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Zinseszinsrechnungen 75

19. Zinseszinsrechnungen

19.1 Einleitung Jede Benutzung von fremdem Kapital für einen bestimmten Zeitraum ist mit Kosten verbunden.

Diese Kosten, die Zinsen, entsprechen der Entschädigung des Kapitalnehmers an den Kapital-geber für die Benutzung des zur Verfügung gestellten Betrags.

Der Zins wird im Normalfall einmal pro Jahr geschuldet. Andere Regelungen wie z.B. halbjährliche oder monatliche Verzinsung sind erlaubt und bei bestimmten Kreditformen auch üblich.

a) Kapital Das Kapital ist der Betrag, der entweder ausgeliehen oder investiert wird.

b) Zinssatz Der Zinssatz entspricht einem Prozentsatz des Kapitals, der als Entschädigung geschuldet wird. Er bezieht sich normalerweise und ohne gegenteilige Abmachung auf ein ganzes Jahr. Um bei der Fälligkeit der Zinsen keine Unklarheiten aufkommen zu lassen, wird auch bei Jah-reszinsen die Berechnungsperiode ergänzt. Die bei uns gebräuchliche Abkürzung ist: 5 % p.a. Der Zusatz "p.a." ist lateinisch (per annum) und bedeutet "pro Jahr". Heute sind zwischen den Parteien vereinbarte Zinssätze von der Art des Darlehens sowie individuellen Absprachen abhängig. Der Zinssatz darf jedoch 18 % (Kanton Zürich: 15 %) nicht übersteigen (Wucherzins). Zinsformel:

100p KZ •

= Zu beachten ist, dass für p nur die Zahl (ohne %-Zeichen) eingesetzt wird. Die Tatsache, dass es sich bei p um einen Zinssatz (in %) handelt, wird durch den Faktor 100 im Nenner der Zinsformel berücksichtigt.

c) Zinsbetrag Der Zinsbetrag entspricht den Kosten für das Kapital in einem bestimmten Zeitraum. Der Zinsbetrag kann bezahlt oder mit dem Kapital verrechnet werden.

d) Verrechnungssteuer (VST) Die eidgenössische Verrechnungssteuer beträgt 35 % des Zinsertrages und wird durch die Banken vom Zinsertrag des Kunden abgezogen und an die Eidgenössische Steuerverwaltung überwiesen. Durch die ehrliche und korrekte Deklarierung des Zinsertrages in der Steuererklä-rung kann die abgezogene Verrechnungssteuer zurückgefordert werden. Einfachheitshalber vernachlässigen wir in der Finanzmathematik die Verrechnungssteuer und rechnen so, als ob der ganze Bruttozins auf dem Konto gutgeschrieben würde.

e) Zinseszins Wird der jeweils geschuldete Zinsbetrag nicht bezahlt, sondern mit dem Kapital verrechnet, verändert sich das Kapital um den Zinsbetrag. Beim nächsten Zinstermin wird dann der Zins-betrag vom neuen Kapital berechnet. Das heisst, der neue Zinsbetrag wird nicht nur vom An-fangskapital, sondern auch vom aufgelaufenen Zins berechnet. Dies nennt man Zinseszins.

f) Usanzen Die Art der Berechnung bei unterjähriger Ausleihungsdauer ist nicht einheitlich geregelt. Es bestehen Unterschiede zwischen den Ländern wie auch zwischen einzelnen Finanzinstituten. Man unterscheidet zwischen mehreren Usanzen:

schweizerisch britisch amerikanisch taggenau Tage je Monat 30 effektiv effektiv effektiv

Tage pro Jahr 360 360 365 effektiv

76 Zinseszinsrechnungen

19.2 Einfacher Zins Für die einfachen Zinsen gilt:

♦ Die Zinsen werden immer vom ursprünglichen Kapital berechnet und vom Schuldner bezahlt. ♦ Der Zinsbetrag selber bleibt somit konstant (ausser es findet eine Zinssatzänderung statt).

a) Formeln für die Zinsberechnung

Jahreszins Marchzins (auf Tagesbasis)

Marchzins (auf Monatsbasis)

Z = 100

p K •

Z = 360 100

t p K•

••

Z = 12 100

M p K•••

Z = Zins t = Tage M = Monate K = Kapital (1 Jahr = 360 Tage) (1 Jahr = 12 Monate à 30 Tage) p = Zinssatz (ohne %-Zeichen)

b) Entwicklung des Zinsbetrags Sie sieht für ein Anfangskapital von CHF 1'000.--, bei einem Zinssatz von 7 %, wie folgt aus:

Zeitpunkt (x) Kapital Anfang Jahr

Zinsbetrag bei 7 %

Kapital Ende Jahr

Aufsummierter Zinsbetrag (y)

1. Jahr 1'000.-- 70.-- 1'000.-- 70.-- 2. Jahr 1'000.-- 70.-- 1'000.-- 140.-- 3. Jahr 1'000.-- 70.-- 1'000.-- 210.-- 4. Jahr 1'000.-- 70.-- 1'000.-- 280.-- 5. Jahr 1'000.-- 70.-- 1'000.-- 350.-- 6. Jahr 1'000.-- 70.-- 1'000.-- 420.-- 7. Jahr 1'000.-- 70.-- 1'000.-- 490.-- 8. Jahr 1'000.-- 70.-- 1'000.-- 560.-- 9. Jahr 1'000.-- 70.-- 1'000.-- 630.-- 10. Jahr 1'000.-- 70.-- 1'000.-- 700.--

0

100

200300

400

500

600

700800

900

1'000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zeit

Aufs

umm

ierte

r Zin

sbet

rag

x (Jahre)

y (CHF)


19.3 Zinseszins Für die Zinseszinsen gilt:

♦ Der Zinseszins wird immer vom ursprünglichen Kapital sowie dem bis zu diesem Zeit-punkt aufgelaufenen Zins berechnet.

♦ Die Berechnungsgrundlage ändert sich demzufolge nach jedem Zinstermin. ♦ Somit nehmen die Zinsbeträge kontinuierlich zu.

a) Entwicklung des Zinsbetrages inkl. Zinseszinsen Sie sieht für ein Anfangskapital von CHF 1'000.--, bei einem Zinssatz von 7 %, wie folgt aus:


Zinsbetrag bei 7 %

Kapital Ende Jahr


1. Jahr 1'000.00 70.00

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ •=

1007 1'000

1'070.00 70.00

2. Jahr 1'070.00 74.90

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ •=

1007 1'070

1'144.90 144.90

3. Jahr 1'144.90 80.15

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ •=

1007 1'144.90

1'225.05 225.05

4. Jahr 1'225.05 85.75 1'310.80 310.80 5. Jahr 1'310.80 91.75 1'402.55 402.55 6. Jahr 1'402.55 98.20 1'500.75 500.75 7. Jahr 1'500.75 105.05 1'605.80 605.80 8. Jahr 1'605.80 112.40 1'718.20 718.20 9. Jahr 1'718.20 120.25 1'838.45 838.45 10. Jahr 1'838.45 128.70 1'967.15 967.15

0

100

200300

400

500

600

700800

900

1'000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zeit

Aufs

umm

ierte

r Zin

sbet

rag

x (Jahre)

y (CHF)


Deutlicher sieht man die exponentielle Entwicklung des Zinsbetrags bei noch höheren Zins-sätzen, z.B. bei 15 %.


