Annemarie Beck

Das Sammelbuch mathematischer Einsichten im Anfangsunterricht Zusammenfassung

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Konstruktivistische Lerntheorien legen es nahe, Schülern die Gelegenheit zu geben, über ihre angeeigneten Vorstellungen zu reflektieren. Der Lehrer erfahrt dabei etwas über die Schülervor­stellungen. Im vorliegenden Beitrag wird mit dem Sammelbuch ein geeignetes Arbeitsmittel ftlr diesen Zweck dargestellt. Das Sammelbuch wurde im Rahmen einer Fallstudie in einer zweiten Grundschulklasse erprobt. Es zeigte sich, dass bereits Zweitklässler mit geringen schriftsprachli­chen Kompetenzen zur schriftlichen Reflexion in der Lage waren. Das diagnostische Potenzial der Schülerprodukte war hoch, obwohl die Einträge häufig mehrdeutig waren. Exemplarisch analysier­te Schülereinträge verdeutlichen dies.

Abstract

Constructivist theories of learning suggest giving pupils the opportunity to reflect about their acquired conceptions. Thus the teacher has the chance to leam something about them. This paper describes a new tool for this purpose, the so-called "Sammelbuch" (book for collecting mathe­matical ideas). The Sammelbuch was tried and tested in a case study in a second primary school dass. The analysis showed that al ready second dass pupils with very low writing competence were able to reflect in writing. The diagnostic potential of the written papers was high, although the pupil's works were often ambiguous. Exemplary analyses ofpupil's works darify this.

1. Einleitung

In der letzten Zeit sind die Ergebnisse der PISA-Studie (Deutsches PISA-Konsortium 2001) in aller Munde. Das schlechte Abschneiden deutscher Schüler l lenkte die Auf­merksamkeit der Öffentlichkeit auf den Mathematikunterricht. Die Einsicht, dass der deutsche Mathematikunterricht veränderungsbedürftig ist, konnte sich auf diese Weise in breiten Teilen der Bevölkerung sowie der Politik durchsetzen. Neu ist diese Erkenntnis jedoch ftlr Mathematikdidaktiker nicht. Die Forderungen des deutschen PISA­Konsortiums (200 I, S. 186) • weniger Verfahren und Kalküle, • mehr Denkaktivitäten und Eigenkonstruktionen der Schüler, • mehr Reflexionen werden innerhalb der Mathematikdidaktik schon seit einiger Zeit gestellt. Hinzu kom­men stichwortartig weitere Forderungen, wie: • Öffuung des Mathematikunterrichts tUr die unterschiedlichen Lern- und Lösungswege

der SchUl er, • entdeckendes Lernen (Winter 1991, Wittmann 1994), • Kreativität und • Verständnis.

Als eine Antwortmöglichkeit werden seit etwas mehr als zehn Jahren, angestoßen durch die Reisetagebücher von Gallin und Ruf (1990), im deutschsprachigen Raum verschie-

1 Um den Text von umständlichen Formulierungen zu entlasten, wird bei allgemeinen Personenbezeichnungen die männliche Sprachform verwendet. Dabei ist das weibliche Geschlecht ausdrücklich mitgemeint.

(JMD 23 (2002) H. 3/4, S. 203-221)

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dene Unterrichts versuche zur schriftlichen Reflexion durchgetUhrt. Dabei werden zum einen die Vorkenntnisse der Schüler erhoben (vgl. z. B. Selter 1994). Das bedeutet: Die Schüler werden mit einer Aufgabe zu einem Thema konfrontiert, das in dieser Form noch nicht Unterrichtsgegenstand war, und sie werden aufgefordert, diese Aufgabe mit den ihnen verfilgbaren Mitteln und Strategien zu lösen. In anderen Projekten fertigen die Schüler während des individuellen Lernprozesses in Lerntagebüchern mit den verschie­densten Namen mathematische Texte über teilweise unterrichtsunabhängige Themen an (vgl. z. B. Schütz 1994). Beides ist wichtig, wenn im Sinne konstruktivistischer Lernthe­orien von den individuellen und informellen Lösungswegen der Schüler ausgegangen werden soll, um sie zu den in der Mathematik gebräuchlichen regulären Verfahren wei­terzuentwickeln. Darüber hinaus' ist es aber auch wichtig, und das wird im Unterricht wie in der Forschung noch nicht in ausreichendem Maße berücksichtigt, dass die Schüler über im Unterricht Angeeignetes schriftlich reflektieren. Dieses Nachdenken kann auf­seiten der Schüler zu größerem Verständnis beitragen und gibt dem Lehrer Anhaltspunk­te, ob und wie ein Schiller einen Begriff oder eine Vorgehensweise verstanden hat.

Bislang konzentriert sich die empirische Forschung auf: • Eigenproduktionen älterer Grundschulkinder, • Eigenproduktionen von Grundschulkindern mit relativ guten schriftsprachlichen

Kompetenzen. Das bedeutet bei Kindern im Anfangsunterricht, d h. in den ersten zwei Grundschuljahren, dass die Schüler auf entsprechende Kompetenzen aus dem Deutschunterricht zurückgreifen können.

• Eigenproduktionen vor der Behandlung eines Themas im Unterricht.

In Beck (2002) habe ich die zuvor getrennt diskutierten didaktischen Ideen des aktiv­entdeckenden Lemens und der schriftlichen Reflexion miteinander verbunden und mit dem Arbeitsmittel Sammelbuch eine praktikable Umsetzung entwickelt. Das Konzept wurde durch eigens datUr konzipierte Aufgaben tUr den arithmetischen Anfangsunter­richt konkretisiert und in einer zweiten Grundschulklasse erprobt. Dabei ging es darum, dass • jüngere Grundschulkinder • mit relativ geringen schriftsprachlichen Kompetenzen • über bereits im Unterricht behandelte Themen schriftlich reflektieren.

2. Einordnung des Konzepts

Das entwickelte Konzept soll zunächst in den Rahmen der Wissenschaftsgebiete einge­ordnet werden, die es berührt. Es gibt Verbindungen • zur Mathematik und ihrer Didaktik, • zur Grundschulpädagogik, • zur Deutschdidaktik, • zur Schulpädagogik, • zur Lernpsychologie und hier insbesondere zur Lerntheorie sowie • zur Wissenschaftsmethodologie.

Im nächsten Schritt wird erläutert, inwiefern die genannten Wissenschaftsgebiete mit dem entwickelten Konzept verzahnt sind.

