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Computerpraktikum Lineare und Kombinatorische

Optimierung

26. – 29. April 2011

Melanie Bestle – Lehrstuhl für Angewandte Geometrie und Diskrete Mathematik WS 2010/11

0. Organisatorisches

Melanie Bestle – Lehrstuhl für Angewandte Geometrie und Diskrete Mathematik 2

Alle Materialien des Praktikum unter

https://www-m9.ma.tum.de/WS2010/CPOpt


0. Organisatorisches

Material

Informationen zu Mosel und Xpress:

• Xpress Help in der Xpress IVE

• Dokumentationen im Xpress-Installationsordner

<xpressmp>\docs

1. Einführung in Xpress-MP


• Softwarepaket zur Linearen und Gemischt-Ganzzahligen Optimierung

• Komponenten:

• Optimizer (primaler und dualer Simplex, Barrier, MIP, Presolver, Heuristiken)

• Programmier- und Modellierungssprache Mosel

• Bibliotheken zur Einbindung von Mosel in C/C++/Java/VB

• Entwicklungstools (Debugger, Profiler, IDE)

• Weitere Module (Datenzugriff, Graphik, …)



Was ist Xpress-MP?



Was ist Xpress-MP?

Modell

Ausgabe

Mosel Optimizer

Daten

Interaktion

Lösung



Xpress IVE

Tool Bar

Project Bar

Editor Run Bar

Info Bar

• zeigt alle Variablen, Funktionen … an

Nach einem Programmdurchlauf:

• Zeigen auf einen Variablennamen (auch im Editor) Variablenwert in einem Popup angezeigt

• Doppelklick auf einen Variablennamen Variablenwert in einem Fenster angezeigt



Project Bar

• Output/Input: Ausgabe

• Stats: Statistiken zur Optimierung

• Matrix: Darstellung der Nebenbedingungsmatrix

• Solutions: bisher gefundene Lösungen

• BB tree: Branch & Bound Baum



Run Bar

Knoten mit ganzzahliger Lösung

Knoten in dem verzweigt wird

abgeschnittener Knoten

unzulässiger Knoten

2. Einführung in Mosel




Modellaufbau

model ModelName

options ! Optionen

uses ! optionale Bibliotheken

parameters

! optionale Parameter

end-parameters

declarations

! Variablendeklaration

end-declarations

! Programmcode

end-model

• Modell zwischen model und end-model

• jedes Modell muss einen Modellnamen haben

• ! leitet Kommentare ein



Modellaufbau

model ModelName

! ...

end-model

Beispiel:

• durch options eingeleitet

• am Modellanfang

• Vereinfachung der Fehlersuche:

• Option noimplicit : jede Variable muss deklariert werden

• Option explterm : jeder Befehl muss mit ; abgeschlossen werden



Optionen

model ModelName

options noimplicit, explterm;

! ...

end-model

Beispiel:

• durch uses eingeleitet

• am Modellanfang

• Bibliothek "mmxprs" : Xpress-Optimizer



Bibliotheken

model ModelName

options noimplicit, explterm;

uses "mmxprs";

! ...

end-model

Beispiel:

• Parameter zwischen parameters und

end-parameters

• definiert Parameter, die auch nach dem Kompilieren noch gesetzt werden können



Parameter

parameters

datafile = "../data.dat";

end-parameters

Beispiel:

• Variablen müssen vor Verwendung deklariert werden

• Variablendeklaration zwischen declarations und end-declarations

• Modell kann mehr als einen Deklarationsblock enthalten

• einfache Variablentypen:

boolean true oder false

integer ganze Zahlen

real „reelle“ Zahlen

string Zeichenketten



Variablendeklaration

• Mosel-eigene Variablentypen:

mpvar Entscheidungsvariable

linctr linearer Ausdruck

• Entscheidungsvariablen sind implizit reellwertig und ≥ 0



Variablendeklaration

declarations

n: integer;

x, y: mpvar;

end-declarations

Beispiel:



Modellierung

Aufgabe 1: Veredelung von Rohöl

Crack Prozess 1

2 l Schweröl 2 l mittleres Öl 1 l Leichtöl

Kosten: 3 €

Nebenbedingungen:

mind. 3 l Schweröl 5 l mittleres Öl 4 l Leichtöl

Zielfunktion: minimiere Kosten

10 l Rohöl

Crack Prozess 2

1 l Schweröl 2 l mittleres Öl 4 l Leichtöl

Kosten: 5 €

x1 x2

im mathematischen Modell:

Implementierung:



Nebenbedingungen

2*x1 + x2 >= 3;

• Operatoren: <= , = , >=

• Nebenbedingungen können als Variablen abgespeichert werden (Zuweisung mit := ) späterer Zugriff möglich



Zielfunktion

minimize(3*x1 + 5*x2);

• auch Zielfunktionen können als Variablen abgespeichert werden

• maximize() bzw. minimize() starten die Optimierung

erst am Modellende

(Bibliothek "mmxprs" muss eingebunden werden!)

im mathematischen Modell:

Implementierung:

• Befehle write() und writeln()

• Werte der Entscheidungsvariablen und linearen Ausdrücke:

getsol(<variable>) oder <variable>.sol

• Wert der Zielfunktion: getobjval

• Formatierung der Ausgabe:

strfmt(<variable>,<i1>,<i2>)



Ausgabe

reservierte Vorkommastellen

Nachkommastellen

• model und end-model umschließen Modell

• uses zur Einbindung von Bibliotheken

• declarations und end-declarations umschließen Variablendeklaration

• maximize() und minimize() starten die Optimierung

• write() und writeln() zur Ausgabe

• getsol() gibt Lösung zurück

• getobjval gibt Zielfunktionswert zurück



Zusammenfassung

3. Variablentypen



boolean true oder false

integer ganze Zahlen

real „reelle“ Zahlen

string Zeichenketten

• Mosel-eigene Variablentypen:

mpvar Entscheidungsvariable

linctr linearer Ausdruck


3. Weitere Variablentypen

Wiederholung



Entscheidungsvariablen

• Wertebereich von Entscheidungsvariablen:

(weitere siehe Mosel-Dokumentation)

declarations

x : mpvar;

end-declarations

x is_integer;

Beispiel:

Wertebereich

automatisch

is_binary

is_integer

is_free

• statische Mengen:

• dynamische Mengen:

• Deklaration:

• Zuweisung:

• Umwandlung in statische Menge:

• Operatoren: + (Vereinigung), - (Differenz), * (Schnitt)



Mengen

declarations

<setname> : set of <vartype>;

end-declarations

<setname> := {<setcontent>};

finalize(<setname>);

declarations

<setname> = {<setcontent>};

end-declarations



Mengen

! statische Menge

declarations

s1 = {1,2,3,7};

end-declarations

! dynamische Menge

declarations

s2 : set of string;

end-declarations

s2 := {"Bli", "Bla", "Blub"};

finalize(s2);

Beispiel:

• spezielle Mengen, effizientere Speichernutzung

• statische Intervalle:

• dynamische Intervalle:

• Deklaration:

• Zuweisung:

• Umwandlung in statisches Intervall:



Intervalle

declarations

<rangename> : range;

end-declarations

<rangename> := <lb>..<ub>;

finalize(<rangename>);

declarations

<rangename> = <lb>..<ub>;

end-declarations



Intervalle

! statisches Intervall

declarations

r1 = 3..7;

end-declarations

! dynamische Menge

declarations

r2 : range;

end-declarations

r2 := 3..7;

finalize(r2);

Beispiel:

• statische Felder:

• dynamische Felder:

• Deklaration:

• Zuweisung:

• Zugriff:



Felder

<arrayname> :: (<indexset>) [<arraycontent>];

declarations

<arrayname> = [<arraycontent>];

end-declarations

declarations

<arrayname> : array(<indexset>) of <vartype>;

declarations

<arrayname>(<index>);



Felder

! dynamisches Feld

declarations

s = {"Bli", "Bla", "Blub"};

a : array(s) of integer;

end-declarations

a :: (["Bla", "Blub", "Bli"]) [1,2,3];

writeln(a("Blub"));

Beispiel:

• insbesondere können Intervalle Indexsets sein vereinfachte Zuweisung :

<arrayname> :: [<arraycontent>];

! Output: 2

• mehrdimensionale Felder:

• Deklaration:

• Zuweisung:

• Zugriff:



Mehrdimensionale Felder

declarations

<arrayname> : array(<indexset1>,<indexset2>)

of <vartype>;

declarations

<arrayname> :: (<indexset>,<indexset2>)

[<arraycontent>];

<arrayname>(<index1>, <index2>);



Mehrdimensionale Felder

! mehrdimensionales dynamisches Feld

declarations

s = {"Bli", "Bla", "Blub"};

r = 1..2;

a : array(s,r) of integer;

end-declarations

a :: (["Bli", "Bla", "Blub"],[1,2]) [1,2,3,4,5,6];

writeln(a("Blub",1));

Beispiel:

! Output: 5

• Strukturen fassen Variablen verschiedener Variablentypen zusammen

• Deklaration:

• Zugriff auf einen Teil der Struktur: <recordname>.<varname>

• Zuweisung: jeden Teil der Struktur einzeln



Strukturen

declarations

<recordtyp> = record

! Deklaration der Teile der Struktur

analog Deklarationsblock

<varname> : <vartype>;

end-record;

<recordname> : <recordtyp>;

end-declarations



Strukturen

declarations

tier = record

id : integer;

tierlaut : string;

end-record;

kuh, schaf : tier;

end-declarations

kuh.id := 1; kuh.tierlaut := "Muh";

schaf.id := 2; schaf.tierlaut := "Maeh";

Beispiel:

4. Kontrollstrukturen


• if-Anweisung:

• Bedingungen: < , <= , = , >= , > , ...

• Verknüpfung von Bedingungen: and , or



if-Anweisungen

if (<condition>) then

<commands>

elif (<condition>) then ! optional

<commands>

else ! optional

<commands>

end-if

• für Fallunterscheidungen mit vielen Fällen

• testet auf Gleichheit

• case of-Anweisungen:

• mehrere Anweisungen durch do … end-do einschließen



case-Anweisungen

case <linke Seite> of

<rechte Seite 1> :

<command>

<rechte Seite 2> :

<command>

! ...

else ! optional

<commands>

end-case

• forall-Schleife:

• Vereinfachung bei nur einer Anweisung: forall (<index> in <indexset>) <command>

• Summation über mehrere Indexmengen möglich:

effizientere Behandlung als bei Schachtelung



forall-Schleifen

forall (<index> in <indexset>) do

<commands>

end-do

forall (<index1> in <indexset1> ,

<index2> in <indexset2> ) do

<commands>

end-do

• Bedingungen an den Schleifenindex möglich:

effizientere Behandlung als bei Schachtelung



forall-Schleife

forall (<index> in <indexset> | <condition>) do

<commands>

end-do

forall (i in 1..10, j in 1..100 | i^2 = j) do

writeln(j, " ist das Quadrat von ", i);

end-do

Beispiel:

• while-Schleife:

• Vereinfachung bei nur einer Anweisung: while (<condition>) <command>

• repeat-Schleife:



while- und repeat-Schleifen

while (<condition>) do

<commands>

end-do

repeat

<commands>

until <condition>

• spezielle forall-Schleifen

• Implementierung der mathematische Summe

mittels sum(<index> in <indexset>) <command>;

• auch Summation über mehrere Indexmengen und unter Nebenbedingungen möglich



Summen

5. Umgang mit Daten


• Modell und Daten trennen

• Daten aus Textdateien einlesen und in Textdateien ausgeben

• Dateinamen als Parameter

Dateiname kann geändert werden, ohne das Modell neu zu kompilieren


5. Umgang mit Daten

Warum?

• Daten einlesen mittels initializations from Block

• unterscheiden sich Variablenname in Modell und Datendatei:

<modellvarname> as "<datavarname>";

• Mengen, die Indexmengen von Feldern sind, werden automatisch eingelesen


5. Umgang mit Daten

Daten einlesen

initializations from "<filename>"

<varname>; ! ...

end-initializations


5. Umgang mit Daten

Daten einlesen

parameters

datafile = "daten.dat";

end-parameters

declarations

s1, s2: set of string;

a: array(s1,s2) of integer;

end-declarations

initializations from datafile

a;

end-initializations

Beispiel:

• Formatierung der Daten:


• Mengen:

• Felder:

• Elemente können durch Leerzeichen oder Komma getrennt werden

• Eingaben nicht durch ein Semikolon abschließen!


