Computer Algebra für BrücheComputer Algebra für Brüche------

angepasst an Ausbildungszweckeangepasst an Ausbildungszwecke

– Projekt

Stefan Karnel Institut für Mathematik

Institut für Softwaretechnologiean der TU-Graz

Fragestellung Fragestellung Wie rechnet man es

per Hand bzw. wie erklärt man es im Unterricht?

Was macht die Mathematik-Software?

Wie kann man beides vereinen?

Schüler

SoftwareComputer

Lehrer

Rechnen mit BrüchenRechnen mit BrüchenKürzen

– ggT von Zähler und NennerAuf gleichen Nenner bringen

– kgV von den zwei Nennern– kgV(a,b)=a*b / ggT(a,b)

Ausmultiplizieren

(im Weiteren wird nur das Kürzen betrachtet)

Wie von Hand Anwendung von bekannten Rechenregeln

Umformen

Übliche Methode Übliche Methode (1)(1)

dbbcda

dc

ba

cbda

dcba

Übliche Methode Übliche Methode (2)(2)

,1

1

01 fallsnur gilt ,11

1

²²,1²1

,)1²(2

12

,12²2122

1,2²222

x

xcb

caba

xxx

bababaxx

cb

caba

xx

cbacabaxx

aaxx

Rechenschritt Regeln

!

CAS CAS (1)(1)

Euklidscher Algorithmus Modularer Algorithmus Faktorisierungsalgorithmus Vorteil:

– schnelle Berechnung– „leicht“ zu implementieren

Nachteil: – keine Zwischenschritte – keine Einschränkungen !!!

CAS CAS (2)(2)

z.B. Mathematica

keine Zwischenschrittekeine Einschränkungen wie

01.. xBz

VereinigungVereinigungGegeben sei ein BruchBerechne den ggT von Zähler und NennerBringe den Zähler mittels Rewriting in die

die ursprüngliche Form (Rückwärtsrechnung)

Zeige die einzelnen Schritte an

- Projekt

-Projekt -Projekt (1)(1)

Kernstück ggT-AlgorithmusVerwendet wird der modulare ggT-

Algorithmus für multivariate PolynomeEineVerallgemeinerung des euklidschen

Algorithmus auf die Menge der multivariaten Polynome ist nicht möglich, da diese Menge kein euklidscher Ring ist

-Projekt -Projekt (2)(2)

Man führt, durch Einsetzen von Werten für die Hauptvariable, die multivariaten Polynome auf Polynome mit einer geringeren Anzahl von Variablen

Der univariate Fall wird durch einen eigenen Algorithmus (z.B. Euklid) berechnet

Mit Hilfe des chinesischen Restsatzen werden die Zwischenergebnisse zum ggT zusammen gefügt.

-Projekt -Projekt (3)(3)

Algorithmus stützt sich auf folgenden Lemma:

r-yr-yr-y

cb

ca

xr-yr-yx

2n1

c~)b,gcd(agilt dann teilt, und von Resultante dienicht r -y Wenn b)

b))(gcd(a,deg))b,(gcd(adeg a)b).gcd(a,c sei Weiters teilt.Polynomebeiden

der zienten Leitkoeffi dienicht r -y dass so, Ζr und ][y][x],...xΖ[xba, Sei

- Beispiel - Beispiel (4)(4)

Rechenschritt Rewriting - Regeln

2²222

xx

122

122xx

x

1222222

xxxx

12212222

xxxxx

12222

xx

x

222222

xxxxx

20222

xxx

2222

xxx

a * 1 = a

a ( b + c ) = a b + a c

( b + c ) a = b a + c a (2x)

a * 1 = a (2x)

a – a = 0

a + 0 = a

a * a = a²

a = a * 1

a b + a c = a ( b + c )

b a + c a = ( b + c ) a (2x)

a = a * 1 (2x)

0 = a – a

a = a + 0

a² = a * a

falls 2 x – 2 == 0

ZusammenfassungZusammenfassungComputer Algebra braucht ein sehr

tiefgreifendes Wissen Die Algorithmen werden immer

allgemeiner  komplexer       Besondere Herausforderung die

algebraischen Umformungen so zu präsentieren, wie sie gelehrt werden

ist der erste Schritt in diese Richtung

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