Das aktiv-entdeckende und schriftlich-reflektierende Mathematiklemen ist, wie der Na­me schon sagt, ein Konzept tUr den Mathematikunterricht. Daher gibt es Verbindungen

Das Sammelbuch 205

zur Mathematik und ihrer Didaktik. Besonders offensichtlich wird das bei der Konstruk­tion der Sammelbuchaufgaben, in die explizit mathematische sowie mathematikdidakti­sche Fragen eingingen. Auf die herau'sgearbeiteten mathematischen Aspekte wird bei der Analyse der Schülerprodukte systematisch zurückgegriffen, sodass auch diese Analyse fachlich fundiert ist. Der erste Bestandteil des Konzepts heißt aktiv-entdeckend. Anre­gungen dazu gaben verschiedene Konzepte des Lernens auf eigenen Wegen innerhalb der Mathematikdidaktik (vgl. Treffers 1983, Selter 1994, Schütte 1994, Röhr 1995), insbesondere das aktiv-entdeckende Lernen (vgl. Wittmann 1994), das zur entsprechen­den Namengebung filhrte. Das Konzept bezieht sich inhaltlich auf die sieben Grundideen der Arithmetik von Wittmann (1993, S. 397) und ist dadurch in der Mathematik verwur­zelt. Der zweite Bestandteil des Konzepts heißt schriftlich-reflektierend. Auch hierzu kam der Anstoß zunächst aus der Mathematikdidaktik, wo diverse Formen des Schrei­bens im Mathematikunterricht entwickelt und erprobt wurden (vgl. z. B. GallinJRuf 1990, Glänzel 1994, Schütz 1994, Brandt 1997, Kästner 1997).

Wie es das Wort schriftlich-reflektierend nahe legt, weist das Konzept zudem Verbin­dungen zum Deutschunterricht auf. Das betrifft zum einen den Schriftspracherwerb. Je weniger Kinder schreiben können, desto mehr sollte der Mathematiklehrer über ihre im Deutschunterricht erworbenen Schreibkompetenzen in Erfahrung bringen. Hier profitiert der Mathematikunterricht vom Deutschunterricht. Andererseits beschenkt er diesen mit Schreibanlässen, die zum Formulieren und Argumentieren einladen. An dieser Stelle wird besonders deutlich, wie sinnvoll eine enge Verzahnung der Lernbereiche Deutsch und Mathematik filr das entwickelte Konzept ist und wie dieses gleichzeitig Anlass filr solch eine Verzahnung bietet.

Sammelbuchaufgaben müssen offen sein, damit sie zum Reflektieren, Formulieren und Argumentieren einladen. Öffnung in jeder Hinsicht muss aber nicht unbedingt die Pro­duktivität der Schüler erhöhen. Die schulpädagogische Frage nach dem vernünftigen Maß von Öffnung und Strukturierung wird innerhalb des aktiv-entdeckenden Lernens intensiv diskutiert (vgl. Thema des Symposiums mathe 2000 am 27. September 2002 in Dortmund) und ist auch filr mein Konzept an etlichen Stellen von Bedeutung. Als sinn­voll betrachte ich eine Öffnung der AufgabensteIlung derart, dass den Schülern mehrere Lösungswege offen stehen. Weiterhin sollte die Aufgabe einerseits so einfache Aspekte enthalten, dass alle Schüler einen Zugang finden können. Andererseits sollte sie weiter­filhrende Aspekte beinhalten, damit auch leistungsstarke Schüler ausreichend gefOrdert werden. Vorgaben sind sinnvoll, wenn sie die Schüler nicht unnötig einengen, sondern ihre Produktivität freisetzen.

Eng damit zusammen hängt die Frage nach der Möglichkeit kreativen Lernens: Wie bei der Strukturierung kann auch hier eine gezielte Verengung des Suchfeldes Kreativität freisetzen. In der Lernpsychologie wird inzwischen davon ausgegangen, dass Kinder umso besser lernen, je mehr sie den Zusammenhang und damit den Sinn des zu Erler­nenden einsehen. Dementsprechend soll das Lernen ganzheitlich, d. h. in Sinnganzheiten erfolgen. Nach einer Phase, in der vor allem die Individualität von Lernprozessen her­ausgestellt wurde, besinnt man sich seit einiger Zeit zusätzlich auf kooperatives Lernen. Diese Diskussionspunkte spielen auch filr mein Konzept eine Rolle und filhren dort zur Verbindung von individuellem und kooperativem Lernen.

206 Annemarie Beck

Dem entwickelten Konzept liegt die konstruktivistische Vorstellung zugrunde, dass Lernen eine eigenaktive Autbauleistung des Individuums in der Auseinandersetzung mit seiner Umwelt ist.

In wissenschaftsmethodologischer Hinsicht bestand das Ziel der Arbeit darin, ein reali­sierbares Konzept filr den Mathematikunterricht zu entwickeln und dieses mit qualitati­ven sowie quantitativen Methoden im Rahmen einer Fallstudie empirisch zu erproben.

3. Das Sammelbuch und seine Funktionen

Das aktiv-entdeckende und schriftlich-reflektierende Mathematiklernen hat es sich zum Ziel gesetzt, die aktive Aneignung von Wissen und die schriftgestützte Reflexion integ­riert zu verfolgen. Ein wesentliches Element des Konzepts, in dem dieser Gedanke kon­kret umgesetzt wird, ist das neu entwickelte "Sammelbuch mathematischer Einsichten". Das Sammelpuch ist ein Ringbuch, in dem die Schüler ihnen wichtige mathematische Einsichten sahuneln, die sie bei der Bearbeitung geeigneter Aufgaben (vgl. 5.4) gewon­nen haben. Einen guten Einblick in die Bedeutung des Sammelbuches filr das Konzept geben seine Funktionen (vgl. 3.1 bis 3.8).

3.1 Anregung zur Reflexion über das eigene Wissen

Das Sammelbuch soll zur Reflexion über das eigene Wissen und damit zur Förderung von Metakognition anregen (vgl. Sjuts 1999, 2001). Von solchem Nachdenken ver­spricht man sich ein vertieftes mathematisches Verständnis, von dem sich in der TIMS­und der PISA-Studie gezeigt hat, dass es deutschen Schülern vor allem daran mangelt und weniger an der Fertigkeit Algorithmen auszufilhren. Dementsprechend wird ver­mehrte Reflexion, wie eingangs erwähnt, vom PISA-Konsortium ausdrücklich rur den Mathematikunterricht gefordert. Der Gedanke der Reflexion ist allerdings nicht neu. Bereits Polya (1995, 1. Auflage 1949) nennt die letzte Phase des Problemlöseprozesses "Rückschau auf den Problemlöseprozess" (ebd., innerer Buchdeckel), und Winter (1984, S. 29), der den entdeckenden Lernprozess in vier aufeinander folgende Stufen gliedert, sieht als letzte Stufe die "Reflexionsstufe" vor. Er verwendet die Reflexion insofern umfassender als Polya, der sie auf das Problem lösen einschränkt. Ich schließe mich in dieser Hinsicht Winter an. Während die Rückschau aber bei Polya und Winter sowohl in mündlicher als auch in schriftlicher Form erfolgen kann, geht es im Sammelbuch aus­drücklich um schriftliche Reflexion. Denn Schriftlichkeit ermöglicht durch die Verlang­samung des Gedankenflusses ein besonders tiefes Nachdenken. Das bedeutet nun aber nicht, dass in einem Unterricht mit dem Sammelbuch nur noch in schriftlicher Form reflektiert wird. Selbstverständlich hat auch die mündliche Reflexion ihren Platz. Es bedeutet lediglich, dass der häufig vernachlässigten schriftlichen Reflexion ein fester Platz eingeräumt wird.

