Biostatistik, WS 2017/18 - uni-mainz.de · 2017. 11. 23. · 14 Hirse-Pﬂanzen von einer Sorte...

Biostatistik, WS 2017/18

Der Standardfehler

Matthias Birkner

http://www.staff.uni-mainz.de/birkner/Biostatistik1718/

24.11.2017

1/70

http://www.staff.uni-mainz.de/birkner/Biostatistik1718/

Der Standardfehler Ein Versuch

Inhalt

1 Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung

2/70


HirseBild: Panicum miliaceum

3/70


Ein Versuch

Versuchsaufbau:

14 Hirse-Pflanzen von einer Sorte wurden 7 Tagelang nicht mehr gegossen (”trockengestresst“).

An den letzten drei Tagen wurde die Wasserabgabeder Pflanzen durch Wägung ermittelt und ein

Mittelwert über drei Tage errechnet.

Zum Schluß des Versuchs wurden die Pflanzenabgeschnitten und die Blattfläche bestimmt.

4/70


Transpirationsrate=

(Wasserabgabe pro Tag)/Blattfläche

[ml

cm2·Tag

]

5/70


Transpirationsrate=

(Wasserabgabe pro Tag)/Blattfläche[ml

cm2·Tag

]

5/70


Ein Ziel des Versuchs: die mittlereTranspirationsrate

µ

(für diese Hirsesorte unter diesenBedingungen)zu bestimmen.

6/70


Ein Ziel des Versuchs: die mittlereTranspirationsrate µ

(für diese Hirsesorte unter diesenBedingungen)zu bestimmen.

6/70


In einem großen Versuch mit sehr vielenPflanzen könnte man µ beliebig genau

bestimmen.

FRAGE:Wie genau ist die Schätzung von µ in

diesem kleinen (n = 14) Versuch?

7/70


Trockengestresste Hirse (n = 14)

0.08 0.10 0.12 0.14 0.16

01

23

45

6

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Häu

figke

it

8/70



0.08 0.10 0.12 0.14 0.16

01

23

45

6


Häu

figke

it

Mittelwert=0,117

8/70



0.08 0.10 0.12 0.14 0.16

01

23

45

6


Häu

figke

it

Standardabweichung=0,026

8/70


Transpirationsdaten: x1, x2, . . . , x14

x =(x1 + x2 + · · · + x14

)/14

=1

14

14∑i=1

xi

x = 0,117

9/70


Transpirationsdaten: x1, x2, . . . , x14

x =(x1 + x2 + · · · + x14

)/14 =

114

14∑i=1

xi

x = 0,117

9/70


Unsere Schätzung:µ ≈ 0,117

Wie genau ist diese Schätzung?

Wie weit weicht x (unser Schätzwert)von µ (dem wahren Mittelwert) ab?

10/70

Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Inhalt


11/70


Ein allgemeiner Rahmen

Wir stellen uns vor,wir hätten den Versuch nicht 14 mal,

sondern 100 mal,1.000 mal,

1.000.000 malwiederholt.

12/70




sondern 100 mal,

1.000 mal,1.000.000 mal

wiederholt.

12/70




sondern 100 mal,1.000 mal,

1.000.000 malwiederholt.

12/70


Unsere 14 Transpirationswertebetrachten wir als

zufällige Stichprobeaus dieser großen Population

von möglichen Werten.

13/70


Population(sämtliche Transpirationsraten)

N sehr groß(mathematische Idealisierung: N =∞)

µ

Stichproben = 14

x

14/70


Population(sämtliche Transpirationsraten)

N sehr groß(mathematische Idealisierung: N =∞)

µ

Stichproben = 14

x14/70


Wir schätzenden Populationsmittelwert

µ

durchden Stichprobenmittelwert

x .

15/70


Jede neue Stichprobe liefert einen neuenWert von x .

x hängt vom Zufall ab:eine Zufallsgröße

FRAGE: Wie variabel ist x?Genauer: Wie weit weicht x typischerweise

von µ ab?

16/70




FRAGE: Wie variabel ist x?

