Charakterisierung ultrakurzer...
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Charakterisierung ultrakurzer Lichtimpulse Von Tobias Caspers, Betreut durch Dr. Frank Noack, Im Rahmen des Lehrseminars “Kurzpulslaser und Anwendungen“ Bei Prof. Dr. Ingolf Hertel.
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Charakterisierung ultrakurzer Lichtimpulse
Von Tobias Caspers,Betreut durch Dr. Frank Noack,Im Rahmen des Lehrseminars
“Kurzpulslaser und Anwendungen“Bei Prof. Dr. Ingolf Hertel.
Allgemein: Messung kurzer Ereignisse
0. Themenüberblick
1. Einordnung der erreichbaren Parameter
2. “Einfache“ Messgeräte
3. Korrelation
4. Messung des Impulsverlaufs:
FROG und SPIDER
1. Einordnung der erreichbaren Parameter
• Impulsdauer: 3fs
• Bandbreite: einige hundert THz
• Leistung: bis zu 1000 TW
• Intensität: bis zu
≥
²1019
cmW
2. “Einfache“ Messgeräte
1. Energie: Pyroelektrischer Detektor
2. Leistung: Photodetektor
3. Intensität vs Zeit:Photodiode
4. Intensität vs Zeit: Streak Kamera
2.1 Pyroelektrischer Detektor
Grundsätzlich: Ionenkristalle mit strukturbedingter spontaner Polarisation, z.B. Turmalin (Aluminiumborsilikat).
Effekt: Bei Erhitzung Aufbau einer Spannung proportional zum Temperaturanstieg. Vgl Piezo Kristall!
à Einsatz zur Energiemessung.
Typische Daten:•Energiemessung bis zu einigen mJ möglich.•Responsezeit: einige ms•Elektrische Response: Einige V/mJ
2.2 Der PhotodetektorGrundsätzlich: Thermoelemente bestehen aus zwei
Metallkontaktstellen, wobei die eine konstant auf einer Referenztemperatur gehalten wird und die andere auf die zu messende Temperatur gebracht wird.
Vorsicht: Nur zur Messung der mittleren LeistungEinige Daten:
2.3 Die PhotodiodeGrundsätzlich: In Sperrrichtung betriebene pn-ÜbergängeSperrstrom proportional zur Beleuchtungsstärke.Einige Daten:
2.4 Die Streak Kamera
Aufbau:
Zeitl. Auflösung:
Ca. 1 ps
Überleitung
Feststellung:Es liegt folgendes Problem vor:Die uns zur Verfügung stehenden Messgeräte haben
wesentlich zu große Reaktionszeiten.
Lösung?
Überleitung
Feststellung:Es liegt folgendes Problem vor:Die uns zur Verfügung stehenden Messgeräte haben
wesentlich zu große Reaktionszeiten.
Lösung: KORRELATIONSFUNKTIONEN !Denn: Ist bekannt, so lässt sich aus
(messbar!)bestimmen.
( )tF '
( ) ( ) ( )∫∞
∞−
−= dttFtFG ττ '
( )tF
3. Einiges über Korrelationsfunktionen
Definitionen:Fourier Transformation:
Kreuzkorrelations-Fkt.: Konvolution:
Autokorrelationsfunktion:
( ) ( )∫∞
∞−
−= dtethH tiωω ( ) ( )∫∞
∞−
= ωωπ
ω deHth ti
21
( ) ( ) ( ) ( )∫ +=+ ∗
∞→
T
Tdttgtf
Ttgtf
0
1lim ττ ( ) ( )∫ −=∗ ∗
∞→
T
Tdttgtf
Tgf
0
1lim τ
( ) ( ) ( ) ( )∫ +=+ ∗
∞→
T
Tdttftf
Ttftf
0
1lim ττ
3. Einige Eigenschaften von Korrelationsfunktionen
Korrelations- bzw. Konvolutions-Theorem:Sei undDann gilt:
und
Parseval-Theorem:
( ) ( )( )thTFH .=ω ( ) ( )( )txTFX .=ω
( ) ( )( ) ( ) ( )ωωτ XHtxthTF ∗=+. ( ) ( ) ( )ωω XHxhTF =∗.
