DKP - 九州大学(KYUSHU UNIVERSITY)...DKP方程式のソリトン解の数理構造...

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応用力学研究所研究集会報告 No.17ME-S2 非線形波動および非線形力学系の現象と数理(研究代表者 梶原健司) Reports of RIAM Symposium No.17ME-S2 Phenomena and Mathematical Theory of Nonlinear Waves and Nonlinear Dynamical Systems Proceedings of a symposium held at Chikushi Campus, Kyushu Universiy, Kasuga, Fukuoka, Japan, November 9 - 12, 2005 Research Institute for Applied Mechanics Kyushu University May, 2006 Article No. 06 DKP 方程式のソリトン解の数理構造 児玉 裕治(KODAMA Yuji),丸野 健一(MARUNO Ken-ichiReceived February 28, 2006

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応用力学研究所研究集会報告No.17ME-S2

「非線形波動および非線形力学系の現象と数理」(研究代表者 梶原健司)

Reports of RIAM Symposium No.17ME-S2

Phenomena and Mathematical Theory of Nonlinear Waves and Nonlinear Dynamical Systems

Proceedings of a symposium held at Chikushi Campus, Kyushu Universiy,Kasuga, Fukuoka, Japan, November 9 - 12, 2005

Research Institute for Applied Mechanics

Kyushu University

May, 2006

Article No. 06

DKP方程式のソリトン解の数理構造

児玉 裕治(KODAMA Yuji),丸野 健一(MARUNOKen-ichi)

(Received February 28, 2006)

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DKP方程式のソリトン解の数理構造

児玉裕治 (Yuji Kodama)�,丸野健一 (Ken-ichi Maruno)��Department of Mathematics, Ohio State University, Columbus, OH 43210� 九州大学数理学研究院Faculty of Mathematics, Kyushu University,Hakozaki, Higashi-ku, Fukuoka, 812-8581, Japan

Abstract. DKP 方程式 (Coupled KP方程式, Pfaff lattice)���

���������� � ���

���� � �� � ���������� �� � �� �� � � �

���� ���� � ���������� � �� � � �

(�� � �) の Pfaffian で書ける解について解析し,ソリトン相互作用について調べる.

1. DKP方程式のソリトン解とD型Weyl群

神保と三輪によって導かれた D型リー代数に対応する DKP方程式について最近いくつかの興味深い研究が行われている. 広田と太田によって導かれた Coupled KP方程式と DKP方程式は同一のものであり,またランダム行列に関係する Pfaff latticeとも同一である [7, 3, 1, 8].

文献 [10]において KP方程式のソリトン解が詳しく調べられたが,本稿では DKP方程式のソリトン解について同様の解析を試みる. DKP方程式の場合には,解は Pfaffianを使って書かれるので,ロンスキアンで書ける KP方程式の場合とはかなり異なっており興味深い.

DKP方程式の双線形形式は���������� ��

�� � ��

����� � �� � ���������� �

� � �� �� � � ����� ��

�� � ���������� � �� � �

(1.1)

で与えられる. ここで �� � �であり, ��� ��� ��は広田の双線形作用素である.変数 � � �� ����� と �� � ������� を導入することにより Coupled KP (cKP)方程式 [3],�

����� � ���� � ������ � ���� � ���������� � � ����� � �

���� � ���

�� � ���

��� � �

�� ����� � � �

が導かれる. 磯島らは Coupled KP方程式の解を広田の方法を用いて調べ, spider web構造を示す解が存在することを示している [5, 6].

��-函数は要素��� (��� � ���� , � � � � � ��)を持つ反対称行列�� の Pfaffianで定義される:

�� � � ���� ��

� � �� � � � � � �� � ��

�� � ��� � � �� � � � � �

����� �� � � � � ��� ������������ � � ������ �

(1.2)

係数 ����� �� � � � � ��� ��は

� �� ���

�� � � � � ��� � ���� � � � � �� �

��

で定義される. ここで ��� は以下の関係式を満たす:

������ � ����� ������ � � � �� �� ���

(�� � , �� � �, �� � �であり,他は symmetryパラメータである). ��� として具体的には以下のようなものを選ぶことができる [3]:

��� �

���� ������ ������

������ ������

���� � �� � �

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(���� � ������). ここで関数 �と �は以下の式を満たす:

��

������

�����

������

���

関数 �と �は,例えば, ��� �� (� � �� � � � �� )を用いて

��� �� �� �����

������ �� ��� ��� �� �� �����

������ �� �� � (1.3)

ととることができる. ここで関数 ���� �� ��は指数関数

���� �� �� �� �� ���� ���� �� �� � ��� �

��� � �

���� �

�� �

である. �� と ��� は任意定数である. � �� ���� ��� � � � � � �は

�� � �� � � � � � � � (1.4)

と順序づけられているものと仮定する. このとき,要素 ��� � � � � � � ��は

��� ��

������

����

����� ������� �

������

������� �

������

����� ��

�������

������������������� � ����� ����� (1.5)

となる. (今, ���� � ���� � ����, ���� �� ���� � ������ � ���とした).この解はWronski型 pfaffian解と呼ばれているものであるが, DKP方程式には Gram型 pfaffian解と呼

ばれる別の解の表示も知られている [3, 9].では ��� を一般化してみよう. � �� 反対称行列 � � ������������ を考える. � -函数 �� における

��� ��行列�� は

���� �� �� � ���� �� ������� �� �� (1.6)

と書くことができる. �� は ���� 行列, � � はその転置であり,以下のように与えられる:

�� �

�� �� � � � �...

.... . .

...

�������� �

������� � � � �������

� � �

本稿では, �-matrixを用いて (1.6)の形で与えられるソリトン解の分類について解説する. � � �の場合は自明な解 �� � ��� � ������� � �������, � � �� ����� � �を与えるので,� � �について議論する. また�� �� � (すなわち � � �� ����� �� �)のためには� � ��である必要があることに注意しよう.

もし ���� � � (�� � �)ならば,対応する解は KP方程式を満たす. この条件は �-matrixから得られる.例えば� � �の場合, �� は恒等的に 0となる (pfaffianのサイズは �� �となるが独立な exponentialは3かそれより少なくなる). これは� � �のとき �� は KP方程式の解を与えることを示し, それらは KP 1-ソリトン解か共鳴 Y字型ソリトンのどちらかである: �� � �-matrixのとき � 函数は

�� � ��� � ������� � ������� � ������� � ������� � ������� � ������� �

となる. 函数 � � ��� ����� はある ���� が 0で他が正のときに KP 1-ソリトンを与え,すべての ���� が正のときに Y字型ソリトン解を与える. 例えば, ���� � �とすると, �� � ��������� ������ �������� ��������となり,これは

��� �� �� ���

� �� � �� �

���� � ��� �

���� � ��� ���

���� � ��� � (1.7)

を与える. �の漸近値は

��� �� ��

��� � �� � ��� � �� �

である. 1-ソリトンは漸近値 ��� �� �� �� � ��と ��� �� �� �� � ��を交換していることに注意しよう.つまり1-ソリトンは ��� � ���を交換している. KP方程式の 1-ソリトン解は置換群 (この場合には � !�)の要素としてラベルできる. 1-ソリトン解 (1.7)を �� � ��と記し,このタイプのソリトンを A-solitonと呼ぶことにする (“A”は KP方程式に関連する A型リー代数からとった). 一般に,函数 �が �� � �� を交換するときの 1 A-solitonを �� � �と記すことにする.

DKP方程式に特有の解は� � �で得られる. 特に,� � �の場合において, �-matrixが上三角部分に2つの非零の要素を持つときに 1-ソリトン解を得る. 例えば, ���� � �� ���� � �で他が ���� � � (� � )である �-matrixを考えよう. このとき

�� � ��� � ��� � ������� � ��� � ������� �

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であり

��� �� �� ���

� ��

��

�����

�� ��

���� � �� � �� � ������

����� � ���� (1.8)

(��� � �� � �� � ��� � �� �)となる. において, � -函数の指数函数の1つがドミナントとなる. (1.8)の例では,

��� �� ��

��� � �� � � ��� � �� � �

となる. この 1-solitonは �の漸近値 ��� ��� ��� ��を交換する (ここで ��� � �� ��� � ���である). これは D型Weyl群作用を示す, 例えば ���� � � について, D型Weyl群は次の通りである:

���� � ���� �� � �� �� � ���� �� � �� ��� �� � �� �� � �� � � �� � � � �

これを D-solitonと呼び, ��� � � �� ��と記す. ��� � � �� ��をペアの置換 ��� �� � ��� ��と同一視すると, 関係��� � � �� �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � ��を得る. ここに �� � �は A-solitonの置換 ��� � � �である. この関係は 1 D-solitonから 2 A-solitonへの共鳴的な分岐を与える. 1 D-solitonは 4つの ��–パラメータを持っているので," D-solitonを記述するためには� � �" 個のパラメータが必要である.