3.2 Erfahrbarkeit der eigenen gewachsenen Kenntnisse

Zudem soll das Sammelbuch den Schülern dabei helfen wahrzunehmen, dass sie etwas dazu gelernt haben. Neben der steigenden Kompetenz beim Aufgabenlösen kann das Sammelbuch hierzu einen Beitrag leisten, indem es als Ringbuch gefilhrt wird. Ein Ringbuch ist zunächst leer. Mit jedem neuen Begriff, jeder neuen Vorgehensweise und jedem mathematischen Zusammenhang kommt eine Seite hinzu. Das Sammelbuch wird

Das Sammelbuch 207

also im Laufe der Schulzeit immer dicker und der Schüler kann sehen und ruhlen, wie sein eigenes Wissen zunimmt.

3.3 Unterstützung des Lernens auf eigenen Wegen

Das Sammelbuch soll weiterhin das Lernen auf eigenen Wegen unterstützen, wie es konstruktivistische Lemtheorien fordern. Dazu ist auch mit Blick auf3.2 wichtig, dass es nicht bloße Tafelabschriften oder Diktate enthält. Dann wäre der Inhalt unter Umständen ein Schein-Wissen und das Ganze hätte nichts mit Lernen auf eigenen Wegen zu tun. Folglich enthält das Sammelbuch ausschließlich von den Schülern selbst produzierte Seiten, die die eigenen Wege der Schüler sowie der Mitschüler wiedergeben und ihnen selbst wie dem Lehrer sichtbar machen. Damit eröffnen die Schülerprodukte dem Lehrer zudem die Möglichkeit, jeden Schüler auf seinem Lemweg zum verbindlichen Ziel zu begleiten.

3.4 Förderung der allgemeinen Lernziele Formulieren und Argumentieren

Beim aktiv-entdeckenden Lernen wird viel Wert darauf gelegt, allgemeine und inhaltli­che Lernziele integriert zu verfolgen. Da das Sammelbuch in das aktiv-entdeckende Lernen eingebettet ist, spielt dies auch hier eine Rolle, wobei der Schwerpunkt beim Sammelbuch im Rahmen der allgemeinen Lernziele auf dem Formulieren und Argumen­tieren liegt. Ich habe bewusst das Wort "Formulieren" gewählt und nicht Formalisieren, wie es im Originaltext von Winter (1972, S. 82) heißt. Formalisieren klingt zu sehr nach Formeln und standardisierten Wendungen, rur die in der Grundschule und insbesondere im Anfangsunterricht nicht der rechte Ort ist. Viel zu groß ist die Gefahr, dass sie zu unverstanden hergesagten Verbalismen verkommen und damit dem Ziel Verständnis entgegenstehen. In der Grundschule soll es darum gehen, dass die Schüler es lernen, etwas, das sie verstanden haben, in zunehmend auch rur andere verständlicher Form selbständig zu Papier zu bringen.

3.5 Nutzung als Nachschlagewerk

Das Sammelbuch ist also ein Mittel, um zum Reflektieren, Formulieren und Argumen­tieren anzuregen, und das alles auch noch in schriftlicher Form. Gerade jüngeren Kin­dern fiilIt das Schreiben aber noch sehr schwer. Damit sie sich dennoch auf diese Her­ausforderung einlassen, braucht es lohnenswerte Schreibanlässe. Eine Möglichkeit dazu ist das Erstellen eines Nachschlagewerkes rur den eigenen Gebrauch. Daher wurde das Sammelbuch als Nachschlagewerk konzipiert. Die Schüler können ihre eigenen Einträge im nachfolgenden Unterricht nutzen, wenn sie unsicher über Begriffe oder Vorgehens­weisen sind. Damit steht gleichzeitig Verständnis im Mittelpunkt; Automatisierung kann nach dem Verständnis erfolgen. Die Schüler müssen nicht alles im Kopf haben, um es anwenden zu können. Gleichwohl müssen sie es verstanden haben, sonst nützt ihnen auch ihr Sammelbuch nichts. Das Sammelbuch kann immer nur eine oder zwei typische Beispielaufgaben rur jeden Rechenweg enthalten und das Übertragen eines Rechenwe­ges auf eine Aufgabe mit anderen Zahlenwerten ist eine nichttriviale Transferleistung.

3.6 Authentische Schreibanlässe

Durch die Nachschlagefunktion entstehen authentiSChe, d. h. echte, natürliche Schreiban­lässe. Die Schüler schreiben nicht vorrangig etwas auf, um das Formulieren und Argu-

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mentieren zu üben, sondern um sich selbst eine brauchbare Grundlage zum Nachschla­gen zu verschaffen. Trotzdem besteht natürlich die Hoffuung, dass sie dabei das mathematische Schreiben üben.

3.7 Diagnosefunktion für den Lehrer

Die bislang genannten Funktionen sind alle solche, die unmittelbar den Schülern zugute kommen. Das Sammelbuch hat aber auch eine wichtige Funktion rur den Lehrer: Es kann dem Lehrer als Diagnoseinstrument dienen. Er kann anband der schriftlichen Schü­lerprodukte Vermutungen daruber aufstellen, was ein Schüler verstanden hat, was er noch nicht verstanden hat oder was er anders als in der Mathematik üblich und damit im Vergleich mit der regulären Mathematik falsch verstanden hat. Dabei bietet Schriftlich­keit durch ihre Permanenz einen großen Vorteil. Der Lehrer muss im Gegensatz zum Gespräch nicht sofort reagieren. Er kann sich mit kritischen Einträgen in Ruhe zu Hause auseinander setzen oder einen Kollegen um Rat fragen. Zudem sind Sammelbucheinträ­ge konkret: Wenn der Lehrer in der nächsten Stunde mit einem Schüler über seine Prob­leme mit dessen Eintrag sprechen möchte, hat er etwas in der Hand, auf das er zeigen kann, um zu fragen: Was hast du denn hier gemeint?

3.8 Authentische Gesprächsanlässe

Der Reformpädagoge und Rechendidaktiker Kühnel sagte schon 1925: Der Lehrer soll im Unterricht nur das fragen, was er wirklich nicht weiß (ebd., S. 120). Diese Forderung mutet auf den ersten Blick noch heute utopisch an. Der Lehrer muss, um einen wohl­strukturierten, ergiebigen Unterricht organisieren zu können, sehr viel mehr wissen als seine Schüler. Wie soll es da etwas geben, was er nicht weiß und ausgerechnet seine Schüler fragen muss? Sammelbucheinträge liefern hier einen Ansatzpunkt. Sie sind in der Regel mehrdeutig. Der Lehrer kann zwar Deutungshypothesen aufstellen, er kann aber allein anband der schriftlichen Schülerprodukte oft nicht sagen, was ein Kind aus­drucken wollte oder verstanden hat. Er muss den entsprechenden Schüler als Experten rur seinen eigenen Eintrag zu Rate ziehen. Die Mehrdeutigkeit regt dabei geradezu zum interessierten Nachfragen nach der vom Kind gemeinten Bedeutung an. Sammelbuchein­träge bieten insofern die Chance, wirkliche Gespräche über mathematische Themen in Gang zu setzen, wie sie im traditionellen Mathematikunterricht selten sind.