∫∫∞
∞−
∗∞
∞−
∗ = dttGtFdxxgxf )()(21
)()(π
3. Einige Beispiele zu Autokorrelationsfunktionen
3. Vorsicht! Die Autokorrelation ist keine
bijektive Abbildung!
Überleitung:Experimentelle Realisierung
Feststellung:“normalerweise“ überlagern sich E-Felder gemäß des
Superpositionsprinzipes additiv, Wir benötigen aber multiplikative Überlagerung!
Lösung ?
Überleitung:Experimentelle Realisierung
Feststellung:“normalerweise“ überlagern sich E-Felder gemäß des
Superpositionsprinzips additiv,Wir benötigen aber multiplikative Überlagerung!
Lösung:Vorraussetzung für die Gültigkeit des Superpositionsprinzips
ist die Linearität des E-Feldes
àNICHTLINEARE OPTIK !Damit folgen Terme höherer Ordnung:
( ) ( ) ( )[ ]...332210 +++= EXEXEXP ε
4. FROG & SPIDER
1. Vorraussetzung: Nichtlineare Optik2. Zielsetzung3. Vorstufen: Kreuzkorrelation und
Autokorrelation4. FROG5. SPIDER
4.1 Nichtlineare Optik
Wellengleichung:
Linearer Fall:
Nichtlinearer Fall:
Mit
Ergibt sich:....
( ) ( ) ( )[ ]...332210 +++= EXEXEXP ε
EXP )1(0ε=
²²
²²
²1
²²
0 tP
tE
czE
∂∂
=∂∂
−∂∂
µ
( ) ( ) ( ) .., 221122
112
1 cceEeEtrE rktirktiges ++= ⋅−⋅− ωω
4.1 Nichtlineare OptikNichtlinearer Fall:
Mit
Ergibt sich:....
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]rkktirkkti
rkktirkkti
rktirkti
rktirkti
ges
eEEeEE
eEEeEE
EEeEeE
EEeEeE
trE
⋅−−−−∗⋅−−−∗
⋅+−+−∗∗⋅+−+
∗⋅−−⋅−
∗⋅−−∗⋅−
++
++
+++
++
=
21212121
21212121
2222
1111
2121
2121
2121
2121
2221)(22
241)(22
241
1121)(22
141)(22
141
),²(
ωωωω
ωωωω
ωω
ωω
SHG
SFG
DFG
( ) ( ) ( )[ ]...332210 +++= EXEXEXP ε
( ) ( ) ( ) .., 221122
112
1 cceEeEtrE rktirktiges ++= ⋅−⋅− ωω
4.1 Nichtlineare OptikDie Bezeichnungen noch mal ausgeschrieben:SHG := Second Harmonic GenerationSFG := Sum Frequency GenerationDFG := Difference Frequency Generation
Entsprechend findet sich in Termen höherer Ordnung:THG := Third Harmonic Generation ....
4.1 Nichtlineare Optik
Weitere wichtige Effekte dritter Ordnung:SD := Self Diffraction
( ) ( )[ ] ..2121 222
2108
3 cceEEP rkktii += ⋅−−−∗ ωωε
4.1 Nichtlineare Optik
Weitere wichtige Effekte dritter Ordnung:PG := Polarization Gating
[ ] ..112
21043 cceEEP rkti
i += ⋅−ωε
Zusammenfassung:In nichtlinearen Medien können sich verschiedene
Strahlen gegenseitig beeinflussen und neue Strahlen erzeugen. Die hier benötigten Effekte sind:
SHG:
PG:
SD:
THG:
4.1 Nichtlineare Optik
( ) )()( 21 tEtEtEsig ∝
( ) ²|)(|)( 21 tEtEtEsig ∝
( ) )()( 22
1 tEtEtEsig∗∝
( ) )()( 22
1 tEtEtEsig ∝
Effekte 2. Ordnung
Effekt 3. Ordnung
4.2 Zielsetzung?:
Messung des tatsächlichen Signalverlaufes!:
4.2 Zielsetzung
Wie misst man so etwas?
Wenn E(t) die zu messende Wellenform ist, ist das Spektrogramm:
SpE (ω,τ ) ≡ E(t) g(t −τ ) exp(−iωt) dt−∞
∞
∫2
wobei g(t-τ) die variable-verzögerte gate function ist und τ ist die Verzögerung.
