Crashkurs Versicherungsmathematik versicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge

Peter Schramm, Aktuar DAV www.pkv-gutachter.de

Crashkurs Versicherungsmathematikversicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge

• Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens- und Rentenversicherung

• Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Mit Beispielen zur Berufsunfähigkeitsversicherung

• Überschussbeteiligungen – Mit Rechenbeispielen zu Zinsüberschüssen

• Beitragskalkulation der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell

• Beitragsanpassungen in der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell zur Veränderung der Rechnungsgrundlagen

• Beitragsentwicklung und Maßnahmen zur Limitierung

• Grenzen des Kalkulationsverfahrens der Krankenversicherung


Crashkurs VersicherungsmathematikBeitragskalkulation der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell

• Gesetzliche Grundlagen• Berechnungsgrundlagen• Beitragsberechnung und Alterungsrückstellung• Finanzierung der Abschlusskosten


Crashkurs VersicherungsmathematikBeitragskalkulation der Krankenversicherung – Gesetzliche Grundlagen

• Versicherungsaufsichtsgesetz• Kalkulationsverordnung

• Die Spartentrennung in der Schadenversicherung ist seit 1994 aufgehoben. Verbindlche Kalkulationsvorschriften können seitdem nur noch für die sogenannte substitutive Kranken-versicherung gelten, d. h. eine Krankenversicherung, die die gesetzliche Krankenversicherung zumindest teilweise ersetzen kann.

• Diese ist nach Art der Lebensversicherung – also mit Alterungsrückstellung – zu kalkulie-ren. Die Bestimmungen zur Kalkulation gelten darüber hinaus für jede Krankenversicherung, die nach Art der Lebensversicherung kalkuliert ist.

• Reine Zusatzversicherungen zur GKV, Krankenhaustagegelder, die freiwillige Pflegekran-kenversicherung,, Reisekrankenversicherungen u. a. sind keine substitutive Krankenversiche-rungen. Dennoch gelten die Kalkulationsbestimmungen hierfür ebenso, soweit diese Versicherungen mit Alterungsrückstellung kalkuliert sind.



Auszug Versicherungsaufsichtsgesetz§ 12Substitutive Krankenversicherung

(1) Soweit die Krankenversicherung geeignet ist, die gesetzliche ganz oder teilweise zu ersetzen (substitutive Krankenversicherung), darf sie im Inland nur nach Art der Lebensversicherung betrieben werden, wobei

1. die Prämien auf versicherungsmathematischer Grundlage unter Zugrundelegung von Wahrscheinlichkeitstafeln und anderen einschlägigen statistischen Daten, insbesondere unter Berücksichtigung der maßgeblichen Annahmen zur Invaliditäts- und Krankheitsgefahr, zur Sterblichkeit, zur Alters- und Geschlechtsabhängigkeit des Risikos und zur Stornowahrscheinlichkeit und unter Berücksichtigung von Sicherheits- und sonstigen Zuschlägen sowie eines Rechnungszinses zu berechnen sind,

2. die Alterungsrückstellung nach § 341f des Handelsgesetzbuchs zu bilden ist, ...

(5) Sofern die nicht substitutive Krankenversicherung nach Art der Lebensversicherung betrieben wird, gelten die Absätze 1 bis 4 entsprechend.



Auszug Versicherungsaufsichtsgesetz§ 12cErmächtigungsgrundlage

(1) Das Bundesministerium der Finanzen wird ermächtigt, durch Rechtsverordnung, für die nach Art der Lebensversicherung betriebene Krankenversicherung

1. die versicherungsmathematischen Methoden zur Berechnung der Prämien ein-schließlich der Prämienänderungen und der mathematischen Rückstellungen, namentlich der Alterungsrückstellung, insbesondere zur Berücksichtigung der maßgeblichen Annahmen zur Invaliditäts- und Krankheitsgefahr zur Pflegebedürf-tigkeit, zur Sterblichkeit, zur Alters- und Geschlechtsabhängigkeit des Risikos und zur Stornowahrscheinlichkeit, sowie die Höhe des Sicherheitszuschlags und des Zinssatzes und die Grundsätze für die Bemessung der sonstigen Zuschläge fest-zulegen, ...