2. DKP方程式の � -函数

石川–若山による pfaffianの和公式を用いて � 函数は以下のように書くことができる [4]:

Lemma 2.1. (1.6)によって与えられる � -函数 (1.2)は以下のように書くことができる:

�� ��

�������������

� ������ � � � � �������������� � � � � �����

ここで

� ����� � � � � ����は ���� 行列 �� の ��� ��部分行列,

����� � � � � ���� ��

��� � � � ����...

. . ....

���������

� � � ����������

� �

� ����� � � � � ����は� �� 行列 � の ��� ��反対称部分行列,

����� � � � � ���� �

� ������ � � � � � � �������� � � � � � � �������

� � �...

� �����������

� �

ここで ������はWronskian,

��������� � � � � ����� �� ������ � � � � � ����� �����

���� � ���� ���

� ������

���

�� � � �

で与えられる (符号は順序 (1.4)による).

� � �の場合に, pfaffian � ������ � � � � ����は

� ������ � � � � ���� � �������� � �������� � �������� �

である. 各項のインデックスが部分的に交差 (partial overlap)するときに,符号がマイナスとなっていることに注意しよう. 例えば ��� ��と ��� ��がそうである. これは 4-solitonの分類のキーとなる.

Lemma 2.1により, (1.2)の ��における各項は �個の exponential�� の積で与えられることがわかる,すなわち

������

��� �

�����

������ �

ここでインデックスは ��� ��� � �� � � � #� � �� � � � � ��� � ���� ���� � � � � � �� � � � � ��であり,これらのインデックスは �-matrixの要素 (������ )のインデックスと同じである.

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2.1. �-matrix

genericな �" � �" 反対称行列 � (� � �$��"�)において, skew-Borel分解と呼ばれるものがある [1]:

� � �%�� �

ここで� � � であり, � は

� ��

�������������������

�� � � � � � � � � �� �� � � � � � � � �

� �. . .

. . ....

...

� �. . .

. . ....

...� � � � �� �� � � � � ��

� �

��������������������

行列 %� は,

�� ��� �

�で与えられる �� �対角ブロックを持ち他が 0となる �" � �" 反対称行列

%� ��

� � ��� �

. . .. . .

. . .. . .

� �� �� �

� �� (2.1)

である. �$��"� の non-generic な要素は置換行列 � � !�� (��� � � ) によって与えられる (すなわち� � &��"�):

� � ��%�� ��� � ��� �%���� �

ここで� は � の genericな要素ではないとする.

Example 2.1." � � (�� � �-matrix)の場合を考えよう. genericな要素�は� � �%�� で表現される. ここで

� �

�� � � �� � � �� � ' �( � � '

� � � � �

このとき, � は

� � �%�� �

�� �� �� ��

� ��� ��(� �(�� ��� '�

� � � (2.2)

となる. もし ���� � �で他が非零ならば,その行列 (�� とする)はこの形に表すことはできない. この場合,� � )����%�� )�����

)��� ��

�� � � �� � � �� � � �� � � �

� � � " �

�� � � �� � � �� � ' �� � � '

� � �

と表される. つまり �� は

�� � )����%�� )����� �

�� � �� ��� �� ��� '�

� ����

� � � (2.3)

となる. 特に, � � *�で,

�� �

�� � � �� � �� ��

� � �� %� � (2.4)

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Figure 1. 1 D-solitons. 左が �� � �� ��, 中央が �� � �� ��, そして右が �� � �� ��. パラメータは �� � ��,�� � ��, �� � �, �� � � とした

�-matrixのもう一つの non-genericな要素 (�� とする)は ���� � ���� � �で他の成分が非零であるものであり,それは �� � )����%�� )����� ,

�� �

�� � � ��

� '� �(� ���

� � � (2.5)

with

� � )��� ��

�� � � �� � � �� � �� �� � � �

� � � � �

�� � � �� � � �� � ' �( � � '

� � �

と表される. 特に,� � *�で

�� �

�� � � �� � �� ��

� � �� %� � (2.6)

となる. これら %�� %�,%� が 1 D-soliton解のすべてを定義することを次節で述べる.

