemin de fer, internationaler Eisenbahnverband)

Bild 3-11: Verkehrslasten auf Eisenbahnbrücken nach DIN-Fachbericht 101

Computerunterstützte Berechnung mit Trägerrostprogramm

Bild 3-12: Trägerrostmodell

Hauptträger (HT) Querträger (QT) Endquerträger (EQT)

1,60

250 kN 250 kN 250 kN 250 kN

80 kN/m 80 kN/m

1,60 1,60 0,80

6,40

Radsatzlasten

0,80 Beliebige

Länge

Streckenlast

Beliebige Länge

Streckenlast


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 66

3.5 Beispielaufgaben

3.5.1 Gelenkträger Bild 3-13: Gelenkträger- System und Lastbild Gegeben: System und Lastbild gem. Zeichnung

Gesucht: ηM1, ηV1, ηA , ηB , ηc , ηMB , ηMC Verkehrslaststellung zur Erzeugung extremaler Schnittgrößen Auswertung der ELn für die gefundenen Laststellungen

a) Einflusslinie für das Biegemoment M1 (ηM1 ) Polplan Einflusslinie

1,5 1,5 1,5 1,5

4 4 2 6 3

3*200 kN p = 15 kN/m

1

p = 15 kN/m


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 67

Verkehrslaststellung für maximales Moment

Auswertung ( ∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη ) max M1 = Berechnung von max M1 mit Stab2D Bild 3-14: Gelenkträger- Momentenlinie mit Stab2D


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 68

Verkehrslaststellung für minimales Moment minM1 =

b) Einflusslinie für die Querkraft V1 (ηV1 ) Polplan Einflusslinie Verkehrslaststellung für maximale Querkraft max V1 = Verkehrslaststellung für minimale Querkraft min V1 =


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 69

c) Einflusslinie für die Auflagerkraft A ( ηA ) Verkehrslaststellung für maximale Auflagerkraft A max A = Verkehrslaststellung für minimale Auflagerkraft A min A =

d) Einflusslinie für die Auflagerkraft B ( ηB ) Verkehrslaststellung für maximale Auflagerkraft B max B=


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 70

Verkehrslaststellung für minimale Auflagerkraft B min B =

e) Einflusslinie für die Auflagerkraft C ( ηC ) Verkehrslaststellung für maximale Auflagerkraft max C=

f) Einflusslinie für das Stützmoment MB (ηMB ) Polplan Einflusslinie Verkehrslaststellung für minimales Stützmoment min MB min MB =


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 71

3.5.2 Gelenkträger 2 zum Selberrechnen Bild 3-15: Gelenkträger 2 - System und Lastbild Gegeben: System und Lastbild gem. Zeichnung

Gesucht: ηA , ηB , ηc , ηD, ηMB , ηMC, ηM1, ηV1, ηM2, ηV2, ηM3, ηV3 Verkehrslaststellung zur Erzeugung extremaler Schnittgrößen Auswertung der ELn für die gefundenen Laststellungen

1,5 1,5 1,5 1,5

6 2 1

3

3*200 kN p = 15 kN/m p = 15 kN/m

2 3 1

2 2 1,5

4


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 72

3.5.3 Gelenkträger 3 zum Selberrechnen Bild 3-16: Gelenkträger 3 - System und Lastbild Gegeben: System und Lastbild gem. Zeichnung

Gesucht: ηA , ηB , ηc , ηD, ηMB , ηMC, ηM1, ηV1 Verkehrslaststellung zur Erzeugung extremaler Schnittgrößen Auswertung der ELn für die gefundenen Laststellungen

1,2 m

7 2

3

2*300 kN

q = 36 kN/m

1

5 3 4


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 73

3.5.4 Ermittlung der Einflusslinien mit Hilfe STAB2D

ηA

ηM1

ηMB Bild 3-17: Einflusslinien Zweifeldträger mit STAB2D


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 74

3.5.5 Dreifeldträger Für den dargestellten Dreifeldträger sind folgende Einflusslinien gesucht:

ELn für die Auflagerkräfte A und B,

ELn für die Feldmomente M1 und M2 jeweils in Feldmitte

sowie die ELn für die Stützmomente MB und Mc

Es sind zunächst die qualitativen Verläufe der ELn sowie die zugehörigen Laststellungen mit dem vereinfachten Lastbild aus der DIN 1072 gesucht.