5. Umgang mit Daten

Datendatei

"<varname>" : <value>

"<setname>" : [<element1> <element2> ...]

"<arrayname>" : [(<index1>) <element1>

(<index2>) <element2> ...]


5. Umgang mit Daten

Datendatei

! Datenfile daten.dat

"s1": ["Bli", "Bla", "Blub"]

"s2": ["Muh", "Maeh"]

"a": [("Bli" ,"Muh") 1, ("Bli" ,"Maeh") 2,

("Bla" ,"Muh") 3, ("Bli" ,"Maeh") 4,

("Blub","Muh") 5, ("Blub","Maeh") 6]

Beispiel:

• Datenausgabe mittels initializations to Block

• sollen Variablen in der Datendatei unter anderem Namen gespeichert werden:

<modellvarname> as "<datavarname>";


5. Umgang mit Daten

Datenausgabe

initializations to "<filename>"

<varname>; ! ...

end-initializations

6. Benutzergraph


• zur graphischen Veranschaulichung der Lösung

• einzubindende Bibliothek: "mmive"

• es ist nur ein einziger Benutzergraph möglich aber: in den Graphen kann in mehreren Ebenen gezeichnet werden

• Ausgabe des Benutzergraphen in der „Run Bar“, Registerkarte „User graph“


6. Benutzergraph

Grundlagen

• speichere jede Ebene als Variable ab

um die graphischen Elemente (Punkte, Linien, ...) den einzelnen Ebenen zuordnen zu können

• Erstellen einer neuen Ebene:

• alle Elemente einer Ebene haben dieselbe Farbe

• Farben: IVE_BLACK, IVE_BLUE, IVE_GREEN, usw. oder Funktion IVE_RGB()


6. Benutzergraph

Ebenen

declarations

<plotvarname> : integer;

end-declarations

<plotvarname> := IVEaddplot("<plotlabel>",<color>);

• Beschriftung:

• Punkt:

• Linie:

• Pfeil:


6. Benutzergraph

Elemente

IVEdrawpoint(<plotvarname>,<x>,<y>);

IVEdrawlabel(<plotvarname>,<x>,<y>,<text>);

IVEdrawline(<plotvarname>,<x1>,<y1>,

<x2>,<y2>);

IVEdrawarrow(<plotvarname>,<x1>,<y1>,

<x2>,<y2>);

7. Prozeduren und Funktionen


• Mosel unterscheidet zwischen Prozeduren und Funktionen

• Prozeduren haben keinen Rückgabewert

• Funktionen haben einen Rückgabewert

• Prozeduren/Funktionen müssen vor ihrem ersten Aufruf deklariert werden

• Prozeduren/Funktionen können auf (globale) Modellvariablen zugreifen



Was ist der Unterschied?

• Deklaration:

• Aufruf: <procedurename>(<varname>);



Prozeduren

procedure printSolution (x : array(r : range) of mpvar,

obj : linctr)

forall(i in r) writeln("x(", i, ") = ", x(i).sol);

writeln("obj = ", obj.sol);

end-procedure

printsolution(x, z);

procedure <procedurename> (<inputname> : <inputtype>) ! Anweisungen

end-procedure

Beispiel:

• Deklaration:

• Aufruf: <functionname>(<varname>);



Funktionen

function summe (a : real, b : real) : real

returned := a+b;

end-function

c := summe(1,2);

function <functionname> (<inputname> : <inputtype>): <outputtype> ! einfacher Variablentyp

! Anweisungen

returned := <output>; ! Rückgabe

end-function

Beispiel:

„Prozeduren/Funktionen müssen vor ihrem ersten Aufruf deklariert werden“

Alternative:

• Prozedur/Funktion vor dem ersten Aufruf ankündigen

(kein Semikolon am Ende!)

