ERZBISCHÖFLICHES GYMNASIUM KIRCHENPLATZ 2 2020 HOLLABRUNN _________________________________________________________

Sphärische Trigonometrie

Verfasserin: Barbara Zehetmaier

Klasse: 8C Schuljahr: 2014/15

Betreuungslehrer: Mag. Harald Grötz

Abgabedatum: 9. Februar 2015

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Abstract

Diese vorwissenschaftliche Arbeit beschäftigt sich mit der Sphärischen Trigonometrie und

deren Anwendung in der Astronomie. Neben den Formeln für ein rechtwinkeliges

sphärisches Dreieck, dem sphärischen Sinussatz, dem Seitencosinussatz und dem

Winkelcosinussatz wird auch die Formel für den Flächeninhalt eines Kugeldreiecks

hergeleitet. Ein Abschnitt beschäftigt sich mit Kugelzweiecken, wobei auch hier die

Flächeninhaltsformel hergeleitet wird, und mit Klein- und Großkreisen, mit denen die

kürzeste Entfernung zweier Punkte auf einer Kugel verbunden ist. Der erste Teil der VWA

widmet sich den mathematischen Überlegungen, während sich der zweite Teil mit einem

Ausschnitt der sphärischen Astronomie beschäftigt. Dabei wird auf Begriffe der Astronomie,

auf das Horizontsystem, das Äquatorsystem und deren Zusammenhänge, sowie auf die

ungefähre Berechnung der Tageslänge eingegangen. Für Berechnungen in der sphärischen

Astronomie werden die Formeln für sphärische Dreiecke, die im ersten Abschnitt hergeleitet

werden, angewandt. Alle Überlegungen werden meist mit Abbildungen anschaulich

dargestellt, sowie auch die Theorie in Beispielen erläutert wird. Die Arbeit ist eine

Literaturarbeit mit Beispielen zu bestimmten Formeln, die selbst erstellt oder zumindest

selbst erarbeitet wurden.

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Vorwort

Die vorwissenschaftliche Arbeit gibt uns Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit, sich mit

einem Fachthema zu befassen, das uns interessiert und Spaß macht. Daher habe ich das

mathematische Thema „Sphärische Trigonometrie“ gewählt, das mich schon seit einiger Zeit

beschäftigt hat. Bei diesem Thema geht es neben der Erarbeitung und Herleitung von

Formeln auch um deren Anwendungen. Ich habe mich bei den Anwendungen besonders auf

die Astronomie bezogen, weshalb sich ein Teil meiner vorwissenschaftlichen Arbeit mit

Begriffen und Koordinatensystemen aus der Astronomie beschäftigt.

Ich bin der Meinung, dass die Trigonometrie auf der Kugel eine große Bedeutung für uns

Menschen hat, da wir auf der Erde – die annäherungsweise eine Sphäre ist – leben und da

auch der Himmel für Berechnungen als Sphäre gedacht wird. Ebenfalls ist es interessant zu

sehen, welche Unterschiede und Parallelen es zwischen der ebenen und sphärischen

Trigonometrie gibt.

Das Arbeiten an der VWA war zum Teil herausfordernd und hat auch viel Zeit in Anspruch

genommen, doch ich hatte eine sehr gute Unterstützung. An dieser Stelle möchte ich mich

herzlich bei meinem Betreuungslehrer Mag. Harald Grötz bedanken. Sie waren immer bereit

offene Fragen zu beantworten und gaben mir eine Menge hilfreicher Tipps. Danke.

