G. Schmitz. Theorie der ebenen wirbelfreien Xtrowwng USUI. 37

Bei trag xur Theorie d e r ebemen wirbelfreien Strbmwmg urn den Doppeldecker

Vow Gerhnrd S c h m i t x

(Mit 4 Figuren)

Einleitung

Aufbauend auf den Grundlagen der klassischen Hydro- mechanik haben K u t t a und Joukowsky unter Einfiihrung der Zirkulation eine Theorie der ebenen, wirbelfreien Trag- fliigelstromung angegeben, die die Konstruktion einer Reihe bestimmter Profile mit vorgeschriebenem Auftrieb gestattet. Trotz Vernachlassigung der Reibung und der Flugelenden zeigt sich beziiglich des Auftriebes eine gute Ubereinstinimung mit der Erfahrung. R. von Mises hat unter Verwendung neuer funktionentheoretischer Satze die Theorie erheblich ausgebaut und eraeitert und ein Verfahren zur Bestirnmung beliebiger Profile angegeben. Im AnschluB hieran sind mehrere Arbeiten entstanden, die die Mannigfaltigkeit der moglichen Profilformen grenzenlos steigern.

Wenn also die Theorie der ebenen Strornung um den Ein- decker einen recht guten Einblick in die Verhaltnisse ge- stattet, so trifft dieses fur den Doppeldecker nicht zu. Es ist vielmehr festznstellen, daB die Probleme um den Doppeldecker bisher nicht in derselben Allgemeinheit und Exaktkeit an- gegriffen worden sind. Abgesehen von Naherungslosungen ist hier lediglich die Arbeit von W. M. Kn t t a ' ) zu erwahnen, die die Strornung um zwei iibereinander- oder hintereinander- liegende Strecken von gleicher Lange behandelt. Die von ihm verwandte Methode schlieBt eine Erfassung der gestaffelten Strecken und der Profile mit endlicher Dicke aus. Die All- gemeinheit der Theorie des Eindeckers liegt in ihrer Methode begriindet: Die Stromung urn einen Kreis wircl zugrunde ge-

l) W. &I. K u t t a , Uber ebene Zirkulationsstriimungen nebst flug- technischen Anwendungen, Sitz.-Ber. der math.-phys. Klasse der bayr. Akad. d. Wissenschaften S. 65. 1911.

38 Annabn der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

legt, um von da durch konforme AbbiIdung Profile zu er- halten.

I n derselben Allgemeinheit greifen wir die Probleme um den Doppeldecker an. Ausgehend von der Stromung in1 AuBenraum zweier Kreise stellen wir allgemeine Formeln fur Auftrieb und Moment des Doppeldeckers auf, in die nur wenige Parameter eingehen. Durch konforme Abbildung der Kreise gelangen wir dann zu Strecken ungleicher Lange mit belie- biger gegenseitiger paralleler Lage, die den durch die Kreise vorgeschriebenen Auftrieb verwirklichen. SchlieBlich sind wir noch in der Lage, die Druckverteilung iiber die einzelnen Strecken punktweise zu berechnen; an einem Beispiel wircl die ganze Rechnung durchgefiihrt.

Reibungelose Striimung im AuPenraum zweier Kreise

Die zunachst zu losende Aufgabe ist die Bestimmung der Stromungsfunktion einer reibungslosen Stromung im AuBen- raum zweier Kreise. Wir mussen die Aufgabe fur Kreise mit beliebiger Lage und beliebigem Radius losen, um nachher Strecken mit beliebiger Lage und Lange konstruieren zu konnen ; uberdies ist bekannt, daB bei der Abbildung zweier Profile auf zwei Kreise bei Entsprechen des Unendlichfernen GroBe und Lage clieser beiden Kreise festgelegt sind, wir also hieriiber nicht verfugen konnen. M. Laga l ly ist es gelungen, die Stromungsfunktion in geschlossener Form darzustellenl). Wir konnen die Ableitung hier restlos iibernehmen, miissen uns nur davon frei machen, daB die Kreismittelpunkte auf der reellen Achse liegen. Der Gang und das Wesen der Ableitung wird durch diese Verallgemeinerung nicht beriihrt. E s diirfte daher erlaubt sein, die Darstellung kurz zu machen.

Die Stromung vollziehe sich in der Ebene z = 5 + i y ; sie besitze im Unendlichen die Geschwindigkeit - w, = - (urn - i vF ); im Endlichen seien keine Singularitaten vor- handen. Eine Zirkulation r, um den Kreis K , und r, um den Kreis K, sei ausdrucklich zugelassen. Wie lantet die Stromungsfunktion ?

Die Aufstellung derselben gelingt leicht mit Hilfe ellip- tischer Funktionen, wenn wir das Stromungsgebiet auf das Innere eines Rechteckes konform abbilden. Diese Abbildung ergibt sich sofort dnrch die Einfiihrung bipolarer Koordinaten. I n der x-Ebene miigen die Punkte Q1 (go, yo) und Q2 (- q,, -yo)

1) M. L a g a l l y , Die reibungslose Striimung im AuBengebiet zweier Kreise. Ztschr. f. angew. Math. u. Mechanik. 9. S. 299. 1929.

G. Schrnitx. Theorie der ebenen wirbelfreien Stromung usw. 39

Ursprungspunkte zweier Polarsysteme sein. Ein Punkt der Ebene gestattet dann die zweifache Darstellung:

x = s , + i y , + r , e if%= 2 + yl &a,,

x = - so - i yo + r2 e i ? F z = - z + r, e'% Der Quotient

+ z o - rpei(t9,-f i6 , ) z - zo Y,

gibt die Darstellung der Punkte in den bipolaren Koordinaten r,/rl und iF2 - 6,. Die Kurven 5 = const und 8, - 8, = const sind die Kreise zweier orthogonaler Kreisbiischel; das Biischel 5 = const hat die Punkte Q1 und Q2 als Nullkreise, das rl Biischel 7Y2 - tYy., = const als Schnittpunkte. Die Kreise des letzten Biischels zerfallen durch Q, und Qz in zwei Bogen, deren Peripheriewinlrel sich zu 2 m erganzen.

Aus dem Busche l5 = const nehmen wir nun zwei sich ausschliegende Kreise li, und K2. Kl sei festgelegt durch - = A , I<, durch 2 = p. Liegt Q, im Innern von li, und Q, im Innern von K 2 , so ist 3, > 1 und p < 1.

Die Stromung finde iin AuSengebiet dieser beiden Kreise statt. Es ergibt sich nun sofort, daS die Funktion

(1) z = x + i Y = In- = I n 5 + i(a2 - I?,) 2 - 2, das AuBengebiet auf das Innere eines Rechteckes der 2-Ebene abbildet, das gebildet wird von den Geraden X = In?, = a, X = l np.=- p, Y = Dem Kreise K, ent- spricht die Gerade X = a, dem Kreise I<$ die Gerade X = - p; T = m entspricht dem unteren Ufer, Y = - m dem oberen Ufer eines Schnittes in der z-Ebene, der zwischen den Kreisen auf der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte gezogen ist.

Die Zirkulationen urn die Kreise seien r, und r2. Eiue geschlossene Kurve, die K , and Kz umschliegt, hat die Zirku- lation r, + r2. Wie man sich nun dtmh Ubergang von der Ebene zur Kugel veranschaulichen kann , ist der unendlich- ferne Punkt ein Wirbelpunkt mit der Zirkulation

rl

rl

r2

rl rl

rl

und P= - m.

r=-(r 1 + r ) 2 '

Folglich verhalt sich im Unendlichen die Stromungs- funktion wie

40 Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 21. 1934

Der Punkt x = cw geht bei der Abbildung in den Punkt 2 = 0 uber. I n der Umgebung des Nullpunktes gilt folglich

9 = - - In 2 . ii- (3) 3n: Die Einzelzirkulationen gehen kings den Reclitecksseiten 9

bei der Abbildung in Stromungen = u uncl S = - $' uber.

