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Brigitte Penzenstadler
Trigonometrie 9./10. KlasseMathetraining in 3 Kompetenzstufen
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Downloadauszug aus dem Originaltitel:
Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich, aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch.
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3Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen© Persen Verlag
Vorwort
Liebe Kolleginnen und Kollegen,
sicher rechnen zu können, gehört zu den elementaren Fähigkeiten und bildet eine wichtige Basis für den schulischen sowie beruflichen Erfolg. Durch regelmäßiges, planmäßiges Training werden mathematische Fertigkeiten sukzessiv und nachhaltig gefestigt.
Im vorliegenden Werk finden Sie Aufgaben, hauptsächlich als Vorbereitung für die Abschlussprü-fungen der 9. und 10. Jahrgangsstufe, in drei verschiedenen Schwierigkeitsstufen, die der Hete-rogenität der Schülerinnen und Schüler Rechnung tragen und diese entsprechend ihrer bereits vorhandenen Kompetenzen fördern.
Im grundlegenden Niveau (Kompetenzstufe A) steht durch kleinschrittiges Vorgehen und ab-wechslungsreiche Übungsaufgaben die Vermittlung von Basiskompetenzen im Vordergrund. Da-durch erhalten auch Leistungsschwächere die Möglichkeit, bessere Ergebnisse zu erzielen. Schü-lerinnen und Schüler, die grundlegende Aufgaben bereits eigenständig lösen können, finden im qualifizierenden Niveau (Kompetenzstufe B) eine Vielzahl von motivierenden Anregungen. Die Aufgaben eignen sich auch hervorragend für die Vorbereitung auf die Abschlussprüfungen. Das weiterführende Niveau (Kompetenzstufe C) dagegen bietet Leistungsstarken die Gelegenheit, ihre Kompetenzen weiterhin zu festigen und zu vertiefen.
Auf diese Weise werden die Stärken Ihrer Schülerinnen und Schüler entwickelt bzw. deren Schwä-chen reduziert.
Die zahlreichen differenzierten Übungsaufgaben, die sämtliche wichtigen Bereiche der Mathema-tik in der 9. und 10. Jahrgangsstufe abdecken, tragen dazu bei, die mathematischen Fertigkeiten zu optimieren. Durch die wechselnden Aufgabenformen und durch die Möglichkeit der Selbstkon-trolle ist eine gezielte Förderung – auch im Klassenverband – ohne Mehraufwand von Seiten der Lehrkraft möglich. Die direkt einsetzbaren, lehrwerksunabhängigen Kopiervorlagen aktivieren das Vorwissen, verbessern die mathematischen Kompetenzen und können weitgehend ohne unmittel-bare Hilfe bearbeitet werden. Außerdem wird Wert auf den Spaß am Umgang mit der Mathematik gelegt und somit die Lernbereitschaft gefördert. Die ausführlichen Lösungsblätter direkt im An-schluss an die Aufgaben unterstützen Sie bei der täglichen Unterrichtsvorbereitung.
Ich hoffe, mithilfe des vorliegenden Buches, die mathematischen Kompetenzen Ihrer Schülerin-nen und Schüler auch im Hinblick auf die Abschlussprüfungen zu trainieren und Sie zu weiteren Ideen anzuregen.
Viel Spaß und Erfolg beim Ausprobieren.