Viendorf, im Februar 2015 Barbara Zehetmaier

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Inhaltsverzeichnis

Abstract .............................................................................................................. 2

Vorwort .............................................................................................................. 3

Inhaltsverzeichnis ............................................................................................... 4

Einleitung ........................................................................................................... 6

1. Kreise auf Sphären .......................................................................................... 7

1.1. Großkreise ..................................................................................................... 7

1.2. Kleinkreise ..................................................................................................... 7

1.3. Gegenpunkte .................................................................................................. 8

1.4. Sphärischer Abstand ....................................................................................... 9

2. Das Kugelzweieck.......................................................................................... 10

3. Das Kugeldreieck .......................................................................................... 11

3.1. Seiten, Winkel und Eulersche Dreiecke ......................................................... 11

3.2. Nebendreiecke ............................................................................................. 12

3.3. Gegendreieck ............................................................................................... 12

3.4. Polardreieck ................................................................................................. 13

3.5. Flächeninhalt................................................................................................ 14

3.6. Rechtwinkelige Kugeldreiecke ...................................................................... 15 3.6.1. Das Dreikant ............................................................................................................ 15

3.6.2. Die Grundformeln .................................................................................................... 15

3.6.3. Die Regel von Neper ................................................................................................ 17

3.7. Allgemeine Kugeldreiecke ............................................................................ 19 3.7.1. Der Sinussatz ........................................................................................................... 19

3.7.2. Der Seitencosinussatz .............................................................................................. 20

3.7.3. Der Winkelcosinussatz ............................................................................................ 21

3.8. Die Sätze von Legendre und Soldner ............................................................. 23

4. Sphärische Astronomie ................................................................................. 25

4.1. Einführung ................................................................................................... 25

4.2. Begriffserklärungen ...................................................................................... 26

4.3. Das Horizontsystem ...................................................................................... 27

4.4. Das Äquatorsystem ...................................................................................... 30

4.5. Das nautische Dreieck .................................................................................. 31

4.6. Weitere Zusammenhänge zwischen Horizontkoordinaten und Äquatorkoordinaten ........................................................................................... 32

5

4.7. Auf- und Untergangszeiten der Sonne .......................................................... 33

5. Formelsammlung .......................................................................................... 35

6. Schluss .......................................................................................................... 37

6.1. Zusammenfassung ........................................................................................ 37

6.2. Schlusswort .................................................................................................. 37

7. Quellenverzeichnis........................................................................................ 38

7.1. Literaturverzeichnis ...................................................................................... 38

7.2. Internetquellen ............................................................................................ 38

8. Abbildungsverzeichnis .................................................................................. 39

Selbstständigkeitserklärung .............................................................................. 42

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Einleitung

Schon vor 4000 Jahren beschäftigten sich die Menschen mit der Trigonometrie auf Sphären.

Dabei war die Entwicklung dieses Bereiches immer eng mit der Astronomie verbunden und

findet dort auch noch heute Anwendung. Schon damals war bekannt, dass in sphärischen

Dreiecken, also Dreiecken auf einer Kugel, die bekannten Formeln aus der Ebene nicht

angewendet werden dürfen.

Die Arbeit beschäftigt sich mit Kugelzweiecken, Kugeldreiecken und Koordinatensystemen in

der Astronomie. Es werden sowohl Formeln für das rechtwinkelige Kugeldreieck als auch für

allgemeine Kugeldreiecke hergeleitet. Diese Formeln finden in der sphärischen Astronomie

im nautischen Dreieck Anwendung. Zu Beginn jedoch gibt es einen Überblick über Kreise auf

Sphären, der den Einstieg in das Thema bildet. Einige Kapitel verlangen das Wissen der

vorhergehenden Abschnitte und bauen somit aufeinander auf. In der Arbeit werden nicht nur

die Herleitungen der Flächeninhaltsformel, des Sinussatzes, des Seitencosinussatzes und des

Winkelcosinussatzes dargelegt, sondern die Formeln werden auch in Beispielen angewandt.

Die Beispiele sind zum Teil selbst überlegt und selbstständig ausgearbeitet. Am Schluss der

Arbeit wird auf das Horizontal- und Äquatorsystem, auf die Auf- und Untergangszeiten der

Sonne und auf einige Begriffe aus der sphärischen Astronomie eingegangen. Dazu wird auch

das nautische Dreieck und somit der Bezug zur sphärischen Trigonometrie beschrieben. Das

letzte Kapitel enthält eine Formelsammlung aller in der Arbeit hergeleiteten Formeln.