Auszug Kalkulationsverordnung

Verordnung über die versicherungsmathematischen Methoden zur Prämien-kalkulation und zur Berechnung der Alterungsrückstellung in der privaten Krankenversicherung (Kalkulationsverordnung - KalV) vom 18. Nov. 1996

§ 1 Versicherungsmathematische Methoden in der Krankenversicherung

Versicherungsmathematische Methoden zur Berechnung der Prämien und Rück-stellungen in der nach Art der Lebensversicherung betriebenen Krankenversiche-rung sind die nach den anerkannten Regeln der Versicherungsmathematik unter Verwendung der in den §§ 2 und 4 bis 8 näher bezeichneten Rechnungsgrundla-gen erfolgenden Berechnungen der Prämien und der Alterungsrückstellungen nach Maßgabe der §§ 3, 10, 11, 13 und 16.


Crashkurs VersicherungsmathematikBeitragskalkulation der Krankenversicherung – Berechnungsgrundlagen

§ 2 Rechnungsgrundlagen (1) Rechnungsgrundlagen sind:

1. der Rechnungszins, 2. die Ausscheideordnung, 3. die Kopfschäden, 4. der Sicherheitszuschlag, 5. die sonstigen Zuschläge.

(2) Weitere Rechnungsgrundlagen sind die Krankheitsdauern und die Leistungstage, die Anzahl der Krankenhaus- und der Pflegetage, die Krankenhaus-, die Pflegehäufigkeiten, die Krankheits- und die Pflegekosten bezogen auf den Leistungstag sowie andere geeignete Rechnungsgrundlagen, die zur Festlegung der Kopfschäden oder Ausscheidewahrscheinlichkeiten erforderlich sind.

(3) Die Rechnungsgrundlagen sind mit ausreichenden Sicherheiten zu versehen.

§ 3 Gleiche Rechnungsgrundlagen Für die Berechnung der Prämie und der Alterungsrückstellung sind die gleichen Rechnungsgrundlagen zu verwenden.



§ 4 Rechnungszins Der Rechnungszins für die Prämienberechnung und die Berechnung der Alterungs-rückstellung darf 3,5 vom Hundert nicht übersteigen.

§ 5 Ausscheideordnung

Die Ausscheideordnung enthält die Annahmen zur Sterbewahrscheinlichkeit und sonstigen Abgangswahrscheinlichkeiten, die unter dem Gesichtspunkt vorsichtiger Risikoeinschätzung festzulegen und regelmäßig zu überprüfen sind.

§ 6 Kopfschäden (1) Kopfschäden sind die im Beobachtungzeitraum auf einen Versicherten entfallenden

durchschnittlichen Versicherungsleistungen, die für jeden Tarif in Abhängigkeit vom Geschlecht und Alter des Versicherten zu ermitteln sind. Der Beobachtungszeit-raum erstreckt sich auf zusammenhängende zwölf Monate ...

(2) Werden bei Neueinführung eines Tarifs andere als die vom Bundesaufsichtsamt für das Versicherungswesen veröffentlichten Wahrscheinlichkeitstafeln verwendet, so sind die ihnen zugrundeliegenden Annahmen durch geeignete Statistiken zu bele-gen. ...



(3) Bei der Ermittlung der rechnungsmäßigen Kopfschäden für einen bestehenden Tarif sind für die einzelnen Bestandsgruppen die tatsächlichen Schadenergebnisse früherer Jahre mit einzubeziehen und mathematischstatistische Verfahren zum Ausgleich von Zufallsschwankungen zu verwenden. Ist wegen geringer Bestands-größe der Ausgleich von Zufallsschwankungen auf diese Weise nicht zu erreichen, so sind Stütztarife zu verwenden. Liegen auch keine Stütztarife vor, so ist der Schadenbedarf nach mathematisch-statistischen Grundsätzen zu schätzen.

