Bestimmung konvexer Körper durch Krümmungsmaße

Comment. Math. Helvetici 54 (1979) 42-60 Birkh~iuser Verlag, Basel

Bestimmung konvexer K6rper durch KriimmungsmaBe

ROLF SCHNEIDER

1. Einleitung

Jede hinreichend glatte EiNiche im dreidimensionalen euklidischen Raum mit konstanter mittlerer oder konstariter Gaul3scher Kriimmung ist eine Sphiire. Dieses erstmals (unter zusiitzlichen Voraussetzungen) von Liebmann [11] be- wiesene Ergebnis, einer der klassischen Siitze der globalen Differentialgeometrie, hat bekanntlich mannigfache Verallgemeinerungen in verschiedensten Richtungen erfahren. Die unmittelbare Erweiterung auf h6here Dimensionen, also die Kenn- zeichnung der Sph~iren als der einzigen Eihyperflftchen, auf denen eine elementarsymmetrische Funktion der Hauptkriimmungen konstant ist, stammt von Siiss [16] (siehe auch Bonnesen-Fenchel [4, S. 117 f.]). Im folgenden soll dieser Satz auf allgemeine konvexe Hyperfliichen ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen ausgedehnt werden. Die Kriimmungsfunktionen miissen dann durch passend definierte Mage ersetzt werden. Solche Mage sind in allgemeinerem Rahmen von Federer [8] eingefiihrt worden.

Die Ausdehnung urspriinglich ditIerentialgeometrischer S~itze auf konvexe (oder allgemeinere) Fliichen ohne Ditterenzierbarkeitsvoraussetzungen ist bekanntlich seit langem mit grol3em Erfolg betrieben worden; Zusammenfassungen findet man u.a. in den Biichern von Aleksandrov [2], Busemann [5], Pogorelov [12]. Jedoch hat der Satz von Liebmann-Siiss bisher noch keine entsprechende Verallgemeinerung erfahren.

Die hierfiir ben6tigten Federerschen Kriimmungsmage kann man fiir konvexe K6rper folgendermal~n erhalten (siehe auch [13]). Ist K ein konvexer K6rper (kompakte, konvexe Teilmenge mit inneren Punkten) im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum E"(n-->2) und ist x eE", so sei p(K,x) der (eindeutig bestimmte) Punkt in K mit kleinstem Abstand yon x; dieser kleinste Abstand sei mit r(K, x) bezeichnet. Fiir eine Borelmenge /3 c E" und eine Zahl P > 0 werde sodann

Ao(K,/3):={xeE":O<r(K,x)<- 0 und p(K,x)e/3}

gesetzt. Diese "Parallelmenge von OK 0~3 im Abstand P" ist ebenfalls eine

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Bestimmung konvexer K6rper durch Kriimmungsmal3e 43

Borelmenge, und ihr Lebesguesches Mal3 l~il3t sich ausdriicken in der Form

= - Y. o"-" C,,(K,/3). ~'~(A,,(K,/3)) n ,,,=1,

Durch diese "lokale Steinerformel" werden dem konvexen KSrper K positive Mal3e Co(K, ") . . . . . C,,_1(K, ") auf den Borelmengen des E" zugeordnet. Sie heil3en die KrfimmungsmaI3e von K (und unterscheiden sich yon Federers [8] Mal3en qbo(K, .) . . . . . q~,_ I(K, ") nur durch eine unterschiedliche Normierung). Ist der Rand OK von K eine zweimal stetig ditterenzierbare, regul~ire Hyperfl~iche, so gilt

Cm(K,/3) = i H,_~_m dF, (1.1) K A(3

wo Hk die k-te normierte elementarsymmetrische Funktion der Haupt- kriimmungen von OK und dF das Oberfl~ichenelement bezeichnet. Einfache anschauliche Deutungen der Mage C,,(K, .) sind auch fiir Polytope m6glich, ferner fiir allgemeine konvexe K6rper in den F~tllen m = n - 1 und m = 0:C,_~(K,/3) ist die Oberfl~iche (das (n-1)-dimensionale HausdorffmaB) von OK N/3, und Co(K,/3) ist das sph~irische Lebesgue-Mal3 des sph~irischen Bildes von OK N/3 (Menge aller ~iuBeren Normaleneinheitsvektoren an K in Punkten yon OK n/3). Das Mal3 Co(K, ") ist schon von Aleksandrov [1, w [2, Kap. V, w betrachtet worden.

Nach diesen Erl~iuterungen k6nnen wir unser Hauptergebnis formulieren.

(1.2) SATZ. Sei K c E" ein konvexer K6rper, m e{0, 1 . . . . . . n - 2 } und a eine reelle Zahl. Gilt

C.~(K, ")=aC._I(K, "), (1.3)

so ist K eine Kugel.

Ist der Rand von K eine zweimal stetig differenzierbare, regul~ire Hypertt~iche, so ist die Bedingung (1.3) wegen (1.1) gleichwertig mit der Voraussetzung, dab die Kriimmungsfunktion H,_~_,, der Randfl~iche OK konstant ist. Durch (1.2) wird also in der Tat der Satz von Liebmann-Siiss verallgemeinert. Der Spezialfall m =0 ist nicht neu (vgl. a. [14, Satz 1]); er ist sogar in versch~iffter Form in Gestalt eines Stabilit~itssatzes bewiesen worden (Diskant [7]). ,~hnliche Ergeb- nisse sind bekannt fiir die von Aleksandrov und Fenchel-Jessen eingefiihrten

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Oberfl~ichenfunktionen, welche die elementarsymmetrischen Funktionen der Hauptkriimmungsradien verallgemeinern (siehe z.B. Busemann [5, S. 70]).