Mit diesen Themen haben sich auch Hans Kern und Josef Rung befasst. In ihrem im Jahr 1997

erschienenen Buch erklären sie die sphärische Trigonometrie grundlegend und anschaulich.

Ein weiteres Buch, das als Literatur in der Arbeit dient, ist von Rudolf Hame im Jahr 1995

erschienen. Auch er beschreibt Schritt für Schritt die sphärische Trigonometrie und in Folge

daraus die Anwendung in der Astronomie und Kartographie. Das Hauptziel dieser

vorwissenschaftlichen Arbeit ist es, eine Einführung in die sphärische Trigonometrie zu geben

und auch einige Anwendungen kennen zu lernen. In der Arbeit wird insbesondere auf einige

Anwendungen in der Astronomie eingegangen, nicht jedoch auf die Kartographie, die einen

weiteren großen Anwendungsbereich darstellt.

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1. Kreise auf Sphären

1.1. Großkreise

Wird eine Kugel durch den Mittelpunkt M mit einer Ebene

geschnitten, so entsteht ein Kreis, dessen Radius gleich dem der

Kugel ist und der als Mittelpunkt den Kugelmittelpunkt M hat.

Ein derartiger Kreis wird als Großkreis bezeichnet. (vgl. Hame,

1995: 12-13)

Als Meridiane bezeichnet man alle Großkreise m, die den

Großkreis k senkrecht schneiden. Es gibt unendlich viele

Meridiane zu einem Großkreis (Abbildung 1). (vgl. Kern, 1997:

18)

1.2. Kleinkreise

Schneidet man eine Kugel mit einer Ebene, die nicht den

Kugelmittelpunkt M enthält und deren Abstand vom

Kugelmittelpunkt M kleiner als der Kugelradius R ist, so entsteht

ein Kreis, dessen Radius r kleiner als der Kugelradius R ist. Dieser

Kreis wird als Kleinkreis bezeichnet. (vgl. Hame, 1995: 13)

Berechnung des Kleinkreisradius r (Abbildung 2):

a....................Abstand vom Kugelmittelpunkt M zum

Kleinkreismittelpunkt M’

R...................Kugelradius

r.....................Radius des Kleinkreises

P....................Alle Punkte der Schnittmenge

Auf der Erde sind alle Breitenkreise bis auf den Äquator Kleinkreise. Der Äquator ist ein

Großkreis und die Längenkreise (Meridiane) sind Großkreishälften. (vgl. Hame, 1995: 13)

Abbildung 1: Großkreise

Abbildung 2: Berechnung des Kleinkreisradius

8

Abbildung 3: Berechnung des Umfangs eines Breitenkreises

Berechnung des Umfangs eines Breitenkreises (Abbildung 3):

Da α gleich β ist, kann man im rechtwinkeligen Dreieck den

Cosinus ansetzen und so den Radius des Kleinkreises

berechnen, welcher wiederum in die Kreisumfangsformel

eingesetzt wird.

(vgl. Hame, 1995: 10-11)

Beispiel:

Berechne die Länge des Breitenkreises, der durch Hollabrunn (N49°) verläuft (R = 6370 km),

den Abstand von Hollabrunn zur Erdachse, sowie die Bahngeschwindigkeit bei der Drehung

um die Erdachse!

Länge des Breitenkreises:

Abstand Hollabrunn – Erdachse:

Bahngeschwindigkeit (T=24h):

1.3. Gegenpunkte

Gegenpunkte sind jene zwei Punkte, deren Verbindungsstrecke den Kugelmittelpunkt

enthält, sie sind also Endpunkte des Kugeldurchmessers. Schneiden sich zwei Großkreise, die

nicht zusammenfallen, so sind die entstandenen Schnittpunkte Gegenpunkte. (vgl. Hame,

1995: 14) Der Gegenpunkt von Hollabrunn (49°N 16°O) hat die geographischen Koordinaten

49°S 164°W und liegt im Südpazifischen Ozean. Das nächstgelegenste Festland des

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Gegenpunktes und somit auch das am weitesten entfernte Festland von Hollabrunn sind die

Chatham-Inseln, die zu Neuseeland gehören.