Zinsbetrag bei 15 %

Kapital Ende Jahr


1. Jahr 1'000.00 150.00 1'150.00 150.00 2. Jahr 1'150.00 172.50 1'322.50 322.50 3. Jahr 1'322.50 198.40 1'520.90 520.90 4. Jahr 1'520.90 228.15 1'749.05 749.05 5. Jahr 1'749.05 262.35 2'011.40 1'011.40 6. Jahr 2'011.40 301.70 2'313.10 1'313.10 7. Jahr 2'313.10 346.95 2'660.05 1'660.05 8. Jahr 2'660.05 399.00 3'059.05 2'059.05 9. Jahr 3'059.05 458.85 3'517.90 2'517.90 10. Jahr 3'517.90 527.70 4'045.60 3'045.60

0250500750

1'0001'2501'5001'7502'0002'2502'5002'7503'0003'250

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zeit

Aufs

umm

ierte

r Zin

sbet

rag

x (Jahre)

y (CHF)

Zinsbetrag mit Zinseszins

Zinsbetrag ohne Zinseszins


b) Herleitung der Formel für das Endkapital mit Zinseszinsen

Kapital am Ende des 1. Jahres 100

p K K K 001

•+=

0K ausklammern ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

100p 1 K K 01

wobei K1 = Kapital nach 1 JahrK0 = Anfangskapital p = Zinssatz


p K K K 112

•+=


⎜⎝⎛ +=

100p 1 K K 12

1K ersetzen durch ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

100p 1 K0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

100p 1

100p 1 K K 02

2

2 100p 1 K K 0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=


p K K K 223

•+=


⎜⎝⎛ +=

100p 1 K K 23

2K ersetzen durch 2

100p 1 K0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

100p 1

100p 1 K K

2

3 0

3

3 100p 1 K K 0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Fazit: Die Formel für die Berechnung des Kapitals nach n Jahren lautet: n

n 100p 1 K K 0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

c) Runden von Resultaten in Frankenbeträgen Beim Berechnen von End- oder Anfangskapitalien mit Zinseszinsformeln vernachlässigen wir die Tatsache, dass Banken bei der Zinsgutschrift den Zinsbetrag jeweils auf 5 Rappen (verein-zelt auf 1 Rappen genau) runden.

♦ Zwischenresultate werden nicht gerundet. ♦ Nur das Endresultat wird jeweils auf 5 Rappen genau gerundet.


19.4 Zinseszins-Formeln Bei den Zinseszins-Formeln hat man sich auf folgende Parameter geeinigt:

K0 Anfangskapital, ursprüngliches Kapital n Anzahl Jahre

Kn Endkapital, Kapital nach n Jahren p Zinssatz (pro Jahr) q Zinsfaktor

Zinsfaktor Wir definieren als Zinsfaktor q.

100p 1 q +=

Mit dieser Definition ergeben sich untenstehende Formeln der Zinseszinsrechnungen.

a) Endkapital (Endwert)

nn q K K 0 •=

b) Anfangskapital (Barwert)

nn

qK K0 =

Die Berechnung des Barwertes einer Zahlung, die nach einer bestimmten Anzahl Jahre fällig ist (= Kn), heisst Diskontierung.

c) Zinsfaktor und Zinssatz

n n

0KK q =

100 1)(q p •−=

d) Anzahl Jahre

q lgK lg K lg n 0n −

= bzw. q lg

KK lg

n 0

n⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

D o z e n t e n s e i t e ( m i t L ö s u n g )


19.5 Anwendungsbeispiele I: Grundformeln

a) Isabelle hat an einem Jahresanfang ein Konto eröffnet und zahlt sogleich bei Kontoeröffnung CHF 7'575.-- darauf ein. Das Konto wird zu 5 % verzinst. Wie hoch ist der Kontostand nach 17 Jahren?

Analyse

17Jahre

1

7‘575.-- ?

5 %

Formel festlegen n

n q K K 0 •=

Ausrechnung

17n 1.05 7'575 K •=

75...17'362.038 Kn =

Lösung

Nach 17 Jahren beträgt der Kontostand CHF 17'362.05.

b) Das Konto von Peter weist an einem Jahresanfang ein Guthaben von CHF 9'875.10 auf. Wie hoch war das Guthaben 8 Jahre davor, wenn die Verzinsung immer 7.5 % betrug?

Analyse

Jahre-8

9‘875.10?

7.5 %

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Formel festlegen

Ausrechnung

Lösung

8 Jahre davor betrug das Guthaben von Peter CHF 5'537.--.

nn

qK K0 =

81.0759'875.10 K0 = ...5'536.9906 K0 =



c) Ein Vermögen von CHF 8'742.-- ist nach 30 Jahren auf CHF 24'537.-- angewachsen.

Wie hoch war der Zinssatz?

Analyse

Jahre301

? %

24‘5378‘742

Formel festlegen

Ausrechnung

Lösung

Das Vermögen war zu einem Zinssatz von 3.5 % angelegt.

d) Ein Kapital von CHF 12'433.50 ist auf CHF 35'758.90 angewachsen. Während wie vielen Jahren war das Kapital angelegt, wenn die Verzinsung immer 4.5 % betrug?

Analyse

Jahre?

4.5 %

35‘758.9012‘433.50

Formel festlegen

Ausrechnung

Lösung

Das Kapital war während 24 Jahren angelegt.

n n

0KK q = und 100 1)(q p •−=

308'74224'537 q = ...1.035000 q =

100 1)(1.035000 p ... •−= ...3.50 p =

q lgK lg K lg n 0n −

=

1.045 lg12'433.50 lg 35'758.90 lg n −

= ...3.99992 n =


19.6 Degressive Abschreibung Investitionsgüter müssen betriebswirtschaftlich gesehen jährlich abgeschrieben werden. Es beste-hen im Wesentlichen zwei Abschreibungsmethoden: lineare und degressive Abschreibung.

linear Jedes Jahr wird der gleich hohe Betrag abgeschrieben.

degressiv Jedes Jahr wird der gleich hohe Prozentsatz vom jeweiligen Buchwert (auch Rest-wert oder Bilanzwert genannt) abgeschrieben, also vom Anschaffungswert abzüg-lich den aufsummierten Abschreibungen. Diese Methode hat den Vorteil, dass sie die tatsächliche Wertentwicklung zeigt.

19.6.1 Formeln zur degressiven Abschreibung Als Abschreibungsfaktor definieren wir:

100p 1 qa −= p = Abschreibungssatz

Die Formeln der Zinseszinsrechnung gelten analog auch für die Formeln der degressiven Ab-schreibung, wobei folgendes anzupassen ist: q ersetzen durch qa

Bilanzwert (nach n Jahren): nan q B B 0 •= Anschaffungswert (vor n Jahren):

na

n

qB B0 =

19.6.2 Anwendungsbeispiele zur degressiven Abschreibung

a) Eine Maschine mit einem Anschaffungswert von CHF 54'000.-- soll degressiv mit einem Satz von 20 % abgeschrieben werden. Wie hoch ist der Bilanzwert nach 4 Jahren?