4. Weitere Elemente des Konzepts

Das Sammelbuch ist zwar ein wichtiges Element des aktiv-entdeckenden und schriftlich­reflektierenden Mathematiklernens, es ist aber nicht das einzige. Hinzu kommen folgen­de weitere Elemente, die sich auf verschiedenen Ebenen des Unterrichts bewegen: Ge­eignete substanzielle Aufgaben (v gl. 5.4), das Rechentagebuch (vgl. 4.1), die Rechen­konferenz (vgl. 4.2), sachadäquate Arbeits- und Anschauungsmittel (vgl. z. B. Radatz 1991, Wittrnann 1993) sowie eine förderliche Unterrichtskultur.

4.1 Das Rechentagebuch

Während das Sammelbuch ein Produktdokument eines vorläufig abgeschlossenen Lern­prozesses ist, das in Phasen der Rückschau erstellt wird, ist das Rechentagebuch ein Prozessdokument. Das bedeutet, dass das Rechentagebuch während des gesamten Lern-

Das Sammelbuch 209

prozesses chronologisch geIDhrt wird und auch Um- und Irrwege als selbstverständliche Bestandteile des Lernprozesses enthält. Damit ähnelt es dem Reisetagebuch von Gallin und Ruf (1993). Hier hat der Schüler einen Raum IDr Entdeckungen und Erprobungen, die später im Sammelbuch systematisiert und verdichtet werden. In dieser Systematisie­rung müssen Fehler dann überarbeitet und korrigiert werden.

4.2 Rechenkonferenzen

Rechenkonferenzen wurden von SundermannlSelter (1995, S. 31/32) in Anlehnung an die Schreibkonferenzen von Spitta (1992) IDr den Mathematikunterricht in der Grund­schule entwickelt. Sie dienen der Reflexion der eigenen Aufgabenbearbeitung in Klein­gruppen. Dadurch lernen die Kinder neue Rechenstrategien kennen und können sie, ggf. in modifizierter Form, in das eigene kognitive Repertoire einordnen. Zudem zielen Re­chenkonferenzen auf die Entwicklung der mathematischen Sprachkompetenz. Im aktiv­entdeckenden und schriftlich-reflektierenden Mathematiklernen haben Rechenkonferen­zen und Klassengespräche ihren Platz sowohl nach einem Rechentagebucheintrag als auch nach einem Sammelbucheintrag. Sie bieten die Möglichkeit, verschiedene Re­chenwege, die sich im Rechentagebuch zeigten, zu sammeln, den Mitschülern zu erläu­tern und sie zu systematisieren, um sie weiter zu erproben und schließlich ins Sammel­buch aufzunehmen. Nach einem Sammelbucheintrag sollte eine Rechenkonferenz die Verständlichkeit sowie mathematische Richtigkeit der Texte diskutieren und so zur Kor­rektur, Erweiterung oder Ergänzung der Einträge anregen. Die Endkorrektur obliegt dem Lehrer. Abbildung 1 fasst den genannten Arbeitsprozess noch einmal zusammen (vgl. Abb.l):

210

Abb.l

Annemarie Beck

Schritte des Arbeitens mit dem Sammelbuch

Aufgaben im M thematikunterricht

Rechentagebucheinträge: individuelle Strategien

Sammlung und Besprechung der Strategien Zusammenfassung der Strategien zu Gruppen Klassengespräche Rechenkonferenzen J

• geeignel Aufgaben

rammelbUch: Nolalion von :d-e-s-te-n-s-2-Strate9i:1

Kind Gruppe Klasse [ • --Korrektur/Erweiterung durch Übernahme/ Ergänzung individuelles Gespräch/Rechenkonferenz/Klasse

Nachschlagen I

Schriftlichkeit2 spielt beim aktiv-entdeckenden und schriftlich-reflektierenden Mathema­tiklernen in Form von verschiedenen Eigenproduktionen (Rechentagebuch, Sammel­buch) eine größere Rolle als im traditionellen Mathematikunterricht. Dennoch ist auch die Mündlichkeit wichtig. Schriftlichkeit und Mündlichkeit wechseln sich zur tieferen Durchdringung eines Sachverhaltes ebenso ab wie individuelles Lernen und Lernen im Austausch mit anderen (vgl. Abb. 2).

2 Unter Schreiben wird das Fixieren sprachlicher Informationen mittels optischer Zei­chen verstanden. Dazu gehören neben der Buchstabenschrift auch in den Text einge­streute Bilder, mathematische Symbole sowie selbst erfundene Zeichen und Zeichnun­gen.

Das Sammelbuch

Schriftlichkeit und Mündlichkeit

Abb.2

Aufgabe als I:

anregende Vorgabe zum SChreibe~ _I

I Gespräch über das Verständnis

weitere Klärung

I Verfassen eines . eigenen Textes

Reflexion: Klärung

Vorlesen der Texte

Bewusstmachen

211

Damit bietet das aktiv-entdeckende und schriftlich-reflektierende Mathematiklernen den Schülern die Möglichkeit den mathematischen Arbeitsprozess selbsttätig zu erfahren: Erste Gedanken und Ideen werden im Rechentagebuch notiert und anschließend im Ge­spräch mit den Mitschülern und dem Lehrer sowie in der individuellen Arbeit weiter­entwickelt. Im Sammelbuch steht nun die Darstellung des Erarbeiteten im Mittelpunkt. Der mühevolle Erarbeitungsprozess mündet in ein verhältnismäßig kurzes Endprodukt, das als Ausgangspunkt fiir die weitere Arbeit genutzt werden kann. Mathematik wird folglich nicht als Fertigprodukt vermittelt, sondern gelebt.

5. Fallstudie im zweiten Schuljahr

Das hier skizzenartig vorgestellte Sammelbuch habe ich im Rahmen einer Fallstudie in einer zweiten Grundschulklasse erprobt. Die Klasse wurde zufällig ausgewählt. Wie sich im Laufe der Zeit herausstellte, handelte es sich um eine Klasse mit auffallend geringer Schreibkompetenz. Die Kinder mussten nach Auskunft ihres Lehrers beim Schreiben noch so auf die Buchstabenformen achten, dass sie nicht in der Lage waren, einen Satz selbständig zu verschriften. Normalerweise ist das bereits Kindern in der Mitte des ers­ten Schuljahres möglich. Im Laufe der Studie stellte sich zudem heraus, dass die Unter­richtsbedingungen das aktiv-entdeckende und schriftlich-reflektierende Vorgehen kaum unterstützten.

5.1 Fragestellungen und Methode

Die schulpraktische Untersuchung wurde durch folgende drei Hauptfragen geleitet, die sich in 13 offene Unterfragen gliederten, auf die hier nicht näher eingegangen wird.