1.4. Sphärischer Abstand

Geodäten sind jene Bahnen, auf denen sich das Licht und Teilchen ohne Einwirkungen von

außen bewegen würden. Eine Geodäte ist also der kürzeste Abstand zweier Punkte. (vgl.

spektrum.de)

Auf der Kugeloberfläche haben zwei Punkte die

kürzeste Verbindung, wenn man sie mit dem kürzeren

Bogen des Großkreises, der durch beide Punkte

verläuft, verbindet. So ist jeder Großkreis eine

geodätische Linie, wie auch Geraden in der Ebene. (vgl.

Steinert, 1977: 30) Wie in Abbildung 4 legt man einen

Großkreis durch die Punkte A und B, dazu legt man

einen Kleinkreis durch A und B. Jeder der beiden Kreise

hat einen Kreisbogen über die Sehne AB. Da der Kreisbogen mit dem größeren Radius über

der Sehne AB kürzer ist und der Großkreis einen größeren Radius als der Kleinkreis hat, bildet

er die kürzeste Verbindung. Diese geodätische Linie wird als sphärischer Abstand bezeichnet.

Die Länge dieses Bogens wird durch den Mittelpunktwinkel α festgelegt. (vgl. Kern, 1997: 16)

(vgl. Kern, 1997: 16)

(vgl. Kern, 1997: 14)

2 Beispiele zur Kugelgestalt der Erde:

1. Wie groß muss der Winkel α beim Erdmittelpunkt sein, damit

der direkte Abstand (d) durch die Erdkugel 1% kleiner als der

sphärische Abstand (s) ist (Abbildung 5)?

(Cosinussatz im Dreieck )

Abbildung 4: Sphärischer Abstand

Abbildung 5: Vergleich sphärischer und direkter Abstand

10

Diese Gleichung ist analytisch nicht lösbar. Jedoch kann man durch Ausprobieren (siehe

Abbildung 6) zu einem

ungefähren Ergebnis

gelangen. Dabei stellt man

fest, dass bei α=28° der

direkte Weg ungefähr 99%

vom sphärischen Abstand

ausmacht und somit bei

Winkeln über 28° ein

größerer Fehler als 1% bei

Vernachlässigung der Kugelgestalt der Erde begangen wird.

2. Wie hoch ist die Wölbung des Attersees (Längsausdehnung

ca. 0,15°) auf Grund der Kugelgestalt der Erde (r = 6370 km)

(siehe Abbildung 7)?

2. Das Kugelzweieck

Kugelzweiecke entstehen, wenn man zwei Gegenpunkte A und

A’ durch zwei verschiedene Großkreisbögen verbindet

(Abbildung 8). Dabei bezeichnet man A und A’ als die Ecken der

entstandenen Kugelzweiecke. Die Großkreisbögen von A nach A’

sind die Seiten der Kugelzweiecke. Sie bilden halbe Bögen

eines Großkreises und sind immer gleich groß, da alle

Abbildung 8: Kugelzweieck

Abbildung 7: Wölbung des Attersees

Abbildung 6: Tabelle

11

Großkreise auf einer Kugel immer den Umfang 2πr haben. Der Winkel, den die

Halbtangenten an die Großkreisbögen in den Eckpunkten einschließen, ist der Winkel des

Kugelzweiecks. Mit anderen Worten ist es jener Winkel, der durch die beiden

Großkreisebenen eingeschlossen wird. Die beiden Winkel α und α’ sind immer gleich groß.

Da durch zwei Großkreisbögen zwei Kugelzweiecke entstehen, wird festgelegt, dass immer

vom kleineren Zweieck ausgegangen wird, also jenes mit dem Winkel α ≤ 180°. (vgl. Hame,

1995: 30)

Der Flächeninhalt einer Kugel lässt sich mit AK = 4πr2 berechnen. Da sich der Winkel α des

Kugelzweiecks zum Vollwinkel gleich wie der Flächeninhalt des Kugelzweiecks zum

Flächeninhalt der Kugel verhält, kann durch Umformen der Flächeninhalt des Kugelzweiecks

berechnet werden.