§ 7 Sicherheitszuschlag

In die Prämie ist ein Sicherheitszuschlag von mindestens fünf vom Hundert der Bruttoprämie einzurechnen, der nicht bereits in anderen Rechnungsgrundlagen enthalten sein darf.



§ 8 Grundsätze für die Bemessung der sonstigen Zuschläge (1) Die sonstigen Zuschläge umfassen

1. die unmittelbaren Abschlußkosten, 2. die mittelbaren Abschlußkosten, 3. die Schadenregulierungskosten, 4. die sonstigen Verwaltungskosten, 5. den Zuschlag für eine erfolgsunabhängige Beitragsrückerstattung, 6. den Zuschlag für den Standardtarif.

(2) Für die Bemessung der Zuschläge nach Absatz 1 sind die tatsächlichen Aufwendungen jeweils gesondert zu erfassen. Die Zuschläge sind so zu bemessen, daß sie die Aufwendungen rechnungsmäßig decken.

(4) In die Prämien dürfen mit Ausnahme der Zillmerung und des Zuschlages für den Standardtarif nur altersunabhängige absolute Kostenzuschläge eingerechnet werden; ...


Crashkurs VersicherungsmathematikBeitragskalkulation der Krankenversicherung – Beitragsberechnung

§ 10 Prämienberechnung (1) Die Prämienberechnung hat nach den anerkannten Regeln der Versicherungsma-

thematik für jede versicherte Person altersabhängig getrennt für jeden Tarif mit einem dem Grunde und der Höhe nach einheitlichen Leistungsversprechen unter Verwendung der maßgeblichen Rechnungsgrundlagen und einer nach Einzelaltern erstellten Prämienstaffel zu erfolgen. Jede Beobachtungseinheit eines Tarifs hat das Versicherungsunternehmen getrennt zu kalkulieren. Es dürfen nur risikoge-rechte Prämien kalkuliert werden. ...

(2) Abweichend von Absatz 1 dürfen Versicherte in der Altersgruppe der Kinder bis zur Vollendung des 16. Lebensjahres, in der Altersgruppe der Jugendlichen bis zur Vollendung des 21. Lebensjahres geführt werden. ... In Ausbildungstarifen können Eintrittsaltersgruppen gebildet werden, die höchstens fünf Eintrittsalter umfassen.

(3) Planmäßig steigende Prämien dürfen für Versicherte kalkuliert werden, die das 21. Lebensjahr noch nicht vollendet haben, sowie in Ausbildungstarifen bis zum vollen-deten 34. Lebensjahr der Versicherten. Für die Prämienberechnung des Neuzu-ganges sind die Formeln des Abschnitts A des Anhangs I oder andere geeignete Formeln, die den anerkannten Regeln der Versicherungsmathematik entsprechen, zu verwenden.



• Sterbetafel qx und Stornotafel wx ergeben als Ausscheidewahrscheinlichkeiten

qx + wx die Ausscheideordnung der Lebenden lx – „nach Art der Lebensversicherung“:

• lx+1 = lx (1 – qx – wx) mit l20 = 100.000• Der Rechnungszins i =3,5 % ergibt den Diskontierungsfaktor v = 1 / (1+i)• Die diskontierten Lebenden:

• Dx = lx vx

• Die Rentenbarwerte ergeben sich dann genau wie in der Lebensversicherung als:

-x

ax = ( Dx+i ) / Dx i = 0



Storno und Sterblichkeit M PKV-Stt 2004

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

20 30 40 50 60 70 80 90 100Alter

Sto

rno

- b

zw.

