ISTRON-Tagung @ 9. November 2001

Gliederung

1. Situation in Hamburg

2. Unterrichtsmaterial

3. Ausblick

ComputertomographieWinfried Euba

Lösungsverfahren

• 1. SCHRITT (INITIALISIERUNG):

Jede Variable wird mit einem (an sich beliebigen) Startwert belegt.

Dazu teilen wir die Zeilensummen der ersten beiden Gleichungen, in denen bereits alle Variablen

vorkomm en, also

x1 = x2 = x3 = 2,5 und x4 = x5 = x6 = 2,4 .

• 2. SCHRITT:

Die bereits belegten Variablen x1 und x4 werden in Gleichung 3 eingesetzt und ihre Summe mit dem

Sollwert verglichen:

Sum me: 2,5 + 2,4 = 4,9 Sollwert: 2,6

Die Differenz 4,9 ! 2,6 = 2,3 wird gleichmäßig auf die betroffenen Variablen aufgeteilt, sodass diese

Gleichung das erwünschte Ergebnis liefert:

x1 = 2,5 ! 1,15 = 1,35

x4 = 2,4 ! 1,15 = 1,25

• 3. SCHRITT:

Wir verfahren analog mit den folgenden Gleichungen.

Dabei werden jeweils die aktuellen Belegungen der Variablen verwendet.

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LösungsverfahrenGlei-

chungx1 x2 x3 x4 x5 x6

12,5 2,5 2,5

22,4 2,4 2,4

31,35 1,25

42,3 2,2

53,85 3,75

61,07

(gerundet)

1,92

(gerundet)

72,325 3,775

83,95

(gerundet)

2,02

(gerundet)

92,585

(gerundet)

1,51

(gerundet)

exakt 1 2,5 4 1,6 2 3,6

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Literatur

• Reichel, ZöchlingTausend Gleichungen - und was nun? - Computertomographie als Einstieg in ein aktuellesThema des MathematikunterrichtesDdM 4, 1990, (245-270)

• Reichel, ZöchlingIteratives Lösen größerer Linearer GleichungssystemeMNU 47/1 (15.1.1994), (20-25)

• Kirchgraber, Bettinaglio, WeberComputer-TomographieISTRON @ Band 6, S. 80 - 85 (2000, Franzbecker, Hildesheim)

• Reichel, Müller, Hanisch, LaubEin Ausblick zum Thema „Bestimmtes Integral“ - ComputertomographieLehrbuch der Mathematik 8, S. 101f (3. Auflage 1999, öbv&hpt, Wien)

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Gewichtung der Aufgabenteile: a) 50%, b) 35%, c) 15%

Aufgabe Computertomographie(Vorabitur @ Zeit: 100 Minuten)

a) Bei der Betrachtung der Computertomographie traten Gleichungssysteme wie etwa das folgende auf:

a1) Beschreiben Sie das von uns verwendete Näherungsverfah-

ren und berechnen Sie einen Durchgang davon.

a2) Erläutern Sie, wann das Näherungsverfahren beendet wer-

den könnte.

a3) Erklären Sie die Bedeutung der obigen 11 Gleichungen im

mathematischen Modell der Computertomographie, wie es

im Unterricht besprochen wurde.

b) Betrachten Sie die folgende Definition:

Eine Funktion 5.5 : IRn )> IR heißt Norm, wenn gilt:

5X5 $ 0 für alle X 0 IRn und 5X5 = 0 genau dann, wenn X = 0° .

5k A X5 = *k* A 5X5 für alle k 0 IR, X 0 IRn.

5X+Y5 # 5X5+5Y5 für alle X,Y 0 IRn.

(Dreiecksungleichung)

Ein Beispiel ist 5X54 := *xi* (Maximumnorm)

b1) Berechnen Sie die N orm des Vektors (1, !3, 4 , !5), also .

b2) Geben Sie das Abbruchkriterium für das Näherungsverfahren aus Aufgabenteil a2) mit

Hilfe der Maximumnorm an.

b3) Überlegen Sie, ob die Norm eine lineare Abbildung von IRn nach IR ist und begründen Sie

Ihre Entscheidung.

c) Wir haben das diskrete mathem atische Modell für die Computertomographie auch als Verbindung

der beiden Themen Analysis und Lineare Algebra betrachtet.

Erläutern Sie, wo sich bei unserem Modell Aspekte der Analysis, wo Aspekte der Linearen Algebra

erkennen lassen.

Lösungsvorschlag @ Aufgabe Computertom ographie Seite 1 (von 2)

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a1) Wir verteilen die rechte Seite der ersten Zeile auf die Variablen, also

Zeile 1 x1 = x2 = x3 = 7,2 / 3 = 2,4 und

Zeile 2 x4 = x5 = x6 = 6,3 / 3 = 2,1.

Dann setzen wir die gefundenen Näherungslösungen ein und verteilen den sich dadurch ergeben-

den Fehler inklusive Vorzeichen jeweils auf die Variablen:

Zeile 3 2,4 + 2,1 = 4,5 statt 2,6. Fehler: !1,9; verteilt auf 2 Variable ergibt jeweils !0,95:

x1 = 2,4 ! 0,95 = 1,45 und x4 = 2,1 ! 0,95 = 1,15.