Analyse

4Jahre

1

54‘000.-- ?

20 %

32

Formel festlegen n

an q B B 0 •= , wobei 100

p 1 qa −=

Ausrechnung

Abschreibungsfaktor: 10020 1 qa −=

0.8 qa =

Bilanzwert berechnen: 4

n 0.8 54'000 B •= 2'118.402 Bn =

Zum Vergleich: Die Lösung im Rechnungswesen

Anschaffungswert 54'000.-- - 1. Abschreibung 10'800.-- • 0.8 Restwert nach 1 Jahr 43'200.-- - 2. Abschreibung 8'640.-- • 0.8

Restwert nach 2 Jahren 34'560.-- - 3. Abschreibung 6'912.-- • 0.8

Restwert nach 3 Jahren 27'648.-- - 4. Abschreibung 5'529.60 • 0.8

Restwert nach 4 Jahren 22'118.40

Lösung

Nach 4 Jahren beträgt der Bilanzwert der Maschine CHF 22'118.40.



b) Eine Maschine mit einem Anschaffungswert von CHF 350'000.-- soll degressiv mit einem

Satz von 25 % abgeschrieben werden. Wann fällt ihr Bilanzwert erstmals unter CHF 100'000.--?

Analyse

Jahre?

25 %

100‘000350‘000

Formel festlegen

Ausrechnung

Lösung

Am Ende des 5. Jahres fällt der Bilanzwert der Maschine erstmals unter CHF 100'000.--.

a

nq lg

B lg B lg n 0−= , wobei

100p 1 qa −=

♦ Abschreibungsfaktor 10025 1 qa −= ⇒ 0.75 qa =

♦ Anzahl Jahre 0.75 lg

350'000 lg 100'000 lg n −=

....35464 n =

Da die Abschreibung erst Ende Jahr vorgenommen wird, fällt der Bilanzwert am Ende des 5. Jahres erstmals unter CHF 100'000.--.


19.7 Unterjährige Verzinsung Bei jährlicher Verzinsung wird der Zins erst Ende Jahr mit dem Kapital verrechnet. Aber auch die Verzinsung in kleineren Zeitperioden ist üblich. Gebräuchlich ist die Verzinsung nach einem halben Jahr, nach einem Quartal, nach einem Monat, ausnahmsweise nach einem Tag.

Jährlicher Zinstermin: Halbjährlicher Zinstermin:

Jahre

1 2

Jahre

1

½

2

½ ½ ½

Beispiel zur Veranschaulichung

Ein Kapital von CHF 10'000.-- ist zu 5 % Zins angelegt.

Vergleich der Kapitalentwicklung bei jährlicher, halbjährlicher und quartalsweiser Verzinsung:

Jährliche Verzinsung Halbjährliche Verzinsung Quartalsweise Verzinsung Jahr Zins

5 % neues Kapital

Halbjahr Zins 5 %

neues Kapital

Quartal Zins 5 %

neues Kapital

Beginn 10'000.00 Beginn 10'000.00 Beginn 10'000.00 Q1 Jahr 1 125.00 10'125.00

1. HJ Jahr 1 250.00 10'250.00 Q2 Jahr 1 126.55 10'251.55

Q3 Jahr 1 128.15 10'379.70

Jahr 1 500.00 10'500.00 2. HJ Jahr 1 256.25 10'506.25 Q4 Jahr 1 129.75 10'509.45

Q1 Jahr 2 131.35 10'640.80

1. HJ Jahr 2 262.65 10'768.90 Q2 Jahr 2 133.00 10'773.80

Q3 Jahr 2 134.65 10'908.45

Jahr 2 525.00 11'025.00 2. HJ Jahr 2 269.20 11'038.10 Q4 Jahr 2 136.35 11'044.80

Es zeigt sich, dass das Endkapital bei unterjähriger Verzinsung immer höher ist als bei jährlicher.

Fazit: Je grösser die Anzahl Verzinsungsperioden pro Jahr ist, desto höher ist das Endkapital.Grund: Weil der Zins nach jedem Zinstermin mit dem Kapital verrechnet wird, wirkt der

Zinseszinseffekt umso stärker, je kürzer die Verzinsungsperioden sind.

19.7.1 Formeln zur unterjährigen Verzinsung Als unterjährigen Zinsfaktor definieren wir:

100mp 1 qu •

+= m = Anzahl Verzinsungsperioden pro Jahr (Die Perioden müssen gleich lang sein.)

Die Formeln der jährlichen Verzinsung gelten analog auch für die unterjährige Verzinsung, wobei folgendes angepasst werden muss:

q ersetzen durch qu

n ersetzen durch m • n (weil es jetzt m • n Verzinsungsperioden gibt)

Endkapital (nach n Jahren): Anfangskapital (vor n Jahren):

n mun q K K 0

••=

n mu

n

qK K0 •=


19.7.2 Der äquivalente Zinssatz (pä) Unter dem Begriff "äquivalenter Zinssatz" wird derjenige Zinssatz verstanden, der bei jährlicher Verzinsung das gleiche Endkapital ergibt wie bei unterjähriger Verzinsung.

Äquivalenter Zinsfaktor qä Äquivalenter Zinssatz pä

m

ä 100mp 1 q ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

•+= m = Anzahl Verzinsungs-

perioden pro Jahr 100 1)(q p ää •−=

Herleitung der Formel für qä:

n nä

0KK q = Kn durch die Formel zur unterjährigen Verzinsung ersetzen

nn m

uä

0

0

Kq K q

••= K0 kürzen

n n muä q q •= Wurzel als Potenz schreiben

nn m

uä q q•

= Exponent kürzen

muä q q = bzw.

m

ä 100mp 1 q ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

•+= Fazit: Die Anzahl Jahre und die Höhe des angelegten

Kapitals haben keinen Einfluss auf qä.

a) Die Verzinsung eines Kapitals erfolgt zu 5 % mit halbjährlichem Zinstermin. Wie gross ist der äquivalente Zinssatz?

Formel festlegen m

ä 100mp 1 q ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

•+= und 100 1)(q p ää •−=

Ausrechnung 2

ä 10025 1 q ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

•+= ⇒ 2

ä 1.025 q = ⇒ 1.050625 qä =

100 1)(1.050625 pä •−= ⇒ 5.0625 pä =

Lösung Eine halbjährliche Verzinsung zu 5 % ist äquivalent zu einer jährlichen Verzinsung zu 5.06 %.

b) Ein Kapital von CHF 6'000.-- ist bei monatlicher Verzinsung nach 8 Jahren auf CHF 8'258.35

angewachsen. Zu welchem Zinssatz war das Kapital angelegt? Wie hoch ist der äquivalente Zinssatz?

