Die gleichförmig beschleunigte Bewegung[ ]2sma

t s[ ]

a

[ ]smv

t s[ ]

v0

a ( t ) = a

∫ ⋅=t

dtat0

)(v

0)( vv +⋅= tat

002

2)( sttats +⋅+⋅= v

( )∫ +⋅=t

dttats0

0)( v[ ]ms

t s[ ]s0

Einführung in die Experimentalphysik für Pharmazeuten

Joachim Rädlere-mail joachim.raedler@physik.uni-muenchen.de

Vorlesung: Montags 11.15 bis 12.45, Liebig HS

Übung : Montags 10.00 bis 11.00, Liebig HSKlausur: am 31. Juli. 2006 von 11.15 bis 12.45

erster Montag nach Semesterende !

http://www.physik.uni-muenchen.de/kurs/PPh Web-Seite zur Vorlesung :

Experimentelle Vorlesungsbegleitung : Christian Hundschell

Wichtige Begriffe dieser Vorlesung:

ImpulsArbeit, Energie, kinetische EnergieStarrer Körper: Drehmoment, Drehimpuls

Erhaltungssätze:- Impulserhaltung- Energieerhaltung- Drehimpulserhaltung

Die Newtonschen Grundgesetze

1. Newtonsche Axiom (Trägheitsprinzip)Ein Körper, der sich völlig selbst überlassen ist, verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung.

2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine Kraft. Sie ist definiert als

3. Newtonsche Axiom (Reaktionsprinzip)Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, ist die Kraft F12 auf den einen Körper entgegengesetzt gleich der Kraft F21 auf den anderen Körper.

(actio=reactio)

am ⋅=F

2112 FF −=

[N=kg·m/s2= 1 Newton]m : „träge Masse“

Impulsvp ⋅= m Definition des Impulses

als „Bewegungszustand“ (Newton)

Exakte Formulierung des 2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)Ursache für eine Änderung des Bewegungszustands ist eine Kraft. Sie ist definiert als die Ableitung des Impulses nach der Zeit

pFdtd

= für m=const. aF ⋅= m

( ) amdtdmm

dtd

dtd

⋅=⋅=⋅== vvpFBeweis :

pddtF rr=⋅ Kraftstoß=Impulsänderung

Der zentrale Stoßv1

v2

nachhervorher

22112211 vvvv ′+′=+ mmmm

Impulserhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System (keine äußeren Kräfte) bleibt der Gesamtimpuls konstant

constm ii =⋅∑ v

Impulserhaltungssatz

m1

m2

m2

m1

v1v2

Aus dem Wechselwirkungssatz (Actio=Reactio) folgt: Die Kräfte auf Wagen 1 und Wagen2 sind zu jedem Zeitpunkt gleich groß aber entgegengerichtet.

22221111 vv ⋅−=−=−===⋅ ∫∫ mpdtFdtFpm

02211 =⋅+⋅ vv mmIn einem abgeschlossenen System (keine äußeren Kräfte) bleibt der Gesamtimpuls konstant

Die gleichförmige Rotation

x

y

ϕ

ϕ (t) = ω ⋅ t

x = r ⋅ cosϕ

y = r ⋅sinϕ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

=)sin()cos(

trtr

rωωr

r

)()cos()sin(

)( trtrtr

t evrv ⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅−

= ωωωωω

vω: Winkelgeschwindigkeit

Der Geschwindigkeitsbetrag ist konstant : v= ω⋅r

Die Richtung des Einheitsvektors „kreist“ : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

tt

tωω

cossin

)(er

Die Zentripetalbeschleunigungder gleichförmigen Rotationsbewegung

y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅−

⋅=⇒=)sin()cos(

)( 2

tt

rtadtda

ωω

ωvv

v v

v a (t) = ω2 ⋅ r ⋅ cos2(ω ⋅ t) + sin2 (ω ⋅t) = ω 2 ⋅ r

Zentripetalbeschleunigung: ra ⋅= 2ω

xϕ

x = r ⋅ cosϕ

y = r ⋅sinϕv

a

r⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

=)sin()cos(

ϕϕ

rr

rr

ra

2v=

r⋅= ωvmit folgt

Scheinkräfte sind Trägheitskräfte, welche von mitbewegtenBeobachtern in beschleunigten Bezugssystemen beobachtetwerden.

a

Ftr

Scheinkräfte

Beobachter außerhalb:-Wagen wird beschleunigt,daher Zugkraft auf Feder.