2. Beweis des Satzes, erster Teil

Zun~ichst einige Bezeichnungen: S "--1 sei die Einheitssph~ire (mit Mittelpunkt 0) des E". Das kartesische Produkt E" x S "-1 bezeichnen wir mit ~ und versehen es mit der Produkttopologie. Fiir X = E n, S "--~, 0 bezeichnet ~(X) die o-- Algebra der Borelmengen in X. ~ " ist das n-dimensionale Lebesguemal3 und A,_ ~ das sph~irische Lebesguemal3 auf S "-1. Die Menge der konvexen K6rper des E" sei mit ~" bezeichnet. Fi~r K e R " ist R(K) die Menge der regul~iren und S(K) die Menge der singul~iren Randpunkte von K. Ein Paar (x, u ) e O heiBt Stiitzelement von K, wenn x e 3K und u ein ~iuBerer Normalenvektor an K in x ist. Y(K) sei die Menge aller Stiitzelemente von K. Fiir oJ c S "-I bezeichnet r(K, r die Menge aller Randpunkte von K, in denen ein zu r geh6render Normalenvektor an K existiert.

Unser Beweis des Satzes erfordert es, zun~ichst einen Zusammenhang zwischen den KriimmungsmaBen und den Oberfl~tchenfunktionen herzustellen. Dies geschieht, indem wir eine gemeinsame Verallgemeinerung beider Serien von Mal3en betrachten.

Fiir einen konvexen KiSrper K ~ t " und einen Punkt x e EnkK sei

x - p(K, x) u(K, x):=

r(K, x)

gesetzt. Sei P > 0 und Kp der Parallelk6rper von K im Abstand p. Die Abbildung

fo : K , k K---~ 12 x ~ (p(K, x), u(K, x))

ist stetig, insbesondere mel3bar. Sei tzo(K, ") das Bildmal3 des (auf KpkK eingeschr~inkten) Lebesgueschen MaBes unter [o. Fiir rl e/3(0) ist also ixo(K, rl) das Mal3 der Menge

Mp(K, rl) := fS'(rl) = {x e E" :0 < r(K, x) <- O und (p(K, x), u(K, x)) ~ "0}.

Speziell ist

txp(K,O)= GP"(Ko, K)= Y. #J (~)W~(K), j = l

(2.1)

Bestimmung konvexer K6rper durch Kriimmungsmage 45

wo Wj(K) das j-te Querma13integral von K bezeichnet.

(2.2) BEHAUPTUNG. Ist ( K i ) i c N eine (ira Sinne der Hausdorffmetrik) gegen K konvergierende Folge in ~", so ist die Folge (tx,(K~, "))~N YOn BorelmaBen auf12 schwach konvergent gegen Ix,(K, .).

Beweis. Sei ~ c O often. Sei xcMo(K,~q) und r(K,x)<p. Es gilt r(K,, x) --, r(K, x) und (p(K,, x), u(K,, x)) --, (p(K, x), u(K, x)) fiir i ---, ~. Fiir fast alle i gilt daher r(K~, x )<o und wegen der Oftenheit yon ~/ auch (p(K~, x), u(K~, x))c'O, also x c Mo(K~, 71). Somit gilt

Mo(K, n)\OK,, c lim inf Mo(K~, ~1) i ~ o c

und daher

Izo(K, rl)= ~" (M,, (K, -O)\OK o) -< 5C'(lim inf M,,(K~, TI))

~<lim inf ~"(M,,(K~, rl))= lim inf/z~,(K~, ~). i ~ i ~ , x '

Da dies fiir alle oftenen Mengen a~ gilt und da wegen (2.1) auch ~o(K~, 12) uo(K, 12) gilt, folgt die Behauptung (2.2).

Nun sei P c ~" ein Polytop. Durch passende Zerlegung der Menge Mo(P, ~) und Anwendung des Satzes von Fubini findet man

rt--1 I tx,,(P,n)= ~ O " - m - - ~ l ~ h, - , -~(o ' (P ,F) f3"q~)d~(x) .

rrt = 0 n, -- m F ~ " ( P ) F

(2.3)

Dabei ist ~ " ( P ) die Menge der m-dimensionalen Seiten von P, tr(P, F) das sph~irische Bild der Seite F und

"l'~x :---{N c S n-1 : ( x , [ t ) c '1"~}.