Genauer: Wie weit weicht x typischerweisevon µ ab?

16/70




FRAGE: Wie variabel ist x?Genauer: Wie weit weicht x typischerweise

von µ ab?

16/70


x =(x1 + x2 + · · · + xn

)/n

Wovon hängt die Variabilität von x ab?

17/70


1.

von derVariabilität

der einzelnenBeobachtungen

x1, x2, . . . , xn

18/70


0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

x variiert viel

⇒ x variiert viel

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

x variiert wenig

⇒ x variiert wenig

19/70


0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Mittelwert = 0.117

x variiert viel⇒ x variiert viel

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Mittelwert = 0.117

x variiert wenig⇒ x variiert wenig

19/70


2.

vomStichprobenumfang

n

Je größer n,desto kleiner

die Variabilität von x .

20/70


Um diese Abhängigkeitzu untersuchen,machen wir ein

(Computer-)Experiment.

21/70


Experiment:

Wir nehmen eine Population,ziehen Stichproben,

und schauen,wie x variiert.

22/70


Nehmen wir an,die Verteilung

aller möglichen Transpirationswertesieht folgendermaßen aus:

23/70


Hypothetische Transpirationsratenverteilung

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015


Dic

hte

24/70



0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015


Dic

hte

Mittelwert=0.117

24/70



0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015


Dic

hte

Standardabw.=0.026

24/70


Wir beginnen mit kleinen Stichproben:

n = 4

25/70


Eine Stichprobe vom Umfang 4

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015


Dic

hte

26/70


Eine zweite Stichprobe vom Umfang 4

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015


Dic

hte

26/70


Eine dritte Stichprobe vom Umfang 4

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015


Dic

hte

26/70


10 Stichproben

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

02

46

810


27/70


50 Stichproben

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050


28/70


Wie variabel sind

die Stichprobenmittelwerte?

29/70


10 Stichproben vom Umfang 4

und die zugehörigenStichprobenmittel

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

02

46

810


30/70


10 Stichproben vom Umfang 4 und die zugehörigenStichprobenmittel

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

02

46

810


30/70


50 Stichproben vom Umfang 4

und die zugehörigenStichprobenmittel

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050


31/70


50 Stichproben vom Umfang 4 und die zugehörigenStichprobenmittel

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050


31/70


Verteilung der Stichprobenmittelwerte(Stichprobenumfang n = 4)

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

40


Dic

hte

PopulationMittelwert=0.117Standardabw.=0.026

StichprobenmittelMittelwert=0.117Standardabw.=0.013

32/70


Population:Standardabweichung = 0,026

Stichprobenmittelwerte (n = 4):Standardabweichung = 0,013

= 0,026/√

4

33/70


Erhöhen wirden Stichprobenumfang

von4

auf16

34/70


10 Stichproben vom Umfang 16 und diezugehörigen Stichprobenmittel

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

02

46

810


35/70


50 Stichproben vom Umfang 16 und diezugehörigen Stichprobenmittel

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050


36/70


Verteilung der Stichprobenmittelwerte(Stichprobenumfang n = 16)

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

020

4060

80


Dic

hte

PopulationMittelwert=0.117Standardabw.=0.026

StichprobenmittelMittelwert=0.117Standardabw.= 0.0065

37/70


Population:Standardabweichung = 0,026

Stichprobenmittelwerte (n = 16):Standardabweichung = 0,0065

= 0,026/√

16

38/70


Die allgemeine Regel

Die Standardabweichungdes Mittelwerts einer Stichprobe vom

Umfang n

ist1/√

nmal

der Standardabweichungder Population.

39/70


Die Standardabweichung der Populationbezeichnet man mit

σ

(sigma).

Die Regel schreibt man häufig so:

σ(x) =1√nσ(X )

40/70


In der Praxis ist σ unbekannt.

Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s

geschätzt:

(Erinnerung: s =√

1n−1∑n

i=1 (xi − x)2 )

41/70




geschätzt:

σ =??