AZ : AK = α : 360°

(vgl. Kern, 1997: 14)

3. Das Kugeldreieck

3.1. Seiten, Winkel und Eulersche Dreiecke

Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht

auf derselben Großkreisebene befinden, mit Großkreisbögen

verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC (Abbildung 9). A, B

und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die

Großkreisbögen zwischen den Eckpunkten. Da die Länge der

Großkreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius

ungeeignet ist, wird die Größe einer Seite mit dem zugehörigen

Mittelpunktwinkel des Großkreisbogens angegeben. Laut dieser

Definition ist die Seite c der Winkel AMB. Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei

Seiten kleiner als 360° aber größer als 0° ist. (vgl. Hame, 1995: 33,37)

Die Winkel eines Kugeldreiecks sind definiert als die Winkel, die die Halbtangenten in den

Eckpunkten miteinander einschließen. Das sind also jene Winkel, welche die

Großkreisebenen miteinander einschließen. (vgl. Hame, 1995: 33) Die Summe der Winkel im

Abbildung 9: Kugeldreieck (Hame, 1995: 33)

12

Kugeldreieck ist größer als 180°. Dies wird später bei der Herleitung des Flächeninhaltes eines

sphärischen Dreiecks gezeigt. Subtrahiert man von der Summe der Winkel 180°, so erhält

man den sphärischen Exzess ε. (vgl. Kern, 1997: 23)

Bei Kugeldreiecken kann man nicht wie in der ebenen Geometrie so leicht unterscheiden was

Innen und Außen ist, da durch einen Bogenzug zwei Dreiecke entstehen und da man zwei

Punkte jeweils durch zwei verschiedene Bogenzüge verbinden kann. Folglich lassen sich die

Eckpunkte durch 8 verschiedene Bogenzüge verbinden. Daher ergeben sich durch drei

Punkte A, B und C 16 Kugeldreiecke.

Zur eindeutigen Bestimmung wird nur noch jenes Kugeldreieck betrachtet, dessen Seiten

jeweils kleiner als 180° sind und dessen Winkel jeweils kleiner als 180° sind. Derartige

Kugeldreiecke werden Eulersche Dreiecke bezeichnet. (vgl. Hame, 1995: 33-34)

3.2. Nebendreiecke

Ein Dreieck, das ein Kugeldreieck auf ein Kugelzweieck

ergänzt, wird als Nebendreieck bezeichnet. Zu jedem Dreieck

ABC gibt es drei Nebendreiecke AC’B, BA’C und ACB’

(Abbildung 10).

Nebendreiecke haben also jeweils eine Seite mit dem Dreieck

gemeinsam und auch der Gegenwinkel dieser Seite stimmt

überein. Da ein Dreieck und sein Nebendreieck ein

Kugelzweieck ergibt, ergänzen sich auch die Winkel, die der

gemeinsamen Seite anliegen, jeweils auf 180°. Ebenso

ergänzen sich die Seiten, die der gemeinsamen Seite anliegen,

auf 180°. (vgl. Hame, 1995: 44)

3.3. Gegendreieck

Bildet man aus den Gegenpunkten der Punkte des Kugeldreiecks ABC ein Dreieck, so wird

dieses als Gegendreieck A’B’C’ bezeichnet.

Die drei Seiten des Gegendreiecks A’B’C’ sind gleich groß wie die Seiten des Dreiecks ABC.

Auch deren Winkel sind gleich groß. Die jeweiligen Winkel des Dreiecks ABC werden durch

die gleichen Ebenen wie die entsprechenden Winkel beim Gegendreieck eingeschlossen. (vgl.

Hame, 1995: 45)

Abbildung 10: Nebendreiecke (Hame, 1995: 44)

13

3.4. Polardreieck

Ein Pol eines Großkreises ist jener Punkt, den man erhält,

wenn man die Normale auf die Großkreisebene durch

den Mittelpunkt mit der Kugel schneidet. (vgl. Hame,

1995: 45)

Auf zwei Ebenen E1 und E2 wird jeweils eine auf die

Ebene normalstehende Gerade durch den Punkt S, der

sich nicht auf den beiden Ebenen befindet, gelegt

(Abbildung 11). Der Keilwinkel ϕ zwischen den zwei

Ebenen ergänzt sich mit dem Winkel zwischen den zwei

Loten auf 180°. Dies gilt auch, wenn sich der Punkt S auf

der Schnittgeraden der beiden Ebenen befindet und die

Normalen auf die Ebenen durch den Punkt gelegt

werden (Abbildung 12).

Anstatt der zwei Ebenen kann man auch zwei

Großkreisebenen verwenden, wodurch ein Kugelzweieck

mit dem Winkel ϕ, dem Keilwinkel, entsteht.

Anschließend zeichnet man die beiden Pole des orientierten Kugelzweiecks ein, wie auch

zuvor die Lote zu den zwei Ebenen eingezeichnet wurden.

Auch bei einem Kugeldreieck ABC kann man die drei Pole C’ A’

B’ zu den drei orientierten Großkreisbögen einzeichnen. A’, B’

und C’ bilden ein Dreieck, das Polardreieck bezeichnet wird

(Abbildung 13). Wie schon oben mit den beiden Ebenen

gezeigt, ergänzen sich die Seiten des Polardreiecks a’, b’ und c’

mit den entsprechenden Winkeln α, β und γ jeweils auf 180°

und auch umgekehrt ergänzen sich die Winkel α’, β’ und γ’ mit

den entsprechenden Seiten a, b und c des Kugeldreiecks auf

180°. Würde man zum Polardreieck das Polardreieck

einzeichnen, so würde man wieder das Ausgangsdreieck ABC erhalten. (vgl. Kern, 1997: 28-

29)

Abbildung 12: Ebenen mit jeweiligen Normalen durch den Punkt S, der auf der

Schnittgeraden liegt

Abbildung 11: Ebenen mit jeweiligen Normalen durch den Punkt S

Abbildung 13: Polardreieck (vgl. Kern, 1997: 29)

14

3.5. Flächeninhalt

Die folgenden Überlegungen zur Herleitung des Flächeninhalts eines Kugeldreiecks werden

anhand des Dreiecks ABC aus Abbildung 14 gemacht. Dabei steht die Abkürzung Z jeweils für

die entsprechenden Kugelzweiecke.

Die gegenüberliegenden Kugelzweiecke Z und haben den

gleichen Flächeninhalt. Addiert man die sechs Kugelzweiecke,

so erhält man einen Flächeninnhalt, der um das Zweifache des Flächeninhaltes des Dreiecks

und um das Zweifache des Dreiecks größer ist, als der Flächeninhalt der Kugel.

Da Gegendreiecke einen gleich großen Flächeninhalt haben, können die Dreiecke zu viermal

dem Dreieck zusammengefasst werden. Daraus ergibt sich:

Setzt man nun für die schon hergeleitete Flächeninhaltsformel

und für die Flächeninhaltsformel der Kugel ein, so erhält man:

bzw.

Wie schon bekannt kann man anstatt auch ε für den sphärischen Exzess

schreiben. Aus der Formel für den Flächeninhalt ergibt sich, dass die Summe der Innenwinkel

größer als 180° sein muss, da der Flächeninhalt größer als Null sein muss. (vgl. Kern, 1997:

22-23)

Ebenso lässt sich aus der Formel der sphärische Exzess ε deuten: Je kleiner ein Dreieck im

Vergleich zur Kugel ist, also je kleiner sein Flächeninhalt im Vergleich zur Kugeloberfläche ist,

Abbildung 14: Flächeninhalt eines Kugeldreiecks (vgl. Kern, 1997: 22)

15

umso kleiner ist ε und umso mehr nähert sich die Geometrie auf der Kugel der Geometrie der

Ebene an, in welcher gilt, dass die Winkelsumme in einem Dreieck 180° entspricht.