Brigitte Penzenstadler
4Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen
© Persen Verlag
Trigonometrie ASinus
β
α
cb
a
Hypotenuse
Gegenkathete von αC
A
B
1 Wie lautet der Quotient zu sin α und sin β? Kreuze an.
o sin α = f d
o sin α = d f
o sin β = e d
o sin β = d e
de
f
α
β
2 Wie lautet der Quotient zu sin α und sin β? Kreuze an.
o sin α = i h
o sin α = h i
o sin β = g h
o sin β = h g
ih
g
β
α
3 Berechne die fehlende Seitenlänge wie im Beispiel.
Beispiel: α = 45°; c = 7 cm sin 45° = a : 7 cm | • 7 cm a = sin 45° • 7 cm = 4,95 cm
α a c 20° 5 cm
60° 4 cm
30° 6 cm
50° 9 cm
Lösungen: 12 14,62 6,89 3,46
5Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen© Persen Verlag
TrigonometrieAA
Kosinus
β
α
cb
a
Hypotenuse
Ank
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on α
C
A
B
1 Wie lautet der Quotient zu cos α und cos β? Kreuze an.
o cos α = d e
o cos α = d f
o cos β = f e
o cos β = e f
ef
d
β
α
2 Wie lautet der Quotient zu cos α und cos β? Kreuze an.
o cos α = i h
o cos α = i g
o cos β = g h
o cos β = h g
i
h
g
β
α
3 Berechne die fehlende Seitenlänge.
α b c 20° 4 cm
60° 5 cm
30° 3 cm
50° 10 cm
Lösungen: 2,5 4,26 6,43 3,46
6Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen
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Trigonometrie A
Tangens
β
α
Gegenkathete von α
Ank
athe
te v
on α
C
A
B
cb
a
1 Wie lautet der Quotient zu tan α und tan β? Kreuze an.
o tan α = f e
o tan α = f g
o tan β = g f
o tan β = e f
fg
e
β
α
2 Wie lautet der Quotient zu tan α und tan β? Kreuze an.
o tan α = g f
o tan α = e f
o tan β = f e
o tan β = f g
e
f
g
α
β
3 Berechne die fehlende Seitenlänge.
α a c 60° 3 cm
30° 6 cm
20° 5 cm
40° 4 cm
Lösungen: 1,73 3,36 13,74 3,46
7Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen© Persen Verlag
TrigonometrieAA
Berechnungen am rechtwinkligen DreieckEine Stehleiter soll mindestens bis in 5 Meter Höhe reichen. Die beiden Schenkel der Leiter sind jeweils 5,7 m lang.
a) Fertige eine Skizze an und beschrifte sie.
b) Wie groß ist der Winkel an der von den beiden Schenkeln gebildeten Spitze? Runde auf ganze Grad.
c) Wie weit stehen die beiden Schenkel der Leiter auseinander? Runde auf zwei Dezimalstellen.
Lösungen: 5,36 56
8Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen
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Trigonometrie B
Sinus1 Ergänze den Lückentext. Setze ein, sodass wahre Aussagen entstehen.
β
α
C
A
B
cb
a
Die Hypotenuse liegt dem ____________________ Winkel gegenüber.
Die Hypotenuse des Winkels α ist die Seite ____________________.
Die Gegenkathete liegt dem ____________________ Winkel gegenüber.
Die Gegenkathete des Winkels α ist die Seite ____________________.
Es gilt im ____________________ Dreieck: sin α = _____.
2 Die Orte Audorf, Bergheim und Ceburg liegen an einem See (siehe Skizze) und werden regelmäßig von einer Fähre angesteuert. Wie weit liegen Ceburg und Bergheim auseinander?
ÖAudorf Bergheim
Ceburg
20 km
9Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen© Persen Verlag
TrigonometrieBB
KosinusDer Quotient aus der Ankathete eines Winkels und der Hypotenuse heißt Kosinus.
1 Wie lautet der Quotient zu cos α und cos β?
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2 Eine Leiter lehnt an einer Hauswand in drei Meter Entfernung. Der Winkel zwischen der Lei-ter und dem Boden beträgt 60°.
a) Wie lang ist die Leiter? Fertige eine Skizze und berechne.
b) Wie weit reicht die Leiter hinauf? Berechne.
Lösungen: 5,20 6,00
10Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen
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Trigonometrie B
TangensDer Quotient aus der Gegenkathete eines Winkels und der Ankathete heißt Tangens.
1 Wie lautet der Quotient zu tan α und tan β?
...................................... .....................................
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β
α ......................................
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α
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2 Berechne die Länge der Seite x. Runde sinnvoll.