Die genauen Ordinaten sind computerunterstützt zu ermitteln.

Auf der Basis der ermittelten Ordinaten sind mit dem vereinfachten Lastbild die Extremwerte der gesuchten Auflagerkräfte zu ermitteln.

ηA

ηB

EI = const

6 8 5

1,5

1,5

1,5

200 kN p = 15 KN/m

1,5

p = 15 kN/m

200 KN 200 KN


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 75

ηM1

ηM2

ηMB

ηMc


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 76

Computerunterstützte Ermittlung der Einflusslinien ηA

ηM1

ηMb Bild 3-18: Einflusslinien Dreifeldträger mit STAB2D


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 77

3.5.6 Fünffeldträger Für den dargestellten Fünffeldträger sind folgende Einflusslinien gesucht:

ELn für die Auflagerkräfte B und C,

ELn für die Feldmomente M2 und M3 jeweils in Feldmitte

sowie die ELn für die Stützmomente MB und Mc

Es sind zunächst die qualitativen Verläufe der ELn sowie die zugehörigen Laststellungen mit dem vereinfachten Lastbild aus der DIN 1072 gesucht.

Die genauen Ordinaten sind computerunterstützt zu ermitteln.

Auf der Basis der ermittelten Ordinaten sind mit dem vereinfachten Lastbild die Extremwerte der gesuchten Auflagerkräfte zu ermitteln.

ηB

ηC

p = ϕ 15 KN/m p = ϕ 15 kN/m

EI = const

25 25 20 15 15

3 * ϕ 200 KN


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 78

ηM2

ηM3

ηMB

ηMC


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 79

Computerunterstützte Ermittlung der Einflusslininen ηB

ηC

ηM2

ηMC Bild 3-19: Einflusslinien Fünffeldträger mit STAB2D


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 80

3.6 Zusammenfassung Einflusslinien

ηSm (xL)

1) Methoden zur Ermittlung von Einflusslinien

a) Gleichgewichtsmethode

• „Messuhr“ und Tabelle

• Excel-Programm von Prof. Dr. Göttsche, Hochschule Buxtehude

b) Kinematische Methode nach dem PdvV

Verformungsgröße „1“ entgegengesetzt zur betrachteten Kraftgröße aufbringen.

• Auflagerkräfte: Stützensenkung „1“ am betrachteten Auflager

• Querkräfte: Sprung von „1“ am eingefügten Querkraftgelenk

• Biegemomente: Knick von “1“ am eingefügten Momentengelenk


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 81

2) Zweck von Einflusslinien

Einfaches Erkennen von maßgebenden Verkehrslaststellungen zum Erhalt extremaler (maximaler oder minimaler) Werte von vorgegebenen Kraftgrößen an einer vorgegebenen Stelle („Messuhr“-Stelle).

3) Auswertung von Einflusslinien

Rasche Ermittlung der vorgegebenen extremalen Kraftgröße an der vorgegebenen Stelle für die maßgebende Verkehrslaststellung.

Alternativ kann für die gefundene maßgebende Verkehrslaststellung eine Schnittkraftermittlung durchgeführt werden.

∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 82

3.7 Einflussflächen bei Plattentragwerken

Literatur [10], [21]

[10] Homberg, H.; Ropers, W.: Fahrbahnplatten mit veränderlicher Dicke, Band 1 und 2, Springer-Verlag 1965 und 1968.

XDO 106

[21] Pucher, A.: Einflussfelder elastischer Platten. 5. Auflage 1977. Springer-Verlag.

XCF 263

http://public.beuth-hochschule.de/~herrmann/fem_baukasten/ueberblick/bilder/platte_einflusslinie.gif

Bild 3-20: Einflussfläche für ein Plattentragwerk

http://public.beuth-hochschule.de/%7Eherrmann/fem_baukasten/ueberblick/bilder/platte_einflusslinie.gif


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 83

4 Drehwinkelverfahren 4.1 Einführung

4.1.1 Steifigkeit – Systemsteifigkeit Querschnitts-Dehnsteifigkeit: EA

System-Dehnsteifigkeit: cF

Stütze

Bild 4-1: System-Dehnsteifigkeit

Querschnitts-Biegesteifigkeit: EI

System-Biegesteifigkeit: cM

Wirkliches System Ersatzsystem

Bild 4-2: System-Biegesteifigkeit

cF=?