Aufgrund von (2.2) und (2.3) k6nnen wir jetzt die Schlu13weise, die zum Beweis yon [13, (3.11)] fiihrte, nahezu w6rtlich iibertragen und erhalten:

(2.4) BEHAUVFUNG. Zu jedem konvexen K6rper K c ~" gibt es endliche, positive Ma[3e Oo(K,') . . . . . 0 ._ 1 (K,.) auf ~ (12), so da 13 fiir r I c ~ (12) und; p > 0

46 R O L F S C H N E I D E R

das Marl ~o(K, "q) dcr ParaUelmenge Mo(K, -q) gegeben ist durch

~.(K, n) =-~ "-~ ( ) y. p._,. n Ore(K, rl). 71 na=O m

(2.5)

Wie ein Vergleich mit der Definition der Kriimmungsmal3e in der Einleitung zeigt, ist

C,,(K, [3) = O,,(K, [3 x S"-~), [3 ~ ~ (E") (2.6)

fiir m = 0 . . . . . n - 1. Andererseits ist durch

S . (K, t o ) = O . ( K , E " x t o ) , to ~ ~ ( S " - ' ) , (2.7)

gerade die m-te Oberfl~ichenfunktion von K im Sinne von Fenchel-Jessen [9] gegeben, wie aus der letzten Gleichung in [9, S. 31] oder aus [13, w hervorgeht.

Die Mal3e O,,(K, .) sind konzentriert auf der Menge ~(K) der Stiitzelemente von K: Ist x e M,(K, ~i), so ist (p(K, x), u(K, x))~ rl N~(K); es ist also No(K, ~) = t~o(K, rl N~(K)) fiir p > 0 und daher nach (2.5)

O,,(K, 7 1 ) = O , , ( K , ~ N Z ( K ) ) fiir r l ~ ( g 2 ) , m = 0 . . . . . n - 1 . (2.8)

Nun k6nnen wir einen Zusammenhang zwischen Kriimmungsmagen und Oberfl~ichenfunktionen in Form von Ungleichungen herleiten.

(2.9) HILFSSATZ. Sei m e {0 . . . . . n - 1}, sei to c S "-~ abgeschlossen. Dann gilt

C.,(K, "r(K, to) NR(K))<-S,,(K, to)-< C~(K, I"(K, to)).

Beweis. Sei (x, u)e ~,(K) ein Sti~tzelement von K mit x e1-(K, to)n R(K). Dann ist u Normalenvektor an K in x. Wegen x e "r(K, to) existiert in x ein Normalenvektor aus to, der aber wegen x e R(K) mit u iibereinstimmen mug, es ist also u ~ to. Damit ist

([~'(K, to) n R(K)] x S" - ' ) O ~ ( K ) c (E" x to) n ~ (K)

gezeigt. Die hier auftretenden Mengen sind Borelmengen if(K, to) und ~(K) sind abgeschlossen, OK\R(K) ist eine F,,-Menge), also folgt

Bestimmung konvexer K6rper durch KriimmungsmaBe 47

und damit nach (2.6), (2.7), (2.8)

Cm(K, r(K, co) M R(K)) = O,,,(K, ([~-(K, co) n R(K)] • S" - ' ) r3 ~(K) )

<-Om (K, (E" xo))n ~(K))= S,,(K, oJ).

Sei (x, u) c ~(K) ein Stiitzelement von K mit u e o9. Dann ist x e r(K, o~). Also gilt

(E" x ~o) n Y.(K) ~ (~(K, ~o) x S"-') n Y.(K).

Analog wie oben ergibt sich

Sm(K, to)=Om (K, (E'~ x co)A ~(K))

-< Om (K, fir(K, ~o) x S"- ' ) f3 ~ ( K ) ) = C,, (K, "r(K, o~)).

Damit ist (2.9) bewiesen. Fiir eine sp/itere Anwendung wollen wir zun/ichst noch eine weitere Aussage

fiber Kriimmungsmage bereitstellen. Ffir )t > 0 erkliiren wir die Abbildung Tx :g2 ~ g2 durch Tx (x, u): = (x + )tu, u). Dann gilt fiir K e $~", "O e 3~ (O),)t = 0 und m = 0 . . . . . n - 1 die verallgemeinerte Steinersche Formel

j=O (2.10)

Zum Beweis bemerken wir zuniichst, dab fiir x ~ E"\Kx die Gleichungen

p(K~, x) = p(K, x)+ Xu(K, x),] !

u(Kx, x) = u(K, x), I

J r(Kx, x) = r(K, x ) - )t

(2.11)

gelten. Sei niimlich x ~ E"\Kx und y der Schnittpunkt der Verbindungsstrecke von x und p(K, x) mit dem Rand von Kx. Angenommen, es w~ire p(Kx, x)~ y. Dann ist Itx- p(K~, x)ll < IIx- yll. Mit z := p(K, p(Kx, x)) gilt wegen p(Kx, x) ~ bKx und y 60Kx

Itp(n~, x ) - z l t = x _< Ily- p(K, x)tl

48 RoLr: SCHNEIDER

also

IIx - zll ~ Ilx - p ( g ~ , x)ll+llp(g~, x)- zll < IIx - Yll +IlY -ptK, x)ll = IIx -p(g, x)lt,

was der Definition von p(K, x) widerspricht. Somit ist p(K~, x)= y. Dann mug u(K, y) = u(K, x) = u(Kx, x) sein. Hieraus folgt (2.11).

Aus (2.11) gewinnt man nun sofort die disjunkte Zerlegung

Mo+~ (K, n)=M~(K, n)U M.(K~, T~n)

und hieraus

u~.+~ (u, ~)= t.~ (u, n)+ ~. . (g~ , TAn).