3.6. Rechtwinkelige Kugeldreiecke

3.6.1. Das Dreikant

Ein Dreikant entsteht, wenn vom Mittelpunkt einer Kugel Strahlen durch die drei Eckpunkte

eines Kugeldreiecks gelegt werden, dabei wird von jeweils zwei Strahlen eine Ebene gebildet,

welche geschnitten mit der Kugel ein Dreikant ergeben. (vgl. Schaumüller, 2010: 21-22) Die

Winkel zwischen den Strahlen sind die Seiten des Kugeldreiecks und die Winkel zwischen den

Ebenen sind die Winkel des sphärischen Dreiecks. (vgl. Kern, 1997: 27) Ein Dreikant wird auch

als Kugeldreiseit oder dreiseitige Ecke bezeichnet. (vgl. Schaumüller, 2010: 21-22)

3.6.2. Die Grundformeln

Zur Herleitung der Grundformeln eines rechtwinkeligen

sphärischen Dreiecks wird ein Dreikant eines

Kugeldreiecks mit den Seiten a, b, c und den Winkeln α,

β, γ betrachtet. Dabei befindet sich der rechte Winkel

beim Eckpunkt C, also γ=90°. In der Abbildung 15 gibt es

insgesamt 4 rechtwinkelige ebene Dreiecke, nämlich

PQR mit rechtem Winkel bei Q, ∆MPQ mit rechtem

Winkel bei Q, QRM mit rechtem Winkel bei R und

MPR mit rechtem Winkel bei R. Die schon aus der

ebenen Trigonometrie bekannten Formeln

,

und

werden nun in den rechtwinkeligen Dreiecken angewandt.

Betrachtet man die Dreiecke MPQ mit rechtem Winkel bei Q und MPR mit rechtem

Winkel bei R (Abbildung 15), so ergibt sich der Sinus für ein rechtwinkeliges Kugeldreieck:

=>

=>

Abbildung 15: Dreikant (Kern, 1997: 32)

16

Betrachtet man die Dreiecke QRM und MPR mit rechtem Winkel jeweils bei R (Abbildung

15), so ergibt sich der Cosinus für ein rechtwinkeliges Kugeldreieck:

Betrachtet man die Dreiecke MPQ mit rechtem Winkel bei Q und QRM mit rechtem

Winkel bei R (Abbildung 15), so ergibt sich der Tangens für ein rechtwinkeliges Kugeldreieck:

(vgl. Kern, 1997: 32-33)

In einem sphärischen Dreieck darf des Satz des Pythagoras nicht angewandt werden, jedoch

gibt es einen Zusammenhang der drei Seiten, der ähnlich dem Satz des Pythagoras in der

Ebene ist. (vgl. Schaumüller, 2010: 32) Aus den ebenen Dreiecken MPR mit rechtem Winkel

bei R und MPQ mit rechtem Winkel bei Q (Abbildung 15) erhält man folgendes:

MPR:

MPQ:

17

In Worten bedeutet dies: Der Cosinus der „Hypotenuse“ ist gleich dem Produkt der Cosinus

der beiden „Katheten“.

(vgl. Kern, 1997: 32-33)

3.6.3. Die Regel von Neper

Die Neper´sche Regel ermöglicht es, die Formeln für ein

rechtwinkeliges Kugeldreieck darzustellen und einfach

abzuleiten. Dabei werden die Seiten und die Winkel der Reihe

nach an einem Kreisumfang angeordnet, wobei man den

rechten Winkel auslässt und die Katheten durch die

Komplemente ersetzt (Abbildung 16). (vgl. Sigl, 1969: 283-284)

„Der Cosinus eines Stückes am Neper´schen Kreis ist gleich dem

Produkt der Cotangens der anliegenden Stücke oder dem Produkt der Sinus der

gegenüberliegenden Stücke.“ (Kern, 1997: 34) Mit Hilfe des Modells lassen sich die schon

hergeleiteten Formeln für ein rechtwinkeliges Kugeldreieck sowie 6 weitere Formeln

darstellen.