Ohne g(t-τ), wäre SpE(ω,τ) einfach das Spektrum.
Vgl. Fourier Trafo: ( ) ( )∫∞
∞−
−= dtethH tiωω
The Spectrogram of a waveform E(t)
We must compute the spectrum of the product: E(t) g(t-τ)
g(t-τ)
E(t)
time0 τ
The spectrogram tells the color and intensity of E(t) at the time τ.
g(t-τ) contributes only intensity, not phase (i.e., color), to the signal pulse.
E(t) contributes phase (i.e., color),
to the signal pulse.
E(t) g(t-τ)
ogram
4.3a Vorstufe: Kreuzkorrelation
Abgesehen vom Quadrat ist
Vergleichbar mit einer Kreuzkorrelation.Vorraussetzung allerdings:Es steht eine dementsprechend kurze Gatefunktion zur
Verfügung!
SpE (ω,τ ) ≡ E(t) g(t −τ ) exp(−iωt) dt−∞
∞
∫2
(Reminder):
Überleitung
Was macht man allerdings, wenn das zu messende Signal bereits das kürzeste ist, was man erzeugen kann?
Überleitung
Was macht man allerdings, wenn das zu messende Signal bereits das kürzeste ist, was man erzeugen kann?
Man misst es mit sich selbst!à Autokorrelation
4.3.b AutokorrelationCrossing beams in an SHG crystal, varying the delay between them,and measuring the second-harmonic (SH) pulse energy vs. delay yields the Intensity Autocorrelation:
A(2) (τ ) ≡ I(t)I (t − τ ) dt−∞
∞
∫
ESH (t,τ ) ∝ E(t)E(t − τ )
ISH (t,τ ) ∝ I(t)I(t − τ )
The Intensity Autocorrelation:
Delay
Beam-splitter
Inputpulse
Aperture eliminates input pulsesand also any SH created by the individual input beams.
Slow detector
Mirror
E(t)
E(t–τ)Vdet (τ ) ∝ A(2 ) (τ )Mirrors
SHGcrystal
Lens
4.3.b Autokorrelationim Single Shot Modus
Oft ist es umständlich für jede Verzögerung eine neue Messung durchzuführen.
àKann man bei der Messung eines Pulses auch verschiedene Verzögerungen abfragen? Ja, kann man:
4.3.b Autokorrelationim Single Shot Modus
Noch mal im Detail:
à Zeitverzögerung manifestiert sich auf der Ortsachse via:
( )c
xn 2sin0Φ
=τ
4.3.b Autokorrelationeinige Beispiele
4.3.b Autokorrelationeinige Beispiele
4.3.b Autokorrelationeinige Eigenschaften
• Symmetrisch um • Maximalwert bei• Nicht eindeutig! Informationsverlust• Mit der Autokorrelation ist eine Information
über die Pulsdauer gegeben:
Und für Convolutionen gilt:Und somit:
0=τ
0=τ
( ) )()( tItIAC −∗=τ( ) ( ) ( )222
grmsfrmshrmsgfh τττ +=⇒∗=
( ) ( )22 2 IrmsACrms ττ =22 ² ttrms −=τ Vorsicht! von Impulsform abhängig.FWHMτ
Zusammenfassung:
Wir können messen:• Energie• Leistung• Spektrum• Pulsdauer (mit Einschränkungen)
Genügt das?
Zusammenfassung:
Wir können messen:• Energie• Leistung• Spektrum• Pulsdauer (mit Einschränkungen)
Genügt das?Nein! Wir haben keine Information über
die Phase!
Zwischensequenz:
Die Bedeutung der Phase
Die hier abgebildeten Pulse unterscheiden sich nur in der Phase:
Zwischensequenz:
Die Bedeutung der Phase
Anschaulich: In der Phase steckt die Zeit- (bzw. hier: die Orts-) information.
Frequenzinfo von oben rechts,Phaseninfo von oben links.
Frequenzinfo von oben links,Phaseninfo von oben rechts.