Beobachter im Wagen:-Eine Kraft zieht die Kugelplötzlich nach hinten.

Scheinkräfte: die Zentrifugalkraft

Newtonsche Axiome gelten nur in ruhenden oder gleichförmig bewegten systemen. In beschleunigten Systemen treten Scheinkräfte auf.

Das Newtonsche Gravitationsgesetz

2rMmGFG

⋅−=

r

G=6,673 ·10-11 Nm2/kg2

(Gravitationskonstante)

rm

rMmG

2

2

v=

⋅ Ansatz : FG=FP (Gravitationskraft=Zentripetalkraft)

Tr /2π=vmit folgt 3

22 4 r

MGT ⋅

⋅=

πDritte Keplersche Gesetz

Die elastische Federkraft

Kräfte können über das dynamische Grundgesetz gemessen werden:1 N ist die Kraft, die eine Masse von 1 kg mit 1 m/s2 beschleunigt.oder auch über ihre Deformationswirkung auf einen Festkörper (Feder):

)( 0xxDFD −⋅−=

Federkonstante Federauslenkung

Hook‘sches GesetzF

Beispiel eines Kraftmeßgeräts: Das Kraftmikroskop

mND 310−=

mNmnN

DFx 610

001,01 −=

⋅==

AFM experiments with single molecules

custom-built instrument (M. Rief, H. Gaub et al., Science 275, 1295 (1997)):

intermolecular forces(binding interactions)

intramolecular forces(polymer elasticity)

Deflection

Piezopath

Extension [nm]

4003002001000

600

-400

-200

0

200

400

Forc

e [p

N]

Wo ist die klassische Mechanik relevant ?

Ηψ = Εψ

F = MA

exp(-∆E/kT)

domain

quantumchemistry

moleculardynamics

Monte Carlo

mesoscale continuum

Length Scale

Tim

e Sc

ale

10-10 M 10-8 M 10-6 M 10-4 M

10-12 S

10-8 S

10-6 S

Wie funktionieren Molekulardynamik Simulationen ?

Poly(vinylidene fluoride)

„Trockene“ Reibung

Reibungskräfte wirken entgegen der angelegten Kraft und der Geschwindigkeit.

FR= µ* FNFext

FN=m*g

Trockene Reibungskraft unabhängig von Geschwindigkeit und Auflagefäche !

Stahl/Stahl 0,78 0,42Stahl/Stahl(Öl) 0,05 0,03Gummi-Asphalt 0,8-1,1 0,7-0,9

µH µGTypen der Reibung:- Haftreibung µH- Gleitreibung µG- Rollreibung µR

Gleitreibung auf atomarer Skala - der Kleben-Rutschen Prozess (stick-slip)

Rollreibung

Eisenbahn µG=0,002KFZ µG=0,02

Rollreibung ist eine ständige Bergaufbewegung, weil der Untergrund inelastisch verformt wird.

Arbeit und Energie

Mechanische Arbeit

F = m ⋅ g Gewichtskraft

x

HubarbeithgmW ⋅⋅=h (gegen die Schwerkraft)

FGEine reibungsfreie waagerechte Verschiebung verrichtet keine Arbeit

0=∆⋅⋅=⊥ xgmW

Zug-Arbeit am Schlitten

ϑcos⋅⋅= sFW

Die Arbeit

Die Arbeit W (work) wird definiert als das Produkt aus dem Weg den ein Körper zurücklegt und der Kraft, die in Richtung dieses Weges wirkt.

W =v F ⋅

v s = F ⋅ s ⋅ cos(α )

v F

αF cos(α )

v s Die Arbeit ist das

Skalarprodukt aus Kraft und Weg

Einheit: 1 J(oule)=1 Nm=1 kgm2/s2

∆v s

v F

Bei veränderlicher Kraft summieren wir über kleine Wegelemente

∫∑ ⋅=∆⋅= sdFsFW rrvv

Die elastische Verformungsarbeit

F

x=0

s

sDF ⋅−=Für die Federkraft gilt:

2

2sDdssDsdFWD −=⋅⋅−== ∫∫

vv

Kann man Arbeit sparen?