I Y

Fig. 1. Zur Aufstellung der StrGmungsfunktion im AuBenraum zweier Kreise

Mit der Geschwindigkeit - w, = -- (urn - ,i ZI, ) im Un- endlichen - wir lassen von rechts anstriiinen - verh&lt sich die entstehende Parallelstromung wie

-2 = - 1D x und daher im Punkte Z = 0 wie (4) cc

( 5) z

(6) 2 n z

3 2E Q = - d .

2 @,Z0

Insgesamt gilt also fur die Stromungsfunktion in der Um- gebung des Nullpunktes

+ P ( Z ) , ir Q=--InZ---

wenn P (2) eine dort regulare Fanktion bedeutet. Fur die Geschwindigkeit W = __ folgt: c l f i

d Z

(7) Der Nullpunkt ist in1 Bildrechteck der einzige singulare Punkt fiir 9 und W. Dainit ist 9 bis auf eine regulare Funktion bestimmt. Die vollstandige Bestimmung gelingt L a g a l l y auf interessante Weise. Er kann leicht zeigen, daR TIr eine doppeltperiodische Funktion ist mit den Perioden (8) 3 w = 2 ( u +/I); 2w,= 2 n i .

G. Xchmitx. Theorie der ebenen wirbevreien Strbrnurzg usw. 41

Als Periodenrechteck nehmen wir das Bildrechteck mit seinem Spiegelbild an der Seite X = - p.

Auger der Singularitat im Nullpunkte hat W noch in seinem Spiegelpunkte - 2 /I die gespiegelte Singularitat. W ist eine elliptische Punktion, die wir folgendermagen ansetzen konnen :

2x"(- 'u , + iv,) 2y,(i'um - v ,) Zl + + ( Z + 2 @ ) ~

wenn R (2) eine im Periodenrechteck regulare Funktion bedeutet. Mit 8, = u, + i u, und w, = u, - i v, erhalten wir:

W ist aber als elliptische Funktion durch diese vorgeschrie- henen Pole bis auf eine additive Konstante vollkominen be- stimmt. Es gilt:

Die Konstante I<, die wir in imaginarer Form eingefuhrt haben, werden wir nachher bestimmen. Durch Integration erhalten wir die Stromungsfunktion:

- < und G bezeichnen die als <-Funktion und @-Funktion bekannten Weiers t rassschen Funktionen -, wenn wir die Integrationskonstante als Null annehmen.

U(2) ist eine elliptische Transzendente, die sich bei Xnderung des Arguments 2 um eine volle Periode um eine additive Konstante andert. Ton dieser Tatsache ausgehend, berechnet L a g a l l y in eleganter Form den FluB durch die beiden Kreise; gleichzeitig gelingt es, die Konstante K festzu- legen. F u r unseren Fall ist der Gang der Rechnung genau derselbe, so dafi es wohl gestattet ist, das Resultat anzugeben. Bezeichnen wir mit F den nach links positir gerechneten

42 Annalen der Physik. 5. E'olge. Rand 21. 1934

Flu6 , und seien die Zirkulationen entgegengesetzt dem Uhr- zeigersinn positiv, so gilt

Die Gleichung gestattet, den Flu6 durch die beiden Kreise bei Vorgabe der Geschwindigkeit im Unendliclien und der Zirkulationen um beide Iireise zu berechnen. Die von M. La- ga l ly angegebene Gleichung ergibt sich fur den Spezialfall

(11) 2 z F = 4 n X, vq, + 4 yo U, - r, a + r, p .

yo = 0. Fur die Konstante K erhalt man

. T i 1 4 4 ( 1 2 4 zh =-TI - - p q n.l 3 T+--u ?c 50 y O ~ 3 + - ~ 2 0 v D 3 T ~ 3 7

wenn qa = c(o,) = c(n i ) gesetzt ist. 2 Z

Mit r'= r, - r. konnen wir auch schreiben: . T i (12b) zh = -I-'-

4 n

Gehen wir mit diesem Wert in die Stromungsfunktion (10) ein, so erhalten wir nach geringer Umformung:

- ZOC(Z + 2B) - ~ n.

In dieser Form erkennt man, daW die ganze Stromung aus vier Teilstromungen entsteht, die linear zusammengesezt sind.

Fur spatere Zwecke bilden wir noch die Geschwindigkeit ' i w = n r' - 2 C ( Z ) - 2 < ( 2 + 2p) + 1 - --

(14) - 2u, [ Z o p ( Z + 2,g) - x o p ( Z ) - *] Z 0 p ( Z + 2p) + x o p ( Z ) -

n.

Durch die Verwendung bipolarer Koordinaten sind die Kreise li, und K, durch die Konstanten xo, yo, cc und p festgelegt. Wir miissen daher noch die Beziehungen finden, die cliese Kon- stanten mit den Radien R, und R, und den Koordinaten der Mittelpunkte (al, bl) und ( - a2, - bz) verkniipfen.

Fuhren wir iu die Gleichung des Kreises Ii,

G. Schniitz. Theorie der ebenen wirbeljreien Stromung usw. 43

durch r, = j z + z,, 1 und r, = 1 x - zo 1 rechtwinklige Koordinaten ein und formen urn, so erhalten wir die Gleichung des Kreises

(z - xo 6 O t f l a), + (y - yo Gotg a)2 = T o 2 + Yo2 . Gin2 a

Wir entnehmen

In derselben Weise erhalt man fur K,

Nit den Bezeichnungen dl: = a, + a2 und d, = b, + b, haben wir zur Bestimmung der GroBen z,, yo, a, 19 die Gleichungen

Die Auflosung dieser Gleichungen gelingt, wenn wir ebenso wie Laga l ly den imaginaren Schnittwinkel einfuhren. Es gilt

wobei der hbstand der Mittelpunkte d = id,,z + dyz und i w = J fur d > R, + R, gesetzt ist. Gehen wir mit den obigen Werten fur d , R, und R, in die letzte Beziehung ein, so ergibt sich J = a + P. Hiermit findet man sofort

dz R, R, Gin J . dv R, R, Gin J J zo= d l > Y o = - - d*

.~

R, Gin J d

; Ginp = R Gin J d

1 G i . t t c C = L - (17)

Fur dy = 0 ergeben sich die von Laga l ly angegebenen Be- ziehungen.

Bestimmung von I' und I" Die Strijmungsfunktion Q ( Z ) bildet die Grundlage fur eine

exakte Theorie des Doppeldeckers. Bisher ist dieselbe aber noch nicht eindeutig festgelegt, weil T, und r, oder T und r' noch nicht bestimmt sind. Bekanntlich ist die Zirkulation aufs engste mit der Kraftwirkung verkniipft, so daf3 ihre Fest- legung eine entscheidende Frage der Theorie ist. Bevor wir mit Hilfe des Joukowsky schen Gedankens diese Festlegung vornehmen , miissen wir die Abhangigkeit der Zirkulationen

44 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

\Ton den Staupunkten der Kreisstromung bestimmen. Eine Veranderung der Zirkulationen verursacht ein Wandern der Staupunkte; die Zirkulationen sind Funktionen der Lage der Staupunkte.

Wir nehmen an, die Bildpunkte der hinteren Staupunkte auf den Kreisen seien bestimmt durch X = cr, Y = - ql* und S =- @, P =- w s * ? so daB also die Staupunkte selbst durch die bipolaren Iioordinaten 2 == h, - yfl*) und

('- = p, - y2*) festge~egt sind. i fl

I n den Staupunkten gilt

- 0 . d.Q d Z d Z dc

WE.--

Da aber

nur in x = & xo unendlich wird und nur fur x = co und xu = 0 verschwindet, was sicherlich nicht in den Btaupunkten eintritt, gilt in diesen Punkten W = 0. Diese Redingung liefert uns fur T und I-' die beiden Gleichungen

W ( a - iyl*) = 0 ; Nehmen wir fur W den Ausdruck (14) und losen die beiden Gleichungen nach r und I-' auf, so erhalten wir unter Be- achtung von m1 = a + (3, <(Z + 203,) = < ( Z ) + 2q1 und

%OW, [P (a + i Y l * ) - P ( B - iyeY)l - 20 @m [P (a - i %*I - P (B + i %*)I - 5 CP + i %*) - 5 (P - i ye*)

W ( - (3 - iy2*) = 0.

P P + 2 0 , ) = P ( 0

(18) T = - 4 n i - _ _ _ ~

- t (a + i q19) - t (m - i yl*) + 27, und

(19) A C - B D

R - d ' r ' = - 4 4 n i

wobei zur Abkiirzung gesetzt ist: A = 25(a - iVl1*) + 2<(a + i q]*) - 4q1 + 1 - - 4 @ ~

+1--, 4 B '73 i

7 G '

B = - 2 g(p + i y12*) -- 2 j (p - i vjz*) 7c

C = 22, am p (B + i y2*) - 25, w, p ((3 - i 7p2 ")

+ + (so 8, + Yo %o) , D = 22, a, p (a - i y,*) - 22, w, p (a + i qIy)

3 7 + +(.,% + Yo%o).

G. Schmitx. Theorie der ebenen wirbeyreien Stromung usw. 45

Es sei nun in der Ebene t = rn + in eirie Stromung um zwei Tragflachenprofile gegeben ; die Geschwindigkeit im Unendlichen sei ebenso wie in der Ebene der k'reise - w,. Wir nehmen an, das Abbildungsproblem sei gelost, die Funktion

die die Profile auf zwei Kreise mit Wahrung der Konformitat des AuBengebietes nnd Entsprechen des Unendlichfernen ab- bildet, sei bekannt.

die Stromung um die beiden Profile. Das Stromungsproblem wgre also gelost, wenn nicht noch die Zirkulationen unbestimmt waren. Ihre Bestimmung gelingt durch die Forderung des glatten AbflieBens an den Hinterkanten, was durch die Er- fahrung bestatigt ist. Unter dieser Annahme findet in den entsprechenden Punkten auf den Kreisen ebenfalls eine Wieder- vereinigung der Stromlinien statt; sie sind Staupunkte oder Spaltungspunkte. Die Abhangigkeit von T und von den Staupunkten geben aber die G1. (18) und (19). Hiermit ist auch die Abhangigkeit der Einzelzirkulationen r, und Tz Ton den Staupunkten gegeben.

Fundamentalreihe der aeschwindigkeit

Um den Auftrieb und das Moment des Doppeldeckers zu bestimmen, henotigen wir die Entwicklung fur die Ge- schwindigkeit o der t-Ebene um den unendlichfernen Punkt,

(20) 2 = y (4 7

Dann gibt uns die Funktion Q (2) = G* (2, = 9" ( y (t))

w=c ,+c - + C 2 F + - - , 1 1 I t

die gewohnlich als Fundamentalreihe bezeichnet wird. Fur die Berechnung der Kraftwirkung genugt es, die Koeffizienten C,, C, und C, zu kennen. C, und C, sind uns bereits aus den Annahmen bekannt; es handelt sich also im wesentlichen urn die Bestimmung von C,. Wir mussen

urn den Punkt t = 00 entwickeln. Dem Punkte t = 00 sol1 2 = sc, entsprechen; diesem entspricht der Punkt 2 = 0. Zu- nachst ist der Ausdruck (9) fur W um 2 = 0 zu ent- wickeln. Mit Hilfe der Additionstheoreme fur j iZ) und p ( 2 ) erhalt man einen Ausdruck, in dem abgesehen von Konstanten nur p ( 2 ) und ~'$3) enthalten sind. Da aber fur p ( 2 ) und p ' (2) im Nullpunkte die einfachen Reihen

46 Annabn deer Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

gelten ) gestaltet sich die Eechnung verhahisma8ig einfach. Es ergibt sich W zu:

Uin w nach fallenden Potenzen von 2 zu erhalten, beachten wir , da8 Z in Abhangigkeit von z in die Reihe

entwickelt werden kann , die fur 1 z 1 > 1 co 1 sicher konvergiert. Wenn wir von der Fnnktion z = y ( t ) verlangen, dai3 sie das Unendliche unverandert IiiiSt, so inuB ihre Entwicklung um den unendlichfernen Punkt die Gestalt haben

z = t + n l + . . . , t Fiihren wir nun mit diesen Entwicklungen, die durch (21) vor- geschriebenen Operationen nacheinander durch, so ergibt sich fur w

Fur das Quadrat QOn C C I ) was wir spater brauchen, gilt dann 1 1

f 3 z = A, + A, - + -4 7- + . . . (23) t 2 t l mit

i r. I A , = c,2 = 8 , 2 ; A, = 2c c = - ~

0 1 7 r '

Auftrieb und Moment des Doppeldeokers

Nachdem wir die Koeffizieiiten der Funclamentalreihe be- stimmt haben, gestaltet sich die Gewinnung der Formeln fur Auftrieb und Moment uberraschend einfach. Wegen der be- kannten energetischen Ableitung des K u t t a - Joukowskyschen Satzes gilt derselbe auch fiir das Gesamtsystem des Doppel-

G. Schmitx. Theorie der ebenen wirbelfreien Stromung usw.

deckers, dagegen nicht fur die Einzelkontur. hiernach senkrecht zur Zustromrichtung und hat die GroBe

(25) Um einen Ausdruck fur das Moment M,, bezuglich des Null- punktes zu erhalten? greifen wir auf die zweite Blasiussche Forniel

47

Die Kraft wirkt

A = 0 lwa , I ( r l + T,).

zuruck; das Integral ist uber die Kontur der Korper zu er- strecken, fiir die die Kraftwirkung der stromenden Fliissigkeit berechnet werden soll. Die E'ormel gilt ganz allgemein, also auch fur jede Einzelkontur. Dn aber die Fundamentalreihe die Geschwindigkeit auf den Konturen gar nicht darstellt, ist das Bilden des Integrals uber dss Quadrat der Fundamental- reihe ohne jeden Sinn. Wir denken uns einen Schnitt zwischen den Konturen gezogen, dessen Durchquerung ausdrucklich verboten wird. Denken wi r uns nun die Integration iiber die Konturen uud den gedachten Schnitt durchgefiihrt, so liefert letzterer fur den T e r t des Integrals keinen Beitrag, da der Schnitt zweimal in Terschiedenem Sinne durchlaufen wird. Da das AuBengebiet der beiden Konturen regular ist - oder hydrodynamisch gesprochen, die Divergenz und die Ro- tation verschwindet - lronnen wir das System der Konturen mit Schnitt in einen Kreis deformieren nnd uber diesen inte- grieren. Der Wert ist derselbe, da das Integral im regularen Gebiet vom U'ege unabhangig ist. Wir erhalten also das Moment des Systems der beiden Konturen, wenn wir auf einem Kreise K integrieren, der beide Konturen umschlingt.

Mit (23) gilt fur das Moment

Bei der Integration verschwinden wegen der Periodizitat alle Glieder bis auf das Glied mit A,. Es gilt

M, = - % R (2 rn iA,).