Einsetzen von (2.5) und Vergleich der Potenzen von p ergibt die Behauptung (2.10).

Nun beginnen wir mit dem Beweis yon Satz (1.2). O.B.d.A. daft a = 1 angenommen werden, da dies stets durch eine Streckung erreichbar ist. Es sei also K e ~ " ein konvexer K6rper mit

Cm(K , . )= C,_,(K, .).

Da C,,_~(K,(3) mit dem (n-1)-dimensionalen iibereinstimmt (siehe [13, (3.21)]), gilt nach einem Satz von Reidemeister (siehe z.B. Busemann [5, S. 13])

C,,_I(K, OK\R(K)) = O.

Sei ~o c S "-1 abgeschlossen. Dann gilt

S,,,(K, to)<C,.,,(K, ,r(K, to))

= C,,_,(K, r(K, to))

= Cn_I(K, r(K, to) f) R(K))

= C,,(K, "r(K, to) fqR(K))

-< S . . (K , to)

(2.12)

HausdorttmaB von OK N 13

nach (2.9)

nach (2.12)

nach (2.13)

nach (2.12)

nach (2.9).

Es folgt, dab hier iiberall das Gleichheitszeichen steht, insbesondere ist also

S,,,(K, to) = C,~_I(K, "r(K, ca)) = S,_,(K, to),

(2.13)


letzteres nach [13, (4.19) und (3.21)]. Gilt die Gleichheit S,,(K, to)= S,_~(K, to) fiir alle abgeschlossenen Mengen w c S "-1, so gilt sie fiir alle Borelmengen to c S "-~. Es ist also S,,,(K, .)= S,,_~(K, .). Aus [15, (3.8)] folgt jetzt, dab K ein m-Tangentialk6rper einer Einheitskugel B ist. Gem/if5 [15, (2.2)] ist hiermit /iquivalent:

(2.14) Jede ( n - m - 1 ) - e x t r e m e Stiitzebene an K ist Stiitzebene an B.

Es bleibt zu zeigen, dab K mit B zusammenf/iUt. Fiir m = 0 ist das klar, da jede Stiitzebene (n - 1)-extrem ist. Im Fall m = 1 ist K ein Kappenk6rper von B (Bonnesen-Fenchel [4, S. 17-18]). Angenommen, es ware K r B. Dann besitzt K wenigstens eine "Kappe" , das heigt es gibt einen Punkt x ~ E n \ B derart, dab die Punktmenge

M: = [0 conv (B tO {p})]\(B to {p})

im Rand von K liegt. M i s t Teil einer Kegelhyperfl/iche. Wegen (1.3) miiBte auf der zweimal stetig differenzierbaren Hyperfl/iche M die Kriimmungsfunktion H,_2 konstant sein, was nicht der Fall ist. Somit ist K = B.

Die hier angewandte SchluBweise wollen wir auf m >-2 ausdehnen. Ist K r B, so ist die Punktmenge OK\(B tO S(K)) nicht leer. Jede ihrer Zusammenhangskom- ponenten ist eine differenzierbare Hyperfl/iche. Im Fall m >- 2 braucht sie aber, wie Beispiele zeigen, nicht zweimal differenzierbar zu sein. Wir k6nnen nicht einmal ausschliefsen, dab die Punkte, in denen keine zweimalige Differenzierbar- keit besteht, dicht liegen. Daher ist die obige Schluf5weise nicht unmittelbar /ibertragbar. Nun sind konvexe Hyperfl/ichen jedoch fast iiberall zweimal differenzierbar. Dies reicht aus, um (im vierten Abschnitt) den Beweis zu Ende zu ffihren. Der n/ichste Abschnitt enth/ilt die erforderlichen Vorbereitungen, im wesentlichen eine Verallgemeinerung eines Satzes von Aieksandrov.

3. Normale Punkte

Wir w/ihlen im E" einen Einheitsvektor e, und bezeichnen den dazu or- thogonalen Unterraum mit E n-~. Gegeben sei eine konvexe Funktion z auf dem Abschluf5 0 einer beschr/inkten, offenen, konvexen Umgebung U von 0 in E "- ~ mit z >- 0 und z (0) = 0. Fiir h > 0 schneidet dann die Hyperebene E " - ~ + he,, den Epigraphen von z,

K~ :={x + Xe. :x~ 0, X >- z(x)},

50 ROLF SCHNEIDER

in einer ( n - 1)-dimensionalen kompakten, konvexen Menge. Die hieraus durch Orthogonalprojekt ion in E n-I und Streckung mit dem Faktor 1/x/2h entstehende konvexe Menge sei mit D(h) bezeichnet. Existiert der (Hausdorffsche abgeschlossene) Limes lim,__,o+D(h), so nennt man diese Menge die Indikatrix von Kz (oder z) in 0. Der Punkt 0 heiBt normaler Punkt von Kz, wenn in 0 die Indikatrix existiert und von einer Fl~iche zweiter Ordnung mit Zentrum 0 berandet wird.