Goldene Regel der Mechanik:Bei reibungsfreien (idealen) Maschinen gilt: Die dem Kraftwandler

zugeführte Arbeit Wzu ist gleich der von ihm abgegebenen Arbeit Wab.Wzu = Wab

Geleistete “Zugarbeit” : Wzu = F×sErbrachte Hub-Arbeit : Wab = FG×hDa am Flaschenzug mit einer losen Rolle

FG= 2×F und h = s/2 gilt,

ergibt sich daraus Wzu = Wab.

Potentielle Energie

- Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.

Ein Körper, an dem mechanische Arbeit geleistet worden ist, hat die Fähigkeit gewonnen diese Arbeit wieder zurückzugeben. Die von ihm aufgenommene Energie wird potentielle Energie genannt

2

2sDWE Dpot =−=Feder:

hgmWE Hpot ⋅⋅=−=Lage:

Konservative Kraft und potentielle Energie

dxdE

F pot−=

Im dreidimensionalen Raum gilt :

)(,, rVgraddzdV

dydV

dxdVF rr

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Beschleunigungsarbeit und kinetische Energie

Herleitung für den Fall gleichförmig beschleunigter Bewegung

aaatas

222

222 vv

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅=

Der zurückgelegte Weg :F

22

22 vv ⋅=⋅⋅=⋅=

ma

amsFW

Bei der Beschleunigung verrichtete Arbeit :

2

2vmWkin =

Def. Kinetische Energie

Energiesatz der MechanikWenn nur konservative Kräfte wirken, also keine Reibung auftritt, dann gilt:

Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie eines abgeschlossenen Systems ist unveränderlich.

konstant==+ geskinpot EEE

Beispiel : Die schiefe Ebene

Epot+Ekin=const

αh

2

2vmhgm =⋅⋅

gh2max =v

Lösung des Pendelproblems mit Hilfe des Energiesatzes

Das Pendel

Epot+Ekin=const

Es gibt 2 ausgezeichnete Punkte

1. ϑ=ϑmax mit Ekin=0 und

mghEE potges == )( maxϑ

2. ϑ=0 mit Epot=0 und

2)0(

2maxvmEkin =

gh2max =v1.)+2.)

Das asymmetrische Pendellinks und rechts gilt

mghEE potges == )( maxϑ

Die Winkel lassen sich ableiten aus :

2

2 ...)1(cos

ϑ

ϑ

ϑ

lll

llh

≈

+−⋅−≈

⋅−=

Der allgemeine Energieerhaltungssatz

- In einem abgeschlossenen System ist Gesamtenergie konstant.- Energie kann man weder vernichten noch erzeugen.- Die Energieformen können nur ineinander umgewandelt werden.- Dies schließt alle Formen von Energie ein. (Elektrische, mechanische,chemische Energie, Wärmeenergie, etc.)

Perpetuum mobile

Die von nicht-konservativen Kräften verrichtete Arbeit,WNK entspricht der Änderung der mechanischen Gesamtenergie

dissipativkinpotges WEEE =∆+∆=∆

Die Leistung

Die Leistung P ist definiert als die verrichtete Arbeit pro Zeiteinheit.

P =dWdt Einheit: 1 W(att)=1 J/s=1 kgm2/s3

- Ein Mensch kann ca. 100 W Dauerleistung leisten (Glühbirne).

- 1 PS entspricht 735,5 W

Der zentrale, maximal inelastische Stoßv1 v2

v1’ =v2’=v’

nachhervorher

vvv ′+=+ )( 212211 mmmm Impulserhaltung

Energie nach dem Stoß :2

11

21

1221

2)(2vv m

mmmmmEnach +

=′+=

Energie vor dem StoßBetrachte Spezialfall v2=0

21

1

2vmEvor =

Chemische Reaktionen :auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen

CABBCA K +⎯→⎯+

CABBCA pppp rrrr+=+

chemkinkin

kinkin

ECEABEBCEAE

∆++=+

)()()()(

Die kinetische Energie ist nicht erhalten, sondern hängt von der Umwandlung „innerer Energie“ ab.