F

∆

F

∆

ϕ ϕ

cM=?


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 84

4.1.2 Einführendes Beispiel

Bild 4-3: Eingespannter Rahmen

Gesucht sind:

a) Grad der statischen Unbestimmtheit

b) Qualitative Biegelinie

c) Qualitative Biegemomentenlinie

d) Anzahl der geometrischen Systemfreiheitsgrade

Bild 4-4: Eingespannter Rahmen – qualitative Biegelinie und Momentenlinie

EA = ∞

F


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 85

4.1.3 Idee und grundlegende Annahmen für das DWV Idee Schaffen eines geometrisch bestimmten Hauptsystems, das durch zusätzliche

Bindungen starr gemacht wird. Gleichungen für Stabendmomente infolge der gesuchten wirklichen

Verformungen aufstellen und Volleinspannmomente infolge der Belastungen am geometrisch bestimmten Hauptsystem berechnen.

Knotengleichgewicht und weitere Gleichgewichtsbedingungen liefern Gleichungssystem für unbekannte Stabendverformungen.

Einsetzen der Stabendverformungen in Gleichungen für Stabendmomente zusammen mit Festeinspannmomenten liefern Schnittgrößenverlauf.

Bild 4-5: Skizze zum Drehwinkelverfahren Entwicklung von Weggrößenverfahren durch F. Engesser (1848 – 1931) O. Mohr (1835 – 1918) L. Mann (1871 – 1959) A.S. Ostenfeld (1866 – 1931)

Annahmen für das Drehwinkelverfahren nach Mann Vernachlässigung von Schubverformungen

Vernachlässigung der Normalkraftverformungen ⇒ Stab ist dehnstarr Temperatur, Schwinden und Kriechen werden berücksichtigt

ψS

ϕ2 ϕ3

1

3 2

4


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 86

4.1.4 Statische und geometrische Unbestimmtheit Abzählkriterium zur Ermittlung der statischen Unbestimmtheit n = a + z – 3 p

a: Summe aller Auflagerreaktionen

z: Summe aller Zwischenreaktionen

p: Anzahl der Systemteile

Abzählkriterium zur Ermittlung der geometrischen Unbestimmtheit m = m1 + m2

m1 = Anzahl (innerer) Knotendrehwinkel (keine Endauflager)

m2 = Anzahl unabhängiger Stabdrehwinkel

Vorgehen zur Ermittlung der Stabdrehwinkel und der Kinematik (s.a. Kap. 1) 1. An jedem Knoten ein Gelenk einführen 2. Falls das System verschieblich ist, die Verschiebungsfigur zeichnen. Polplan zur

Hilfe nehmen! 3. Stabdrehwinkel an jedem Stab bezeichnen. 4. Kinematische Zusammenhänge zwischen den Stabdrehwinkeln herstellen.

Gemeinsame Verschiebung im Gelenk (Nebenpol) verwenden. 5. Abhängigkeiten (Kinematik) ermitteln.

Beispiele zur Ermittlung der statischen bzw. geometrischen Unbestimmtheit

a)


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 87

b)

c)

d)

Bild 4-6: Beispiele zur geometrischen Unbestimmtheit


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 88

4.1.5 Bezeichnungen, Vorzeichendefinitionen für das DWV Bild 4-7: Vorzeichendefinition für Biegemomente beim DWV Knotenmomente sind linksdrehend positiv Stabendmomente sind rechtsdrehend positiv

Mik = M (x=0) Mki = - M (x=ℓ) Grundbeziehungen am dehnstarren Stab für das DWV Bild 4-8: Geometrische Größen beim DWV

ψ

ϕk

ϕi uk

wk ui

ℓS

EΙS

k Mik Mki

ψS

ϕk

ϕi

ℓS

EΙS k i

wi

i

i k

s

iks

ki

lww

uu−

=

=

ψ


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 89

4.2 Herleitung der Grundgleichungen für Stabendmomente

4.2.1 Ausgangssituation und Lösungsansatz

Ausgangssituation: Belastete Stäbe (beidseitig oder einseitig eingespannt) in statisch unbestimmten Systemen