Zeile 4 2,4 + 2,1 = 4,5 statt 6,4. Fehler: 1,9; verteilt auf 2 Variablen ergibt jeweils 0,95:

x2 = 2,4 + 0,95 = 3,35 und x5 = 2,1 + 0,95 = 3,05.

Zeile 5 2,4 + 2,1 = 4,5 wie gewünscht. x3 und x6 bleiben daher unverändert.

Zeile 6 3,35 + 2,4 + 1,15 = 6,9 statt 7,6. Fehler: 0,7 / 3 ist 0,233:

x2 = 3,583 x3 = 2,633 x4 = 1,383.

Zeile 7 1,45 + 3,05 + 2,1 = 6,6 statt 5,9. Fehler: !0,7 / 3 ist !0,233:

x1 = 1,217 x5 = 2,817 x6 = 1,867.

Zeile 8 1,217 + 2,817 = 4,034 statt 3,7. Fehler: !0,334 / 2 ist !0,167:

x1 = 1,050 x5 = 2,650.

Zeile 9 3,583 + 1,867 = 5,45 statt 6,0. Fehler: 0,550 / 2 ist 0,275:

x2 = 3,858 x6 = 2,142.

Zeile 10 3,858 + 1,383 = 5,241 statt 5,3. Fehler: 0,059 / 2 ist 0,030:

x2 = 3,888 x4 = 1,413.

Zeile 11 2,633 + 2,650 = 5,283 statt 4,9. Fehler: !0,383 / 2 ist !0,192:

x3 = 2,441 x5 = 2,458.

Übersicht:

x1 x2 x3 x4 x5 x6

1. Näherung 1,050 3,888 2,441 1,413 2,458 2,142

exakte Lösung 1,1 3,8 2,3 1,5 2,6 2,2

<30>

a2) Das Näherungsverfahren kann beendet werden, wenn der relative Fehler für jede Komponente der

aktuellen N äherung hinreichend klein ist:

, wobei i die Komponente angibt (in unserem Beispiel 1 bis 6) und n die

aktuelle Num mer des Durchgangs ist. 0 ist eine hinreichend kleine

positive Zahl.<10>

a3) Die 6 Variablen stehen für sechs Flächenstücke, mit denen wir die gewünschte Fläche näherungs-

weise darstellen. Wir schicken (Röntgen-) Strahlung durch die Fläche und messen am Ende den

Verlust an Intensität. Dieser Verlust ist proportional zur Gesamt-Masse innerhalb der Fläche.

Die erste Gleichung beschreibt, dass der Strahl durch die Flächenstücke x1, x2 und x3 geht und dass

dabei ein Verlust von 7,2 auftritt. Analog geht es weiter: Die Einsen geben also an, durch welche

Stücke der Strahl geht, die rechte Seite ist jeweils der Verlust.

Die vielen Gleichungen kann man sich als Drehungen des Strahls in der gewünschten Ebene

vorstellen, die Ü berbestimmtheit des Systems erweist sich als günstig für unser Näherungsverfahren.<10>

<50%>

Lösungsvorschlag @ Aufgabe Computertom ographie Seite 2 (von 2)

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b1) = max {1, 3, 4, 5} = 5. <10>

b2) Sei X (n) = (x1(n)* x2

(n)* ... * xm(n)), das ist der Vektor, dessen Komponenten die n-ten Näherungen der

einzelnen Variablen sind.

Dann kann man abbrechen, wenn .

Eine Division von Vektoren ist nicht definiert, die Division durch 2X (n)24 macht den Bruch kleiner

und ist daher nicht geeignet. Wollen wir den relativen Fehler nachempfinden, so wäre dieses

Kriterium denkbar:

<15>

b3) Die Norm ist keine lineare Abbildung, da die dritte Bedingung eine Gleichung sein müsste:

5X+Y5 = 5X5+5Y5 für alle X,Y 0 IRn.

Sie ist jedoch positiv definit und die Regel für die Multiplikation (Skalar mal Vektor) kann bei etwas

gutem Willen als linear angesehen werden. <10>

<35%>

c) Aspekte der Analysis

Das Lösen eines Gleichungssystems AX = Y kann auch als Suche nach einer Nullstelle AX ! Y = 0°

interpretiert werden.

Das oben beschriebene Näherungsverfahren erinnert an das bei der Milchtüten-Aufgabe verwendete.

Abstandmessen um zu entscheiden, wann das Näherungsverfahren abgebrochen werden kann.

Aspekte der Linearen Algebra

Gleichungssysteme, besonders die Frage, ob ein System lösbar ist.

Bei der Computertomographie treten überbestimmte Systeme auf, so dass sich dort diese Frage ganz

speziell stellt. Wir haben dieses Problem aber nicht behandelt.

Norm (siehe Teil b) zum Messen von Abstand.

<15%>