Zinssatz für Kapitalwachstum Äquivalenter Zinssatz

Formel festlegen Formel festlegen

n m nu

0KK q •= , m 100 1)(q p u ••−= m

ä 100mp 1 q ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

•+= , 100 1)(q p ää •−=

Ausrechnung Ausrechnung

8 12u 6'0008'258.35 q •= ⇒ 1.0033... qu =

1'200 1)(1.0033... p •−= ⇒ 3.999... p =

12

ä 100124 1 q ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

•+= ⇒ .1.040741.. qä =

100 1)..(1.040741. pä •−= ⇒ 4.074... pä =

Lösung Das Kapital wurde zu 4 % angelegt. Der äquivalente Zinssatz beträgt 4.07 %.



19.7.3 Anwendungsbeispiele zur unterjährigen Verzinsung

a) Martin hat CHF 20'000.-- zu 4 % angelegt. Die Verzinsung erfolgt halbjährlich. Wie hoch ist das Kapital nach 10 Jahren? Wie hoch ist der äquivalente Zinssatz?

Analyse

Jahre

?

4 % (halbjährlich)

1 2 10

20‘000

3 4 5 6 7 8 97

Formel festlegen

n m

n 100mp 1 K K 0

•

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

•+•= und

m

ä 100mp 1 q ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

•+= , 100 1)(q p ää •−=

Ausrechnung Kapital nach 10 Jahren Äquivalenter Zinssatz

10 2

n 10024 1 20'000 K

•

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

•+•=

20n 1.02 20'000 K •= ⇒ ...29'718.947 Kn =

2

ä 10024 1 q ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

•+= ⇒ 1.0404 qä =

100 1)(1.0404 pä •−= ⇒ 4.04 pä =

Lösung

Nach 10 Jahren beträgt das Kapital CHF 29'718.95. Der äquivalente Zinssatz ist 4.04 %.

b) Ein Kapital von CHF 50'000.-- ist auf CHF 61'646.30 angewachsen. Die Verzinsung erfolgte zu 7 % mit monatlichem Zinstermin. Wie lange war das Kapital angelegt?

Analyse

Jahre?

7 % (monatlich)

50‘000 61‘646.30

Formel festlegen

Ausrechnung

Lösung

Das Kapital war während 3 Jahren angelegt.

u

nq lg

K lg K lg n m 0−=• , wobei

100mp 1 qu •

+=

Unterjähriger Zinsfaktor Anzahl Jahre

100127 1 qu •

+=

.1.005833.. qu = .1.005833.. lg

50'000 lg 61'646.30 lg 12n −=

..6.00003 12n = ...00003 n =



19.8 Anwendungsbeispiele II: Änderung der Zinssätze a) Ein Kapital von CHF 8'850.-- wurde für 10 Jahre angelegt. Während der ersten 3 Jahre betrug

der Zinssatz 4 %, während der restlichen Anlagedauer 5.5 %. ♦ Wie hoch ist das Kapital nach 10 Jahren? ♦ Wie hoch war die durchschnittliche Verzinsung?

Analyse

Jahre

?

4 %

3 821 4 5 6 7 9 10

8‘850.--

5.5 %

Formel festlegen

Ausrechnung

Lösung

Nach 10 Jahren ist das Kapital auf CHF 14'481.40 angewachsen. Die durchschnittliche Verzinsung des Kapitals beträgt 5.05 %.

nn q K K 0 •=

n n

0KK q = und 100 1)(q p •−=

♦ Kapital nach 10 Jahren

Variante 1: mit Teilschritten Variante 2: Direkt ausrechnen

Kapital nach 3 Jahren: 3

3 1.04 8'850 K •= ...'955.04649 K3 =

Kapital nach 10 Jahren: 7

10 1.055 9'955.0464 K ... •=

...514'481.398 K10 =

7310 1.055 1.04 8'850 K ••=

...514'481.398 K10 =

♦ Durchschnittliche Verzinsung

108'850

5...14'481.398 q = .1.050477.. q =

100 1)..(1.050477. p •−= 5.0477... p =



b) Ein Kapital ist nach 9 Jahren auf CHF 55'325.-- angewachsen. Während der ersten 2 Jahre

betrug der Zinssatz 3 %, während der nächsten 4 Jahre 4.25 %, anschliessend 5 %. ♦ Welcher Betrag wurde vor 9 Jahren angelegt? ♦ Wie hoch war die durchschnittliche Verzinsung?

Analyse

Jahre

?

3 %

3 821 4 5 6 7 9

4.25 %

55‘325

5 %

Formel festlegen

Ausrechnung

Lösung

Vor 9 Jahren wurde ein Betrag von CHF 38'139.50 angelegt. Die durchschnittliche Verzinsung des Kapitals beträgt 4.22 %.

nn

qK K0 =

n n

0KK q = und 100 1)(q p •−=

♦ Kapital vor 9 Jahren

Variante 1: mit Teilschritten Variante 2: Direkt ausrechnen

Kapital vor 3 Jahren:

361.0555'325 K = ...147'791.815 K6 =

Kapital 4 Jahre davor:

421.0425

147'791.815 K ...= ...340'462.179 K2 =

Anfangskapital:

21.03340'462.179 K ...

0 = ...738'139.484 K0 =

342 1.050425.103.155'325 K0

••=

...738'139.484 K0 =

♦ Durchschnittliche Verzinsung

97...38'139.484

55'325 q = ..1.0421965. q =

100 1)...(1.0421965 p •−= 4.21965... p =


19.9 Anwendungsbeispiele III: Kapitalbewegungen In den bisherigen Anwendungsbeispielen wurde immer davon ausgegangen, dass das Basiskapital gleich bleibt und nur durch den Zins verändert wird. Es wurde beispielsweise nicht berücksichtigt,

dass ein Kapital durch Einzahlungen grösser bzw. durch Abhebungen kleiner werden kann. dass ein grösserer Betrag oftmals nicht mit einer Einmalzahlung, sondern in mehreren unter-

schiedlich hohen Teilraten bezahlt wird.

Auch für solche Situationen können die normalen Zinseszinsformeln angewendet werden. Dabei sind jedoch die Kapitalbewegungen korrekt zu berücksichtigen.

Das kann auf zwei Arten geschehen: Für jede Kapitalbewegung wird das Endkapital ♦ bis zum Ende der Anlagedauer berechnet. ♦ bis zur nächsten Kapitalbewegung berechnet.

Diese beiden Berechnungsvarianten sind am folgenden Beispiel erläutert.

a) Ein Kapital von CHF 5'500.-- wurde zu einem Zinssatz von 5 % angelegt. Nach 4 Jahren wur-den CHF 5'000.-- einbezahlt und 3 Jahre später wurden CHF 10'000.-- abgehoben. Wie hoch ist das Kapital nach 10 Jahren?

Berechnungsvariante 1

Prinzip: Sowohl für das Anfangskapital als auch für jede Kapitalbewegung (Einzahlung oder Abhebung) wird das jeweilige Endkapital bis zum Ende der Anlagedauer separat berechnet.

Analyse

Jahre

?