Diskutieren wir zunachst den Auftrieb. Drucken wir in (25) r, + r, nach (18) durch die Bildpunkte der Hinterspitzen aus, so erhalten wir

(29) d = Q I W , ! 4 r n i ( Z O / ( I , 1 ~ ~ - - X g ~ ~ 1 \ T ) ,

48 Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 21. 1934

menn zur Abkiirzung gesetzt wird

(30)

mit o = -T(P+i~~2*)--(a-i7FIZY:)--[~+ii~Q)- <(.- i'p1*)+2q1.

Fuhren wir den Snstellwinkel y und den Staffelungswinkel 6

(vgl. Fig. 1) durch die Beziehungen

' z u , = [ w , l e - i y ,

xo = / & e i e ,

13, = 1 w m ' e ; ~

und i31) I ein, so wird die Auftriebsformel

Z,, = ; z , , ! e . - i e

A = 4 7 d ~ i I ~ ~ 1 ~ 1 x , , I ( 1 ~ ~ e - " ( y + € ) - i \ e i (Y+e) ) .

Unter Verwendung der Identitat

mit a e i z - - b e - i " = 2 i l / Z s i n ( z + A )

a f b A = arc GOS -- 2 V a b

erhalten wir die Auftriebsformel in der einfachsten Form

(32) mit

A = 8 n p I ~ ~ c o 1 2 ; ~ o l lJll sin (7 + E + A )

M + M A = a.rc cos ___ 2 ( M I Wir vermuten A = - 6 , damit bei verschwindendem Anstell- winkel der Auftrieb verschwindet. Diese Vermutung werden wir erst spater beweisen konnen. Formel (32) entspricht genau der von Misesschen Formel fiir den Auftrieb des Ein- deckers, die lautet l) (33) A = 4n9 ~zu,]~~? sin ( y + a), wenn R der Radius des Profilkreises und der Winkel 9 den Bildpunkt der Profilspitze auf diesein Kreise festlegt. Wir werclen spater an einem besonderen Falle zeigen, daB bei Aus- einanderriicken der Kreise die Formel (32) in (33) iibergeht.

1) R. von M i s e a , Beitrag zur Theorie des Tragflachenauftriebs, Ztschr. f. Flugt. u. Motorl. 1917, S. 161.

G. Schmitz. Theorie der ebenen wirbelfreien Stromung usw. 49

Nunmehr wollen wir das Moment bestimmen. Nach (28) ist der Realteil von 2xiA, , also der Imaginarteil von A% auf- zusuchen. Wir entnehmen A, aus (24). Setzen wir den hoeffi- zienten (34) a, = - c2 e2i 8 ic und S reell) und qs = iil (il reell), fuhren ferner fur K seinen Wert (12a) ein, so liefert G1. (28) nach einer kleinen Umformung das Moment

Die Einfuhrung der Zirkula,tionen in ihrer Abhangigkeit von den Staupunkten verschieben wir bis zum Schlusse der Arbeit, da wir erst dann alles beisammen haben, um eine explizite Formel fur das Moment zu erhalten.

Wir fassen unser Ergebnis zusammen. Zu jedem Konturen- paare gehoren vermoge der Abbildungsfunktion z = cp (t) zwei nach GroBe und Lage bestimmte Kreise und auf der Peri- pherie dieser Kreise je ein Bildpunkt der Profilspitzen. Die GroBe des Auftriebes (32) der beiden Profile ist bestimmt durch die Kreise und durch die Bildpunkte der Profilspitzen. Allerdings enthalt die Auftriebsformel nicht die unmittelbaren Kreiskonstanten, sondern die nach (17) leicht aus diesen zu berechnenden Konstanten I z, I , E , Q una i3. Hinzu kommen noch die Winkel ql* und y2*, die die Bildpunkte der Profilspitzen auf den Iireisen K , und K , festlegen. Iusgesamt ist die GroBe des Auftriebes durch diese sechs wesentlichen Parameter fest- gelegt. Die Bestimmung des Momentes erfordert auBerdem noch die Kenntnis des Koeffizienten a, der Entwicklung der Abbildungsfuiiktion urn den unendlichfernen Punkt.

Formulierung des Problems der konformen Abbildung. Aufstellung der Abbildungsfunktion

Alle unseren bisherigen Bestimrnungen hangen von der noch nicht bekannten Abbildungsfunktion ab. Wir wollen dieses Problem in Angriff nehmen.

Es ist eine Funktion x = cp (t) gesucht, die die Profile auf zwei Kreise und die AuBengebiete init Entsprechen der Un- endlichfernen konform aufeinander abbildet. Die Umkehr- funktion wird diese Abbildung wieder riickgangig machen.

Annalen der Physik. 6. Folge. 21. 4

50 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

Es sind zwei vollig verschiedene Wege gangbar, die beide die Losung des Ab bildungsproblems zum Ziele haben. Die unmittelbare Aufgabe der konformen Abbildung ware die, ein zeichnerisch vorgegebenes Paar von Profilen auf zwei Kreise abzubilden und die dies leistende Abbildungsfunktion zu be- stimmen. Insbesondere waren die Parameter zu suchen, die erforderlich sind, urn Buftrieb und Moment zu berechnen. Diese Art der Losung des Abbildungsproblems wollen wir nicht weiter verfolgen. Es erhellt, daB dieser Weg groBe Schwierigkeiten in sich birgt, wird doch nicht weniger verlangt, als zu zwei ohne greifbare mathematische GesetzmaBigkeit vor- gegebenen Kurven die Abbildungsfunktion zu finden und die Abbildung auf die beiden Kreise durchzufuhren.

Wir schlagen den umgekehrten Weg ein. Die Umkehrung der obigen E’ragestellung wiirde die sein, daB wir eine be- stimmte Abbildungsfunktion t = f(x) vorgeben, und durch An- wendung derselben auf zwei bestimmte Kreise ein Paar von Profilen konstruieren. Dann mussen aber die Abbildungs- funktion und die Kreise gewissen Bedingungen unterliegen, wenn die Abbildung eine Losung unseres Problems sein soll.

ZunBchst miissen als Bilder der Kreise zwei getrennt liegende, sich nicht iiberschneidende geschlossene Kurven er- scheinen, die die allgemeinen Anforderungen an ein Profil er- fiillen. Ferner miissen die AuBengebiete eindeutig lronform ineinander ubergehen und die unendlichfernen Punkte sich entsprechen. Es diirfen also im AuBengebiete keine singularen Punkte sich befinden. Samtliche singulare Stellen der Ab- bildungsfunktion mussen im Tnnern der Kreise liegen mit Sus- nahme von zweien und nur zwei singularen Punkten, wovon je einer auf dem Rande von K, und K, liegen muB, damit die Profile eine scharfe Hinterkante bekommen und daher die Zirkulationen eindeutig bestimmt werden konnen.

Bei dieser Fragestellnng sind die AuftriebsgroBen vor- geschrieben und das Protilpaar, welches diesen Auftrieb ver- wirklicht, wird gesucht.

Uns interessiert in dieser Arbeit lediglich die Abbildung zweier vorgegebener Kreise auf zwei Strecken. Der ‘ijbergang zu wirklichen Profilen, d. h. Kurven, die nur eine Spitze haben, geschieht dann so, daB dieselbe Abbildungsfunktion verwandt wird, daB aber die abzubildenden Kreise so gelegt werden, daB ihre Peripherien je nur einen Verzweigungspunkt enthalten.

Fur die Auffindung der Abbildungsfunktion benutzen wir die Kenntnis der Stromungsfunktion um zwei Kreise.