Gesucht: Schnittgrößen und Biegelinie

Unbekannte beim DWV sind: Knotendrehwinkel ϕ

Stabdrehwinkel ψ

Geometrisch bestimmtes Hauptsystem

Bild 4-9: Zum DWV Lösungsansatz (an jedem Stab):

a) Starreinspannmomente / Festeinspannmomente infolge äußerer Belastung b) Beziehungen für die Momente infolge der unbekannten Verformungsgrößen c) Gleichgewichtsbedingungen:

an jedem Knoten Σ M = 0

Σ H = 0, Σ V = 0, bzw. Prinzip der virtuellen Arbeiten (PdvA) (Verschiebungsfigur)

d) Lösungen für die unbekannten Knotendrehwinkel und Stabdrehwinkel e) Einsetzen liefert endgültige Momente f) Gleichgewichtskontrollen durchführen

ψs

ϕk

lS

EIS k i

ϕi


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 90

4.2.2 Stabendmomente infolge von Knotenverdrehungen und -verschiebungen

Zusammenhang zwischen Kraftgrößen (M,V) und Verformungsgrößen (w, β)

)()()()()()()(

xqxVxMxVxMxqxV

−=′=′′=′−=′

∫ ⋅⋅= dAzzxxM ),()( σ ),(),( zxEzx εσ ⋅=

),('),( zxuzx =ε zxwzxzxu ⋅−=⋅= )(')(),( β

zxwzxu ⋅−= )(''),(' zxwzx ⋅−= )(''),(ε

])(''[),( zxwEzx ⋅−⋅=σ

∫ ⋅⋅⋅−⋅= dAzzxwExM ])(''[)(

)()()()()(

)()()('')(

)('')('')( 2

xqxwEIxqxwEIxM

xwEIxMxwEIxM

xwEIdAzxwExM

=′′′′−=′′′′⋅−=′′

′′′⋅−=′⋅−=

⋅−=⋅⋅−= ∫

Für q(x) = 0 :

43

2

2

3

1

32

2

1

21

1

26)(

2)('

)()('')()(

0)(

CxCxCxCxEIw

CxCxCxEIw

xMCxCxEIwxVCxwEI

xwEI

+⋅+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

−=+⋅=−==′′′

=′′′′


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 91

Für die Betrachtung von wA ergibt sich:

AA wEICwEIwEIRBCwEIRB

⋅=⇒⋅=⋅=⇒=′⋅

4

3

)0(:200)0(:1

2

1

21

3

1

2

2

3

1

122

2

1

0226

026

0)(:4

20

20)(:3

C

C

wEIllClC

wEIlClClwEIRB

lCClClClwEIRB

A

A

⋅

=⋅+⋅

⋅−+⋅

=⋅+⋅+⋅==⋅

⋅−=⇒=⋅+⋅==′⋅

Für die Biegemomente ergibt sich:

=−=

==

=

=

=−⋅−=′′⋅−=

)(

)0(

)(

)0(

)()( 21

lMM

MM

lM

M

CxCxwEIxM

E

A

Für die Querkräfte ergibt sich:

==

=−=

=−=′′′⋅−=

)(

)0(

)()( 1

lVf

Vf

CxwEIxV

zE

zA

wA


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 92

Für die Betrachtung von wE ergibt sich:

00)0(:200)0(:1

4

3

=⇒=⋅=⇒=′⋅

CwEIRBCwEIRB

E

EE

E

E

wlEIlCC

wl

EICwEIlC

wEIllClC

lClCwEIlwEIRB

lCClClClwEIRB

⋅⋅

=⋅−=

⋅⋅

−=⇒⋅=

−⋅

⋅=⋅

⋅−+⋅

⋅+⋅=⋅=⋅

⋅−=⇒=⋅+⋅==′⋅

21

2

313

1

21

3

1

2

2

3

1

122

2

1

62

1241

61

226

26)(:4

20

20)(:3


EE

EA

EEE

E

EE

wlEIlMM

wlEIMM

wlEIw

lEIlw

lEIlM

wlEIM

wlEIxw

lEICxCxwEIxM

⋅⋅

−=−=

⋅⋅

−==

⋅⋅

=⋅⋅

−⋅⋅⋅

=

⋅⋅

−=

⋅⋅

−⋅⋅⋅

=−⋅−=′′⋅−=

2

2

223

2

2321

6)(

6)0(

6612)(

6)0(

612)()(


EzE

EzA

E

wl

EIlVf

wl

EIVf

wl

EICxwEIxV

⋅⋅

==

⋅⋅

−=−=

⋅⋅

=−=′′′⋅−=

3

3

31

12)(

12)0(

12)()(

wE


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 93

Für die Betrachtung von ϕA ergibt sich:

00)0(:2)0(:1

4

3

=⇒=⋅⋅=⇒⋅=′⋅

CwEIRBEICEIwEIRB AA ϕϕ

AAA

AAA

AA

A

AA

lEI

lEIl

lEIC

lEIClEIlEIlC

lEIll

EIlClC

lEIlClClwEIRB

lEIlCCEIlClClwEIRB

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

⋅⋅

−=⋅−⋅⋅⋅

−=

⋅⋅

=⇒⋅⋅+⋅⋅−

−⋅

=⋅⋅+⋅

⋅−⋅−+⋅

=⋅⋅+⋅+⋅==⋅

⋅−⋅−=⇒=⋅+⋅+⋅==′⋅

42

6

624

161

0226

026

0)(:4

20

20)(:3

22

213

1

21

3

1

2

2

3

1

122

2

1


AE

AA

AAA

A

AA

lEIlMM

lEIMM

lEI

lEIl

lEIlM

lEIM

lEIx

lEICxCxwEIxM

ϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕ

⋅⋅

=−=

⋅⋅

==

⋅⋅

−=⋅⋅

+⋅⋅⋅

−=

⋅⋅

=

⋅⋅

+⋅⋅⋅

−=−⋅−=′′⋅−=

2)(

4)0(

246)(

4)0(

46)()(

2

221


AzE

AzA

A

lEIlVf

lEIVf

lEICxwEIxV

ϕ

ϕ

ϕ

⋅⋅

−==

⋅⋅

=−=

⋅⋅

−=−=′′′⋅−=

2

2

21

6)(

6)0(

6)()(

ϕA


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 94

Für die Betrachtung von ϕE ergibt sich:

00)0(:200)0(:1

4

3

=⇒=⋅=⇒=′⋅

CwEIRBCwEIRB

EEE

EE

E

EE

lEI

lEIl

lEIC

lEIClEIlC

ll

EIlClC

lClClwEIRB

lEIlCClClCEIlwEIRB

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

⋅⋅

−=⋅+⋅⋅⋅

−=

⋅⋅

=⇒⋅⋅+

−⋅

=⋅

⋅+⋅−+⋅

=⋅+⋅==⋅

⋅+⋅−=⇒⋅+⋅=⋅=′⋅

22

6

624

161

0226

026

0)(:4

22)(:3

22

213

1

21

3

1

2

2

3

1

122

2

1


EE

EA

EEE

E

EE

lEIlMM

lEIMM

lEI

lEIl

lEIlM

lEIM

lEIx

lEICxCxwEIxM

ϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕ

⋅⋅

=−=

⋅⋅

==

⋅⋅

−=⋅⋅

+⋅⋅⋅

−=

⋅⋅

=

⋅⋅

+⋅⋅⋅

−=−⋅−=′′⋅−=

4)(

2)0(

426)(

2)0(

26)()(

2

221


EzE

EzA

E

lEIlVf

lEIVf

lEICxwEIxV

ϕ

ϕ

ϕ

⋅⋅

−==

⋅⋅

=−=

⋅⋅

−=−=′′′⋅−=

2

2

21

6)(

6)0(

6)()(

ϕE


27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 95

Zusammenfassend infolge von Knotensenkungen und –verdrehungen Bild 4-10: Einheitsverformungszustände am beidseitig eingespannten Stab und Stabendmomente Zusammenfassung:

ϕi = 1 ϕk = 1

wi = 1 wk = 1

( )

( )

( )siik

sikki

skiik

lEIM

lEIM

lEIM

ψϕ

ψϕϕ

ψϕϕ

−⋅=

⋅−⋅+⋅=

⋅−⋅+⋅=

3

5,15,04

5,15,04

iik lEIM ϕ⋅= 4

iki lEIM ϕ⋅= 2

iik wlEIM ⋅= 2

6iki wl

EIM ⋅= 26

kik wlEIM ⋅−= 2

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