4.4.a FROGFrequency Resolved Optical Gating
Problem:Aus der Autokorrelation lässt sich nicht die vollständige
Signalinformation gewinnen, da das eindimensionale Phasenwiderherstellungsproblem nicht lösbar ist!
Lösung:Das zweidimensionale Phasenwiderherstellungsproblem ist
(bis auf triviale Mehrdeutigkeiten) lösbar!
(Grund:)Der Fundamentalsatz der Algebra gilt in einer, nicht aber in
zwei Dimensionen.
4.4.a FROGDieses 2 dimensionale Problem ergibt sich folgendermaßen:Gleichzeitige Messung des Spektrums und der Verzögerung.(Verzögerung: wie bei One Shot AutokorrelationSpektrum: Senkrecht dazu spektrale Aufteilung des Signals)Damit ergibt sich die sogenannte FROG-Trace:
Mit
Ergibt sich:
22
)()(∫∞
∞−
−−= dtetEtEI tiPGFROG
ωτ
( ) ( )∫∞
∞−
Ω− ΩΩ= detEtE tisigsig ,,τ
2
2),(∫∫∞
∞−
Ω−−∞
∞−
ΩΩ= dtdetEI itisig
PGFROG
τω
Negatively chirped pulse
Positively chirped pulse
Unchirped pulse
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
SHG FROG trace--expanded
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FROG trace--expanded
The FROG trace visually displays the frequency vs. time.
Fre
quen
cyF
requ
ency
Time
Delay
4.4.a FROGeinige FROG-Traces
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FROG trace--expanded
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FROG trace--expanded
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
FROG trace--expanded
Self-phase-modulated pulse
Double pulseCubic-spectral-phase pulse
Fre
quen
cyF
requ
ency
Inte
nsity
Time
Delay
Fre
quen
cy
Delay
4.4.a FROGeinige FROG-Traces, etwas komplexer
SHG FROG Measurements of a 4.5-fs Pulse!
Baltuska, Pshenichnikov, and Weirsma,J. Quant. Electron., 35, 459 (1999).
Single-Shot Polarization-Gate FROG
Kane and Trebino, Opt. Lett., 18, 823
(1993).
TG
PG
SD
THGχ(3) Pr
ω
ω3ω
SHGχ(2) Pr
ω
ω 2ω
χ(3)
Prωωω ω
χ(3)
Pr
ω
ωω
ω
WP
Pol
Pol
χ(3)χ(3)χ(3)
Prω
ω ω
Sensitivity Ambiguities
.001 nJ
1 nJ
100 nJ
1000 nJ
10 nJ
None
None
None
Relative phase of multiple pulses
Direction of time; Rel. phase of multiple pulses
FROG geometries: Pros and Cons
Second-harmonicgeneration
Third-harmonicgeneration
Transient-grating
Polarization-gate
Self-diffraction
most sensitive;most accurate
tightly focusedbeams
useful for UV &transient-gratingexperiments
simple, intuitive,best scheme for amplified pulses
useful for UV
4.4.b Funktionsprinzip SPIDER
t
Chirped pulse
tt
ω ω
0ωω0 +δω
ττThis pulse sums with the blue part of the chirped pulse.
This pulse sums with the green part of the chirped pulse.
SFG
Der Ausgangspuls wird in zwei Teilpulse zerlegt: Einer erfährt einen Frequenzchirp, der andere wird verzögert. Aus der Überlagerung ergibt sich eine Phaseninformation!
4.4.b SPIDERspectral phase interferometry for direct electric-field
reconstruction
Aufbau:
Beteiligte Filter:Temporal Phase Modulator Spectral Phase Modulator
( ) tiPl etN Ω−=Ω, ( ) Ω= ττω iP
l eS ,
4.4.b SPIDERFür das zusammengefügte Signal ergibt sich:
Nimmt man die Responsefunktion des Spektrometers deltaförmig an, ergibt sich:
( ) ( ) [ ] ∫ ∫
+−⋅−= ωωωωωωωωωω dESdENSD P
lPlc
A
c
2
)()(')'()'(
[ ]ccc
cc
ccc
EE
EED
τωωφωφ
ωω
ωωω
ωω −−Ω−⋅
Ω−+
+Ω−=
)()(cos
)()(2
)()()(22
4.4.b SPIDER
[ ]ccc
cc
ccc
EE
EED
τωωφωφ
ωω
ωωω
ωω −−Ω−⋅
Ω−+
+Ω−=
)()(cos
)()(2
)()()(22
4.4.b SPIDER
Die Information ist also nun im Unterschied der Peaks zu enthalten. Man erhält:
Spectrometer
SHGcrystal
Filter
FocusingLens LensDelay
Line
DelayLine
Grating
GratingBS BS
M
BS
BS
MichelsonInterferometer
Pulse Stretcher
Input
Aperture
Alternativ zum Michelson Interferometer genügt bereits eine Glasplatte als Verzögerungseinheit.