5 %

+ 5‘000 - 10‘000

3 821 4 5 6 7 9 10

10 Jahre

6 Jahre

3 Jahre

5‘500

Formel festlegen n

n q K K 0 •=

Ausrechnung

Betrag Zeitpunkt Dauer Ausrechnung Kn Endkapital

Anfangskapital 5'500 Beginn für 10 J. 5'500 • 1.0510 8'958.9204…

Einzahlung 5'000 nach 4 J. für 6 J. 5'000 • 1.056 + 6'700.4782…

Abhebung 10'000 nach 7 J. für 3 J. 10'000 • 1.053 11'576.25

Total 4'083.1486… Lösung

Nach 10 Jahren beträgt das Kapital CHF 4'083.15.


Berechnungsvariante 2

Prinzip: Sowohl das Anfangskapital als auch jede Kapitalbewegung (Einzahlung oder Abhe-bung) wird für sich nur bis zur nächsten Kapitalbewegung verzinst. Die letzte Kapitalbewegung wird bis zum Ende der Anlagedauer verzinst.

Analyse

Jahre

?

5 %

+ 5‘000

3 821 4 5 6 7 9 10

4 Jahre 3 Jahre 3 Jahre

5‘500 - 10‘000

Formel festlegen n

n q K K 0 •=

Ausrechnung

Jahre

?

5 %

3 821 4 5 6 7 9 10

3 Jahre

5‘500. . . .

+ 5'000. . . . . . . . .

- 10'000. . . . .

4 Jahre

3 Jahre 5'500 • 1.054 6'685.2843… + 5'000 11'685.2843… • 1.053 13'527.1773… 10'000 3'527.1773… • 1.053 = 4'083.148...

Lösung

Nach 10 Jahren beträgt das Kapital CHF 4'083.15.



b) Astrid hat folgende Einzahlungen auf ihr Konto vorgenommen:

♦ CHF 20'000.--, bei Kontoeröffnung ♦ CHF 5'000.--, 3 Jahre nach Kontoeröffnung ♦ CHF 10'000.--, 8 Jahre nach Kontoeröffnung Welches Kapital besitzt Astrid nach 10 Jahren, wenn der Zinssatz immer 5 % betragen hat?

Analyse

Jahre

?

5 %

+ 20‘000 + 5‘000 + 10‘000

3 821 4 5 6 7 9 10

10 Jahre

7 Jahre

2 Jahre

Formel festlegen

Ausrechnung

Lösung

Nach 10 Jahren besitzt Astrid ein Kapital von CHF 50'638.40.

nn q K K 0 •=

Variante: Berechnung bis zum Ende der Anlagedauer (gemäss Analyse-Zeichnung)


1. Einzahlung 20'000 Beginn für 10 J. 20'000 • 1.0510 32'577.8925...

2. Einzahlung 5'000 nach 3 J. für 7 J. 5'000 • 1.057 + 7'035.5021...

3. Einzahlung 10'000 nach 8 J. für 2 J. 10'000 • 1.052 + 11'025.00

Total 50'638.3946... Variante: Berechnung bis zur nächsten Kapitalbewegung

20'000 • 1.053 23'152.50 + 5'000 28'152.50 • 1.055 35'930.5166... + 10'000 45'930.5166… • 1.052 = 50'638.3946...



c) Auf dem Konto von Martin haben folgende Kapitalbewegungen stattgefunden:

♦ Kontoeröffnung mit Einzahlung von CHF 20'000.-- ♦ Abhebung von CHF 5'000.--, 3 Jahre nach Kontoeröffnung ♦ Einzahlung von CHF 2'000.--, 7 Jahre nach Kontoeröffnung Auf welchen Betrag ist das Kapital nach 10 Jahren angewachsen, wenn der Zinssatz immer 6 % betragen hat?

Analyse

Jahre

?

6 %

- 5‘000

3 821 4 5 6 7 9 10


+ 2‘000+ 20‘000

Formel festlegen

Ausrechnung

Lösung

Nach 10 Jahren ist das Kapital auf einen Betrag von CHF 30'680.85 angewachsen.

nn q K K 0 •=

Variante: Berechnung bis zur nächsten Kapitalbewegung (gemäss Analyse-Zeichn.)

20'000 • 1.063 23'820.3200... 5'000 18'820.3200… • 1.064 23'760.2203... + 2'000 25'760.2203… • 1.063 = 30'680.8346

Variante: Berechnung bis zum Ende der Anlagedauer


Einzahlung 20'000 Beginn für 10 J. 20'000 • 1.0610 35'816.9539...

Abhebung 5'000 nach 3 J. für 7 J. 5'000 • 1.067 7'518.1512...

Einzahlung 2'000 nach 7 J. für 3 J. 2'000 • 1.063 + 2'382.032

Total 30'680.8346...


d) Ein Darlehen von CHF 50'000.-- soll wie folgt zurückbezahlt werden:

♦ 1. Rate von CHF 20'000.--, zahlbar nach 3 Jahren ♦ 2. Rate von CHF 20'000.--, zahlbar nach 6 Jahren ♦ Restbetrag, zahlbar nach 10 Jahren Wie hoch ist die Restzahlung, wenn mit einem Zinssatz von 5 % gerechnet wird?

Analyse

Jahre

?

5 %

- 20‘000

3 821 4 5 6 7 9 10


Rest- 20‘00050‘000

Formel festlegen n

n q K K 0 •=

Ausrechnung

Jahre

?

5 %

3 821 4 5 6 7 9 10

3 Jahre

. . . .- 20'000

. . . . . . . . .- 20'000

. . . . .

3 Jahre

4 Jahre

50'000

50'000 • 1.053 57'881.25 20'000 37'881.25 • 1.053 43'852.2820… 20'000 23'852.2820… • 1.054 = 28'992.597...

Lösung

Die Restzahlung nach 10 Jahren beträgt CHF 28'992.60.



e) Ein Haus ist in drei Raten zahlbar:

♦ Anzahlung von CHF 300'000.--, sofort ♦ 1. Rate von CHF 300'000.--, zahlbar nach 5 Jahren ♦ 2. Rate von CHF 300'000.--, zahlbar nach 10 Jahren Wie viel müsste heute für das Haus als Gesamtbetrag bezahlt werden, wenn mit einem Zins-satz von 7 % gerechnet wird?

Analyse

Jahre

?

7 %

+ 300‘000 + 300‘000 + 300‘000

3 821 4 5 6 7 9 10

5 Jahre

10 Jahre

Formel festlegen

Ausrechnung

Lösung

Für das Haus müsste heute ein Gesamtbetrag von CHF 666'400.65 bezahlt werden.

nn

qK K0 =

Betrag Zeitpunkt Dauer Ausrechnung K0 Anfangskapital

Anzahlung 300'000 sofort -- -- 300'000

1. Rate 300'000 nach 5 J. für 5 J. 51.07300'000

+ 213'895.8538...

2. Rate 300'000 nach 10 J. für 10 J. 101.07300'000

+ 152'504.7876...

Total 666'400.6414...



f) Auf einem Konto haben folgende Kapitalbewegungen stattgefunden:

♦ Einzahlung von CHF 10'000.--, bei Kontoeröffnung ♦ Einzahlung von CHF 5'000.--, 6 Jahre später Für die ersten 4 Jahre betrug der Zinssatz 5 %, anschliessend 6 %. Welches Kapital ist nach 10 Jahren auf dem Konto verfügbar?

Analyse

Jahre

?