212 Annemarie Beck

1. Sind auch Kinder, die noch kawn schreiben können, in der Lage, selbständig mathe­matische Gedanken im Sammelbuch zu notieren? (Frage der Machbarkeit)

2. Wenn ja,. was notieren sie und wie tun sie das? (Frage nach Typischem) 3. Was lässt sich den Sammelbucheinträgen mit Blick auf das Verständnis von Begrif-

fen und Vorgehensweisen entnehmen? (Diagnosefunktion)

In der Fallstudie kamen sowohl qualitative als auch quantitative Techniken zum Einsatz, die bei der Auswertung im Rahmen der Between-Method-Triangulation (vgl. Denzin 1970, S. 308) verbunden wurden. Die folgende Grafik (vgl. Abb. 3) zeigt deutlich, dass der qualitative Anteil wesentlich höher war als der quantitative Anteil.

Fallstudie

Fragen I bis XIII I . ngulatiOI'l der ,na r-~-.-.-~------.

aetween-MethOd Quantitative Elemente

Qualitative Elemente

Klärung von Randbedingungen: Qualitative Beobachtung der Lernsituation Qualitativ und quantitativ ausgewertete Lernstandserhebungen

Qualitatives Experiment: Sammelbuchkonzept 7 Sammelbuchaufgaben

Qualitative Beobachtung der SBE und des Mathematikunterrichts nicht-teilnehmend als Lehrende teilnehmend

Qualitative Inhaltsanalyse der SBE ! ................................................... ..

Within-Method der Triangulation

Abb.3

Häufigkeitszählungen von Eintragen, Notationsweisen und Verwendungen des SB

SB = Sammelbuch SBE = Sammelbucheinträge

Zunächst einiges zu den qualitativen Elementen: Zur Klärung der Randbedingungen habe ich die Lemsituation der Klasse noch vor dem Unterrichtsversuch beobachtet. Zu Beginn und am Ende der schulpraktischen Untersuchung wurden Lemstandserhebungen in der Versuchsklasse sowie in zwei Parallelklassen durchgefuhrt und qualitativ wie quantitativ ausgewertet. Dabei handelte es sich um einen Leistungstest, einen Test zur Lemfreude und einen Test zum Fähigkeitsselbstkonzept. Danach begann die Erprobung des Sammelbuchkonzepts in Form eines qualitativen Experiments mit minimalem Ein­griff: Ich habe das Sammelbuch bewusst in den Mathematikunterricht eingefugt mit dem Ziel es zu untersuchen. Sonst wurde der Mathematikunterricht von meiner Seite aus

Das Sammelbuch 213

nicht weiter beeinflusst. Das Experiment wurde mit weiteren Methoden der qualitativen Forschung untersucht. Dabei handelte es sich zum einen um die Beobachtung der Sam­melbucheinträge in ihrem Entstehungsprozess. Ich habe den Mathematikunterricht vor, in und nach Stunden mit Sammelbucheinträgen beobachtet, überwiegend nicht­teilnehmend, seltener als Lehrende teilnehmend. Zum anderen wurden die Sammelbuch­einträge als fertige Produkte mithilfe der qualitativen Inhaltsanalyse interpretiert. Bei der Darstellung wurden diese verschiedenen Erhebungstechniken im Rahmen der Within­Method der Triangulation (vgl. Denzin 1970, S. 307) zur gegenseitigen Ergänzung mit­einander verbunden. Bei den quantitativen Elementen handelte es sich um Häufigkeits­zählungen von Einträgen, Notationsweisen und Verwendungen des Sammelbuches.

Die schulpraktische Untersuchung dauerte von September 2000 bis Dezember 2000. Während dieser dreieinhalb Monate fertigten die Kinder insgesamt sieben Sammelbuch­einträge zu verschiedenen Themen an: • Umkehraufgaben • Rechengeschichten • Bündeln • Gemischte Zehnerzahlen • Sprünge im Hunderterfeld • Zerlegungen von Geldbeträgen • Additionsstrategien im Hunderterraum

Im Folgenden werden einige Schülereinträge zu den Themen "Bündeln" sowie "Zerle­gungen von Geldbeträgen" analysiert. Die beiden Aufgaben sind unterschiedlich offen und ruhrten zu verschiedenen Notationsformen. Sie sind damit als Extrempunkte zu verstehen und stecken den Rahmen ab, in dem sich die Sammelbuchaufgaben bewegten.

5.2 Bündeln

Unter Bündeln versteht man in der Mathematikdidaktik die Zusammenfassung von Ele­menten einer Menge zu gleichrnächtigen Teilmengen, die als neue Einheiten mit höhe­rem Zahlwert aufgefasst werden. Dabei bleiben in der Regel einige Elemente übrig, die eine Menge mit geringerer Mächtigkeit bilden. Die Bündelung in gleichartigen Bünde­lungsschritten fUhrt auf das Stellenwertprinzip.

Im Unterricht wurde der Bündelungsbegriff auf der enaktiven Ebene erarbeitet. Die den Schülern im Anschluss gestellte Aufgabe lautete: "Gestalte eine Seite rur dein Sammel­buch zum Thema Bündeln. Zeichne gebündelte und ungebündelte Mengen von Gegens­tänden". Gemäß der Aufgabenstellung verwendeten alle Kinder ausschließlich zeichneri­sche Darstellungen. An den entstandenen Schülerprodukten lässt sich besonders gut die Diagnosefunktion der Sammelbucheinträge aufzeigen. Im Folgenden wird anhand von drei Schülerprodukten gezeigt, was der Lehrer aus diesen Dokumenten über das Bünde­lungsverständnis seiner Schüler lernen kann.

Viele Kinder setzten Bündeln mit linearem Anordnen gleich, wie man das idealtypisch bei Julia sehen kann (vgl. Abb. 4). Julia zeichnete zunächst 9 Eistüten auf dem Blatt verstreut. Darunter ordnete sie 13 Eistüten auf einer vorher gezogenen Linie im wahrsten Sinne des Wortes linear an. Die Vorstellung des linearen Ordnens ging häufig einher mit einer Vorstellung, die ich als Bündeln gleich Aufräumen oder Ordnen nach äußeren Merkmalen bezeichne. Auch diese Vorstellung zeigt sich bei Julia sehr deutlich: So sind

214 Annemarie Beck

die gebündelten Eistüten alle gleich groß, bei den ungebündelten ist das nicht so. Bei den gebündelten EistUten enthält jede EistUte genau drei Eiskugeln, bei den ungebündelten gibt es auch eine Tüte mit fünf Kugeln. Bei den gebündelten Eistüten haben die Kugeln in einer Tüte alle dieselbe Farbe, bei den ungebündelten Eistüten nicht. Die gebündelten Eistüten sind also bzgl. etlicher Merkmale homogen (ordentlich), während die ungebün­delten Eistüten bzgl. derselben Merkmale heterogen (unordentlich) sind.