一般に, � -函数 �� � � ����を定義するのに %�からはじめることができる. そして, %�を %� �� �%����

(� � !�� � &��"�)に置きかえることにより�� matrixの一般化を考えることができる. �の役割は �� における列ベクトルの順序交換,つまり

��� �� ������� � � � ���� �� � � ������ ������ � � � � ������� �

と理解できる. ここで列ベクトルは �� �� ���� ����� � � � � � �

������� � であり, ����は置換 � ����を示す.

�の符号は � -函数 � �� � �����%������ が non-singularなように適当に選ばれるものとする.

3. 1 D-SOLITONと 2 A-SOLITON

�� �反対称行列 � の場合を考えよう. この場合は 1 D-solitonと 2 A-solitonを含んでいる.

3.1. D-solitons

第1節において, 1 D-soliton (1.8) の例を示した. � -函数は �� � � ���%�� � � で与えられた. (ここで %� は(2.1)において, ��は Lemma 2.1において定義されたものである). この D-solitonは ��� � � �� ��と記される. 1D-solitonの一般形は ���� � � ��� ��と記される (ここで �� � ��, �� � � である). 1 D-solitonは全部で以下の3通りある:

��� � � �� ��� ��� � � �� ��� ��� � � �� ���

ここでラベル ��� � �� #�は�-matrixの非零要素を示している (すなわち ���� と ����が非零要素である) (図 1).上三角部分に ���� ��と ���� ��に 1を持つ %�-matrixを考えると, � -函数は

�� � ��� � ���� � ���������� � ���� � ���������� � (3.1)

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Figure 2. 1 D-soliton の速度. ��� と ��� の交点は D-soliton � �� �� の速度を与える. 黒丸は D-solitons の速度を与え,白丸は A-solitons の速度を与える. �� ��-soliton の速度は ��� � ��� または ��� � ��� で与えられる � ���� � ��� である.

となる. このとき函数 � � � ���� は

��� �� �� ���

� ��

��

�����

�� ��

����� � ��� � ��� � �������

�������� � ������� (3.2)

で与えられる (���� � �� � �� � ��� � �� �). で, � -函数 (3.1)の指数函数項の一つがドミナントになり

��� �� ��

���� � ��� � � ���� � ��� � �

となる. だから, 1 D-soliton は D 型 Weyl 群の要素として ���� �� � ���� �� を交換することがわかり, 1D-solitonは ���� � � ��� ��と記される.

1-soliton解 � � �����は

��� �� �� � ����� ��� � +�� �

の形をしている平面波である. (3.2)の波数 � � ���� ���と周波数 + を ����� � � ��� ��と +���� � � ��� ��,すなわち �

����� � � ��� �� � ���� � ��� � ��� � ��� � ����� ���� � �

���� ����� �

+���� � � ��� �� � ������ � ����� ���� � �

���� �

により記述しよう. -�平面におけるソリトンの傾き(速度)は ( �� ���� � ������ � ������ ���������� �

���������� � ��� � ��� � ����で与えられる.また, 1 D-solitonの速度 (を以下のように定義する:

���� �� ��� � ���(� ��� � �

�� �

��� � �� #� D-soliton の速度 ( は, ��� と ��� の交点 ����(� � ����(� により決定される. 図 2 において, パラメータは � �� ���� � � � � ��� � ������� �� �� とした. 黒丸は 1 D-soliton の速度を与え, 白丸は 1 A-soliton の速度を与える. 例えば ��� � ��� の点は �� � ��-soliton の速度を与える. これは次のことを与える: もし ���� と ���� が �-matrix における唯一の非零要素ならば, �� は 1 A-soliton �� � �� を与え,�� � �������� � ����� � ������� � �������� となる. 図 2は ��� でのソリトンを決定するのにも使うことができる. 例えば,もし ���� � � (� � � � � �)ならば, �� は6項 ����(� � )すべてを含む. このとき図 2から, T-typeの 2 A-soliton ��� ��と ��� ��が現れる.

3.2. Two A-solitons

1 D-solitonは 2 A-solitonsの退化したものとして現れる. 1 D-soliton ��� � �� #�は 2 A-solitons ��� ��, � � #�または ��� #�, � � ��の積 (すなわち ��� � �� #� � �� � �� � � � #� � �� � #� � � � ��)と考えられる. このとき, 2 A-soliton解は指数函数項を新たに付加することで得られる. もし 1項だけ加えると, Y字型共鳴解が得られる. 例え

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Figure 3. D-soliton �� � �� ��の共鳴的な分岐. それぞれの領域 �� �は要素 ���� に対応するドミナントな指数函数に対応する. 例えば, ���� �� � では, �� � �� ��-D-soliton は � � �� で � ��, � �� A-solitons に分岐する(上図). これらのソリトンは図 2 から見つけることができる.

t=-0.1 t=0 t=0.1

t=0 t=0.1

x x

y y

Figure 4. ���� の図. 下は ���� の等高線図.

ば,上三角部分に2つの非零成分 ������ と ������ がある �-matrixを考えたとき, ���� ��か ���� ��を非零にしたとき,共鳴 Y字型解を得る:�

����� ��� � �� �� �� � ����� � � ��� �� �+���� ��� � +� �� �� � +���� � � ��� �� �

ここで波数 ��� � �と周波数 +�� � �は KP方程式の 1 soliton解のものである:

����� ��� � ���� � ��� � ����� ����� � +���� ��� � �

���� ���� �

図 3において, ��� � � �� ��-solitonの 2 A-solitons �� � ��, �� � ��への共鳴的な分岐を示す.これらのソリトンは図 2から見つけられる: 例えば,図 3の左図において, ���, ���, ��� がある. 3つの交点は 1 D-soliton (黒丸)と 2 A-solitons (白丸)を与える. 図 2は, 黒丸は � での ��� � � �� ��-solitonのドミナントな指数函数のペア (����� ����)を示し,白丸は � �での ��� ��-solitonのドミナントな指数函数のペア ������ �����と��� ��-solitonのドミナントな指数函数のペア ������ �����を示す.

2-solitonによって分けられる領域は少なくとも4つであるので,少なくとも 2つ非零要素を付け加える必要がある. 図 3は 1 D-solitonの two A-solitonsへの共鳴的な分岐を示す. この図における 2-ソリトン解は

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Figure 5. D-solitons から得られる 2 A-solitons の3つの基本的な場合. ダイアグラムは �-matrix と対応する 2solitonsの関係を与える. つまり,組 �� �が直接つながっているときに ���� �� �であり, � ��-solitonは ��� ��は直接つながっていないことを示す.

new T-type (TD-typeと呼ぶ)であり,これは DKP方程式にのみ存在する解である. KP方程式の T-typeの解は例えば以下の �-matrixによって得られる:

� �

�� � � �

� � �� �

� � �

この場合には �� � � (�� � �)であることに注意しよう. genericな�-matrix (������ �� �)は穴のある T-typeの 2 soliton解を与え,これは KP方程式の解にはならない (�� �� �). 図 4において,

� �

�� � � �

� � �� �

� � �

の場合の ����の時間発展の様子を示した. インスタントン的なパルスが現れているのがわかる. KP方程式と DKP方程式の , -typeの 2 soliton解はどちらも 6つの独立な指数函数を持つ (���� , (� � � � � �)). これが T-typeの 2 A-solitonsをつくる鍵である ([2, 10]を参照せよ).

Example 3.1. ��� ��, ��� ��に非零成分を持つ�-matrix (つまり (2.1)における� � %�)に対応する ��� � � �� ��-D-solitonを考えよう:

a) ��� ��と ��� ��に+1を置くことにより �� � ��-A-solitonsと �� � ��-A-solitons (TD-type)が得られる.

b) ��� ��と ��� ��に+1を置くことにより �� � ��-A-solitonsと �� � ��-A-solitons (P-type)が得られる.

a)における TD-typeは AKP-solitonのものとは違い共鳴がない. もとの T-type 2 A-solitonsはすべて非零成分で ������ � �である �-matrixによって得られる. DKP方程式の 2 A-solitonsも 3種類ある. これらの種類は分類問題において重要な役割をする. 図 5は 3種類の 2 A-solitonsのダイアグラムである. 8-gonのダイアグラムは�-matricesとソリトンの種類と関係づける:もし,組 ��� �がダイアグラムにおいてつながっていれば ���� は非零となり,対応する �� � #�の A-solitonはダイアグラムにおいてつながっていない組��� #�により与えられる.また, O-typeに対応する�-matrixは genericなものではなく (2.3)である. 図 6は 2A-solitonsのタイプを示す. これらは KP方程式のものと同じである. (すべてのタイプにおいて �� � �となるようにすると, �� は KP方程式の解となる).パラメータは � � ������� �� ��と選び,ソリトンの速度は図2からわかる.

4.多ソリトン解

次に �-matrixが �� �の場合を議論しよう.それぞれの D-solitonは 4つの位相を持つので, 2 D-soliton解を記述するには 8つの位相が必要である.

��-函数は

�� ��

������������

� ������ � � � � ���� ���� � � � � ��� ���

���

���

���

��

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Figure 6. 2 A-solitonsの 3 つの基本的な種類.

で与えられる. ただし ���� � � � � ��� ��

����������� � ��� � � �であり, pfaffianは

� ������ � � � � ���� � ������������ � ������������ � ������������ �

と計算される.上三角部分に 4つの非零成分を持つ 2 D-soliton解を持つ �-matrices を構築しよう. これは, 以下のス

テップをたどることで可能である.

1) 集合 ��� � � � � ��から 4つの組 ���� ��, � � �� � � � � � (�� � �)を取れ. つまり

� � �� � �� � � � � � ��� � �� �� �� �� #��

これは全部で ��� �� ��!! � ��"通りある. これら 4つの組は�-matrixの 4つの非零要素を与える (すなわち ���� �� � ������ (� � �� � � � � �)).

2) �� を展開してでてくるすべての pfaffianの符号が同じになるように,組 ���� ��の符号を決定せよ. ��� �はすべて異なるので,それぞれの pfaffianは 1つの項 � ���� �� ��� #�� � �������� となる. ここで符号は組の overlapに依存している. 例えば

� ���� ��� �"� #�� � ������� � � ���� ��� ��� ��� � �������� �

である.

pfaffian � ���� �� ��� #�� � �������� の符号を決定するために,以下を定義しよう:

Definition 4.1. 組 ��� � ���と組 ���� ��� (�� � ��)は �� � �� � �� � �� であるとき partial overlap(部分的交差)を持つ,と言うことにしよう.他の場合は,組は non-partial overlap(非部分的交差)を持つ,と言うことにする.(つまり total overlap(完全交差)または no overlap(無交差)を持つ).

���� ��と ���� ��の間の overlapの符号を導入する:

��� �

�� � �� � �� � � � � ������� �$����� �� ��������� �

このとき � ����� ��� ���� ��� � ��������������� となる.

以下のことが成り立つ.

Lemma 4.1.符号 ��� は

��������� � ��������� � ��������� � ��������� �

を満たすと仮定する.このとき � -函数 �� は sign-definiteになる,すなわちすべての � ������ � � � � ����は同じ符号を取る.

この Lemmaを用いると,以下のことがわかる:

Proposition 4.1. � � ���� � � � � ���と � � � �� � � � � ��を考えよ. このとき sign-definiteな � 函数は 33通りある:a) � � ��� �� �� ��に対して, � � � �� � � � � ��は 8通りある;

�"� �� #� ��� �"� �� #� ��� ��� "� �� #�� ��� #� �� "���#� �� "� ��� �#� �� "� ��� ��� "� �� #�� ��� #� �� "� �

b) � � ��� �� �� "�に対して, 4通り, ��� #� �� ��� ��� #� �� ��� ��� #� �� ��� ��� #� �� �� �c) � � ��� �� �� ��に対して, 4通り, ��� "� �� #�� �"� �� #� ��� �#� �� "� ��� ��� "� �� #� �d) � � ��� �� �� "�に対して, 4通り, ��� �� �� #�� ��� �� �� #�� ��� �� #� ��� ��� �� #� �� �

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Figure 7. � � ��� �� �� ��, � � ��� � �� �� に関連する 2 D-solitons と 3 D-solitons. 左図は � �������� �� �� �� �� �� �� の時の 2 D-solitons. 右図は �� � � を除いて同じパラメータ. 下図は速度 に対しての支配的な要素 (グラフでの黒丸) を示す. 四角は共鳴四角形に対する D-solitons に対応し,三角は 3 つのソリトンの組からなる共鳴ソリトンに対応している.