5 %

+ 5‘000

3 821 4 5 6 7 9 10

4 Jahre

zu 5 %

4 Jahre

zu 6 %

+ 10‘000

6 %

2 Jahre

zu 6 %

Formel festlegen

Ausrechnung

Lösung

Nach 10 Jahren ist auf dem Konto ein Betrag von CHF 23'554.55 verfügbar.

nn q K K 0 •=

Variante: Berechnung bis zur nächsten Kapitalbewegung (gemäss Analyse-Zeichn.)

10'000 • 1.054 • 1.062 13'657.4282... + 5'000 18'657.4282… • 1.064 = 23'554.5732... Variante: Berechnung bis zum Ende der Anlagedauer


1. Einzahlung 10'000 Beginn für 10 J. 10'000 • 1.054 • 1.066 17'242.1884...

2. Einzahlung 5'000 nach 6 J. für 4 J. 5'000 • 1.064 + 6'312.3848...

Total 23'554.5732...


19.10 Anwendungsbeispiele IV: Formel-Kombinationen Es gibt auch Fragestellungen zu Zinseszinsen, die sich nur in zwei oder mehreren Teilschritten lösen lassen.

a) Ein Kapital von CHF 235'800.-- ist nach 4 Jahren auf CHF 286'616.40 angewachsen. Welcher Betrag steht dem Kontoinhaber bei gleich bleibender Verzinsung 10 Jahre nach der Investition zur Verfügung?

Analyse

Jahre

%

3 821 4 5 6 7 9 10

6 Jahre

235‘800.-- 286‘616.40

?

?

Formeln festlegen

Teilschritt 1 Berechnung des Zinsfaktors: n n

0KK q =

Teilschritt 2 Berechnung des Endkapitals: nn q K K 0 •=

Ausrechnung

?

Teilschritt 1: Berechnung des Zinsfaktors

4235'800

286'616.40 q = ⇒ ...1.05000 q =

? Teilschritt 2: Berechnung des Endkapitals

Kn = 286'616.40 • 1.056

Kn = 384'093.3881…

Lösung

Nach 10 Jahren verfügt der Kontoinhaber über CHF 384'093.40.



b) Michael hat ein Kapital für eine bestimmte Zeitdauer angelegt. In der Hälfte der Anlagedauer

betrug das Kapital CHF 15'000.--, am Ende CHF 19'533.90. Der Zinssatz betrug 4.5 %. Welchen Betrag hat Michael vor wie vielen Jahren angelegt?

Analyse

Jahre

4.5 %

15‘000 19‘533.90

?

½ der Anlagedauer= n Jahre

½ der Anlagedauer= n Jahre

?

Formeln festlegen

Ausrechnung

Lösung

Vor 12 Jahren hat Michael einen Betrag von CHF 11'518.45 angelegt.

Teilschritt 1 Berechnung der Jahre (= Hälfte der Anlagedauer): q lg

K lg K lg n 0n −=

Teilschritt 2 Berechnung des Anfangskapitals: nn

qK K0 =

?

Teilschritt 1 Berechnung der Jahre (= Hälfte der Anlagedauer)

1.045 lg15'000 lg 19'533.90 lg n −

= ⇒ 5.999... n =

♦ Hälfte der Anlagedauer: 6 Jahre ♦ Ganze Anlagedauer: 12 Jahre (= 2 • 6)

? Teilschritt 2 Berechnung des Anfangskapitals

61.045

15'000 K0 = ⇒ ...011'518.436 K0 =



c) Ein Kapital von CHF 25'100.-- ist nach 6 Jahren auf CHF 31'759.50 angewachsen. Zu diesem

Zeitpunkt wird eine Einzahlung vorgenommen, so dass dem Kontoinhaber bei gleich bleiben-dem Zinssatz 4 Jahre später ein Betrag von CHF 51'777.35 zur Verfügung steht. Wie hoch war die Einzahlung?

Analyse

Jahre

%

3 821 4 5 6 7 9 10

25‘100

?

31‘759.50

4 Jahre?

+

51‘777.35

?

Formeln festlegen

Ausrechnung

Lösung

Nach 6 Jahren wurde eine Einzahlung von CHF 12'500.-- vorgenommen.

Teilschritt 1 Berechnung des Zinsfaktors: n n

0KK q =

Teilschritt 2 Abzinsen des Endkapitals: nn

qK K0 =

?

Teilschritt 1 Berechnung des Zinsfaktors

6

25'10031'759.50 q = ⇒ ...1.0399 q =

? Teilschritt 2 Abzinsen des Endkapitals um 4 Jahre

41.04

51'777.35 K0 = ⇒ ...744'259.495 K0 =

?

Teilschritt 3 Berechnung der Einzahlung

44'259.4957... - 31'759.50 ⇒ 12'499.9957...



d) Ein Kapital von CHF 275'000.-- wurde zu einem Zinssatz von 6.5 % angelegt. Nach einem

Drittel der Anlagedauer war das Kapital auf CHF 484'706.85 angewachsen. Wie hoch ist das Kapital am Ende der Anlagedauer?

Analyse

Jahre

6.5 %

275‘000 484‘706.85

Jahre

⅓ der Anlagedauer= n Jahre

Jahre

⅔ der Anlagedauer= 2n Jahre

?

? ? ?

Formeln festlegen

Ausrechnung

Lösung

Am Ende der Anlagedauer beträgt das Kapital CHF 1'505'816.65.

Schritt 1 Berechnung der Jahre (= ⅓ der Anlagedauer): q lg

K lg K lg n 0n −=

Schritt 2 Berechnung des Endkapitals: nn q K K 0 •=

?

Teilschritt 1 Berechnung der Jahre (= ⅓ der Anlagedauer)

1.065 lg275'000 lg 484'706.85 lg n −

= ⇒ 8.999... n =

♦ Ein Drittel der Anlagedauer: 9 Jahre ♦ Zwei Drittel der Anlagedauer: 18 Jahre (= 2 • 9)

? Teilschritt 2 Berechnung des Endkapitals am Ende der Anlagedauer (für ⅔ der Dauer)

9 2n 1.065 484'706.85 K ••= ⇒ 6583...1'505'816. Kn =


e) Peter hat im Lotto gewonnen, sein Gewinn beträgt nach Abzug aller Steuern CHF 840'000.--.

Diesen Betrag hat er an einem Jahresende zu einem Zinssatz von 5 % angelegt. Er hat sich überlegt, dass er für seinen Lebensunterhalt pro Jahr CHF 60'000.-- benötigt, die er jeweils am Jahresbeginn als Gesamtbetrag abheben will. Nach wie vielen Jahren kann er alleine von den Zinsen seines Kapitals leben, ohne dass sein Vermögen vermindert wird?

Analyse

Jahre

5 %

840‘000?

?

Zinsen > 60‘000

Formeln festlegen

Teilschritt 1 Berechnen des Vermögens für 60'000 Jahreszins: p100 Z K •

=

Teilschritt 2 Berechnen der Anzahl Jahre: q lg

K lg K lg n 0n −=

Ausrechnung

? Teilschritt 1: Berechnen des Vermögens für 60'000 Jahreszins

5100 60'000 K •

= ⇒ K = 1'200'000

Interpretationen: ♦ Für einen Zins von 60'000 muss das Vermögen mindestens CHF 1'200'000 sein. ♦ Damit die 60'000 am Jahresbeginn abgehoben werden können (und das Kapital

nicht unter 1'200'000 sinkt) muss das Vermögen sogar CHF 1'260'000 sein.