Wir setzen jetzt voraus, dab 0 normaler Punkt von K~ ist. Die Hauptkr i immungen kl . . . . . kn_ 1 von K~ in 0 sind dann wie iiblich erkl~irt als die reziproken Quadrate der (wegen der Konvexit~it der Indikatrix reellen) Halbach- sen der Indikatrix. Wir w~ihlen in E "-1 eine or thonormier te Basis el . . . . . e,_l in den Hauptachsenrichtungen der Indikatrix. Fiir x ~ E" bezeichnen dann in diesem Abschnitt Xl . . . . . x, stets die Koordinaten beziiglich der Basis e~ . . . . . e,.

Wie Aleksandrov [1] gezeigt hat, besitzt z im normalen Punkt 0 in einem verallgemeinerten Sinn ein zweites Differential. Wir wollen (fiir i~ {1 . . . . . n - 1}) die Zahl ~ eine verallgemeinerte Ableitung von z nach d e r / - t e n Koordinate im Punkt x e U nennen, wenn es Zahlen ~1 . . . . . ~-~, ~+l . . . . . ~,-1 gibt derart, dab der Vektor ~ e l + " " + ~ , - l e , - 1 - e , ~iuBerer Normalenvektor einer Stiitzebene an K~ im Punkt x + z(x)e,~ ist. Eine Funktion z~ : U ~ R heiBe verallgemeinerte Ableitung von z nach d e r / - t e n Koordinate, wenn fiJr jedes x e U der Wert zi(x) eine verallgemeinerte Ableitung von z nach der /-ten Koordinate in x ist. Aleksandrovs [1] Ergebnis l~iBt sich dann folgendermaBen formulieren. Es gibt eine monoton nicht abnehmende Funktion ~ m i t

lim ~(r) = 0, r--~O+

so dab

I z , ( x ) - (llxll)llxll fur x u (3.1)

gilt fiir i = 1 . . . . . n - 1 und jede verallgemeinerte Ableitung z~ von z nach der /-ten Koordinate. Ohne Beschr~inkung der Allgemeinheit k6nnen w i r r so w~ihlen, dab auch

Iz(x)z,(x)l<r fi~r x e U (3.2)

gilt. Fiir eine beschr~inkte Teilmenge /3 'c E "-1 setzen wit

11t3'11:= sup Ilxll XE~'

Bestimmung konvexer K6rper durch Kriimmungsmal?,e 51

und ffir E > 0

U,(/3'):={xcE"-~:llx-yH<-e f i i re in ye/3'}.

Fflr Teilmengen v o n E n-1 ist die Randbildung O im folgenden relativ zu E "-1 gemeint; entsprechendes gilt fiir zu E "-~ parallele Hyperebenen. Mit F bezeichnen wir das ( n - 1)-dimensionale HausdorffmaB.

DEFINITION. Die Folge (/3'~),~N von Teilmengen yon E "-1 heigt normal (beziiglich 0), wenn folgendes gilt:/31 ist kompakt, F(/31)r ( ioN),

lim [ 13'~[[ = O, (3 .3)

und fiir jede Folge (E,)~N positiver Zahlen mit

. E i h m ~ = 0 ist (3.4)

lim F(U,,(O/31)) = 0. (3.5) , ~ F(/3',)

Eine Folge (13,)~N von Teilmengen von OKz heii3t normal, wenn ihr durch Orthogonalprojektion in E" i eine normale Folge von Teilmengen von U ent- ~pricht.

Fiir jede Borelmenge /3 c OKz, der durch Orthogonalprojekt ion in E "-I eine Teilmenge von U entspricht, ist das Kriimmungsmaf3 C,,(Kz,/3) erkl/irbar als C,,(Kz N H, 13), wo H : = {x ~ E":x,-<•} mit geniigend grollem 1~ ist. Wie iiblich bezeichnet H~ die r-te normierte elementarsymmetrische Funktion der Hauptkri immungen kl . . . . . k,_~, hier im Punkt 0. Wit k6nnen nun das Haupt- ergebnis dieses Abschnitts formulieren.

(3.6) HILFSSATZ. Ist 0 ein normaler Punkt yon Kz und (13~),~N eine (bezfiglich O) normale Folge yon Teilmengen yon OKz, so gilt

C,. (K~, 13,) lim - H . _ , _ , . ( 3 . 7 ) . . . . C . _ l ( K z , t3,)

ffir m = 0 . . . . . n - 1. Fiir m = 0 ist dies von Aleksandrov [1] bewiesen worden. Wir wandeln seine

Beweismethode passend ab. Sei also (/3,),~N eine normale Folge. Sei 0 > 0 . Wit

52 ROLF SCHNEIDER

bilden die Mengen

q~([3,) := {x + #u : x ~ [31, (x, u)~ ~(Kz) },

also die Parallelfliiche yon /3i im Abstand 0, und die in der Ebene E " -1 - 0e. liegende Menge

~o'([33: = {x +z(x)e . + hu :x c [3:, (x+z(x)e . , u)e ~(K~), z(x)+ h (u, e . )= -0}-

Ferner sei die affine Abbildung r176 E " -1-0e . erkl/irt durch

r tml

r 1 7 6 ~. (l+okj)xjei, �9 x e E n-1. i = 1

Dann ist

F( q3 ~ ) F([3',)

y (n =(1 +ok~)" �9 �9 (1 +0k ._ , ) - i=o oj 1) Hi. (3.8)