G. Schmifx. Theorie der ebenen wirbelfreien Striimulzg ww. 51

Setzen wir in (13) r' = T = 2, ca = 0, so wird die Stromungs- funktion (36) F(x) = Q(Z) = - 221, [x,, { ( Z ) - ZO<(Z + 2p) - __ 2Yo z1 > die die zirkulationsfreie Stromung urn zwei Kreise mG der Geschwindigkeit - u, im Unendlichen darstellt. Es sei aus- drucklich hervorgehoben, daB diese Stromung nicht die ein- fache Ausweichstromung um die Kreise ist, da diese von Null verschiedene Zirkulationen urn die einzelnen Kreise besitzt I). Bezeichnen wir mit t = fix) die gesuchte Abbildungsfunktion, so wird hierdnrch die Stromung in eine t-Ebene verpfianzt. Diese Stromung hat im Unendlichen dieselben Geschwindig- keitsverhaltnisse und sol1 eine Stromung um zwei horizontale Strecken sein.

da ja Stucke von Stromlinien 21s feste Korper angesehen werden durfen. Es kann und darf Ubergang in Parallelstromung ge- fordert werden, da die Einzelzirkulationen sowohl um die Kreise als urn die Strecken verschwinden.

D a m ist aber die Abbildungsfunktion sofort gefunden. Fur die komplexe Geschwindigkeit der t-Ebene gilt

Das ist aber die einfache Parallelstromung F*(t) =- u m t ,

folglich 1 d F -=- - - a t

d z zd, d z ' Die Integration liefert mit (36)

(37) t = 2 [go C [ Z ) - 2, C(Z + 2 ~ ) - % z + const. Damit ist die Funktion gefunden, die die Kreise I<, und K, in zwei Strecken iiberfuhrt und die Aubengebiete bei Ent- sprechen des Unendlichen konform ineinander abbildet 2). DaIj

7z 1

1) Vergleiche uber die Existenz einer solchen ausgezeichneten Striimung: W. M u l l e r , Spsteme von Doppelquellen in der ebenen Stromung, insbesondere die StrSmung urn zwei Kreiszylinder , Ztschr. f. angew. Math. u. Mech. 9. S. 200. 1Y29.

2) Kach Einreichung dieser Arbeit wurde mir nachstehende Ab- handlung C a r l o F e r r a r i s bekannt: ,,Sulla trasformatione conforme di due cerchi in due profili alari" Memorie della R. Academia delle science di Torino, Serie 11, Vol. LXVII N. 2. Die dort unter (8) an- gefiihrte Abbildungsfunktion unterscheidet sich von (37) bzw. (42) bis auf Bezeichnungen nur durch die Konstante 2 & (a@). Abgesehen von der anderen Art der Ableitung liegt das Schwergewicht der vorliegenden Arbeit auf der Berechnuug der Krafte auf einen Doppeldecker, worauf F e r r a r i nicht eingegangen ist.

4*

52 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

die Funktion die entsprechenden Eigenschaften besitzt , kann auch unmittelbar an ihr festgestellt werden. Die Integrations- konstante in (37) bestimmen wir so, daB das Unendliche sich genau entspricht. Wir entwickeln (37) um den Punkt t = a, was ohnehin zur Bestimmung des Momentes und zur Bestatigung der Annahme

a t

x = t + ’ + . . . erforderlich ist.

Wir miissen also (37) zunachst um Z = 0 entwickeln. Unter Verwendung des Additionstheorems der [-Funktion und der Reihe fur S(2) um Z = 0

1 1 [ ( Z ) = - - - 609223+

findet man leicht

Ersetzen wir 2 durch 2 gemaB der Reihe

so gilt urn den unendlich fernen Punkt

wenn wir die Integrationskonstante zu 2 5, [ (2 /3) annehmen. Bilden wir die Umkehrung

so sehen wir, daB die Abbildungsfunktion im Unendlichen die verlangten Eigenschaften hat. Gleichzeitig haben wir den Koeffizienten

a = - 22, ( ~ ~ ~ p ( 2 p ) - __- 4q3yo - i.eo) 1 7c (40) 1

bestimmt. Wir werden zunachst den Fall gleich langer Strecken be-

handeln. Indem aber die gegenseitige Lage der Strecken be- liebig ist, gehen wir in einem wesentlichen Punkte uber die Kut tasche Behandlung dieses Problems hinaus, der ja nur die Str omung um genau hintereinander- oder iibereinanderliegende Strecken erledigte I). Diese werden sich als die einfachsten Spezialfalle ergeben. Durch die beliebige Lage der Strecken haben wir die Staffelung des Doppeldeckers erfaBt.

1) Vgl. FuBnote S. 37.

G. Schmitz. Theorie der ebenen wirbeljreien Stromung usw. 53

Strecken gleicher Liinge

Es ist bereits friiher gesagt worden, da8 es untunlich ist, von zwei gegebenen Strecken auszugehen und die Parameter, die fur die Kraftwirkung ma6gebend sind, aufzusuchen. Viel- mehr gehen wir von einer Stromung urn zwei Kreise aus, be- stimmen die Parameter und suchen die Strecken, die diesen Auftrieb verwirklichen. Die dies. leistende Abbildungsfunktion ist uns bekannt. Es liegt in der Natur des Problems, daB die Durchfuhrung nicht so einfach ist, wie in der Theorie des Eindeckers. Es wird leider zur Wahrheit, daD man die Strecken wirklich suchen mu6.

Um zu gleichen Strecken zu gelangen, mussen die vor- gegebenen Kreise K, und K2 den gleichen Radius R haben. Ihre Lage sei bestimmt durch die Koordinaten ihrer Mittel- punkte (a,, b,) bzw. (- a,, - bl). Aus diesen unmittelbaren Kreiskonstanten berechnen wir nach (1 7) dieKonstantena, j3, so, yo, die in die Abbildungsfunktion eingehen.

Fur gleich lange Strecken ergibt sich insbesondere tx = j3. Vermoge der Beziehung (1) entsprechen dann den KreisenK,

und K, die Geraden X = p und X = - p; man erhalt bereits das ganze Bild der Kreise fur Stiicke dieser Geraden yon der Lange 2 x . Das Bild des Kreises h', in der 2-Ebene sei

Z,=j?+isp, fa r - - z S y , s z ,

Z,=-p+ i rp , fur - m s s p 2 s n . dasjenige des Kreises K, (41) 1

Die Funktion (42) t = m + i n = 2 zo ~ ( 2 ) - z0 ~ ( 2 + 2 - 2 yo z + 2, ~ ( 2 n] vermittelt dann insgesamt eine *4bbildung der z-Ebene in die t-Ebene, wobei die beiden Kreise in zwei Strecken ubergehen. Wir stellen diese Eigenschaft der Funktion unmittelbar an ihr selbst fest und bestimmen die Strecken.

Die Verzweigungsstellen der Abbildungsfunktion sind durch die Gleichung

[

gegeben. Die Nullstellen dieser Gleichung sind zu suchen. Wir konnen uns auf die Gleichung

2 1 3 Yo (43) Zop(Z + aa) - z0p(Z) = 7 beschranken, da d 2 l d z an den in Frage kommenden Stellea sicher nicht Null oder Unendlich ist. An eine exakte Auf-

54 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

losung dieser Gleichung ist nicht zu denken; sie kann nur durcli Probieren gelost werden. Wir kijnnen aber die Anzahl der Nullstellen sofort angeben. Die p-Funktion hat eineii zweifachen Pol. Folglich hat (43) einen zweifachen Pol im Punkte 2 = 0 und im Punkte 2 = - 2 p; die Anzahl ihrer Nullstellen ist demnach vier.

Fiir den Spezialfall hin tereinanderliegender Kreise ergibt sich die Aufliisung leicht. 1st yo = 0, so wird (43) einfach

(44)

Fig. 2. Zum Spezialfall hintereinanderliegender Streeken

Die Figur fuhrt zu der Vermutung, da6 x = - p , Y = O ; x=-p , Y = + - n;

(45) { x=p, Y - 0 ; x = p , Y = h n die Verzweigungsstellen bestimmen. Die Einsetzung bestatigt diese Vemutung. Wir stellen fest, daB die Bildpunkte dieser Verzweigungspunkte alle auf den Randern der Iireise liegen. lm AuBengebiet sind keine vorhanden.