4 ,10,00

Abb.4 Abb.5

Einige Kinder haben ein sehr wörtliches BUndelungsverständnis entwickelt: Bündeln heißt Zusammenbinden. Dieses Verständnis findet sich z. B. bei OIe (vgl. Abb. 5). OIe zeichnete einen unordentlichen Haufen Stroh. Dann band er vier Stroh ballen zusammen, deutlich erkennbar an den im Original roten Schleifen. Daher lässt sich gut sagen, dass OIe eine Bündelung in mehreren Teilmengen für denkbar hielt. Was sich dagegen nicht sagen lässt, ist, ob die einzelnen Teilmengen gleichrnächtig sein sollen. Die letzten drei Teilmengen sehen gleichmächtig aus, die erste Teilmenge wirkt etwas dünner. Es kann sein, dass OIe sie mit Absicht dünner zeichnete, weil der Aspekt der Gleichmächtigkeit nicht Bestandteil seines Bündelungsverständnisses war. Es kann aber auch Zufall sein. Auftal1ig ist die große Anzahl an Strohhalmen. Man kann zwar nicht genau sagen, wie viele Strohhalme OIe zeichnete, aber es sind mit Sicherheit mehr als 100. Die meisten Kinder blieben dagegen mit ihren Beispielen im Zahlenraum bis 10, obwohl Bündeln vor allem bei großen Anzahlen von Bedeutung ist. Weiter auffällig ist, dass OIe die einzel­nen Strohhalme gar nicht so sorgfältig zeichnete, dass man sie zählen könnte. Dies lässt sich vorsichtig so deuten, dass er den Gedanken der neuen Einheit mit höherem Zahlwert ansatzweise verstanden hatte: Wenn ich erst mal so ein Bündel habe, dann kann ich die Anzahl über diese neue Einheit angeben und muss nicht mehr zählen, wie viele Elemente in dem Bündel sind. Daher muss ich das nicht so zeichnen, dass man es zählen könnte. Typisch bei Oles Beispiel ist, dass kein einzelnes Element übrig bleibt. Oie hat alle Strohhalme in einem Bündel untergebracht. Er schien wie fast alle Kinder dieser Klasse die Vorstellung entwickelt zu haben, dass man beim Bündeln kein einzelnes Element übrig behalten darf, das nicht mit anderen zusammen in einem Bündel untergebracht wurde. Es ist allerdings denkbar, dass das erste dünnere Bündel ein halbes Bündel be-

Das Sammelbuch 215

deuten soll, die Strohhalme dieses Bündels also durchaus als Einzelne im mathemati­schen Sinne gemeint waren.

Einige Kinder entwickelten ein ähnliches BUndelungsverständnis, das ich so bezeichnen möchte: Bündeln heißt Zusammenfassen; es muss nicht unbedingt in Form des Zusam­menbindens erfolgen. So fassten Kinder Blumen in Blumenvasen oder Blumenkästen zusammen (vgl. Abb. 6) oder kästelten Kreise in einem Viereck ein (vgl. Abb. 7). Auch bei diesen Darstellungen tritt immer wieder die Vorstellung des linearen Anordnens hervor.

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Abb. 6 Abb.7

Wie an den Beispielen deutlich wurde, müssen hier viele Fragen offen bleiben, weil ich nicht die Möglichkeit hatte, die Kinder zu ihren Vorstellungen zu befragen, Allein an­hand der schriftlichen Schülerprodukte kann häufig nicht gesagt werden, was ein Kind ausdrücken wollte oder verstanden hat. Im Unterricht hat der Lehrer jedoch die Mög­lichkeit nachzufragen, um genauere Informationen zu erhalten und auf dieser Grundlage das begriffliche Verständnis seiner Schüler anzureichern und wo nötig zu korrigieren .

Deutlich geworden sollte auch sein, dass es ein Blick darauf lohnt, wie Schüler einen im Unterricht thematisierten Begriff verstanden haben. Die Kinder dieser Klasse erhielten alle denselben Unterricht, trotzdem unterschied sich das angeeignete Bündelungsver­ständnis von Kind zu Kind, wie die Beispiele zeigten. Es ist im Sinne konstruktivisti­scher Lemtheorien nicht überraschend und die Sammelbucheinträge zeigen es deutlich : Das, was der Lehrer zu lehren beabsichtigt, muss nicht identisch mit dem sein, was ein Schüler sich bei dieser Belehrung aneignet. Sammelbucheinträge bieten die Möglichkeit, ein Stück weit an die angeeigneten Vorstellungen der Schüler heranzukommen.

5.3 Zerlegungen von Geldbeträgen

Die den Kindern in Anlehnung an Wittmann/MUller (1994, S. 66/67) gestellte Aufgabe zu diesem Thema lautete: "Ein Eis kostet 50 Cent, ein Lutscher kostet 15 Cent. Bezahle jeden Gegenstand auf möglichst viele verschiedene Arten. Schreibe auf. Kommst du mit

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einem Geldstück aus? Begründe." In den Stunden zuvor war die Währung Euro und Cent mithilfe von Spielgeld eingetUhrt worden. Die Kinder wussten also theoretisch, welche Centmünzen es gibt. In der Stunde direkt vor dem Sammelbucheintrag waren Zahlzerle­gungen thematisiert worden. Die Schüler hatten damit gewisse, wenn auch bescheidene und nur theoretische Erfahrungen mit Cent sammeln können. Da im Herbst 2000 die Währung Euro und Cent noch nicht Alltagswährung war, konnte im Unterricht nicht an Alltagserfahrungen angeknüpft werden.

Die Qualität dieser Aufgabe besteht zum einen in der Vielfalt der Lösungsmöglichkeiten und zum anderen in ihrem Argumentationspotenzial. Für die 15 Cent gibt es 22 ver­schiedene Zerlegungen, tUr die 50 Cent sogar 451. Die Kinder können bei der Bearbei­tung also erfahren, dass es in der Mathematik oft mehrere Möglichkeiten gibt, was zum Bild einer offenen und lebendigen Mathematik beitragen kann. Um den Schülern diese Erfahrung zu ermöglichen, sollten die Sammelbucheinträge nach der individuellen Fer­tigstellung gegenseitig vorgelesen werden. Wenn immer wieder ein Kind noch eine Lösung zu nennen weiß, wird die Vielfalt an Lösungsmöglichkeiten auch Grundschülern im Anfangsunterricht deutlich, die zu einer vollständigen Systematisierung noch nicht in der Lage sind. Gleichzeitig gibt die Vorleserunde allen Kindern die Chance sich zu beteiligen. Durch die Offenheit der Aufgabe ist nach einer richtigen Antwort nicht be­reits alles gesagt.

Da diese Aufgabe sich als besonders produktiv tUr die Funktion "Förderung des Formu­lierens und Argumentierens" erwies, werden im Folgenden Ausschnitte aus vier Schü­lereinträgen unter dieser Perspektive analysiert. Vier Kinder begründeten mit einem Prosasatz, warum sich 15 Cent nicht mit einem einzigen Geldstück bezahlen lassen (vgl. Abb. 8 bis 11). Guckt man sich die Kindertexte an, stellt man fest, dass die Inhalte recht ähnlich sind. Die Begründung besteht bei jedem Text in der Nicht-Existenz eines 15-Cent-Stücks. Sprachlich unterscheiden sich die Texte dagegen, nicht unbedingt gravie­rend, aber ich glaube, dass die eigene Sprache es den Kindern erleichtert, den Inhalt zu verstehen.