Energiebilanz für endotherme und exotherme

Reaktionen

Der schiefe, elastische Stoß

y

x

ϑ 2ϑ1

xx mmm 211 vvv ′+′=

yy mm 210 vv ′+′=

22

21

22

21

21 22222 yyxx

mmmmm vvvvv ′+′+′+′=

Impulserhaltung :

Energieerhaltung :

Für den Spezialfall: v2=0, m1=m2

221 πϑϑ =+

erhält man stets

Elastische Proton-Proton Streuung

nach dem Stoß schließen die Bahnen einen Winkel von 90° ein.

Kollision von zwei Billardkugeln (im Zeitlupenverfahren gefilmt)

aus Dransfeld et al.

Drehbewegungen und der starre Körper

Punktmassen-Systeme„Abgeschlossenes System“ : * Keine äußeren Kräfte * nur WW-Kräfte* Inertialsystem

In einem abgeschlossenen System gilt :

Der Gesamtimpuls ist erhalten.

Die Gesamtenergie ist erhalten. (einschließlich der Wärme in nicht konservativen Systemen)

Der Gesamtdrehimpuls ist erhalten.

Der starrer Körper- bisher: Bewegung von Massepunkten. Reine Translationsbewegungen.- jetzt: ausgedehnte Körper. Translations- und Rotationsbewegungen.

A B

Wirkungslinie

Kräfte wirken entlang der Verbindungslinie:Gleichgewicht

A

B

Kräfte wirken nicht entlang der Verbindungslinie:Rotation

Neu : Es wirkt ein „Drehmoment“

Drehmoment

Drehmoment= Hebelarm *Kraft

][NmFlM ×=

F

l : Länge des Hebels

D

Kraft senkrecht auf Hebel

Kraft wirkt unter beliebigem Winkel

F

l

Dα

F ⋅ sin(α )α )sin(. α⋅⋅=⋅= FlFlM senkr

Mechanisches Gleichgewicht

F1

l1

DF2

l2

(Hebelgesetz)

F1 ⋅ l1 = F2 ⋅ l2

„Kraft mal Kraftarm=Last mal Lastarm“

Ein Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller äußerer Kräfte und die Summe aller Drehmomente Null ist.

Anwendungen des Hebelgesetzes: Brechstange, Schere, Schubkarre, Getriebe, Gliedmaßen, Baukran ...

SchwerpunktDef.

eGesamtmassmM i∑=

tSchwerpunkm

rmr

i

iis ∑

∑ ⋅=

rs

m1

m2

m3

Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems ist unbeschleunigt.

extS F

dtrdM =2

2

(Schwerpunktsatz)

Bei Einwirkung einer äußeren Kraft Fext beschleunigt sich der Schwerpunkt gemäß :

Aussagen über den Schwerpunkt-Kräfte, die am Schwerpunkt angreifen, wirken auf einen ausgedehnten Körper, wie Kräfte auf einen Massepunkt.

Schwerpunkt=„Gravitationszentrum“

gMlgml gesSPii ⋅=⋅∑Die Summe aller Drehmomente =Drehmoment der ges. Masse im Schwerpunkt

Ein Körper, der am Schwerpunkt aufgehängt wird, erfährt im Schwerefeld kein Drehmoment.

Drei GleichgewichtsartenStabiles GGW:Jede Verrückung x erhöht die Lage des Schwerpunktes

02

2

>dxEd pot Kleine Auslenkung x

=> Rückstellkräfte Frück~ - x

Labiles GGW:Jede Verrückung erniedrigt die Lage des Schwerpunktes

Indifferentes GGW: Jede Verrückung läßt die Lage des Schwerpunkts unverändert

Der Drehimpuls

v r

vv

v

ω

m

: Winkelgeschwindigkeit: Bahnvektor: Masse

v

ω

m v r

Definition

Bahngeschwindigkeit Drehimpuls :

ω×= rv vmrL ×=

Der Drehimpuls hat die Einheit kg·m2/s

Erhaltung des Drehimpulses( ) MFrdtmdr

dtdL

a =⋅=⋅=vWir betrachten die zeitliche

Ableitung des Drehimpulses L

Grundgleichung der rotierenden Bewegung

(analog zu dp/dt=Fa)M

dtdL

=

Bei Abwesenheit eines äußeren Drehmoments bleibt der Drehimpuls konstant.

constLM =⇒=rr

0 (Drehimpuls-Erhaltungssatz)

Der Drehimpuls ist auch bei nicht-kreisförmigen Bewegungen erhalten.

