Bilder von Zahlen - Arithmetik undAlgebra geometrisch darstellen

Rauter Bianca (1010328)

Graz, am 10. Dezember 2014

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Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Abbildungen von Zahlen - Beweise durch Muster 3

2 Die Quadratzahlen 4

3 Die Dreieckszahlen 5

4 Die Polygonalzahlen 7

5 Die Hex Zahlen 9

6 Die zentrierten Quadratzahlen 10

7 Hexpyramiden oder Wurfel 11

8 Die Tetraederzahlen 11

9 Die quadratischen Pyramidalzahlen 12

10 Die Oktaederzahlen 12

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1 Abbildungen von Zahlen - Beweise durch Muster

Diese Seminararbeit ist angelehnt an das Kapitel FIGURES FROM FIGURES: DOINGARITHMETIC AND ALGEBRA BY GEOMETRY aus dem Buch THE BOOK OFNUMBERS von John Horton Conway und Richard K. Guy. Die Bilder, außer dem ers-ten Bild auf Seite 9, stammen ebenfalls aus diesem Buch.

1 Abbildungen von Zahlen - Beweise durch Muster

Wenn wir eine Tabelle mit zwei Spalten erstellen und sie mit den naturlichen Zahlen,beginnend bei 0 von links nach rechts beziehungsweise von oben nach unten, befullen,erhalten wir in der linken Spalte die geraden Zahlen und in der rechten Spalte die unge-raden Zahlen. Wir konnen naturlich Tabellen mit beliebig vielen Spalten erstellen, dabeibekommt man dann in der linken Spalte die Vielfachen der Zahl, die die Anzahl derSpalten bestimmt.

Außerdem konnen wir in dieser Grafik die verschiedenen Restklassen ablesen. Wir wis-sen, dass zwei Zahlen dann kongruent modulo n sind, wenn ihre Differenz ein Vielfachesvon n ist. Unser n ist hier die Anzahl der Spalten und alle Zahlen, die in der selbenSpalte stehen, liegen auch in der selben Restklasse, sind also kongruent modulo n.

Die Neunerprobe

Bei modulo 9 liegen 1, 10, 100, 1000,... in der selben Kongruenzklasse. Aus diesemGrund gibt es eine Probe, die man anwenden kann, um zu uberprufen, ob man sichbei Rechenoperationen mit großen Operationen verrechnet hat. Diese Probe nennt mandie Neunerprobe. Addiert man zum Beispiel die Zahlen 222111 und 654321, so erhaltman 876432. Das wollen wir jetzt uberprufen. Dazu bestimmt man die Ziffernsumme

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2 Die Quadratzahlen

von den ersten beiden Zahlen und den Rest bei Division durch 9. Das ware dann also9 ≡ 0 und 21 ≡ 3. Dann addieren wir die erhaltenen Zahlen und bilden wieder denRest bei Division durch 9. In unserem Fall ist das also 3. Jetzt mussen wir das Ergebnisder Rechnung uberprufen. Die Ziffernsumme von 876432 ist 30 ≡ 3. Also stimmt es.Die Probe funktioniert analog mit Multiplikation und Subtraktion, sie erkennt aberden Fehler nicht, wenn zwei Ziffern vertauscht wurden, da dies die Ziffernsumme nichtbeeinflusst, oder wenn eine 9 durch eine 0 ersetzt wurde und umgekehrt.

2 Die Quadratzahlen

Die Quadratzahlen sind jene Zahlen, die auf der Hauptdiagonale der Multiplikations-tafel stehen. Schreibt man sich nun die Zahlen von 0 bis 103, wie im Bild, in 8 Spaltenauf, erkennt man schnell, dass die ungeraden Quadratzahlen alle kongruent 1 modulo8 sind. Das Bild liefert uns den, im wahrsten Sinne des Wortes, außerst anschaulichenBeweis zu dieser Behauptung.

An dieser Stelle mochte ich den Begriff Gnomon einfuhren. Ein Gnomon ist ein Stuck,das man zu einer ebenen Figur hinzufugen kann, um sie zu vergroßern, ohne ihre Form

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3 Die Dreieckszahlen

zu verandern.

In diesem Bild hat jedes Gnomon eine andere Far-be. Interessant ist dabei die Tatsache, dass jedes Gnomon der Quadratzahlen eine un-gerade Zahl darstellt. Das Bild beweist die Behauptung, dass die Summe der ersten nungeraden Zahlen gleich n2 ist.