• erst am Modellende deklarieren



Deklaration

forward procedure <procedurename> (<inputname> : <inputtype>)

forward function <functionname> (<inputname> : <inputtype>):

<outputtype>

8. Optimizer Modul


• das was Xpress ausmacht

• einzubindende Bibliothek: "mmxprs„

• Bereits bekannte Funktionen des Moduls:

maximize()

minimize()

getsol()

getobjval


8. Optimizer Modul

Grundlagen

• liefert den Lösungsstatus:


8. Optimizer Modul

getprobstat

declarations

status : string;

end-declarations

case getprobstat of

XPRS_OPT: status := "Optimum found";

XPRS_UNF: status := "Unfinished";

XPRS_INF: status := "Infeasible";

XPRS_UNB: status := "Unbounded";

XPRS_OTH: status := "Failed";

else status := "???";

end-case

• Funktionen:

• Parameter:

XPRS_PRESOLVE Presolver

XPRS_MIPPRESOLVE Presolver für MIPs

XPRS_HEURSTRATEGY Heuristiken für MIPs

XPRS_CUTSTRATEGY Schnittebenengenerierung

XPRS_VERBOSE Output des Optimizers

XPRS_MIPLOG zusätzlicher Output bei MIPs

XPRS_THREADS Anzahl Threads (Parallel Computing)

und viele mehr …


8. Optimizer Modul

Optimierungsparameter

getparam(<parametername>)

setparam(<parametername>,<value>)

• Eingriff in den Ablauf des Optimizers

• Funktionen:

• Callback gibt an, wann die Prozedur/Funktion aufgerufen wird

• Callbacks:

XPRS_CB_CUTMGR Schnittebenengenerierung

XPRS_CB_CHGBRANCH Branchingentscheidung

und viele mehr …


8. Optimizer Modul

Callbacks

setcallback(<callbackname>,<procedurename>)

setcallback(<callbackname>,<functionname>)

• wird in Knoten aufgerufen, die nach der Lösung der Relaxation nicht abgeschnitten wurden und nicht unzulässig sind

• ruft Funktion auf

• Übergabewerte: keine

• Rückgabewert: Boolean

true Knoten muss erneut bearbeitet werden (inkl. erneutem Aufruf des Callbacks)

false Knoten muss nicht erneut bearbeitet werden


8. Optimizer Modul

Callback CB_CUTMGR

• Schnittebenen hinzufügen:

cutid ID um den Schnitt wiederfinden zu können

type Art der (Un)gleichung:

CT_LEQ kleiner gleich CT_EQ gleich CT_GEQ größer gleich

linexp Ungleichung

• Reserviere am Modellanfang zusätzliche Zeilen in der Matrix:

8. Optimizer Modul

Callback CB_CUTMGR

addcut(cutid : integer, type : integer,

linexp : linctr)

setparam("XPRS_EXTRAROWS", MAX_CUTS)

8. Optimizer Modul

Callback CB_CUTMGR

! Reserviere Zeilen in der Matrix

MAX_CUTS := 1000;

setparam("XPRS_EXTRAROWS", MAX_CUTS);

! kündige Funktion an

forward function cb_node : boolean

! setze Callback

setcallback(XPRS_CB_CUTMGR, "cb_node");

! ... maximize()

function cb_node : boolean

! ...

addcut(1, CT_LEQ, x(1))

end-function

Beispiel:

• wird in Knoten aufgerufen, in denen verzweigt werden soll

• ruft Prozedur auf

• Übergabewerte:

e Index der Variable, auf der verzweigt wird

u Teilproblem, das zuerst bearbeitet wird

d geschätzte Zielfunktionswertverringerung

(Achtung: Optimizer beginnt Variablenindizierung mit 0)


8. Optimizer Modul

Callback CB_CHGBRANCH

(e : integer, u : integer, d : real)

• Beeinflussen der Branching Entscheidung:

x Entscheidungsvariable, auf der verzweigt wird

u, d wie oben


8. Optimizer Modul


setucbdata(x : mpvar, u : integer, d : real)


8. Optimizer Modul


! kündige Funktion an

forward procedure cb_chgbranch (e : integer, u : integer,

d : real)

! setze Callback

setcallback(XPRS_CB_CHGBRANCH, "cb_chgbranch");

! ... maximize()

procedure cb_chgbranch (e : integer, u : integer, d : real)

! ...

setucbdata(x(e), u, d)

end-procedure

Beispiel:

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