F. Elsstomechanik und Plestizitat 259 2. angea. Ysth. Yech. Bd. 52 Nr. 8/Q ALng.pept. 1952 --

Diese Variationsglcichungen untersclieiden sich von der Linearisierung der Ekwegungs- gleichungen, die G r a m m e 1 vornimmt, s. u.

Sodann werden zunachst die Stabilitats g r e n z e n ermittelt durch das bei p = - 1 entstehende selbstadjungierte Eigenwertproblem, den (nichtlinear eingehenden) Eigenwert p als Funktion des Storungsparameters q zu ermitteln. Nach der ublichen, auch von B i e z e n o - G r a m m e 1 angewandtcn, von R e 1 1 i c h , Math. Ann. 113 (1936) mathematisch begrundeten Theorie der Eigenwertstorung crhalt man fur die Nachbarschaft von q = 0 eine Aufspaltung des zweifachen Eigenwertes p = 0 in zwei Eigenwerte p = pi (q) , i = 1, 2 , aus der Deter- minantengleichung

} = O ( ") p j H ' 2 ) (Xi 9 X,) dy + q j Hb"'(XL. XZ) dY

det {+3p/HI3)(X,,. T i , X,) dy + 3qjH(S)X,, X i , XI) dy+-

(i, I = 1,2),

wobei fur die Vcrdrehung GOx (y) und den zugehorigen Impuls q:(y) der periodischen Aus- gangsbewegung e0 nur kurz

gesetzt ist. H(*) sind die Glieder zweiter Dimension, Hb2) diese Glieder nach q differentiert, soweit es explizit vorkommt, HIS) die Glieder dritter Dimension in der H a m i 1 t o n - Funktion der Kurbelwelle.

Dan schliel3licli der die q-Achse in der Mitte enthaltende Winkelraum zwischen diesen Grenzen p = pi(q) wirklich ein Drehfrequenzbereich mit -formal und wirklich - i n s t a - b i 1 e n periodischen Losungen ist, folgt aus einer Zusatzbemerkung von mir ,,Uber-die Viel- fachheiten gestorter Eigenwerte", Math. Ann. 113 (1936), die sich eben auch funktionentheoretisch, hier in einem Vorzeichenwechsel von pz langs p = pi (q) auswirken.

[Im Vortrag hatte ich voreilig von doppelt so grooen Instabilitatsintervallen gesprochen (falls das Differentialgleichungssystem in der kanonischen Form angenommen wird), die uberdies beim wirklichen Differentialgleichungssystem, wie (*) zeigt, auch von dem - unbekannten - nichtlinearen Zusammenhang zwisclien Verdrehung und Torsionsspannung abhangen. Herr G r a m m e 1 wies jedoch auf eine von ihm angeregte Untersuchung von K o i t e r , Proc. Acad. Amsterdam (mir noch nicht zuganglich) hin, der das sehr bemerkenswerte und merkwiirdige Er- gebnis gefunden hat, dal3 zu G r a m m e 1 s ursprunglicher Rechnung z w e i weitere Glieder hinzukommen, die sich gegenseitig gerade wieder wegheben. Auf Grund dieses (von mir veri- fizierten) Ergebnisses erweist sich die von B i e z e n o - G r a m m e 1 berechnete Aufspaltung dennocli als exakt - wenigstens bei Zugrundelegung des linearen H o o k e ' schen Zusammen- hanges. So lautet die dortige Formel (41, 11) (bei Hinzufugung der Drehmassen 0, des glatten Ersatzsystems, die sich ja bei der inhomogenen Maschine keineswegs wegheben, sowie bei Aus- rechnen der U, (u;) = i2 u: durch die Amplituden ui der ungestorten Torsionsschwingung) unter Verwendung der Amplituden p A , i , p &, der Massenveranderlichkeit schlierJlich

Der elastisch plastische K6rper Von Hans Jung in Stuttgart

Wird ein isotroper Korper durch ein Kraftesyslem beansprucht, so geht der Punkt p des Korpers mit den Koordinaten Z,Y, Z in den Punkt P mit denKOordinaten 5, y, z iiber. Bezeichnet man mit

u ( z , y, z ) die Verscliiebung in der z-Hichtung, c ( x , y, z ) die Verschiebung in der y-Richtung, w(z , y, z ) die Verschiebung in der z-Hichtung,

so ist der Zusammenhang der Koordinaten gegeben durch

. (1). z = 2 -u(z , y, z ) , y = y --v(z, y, z ) , z = z -w(z, y, 2) . . . . . - -

2. anger. Math. Meoh. Bd. 82 Nr. 8/9 AagJBept. 1952 F. Elastomechanik und Plestizitilt

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In bekannter Weise erhalt man aus (1) die Verzerrungen

. . . . . . . . . . * (2).

. . . . . . . . .

* (3).

' t y = 2 - - au [ ( a y - _ +(;;)2 + (31,. ,

~ = ( ~ y $ j ) , 1 . i , j = x , y , z

, 2x ax ax

Y z r = & + a<- ax ay ax ay ax ay ' au av au au av av aw aw -- ._ - -_ -. - - -

Die Verzerrungen (2) sind die Komponenten des Tensors

. . . . . . . . . . .

Die Invarianten dieses Tensors werden mit J1 , J , , J3 bezeichnet. Der Tensor (3) wird in einen Kugeltensor 6, und den Deviator

Die am Korperelement im verzerrten Zustand angreifenden Spannungen bilden den Tensor

a, G Y r z z

zerlegt.