?

Teilschritt 2: Berechnen der Anzahl Jahre:

1.05 lg840'000 lg 1'260'000 lg n −

= ⇒ n = 8.31038…

Interpretationen:

♦ Im Verlauf des 9. Jahres erreicht das Vermögen die Grenze von CHF 1'260'000.

♦ Also können am Beginn des 10. Jahres erstmals CHF 60'000 abgehoben werden.

Lösung

Nach Ablauf von 9 Jahren (d.h. ab dem 10. Jahr) kann Peter jeweils am Jahresbeginn CHF 60'000.-- abheben, ohne dass sein Vermögen geschmälert wird.

Zur Kontrolle:

Jahr Anfangskapital Abhebung Jahreszins Endkapital 9 1'241'062.55 60'000.-- 59'053.15 1'240'115.70 Kapital sinkt 10 1'303'115.70 60'000.-- 62'155.80 1'305'271.50 Kapital nimmt zu



f) Eine Stiftung hat ihr Anfangskapital von CHF 6 Millionen an einem Jahresende zu einem Zins-

satz von 3.5 % angelegt. Im Stiftungszweck ist festgelegt, dass jeweils an jedem Jahresbeginn CHF 250'000.-- für gemeinnützige Projekte ausbezahlt werden sollen, dies jedoch ohne das Vermögen der Stiftung zu schmälern. Nach wie vielen Jahren kann die Stiftung erstmals gemeinnützige Projekte mit dem Betrag von CHF 250'000.-- unterstützen?

Analyse

Jahre

3.5 %

6‘000‘000?

?

Zinsen > 250‘000

Formeln festlegen

Ausrechnung

Lösung

Nach Ablauf von 7 Jahren (d.h. ab dem 8. Jahr) können jeweils am Jahresbeginn CHF 250'000 für gemeinnützige Projekte ausbezahlt werden, ohne dass das Vermögen der Stiftung geschmälert wird.

Teilschritt 1 Bestimmen des Vermögens für 250'000 Jahreszins p100 Z K •

=

Teilschritt 2 Bestimmen der Jahre q lg

K lg K lg n 0n −=

? Teilschritt 1: Bestimmen des Vermögens für 250'000 Jahreszins

5.3100 250'000 K •

= ⇒ ...14287'142'857. K =

♦ Um einen Zins von CHF 250'000 zu erhalten, muss das Vermögen mindestens CHF 7'142'857.1428... sein.

♦ Damit die CHF 250'000 am Jahresbeginn abgehoben werden können (und das Kapital nicht unter 7'142'857.1428... sinkt), muss das Vermögen sogar CHF 7'392'857.1428... sein.

?

Teilschritt 2: Bestimmen der Jahre:

1.035 lg6'000'000 lg 1428...7'392'857. lg n −

= ⇒ ...6.0682 n =

♦ Im Verlauf des 7. Jahres erreicht das Vermögen die Grenze von 7'392'857.1428...

♦ Also können am Beginn des 8. Jahres erstmals CHF 250'000 abgehoben werden.


19.11 Anwendungsbeispiele V: Gleichungen Komplexere Aufgabenstellungen lassen sich oft nur mit Hilfe von Gleichungen lösen.

a) Ein Kapital ist viermal so gross wie das andere. Nach 12 Jahren sind beide Kapitalien zusam-men auf einen Gesamtbetrag von CHF 347'741.50 angewachsen. Der Zinssatz beträgt für beide Kapitalien 6.25 % Wie hoch waren die beiden ursprünglichen Kapitalien?

Analyse

Jahre

3 821 4 5 6 7 9 10

12 Jahre

6.25 %

347‘741.50

11 12

12 Jahre

…..

+ …..4x

x

Variable und Formel festlegen x = Anfangskapital des kleineren Vermögens

nn q K K 0 •=

Ausrechnung

347'741.50 1.06254x 1.0625 x 1212 =•+• | 1.062512 ausklammern

347'741.50 4x) (x 1.062512 =+• | : 1.062512

121.0625347'741.50 5x = | : 5

5 1.0625347'741.50 x 12 •

= | ausrechnen

...233'599.998 x =

Anfangskapital des kleineren Vermögens: 33'600 Anfangskapital des grösseren Vermögens: 134'400 (= 4 • 33'600 )

Lösung

Das kleinere Kapital betrug vor 12 Jahren CHF 33'600.--, das grössere CHF 134'400.--.



b) An einem Jahresanfang befinden sich CHF 33'666.-- auf einem Konto, welches mit 3 % ver-

zinst wird. Nach 4 Jahren wird eine Einzahlung vorgenommen. 11 Jahre nach der Einzahlung beträgt der Kontostand CHF 73'560.10. Wie hoch war die Einzahlung?

Analyse

Jahre33‘666

3 %

1 3 5 11 13

73‘560.10+ x

11 Jahre

15 Jahre

9 1572 4 6 8 10 12 14

Variable und Formel festlegen

Ausrechnung

Lösung

Nach 4 Jahren wurde eine Einzahlung von CHF 15'250.-- vorgenommen.

x = Betrag der Einzahlung n

n q K K 0 •=

33'666 • 1.0315 + x • 1.0311 = 73'560.10 | - ( 33'666 • 1.0315 )

x • 1.0311 = 73'560.10 - ( 33'666 • 1.0315 ) | : 1.0311

x = 11

15

03.1)1.03 (33'666 73'560.10 •− | ausrechnen

x = 15'250.0017...


c) Ein Kapital ist nach einer bestimmten Anzahl Jahre von CHF 67'515.-- auf CHF 125'014.--

angewachsen. Während der ersten Hälfte der Anlagedauer betrug der Zinssatz 4 %, während der zweiten Hälfte 5 %. Wie lange war das Kapital insgesamt angelegt?

Analyse

Jahre

x

67‘515.-- 125‘014.--

½ Anlagedauer (4 %)= x Jahre

x ½ Anlagedauer (5 %)= x Jahre

Variable und Formel festlegen x = Hälfte der Anlagedauer in Jahren

nn q K K 0 •=

Ausrechnung

125'014 1.05 1.04 67'515 xx =•• | : 67'515

67'515125'014 1.05 1.04 xx =• | linke Seite vereinfachen

( )67'515

125'014 1.05 1.04 x =• | linke Seite ausrechnen

67'515125'014 092.1 x = | logarithmieren

67'515125'014 lg 092.1 lg x =• | : lg 1.092

1.092 lg67'515

125'014 lg x =

...6.9999 x =

Hälfte der Anlagedauer: 7 Jahre Ganze Anlagedauer: 14 Jahre ( = 7 • 2 )

Lösung

Das Kapital war für insgesamt 14 Jahre angelegt.


d) Ein Darlehen von CHF 25'000.-- soll wie folgt in zwei gleich hohen Raten zurückbezahlt wer-

den: ♦ 1. Rate nach 4 Jahren ♦ 2. Rate nach 9 Jahren Wie hoch sind die beiden Raten, wenn als Zinssatz 9.5 % vereinbart wurde?