Ste

rbew

ahrs

chei

nli

chke

it

St 2004 M

Storno (BaFin2001)Gesamt



Lebende und nicht stornierte M St 2004,

Storno BaFin 2001

0,00

100000,00

200000,00

300000,00

400000,00

500000,00

600000,00

700000,00

800000,00

900000,00

1000000,00

20 29 38 47 56 65 74 83 92

101

Alter

Leb

end

e b

zw.

un

gek

ün

dig

te

Lebende (ohne Storno)

Lebende ungekündigt



• Die sogenannten Kopfschäden Kx geben die im Kalkulationszeitraum (Periode im unmittelbaren Anschluss an den Kalkulationszeitpunkt, z. B. Beitragsanpassung) durchschnittlich zu erwartende Höhe der Krankheitskosten in einem Tarif und Geschlecht je erreichtem Alter x wieder. Sie nehmen meist mit dem Alter zu, weil mit dem Älterwerden auch die durchschnittlichen Krankheitskosten steigen.

• Bezeichnet Sx die erwarteten gezahlten Krankheitskosten (einschl. Sicherheiten) für alle x-Jährigen Männer im Tarif (Anzahl: Lx), dann ist

• Kx = Sx / Lx

• Die Kopfschäden werden für die Kalkulation als deterministisch behandelt. Das heißt: es wird so gerechnet, als wenn in jedem Alter x an jeden Versicherten eine Rente in der Höhe Kx gezahlt würde. Wie der Leistungsbarwert einer (ggf. steigenden) Rente berechnet wird, ist bekannt:

-x

Ax = ( Dx+i * Kx+i) / Dx i = 0



• Die Kopfschäden Kx werden nicht danach unterschieden, ob der Versicherte z. B. gesund oder chronisch krank ist. Eintrittswahrscheinlichkeiten und spezielle Leistungsbarwerte für „Invalide“ gibt es in der PKV nicht. Die künftigen Leistungen selbst für chronisch Kranke werden nicht wie in der BU-Versicherung bei Eintritt der chronischen Krankheit als Barwert diskontiert und zurückgestellt.

• Daher ist es eigentlich nicht richtig, für die PKV von einem Kapitaldeckungsverfahren zu sprechen. Die PKV kalkuliert nach einem Anwartschaftsdeckungsverfahren nur ähnlich – nämlich „nach Art“ der Lebensversicherung.

• Die Kopfschäden enthalten keine Vorsorge für medizinischen Fortschritt oder Kostenstei-gerungen: daher müssen Beitragsanpassungen vorbehalten sein.

• Die Prämien werden jeweils unter der Voraussetzung unveränderten Kostenniveaus als in konstanter Höhe lebenslang zahlbar kalkuliert. Damit ergibt sich die jährliche Netto-prämie für einen x-Jährigen Neuzugang sofort (wie für die Lebensversicherung behandelt):

Px = Ax / ax



Kopfschäden (BaFin 2001, amb. SB 325 Euro) und Prämien Männer St 2004, Storno BaFin 2001

0,0001,0002,0003,0004,0005,0006,0007,0008,0009,000

10,00011,00012,000

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Alter

Ko

pfs

ch

äd

en

bzw

.

Prä

mie

n

Kopfschäden

Nettoprämie err. Alter

Nettoprämie 20


Crashkurs VersicherungsmathematikBeitragskalkulation der Krankenversicherung – Beitragsberechnung,

Alterungsrückstellung

Kopfschäden (BaFin 2001, amb. SB 325 Euro) und Prämien und Alterungsrückstellung Männer

St 2004, Storno BaFin 2001

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

20 30 40 50 60 70 80 90 100Alter

Ko

pfs

ch

äd

en

,Prä

mie

,AR Kopfschäden

Nettoprämie err. Alterneu

Nettoprämie 20 neu

Alterungsrückstellung



Kopfschäden (BaFin 2001, amb. SB 325 Euro) rechnungsmäßig vs. mit Kostentrend 4 %

Männer

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

300,0

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Alter

Ko

pfs

chäd

en Kopfschäden rm

Kopfschädenhochgerechnet



Kopfschäden (BaFin 2001, amb. SB 325 Euro) rechnungsmäßig und abgezinst mit 3,5 %