Wegen (3.3) gilt

F([3'i) ! i m p = 1 und (3.9)

lim F(~'([3'I)) = 1, (3.10) 1-~ V(~([33)

denn es gilt u--~e, gleichm~igig ffir x--*0 und (x, u)~Y~(Kz). Wir zeigen, dab auch

lim F(~'([3'i)) 1 (3.11) i - F(~~

gilt. Zum Beweis setzen wir

~i : = 4 n - 1 (p+1)4,(1113111)t113;11, i eN ; (3.12)

dann ist die Bedingung (3.4) und damit auch (3.5) erfiillt. Sei y c q;([3'i)- Dann existiert ein Punkt x ~/3'i mit

y = x + z ( x ) e , + A u ,

Bestimmung konvexer K6rper durch Kriimmungsmage 53

wobei u e i n / i uBe re r N o r m a l e n v e k t o r an K z in x + z ( x ) e , , ist, zum Beispiel

n - - 1

u = - e . + Y. zi(x)ej,

wo zl . . . . . z , - i vera l lgemeiner te Able i tungen von z sind, und wobei h so zu whhlen ist, dab y ~ E "- I - p e n gilt. Es ist also

t t - -1

y = - pe,~ + Y~ I x i + ( z ( x ) + O ) z i ( x ) ] e i. i=1

Fiir den Punk t yO := q~O(x ) ~ q~o(/3,) gilt

n - - I

y - y" = Y~ [O(Zj(X) - kix~) + z ( x ) z j ( x ) ] e i ; j = l

nach (3.1), (3.2), (3.12) ist also [lY- Y~ -< ei. Somit ist

,~'(/3'j c U,, (r176 (3.13)

Hieraus folgt nun

F O o , F(r < (U~,( r (/3~)) ~ 1 fiir i--~oo (3.14)

_ 1~ F(~o(t3,) )

nach (3.5) und da die affine Abbi ldung q~o fiir kleine p > 0 (und nur diese b rauchen wir zu be t rachten) nicht ausgear te t ist.

Ana log zu (3.13) folger t man

~o(t3:) c ud,~'(t3:)),

woraus sich

~~ (Oq~'(/3',)) c q~'(/3',) (3.15)

ergibt , und

q~ '(O[3',) c U,. (q~~162 = U,, (Oq~~ (3.16)

5 4 ROLF SCHNEIDER

Nun gilt

0q~'(/3'~) c q/(0/3;), (3.17)

wie man folgendermaBen einsieht. Zu y ~ q~'(U) sei f(y) der Punkt, der durch Orthogonalprojektion des Punktes p(Kz, y) auf E "-I entsteht. Dann ist y~ q~'({f(y)}). Da die Abbildung f stetig ist, folgt nun leicht die Relation (3.17).

Aus (3.15), (3.16), (3.17) ergibt sich

Hieraus folgt

' ' F 3 o , V(~o (t3i)) > 1 (U2,,( ~ (t3,)) -- F(~oo(/3,))

1 fiir i-~oo.

Zusammen mit (3.14) ergibt das die Behauptung (3.11). Aus (3.8), (3.9), (3.10), (3.11) folgt nun

F(r pi n - 1 Hv (3.18) lim = i -~ F(/3,) ,=o J

Andererseits gilt

F(r = ~ 0 i n - 1 C._,_i(K~, [3,), i = o J

(3.19)

wie sich wegen F(q~(/3~))= C,_1 ((K~),, ~(/3~)) aus (2.10) und (2.6) ergibt. Da (3.18) und (3.19) fiir alle kleinen 0 > 0 gelten, folgt wegen F(/3~)= C,-I(Kz,/3~) nun die Behauptung (3.7). Damit ist Hilfssatz (3.6) bewiesen.

Da man den Rand eines konvexen K6rpers in einer Umgebung eines gegebe- nen Randpunktes durch eine konvexe Funktion darstellen kann, versteht es sich von selbst, wie sich der Begriff des normalen Punktes und Hilfssatz (3.6) auf beliebige konvexe K6rper iibertragen. Wesentlich ist dann die folgende Aussage.

(3.20) HILFSSATZ. Fiir jeden konvexen Kfrper K ~ ~" sind (ira Sinne des ( n - 1)-dimensionalen Hausdorffma[3es) fast aUe Randpunkte normal.

Dies ist fiir n = 2 von Jessen [10], fiir n = 3 von Busemann-Feller [6] und fiir beliebiges n von Aleksandrov [1] gezeigt worden. Einen kiirzeren, aber weniger elementaren Beweis findet man bei Bangert [3, (3.22)].


4. Beweis des Satzes, SchluB

Wir nehmen nun an, der konvexe K6rper K, der (2.12) und daher (2.14) mit einer Einheitskugel B c K erfiillt, falle nicht mit dieser Kugel zusammen (es muB also m-> 1 sein). Setze

M : = aK\(B U S(K)).

Sei x e M ein normaler Punkt von K. Durch x gibt es genau eine Stiitzebene H an K; sei u ihr ~iuBerer Normaleneinheitsvektor. Da x ein reguliirer Randpunkt ist, ist H e i n e extreme Stiitzebene, nach (2.14) ist sie also auch Stiitzebene an B und beriihrt daher B in einem Punkt y. Der Strahl durch x mit Endpunkt y verliiBt den K6rper K in einem Punkt z. Dieser Punkt mul3 noch in einer von H verschiedenen Stbtzebene an K liegen, er ist daher singular und somit verschieden v o n x.