. . . . . . . . . . . q3=(z2 ;;z :). * (4).

Der Tensor (4) hat die Invarianten Pl, Po, P3und wird in einen'Kugeltensor '$, und einen Deviator '$ aufgespalten. Mit den Tensorinvarianten aus (3) und (4) lautet das Gesetz von R o S - E i c h i n g e r

Bei Obergang zu kleinen Formanderungen mu13 das nichtlineare Elastizitatsgesetz in die Be- dingungen von M i s e s

1 3 . . . a,--(a, +a, +a,) = A . E ~ . * ~ , 9 * . .

mit der Nebenbedingung J1 = 0 iibergehen. Dies wird durch den Ansatz in Tensorform

erreicht. Mit (6) und (5) erhalt man die Tensorgleichung

$ = . q ( / ' i [$ J f - Ji) . . . . . . . . . wobei die Schubfunktionen

eingefiihrt wurde. Mit den Invarianten aus (3) erhalt man die Volumdehnung

Da in (2) nur die quadratischenGlieder beriicksichtigt wurden, lafit sich der Zusammenhang zwi- schen dem hydrostatischen Spannungszustand und 6, in der Form angeben

. . . . . . . . . . . . . A , . = 2 J l - 4 J , + 8 J 3 . (8).

1 . . . . . . . . . . . . . . Po = J 1 ) * (9).

Mit (7) und (9) erhalt man das nichtlineare Elastizitatsgesetz in der Form

. . . . . (10)"

F. Elestomechenik und Plastizitlit 261 2. anger. Math. Yeoh. BdLNr. 819 Aag./Sept. 1952 -

Ilurch Spezialisierung 1aBt sich aus (10) das H o o k e sche Gesetz, das Gesetz von H. K a u - d e r e r und die klassische Plastizitatstheorie gewinnen.

Die durch (10) gegebenen Spannungen mussen noch die Gleichgewichtsbedingungen er- fullen. Geht man mit dem Ansatz

(11) . . . . 1 . . . . . . . u = ClUO + c: u1 + $ u p * * * . v = c , v 0 +c;v, +c;v2 * * * *

w = c, wo + c; w,+ 4 w, * ' * '

in (2) ein, wobei quo, c,vo, c,wo die aus der klassischen Elastizitatstheorie erhaltenen Verschiebungen bedeuten, so lassen sich mit (10) die Span-

wichtsbedingungen fuhren dann auf lineare Gleichungssysteme zur Be- stimmung der ui, vi und wi. Mit den- selben Vereinfachungen, die auch in der technischen Biegelehre gemacht wurden, 1aBt sich fur den durch das Bild gegebenen Belastungsfall die Dif- ferentialaleichuna fur die Durchbie-

nungen bestimmen. Die Gleichge- L

gung w iufstellei

wobei M(x) das auf die Platte stanten sind.

Die Beugung

(12) iY ausgeubte Biegemoment bedeutet und A,, sowie B Materialkon-

elastischer Wellen an der Halbebene Von A.-W. Maw in Freiburg (Br.)

Das Problem der Beugung elastischer Wellen an der spannungsfreien Halbebene, das fur die Diskussion der Spannungsverhaltnisse in der Umgebung einer Bruchflache in elastischem Material von Ekdeutung ist, wird nach einer von C 1 e m m o w und vop H o n 1 angegebenen Mcthode mit Hilfe zweier Integralgleichungen formuliert. Diese lassen sich auf die Aufgabe reduzieren, eine vorgegebene verzweigte Funktion so in zwei Faktoren aufzuspalten, daB sich die Verzweigungspunkte in vorgeschriebener Weise auf beide Faktoren verteilen. Die Auf- spaltung gelingt mit Hilfe des C a u c h yschen Satzes. Eine ausfuhrliche Darstellung des Gegen- standes erscheint demnfichst in dieser Zeitschrift.

Strukturmodelle und Systematik der FlieBvorghge '1 Von Ernst Mewes in Braunschweig

Die FlieBeigenschaften vieler Stoffe werden an Hand von mechanischen Modellen veran- schaulicht, die aus Federn und Dampfern aufgebaut sind. Sofern FlieBgrenzen auftreten, sind Glieder mit fester Reibung hinzuzunehmen. Das allgemeinste Modell, das sich aus parallel ge- richteten Federn und Dampfern rnit linearen GesetzmaBigkeiten aufbauen lafit, ergibt sich durch Hintereinanderschaltung von einer Feder und einem Dampfer, d. i. zusammen ein sog. M a x - w e 1 1 - Glied, und beliebig vielen Paaren parallel geschalteter Federn und Dampfer, d. s. sog. K e 1 v i n - Glieder. Dynamisch gleichwertig hiermit sind Modelle, die aus einer entsprechenden Zahl von M a x w e 11 -Gliedern in Parallelschaltung aufgebaut sind.

Fur beide Modelle ergibt sich die allgemein giiltige Differentialgleichung zwischen Verfor- mung y und Belastung z:

mit den zeitunabhangigen Beiwerten a und b. A ist die Anzahl der M a x w e 1 1 - und K e 1 v i n - Glieder. Diese Beziehung sieht etwas anders aus als die bisher irn Schrifttum dafiir angegebenen

1) Aus dem Institut ftir hndtechniache Grundlegenforschung in der Forschnngmmtdt fiir bndwirt- echaft.

+any + . - * +any(") = Z + b 1 + +b ,Z +... +bndn)

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