Bedingte Wahrscheinlichkeit

7/28/2019 Bedingte Wahrscheinlichkeit

1/15

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Aufgaben

Aufgabe 1Beim Drucken im ComputerPool kommt es immer wieder zu einem Papierstau.Einer der

Poolmgr hat rausgefunden das die Wahrscheinlichkeit einen Papierstau zu haben, abhngig,von den zu druckenden Dateien ist. Er hat die Dateien in zwei Typen eingeteilt. Typ 1 sindpdf Dateien und Typ 2 sind ps Dateien. Aufgrund lngere Beobachtungen ergab sich folgendeTabelle.

Datei Typ Anteil an den Druckauftrgen (in %) Papierstau (in %)1 50 % 20 %2 50 % 2 %

(a) Geben Sie fr dieses Zufallsexperiment einen geeigneten Grundraum an, und beschrei-ben Sie in diesem die Ereignisse

Ai ... Die Datei ist vom Typ i (i = 1,2)

B ... es gibt ein Papierstau(b) Drcken Sie die in obiger Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des dazu

gehrigen Wahrscheinlichkeitsmaes P : P() [0, 1] und der Ereignisse A1, A2 und Baus

(c) Berechnen Sie P(B)

(d) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da ein Papierstau durch eine Datei vom Typ iverursacht wurde (i = 1,2) ?

Aufgabe 2

Im Pool wurde ein neuer Drucker aufgestellt und zustzlich bessere Software installiert. Auchhat man rausgefunden, das nicht der Typ der Datei der Grund des Papierstaus war, sondernder jeweilige Lehrstuhl, aus dem die Datei stammt. Insgesamt gibt es drei Lehrsthle. Aufgrunddieser neuen Bedingungen ergab sich folgende Tabelle.

Typ Anteil (in %) Fehler (in %)1 50 42 40 1.253 10 25


Ai ... Die Datei stammt vom Lehrstuhl i (i = 1,2,3)

B ... Es gibt einen Papierstau

(b) Drcken Sie die in obiger Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des dazugehrigen Wahrscheinlichkeitsmaes P : P() [0, 1] und der Ereignisse A1, A2, A3 undB aus


(d) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da ein Papierstau durch eine Datei vom Typ iverursacht wurde (i = 1,2,3) ?


2/15

Aufgabe 3Aufgrund der schlechten Klausurergebnisse in der letzten Zeit, hat man sich ber die Qualittder bungen Gedanken gemacht.Um herauszufinden ob es einen Zusammenhang, zwischen dem Besuch der bungen und demBestehen der Klausuren gibt, hat man eine Umfrage unter den Studenten durchgefhrt. Dabeiergab sich folgende Tabelle.

Studenten vom Typ 1 waren in der bung, und Studenten vom Typ 2 waren nicht in der bung.Typ Anteil (in %) Durchgefallen (in %)

1 40 22.52 60 35


Ai ... Der Student ist vom Typ i (i = 1,2)

B ... ist durchgefallen

(b) Drcken Sie die in obiger Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des dazugehrigen Wahrscheinlichkeitsmaes P : P() [0, 1] und der Ereignisse A1, A2 und Baus


(d) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da einer vom Typ i durchgefallen ist (i = 1,2) ?

Aufgabe 4Aufgrund des Ergebnisses von Aufgabe 3 gab es eine heftige Diskussion, darber, ob es an denbungen liegt, oder nicht doch davon abhngt, ob die Studenten die bungsbltter abgegeben

haben.Zum Glck wurde dies bereits bei der ersten Umfrage miterhoben.Studenten vom Typ 1 haben die bungsbltter abgegeben, Studenten vom Typ 2 nicht.Es er-gab sich folgende Tabelle.

Typ Anteil (in %) Durchgefallen (in %)1 50 272 50 33


Ai ... Der Student ist vom Typ i (i = 1,2)


(b) Drcken Sie die in obiger Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des dazugehrigen Wahrscheinlichkeitsmaes P : P() [0, 1] und der Ereignisse A1, A2 und Baus


(d) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da einer vom Typ i durchgefallen ist (i = 1,2) ?


3/15

Aufgabe 5Insgesamt war man mit den Ergebnissen, aus Aufgabe 34 und 35 nicht zufrieden.Es blieb also nichts anderes brig als die komplette Umfrage auszuwerten.Diesmal ergaben sich 5 Typen von Studenten.Typ 1 := selbstgemachte Aufgabenzettel und bungTyp 2 := abgeschrieben und ohne Besuch der bung

Typ 3 := abgeschrieben und mit Besuch der bungTyp 4 := nix abgegeben und mit Besuch der bungTyp 5 := garnixEs ergab sich dann die folgende Tabelle.