e) � � ��� �� �� ��に対して, 1通り, ��� �� "� #� �f) � � ��� �� �� #�に対して, 2通り, ��� "� �� ��, ��� "� �� �� �g) � � ��� �� �� "�に対して, 2通り, ��� �� #� ��, ��� �� #� �� �h) � � ��� �� �� #�に対して, 1通り, ��� �� "� �� �i) � � ��� �� �� ��に対して, 1通り, ��� �� "� #� �j) � � ��� �� "� ��に対して, 2通り, ��� �� #� ��, ��� �� �� #� �k) � � ��� �� "� #�に対して, 1通り, ��� �� �� �� �l) � � ��� �� "� ��に対して, 1通り, ��� �� �� #� �m) � � ��� �� �� #�に対して, 1通り, ��� �� "� �� �n) � � ��� �� "� #�に対して, 1通り, ��� �� �� �� �

n)の場合は (2.2)で定義された�-matrix � � %� に対応する. 他の場合の�-matricesは要素に適当な符号をつけた � � ! を用いて � � %� �� �%�� と表される. その符号は � -函数が non-singularになるように決定される.

Proposition 4.1で得られた �-matricesに対応する � -函数で与えられる D-soltionを分類しよう.

Theorem 4.1. ���� �� � ���� �� � ���� �� � ���� ��を仮定しよう (���� �� �� ��� � ��� ). このとき, genericな状況で, DKP方程式の解は以下の二つの場合になることがわかる (図 7参照):

a) ���� � � ��� ��, ���� � � ��� ��または ���� � � ��� ��, ���� � � ��� ��の 2 D-solitons,

b) ある - � ��� � � � � ��について, ���� � � ��� ��, ���� � � ��� ��, ���� � � ��� ��の 3 D-solitons (-� �� #��はすべて異なるとする).

Proposition 4.1におけるすべての場合は 2 D-soliton解を持つが,いくつかの場合に 3 D-soliton解を持たないことに注意しよう. 特に以下のことが成り立つ:

Proposition 4.2. Proposition 4.1 における n)の場合には, 2 D-soliton解 ��� � � "� ��と ��� � � #� ��を持つのみである.

また以下のことが成り立つ:

Proposition 4.3. Proposition 4.1 における a)の場合 � � ��� #� �� "�は 2 D-solitons, 3 D-solitonsの両方の場合がある.

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Figure 8. グラフ ��� � � ��� � ����� � ���� ��

���(� � �� � � � � �). 左図は � � ������������� �� �� ��� �

における �� � �� �� と �� �� �� の 2 D-soliton solutions,右図は � � ����� ��������� �� �� �� � における�� � �� �, �� �� ��, �� �� �� の 3 D-solitonsを示す. �� だけが変えられている.

Figure 9. 図 8 における 2 D-solitons と 3 D-solitons の相互作用パターン. 函数 � � ��� ���� は, � � �� で� � ��� �� �� ��, ��� で � � ��� �� �� �� をとる. 図におけるすべての D-solitons は図 8 における ��の交点と同一視できる.

Proof. 例を示す.

a) 2 D-solitonsにおいて, � �� ���� ��� � � � � �� � ��"���������� �� �� #��� #�ととる. このとき,図 8における左図の白丸は ��� � � �� "�, ��� # � �� �� D-solitonsに対応する.

b) 3 D-solitonsにおいて, � �� ���� ��� � � � � �� � ��"��#��������� �� �� �� #�ととる. このとき,図 8における右図の白丸は ��� � � �� #�, ��� # � �� ��, ��� # � �� "� D-solitonsに対応する.

図 9は,これらの場合の相互作用パターンを示す.