O.B.d.A. nehmen wir im folgenden an, dab z der Nullpunkt des E nist . V sei der zu y orthogonale (n -1 ) -d imens iona le lineare (also dutch z = 0 gehende) Unterraum, und W c V sei der aul3erdem zu u orthogonale ( n - 2)-dimensionale lineare Unterraum.

Fiir einen konvexen K6rper K'~ ~" und einen Vektor v e E"\{0} bezeichne H(K', v) die Stiitzebene an K' mit iiuBerem Normalenvektor v; speziell ist also H(K, u)= H. Ein Randpunkt des konvexen K6rpers K' heiBt k-extrem, wenn er nicht Mittelpunkt einer in K' enthaltenen (k + 1)-dimensionalen Kugel ist. Jeder exponierte und daher (als Limes yon exponierten Randpunkten) auch jeder extreme Randpunkt eines konvexen K6rpers mit mehr als einem Punkt ist Hiiufungspunkt yon 1-extremen Randpunkten, denn jeder nichtleere Durch- schnitt des K6rpers mit einer Hyperebene hat extreme Randpunkte, und diese sind 1-extreme Randpunkte des K6rpcrs selbst.

(4.1) B E H A U t ~ U N G . Sei L c W ein m-dimensionaler linearer Unterraum. Dann gibt es eine Folge ( ui)~N yon Einheitsvektoren mit folgenden Eigenschaflen:

(a) Die Stfitzebene H(K, u~) ist Stfitzebene an B und geht dutch z;

(b) lim u, = u;

_ U i - - l ~

(c) w := lim - - - , - .~ Itu,- ull

existiert und liegt in L.

Beweis. Nor (K, z) sei der Kegel aller ~iuBeren Normalenvektoren an K in z.

56 ROLF SCHNEIDER

Der Durchschnitt N : = ( H + u ) N N o r ( K , z) ist eine abgeschlossene konvexe Menge, die nicht ganz in V liegt (denn es gibt eine Stiitzebene an K in z, die nicht durch y geht). Es sei E die (m + 1)-dimensionale Ebene, die von L + u und einem nicht in V gelegenen Punkt von N aufgespannt wird. Setze N ' := N N E. Da H eine ext reme Stiitzebene von K ist, ist u ex t remer Randpunkt yon N und daher auch ext remer Randpunkt von N' . Wie oben bemerkt , ist u daher Limes einer Folge (vi)~N 1-extremer, von u verschiedener Randpunkte von N' . Wir setzen

u, : = vJllv, ll. O.B.d.A. diirfen wir (nach Auswahl einer Teilfolge) annehmen, dab der Grenzwert

lim u~ - u , - ~ [lu~ - ul[ =: w (4.2)

existiert. Da vi ein 1-extremer Randpunkt von N ' und daher ein ( n - m - 1)- ex t remer Randpunkt von N ist, ist ui ein ( n - m - 1)-extremer Normalenvektor von K. Nach (2.14) ist die Stfitzebene H(K, u~), die wegen ui ~ N o r (K, z) durch z geht, auch Stiitzebene an B. Daher gilt, da y - u der Mit telpunkt der Einheits-

kugel B ist, ( y - u , u , ) = - I ffir i o N . Wegen (4.2) und (y, u ) = 0 folgt hieraus (y, w) = 0, also w ~ V. Mit (4.2) gilt auch

lim vi - u i - -~ u~ - u [ I = w '

wegen vi - u ~ E - u ist also w ~ V n (E - u) = L. Dami t ist (4.1) bewiesen. Es sei nun D c H die Indikatrix von K im Punkt x. Mit h~(D, .) sei die

Stiitzfunktion yon D bezfiglich x bezeichnet, also

h~(D, v) := sup (p - x, v). p E D

(4.3) B E H A U P T U N G . Jeder m-dimensionale lineare Unterraum L c W enthiilt einen Einheitsvektor w mit

h (O, w)<_ - zll I lY-z l I"

Beweis. Zu dem m-dimensionalen Un te r r aum L c W sei (u~)i~N eine Folge gem/iB (4.1) mit zugeh6rigem Vektor w~L. Sei i ~ N . Die Stiitzebene H(K, u~) hat nach (4.1.a) mit K (mindestens) die Strecke mit Endpunkten z und yi: = y -

u + u~ gemeinsam. Sei h ~ ]0, 1[ bes t immt durch x = )~y. Sei Hi die zu H parallele


Hyperebene durch Ayi und hi ihr Abstand von H, also

hi = A(1- (u , u~)).

Der konvexe K6rper K n Hi hat in Hi die (n-2)-dimensionale Stiitzebene H(K, u~)nH~; in ihr liegt der Randpunkt Ay~ von KA/~. . Der aul3ere Nor- maleneinheitsvektor v~ der Sti~tzebene H(K, u~)nH~ wird erhalten durch Or- thogonalprojektion von u~ in den Unterraum H und anschliel3ende Normierung, es ist also

u,-( . , u,)u vi - / 1 - ( u , u,) 2"

Wegen (w, u ) = 0 gilt auch

lim vi = w. (4.4)

Der konvexe K6rper Di entstehe aus K N Hi durch orthogonale Projektion in H und Streckung mit dem Faktor 1/~/2h~ aus dem Punkt x. Der auf gleiche Weise aus Ayi hervorgehende Punkt

1 ( pi:=-/-~ii (~yi +hiu)+ 1- 1

ist Randpunkt yon D~ und liegt in der Stiitzebene H(D~, v~). Daher ist

h~(Di, vi)=(pi-)ty, vi)=\/(~(l+{u,u,}).