Typ Anteil (in %) Durchgefallen (in %)1 10 152 20 37.53 20 22.54 10 30

5 40 33.75

(a) Geben Sie fr diese Zufallsexperiment einen geeigneten Grundraum an, und beschreibenSie in diesem die Ereignisse

Ai ... Der Student ist vom Typ i (i = 1,2,3,4,5)


(b) Drcken Sie die in obiger Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des dazu ge-hrigen Wahrscheinlichkeitsmaes P : P() [0, 1] und der Ereignisse A1, A2, A3, A4, A5und B aus


(d) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer vom Typ i durchgefallen ist (i = 1,. . . ,5)?


4/15

Aufgabe 6Aufgrund des mangelnden Praxisbezugs des Informatik Studiums, wurden Projektarbeiten ein-gefhrt und da man in der Industrie ja auch nicht allein arbeitet, wurden die Studenten inTeams zu je vier Studenten eingeteilt. Die Teams waren fr die Arbeitsverteilung innerhalb derGruppe selbst verantwortlich.Bei dem hier betrachteten Team 1 wir machen alle gleichviel, wurde es so geregelt, dass alle

gleich viele der Codezeilen programmieren.Es ergab sich folgende Tabelle.

Mitglied Codeanteil (in %) Fehler (in %)1 25 152 25 183 25 94 25 18

Dem fertigen Code ist nicht mehr ansehen, von welchen Mitglied er programmiert wurde. Aus

der Masse an Code wird rein zufllig eine Zeile herausgegriffen und auf Fehler berprft.


Ai ...Der Code wurde vom Mitglied i programmiert (i = 1,2,3,4)

B ... Der Code ist fehlerhaft

(b) Drcken Sie die in obiger Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des dazugehrigen Wahrscheinlichkeitsmaes P : P() [0, 1] und der Ereignisse A1, A2, A3, A4und B aus


(d) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da ein fehlerhafter Code von Mitglied i program-miert wurde (i = 1,2,3,4) ?


5/15

Aufgabe 7Bei dem Software Projekt aus Aufgabe 6 gab es noch andere Teams.Bei dem jetzt betrachtetem Team 2 jeder macht das was er am besten kannergab sich die folgende Tabelle.

Mitglied Codeanteil (in %) Fehler (in %)1 20 1,252 20 2.53 20 54 40 1.875

Dem fertigen Code ist nicht mehr ansehen, von welchem Mitglied er programmiert wurde. Ausder Masse an Code wird rein zufllig eine Zeile herausgegriffen und auf Fehler berprft.


Ai ...Der Code wurde vom Mitglied i programmiert (i = 1,2,3,4)

B ... Der Code ist fehlerhaft

(b) Drcken Sie die in obiger Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des dazugehrigen Wahrscheinlichkeitsmaes P : P() [0, 1] und der Ereignisse A1, A2, A3, A4und B aus


(d) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da ein fehlerhafter Code von Mitglied i program-miert wurde (i = 1,2,3,4) ?

Aufgabe 8Mit zwei idealen Wrfeln werde einmal gewrfelt.

(a) Beschreiben Sie die Ereignissen einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (,P(), P)und geben Sie deren Wahrscheinlichkeiten an:

A ... Die Augensumme ist gerade

B ... Die Augensumme ist durch 3 teilbar

C ... Die Augensumme ist mind. 9 und kleiner 12

(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(A|B), P(B|A), P(A|C), P(C|A), P(B|C),P(C|B), P(A|B C) undP(B|A C)


6/15


(a) Beschreiben Sie die Ereignisse in einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (,P(), P)und geben Sie deren Wahrscheinlichkeiten an:

A ... Die Augensumme ist durch 2 teilbar

B ... Die Augensumme ist durch 3 teilbar

C ... Die Augensumme ist durch 4 teilbar



(a) Beschreiben Sie die Ereignisse in einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (,P(), P)und geben Sie deren Wahrscheinlichkeiten an:

A ... Die Augensumme betrgt 7

B ... Unter den Augenzahlen befindet sich keine 2 und keine 5

C ... Eine der Augenzahlen ist gerade, und die andere Augenzahl ist ungerade


(c) berprfen Sie, ob die folgenden Mengen von Ereignissen unabhngig sind:

i. A und B

ii. A und C

iii. B und C

iv. A,B und C

Aufgabe 11Unser Team wir machen alle gleichviel (WMAG) hat sich nach dem enttuschenden Ergebnisbeim Software Praktikum dafr entschieden etwas handfestes zu machen. Und sind nun da-bei Computer zusammen zu schrauben. Leider fehlt ihnen auch hierbei das dafr notwendigeGeschick, so da im Durchschnitt 20% der Computer Ausschuss sind. Glcklicherweise gibt eseine elektronische Endkontrolle die mit Wahrscheinlichkeit 0.95 einen fehlerhaften Computer

erkennt, aber den Nachteil hat das sie mit Wahrscheinlichkeit 0.02 auch einen fehlerfreien Com-puter aussortiert.Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da ein Computer, der die Endkontrolle passiert, trotzdemfehlerhaft ist?