Die Abbildungsfunktion (42) reduziert sich fur yo = 0 auf

Was geschieht mit den Kreisen, wenn sie dieser Abbildung unterworfen werden? Fur Z = - @ + i cp2 erhalten wir das Bild von K2. Es gilt unter Verwendung des Additionstheorems der L-Funktion

(46) t = m + i n = 2s,[{(Z) - l ( Z + 2t5) + 5(2p) ] .

Da nun fur reelle Werte die Funktionen 5, p' und p im Falle eines Periodenrechtecks selbst reel1 sind, und auBerdem p fur rein imaginiire Werte des Arguments'), folgt

1) Burkhardt-Faber, Elliptische Funktionen, § 23, 3. Auflage, Berlin und Leipzig 1920.

G. Schmitz. Theorie der ebenen wirbelfreien Stromung usw. 55

Wegen n2 = 0 liegt das Bild von K, auf der reellen Achse. Eine genauere Diskussion von m2 - wobei besonders zu beacbten ist, daB die p-Funktion fiir positives und negatives Argument denselben Wert annimmt - zeigt, daB der Kreis K auf eine doppelt durchlaufene Strecke zusammengedriickt w i d

In entsprechender Weise findet man als Bild des Kreises Kl

Diese Strecke ist das Spiegelbild der anderen Strecke an der imaginaren Achse, da gegeniiber dieser alle Vorzeichen ver- tauscht sind.

I m Falle genau ubereinanderliegender Strecken liefert (43) mit x,, = 0 fur die Verzweigungspunkte die Gleichung

(49) p ( Z ) + p ( Z + 2 / 3 ) = + .

Haben wir eine Losung Z = - @ + i rp* dieser Gleichung ge- funden - ein Anhaltspunkt ist, daR die entsprechende Stelle Staupunkt der Kreisstromung ist - so sind sofort alle vier Losungen der Gleichung gegeben.

wie man durch Einsetzen und Umformen sofort bestatigen kann.

Diese sind - j9 + iq*; - p - iy*; p + iy*; p - iy*,

Die Abbildungsfunktion (42) wird mit zo = 0

Als Bild von K, erhalten wir mit 2 = - @ + iq2 nach Spal- tung in Real- und Imaginarteil

Die durch rp2 = & ip* bestimmten Punkte ergeben die End- punkte der Strecke. Man erkennt, da8 die Strecke ihren Mittelpunkt auf der imaginaren Achse hat; ihre Lange ist

56 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

Bei Durchlaufen des Kreises K , wird die Strecke zweimal durchlaufen.

Als Bild des Kreises K , - 2 = (3 + i y1 - erhalten wir denselben Realteil; es ist also mB = m,.

Fiir den Imaginarteil gilt

2 8% i - i q1 = - - 2

( 2!? i n , = - 2 yo -- - i q r ) = - in,.

Nun liefert aber die L e g e n d r e sche Relation und damit

Die Entfernung der beiden Strecken ist demnach 2 yo. Da der FluB gegeniiber konformen Abbildungen invariant ist, ver- langt (31. (11) bereits diese Entfernung der Strecken.

Wir gehen zu gestaffelten Strecken iiber. Unter der An- nahme, da8 2 = /3 + i y* Losung der GI. (43) ist, daB also gilt

(53) n, = yo; n, = - Yo

2% Y o 3, P (/3 - i y*) - xo P (B + i y*) = __ (54) n

folgt, wie man leicht feststellen kann, daB auch - p - i y* die Gleichung befriedigt. Es ist nun aber nicht so, da8 auch - p + ? y* Losung ist. Es ist vielmehr eine dritte Losung - /3 + t tp* aufzusuchen. Der vierte und letzte Verzweigungs- punkt ist dann bestimmt durch /3 - i qj*.

Unterwerfen wir die Iireise K, und K2 der Abbildung gema8 (.la), so erscheinen als Bilder zmei gestaffelte Strecken S , und S,. Da alle Einzelheiten bereits in den behandelten Spezialfallen enthalten sind, geben wir nur das Resultat an.

( S , ist bestimmt durch

Die Entfernung der Strecken ist wiederum 2 yo. Man stellt auch sofort fest, daB fur entsprechende Punkte (y, = - y,) auf den Kreisen m, + m, = 0 ist. Dann geht aber die Ver- bindungslinie der Streckenmittelpunkte durch den Koordinaten- ursprung. Die gleiche Lange der Strecken ist lm(y*) - m(- y*)I.

G. Schmitx. Theorie der eberten wirbevreien Stromzcng asw. 57

Um den Auftrieb dieser Strecken zu bestimmen, benijtigen wir nach (30) mit v,* = y* und y2* = 'p*

M = &(@ + - p (@ - iq*) ; N = B . (56) 0 Hiermit ergibt sich der Auftrieb nach (32) (57) A = 8 a e ~ ~ ~ ( ~ 1 x ~ I j M I s i n y , wenn wir d = - E fordern. weisen. Mit (56) gilt fur d

Diese Forderung miiseen wir be-

(58) cos = p (@ -k q*) - p (@ - e*) f y (@ - I*) - p (@ + i p*) -____ 2 V [ P (B + iP*) - P(@ - iV*ll[P(@ - iV7P (p + iqJ.7'

Fur 2 = (3 - i y* und 2 = - p - i cp* liefert (43) die Gleichung

Gehen wir hiermit in (58) ein, so zeigt sich p ( P + -iq*) - P ( P - i(u*) = [I,(@ --i y*) - p((3 + i 'p*)]eZic .

e - ' ~ + , i s

cos A = ~ _ _ - - C 0 6 ( f 8 ) . 2 Der Auftrieb €olgt dem Sinusgesetz des Anstellwinkels.

yl* = Im Falle hintereinanderliegender Strecken ist nach (45)

7z und yZ* = 0, sowie cc = p; es gilt in diesem Falle

Mit lzoi = xo ist der Auftrieb zweier hintereinanderliegender Strecken (60) A = 8 n ~ ~ w w , ) z x o M s i n y . Zum Vergleich schreiben wir den Auftrieb A , einer einzelnen Strecke hin (61) Es ist nun interessant zuzusehen, wie der Auftrieb des Doppel- deckers bei Auseinanderriicken der Iireise in den doppelten Auftrieb des Eindeckers ubergeht. Diesen GrenzprozeB fiihren wir an diesem Spezialfall durch.

Der Abstand der beiden Mittelpunkte Ton K, und Ka vom Koordinatenursprungspunkt mijge ins Unendliche wachsen. Wir betrachten also den Grenzubergang a1 = - a2 -+ 03. Der gemeinsame Radius R moge hierbei konstant bleiben. Wir vermuten nach (60) und (61)

lim xo 11.1 = R . Aus (17) und (16) entnehmen wir, da6 mit wachsendem a, GhtP und damit /I ins Unendliche wachst.

A , = 4 a e I w, l 2 R sin y .

a,+ w (62)

58 Annalelz der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

Der vorzunehmende Grenzubergang ist also eine Ausartung des Periodenrechtecks, und zwar so, daW die Periode 20 , = 4 p ins Unendliche wachst. Die andere Periode 2 a i ist hierlnei konstant. Wie verandern sich die Funktionen p und 5, wenn das Periodenrechteck in obiger Weise ausartet? Die Theorie der elliptischen Funktionen zeigt I), daB die Funktionen die einfache Form annehmen

p(u) = - - sin-2- + - I . U 1 4 3i 13 '

1 U 1 2 i 22 12 C(u) = - cotg--; - - u .

Unter Verwendung dieser Formeln nimmt (59) nach geringen Umformungen die einfache Gestalt an

Die beiden letzten Formeln von (15) liefern xo = R Gin@, und wir sehen, dab der Grenziibergang unsere Vermutung (62) be- statigt. Der Auftrieb des Doppeldeckers geht fiir den Fall, daB beide Kreise sich nicht mehr storen, in den doppelten Auftrieb des Eindeckers uber.