Abb. IO

Abb.9

M Qj r, ~y;\) V II\ c h -FOt zerrce t}~ Abb.11

Pia schrieb, dass es kein geeignet geprägtes Geldstück gibt, nämlich kein Ct-Stück mit 15 drauf (vgl. Abb. 10). Ihr Text wirkt wie eine Gebrauchsanweisung: Nimm alle exis­tierenden Geldstücke und lege sie neben das entsprechende Muster. Findest du ein Geld­stück, das genauso aussieht, leistet es das Verlangte. Findest du kein solches Geldstück, kann man 15 Cent nicht mit einem Geldstück bezahlen .. Meike schrieb: Es gibt keine 15-Geld-Stücke (vgl. Abb. 11). Das kann eine Verallgemeinerung sein bedingt durch ihre Erfahrungen mit DM und Pfennig. Es kann aber auch sein, dass ihr der Name tUr das

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neue, außerhalb des Unterrichts noch bedeutungslose Geld nicht einfiel. Oie ging in seiner Begründung über die der anderen Kinder hinaus. Im ersten Teil seiner Aussage schrieb er ähnlich wie die anderen: Es gibt kein 15-Cent-Stück (vgl. Abb. 12). Im zwei­ten Teil fUgte er verstärkend ein Zerlegungsbeispiel an: sondern nur 10 ct + 5 ct = 15. Das bedeutet: Die kleinstmögliche Zerlegung ist eine mit zwei Summanden. Folglich gibt es keine Zerlegung mit nur einem Summanden.

Beim Vergleich diese drei Aussagen fallt eine Gemeinsamkeit auf. Die Kinder begannen ihre Texte mit der Wendung "es gibt kein". Es gibt kein ist eine in der Alltagssprache gebräuchliche Formulierung. Sie ist darüber hinaus typisch rur mathematische Sprache. Viele mathematische Sätze einhalten die Wendung "es gibt ein" oder "es gibt kein". Dies sowie die Tatsache, dass drei von vier Kindern diese Formulierung aus eignern Antrieb verwendeten, mag mancheh Lehrer dazu veranlassen, bei ähnlichen Aufgaben diesen Satzanfang verbindlich vorzuschreiben. Dahinter können folgende Ziele stecken: I. EinfUhrung in die mathematische Fachsprache, 2. Schreiberleichterung durch vorgegebene Satzanfange insbesondere rur leistungs-

schwächere Schüler.

Insofern ist es gut, dass Tom wie folgt begonnen hat: "man hat nicht" (vgl. Abb. 13). Tom hat den Sachverhalt offensichtlich verstanden und er hat selbständig eine auch rur andere verständliche sprachliche Form gefunden. Wenn es das Ziel ist, das eigene Den­ken und die Sprachfahigkeit der Kinder zu entwickeln, dann kann es im Mathematikun­terricht nur darum gehen, durch geeignete Aufgaben Anlässe zum Argumentieren bereit­zustellen. Vorgegebene Formulierungen werden dagegen rur einige Kinder keine Bedeu­tung haben und tragen damit nichts zum Lernziel Formulieren und Argumentieren bei.

Auftallig war bei dieser Aufgabe die Argumentationsfreudigkeit der Kinder. Ich ruhre das darauf zurück, dass diese Aufgabe eine Argumentation verlangt, während es in allen anderen Sammelbuchaufgaben ausreichte, Beispiele anzugeben. Ist eine Aufgabe lösbar, reicht es aus, das Ergebnis anzugeben. Ist eine Aufgabe dagegen nicht lösbar, muss ar­gumentiert werden, weil man kein Beispiel angeben kann. Damit folgt ftlr die im vorigen Absatz angesprochenen geeigneten Aufgaben: Sie sollten eine mathematische Argumen­tationsnotwendigkeit in sich tragen.

5.4 Merkmale geeigneter Aufgaben

Im Folgenden gehe ich systematischer auf Merkmale geeigneter Sammelbuchaufgaben ein. Dazu werden zunächst die beiden vorgestellten Aufgaben hinsichtlich ihrer mathe­matischen Reichhaltigkeit sowie ihrer Offenheit beurteilt. Danach erfolgt ein Vergleich der Zerlegungsaufgabe mit einer ähnlichen Aufgabe aus dem PISA-Test. Schließlich werden die Merkmale stichpunktartig zusammengefasst.

Bündeln ist die Grundlage rur das Stellenwertsystem. Stellenwertsysteme ermöglichen es, mit einer begrenzten Zahl an Ziffern auszukommen und Rechnungen mit großen Zahlen auf die Grundaufgaben des kleinen Einspluseins und Einmaleins zurückzuruhren. Der Bündelungsgedanke ist nicht nur grundlegend rur das Verständnis des Stellenwert­systems, sondern auch fur die darauf aufbauenden schriftlichen Rechenverfahren, das halbschriftliche Rechnen und das Kopfrechnen, das über das Weiterzählen hinausgeht.

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Die Zerlegungsaufgabe bezieht sich auf den nicht divisiblen Größenbereich Geld und thematisiert damit die Besonderheit dieses Größenbereichs. Weiterhin wird mit der Viel­falt an Lösungsmöglichkeiten der flexible Umgang mit Zerlegungen nicht nur von Geld­beträgen geübt. Schließlich gibt die Aufgabe Raum fiir die systematische Betrachtung von Zahlzerlegungen. Beide Aufgaben beziehen sich also auf mathematisch reichhaltige Themen.

Die Aufgabe zu den Zerlegungen war wesentlich geschlossener als die zum Bündeln. Bei den Zerlegungen waren die zu kaufenden Gegenstände ebenso vorgegeben wie deren Preise, um durch geeignete Zahlenwerte zur Argumentation herauszufordern. Die Vor­lieben der Kinder (Das würde ich gern kaufen), ihre Kaufkraft (So viel Geld kann ich ausgeben) oder ihre Rechenfähigkeit (Mit diesen Zahlen kann ich gut rechnen) konnten folglich keinen Einfluss nehmen. Das war beim Bündeln grundsätzlich anders: Hier waren die Gegenstände frei wählbar, ebenso die Anzahl der Gegenstände oder die Art der Bündelung. Die Sammelbucheinträge zeigen, dass eine Aufgabe nicht automatisch um so besser ist, je offener sie ist. Der Lehrer muss vielmehr überlegen, was erreicht werden soll. Soll zur Argumentation angeregt werden, scheint die begründete Auswahl produktionsfördernder Vorgaben sinnvoll. Hätten die Schüler die Zahlen bei der Zerle­gungsaufgabe beispielsweise selbst wählen dürfen, hätte es bei einigen vielleicht gar nichts zu argumentieren gegeben.

Um weitere Merkmale guter Sammelbuchaufgaben deutlich werden zu lassen, erfolgt ein Vergleich der unter 5.3 genannten Zerlegungsaufgabe mit folgender ähnlicher PISA­Aufgabe fiir 15-jährige Schüler: Wie kannst du einen Geldbetrag von genau 31 Pfennig hinlegen, wenn du nur 10-Pfennig-, 5-Pfennig- und 2-Pfennig-Münzen zur Verfiigung hast? Gib alle Möglichkeiten an!