4.4.b SPIDER Aufbau
4.5 Vergleich:FROG und SPIDER
• FROG:– Redundant: N² Daten, wo nur 2N benötigt werden: àSicher, aber langsam.
– Erkennt aufgrund der Symetrieeigenschaft der Autokorrelation Fehlkalibrierungen.
• SPIDER:– Schnell– Kein Referenzsignal nötig.– Funktioniert nur mit SHG, d.h. Wellenlängen über
410nm.
Measuring the interferogram is equivalent to measuring the spectrum.
Pulse Measurement in the Time Domain: The Michelson Interferometer
= E(t) 2 + E(t − τ ) 2 + 2 Re[E(t)E*(t − τ )] dt−∞
∞
∫
VMI(τ ) ∝ E(t) + E(t − τ ) 2 dt−∞
∞
∫
VMI(τ ) ∝ 2 E(t) 2 dt−∞
∞
∫ + 2Re E(t)E*(t −τ ) dt−∞
∞
∫∝ Pulse energy
(boring)Field autocorrelation
(maybe interesting, but…) The FT of the field autocorrelation is just the spectrum!
Beam-splitter
Inputpulse
Delay
Slow detector
Mirror
Mirror
E(t)
E(t–τ)
VMI(τ )
An iterative Fourier-transform algorithm finds the pulse intensity and phase
Esig(t,τ) Esig(t,τ) ∝ E(t) |E(t-τ)|2
FFT with respect to t
Esig(ω,τ)Replace the magnitude of Esig(ω,τ) with ¦I FROG(ω,τ)
Inverse FFT with respect to ω
Esig(ω,τ)
Constraint #1: mathematical form of optical nonlinearity
Constraint #2: FROG trace data
Start with noise
Esig(t,τ)
E(t)
Esig(t,τ)
E(t)
˜ ′ E sig (ω,τ )˜ E sig(ω ,τ )
′ E sig(t ,τ )
rithm
Find ′ E sig(t,τ ) ∝ E(t) E(t − τ ) 2
′ E sig(t ,τ ) such that
and is as close as possible to Esig(t,τ)
DeLong and Trebino, Opt. Lett., 19, 2152 (1994)
Code is available commercially from
Femtosoft Technologies.
Frequency-Resolved Optical Gating
Esig(t,τ) ∝ E(t) |E(t-τ)|2
E(t-τ)E(t)
time0 τ
Signal pulse
2τ/3
The signal pulse reflects the color of the gated pulse, E(t), at the time 2 τ/3.
|E(t-τ)|2 contributes only intensity, not phase (i.e., color), to the signal pulse.
E(t) contributes phase (i.e., color),
to the signal pulse.
OG
How SPIDER works
t
Chirped pulse
tt
ω ω
0ωω0 +δω
ττThis pulse sums with the blue part of the chirped pulse.
This pulse sums with the green part of the chirped pulse.
Two replicas of the pulse are produced, each frequency shifted by a different amount.
Performing SI on these two pulses yields the difference in spectral phase at nearby frequencies (separated by δω). This yields the spectral phase.
Input pulses Output pulses
Iaconis and Walmsley, JQE 35, 501 (1999).
SFG
SPIDER: extraction of the spectral phase
Measurement of the interferogram
Extraction of their spectral phase difference using spectral interferometry
ϕ (ω + δω ) − ϕ(ω ) )(ωϕ
Extraction of the spectral phase
Integration of the phase
L. Gallmann et al, Opt. Lett., 24, 1314 (1999)
Experimental measurement:
