19.04.11  

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Grundlagen  der    Signalverarbeitung  und  Robo2k  

Bernd  Neumann  Jianwei  Zhang  

   

Teil  1:  Grundlagen  der  Signalverarbeitung    

Vorlesung:    Do  10:15  –  11:45  Übungen  1:  Do  12:30  –  14:00  Übungen  2:  Mi  10:15  –  11:45      

Übungen  

•  Jeden  Donnerstag  werden  Übungsaufgaben  ins  Netz  gestellt  und  in  der  Vorlesung  kurz  erläutert.  

•  Die  Übungsaufgaben  müssen  schriPlich  bearbeitet  und  vor  dem  nächsten  Übungstermin  abgegeben  werden.  Elektronische  Abgabe  ist  möglich  an  neumann@informa2k.uni-­‐hamburg.de  

•  Übungen  können  in  Gruppen  von  bis  zu  drei  Studierenden  bearbeitet  und  abgegeben  werden.  

•  In  den  Übungsstunden  werden  Lösungen  von  Teilnehmern  vorgetragen  und  gemeinsam  besprochen.  

•  Die  abgegebenen  Lösungen  werden  bewertet,  für  eine  erfolgreiche  Übungsteilnahme  ist  mindestens  die  HälPe  der  maximalen  Punktzahl  erforderlich.  

•  Eine  erfolgreiche  Teilnahme  an  den  Übungen  ist  Voraussetzung  für  die  Zulassung  zur  mündlichen  Modulprüfung.  

19.04.11  

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Website  

h^p://kogs-­‐www.informa2k.uni-­‐hamburg.de/~neumann/Signalverarbeitung-­‐SoSe-­‐2011/  

•  Sie  finden  diesen  Link  auch  über  meine  Home  Page    •  Auf  der  Website  finden  Sie  aktuelle  Nachrichten,  Folienkopien,  Übungsblä^er  und  

andere  nützliche  Angaben    •  Aktualisierung  der  Website  jeden  Dienstag  

Mit  wem  Sie  es  zu  tun  haben  ...  

1967  Diplom  in  Elektrotechnik/Regelungstechnik  in  Darmstadt  

1968  M.S.  am  MIT,  Cambridge,  USA  

1971  Ph.D.  am  MIT,  Cambridge,  USA,  in  Informa2onstheorie  

1971  -­‐  1982  Dozent  am  Fachbereich  Informa2k  der  Universität  Hamburg  

1982  -­‐  1986  Professor  (C2)  am  Fachbereich  Informa2k  der  Universität  Hamburg  

1986  -­‐  2008  Professor  (C4)  am  Fachbereich  Informa2k  der  Universität  Hamburg,  Leiter  des  Arbeitsbereiches  Kogni2ve  Systeme  Forschung:  Bildverarbeitung  und  Künstliche  Intelligenz  

1988  -­‐  2008  Gründer  und  Leiter  des  Labors  für  Künstliche  Intelligenz  

           seit  1997  Mitbegründer  und  Vorsitzender  des  Hamburger  Informa2k  Technologie-­‐Centers  (HITeC)  

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Wahlspruch  

Dem  Ingeniör  ist  nichts  zu  schwör!  

Original:  "He  does,  huh?  Well,  I´ll  show  him  that  Gyro  Gearloose  can  make  anything  talk!"  

Inhalt  von  Teil  1  (1)  •  Signale  in  linearen  zei2nvarianten  Systemen  

 -­‐    Elementarsignale    -­‐    Lineare  zei2nvariante  Systeme    -­‐    Faltungsintegral  

 •  Fourier-­‐Transforma2on  

 -­‐    EigenschaPen  der  Fourier-­‐Transforma2on    -­‐    Beispiele  für  Fourier-­‐Tranforma2onen    -­‐    Filtern  im  Orts-­‐  und  Frequenzbereich  

 •  Diskrete  Signale  

 -­‐    Shannon's  Abtas^heorem,  Rekonstruk2on    -­‐    Topologieerhaltende  Abtastung    -­‐    Bilddigitalisierung  

 •  Diskrete  Faltung  und  diskrete  Fourier-­‐Transforma2on  

 -­‐    Schnelle  Fourier-­‐Tranforma2on  (FFT)    -­‐    Filtern  von  Digitalbildern  

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Inhalt  von  Teil  1  (2)  •  Digitale  Bildverarbeitung  

 -­‐    Bildkompression    -­‐    Karhunen-­‐Loeve-­‐Transforma2on    -­‐    Geometrische  Transforma2onen  

 •  Digitale  perspek2vische  Abbildung  

 -­‐    3D  nach  2D    -­‐    2D  nach  3D      

•  Bewegungsanalyse    -­‐    Op2scher  Fluss    -­‐    Kalman-­‐Filter    -­‐    Essen2elle  Matrix  

 

Was  sind  Signale?  

"Signale  stellen  die  materielle  Realisierung  von  Informa5onen  dar.  Sie  haben  einen  Informa5onsgehalt,  dargestellt  durch  den  Verlauf  bzw.  die  Änderung  von  informa5onstragenden  Parametern.  Die  physikalische  Größe,  von  der  das  Signal  getragen  wird,  heißt  Signalträger."  

Woshni,  Informa2onstechnik,    Verlag  Technik,  1988    

"Ein  Signal  ist  ein  physikalisches  Phänomen,  dessen  Vorhandensein  oder  Änderung  als  Darstellung  von  Informa5onen  angesehen  wird."  

DN  40146-­‐1:  Nachrichtenübertragung,  1994  

Viele  physikalische  Größen:  -­‐    Spannung  -­‐    Schalldruck  -­‐    Lich2ntensität  -­‐    Lichtrequenz  -­‐    Temperatur  .  .  .  

Von  einer  physikalischen  Größe  abstrahierende  Repräsenta2onsformen:  -­‐    mathema2sche  Funk2on  -­‐    Kurvenverlauf,  Grafik,  Diagramm  -­‐    Zahlenreihe,  Zahlenfeld  .  .  .  

19.04.11  

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Signal,  Nachricht,  Informa2on  

"heute  ist  schönes  FrühlingsweJer"  

weiß  ich  doch  

Signal  

Nachricht  

leider  keine  Informa2on  für  den  Empfänger  

Signale  können  mit  verschiedenen  Trägern  übermiJelt  werden  

Nachrichten  werden  durch  Zeichen  oder  Symbole  dargestellt  

InformaTonsgehalt  hängt  vom  "Überraschungsgrad"  des  Nachrichten-­‐empfängers  ab  

Von  Signalen  zur  Bedeutung  

Müllabfuhr  und  BrieZräger  bei  der  Arbeit  

•  Signalverarbeitung  kann  zahlreiche  komplexe  Teilprozesse  mit  wechselnden  Repräsenta2onen  umfassen  

•  Wir  behandeln  hier  vorwiegend  allgemein  verwendbare  Grundformen  der  Signalverarbeitung  und  ihre  Gesetzmäßigkeiten        mathema2sche  Abstrak2onen  

19.04.11  

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Signalverarbeitung  in  Systemen  Die  formale,  abstrahierende  Beschreibung  von  Signalverarbeitung  ermöglicht  die  Analyse  und  Synthese  von  verschiedenen  Anwendungssystemen  mit  denselben  Mi^eln.      

gedämpPer  elektrischer  Serienschwingkreis    

gedämpPer  mechanischer  Schwinger  

Überführung  der  Gleichungen  ineinander  mit  L  ⇔  m,  R  ⇔  b,  c  ⇔  1/C,  i  ⇔  x    Systemtheorie  liefert  z.B.  Kriterien  für  die  Stabilität  eines  Schwingkreises  unabhängig  von  seiner  physikalischen  Realisierung.  

Erklärungsanspruch  der  Systemtheorie  

Wurzeln:  •  Regelungstechnik:  Regelungsvorgänge  in  technischen  Systemen  •  Kyberne2k:  Vergleichende  Betrachtung  von  Gesetzmäßigkeiten  in  technischen,  

biologischen  und  soziologischen  Systemen  

Norbert  Wiener  (1894  –  1964)  begründete  die  Kyberne2k:  "Wir  haben  beschlossen,  das  ganze  Gebiet  der  Regelung  und  Nachrichtentheorie,  ob  

in  der  Maschine  oder  im  Tier,  mit  dem  Namen  'Kyberne2k'  zu  benennen  ..."  N.  Wiener:  Cyberne2cs  or  Control  and  Communica2on  in  the  Animal  and  the  Machine.  1.  Auflage  1948  

Deutsche  Ausgabe:    Kyberne2k-­‐Regelung  und  Maschine.  Rowohlt  1963          

κυβερνητης    =    Steuermann  ≈  governor  ≈  Regler  

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Verhaltensbeschreibung  

System(komponenten)  werden  durch  Eingabe-­‐Ausgabe-­‐Verhalten  als  Black  Box  oder  White  Box  beschrieben:  

Eingabe  x   Ausgabe  y  

Eingabe  x   Ausgabe  y  

Innere  Struktur  nicht  bekannt,  abstrakte  Verhaltensmodelle  (nützlich  für  Verhaltensanalyse  komplexer  Systeme)  

Verhalten  ergibt  sich  aus  Kenntnissen  der  inneren  Struktur  (nützlich  für  AbstrakTon  von  bekanntem  Detail)    

•  x  und  y  werden  häufig  als  "Zeitunk2on"  x(t)  und  y(t)  beschrieben  •  Die  Transforma2on  durch  eine  Komponente  ist  y(t)  =  Tr{  x(t)  }  

Kon2nuierliche  vs.  diskrete  Signale  (1)  

Kon2nuierlich:  zu  jedem  Zeitpunkt  definiert,  kann  jede  Stelle  im  Wertebereich  annehmen  ⇒  Defini2ons-­‐  und  Wertebereich  entsprechen  reelen  Zahlen  

Diskret  oder  quan2siert:  Signal  kann  nur  bes2mmte  Stellen  im  Zeitbereich  ("zeitdiskret")  oder  Wertebereich  ("wertediskret")  einnehmen      

analoge  Signale  wertkonTnuierlich  zeitkonTnuierlich  

quan2sierte  Signale  wertdiskret  

zeitkonTnuierlich  

abgetastete  Signale  wertkonTnuierlich  

zeitdiskret  

digitale  Signale  wertdiskret  zeitdiskret  

19.04.11  

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Kon2nuierliche  vs.  diskrete  Signale  (2)  

Beispiele:  

Abtastung  und  Quan2sierung  von  Bildern  

19.04.11  

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Elementarsignale  

Elementarsignale  •  eignen  sich  als  Eingabe  zur  Charakterisierung  von  Systemkomponenten    •  haben  eine  einfache  Beschreibung  •  können  als  Bestandteile  beliebiger  Signale  verstanden  werden  

s(t)  =  sin(2πt)  1  

1  

t  

s(t)  =  exp(πt2)  

s(t)  =  ε(t)  1  

t  

Gauss-­‐Signal  

Sinus-­‐Signal   SprungfunkTon  

s(t)  =  rect(t)  

Rechteckimpuls   Dreieckimpuls  

s(t)  =  Λ(t)  

s(t)  =  δ(t)  

t  

Dirac-­‐Impuls  

Transforma2onen  von  Elementarsignalen  

Skalierung  eines  Signals  mit  Faktor  a:  

 s(t)  ⇒  a  s(t)    Zeitverschiebung  (Verzögerung)  eines  Signals  um  t0:  

 s(t)  ⇒  s(t-­‐t0)    Zeitliche  Dehnung  eines  Signals  um  Faktor  T:  

 s(t)  ⇒  s(t/T)  

 

Beispiel:  Verzögerter  und  skalierter  Rechteckimpuls  mit  Dauer  T  

s(t) = a rect(t ! t0

T)

a  

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Lineare  zei2nvariante  Systeme  

LTI-­‐Systeme  (engl.  linear  2me-­‐invariant  systems)  haben  spezielle  EigenschaPen:    1.  Linearität  ⇒  es  gilt  der  Superposi2onssatz  

Tr aisi(t)i!"#

$

%&'= aiTr si(t){ } = ai

i! gi(t)

i!

2.  Zei2nvarianz    

   Tr{  s(t)  }  =  g(t)        ⇒      Tr{  s(t  –  t0)  }  =  g(t  -­‐  t0)  

Komponenten  aus  Bauelementen  mit  zeitunabhängigen  EigenschaPen  und  ohne  zeitabhängige  Strom-­‐  und  Spannungsquellen  sind  zei2nvariant.    

Weitere  Systemtypen  

Ein  kausales  System  reagiert  auf  ein  Eingangssignal  und  an2zipiert  es  nicht.      

Technisch  realisierbare  Systeme  sind  stets  kausal  hinsichtlich  zeitabhängiger  Signale.    

Ein  System  heißt  dynamisch,  wenn  sein  Ausgangssignal  auch  von  vergangenen  Werten  seines  Eingangssignals  abhängt.    

Dazu  muss  das  System  mindest  einen  Speicher  enthalten,  z.B.  eine  Kapazität.    

Ein  System  heißt  stabil,  wenn  es  auf  beschränkte  Eingabesignale  stets  mit  beschränkten  Ausgabesignalen  reagiert.  

Diese  Forderung  kann  auf  verschiedene  Weise  ausgedrückt  werden:  -­‐    Die  Impulsantwort  (s.u.)  des  Systems  muss  absolut  integrierbar  sein.  -­‐    BIBO  =  bounde-­‐input-­‐bounded-­‐output    

19.04.11  

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EigenschaPen  von  LTI-­‐Systemen  (1)  

LTI-­‐Systeme  transformieren  sinusförmige  Eingangssignale  in  sinusförmige  Ausgangssignale  mit  derselben  Frequenz,  aber  i.A.  veränderter  Amplitude  und  Phasenlage.  

Das  Verhalten  von  LTI-­‐Systemen  kann  durch  Amplitudengang  und  Phasengang  beschrieben  werden.  

ω  

ω  

Amplitudengang  A(ω)  

Phasengang  ϕ(ω)  

Bode-­‐Diagramm  für  einen  Tiefpass  

EigenschaPen  von  LTI-­‐Systemen  (2)  

u1  =  x(t)   u2  =  y(t)  Sta2sche  LTI-­‐Systeme  werden  durch  algebraische  Gleichungen  mit  konstanten  und  reellen  Koeffizienten  beschrieben.  

y(t) =R2

R1 +R2

x(t)

u1  =  x(t)   u2  =  y(t)  

y(t) +RC !y(t) = x(t)

Dynamische  LTI-­‐Systeme  werden  durch  lineare  Differen2algleichungen  mit  konstanten  und  reellen  Koeffizienten  beschrieben.  

Allgemeine  Form:  a0y(t) + a1 !y(t) + a2!!y(t) + ... = b0x(t) + b1 !x(t) + b2!!x(t) + ...

Elegante  Lösung  durch  Laplace-­‐  und  Fourier-­‐Transforma2on  

19.04.11  

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Vorschau:  Systembeschreibung  mit    Laplace-­‐  und  Fourier-­‐Transforma2on  

Zeitunk2onen    x(t),  y(t)    ⇒    Bildfunk2onen  X(s),  Y(s)  [Laplace]  bzw.  X(jω),  Y(jω)  [Fourier]  Ableitungen        ⇒    Faktor  s    [Laplace]  bzw.  Faktor  jω  [Fourier]  

a0Y(s) + a1sY(s) + a2s2Y(s) + ... = b0X(s) + b1sX(s) + b2s

2Y(s) + ...

H(s) = Y(s)X(s)

=b0 + b1s + b2s

2 + ...a0 + a1s + a2s

2 + ...Übertragungsfunk2on  H(s)  ist  vollständige  Beschreibung  des  LTI-­‐Systems      

Mit  Laplace-­‐Transforma2on:  

Mit  Fourier-­‐Transforma2on:  

H( j!) = Y( j!)X( j!)

=b0 + b1j! + b2( j!)

2 + ...a0 + a1j! + a2( j!)

2 + ...

LTI-­‐Systeme  werden  im  Bildbereich  durch  einen  komplexwer2gen  Quo2enten  aus  zwei  Polynomen  in  s  bzw.  jω  beschrieben.  Beide  Polynome  haben  reelle  und  konstante  Koeffizienten.  

Systembeschreibung  mit  Elementarfunk2onen  

Rechteckimpuls  mit  Breite  1/T0  und  Höhe  T0  ergibt  Systemantwort  g0(t)  

Beliebiges  Eingangssignal  s(t)  kann  durch  Rechteckimpulse  angenähert  werden  und  ergibt  Superposi2on  einzelner  Systemantworten  

ga(t) = s(nT0 )g0(t ! nT0 )T0 " g(t)n=!#

#

$

sa(t) = s(nT0 )s0(t ! nT0 )T0 " s(t)n=!#

#

$ approximierte  Eingangsfunk2on  

approximierte  Ausgangsfunk2on  

19.04.11  

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Faltungsintegral  

s(t) = s(!)"(t # !)d!#$

$

%

g(t) = s(!)h(t " !)d!"#

#

$

Grenzübergang  T0  -­‐>  0:    

 s0(t)  -­‐>  δ(t)  Dirac-­‐Impuls    

 g0(t)  -­‐>  h(t)  Impulsantwort,  Stoßantwort,  Gewichtsfunk2on  

Eingangssignal  als  unendliche  Reihe  von  Dirac-­‐Impulsen    

Ausgangssignal  als  Faltung  der  Impulsantwort  des  Systems  mit  dem  Eingangssignal    

Die  Transforma2on  eines  Signals  durch  ein  System  kann  durch  die  Faltung  (engl.  convolu2on)  des  Eingabesignals  mit  der  Impulsantwort  des  Systems  beschrieben  werden.    

Grenzübergang  für  RC-­‐Glied  

Wie  antwortet  ein  RC-­‐Glied  auf  einen  Rechteckimpuls  (Spannung)  mit  Breite  1/T0  und  Höhe  T0,  wenn  T0  -­‐>  0?  

T0  -­‐>  0  

•  Systemantwort  h(t)  bei  Eingabe  von  δ(t)  heißt  "Impulsantwort"  oder  "Gewichtsfunk2on"  

•  h(t)  charakterisiert  des  Verhalten  des  Bauelementes  

19.04.11  

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Veranschaulichung  der  Faltung  Beispiel:    Faltung  eines  Rechteckimpulses  mit  der  Impulsantwort    h(t)  des  RC-­‐Gliedes:      h(t) = 1

T!(t)e" t /T mit  T  =  RC  

g(t) = s(!)h(t " !)d!"#

#

$

s(t)  =  a  rect(t)  

Qualita2ver  Verlauf  des  Faltungsergebnisses  

Faltungsalgebra  

h(t)  s(t)   g(t)  

Symbolische  Schreibweise:        g(t)  =  s(t)  ∗  h(t)  

g(t) = s(!)h(t " !)d!"#

#

$

s(t) = s(!)"(t # !)d!#$

$

%•  δ(t)  ist  Einselement:      s(t)  =  s(t)  ∗  δ(t)      •    Ein  System  mit  der  Gewichtsfunk2on  δ(t)  heißt  ideal  verzerrungsfrei  

   Es  reproduziert  das  Eingangssignal  exakt  als  Ausgangssignal.    •  Faltung  ist  kommuta2v:      g(t)  =  s(t)  ∗  h(t)  =  h(t)  ∗  s(t)    •  Faltung  ist  assozia2v:      [f(t)  ∗  s(t)]  ∗  h(t)  =  f(t)  ∗  [s(t)  ∗  h(t)]    •  Faltung  ist  distribu2v:    f(t)  ∗  [s(t)  +  h(t)]  =  [f(t)  ∗  s(t)]  +  [f(t)  ∗  h(t)]    •  Ableitung:    

"SiebeigenschaP"  

ddt(f(t) !h(t)) = df

dt!h(t) = f(t) ! dh

dt

19.04.11  

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Faltung  mehrdimensionaler  Funk2onen  

Faltungsopera2onen  und  ihre  EigenschaPen  lassen  sich  auf  mehrere  Dimensionen  verallgemeinern.    2-­‐dimensionale  Faltung:  

(f !h)(x,y) = f(u,v)h(x " u,y " v)dudv"#

#

$"#

#

$

Anwendung  in  der  Bildverarbeitung:    f(x,  y)  Intensitäten  eines  Grautonbildes    h(x,  y)  Filter,  z.B.    h(x,y) =

12!"2

e# x

2+y2

2"2

Faltung  und  Kreuzkorrela2on  

Kreuzkorrela2on  von  f(t)  und  h(t):    

(f !h)(x,y) = f(u,v)h(u ! x,v ! y)dudv!"

"

#!"

"

#

Vergleiche  mit  f  ∗  h:  Integrand  h  ist  bei  Kreuzkorrela2on  nicht  gespiegelt!    Ist  f  ein  Bild  und  h  eine  Schablone,  kann  Kreuzkorrela2on  als  Schablonenvergleich  gedeutet  werden.  

Wo  im  Bild  findet  sich  das  in  der  Schablone  gezeigte  Zeichen?