Strecken ungleicher LZinge

Dieser allgemeinste Fall bietet im wesentlichen nichts Neues. F i r konnen uns daher kurz fassen. Als Abbildungs- funktion wird dieselbe Funktion verwandt, nur wenden wir diese auf Kreise mit verschiedenem Radius an. Die Kreise seien vorgegeben. Aus (17) berechnen wir die erforderlichen Konstanten. G1. (43) liefert uns die Verzweigungspunkte. Gegeniiber den behandelten Spezialfallen miissen bei gestaffelten Strecken ungleicher Lange samtliche vier Verzweigungspunkte aufgesucht werden. Diese seien: (63) a + ig~,'"; u - iql*; - + i y ~ ~ * ; - p - iyi,*. Der Eireis K, - 2 = Strecke S, uber, die bestimmt 1st durch

+ iy, - geht durch (42) in die

in, = 2 y,i 5(2 a) - 7 4Y073 a I

fiir - n ~ t p , ~ n ,

1) Burkhardt-Faber , Q 114.

G. Schmitz. Theorie der ebenen wirbelfreien Stromung usw. 59

wenn wir 2 (az + 8) = 2 w1 und c(2 a) + (2 p) = 2 qII beachten. Als Bild von K, - Z = - 8 + irp3 - erhalten wir in

derselben Weise fiir den Imaginarteil in,=-2y0i5(2P)+-&-- 4 Yo 5% P

und fur den Realteil

Die Entfernung der Strecken muB 2 yo sein. Es muB die Gleichung bestehen :

i n , - i n 2 = 2y, i oder durch Einsetzen der Werte:

2 Y 0 [ i 5 ( 2 4 + i < ( 2 P ) - ,(u+B!j 2 72 = 2Y,i und damit

ni L 711 72 i - vs (a + 18) = -T-.

Das ist die Legendresche Relation. Die Entfernung der Strecken betragt 2 yo. Alles weitere Wissenswerte iiber die Strecken kann durch (64) i n Verbindung mit (63) ermittelt werden.

Zur Berechnung des Auftriebes sei noch gesagt, daB die hinteren Staupunkt e durch Z = u - i q,* und Z = - /3 - i y2* bestimmt sind, und hiernach M und N zu berechnen smd. Ebenso wie im Falle gleich langer Strecken stellt man d = - a fest, und der Auftrieb hat dann die GrOBe (65) A = 8 n g l ~ , 1 ~ 1 ~ ~ 1 l M l s iny . Bei Behandlung der Spezialfalle sind wir auf das Moment des Auftriebes nicht eingegangen. Um Rechnungen zu ersparen, betrachten wir sofort den allgemeinen Fall.

Die Formel (35) stellt das Moment noch nicht in der einfachsten Form dar. mTir mussen noch r, + r, und r, in Abhangigkeit von den Staupunkten einfiihren.

Mit den Abkiirzungen (30) gilt fur die Summe der Zirku- lationen

(66) Weiter ist

I-, + I',, = 8 n I zo I Iw, I 1 A4 I sin y .

60 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

wenn wir r’ nach (19) einfiihren. T’ durch die Winkel y und E nach (31) ausdriicken. halten:

Zunachst miissen wir aber Wir er-

r= 16 Ilt 1 zo 1 1 w, 1 [(up (p + iy2*) e i e - ~p (a + i y,*) e- i E ) sin y 1 ~ e - i ~ l - - s in(y+ n 47,

wenn man beachtet, dafi Z = a - i yl* und Z = - p - .1; ya* die G1. (43) befriedigen und hiernach p (a - &pl*) und p((3 - 2. y,*) in (19) ersetzt wird. Zur Abkiirzung ist geschrieben:

Der Koeffizient a, = - c2eZid der Entwicklung der Um- kehrung der Abbildungsfunktion um das Unendliche ist durch (40) gegeben. Wir kiinnten hiernach c und 6 berechnen. Es ist aber ubersichtlicher, mit dem Werte (40) fur a, die Momentenformel abzuleiten. Man erhalt so fur den ersten Summanden von (35)

Gehen wir nun mit den gefundenen Werten fur I; + r, und r, unter Beachtung von (70) und (71) in (35) ein, so erhalten wir endgiiltig fur das Moment:

G. Schmitx. Theorie der ebenen wirbelfreien Str6mung usw. 61

Diese Formel ist etwas unubersichtlich. Man bedenke aber, daB wir hiermit den allgemeinen Fall erfaBt haben. Bei Ver- wendung der Abbildungsfunktion (42) gilt diese Formel fur alle Paare Ton Profilen, die durch (42) konstruiert werden konnen.

Der Hebelarm h der Auftriebskraft ist nach (73) in Ver- bindung mit (65):

Bezeichnen wir mit h,, = __ die Abszisse des DurchstoB- punktes der Auftriebskraft iurch die reelle Ache, so geht eindeutig aus (74) hervor, daB dieser Punkt im allgemeinen mit dem Anstellwinkel y wandert. Diskutieren wir (74) an den einzelnen Spezialfallen naher. Betrachten wir zunachst den Fall hintereinanderliegender Strecken. Mit lznl = xo, E = 0, ql*= & und y2*= 0 fallen in (74) einige Ausdriicke weg und wir erhalten

COB

unter Beriicksichtigung, daB M = J%? ist. Man sieht: Bei hintereinanderliegenden Strecken ist der DurchstoBpunkt der

62 AnnaEen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

Auftriebskraft durch die reelle Achse vom Anstellwinkel un- abhangig. Haben die Strecken gleiche Lange, so verschwindet auBerdem noch der letzte Summand auf Grund der Legendre- schen Relatiou, da d a m "2 p) = <(w,) = 71, ist.

Bei genau ubereinanderliegenden Strecken, also ( x , 1 = yo, E = 7T gilt fur den Hebelarm

I +lM/(=-2i(2p)+ 7c 1)( -s inr ) ] . Wir folgern: Die GroBe h, ist mit dem Anstellwinkel ver- anderlich. Dies gilt fiir Strecken verschiedener LBnge.

Bei ubereinanderliegenden Strecken gleicher Lange ist ql*= y2* und u = p. Dann verschwindet zunachst der letzte Summand von (76); es ist aber aufierdem, wie man leicht nachpriift, M = - iF = - N und U = - V. Hieraus ergibt sich nach (71) A, = d, = und (76) wird einfach

Y

(77) ~ = ~ C O S ~ Y ~ P ( ~ ~ ) + ~ + B + ~ U ~ ~ . 4 2 2 I

Wir stellen fest, im Falle iibereinanderliegender gleich langer Strecken ist h, ebenso wie bei hintereinanderliegenden - allerdings hier auch fiir ungleich lange Strecken - vom Anstellwinkel nicht abhangig. In allen anderen Fallen ver- andert sich ho mit dem Anstellwinkel. Wie die Veranderung naher stattfindet, zeigt Formel (74).

Kraft und Moment der EinzelAiigel

Die beiden Profile seien F, und F, mit den Zirkulationen TI und T2. T, ruft am Orte von F, und r, am Orte von F2 eine Zusatzgeschwindigkeit b' bzw. b" hervor, die sich mit der Geschwindigkeit im Unendlichen - wm zu der veranderten Anstriimgeschwindigkeit b, bzw. b2 zusammensetzt (vgl. Fig. 3). Nach der Figur gilt fur

G. Schmitz. Theorie der ebenen wirbelfreien Stromung usw. 63

T, und r2 sind aus (66) und (70) zu entnehmen: d ist der Abstand der Mittelpunkte der zu dem Profilpaar gehiirenden Kreise.