Männer

20 30 40 50 60 70 80 90 100Alter

Ko

pfs

chäd

en

Kopfschäden rm

Kopfschädenabgezinst



Kopfschäden (BaFin 2001, amb. SB 325 Euro) rechnungsmäßig und mit Lebenden gewichtet - ST

2004 ohne Storno Männer

0,01,02,0

3,04,05,06,0

7,08,09,0

10,0

11,012,0

20 30 40 50 60 70 80 90 100Alter

Ko

pfs

ch

äd

en

Kopfschäden rm

Kopfschäden *Lebende



Kopfschäden (BaFin 2001, amb. SB 325 Euro) rechnungsmäßig und mit Lebenden gewichtet -

ST 2004 ohne Storno Männer

0,01,02,03,04,05,06,07,08,09,0

10,011,012,0

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Alter

Ko

pfs

ch

äd

en Kopfschäden rm


Kopfschaden *Lebende ungek.



Kopfschäden (BaFin 2001, amb. SB 325 Euro) rechnungsmäßig und mit Lebenden gewichtet -

ST 2004 ohne Storno Männer

0,01,02,03,04,05,06,07,08,09,0

10,011,012,0

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Alter

Ko

pfs

ch

äd

en

Kopfschäden rm



Nettoprämie



Kopfschäden (BaFin 2001, amb. SB 325 Euro) und Beiträge rechnungsmäßig und mit Lebenden gewichtet - ST 2004 mit

Storno Männer

0

1

2

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Alter

Ko

pfs

chäd

en


Nettoprämie *Lebende



Kopfschäden (BaFin 2001, amb. SB 325 Euro) und Beiträge rechnungsmäßig und mit Lebenden gewichtet - ST 2004 mit

Storno Männer abgezinst

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

20 30 40 50 60 70 80 90 100Alter

Ko

pfs

chäd

en


Nettoprämie * Lebende



• Die Altersabhängigkeit der Kopfschäden zeigt eine gewisse Stabilität. Das heißt, bei einer Beitragsanpassung ist oft zu beobachten, dass die Kopfschäden Kx in jedem Alter um den gleichen Prozentsatz erhöht werden können. Man kalkuliert daher den Kopfschaden als Produkt des mit der Zeit veränderlichen – aber altersunabhängigen – Grundkopfscha-dens G und des altersabhängigen „normierten“ Kopfschadens kx (mit kleinem k):

Kx = G kx• Die Werte kx des normierten Kopfschadens werden auch als Profil bezeichnet. Normiert

heißen diese Kopfschäden, weil sie dadurch gewonnen werden, dass man den Wert eines bestimmten Alters (z. B. 40 oder 43) genau auf 1,00 setzt:

kx = Kx / K43 • Für ähnliche Tarife mit nur etwas unterschiedlichem Leistungsniveau können oft die glei-

chen Profile verwendet werden, nur die Grundkopfschäden unterscheiden sich. Man kann bis zu „normierten“ Nettoprämien mit einem Grundkopfschaden = 1 rechnen und erst am Ende mit dem wirklichen Grundkopfschaden multiplizieren. Dies erspart Rechenarbeit.

• Da die Profile sich im Laufe der Jahre dennoch verändern können, müssen sie regelmäßig überprüft und ggf. aktualisiert werden. Man spricht von Versteilerung der Profile, wenn die Krankheitskosten in hohen Altern relativ stärker zunehmen als in mittleren Altern


Crashkurs VersicherungsmathematikBeitragskalkulation der Krankenversicherung – Alterungsrückstellung

• Die Nettoprämien Px übersteigen anfangs die Kopfschäden Kx , mit dem Älter-werden übersteigen dann die Kopfschäden die Nettoprämien des Versicherten. Dies wird durch eine aus den zunächst höheren Prämien finanzierte Deckungs-rückstellung aufgefangen, die in höheren Altern sukzessive aufgelöst wird, um mit den weiter gezahlten Prämien die übersteigenden Kopfschäden zu finanzie-ren. In der PKV heißt diese in der Bilanz zu passivierende Deckungsrückstellung auch Alterungsrückstellung.