Variante 1: Berechnung zum Endkapital Variante 2: Berechnung zum Barwert

Analyse

Jahre

-x

9.5 %

3 821 4 5 6 7 9

4 Jahre 5 Jahre

25‘000 -x

Analyse

Jahre

-x

9.5 %

3 821 4 5 6 7 9

4 Jahre

9 Jahre

25‘000

-x

…..+ …..

Variable und Formel festlegen x = Höhe der Rate

nn q K K 0 •=

Variable und Formel festlegen x = Höhe der Rate

nqK K n

0 =

Ausrechnung

x 1.095 )x 095.1 000'25( 54 =•−•

x 1.095x 1.095 095.1 000'25 554 =•−••

x 1.095x 095.1 000'25 59 =•−• 59 1.095x x 095.1 000'25 •+=•

)1.095 (1 x 095.1 000'25 59 +=•

5

9

1.095 1095.1 000'25 x

+

•=

8...21'979.522 x =

Ausrechnung

25'000 1.095

x 1.095

x94 =+ | • 1.0959

95 1.095 25'000 x 1.095x •=+• 95 1.095 25'000 1)(1.095 x •=+

11.0951.095 25'000 x 5

9

+

•=

8...21'979.522 x =

Lösung

Die beiden Rückzahlungsraten betragen je CHF 21'979.50.



e) Bei einer Kontoeröffnung Anfang Jahr wird ein bestimmter Betrag einbezahlt. Nach 8 Jahren

wird eine Einzahlung vorgenommen, die halb so gross ist wie der bei Kontoeröffnung einbe-zahlte Betrag. 8 Jahre nach der Aufstockung beträgt der Kontostand CHF 71'603.40. Der Zinssatz betrug immer 4 %. Wie hoch war der bei Kontoeröffnung einbezahlte Betrag, und wie hoch war das Kapital vor und nach der Aufstockung?

Analyse

Jahre

4 %

71‘603.40x + ½ x

16 Jahre

8 Jahre

1 3 5 11 139 1572 4 6 8 10 12 14 16


Ausrechnung

Lösung

Bei Kontoeröffnung wurde ein Betrag von CHF 28'000.-- einbezahlt. Vor der Aufstockung betrug das Kapital CHF 38'319.95, nach der Aufstockung CHF 52'319.95.

x = Bei Kontoeröffnung einbezahlter Betrag n

n q K K 0 •=

71'603.40 1.04 x21 1.04 x 816 =•+• | • 2

143'206.80 1.04 x 1.04 2x 816 =•+• | x ausklammern

( ) 143'206.80 1.04 1.04 2 x 816 =+• | : ( 2 • 1.0416 + 1.048)

816 1.04 1.04 2143'206.80 x

+•= | ausrechnen

7...27'999.983 x =

♦ Einzahlung bei Kontoeröffnung: CHF 28'000.-- ♦ Aufstockung nach 8 Jahren: CHF 14'000.-- (= 28'000 : 2)

Kapital vor und nach der Aufstockung ♦ Vor der Aufstockung: 28'000 • 1.048 CHF 38'319.9334... ♦ Nach der Aufstockung: CHF 52'319.9334... (= 38'319.9334... + 14'000)


f) Ein Kapital von CHF 41'105.-- ist nach 10 Jahren auf CHF 57'975.90 angewachsen. Während

der zweiten Hälfte der Anlagedauer war der Zinssatz um 1 % höher als in der ersten Hälfte. Wie hoch waren die beiden Zinssätze?

Analyse

Jahre

3 821 4 5 6 7 9 10

41‘105.-- 57‘975.90

q + 0.01q Zinsfaktor

p p + 1 Zinssatz

Variable und Formel festlegen q = Zinsfaktor für die 1. Hälfte der Anlagedauer

nn q K K 0 •= und 100 1)(q p •−=

Ausrechnung

57'975.90 0.01)(q q 41'105 55 =+•• | : 41'105

41'10557'975.90 0.01)(q q 55 =+• | linke Seite vereinfachen

[ ]41'105

57'975.90 0.01)(q q 5 =+• | 5

541'105

57'975.90 0.01)(q q =+ | ausmultiplizieren, ausrechnen

...1.07120001 0.01q q2 =+ | - 1.07120001…

0 1.07120001 0.01q q ...2 =−+ | q berechnen (mit pq-Formel)

q1, 2 = )07120001.1( 201.0

201.0 ...

2−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±−

q1, 2 = ...07122501.1 005.0 ±−

q1, 2 = ...1.035000 005.0 ±− q1 = -1.04000…, q2 = 1.03000… ⇒ q1 fällt als Lösung weg ⇒ q = 1.030…

100 1)(q p •−= ⇒ 100 1).(1.03000.. p •−= ⇒ p = ≈ 3

Zinssatz für die erste Hälfte der Anlagedauer: 3 % Zinssatz für die zweite Hälfte der Anlagedauer: 4 % (= 3 % + 1 %)

Lösung

Während der ersten 5 Jahre betrug der Zinssatz 3 %, während der zweiten 5 Jahre 4 %.



g) Ein Kapital von CHF 20'000.-- ist nach 8 Jahren auf CHF 28'985.-- angewachsen. Während

der zweiten Hälfte der Anlagedauer war der Zinssatz um 1.5 % tiefer als in der ersten Hälfte. Wie hoch waren die beiden Zinssätze?

Analyse

Jahre

1 2 3 4 5 6 7 8

q - 0.015

p p - 1.5

20‘000 28‘985

q

Zinssatz

Zinsfaktor


Ausrechnung

Lösung

Während der ersten Hälfte der Anlagedauer betrug der Zinssatz 5.5 %, während der zweiten Hälfte 4 %.

q = Zinsfaktor für die 1. Hälfte der Anlagedauer n

n q K K 0 •= und 100 1)(q p •−=

28'985 0.015)(q q 20'000 44 =−•• | : 20'000

20'00028'985 0.015)(q q 44 =−• | linke Seite vereinfachen

[ ]20'00028'985 0.015)(q q 4 =−• | 4

420'00028'985 0.015)(q q =− | ausmultiplizieren, ausrechnen

...1.09720 0.015qq2 =− | - 1.09720...

0 1.09720 0.015q q ...2 =−− | q ausrechnen (mit pq-Formel)

q1, 2 = )09720.1( 2015.0

2015.0 ...

2−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −±

−−

q1, 2 = ...09725.1 0075.0 ±

q1, 2 = ....047501 0075.0 ± q1 = -1.0400..., q2 = 1.0550... ⇒ q1 fällt als Lösung weg ⇒ q = 1.0550...

100 1)(q p •−= ⇒ 100 1)(1.0550... p •−= ⇒ p = ≈ 5.5

♦ Zinssatz für die erste Hälfte der Anlagedauer: 5.5 % ♦ Zinssatz für die zweite Hälfte der Anlagedauer: 4 % (= 5.5 % - 1.5 %)

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