Aufgabe 12Nach dem Erfolg vom Team WMAG beim Verkauf von Computern hat sich nun auch das Teamjeder macht das was er am besten kann berufen gefhlt Computer zu produzieren und zuverkaufen. Im Mittel sind 5% der Computer defekt. Die hier verwendete Endkontrolle schlgtbei 96 % aller defekten und bei 2% aller funktionstchtigen Computer Alarm. Mit welcher

Wahrscheinlichkeit ist ein Computer, bei dem der Test einen Fehler meldet, tatschlich defekt?


7/15

Lsungen

Lsung zu Aufgabe 1(a) = {(1, 1, 2, 2}Ai = {i, i}

B = {1, 2}

(b)P(A1) = 0.5 P(B|A1) = 0.2P(A2) = 0.5 P(B|A2) = 0.02

(c)Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit:P(B) =

ni=1 P(Ai) P(B|Ai)

P(B) =2

i=1 P(Ai) P(B|Ai)P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)P(B) = 0.5 0.2 + 0.5 0.02 = 0.1 + 0.01 = 0.11(d)Bayessche FormelP(Ak|B) =

P(Ak)P(B|Ak)nj=1

P(Aj)P(B|Aj)

P(A1|B) =0.50.20.11

= 0.10.11

= 1011

P(A2|B) =0.50.020.11

= 0.010.11

= 111

Lsung zu Aufgabe 2(a) = {i, i|i {1, 2, 3}}Ai = {i, i}B = {i|i {1, 2, 3}}(b)P(A1) = 0.50 P(B|A1) = 0.04P(A2) = 0.40 P(B|A2) = 0.0125P(A3) = 0.10 P(B|A3) = 0.25


ni=1 P(Ai) P(B|Ai)

P(B) = 3i=1 P(Ai) P(B|Ai)

P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) + P(A3) P(B|A3)P(B) = 0.5 0.04 + 0.4 0.0125 + 0.1 0.25P(B) = 0.02 + 0.005 + 0.025P(B) = 0.05(d)Bayessche FormelP(Ak|B) =

P(Ak)P(B|Ak)ni=1

P(Ai)P(B|Ai)

P(A1|B) =P(A1)P(B|A1)

P(B)= 0.50.04

0.05= 0.40

P(A2|B) =P(A2)P(B|A2)

P(B)= 0.40.0125

0.05= 0.10

P(A3|B)

=

P(A3)P(B|A3)

P(B) =

0.10.25

0.05 = 0.50


8/15


9/15

Lsung zu Aufgabe 5(a) = {i, i|i {1, 2, 3, 4}}Ai = {i, i}B = {i|i {1, 2, 3, 4}}(b)

P(A1) = 0.25 P(B|A1) = 0.15P(A2) = 0.25 P(B|A2) = 0.18P(A3) = 0.25 P(B|A3) = 0.09P(A4) = 0.25 P(B|A4) = 0.18


ni=1 P(Ai) P(B|Ai)

P(B) =4

i=1 P(Ai) P(B|Ai)P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) + P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)P(B) = 0.25 0.15 + 0.25 0.18 + 0.25 0.09 + 0.25 0.18

P(B) = 0.15

(d)Bayessche FormelP(Ak|B) =

P(Ak)P(B|Ak)nj=1

P(Aj)P(B|Aj)

P(A1|B) = 0.25P(A2|B) = 0.30P(A3|B) = 0.15P(A4|B) = 0.30

Lsung zu Aufgabe 6(a) = {i, i|i {1, 2, 3, 4}}Ai = {i, i}B = {i|i {1, 2, 3, 4}}(b)P(A1) = 0.20 P(B|A1) = 0.0125P(A2) = 0.20 P(B|A2) = 0.025P(A3) = 0.20 P(B|A3) = 0.005P(A4) = 0.40 P(B|A4) = 0.018755

(c)

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit:P(B) =

ni=1 P(Ai) P(B|Ai)

P(B) =4

i=1 P(Ai) P(B|Ai)P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) + P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)P(B) = 0.20 0.0125 + 0.20 0.025 + 0.20 0.05 + 0.40 0.01875P(B) = 0.025


10/15


11/15

Lsung zu Aufgabe 8 = {(1, 2, 3, 4, 5, 6)2} || = 62 = 36A = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6),(3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6),(5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}|A| = 18 P(A) = 18

36= 1

2

B = {(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 6),(4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4), (6, 3), (6, 6)}|B| = 12 P(B) = 12