• Die Alterungsrückstellung berechnet sich nach den gleichen Formeln wie allgemein auch eine Deckungsrückstellung in der Lebensversicherung, gemäß

• Barwert der künftigen Leistungen = Barwert der künftigen Prämien

+ Deckungsrückstellung

Vx+m = Ax+m - P ax+m

(P = zur Zeit tatsächlich zu zahlende jährliche Nettoprämie)



• Da gleichzeitig gilt

Px+m = Ax+m / ax+m , also Ax+m = Px+m * ax+m

kann man auch rechnen

Vx+m = Ax+m - P ax+m = Px+m * ax+m - P ax+m

= (Px+m - P) ax+m

• Die Alterungsrückstellung ist also auch der Barwert des jährlichen (Netto-) Beitragsnachlasses im gezahlten Beitrag des Versicherten - bezogen auf den (Netto-) Neuzugangsbeitrag zum seinem aktuell erreichten Alter.



Kopfschäden (BaFin 2001, amb. SB 325 Euro), Beiträge mit Lebenden gewichtet - M ST 2004 /

Storno

0

5

10

15

20 30 40 50 60 70 80 90 100Alter

Ko

pfs

chäd

en Kopfschaden * Lebendeungek.


AlterungRS * Lebende



abgezinste Kopfschäden (BaFin 2001, amb. SB 325 Euro), Beiträge, mit Lebenden gewichtet - M ST 2004 / Storno

-0,75

-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Alter

Ko

pfs

chäd

en

Kopfschaden * Lebendeungek.


AlterungRS * LebendeZuf/Entn.



Aubau und Entnahme AR kumuliert (BaFin 2001, amb. SB 325 Euro) - ST 2004 / Storno Männer

-10,000

-8,000

-6,000

-4,000

-2,000

0,000

2,000

20 30 40 50 60 70 80 90 100Alter

Bet

rag Zuf aus Vererbung

Zuf AR aus Zins

Zuf AR aus Beitrag



Aubau und Entnahme AR - einzeln (BaFin 2001, amb. SB 325 Euro) - ST 2004 / Storno Männer

-10,000

-8,000

-6,000

-4,000

-2,000

0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Alter

Bet

rag Zuf AR aus Beitrag

Zuf AR aus Zins

Zuf aus Vererbung


Crashkurs VersicherungsmathematikBeitragskalkulation der Krankenversicherung – Finanzierung der Abschlusskosten

• Bisher wurden nur Nettoprämien ohne Kosten betrachtet. Kosten sind z. B.:

- Unmittelbare Abschlusskosten- Mittelbare Abschlusskosten- Verwaltungskosten- Schadenregulierungskosten

• Unmittelbare Abschlusskosten sind Provisionen und Antragsbearbeitungskosten, die nur einmalig zu Beginn anfallen und unmittelbar mit der Menge des Neugeschäfts zusammenhängen. Sie können daher bei Vertragsbeginn nur vom Neuzugang getragen werden.

• Mittelbare Abschlusskosten wie Werbung und Verkaufsförderung fallen auch bei zurückgehendem Neugeschäft nahezu unvermindert an und sollten daher von allen Versicherten getragen werden.

• Laufende Verwaltungsprovisionen bzw. Bestandsverwaltungvergütungen können Abschlusskosten oder Verwaltungskosten – sogar Schadenregulierungskosten – sein, je nachdem, welche Leistung dafür erwartet wird.



• Verwaltungskosten fallen für die Bestandsverwaltung der Verträge – ohne Regulierungskosten – an.

• Schadenregulierungskosten entstehen für die Bearbeitung und Regulierung von Leistungsanträgen. In der Gewinn- und Verlustrechnung sind sie nicht offengelegt, da sie bei den Versicherungsleistungen selbst subsummiert werden.