(Erinnerung: s =√

1n−1∑n

i=1 (xi − x)2 )

41/70




geschätzt:

σ ≈ s

(Erinnerung: s =√

1n−1∑n

i=1 (xi − x)2 )

41/70


s/√

n(die geschätzte

Standardabweichungvon x)

nennt man denStandardfehler.

(Englisch: standard error of the mean,standard error, SEM)

42/70

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Inhalt


43/70


Wir haben gesehen:

Auch wenn die Verteilung vonx mehrgipfelig

&asymmetrisch

ist

44/70



0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

05

1015


Dic

hte

45/70


ist die Verteilung vonx

trotzdem(annähernd)

eingipfelig&

symmetrisch

(wenn der Stichprobenumfang n nur groß genug ist)

46/70



0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050

60


Dic

hte

Population Stichprobenmittel(n=16)

47/70


Die Verteilung von xhat annähernd

eine ganz bestimmte Form:

die Normalverteilung.

48/70


Dichte der Normalverteilung: 1√2πσ2

exp(− (x−µ)

2

2σ2)

−1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Nor

mal

dich

te

µµ µµ ++ σσµµ −− σσ

Die Normalverteilungsdichte heisstauch Gauß’sche Glockenkurve

(nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855)

49/70


Dichte der Normalverteilung: 1√2πσ2

exp(− (x−µ)

2

2σ2)

Die Normalverteilungsdichte heisstauch Gauß’sche Glockenkurve

(nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855)49/70


Wichtige FolgerungWir betrachten das Intervall

[x − s/

√n, x + s/

√n]

x

x − s/√

n x + s/√

n

Mit Wahrscheinlichkeit ca. 2/3 liegt µ innerhalbdieses Intervalls.

Mit Wahrscheinlichkeit ca. 1/3 liegt µ ausserhalb des Intervalls.

Beachte: Das wahre µ ist unbekannt, aber nicht zufällig.Die Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf das Verhalten von x unds, die wir anhand der zufälligen Stichprobe berechnet haben.

50/70


Demnach:

Es kommt durchaus vor, dass xvon µ

um mehr alss/√

n abweicht.

51/70

Der Standardfehler Anwendungen

Inhalt


52/70


Anwendung 1:Welche Werte von µ sind plausibel?

x = 0,12s/√

n = 0,007

Frage: Könnte es sein, dassµ = 0,115?

53/70


Antwort: Es ist gut möglich.

Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.

Standardfehlers/√

n = 0,007

Abweichungen dieser Größekommen häufig vor.

(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,

untersuchen wir im nächsten Kapitel.)

54/70


Anwendung 2:Vergleich von Mittelwerten

Beispiel: Eine Stichprobe von Springkrebsen

55/70


Galathea: Carapaxlängein einer Stichprobe

Männchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm

n1 = 25

Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm

n2 = 2956/70


Die Weibchenscheinen größer zu sein.

Ist das ernst zu nehmen?

Oder könnte es nur Zufall sein?

57/70


Wie genau sind die beiden Mittelwerte?


n1 = 25

s1/√

n1 = 0,18 [mm]

Mit Schwankungen von±0,18 (mm) in x1

müssen wir rechnen.

58/70




n1 = 25

s1/√

n1 = 0,18 [mm]

Mit Schwankungen von±0,18 (mm) in x1

müssen wir rechnen.58/70




n2 = 29

s2/√

n2 = 0,17 [mm]

Es ist nicht unwahrscheinlich,dass x2 um mehr als ±0,17 (mm) vom

wahren Mittelwert abweicht.

59/70




n2 = 29

s2/√

n2 = 0,17 [mm]

Es ist nicht unwahrscheinlich,dass x2 um mehr als ±0,17 (mm) vom

wahren Mittelwert abweicht.59/70


Die Differenz der Mittelwerte

3,23− 3,04 = 0,19 [mm]

ist kaum größer alsdie zu erwartenden Schwankungen.

Es könnte also einfach Zufall sein,dass

x2 > x1

60/70


Die Differenz der Mittelwerte

3,23− 3,04 = 0,19 [mm]ist kaum größer als

die zu erwartenden Schwankungen.