In beiden Aufgaben geht es um Zerlegungen und es sind nur bestimmte Geldstücke zu­gelassen. Die PISA-Aufgabe ist jedoch weit geschlossener als die Sammelbuchaufgabe. Es ist explizit gefordert, alle Möglichkeiten zu finden. Bei der Sammelbuchaufgabe ist die Anzahl der Zerlegungen dagegen den Schülern überlassen. So ergeben sich Selbstdif­ferenzierungsmöglichkeiten. Die PISA-Aufgabe hat eine Einstiegshürde: Der Schüler muss erkennen, dass jede Zerlegung eine 5 und drei 2en enthalten muss. Wer das nicht herausfindet, kann die Aufgabe nicht lösen. Die Sanunelbuchaufgabe hat keine Ein­stiegshürde. Wem nichts anderes einfällt, der kann immerhin 1 + 1 + ... + 1 schreiben. Weiterhin gibt es einfache "kleine" Zerlegungen wie 10 + 5 = 15. Das bedeutet: Diese Aufgabe ermöglicht allen Kindern einen Zugang. Zudem enthält sie eine "Rampe fiir Könner" (GalliniRuf 1998, S. 49). Die Aufgabe, alle Zerlegungen zu finden, ist schon bei den 15 Cent eine Herausforderung. Bei den 50 Cent übersteigt das Anforderungsni­veau die Leistungsfähigkeit von Grundschülern, denn hier ist es wegen der großen An­zahl nicht mehr möglich, alle Zerlegungen per Hand aufzuschreiben. Es sind stärker systematisierende Überlegungen nötig (vg1. Beck 2002). Die PISA-Aufgabe enthält dagegen keine Rampe fiir Könner. Wenn einmal erkannt ist, dass jede Zerlegung eine 5 und drei 2en enthält, ist das Problem schnell gelöst.

Damit ergeben sich insgesamt folgende Merkmale geeigneter Sammelbuchaufgaben. Geeignete Sammelbuchaufgaben: • erfordern mathematisch reichhaltige Themen, damit es etwas Lohnenswertes zu

schreiben gibt,

Das Sammelbuch 219

• sollen Entdeckungen ennöglichen, die auf verschiedene Weisen hotiert werden kön-nen,

• sollen mehrere Lösungswege zulassen, • müssen allen Schülern einen Zugang ennöglichen, • sollten eine Rampe für Könner enthalten, • brauchen nicht in jeder Hinsicht offen zu sein, sondern dürfen begründete produkti­

onsfördernde Vorgaben machen.

6. Zusammenfassung

Abschließend werden die Ergebnisse der schulpraktischen Untersuchung zusammenge­fasst, die sich unter Berücksichtigung aller sieben Sammelbuchaufgaben ergaben.

Zur I. Frage: Sind auch Kinder, die noch kaum schreiben können, in der Lage, selbstän­dig mathematische Gedanken im Sammelbuch zu notieren? Nach der schulpraktischen Untersuchung lässt sich diese Frage bejahen. Die Kinder der untersuchten zweiten Grundschulklasse waren trotz ihrer geringen schriftsprachlichen Fähigkeiten in der Lage, über mathematische Sachverhalte nachzudenken und ihre Reflexionsergebnisse selb­ständig zu notieren. Natürlich unterschieden sich die Texte in Quantität wie in Qualität, aber es gab kein Kind, das bei irgend einem Thema ein leeres Blatt abgeheftet hat.

Zur 2. Frage: Was notierten sie und wie taten sie das? Die Kinder verwendeten überwie­gend Beispiele in Fonn von Zahlensätzen oder Zeichnungen. Prosasätze wurden selten geschrieben. Dabei zeigte sich eine Abhängigkeit von der AufgabensteIlung sowie vom Kind. Prosasätze wurden hauptsächlich von Kindern verfasst, die sowohlleistungsstark in Mathematik als auch in Deutsch waren.

Zur 3. Frage der Diagnosefunktion des Sammelbuches: Es zeigte sich, dass das diagnos­tische Potenzial der Sammelbucheinträge sehr hoch war. Die Einträge ennöglichten gute Deutungshypothesen, wie an den Beispielen deutlich geworden sein sollte. Sie waren aber im Regelfall mehrdeutig. Was genau ein Kind ausdrücken wollte oder verstanden hatte, konnte alJein anhand der schriftlichen Schülerprodukte nicht gesagt werden. Diese Mehrdeutigkeit ist zwar für die isolierte Auswertung ein Nachteil, fur den Mathematik­unterricht ist sie dagegen ein Vorteil (vgl. 3.8). Denn sie regt geradezu zum Nachfragen nach der vom Kind gemeinten Bedeutung an und kann damit zu authentischen Gesprä­chen über die Mathematik beitragen.

Die Ergebnisse der Fallstudie waren also äußerst ennutigend: Kinder sind selbst unter so widrigen Umständen, wie sie in dieser Klasse gegeben waren, zu erstaunlichen Reflexi­onsleistungen in der Lage. Andererseits waren in der untersuchten Klasse Voraussetzun­gen für ein aktiv-entdeckendes und schriftlich-reflektierendes Vorgehen infolge der sehr ungünstigen Unterrichtsbedingungen kaum gegeben. Daher wurde das Sammelbuch in dieser Klasse nicht dauerhaft in den Lernprozess der Kinder einbezogen, was sich z. B. darin niederschlug, dass die Kinder es mit einer Ausnahme nicht als Nachschlagewerk verwendeten. Der Nutzen des Sammelbuches in dieser Hinsicht konnte folglich in die­sem Unterrichtsversuch nicht beurteilt werden. Daher ist es interessant, das entwickelte Konzept unter veränderten Bedingungen im Rahmen weiterer Fallstudien zu erproben, um ein umfassendes Bild von der Einsetzbarkeit und den möglichen Erscheinungsfor­men des Sammelbuches zu gewinnen. Denkbar ist die Erprobung in verschiedenen Sachgebieten des Mathematikunterrichts, in verschiedenen Klassenstufen - auch über

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einen längeren Zeitraum, um Entwicklungsverläufe beobachten zu können - bei Schli­lern mit unterschiedlichen Lernvoraussetzungen oder unter verschiedenen Unterrichts­bedingungen. Hier ließe sich nach den notwendigen Merkmalen einer Unterrichtskultur fragen, die für schriftlich-reflektierendes Vorgehen forderlich ist. Auch die Erprobung in einem veränderten Design,· das die anderen Elemente des Konzepts aufgreift wie Re­chentagebuch und Rechenkonferenz, die bei dieser Fallstudie nicht zum Einsatz kamen, scheint lohnenswert.

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Annemarie Beck Humboldt-Universität zu Berlin Institut fllr Mathematik Unter den Linden 6 10099 Berlin e-mail: beck@mathematik.hu-berlin.de

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