• Kosten für die Verwaltung der Kapitalanlagen werden direkt aus dem Kapitalanlageertrag finanziert.

• Kosten für Jahresabschluss u. ä. werden als Aufwendungen für das Unternehmen als Ganzes zu Lasten des Jahresergebnisses finanziert.

• Die Ermittlung der tatsächlich entstandenen Kosten erfolgt nach den Jahresabschlüssen der vergangenen Jahre . Relevant für die Einrechnung dieser Kosten in die Beiträge ist aber die Erwartung für die Zukunft.



• Die Kosten werden z. B. einmalig zu Beginn oder laufend in die Beiträge eingerechnet. Maßstab kann z. B. prozentual relativ zur Prämie oder pro Kopf sein. Zusammen mit den Kostenzuschlägen ergibt sich aus der Nettoprämie die Bruttoprämie.

• In der Krankheitskostenversicherung ist seit 1991 vorgeschrieben, dass alle Kosten bis auf die Zillmerung nicht mehr prozentual am Beitrag bemessen werden, sondern altersunab-hängig je Tarif und Geschlecht in Stückkosten umzurechnen sind. Dies ist als Maßnahme zur Beitragsbegrenzung im Alter gedacht. Gerade die Älteren würden sonst mit ihren durchschnittlich höheren Beiträgen durch prozentuale Kosten zusätzlich belastet.

• Eine wesentliche Finanzierungsmöglichkeit für die unmittelbaren Abschlusskosten ist wie in der Lebensversicherung die Zillmerung der Abschlusskosten. Bei Zillmerung wird die (sogenannte gezillmerte) Netto-Prämie Pz

aus der Summe von Leistungsbarwert und Zillmerbetrag Z (bspw. in der PKV oft 6 Bruttomonatsbeträge) errechnet:

• Pxz = (Ax + Z) / ax = Px + Z / ax

Die „ungezillmerte“ Netto-Prämie P wird also um den „Zillmerzuschlag“ Z / ax erhöht.



• Der Barwert der Leistungen (Leistungsbarwert Ax ) wird durch die Zillmerung nicht ver-ändert. Die (sogenannte) gezillmerte Alterungsrückstellung wird jedoch mit der erhöhten gezillmerten Nettoprämie gerechnet:

Vx,m = Ax+m - (ax+m * P) (ungezillmert)

Vzx,m = Ax+m - (ax+m * Pz) (gezillmert)

• Zum Versicherungsbeginn gilt z. B.

Vzx,0 = Ax - (ax * Pz) = Ax - (ax * (Ax + Z) / ax) =

Ax - (Ax + Z) = - Z

Die gezillmerte Deckungsrückstellung ist also zu Beginn um den Zillmerbetrag Z negativ.



• Jeder zusätzliche Monatsbeitrag Zillmerung schlägt sich mit ca. 0,5 bis 1 % im Brutto-beitrag nieder - um so mehr, je weniger bestandsfest das Neugeschäft ist. Denn die Zillmerung muss ja durch den Zillmerzuschlag über die erwartete Vertragslaufzeit amortisiert werden.

• Außer der Zillmerung stehen weitere Quellen zur kalkulatorischen Finanzierung der unmittelbaren Abschlusskosten zur Verfügung:

- Selektionsersparnisse infolge des in den ersten Jahren wegen der Risikoprüfung niedrigeren Risikos des Neuzugangs - gegenüber dem für den gleichaltrigen

Bestand kalkulierten Schaden. Die Selektionsersparnisse können z. B. ca. 2 – 4 MB betragen.

- Die dazugehörigen ersparten Schadenregulierungskosten – z. B. 4 % für 12 Monate ergeben 12 * 0,04 = 0,48 MB.

- Laufende Abschlusskostenzuschläge (Prozentuale Zuschläge bzw. absolute Stück- kostenzuschläge). Ein Abschlusskostenzuschlag von z. B. 5 % im Beitrag aller

Versicherten entspricht bei einem Neugeschäft in Höhe von 10 % der laufenden Beitragseinnahme 6 MB einmaligen Abschlusskosten.