Das kann man auch fur die Addition eines weiteren Gnomons sehr schon aufschreiben:

n2 + (2n + 1) = (n + 1)2

3 Die Dreieckszahlen

Bei den Dreieckszahlen sind die Gnomone die naturlichen Zahlen. Also ist die n-teDreieckszahl die Summe der ersten n naturlichen Zahlen, was, wie unser kleiner CarlFriedrich Gauß schon in fruhen Jahren entdeckte, durch die Formel 1

2n(n+ 1) berechnet

werden kann. Diese Formel Σni=1i = 1

2n(n+1) (Induktionsvoraussetzung = IV) kann nun

durch vollstandige Induktion wie folgt bewiesen werden:

Induktionsbeginn:

n = 1

linke Seite: Σ1i=1i = 1

rechte Seite: 12∗ 1 ∗ (1 + 1) = 1

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3 Die Dreieckszahlen

Induktionsschritt:

zu zeigen: Σ(n+1)i=1 i = 1

2(n + 1)(n + 2)

Σ(n+1)i=1 i = Σ

(n)i=1i + (n + 1) = (IV) 1

2n(n + 1) + (n + 1) =

(12n + 1) ∗ (n + 1) = 1

2∗ (n + 1) ∗ (n + 2)

oder eben auch durch Figuren. Hier kommen wir nun zu den Pronischen Zahlen.

Wenn wir ein Rechteck aus zweimal der n-ten Dreieckszahl bilden,so hat es die Lange n und die Breite n+1. Wenn wir also den Flacheninhalt dieses Recht-ecks berechen, so erhalten wir n ∗ (n + 1). Dies ist also auch der doppelte Flacheninhaltder n-ten Dreieckszahl. Also ist die Formel fur die n-te Dreieckszahl 1

2n(n + 1).

Man findet aber auch noch weitere Zusammenhange zwischen Dreieckszahlen und an-deren Zahlen. Zum Beispiel ergeben zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen eine Qua-dratzahl.

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4 Die Polygonalzahlen

4 Die Polygonalzahlen

In der Graphik sehen wir verschiedene Polygonalzahlen, wobei wir die Quadratzahlenund die Dreieckszahlen schon kennengelernt haben. Betrachtet man die Graphik naher,fallt dabei auf, dass die Differenz des Wachtums der Zahlen jeweils in Schritten wachst,die um 2 kleiner sind, als die Anzahl der Seiten des Polygons. Bei den Dreieckszahlen,die wir ja schon kennengelernt haben, ist die Differenz der jeweils zu addierenden Zahlenalso 1. Wir starten mit einem Punkt, brauchen dann 2 zusatzliche Kleckse, dann 3, dann4 etc.

Außerdem ist die dritte Zahl einer Kategorie immer ein Vielfaches von 3. Dasselbe

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4 Die Polygonalzahlen

gilt auch fur die funfte und die siebte Zahl, die dann durch 5 beziehungsweise durch 7teilbar sind. Die Polygonzahlen sind zuruckzufuhren auf eine bestimmte Anordnung vonPunkten, die schon seit mindestens 540 v.Chr. bekannt sind.

Zwischen den Polygonalzahlen gibt es auch ein paar interessante Zusammenhange.Um diese Zusammenhange zu erkennen, reicht es wieder, die Graphik zu betrachten.Wir konnen außerdem die Polygonalzahlen mit Hilfe der Dreieckszahl berechnen.

Jede Hexagonalzahl ist eine Dreieckszahl. Dabei ist jede ungeradseitige Dreieckszahlauch eine Hexagonalzahl. Dies zeigt das Bild unterhalb sehr schon. Außerdem zeigt diedritte Abbildung in diesem Bild auch die Gultigkeit der Formel fur die n-te Hexagonal-zahl = n ∗ (2n− 1).

Jede Pentagonalzahl ist ein Drittel einer Dreieckszahl. Graphisch ist das beweisbar

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5 Die Hex Zahlen

durch eindrucken des Daches beim Funfeck und das Zusammenbauen dreier so erhaltenerTrapeze zu einem Dreieck, wie man in der Graphik unterhalb gut erkennen kann.

5 Die Hex Zahlen

Die Hex Zahlen sollte man nicht mit den Hexagonalzahlen verwechseln. Die n-te Hexzahlwird mit der Formel

hexn = 1 + 6∗ ∆ n−1 = 1 − 3n + 3n2 berechnet.