36= 1

3

C= {(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5),(5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}|C| = 9 P(C) = 936 =

14

(b)A B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 6)}|A B| = 6

A C= {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}|A C| = 3B C= {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}B C| = 4A B C= { }

P(A|B) = P(AB)B

= 612

= 12

P(B|A) = P(BA)A

= 618

= 13

P(A|C) =

P(AC)

C =

3

9 =

1

3

P(C|A) = P(CA)A

= 318

= 16

P(B|C) = P(BC)C

= 49

P(C|B) = P(CB)B

= 412

= 13

P(A|B C) = P(ABC)P(BC)

=

P(B|A C) = P(BAC)P(AC)

=


12/15

Lsung zu Aufgabe 9

(a) = {(1, 2, 3, 4, 5, 6)2} || = 62 = 36A = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6),(3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6),

(5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}|A| = 18 P(A) = 18

36= 1

2

B = {(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 6),(4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4), (6, 3), (6, 6)}|B| = 12 P(B) = 12

36= 1

3

C= {(1, 3), (2, 2), (2, 6), (3, 1),(3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (6, 6)}|C| = 9 P(C) = 9

36= 1

4

|A B| = 6

|A C| = 9|B C| = 1|A B C| = 1

P(A|B) = P(AB)B

= 612

= 12

P(B|A) = P(BA)A

= 618

= 13

P(A|C) = P(AC)C

= 99

= 1

P(C|A) =

P(CA)

A =

9

18 =

1

2

P(B|C) = P(BC)C

= 19

P(C|B) = P(CB)B

= 112


= 11

= 1


= 19


13/15

Lsung zu Aufgabe 10(a)|| = 62 = 36A := {(6, 1)(5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)}A := {(i, j) : i + j = 7}|A| = 6

P(A) = 636 = 16B := {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 6),(4, 1), (4, 3), (4, 4), (4, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 4), (6, 6)}B := {(i, j) : i,j = 2 5}|B| = 16P(B) = 16

36= 4

9

C := {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5),(3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5),(5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5)}C := {(i, j) : i = {1, 3, 5}, j = {2, 4, 6}}

|C| = 18P(C) = 18

36= 1

2

A B = {(6, 1), (4, 3), (3, 4), (1, 6)}|A B| = 4A C= {(6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)}|A C| = 6B C= {(1, 4), (1, 6), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (6, 1), (6, 3)}|B C| = 8A B C= {(6, 1), (4, 3), (3, 4), (1, 6)}

|A B C| = 4(b)P(A|B) = P(AB)

B= 4

16= 1

4

P(B|A) = P(BA)A

= 46

= 23

P(A|C) = P(AC)C

= 618

= 13

P(C|A) = P(CA)A

= 66

= 1

P(B|C) = P(BC)

C

= 8

18

= 4

9

P(C|B) = P(CB)B

= 816

= 12


= 48

= 12


= 46

= 23


14/15


15/15

Lsung zu Aufgabe 125% defekt96% aller defekten Computer erkennt die Endkontrolle2% aller guten werden als defekt erkanntWahrscheinlichkeit davon, dass wenn der Test Fehler meldet, ein Teil wirklich defekt ist?{ = {1, 2)|1, 2 {0, 1}} = {0, 1}2

1 =

1 : Computer ist fehlerhaft0 : Computer ist nicht fehlerhaft

2 =

1 : Endkontrolle sortiert Computer aus,0 : Endkontrolle sortiert Computer nicht aus,

Sowie die EreignisseF = {(1, 0), (1, 1)} = { Computer ist fehlerhaft }A = {(0, 1), (1, 1)} = { Computer wird aussortiert }P(F) = 0.05 P(Fc) = 0.95P(A|F) = 0.96 P(Ac|F) = 0.04P

(A

|Fc

) = 0.02

P(Ac

|Fc

) = 0.98Gesucht ist P(F|A)

P(F|A) = P(A|F)P(F)P(A|F)P(F)+P(A|Fc)P(Fc)

P(F|A) = 0.960.050.960.05+0.020.95

P(F|A) = 0.0480.048+0.019

= 0.0480.067

= 0.716417...

Quelle: Stochastikaufgaben mit Lsungen

Mit freundlicher Untersttzung von: Butterdosenund Nagelstudio in Freiburg
http://www.mathe-ist-einfach.de/Stochastik/Stochastik.htmlhttp://decodoo.de/Tischaccessoires/Butterdosen:::2_27.htmlhttp://www.mystique-nail-design.de/Homehttp://www.mystique-nail-design.de/Homehttp://decodoo.de/Tischaccessoires/Butterdosen:::2_27.htmlhttp://www.mathe-ist-einfach.de/Stochastik/Stochastik.html

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Documents

Transcript of Bedingte Wahrscheinlichkeit