Crashkurs VersicherungsmathematikBeitragskalkulation der Krankenversicherung – Kalkulationsmodell und

Bruttobeiträge

• Der Sicherheitszuschlag von mindestens 5 % und der Zuschlag zur Gewährleistung der Beitragsgarantie im Standardtarif werden prozentual im Bruttobeitrag eingerechnet.

• Rechnet man vom jährlichen Bruttobeitrag zurück, indem alle Zuschläge herausgerechnet werden, so ergibt sich die Nettoprämie – und umgekehrt:

• Px = Bx – Bx * %Zuschläge – Bx * Zillmerzuschlag – Stückkostenzuschlag

= Bx * (1 - %Zu – Z / ax ) - Stückkosten

• Bx = (Px + Stückkosten) / (1 - %Zu – Z / ax)

• Beispiel: Px = 1000 Euro, 6 MB = 0,5 JB Zillmerung, 7 % prozentualem Zuschlag, 200 Euro Stückkosten und Rentenbarwert ax = 12,5:

Bx = (1000 + 200) / (1 – 7 % – 0,5 / 12,5) = 1200 / (0,93 – 0,04) = 1348,31 Euro

• Der Bruttomonatsbeitrag ist 1348,31 / 12 = 112,36 €. Ohne Zillmerung: 107,53 €.

Die Abschlusskosten von 6 MB = 674,16 Euro erhöhen den Monatsbeitrag um 112,36 – 107,53 = 4,83 Euro, d. h. ca. 4,5 %.


Crashkurs VersicherungsmathematikBeitragskalkulation der Krankenversicherung – Einmalige oder

Bestandspflegeprovision?

• Was ist für den Vermittler mehr wert: 2 % Bestandspflegeprovision oder 2 MB zusätzliche Abschlussprovision?

• Die Frage läuft versicherungsmathematisch darauf hinaus, den Barwert der Bestands-pflegeprovision zu ermitteln und der einmaligen Provision gegenüberzustellen. Ggf. müs-sen vertragliche und steuerliche Gesichtspunkte dabei berücksichtigt werden, die auch von der Gewinnermittlungsmethode des Vermittlers abhängen.

• Die Rechnungsgrundlagen des Versicherers selbst sind dazu nicht geeignet, da durch sie der Barwert der Bestandspflegeprovision überschätzt wird, z. B. vorsichtiges niedriges Storno, geringer Diskontierungssatz.

• Das durchschnittliche Storno muss daher höher angesetzt werden, das nochmals in den ersten Jahren gegebene Mehrstorno ist zu berücksichtigen. Beitragsanpassungen sind hochzurechnen, da sich die Beitragsbasis dadurch erhöht. Neben dem Storno sind auch Tod und Herabsetzungen des Versicherungsschutzes anzusetzen.

• Aber auch die vereinbarte Einmalprovision ist ebenfalls mit Storno im Rahmen der Provisionshaftung zu korrigieren.

• Wenn der Vermittler eigene künftige Erträge mit einem höheren Zinssatz als dem Rech-nungszins von 3,5 % diskontiert, ergeben sich nochmals starke Verminderungen des Barwerts einer Bestandspflegeprovision. Realistisch sind 1 % = 0,75 MB.


Crashkurs VersicherungsmathematikBeitragskalkulation der Krankenversicherung – Kalkulationsmodell und

Bruttobeiträge

Senkung Storno um % 0%Steigerung Schäden um % 0%

Ambulanter Selbstbehaltstarif mit Selbsbehalt € 325,00Storno und Kopfschäden: Wahrscheinlichkeitstafeln 2001 der BaFin Sterbetafel 2004

WSTaf 2001(Sto+Kx), St2004 3,50% RechnungszinsNettoprämie Alter Sterbew. Storno Lebende Diskont. Leb.

x qx wx 1-qx-wx lx Dx NxMänner

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Crashkurs Versicherungsmathematik versicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge

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