Man berechnet leicht v1 und v2, sowie 8, und a2 aus den gegebenen Grogen.

Fig. 3. Vergnderung der Anstromgesehwindigkeit durch I', und r,

Die Anwendung des K u t t a - Joukowskyschen Satzes auf die Einzelprofile liefert fur die Krafte und '$a, die die Stromung auf F, und F2 ausiibt, die einfachen Ausdrucke

(79) und

o v r i b a - 5 ) . Diese Krafte stehen nicht auf der Geschwindiekeit im

(80) !$p2=s a 2

Unendlichen - woo senkrecht, sondern auf der durch die" Zusatz- geschwindigkeiten vergnderten Anstromgeschwindigkeit. Ihre Summe ergibt den Gesamtauftrieb, und dieser steht erst auf - Wm senkrecht.

Um einen Ausdruck fur das Moment der Einzelprofile zu erhalten, greifen wir auf die zweite B las ius sche Formel

d Z at zuruck. Da der Integrand - w = -W mit W nach (19)

und ___ d Z durch Differentiation von (42), sowie t nach (42) - d t nur in Abhangigkeit von 2 gegeben ist, wird man die Inte- gration in Z durchfuhren.

64 Annulen deer Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

Berechnung der Druckverteilung uber die Strecken ; ein Beispiel Um den Druck in einem Punkte der Stromungsebene zu

berechnen, ist die Kenntnis der dort herrschenden Geschwin- digkeit erforderlich. Die Geschwindigkeit w in der Ebene der Strecken ist nun nicht in Abhangigkeit der Variabeln t dieser Ebene gegeben; trotzdem ist eine Berechnung derselben in den einzelnen Punkten moglich.

Unterwerfen wir zwei vorgegebene Kreise K, und K, in der z-Ebene der Abbildung nach (64), so erscheinen zwei Strecken 8, und S, in der t-Ebene. Hiermit ist eine eindeutige Zuordnung der Streckenpunkte zu den Kreispunkten gegeben. Setzt man 2 = a + i ypl und 2 = - @ + i spz, so werden die Strecken zweimal durchlaufen, wenn tpl und y , von - TC bis + n wandert. 1st diese Zuordnung vollzogen, so gewinnt man nach (9) und (42) die Geschwindigkeit CO langs der Strecken aus

ir -an (5m - C(Z+ 2B) + 2 ~ m % p ( Z ) - 2w, Xop(Z+28) +iK

2 xop ( Z + 2g, - zop (2) - --y- _.

I 2 ~ s y ~ i

(82) w =

Fur die rechnerische Durchfiihrung ist es vorteilhafter, die Koordinaten x, und yo der Ursprungspunkte der beiden Polar- systeme, sowie a und vorzugeben, da hiermit sofort die vertikale Entfernung zu 2y, bekannt ist. Weiter kann dann cc und ,f3 so gewahlt werden, daB ihre Summe den Wert n hat. Hiermit wird die Allgemeinheit des physikalischen Problems nicht beruhrt und die Mannigfaltigkeit der moglichen Strecken nicht allzuviel eingeschrankt. Das Periodenrechteck ist aber dann wegen (8) ein Quadrat. In diesem harmonischen Falle gelten die einfachen Beziehungen

P (i $4 = - P (y) ; P'( i 94 = i p ' ( 9 ) ; C(i $4 = - i C(Y) , wodurch die Rechnung wesentlich vereinfacht wird.

Ich habe die Rechnung an einem Zahlenbeispiel durch- gefuhrt. Es wurde gewahlt x9 = 1; yo = 4 ; (Y = 1,3562 und /I = 1,7854. Zunachst sind die Verzweigungsstellen der Ab- bildungsfunktion, also die Nullstellen von (43) zu suchen. Nach den Rezeichnungen (63) sind yl*, q1*, cp,* und vtZ* auf- zusuchen. Man wird zunachst mit nicht groWem Fehler ihre Werte auf Grund der Tatsache schatzen, daB die entsprechen- den Punkte auf den Kreisen Staupunkte einer Stromung mit horizontaler Geschwindigkeit im Unendlichen und verschwinden- den Einzelzirkulationen sind. Dann berechnet man sich die p - und p'-Funktion fur Argumente in der Nahe dieser Werte

G. Schmitx. Theorie der ebenelz wirbelfreien Stromulzg usw. 65

und spaltet p(a f irp,) = a b i und p ( p f iy2) = c T di mit Hilfe des Additionstheorems in Real- und Imaginarteil '). Die Bedingung (43) nimmt dann eine sehr einfache Form an, die leicht durch Probieren zu befriedigen ist, wenn man die entsprechenden Werte fur Real- und Imaginarteil durch Inter- polation a m den berechneten ermittelt. Man findet :

4pl* = 0,879; vl* = 1,298; cp2* = 1,462; v2* = 1,070. Formel (64a) bzw. (64b) liefert die Zuordnung cpl und 4pa

zu den Streckenpunkten; ihre Anwendung auf die vorhin er- mittelten Werte gibt die Endpunkte der Strecken.

I?, = $339 m7 (4 *J=$#3

z=t=u m, t- ~ 9 . - W 6 n, = - $661 mzf@!)= f833 m, &*)= - +I&??

M, (f1$+5q3=422 &ff@ v& R2 f39

0 8

2 Einheit = - cm

Fig. 4. Verteilung des Druckes - p = p , + 1 - - - 1 2 Iangs der einzelnen Strecken.

Wir lassen von rechts unter dem Anstellwinkel - 10 O an- stromen; die GroBe der Geschwindigkeit sei 1%. Aus (18) findet man - 1'- r, + r, = 10,450. Nachdem aus (19) r' = 3,401 bestimmt ist, erhalt man aus (12) I< = - 1,222. Aus G1. (82) ergibt sich dann die Geschwindigkeit in den einzelnen Punkten. In obenstehender Zeichnung sind die Strecken mit den zu-

1) Zur Berechnung der p - und p'-Funktion sei hingewiesen auf Milne-Thomson, Die elliptischen Funktionen von J a k o b y , 1931.

Annalen der Physik. 6.Folge. 21. 5

66 Annaten der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

gehorigen Kreisen eingezeichnet. Die Druckkurven sind so auf- getragen, daB die Strecken selbst den ungestorten Druck p , darstellen.

Zusammenfassung

Die allgemeinste Potentialstriimung im BuBenraurn zweier Kreise mit beliebiger Lage und GroBe bildet die Grundlage einer Theorie der ebenen Stromung uni den Doppeldecker. Mittels der W e i e r s t r a s s schen Funktionen wird irn AnschluB an Lag a l l y die diese Stromung erfassende Stromungsfunktion aufgestellt; die Zirkulationen werden durch den J o u k o w s k y - schen Gedanken bestimmt. Unter Verwendung der Fundamental- reihe der Geschwindigkeit finden wir allgemeine Formeln f iir Auftrieb und Moment des Doppeldeckers. Weiter wird die Ab- bildungsfunktion abgeleitet, die das AuBengebiet der beiden Kreise in das AuBengebiet zweier Profile konform abbildet. Der spezielle Fall der Streckenprofile wird naher ausgefiihrt und Auftrieb und Moment derselben diskutiert. Die punkt- weise Berechnung der Ilruckverteilung langs der Strecken wird an einem Beispiel zahlenmahig durchgefiihrt. Endlich sind noch Ausdriicke fur &aft und Moment der EinzelAiigel an- gegeben.

Got t ingen . (Eingegangen 3. August 1934)