すでに述べたように,これらの D-solitonは D型Weyl群 � の要素と同一視することができる. 2 D-solitonsの場合に,例えば, ���� � ���� ��� ���� ��と ���� � ���� ��� ���� ��が現れる. これらの要素によって生成される群は � の可換部分群であり, ���� �� ��� ��の軌道はソリトンにより分割される漸近的な領域を示す (つまり ���� �� ��� ��, ���� �� ��� ��, ���� �� ��� ��, ���� �� ��� ��である). 分割された領域は � -函数におけるドミナントな指数函数に対応する ( %�� %��, %�� %��, %�� %��, %�� %��). � -函数は, ���� �� ��� ��と ���� �� ��� ��でラベルされる 2つの項が余計にある (つまり %�� %�� と %�� %�� である). これらの項は, T-typeの 2 A-solitonsの場合のときのように共鳴四角形の点でドミナントになる. つまり,共鳴 2 D-solitonが作られる. 共鳴条件は例えば以下のように与えられる:��

������ � � ��� �� � ����� � � ��� �� � ����� � � ��� ��

+���� � � ��� �� � +���� � � ��� �� � +���� � � ��� ��

3 D-solitonの場合 (例えば ���� � � ��� ��, ���� �� ��� ��, ���� � � ��� ��としよう), 部分群の要素として ����,����, ���� がある. このとき, 部分群は ����, ����, ���� を含み, これらはペアの共鳴によって生成されるD-solitonである. つまり����は ���� � � ��� ��のD-solitonを示す. それぞれの共鳴関係は積���� ����� � ����で表される. 図 9は,図 8に現れている 2 D-solitonと 3 D-solitonの相互作用パターンを示す.

Proposition 4.1における 2 D-soliton解に対して,以下のことが成り立つ:

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Proposition 4.4. 上で作られた 2 D-solitonsは,交点で穴が 1つ生じるという意味で,すべて共鳴ソリトンである. つまり,すべて 1つ穴のある T-typeである.

Proposition 4.1における 3 D-solitonに対して,以下のことが成り立つ:

Proposition 4.5. 上で作られた 3 D-solitonの任意のペアは Y字を作る. この 3 D-soliton解は共鳴による穴を持たず, 4つの共鳴 Y字型ソリトンの頂点を成す.

最後に, 一般的な場合� � �" を考えよう. 上三角部分に �" 個の非零成分 ������ (� � �� � � � � " ,� � �� � � � � � �� , �� � �)を持つ �-matrixを考える.

Proposition 4.6.行列 %� (2.1)で与えられる �" � �" �-matrixから作られる �� -函数 (1.2)は genericな状況で " D-solitonsのみを持つ.

他の場合は �-matrix � � %� に対応する. ここで %� は %� �� �%�� (� � !�� は � � �� � �" � � �� ��" � �� � � � ��" � �" � ��で与えられる置換)で定義される:

%� �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �

. . . � � � � � � � � �...

...� � � � � � �

� � � � � �. . .

......

� ��

� �� (4.1)

Proposition 4.7. 行列 %� (4.1)で与えられる �" � �" �-matrixから作られる �� -函数 (1.2)で生成されるD-solitonsの数は " から �" � �の任意の数である.

5.まとめ

DKP方程式の pfaffianで書かれる解を調べ,ソリトン相互作用にWeyl群が関係していることを明らかにした. ソリトンの分類を行うにあたって,石川–若山の pfaffianの和公式が重要な役割を果たした. D型Weyl群の働きによって, DKP方程式のソリトン相互作用は KP方程式のそれに比べて非常に複雑になることがわかった.[1] Adler M, Horozov E and van Moerbeke P, 1999 The Pfaff lattice and skew-orthogonal polynomials, Int. Math.

Res. Notice 5, 69–88[2] Biondini G and Kodama Y 2003 On a family of solutions of the Kadomtsev-Petviashvili equation which also

satisfy the Toda lattice hierarchy, J. Phys. A 36, 10519–10536[3] Hirota R and Ohta Y 1991 Hierarchies of Coupled Soliton Equations. I, J. Phys. Soc. Japan 60, 798–809[4] Ishikawa M and Wakayama M, 1995 Minor Summation Formula of Pfaffians, Linear and Multilinear Algebra

39, 285–305[5] Isojima S, Willox R and Satsuma J 2002 On various solution of the coupled KP equation, J. Phys. A, Math.

Gen. 35, 6893–6909[6] Isojima S, Willox R and Satsuma J 2003 Spider-web solution of the coupled KP equation, J. Phys. A, Math.

Gen. 36, 9533–9552[7] Jimbo M and Miwa T 1983 Solitons and Infinite Dimensional Lie Algebras, Publ. RIMS Kyoto Univ. 19,

943-1001[8] Kac V G and van de Leur J W 1998 The geometry of spinors and the multicomponent BKP and DKP

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