α = 25° β = 45°
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...................................... .....................................
x
4
α
......................................
x
6β
......................................
g = 30° d = 35°
...................................... .....................................
...................................... .....................................
x
4
g
......................................
x
3,5
d ......................................
Lösungen: 6 2,45 8,58 8,66
11Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen© Persen Verlag
TrigonometrieBB
Berechnungen am rechtwinkligen DreieckFür den Bau eines Steges in einem Schwimmteich werden drei Holzpfosten, wie in der Skizze dargestellt, benötigt.
Skizze:
ab
d
c
70°C
BA 2 m2 m 2 m
a) Wie lang müssen die drei Holzpfosten mindestens sein?
b) Wie viele Meter Pfosten müssen besorgt werden, wenn diese je 50 cm im Boden veran-kert werden müssen?
Lösungen: 2,18 1,46 5,87 0,73
12Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen
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Trigonometrie C
Sinus1 Ergänze den Lückentext, sodass wahre Aussagen entstehen.
β
α
C
A
B
cb
a
Die Hypotenuse liegt dem ________________________ Winkel gegenüber. Die Hypotenuse des Winkels α ist die Seite ______. Die Gegenkathete liegt dem ______________________ Winkel gegenüber. Die Gegenkathete des Winkels α ist die Seite _____. Es gilt im ________________________ Dreieck: sin α = ___.
2 Berechne die Größe der Winkel α. Runde sinnvoll.
a) sin α = 1 .............................................................................................................
b) sin α = 0,8660 .............................................................................................................
c) sin α = 0,7071 .............................................................................................................
d) sin α = 0,3420 .............................................................................................................
3 Hier hat sich bei der Lösung der Aufgabe ein Fehler eingeschlichen. Finde und verbessere ihn.
Ein Ruderboot will eine 300 m lange Strecke zurücklegen. Es wird aber um 50 m vom ursprünglichen Ziel abgetrieben. Welche Strecke legt das Boot in Wirklichkeit zurück? Um wie viel Grad driftete das Boot ab?
a2 + b2 = c2 .............................................................................................................
c2 = 3002 + 502 .............................................................................................................
c = 304,14 m .............................................................................................................
sin α = 300 304,14
= 0,9864 .............................................................................................................
α = 80,54° .............................................................................................................
13Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen© Persen Verlag
TrigonometrieCC
Kosinus1 Kreuze die richtigen Aussagen an.
o Der Quotient aus der Ankathete eines Winkels und der Hypotenuse heißt Kosinus.
o Der Quotient aus der Gegenkathete eines Winkels und der Hypotenuse heißt Kosinus.
o Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Gegenkathete.
o Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse.
o Die Ankathete liegt dem betrachteten Winkel an.
2 Eine 50 m lange Hängebrücke wird in der Mitte von je 2 Seilen gehalten, die in einem Winkel von 40° am Boden befestigt sind. Was kann mithilfe dieser Angaben alles berechnet wer-den? Notiere und berechne.
14Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen
© Persen Verlag
Trigonometrie C
Tangens1 Notiere die allgemein gültige Formel für Tangens α. Fertige eine passende Skizze dazu an
und beschrifte sie.
2 Bei der Lösung der Aufgabe hat sich ein Fehler eingeschlichen. Finde und verbessere ihn.
Aufgabe: Der 140 cm große Uwe steht mit seinen Eltern auf gleicher Höhe mit einem Hochhaus. Er sieht das Dach des Hochhauses aus 100 m Entfernung unter einem Winkel von 25°. Wie hoch ist das Hochhaus?
Lösung: tan 25° = x 100
| • 100
tan 25° • 100 = x
x = 46,6
Das Hochhaus ist 46,6 m hoch.
15Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen© Persen Verlag
TrigonometrieCC
Berechnungen am rechtwinkligen DreieckHerr Huber will das Gartenbeet neben seiner Terrasse gemäß der Skizze erweitern.
Skizze:
110°3,5 m
5 m
CB
A
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Welche Fläche nimmt das neue Beet nun ein? Runde alle Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen.
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