Es könnte also einfach Zufall sein,dass

x2 > x1

60/70


Genauer formuliert:

Wenn in Wirklichkeitdie Populationsmittelwerte

gleich sind,

µWeibchen = µMännchen

kann es trotzdem leicht passieren,dass die Stichprobenmittelwerte

x2 und x1

so weit auseinander liegen.

61/70


Genauer formuliert:

Wenn in Wirklichkeitdie Populationsmittelwerte

gleich sind,

µWeibchen = µMännchen

kann es trotzdem leicht passieren,dass die Stichprobenmittelwerte

x2 und x1

so weit auseinander liegen.61/70


Der Statistiker sagt:

Die Differenzder Mittelwerte

ist(statistisch)

nicht signifikant.

nicht signifikant=

könnte Zufall sein

62/70


Der Statistiker sagt:

Die Differenzder Mittelwerte

ist(statistisch)

nicht signifikant.

nicht signifikant=

könnte Zufall sein62/70


Anwendung 3:

Wenn man Mittelwertegraphisch darstellt,

sollte man auchihre Genauigkeit

(±s/√

n)anzeigen.

63/70


Also nicht so:Carapaxlängen:

Mittelwerte nach Geschlecht2.

62.

83.

03.

23.

4

Car

apax

läng

e [m

m]

●

●

Männchen Weibchen

64/70


sondern so:Carapaxlängen:

Mittelwerte ± Standardfehler nach Geschlecht2.

62.

83.

03.

23.

4

Car

apax

läng

e [m

m]

●

●

Männchen Weibchen

64/70


Anwendung 4:

Bei der Versuchsplanung:

Wieviele Beobachtungenbrauche ich?

(Wie groß sollte n sein?)

65/70


Wenn man weiß, welche Genauigkeit(Standardfehler s/

√n)

für x man erreichen will,

und wenn man (aus Erfahrung oder auseinem Vorversuch) s ungefähr kennt,

dann kann mandas notwendige n ungefähr abschätzen:

s/√

n = g(g = gewüschter Standardfehler)

66/70


Beispiel:Gestresste Transpirationswertebei einer anderen Hirse-Sorte:

x = 0,18s = 0,06n = 13

Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholtwerden und man will

Standardfehler ≈ 0,01 erreichen.

Wie groß sollte n sein?

67/70


Beispiel:Gestresste Transpirationswertebei einer anderen Hirse-Sorte:

x = 0,18s = 0,06n = 13

Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholtwerden und man will

Standardfehler ≈ 0,01 erreichen.

Wie groß sollte n sein?67/70


Lösung:

gewünscht:s/√

n ≈ 0,01

aus dem Vorversuch wissen wir:

s ≈ 0,06,also

√n ≈ 6

n ≈ 36

68/70


Lösung:

gewünscht:s/√

n ≈ 0,01


s ≈ 0,06,

also√

n ≈ 6n ≈ 36

68/70


Lösung:

gewünscht:s/√

n ≈ 0,01


s ≈ 0,06,also

√n ≈ 6

n ≈ 36

68/70

Der Standardfehler Zusammenfassung

Inhalt


69/70


ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.

Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgrößemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/

√n.

Man schätzt die Standardabweichung von x mit s/√

n.s/√

n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Größe s/

√n kommen häufig

vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie könntenZufall sein.

70/70


ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .

x ist eine Zufallsgrößemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/

√n.


n.s/√




70/70


ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgröße

mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/√

n.Man schätzt die Standardabweichung von x mit s/

√n.

s/√




70/70


ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgrößemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/

√n.


n.s/√




70/70



√n.


n.

s/√




70/70



√n.


n.s/√

n nennt man den Standardfehler.

Schwankungen in x von der Größe s/√

n kommen häufigvor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie könntenZufall sein.

70/70



√n.


n.s/√



vor.

Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie könntenZufall sein.

70/70



√n.


n.s/√




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Der StandardfehlerEin VersuchEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung

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