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Einfuhrung Strukturen digitaler Filter

Digitale SignalverarbeitungVorlesung 5 - Filterstrukturen

Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung

13. November 2017

Siehe Skript, Kapitel 8Kammeyer & Kroschel, Abschnitt 4.1


Digitale Signalverarbeitung Vorlesung 5 - Filterstrukturen


1 EinfuhrungFilterstrukturen: FIR vs. IIR

2 Strukturen digitaler FilterStrukturvarianten




Motivation:

Grundlage fur Hardware- und Software-Realisierung digitalerSysteme

Auswahl optimaler Struktur

Vermeidung quantisierungsbedingter Probleme




Filterstrukturen: FIR vs. IIR

Kurznotation: Signalflussgraph

x k( ) X z( ) X z( )

x k( ) x k( )

x k( ) x k( )

x k( ) x k( )

x k( ) x k( )

a x k( ) a x k( )

x k D x k( -1)= ( ){-1

zT

a

a

aa x k( ) a x k( )

a

+

1

2

3

1 1

2 2

3 3

i ii i

i iå å

1z}

a

a

a

a

1

2

3

Technisches Element Signalflussgraf

Figure : Elemente zeitdiskreter LTI-Systeme [2].





Struktur eines FIR-Filters

v(k) b0 y(k)

v(k-N)

z-1

z-1

z-1

v(k-1)

v(k-N-1)

v(k-2)

b1

b2

bN-1

bN

Figure : Filter mit endlicher Impulsantwort (Finite Impulse Response -FIR).





Mogliche Struktur eines IIR-Filters

v(k-N) y(k-N)

v(k) b0 y(k)

z-1 z-1

z-1 z-1

z-1 z-1

v(k-1) y(k-1)

v(k-N-1) y(k-N-1)

v(k-2) y(k-2)

b1 a1

b2 a2

bN-1 aN-1

bN aN

-1

Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort (Infinite Impulse Response -IIR). Dies ist die Direktform I, andere Strukturen werden im nachstenAbschnitt besprochen.





FIR vs. IIR-Filter

FIR-Filter IIR-Filter

Ubertragungs- nur i.A.

funktion Nullstellen Pole und Nullstellen

Stabilitat immer nicht immer

Effizienz oft große i.A. geringere

Filterordnung notig Ordnung

besondere linearphasiger Nachimplementierung

Moglichkeiten Entwurf analoger Filter

Probleme Rechenaufwand Stabilitat




Faktorisierung der Ubertragungsfunktion

Die Ubertragungsfunktion war:

H(z) =

∑mµ=0 bµz

−µ∑nν=0 aνz

−νmit a0 = 1

(1)

oder

H(z) = zn−m

∑mµ=0 bµz

m−µ∑nν=0 aνz

n−ν. (2)




Mogliche Struktur eines IIR-Filters

v(k-N) y(k-N)

v(k) b0 y(k)

z-1 z-1

z-1 z-1

z-1 z-1

v(k-1) y(k-1)

v(k-N-1) y(k-N-1)

v(k-2) y(k-2)

b1 a1

b2 a2

bN-1 aN-1

bN aN

-1

Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort (Infinite Impulse Response -IIR). Dies ist die Direktform I.




Strukturvarianten

Varianten und Verbesserungsmoglichkeiten

Die erste, geradlinige Realisierung hat einige Nachteile, vor allem:

Unnotig viele Verzogerungsterme und

Unnotig viele Signalpfade.




Strukturvarianten

Erste kanonische FormSukzessive Umformung fuhrt zur ersten kanonischen Struktur:

b1 -a1

b2 -a2

bN-1 -aN-1

bN -aN

z-1

v(k) b0 y(k)

z-1

z-1

Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, erste kanonische Struktur




Strukturvarianten

Zweite kanonische Struktur

Zur Umformung jedes beliebigen Signalflussgrafen lasst sich dieGraph-Transponierung einsetzen. Dabei wird

jede Signalflussrichtung umgekehrt

jede Verzweigung zu einem Summenknoten und umgekehrt

und der Eingang wird mit dem Ausgang vertauscht.

Beweis: Siehe [1] (Abschnitt zur “Gain Formula of Signal FlowGraph Theory.”)




Strukturvarianten

Zweite kanonische StrukturGraph-Transposition fuhrt zur zweiten kanonischen Struktur:

-a1 b1

-a2 b2

-aN-1 bN-1

-aN bN

z-1

v(k) b0 y(k)

z-1

z-1

Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, zweite kanonische Struktur




Strukturvarianten

Die dritte kanonische Struktur ergibt sich aus einer Faktorisierungder Gesamtubertragungsfunktion:

H(z) =

p∏i=1

Hi (z). (3)

Dabei werden alle einzelnen Ubertragungssysteme als Systemeerster oder zweiter Ordnung realisiert:

Hi (z) =b0i + b1iz

−1

1 + a1iz−1(4)

bzw.

Hi (z) =b0i + b1iz

−1 + b2iz−2

1 + a1iz−1 + a2iz−2(5)

Teilsysteme erster Ordnung konnen je einen Pol und eine Nullstelledes Gesamtsystems beitragen, wahrend Teilsysteme zweiterOrdnung ein konjugiert komplexes Pol-/Nullstellenpaar liefern.




Strukturvarianten

Dritte kanonische Struktur

V(z) Y(z) H2(z) H1(z) Hp(z) ...

Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, dritte kanonische Struktur

Die Teilsysteme werden in 1. oder 2. kanonischer Strukturrealisiert.




Strukturvarianten


Vorteile:

Pole und Nullstellen konnen so zusammengefasst werden, wiees am sinnvollsten ist. Das heißt:

Jede Stufe sollte moglichst gut ausgesteuert seinund in jeder Stufe sollte der Fehler durchKoeffizientenquantisierung minimiert werden (siehe VL6.)

Stabilitat kann pro Teilsystem uberpruft werden.




Strukturvarianten


Figure : Matlab-Filter in Biquad-Struktur




Strukturvarianten

Vierte kanonische Struktur

Die vierte (und letzte) kanonische Struktur ist schließlich durcheine Partialbruchzerlegung von H(z) in der Form

H(z) = b0 +

q∑i=1

Hi (z). (6)

zu erhalten, und stellt das Gesamtsystem also als Summe vonTeilsystemen dar:




Strukturvarianten


V(z) Y(z)

H1(z)

...

H2(z)

Hq(z)

b0

Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, vierte kanonische Struktur




Strukturvarianten


Uberlegungen:

Es bleiben die Vorteile der dritten kanonischen Strukturgegenuber den ersten beiden, direkten Realisierungen:

Pole und Nullstellen konnen so zusammengefasst werden, wiees am sinnvollsten ist.Stabilitat des quantisierten Systems kann pro Teilsystemuberpruft werden.

Die Struktur ist nun parallel statt sequentiell.




Strukturvarianten

Lernziele

Sie sollten die Unterschiede zwischen FIR- und IIR-Filternkennen, und die Vor- und Nachteile beider Filterartenverstehen.

Sie sollten die vier kanonischen Filterstrukturen kennen, unddiese ineinander umrechnen konnen.




Strukturvarianten

Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!




Strukturvarianten

S. Mason and H.J. Zimmermann.Electronic Circuits, Signals and Systems.Wiley, New York, 1960.

Hans Wilhelm Schußler.Digitale Signalverarbeitung, volume 1.4. Auflage, Berlin: Springer, 1994.



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