Es folgt

lim hx(Di, v~)=.,/~.

Nun konvergiert die Folge (Di)~N gegen die Indikatrix D yon K in x. Hieraus folgt wegen (4.4)

hx(D, w)-<lim hx(Di, vi) = ~/~t = ~/ltx-ztl ,-.~ Wily -zll"

58 ROLF SCHNEIDER

womit (4.3) bewiesen ist. Da x ein normaler Randpunkt yon K ist, gilt

D = {p c H : ( A ( p - x ) , p - x ) <- 1}

mit einer (positiv semidefiniten) selbstadjungierten linearen Abbildung A des Unterraums H in sich. Die Hauptkri immungen kl -> k 2 - > �9 " �9 -> k,_l von OK in x sind gerade die Eigenwerte von A; speziell ist

(Av, v) k~ = Max

Sei nun w ~ W ein Einheitsvekt0r gem~il3 (4.3), und sei a > 0 so gew~ihlt, dal3 p := x + ~w im Rand von D liegt. Dann ist also

= lip - xll < hx (D, w) <- ",/t]x - zll - - ~ / [ [ Y - z l l

und folglich

(m(p-x),p-x> 1 I ly -z l l k l ~ - - - > - -

( p - x , p - x ) ~2--11x- zll"

Im Fall m < - n - 3 kSnnen wir folgendermal3en weiterschliel3en. Der zweitgr613te Eigenwert k2 von A ist gegeben durch

(Av, v) k2 = Max

(v ,e)=O

w o e ein Eigenvektor zum Eigenwert kl ist. Der Unter raum {v e W:(v, e)=O} enth~dt wegen m ---dim W - 1 nach (4.3) einen Einheitsvektor wl mit

./ILx-zll h~(D, wl)----- WI!Y-ztl"

Analog wie oben folgt

k2 ~ I!Y - zlt - I I x - z l l "


Durch Forsetzung dieses Verfahrens erhalten wir dieselbe Absch~itzung fiir die r gr613ten Eigenwerte, solange m---dim W - ( r - 1 ) ist, also bis r = n - l - r e . Fiir die Kriimmungsfunktion

des K6rpers K, wo die Punkte fiir weitere nichtnegative Summanden stehen, ergibt sich daher die Ungleichung

( n m l ) H . _ , _ m ( x ) > - \ \ , . (4.5)

Diese Ungleichung haben wir erhalten aus der Voraussetzung, dab x 6 M ein normaler Punkt von K sei. Nach Annahme ist nun M nicht leer, und wegen (2.14) und K C B muB K wenigstens einen singul~iren Randpunkt besitzen. Nach Hilfssatz (3.20) und (2.13) gibt es also in M eine Folge (x~)~N normaler Punkte, die gegen einen singul~iren Randpunkt s konvergiert. Zu jedem Punkt x i geh6ren, wie am Anfang des 4. Abschnitts fiir x erkl~irt, ein Punkt yi ~ OB und ein singul~irer Randpunkt z i derart, dab die Strecke S i mit Endpunkten y~ und z i in K liegt und den Punkt xi enth~ilt. Wir diirfen (nach Auswahl einer Teilfolge) annehmen, dab die Streckenfolge (S~)~N gegen eine Strecke S konvergiert. Die Strecke S mul3 dann im Rand von K liegen, die Kugel B in einem Punkt y beriihren und den Punkt s enthalten. Da durch s e i n e Stiitzebene an K geht, die nicht die Kugel B geriihrt, ist s Endpunkt der Strecke S. Hieraus folgt, dab (zj)i~ N gegen s konvergiert. Offensichtlich konvergiert (Yj)i~N gegen y. Nach (4.5) ist

Z n - l - r n

Wegen Ilyj - zi[I--~ liy - s H r 0 und [Ixj - zitl ~ 0 folgt

H,~_,_.~(xi)---~ fiir j - - ~ .

Aus (2.12) folgt nach Hilfssatz (3.6) (und der offensichtlichen Existenz normaler Teilmengen-Folgen) aber Hn- l - , , (xj) = 1. Dieser Widerspruch 16st sich nur, wenn K = B ist.

60 ROLF SCHNEIDER

LITERATURVERZEICHNIS

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Krfimraungsma~ oder die mitllere Krfimmung ffir ]ede Norraalentichtung. Nachr. Ges. Wiss. G6ttingen (1899), 134-142.

[12] POGORELOV, A. V., Extrinsic geometry of convex surfaces. Transl. Math. Monographs 35, American Mathematical Society, Providence 1973.

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Mathematisches Institut der Universiti~t Albertstr. 23 b D-7800 Freiburg i. Br.

Eingegangen den 13. Dezember 1977

Bestimmung konvexer Körper durch Krümmungsmaße

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