Einerseits sehen wir an der Zeichnung sehr gut, dass die einzelnen Gnomone immerein Vielfaches von 6 sind. Da wir mit einem einzelnem Klecks starten und immer einVielfaches von 6 dazuzahlen, heißt das also, dass jede Hex Zahl immer

hexn ≡ 1 modulo 6 entspricht.

Weiters lasst sich der Zusammenhang zwischen den Hex Zahlen und den Dreieckszah-len, der schon in der Formel aufgezeigt wird, durch das Bild sehr gut veranschaulichen.Wir sehen, dass sich um den Klecks in der Mitte 6 Dreiecke sammeln, die bei der n-ten

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6 Die zentrierten Quadratzahlen

Hex Zahl, der (n−1)-ten Dreieckszahl entsprechen. Dies unterstreicht noch einmal, dassdie Hex Zahlen 1 modulo 6 entsprechen, da wir ja immer 6 Dreieckszahlen und einenzentralen Punkt haben.

6 Die zentrierten Quadratzahlen

Nun kommen wir zu den letzten Zahlen in der zweiten Dimension, namlich zu denzentrierten Quadratzahlen. Ahnlich wie bei den Hex Zahlen, sind nun die zentriertenQuadratzahlen immer 1 modulo 4.

Bei der vierten zentrierten Quadratzahl sieht man, dass die einzelnen Gnomone immerein Vielfaches von vier bilden und bei der funften zentrierten Quadratzahl sieht manwiederum, dass sich um einen zentralen Punkt vier Dreieckszahlen sammeln. Somit kannman die Aussage, dass die zentrierten Quadratzahlen immer 1 modulo 4 entsprechen,durch einfache Zeichnungen beweisen.

Aus der Zeichnung kann man auch die allgemeine Formel zur Berechnung der n-tenzentrierten Quadratzahl leicht erkennen.

zQn = 1 + 4∗ ∆ n−1

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7 Hexpyramiden oder Wurfel

Die dritte Dimension

7 Hexpyramiden oder Wurfel

Wir kommen nun zu Hex Pyramiden und Wurfeln. Das sind aber die selben Zahlen,da die Hex Pyramiden, im Grunde genommen, nichts anderes als die Projektionen vonWurfeln sind. Im Bild sieht man oberhalb die Hex Pyramiden und unterhalb die Wurfel.Die Gnomone von den Hex Pyramiden werden dabei von den Hex Zahlen gebildet.Diese sind einfach Schatten oder Projektionen von Wurfeln. Die allgemeine Formel zurBerechnung der n-ten Zahl lautet also ganz einfach n3.

8 Die Tetraederzahlen

So wie gerade Hex Zahlen zu Hex Pyramiden gestapelt wurden, kann man auch Drei-eckszahlen zu Pyramiden stapeln. Diese ergeben dann die Tetraederzahlen. Man kanndie n-te Tetraederzahl 6 mal in eine Box mit den Maßen n ∗ (n + 1) ∗ (n + 2) stapeln.Daraus ergibt sich zur Berechnung der n-ten Tetraederzahl die allgemeneine FormelTn = 1

6∗ n ∗ (n + 1) ∗ (n + 2)

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9 Die quadratischen Pyramidalzahlen

9 Die quadratischen Pyramidalzahlen

Wenn wir nun Quadratzahlen so stapeln, wie wir es schon mit Dreieckszahlen und HexZahlen gemacht haben, erhalten wir die quadratischen Pyramidalzahlen.

Von diesen konnen wir 6 in eine Box mit den Maßen n ∗ (n + 1) ∗ (2n + 1) packen.Also ergibt sich die allgemeine Formel qPyrn = 1

6∗ n ∗ (n + 1) ∗ (2n + 1)

10 Die Oktaederzahlen

So ahnlich, wie wir vorher in der zweiten Dimension zwei aufeinanderfolgende Dreiecks-zahlen zu Quadratzahlen zusammengefugt haben, kann man nun auch zwei aufeinander-folgende quadratische Pyramidalzahlen zusammenfugen und erhalt die Oktaederzahlen.

Fur die n-te Oktaederzahl ergibt sich also die Formel

Octn = qPyrn−1 + qPyrn = 13∗ n ∗ (2n2 + 1)

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10 Die Oktaederzahlen

Quelle:

CONWAY, John Horton; GUY, Richard K.: The book of numbers. New York: Springer-Verlag 1996.

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