Der Drehimpuls bezieht sich immer auf einen (Dreh)-Punkt

TrägheitsmomentMotivation : Das Trägheitsmoment ist die „träge Masse“ der Drehbewegung

ωω ⋅=⋅=×= ImrmrL 2v„Drehimpuls“ = „Drehträgheit“ mal “Drehgeschwindigkeit“

„Drehkraft“ = „Drehträgheit“ mal “Drehbeschleunigung“dtdIM ω⋅=

Achse

Definition : Trägheitsmoment I

Einzelne Massenpunkte

2i

ii rmI ⋅= ∑

Trägheitsmoment einerkontinuierlicher Massenverteilung

I = mi ⋅ ri2

i∑ ⇒ r2∫ dm

Achse

dmr

RotationsenergieJedes einzelne Masseelementbesitzt die kinetische Energie

222

22rmm ω=v

mi

2ri

2

i∑ ω 2 =

12

miri2

i∑ ⋅ω 2 =

I2

ω2Gesamtenergie:

Rotationsenergie eines starren Körpers

ERot =I2

ω2

Das Drehmoment als Vektorprodukt

FrMvvv

×=

Eigenschaften :

rM vv⊥ Rechte-Hand-Regel

FMvv

⊥

)sin(α⋅⋅= FrMvvv Es trägt nur die Projektion auf die

Senkrechte bei

rFFr vvvv ×−=× Das Kreuzprodukt ist antikommutativ!

Der Drehsinn: Winkelgeschwindigkeit als Vektor

v r

vv

v

ω

m

„Korkenzieherregel“

vv

v r

v

ω

rrrr

×= ωv

„Rechte-Hand-Regel“

vv

v r

v

ω rvvv ×= ωv

v r

vv

v

ω

ωvrrv⋅=×= IvmrL

Was passiert, wenn ein Drehmoment wirkt?

v r

v L

v F

v M

dv L

dt=

v M ⇒ ∆

v L =

v M ⋅ ∆t

∆v L parallel

v M

∆v L

Drehimpuls als Vektor

Dynamik starrer Körper

Wurfparabel eines starren Körpers

M aSchwerpunkt =Fa• Schwerpunkt beschreibt Wurfparabel

ωrr

IL =• Rotation um den Schwerpunkt:

Die Bewegung eines ausgedehnten Körpers lässt sich immer zusammensetzen aus der Translation des Schwerpunkts und die Rotation des Körpers um den Schwerpunkt. Der freie starre Körper hat sechs Freiheitsgrade der Bewegung.

Analogien zwischen Translations- und Rotationsbewegungen

Translation Rotation

Ort Winkel

Geschwindigkeit Winkelgeschw.

Beschleunigung Winkelbeschl.

Masse Trägheitsmoment

Kraft Drehmoment

Impuls Drehimpuls

Kinetische Energie Rotationsenergie

v r

vv

v a

m

v F = m ⋅

v a =

dv p dt

vvv ⋅= mp2

2v⋅

m

ϕ

v

ω

v α

I = mi∑ ri2

v M = I ⋅

v α =

dv L

dt v L = I ⋅

v ω

I2

⋅ω 2

Symmetrieachsen und freie Achsen

Die Rotation um freie Achsen erfordert kein Drehmoment.Jeder starre Körper besitzt (mindestens) drei freie Achsen, und diese stehen senkrecht aufeinander.

Feste Drehachse Freie Drehachse

Der kräftefreie Kreisel : NutationEin Kreisel ist ein Körper, der sich um eine freie Achse dreht.

Rotiert ein Körper um eine seiner freien Achsen, sind Drehachse und Drehimpuls parallel zueinander.

Kreisel im Schwerefeld : Präzession

∆Φ

von oben:

∆LL

∆v L

∆t=

v M

∆v L =

v L ⋅ ∆Φ

v M v L

=∆Φ∆t

Das Rad läuft um die Aufhängung mit Umlauffrequenz

Höhere Drehimpulse stabilisieren die Drehachse

Präzession des Kreisels