Beispiel:

Da ist, ergibt sich folgendes:

-> siehe Grundformeln

(vgl. Kern, 1997: 34)

Zwei Beispiele zu rechtwinkeligen Kugeldreiecken auf der Erde:

1. Beispiel:

Der Georgsee in Uganda liegt direkt auf dem Äquator und hat ca.

30° östliche Länge. Wie weit ist dieser See von Hollabrunn (49°N

16°O) entfernt? Die Erde wird dazu als eine Kugel mit dem Radius

r = 6370 km betrachtet (siehe Abbildung 17).

– (in Grad)

– (in km)

Abbildung 17: Ebene Darstellung des Kugeldreiecks

Abbildung 16: Neper´scher Kreis

18

(geographische Breite von Hollabrunn)

(Differenz der geographischen Längen)

(„Pythagoras“ in Kugeldreiecken)

2. Beispiel:

„Die Insel Sizilien bildet angenähert ein gleichschenkliges Kugeldreieck: Von Kap

Peloro bis Trapani und von da aus bis Kap Passaro sind es je 296 km, von Kap Passaro

bis Kap Peloro 186 km. Wie viel Quadratkilometer umfasst die Insel?“ (Kern, 1997: 42)

Beschriftungen siehe Abbildung 18

Mit Hilfe des Neper´schen Kreises lassen sich Formeln finden,

mit denen α und γ berechnet werden können und somit auch der Flächeninhalt des

sphärischen Dreiecks.

Da

und

gilt, kann nach der ersten Zeile jeweils vereinfacht werden:

Abbildung 18: Ebene Darstellung des gleichschenkeligen Dreiecks

19

3.7. Allgemeine Kugeldreiecke

3.7.1. Der Sinussatz

Zur Herleitung des sphärischen Sinussatzes wird ein

Dreikant eines Kugeldreiecks mit den Seiten a, b, c und

den Winkeln α, β, γ betrachtet (siehe Abbildung 19). Es

wird eine Normale auf die Strecke gelegt, die durch

den Eckpunkt C verläuft, ebenso wird eine Normale auf

die Strecke durch den Eckpunkt C errichtet. Die

Schnittpunkte dieser Normalen mit den jeweiligen

Stecken werden mit E und F bezeichnet. Schließlich wird

noch eine Normale auf die Strecke errichtet, die

durch E verläuft und in der Ebene MAB liegt. Eine

derartige Normale wird auch im Punkt F errichtet. Diese beiden Normalen schneiden sich im

Punkt D und die Verbindung steht normal auf die Ebene MAB. Es sind die 4 ebenen

rechtwinkeligen Dreiecke CFM mit rechtem Winkel bei F, CEM mit rechtem Winkel bei E,

CDE und CDF mit rechtem Winkel jeweils bei D entstanden, in denen der Sinus, der aus

der Ebene bekannt ist, angewandt werden kann:

Abbildung 19: Dreikant (Ulrich, 1963: 390)

20

Ebenso kann diese Formel für die Seite c und dessen Gegenwinkel hergeleitet werden und

man erhält den sphärischen Sinussatz:

In Worten bedeutet dies: Dividiert man den Sinus einer Seite durch den Sinus des

gegenüberliegenden Winkels, so erhält man immer das selbe Ergebnis.

(vgl. Ulrich, 1963: 390-392)

3.7.2. Der Seitencosinussatz

Zur Herleitung wird ein Kugeldreieck betrachtet, das durch

Einzeichnen der Höhe in zwei rechtwinkelige Dreiecke

geteilt wird (siehe Abbildung 20).

Mit Hilfe des „Pythagoras“ in sphärischen Dreiecken

können in den rechtwinkeligen Dreiecken I ( ABD) und II

( ACD) folgende Beziehungen aufgestellt werden:

Abbildung 20: Allgemeines Kugeldreieck (vgl. Kern, 1997: 43)

21

Da ist, kann man einsetzen und erhält:

Mit Hilfe der Additionstheoreme kann der Ausdruck vereinfacht werden:

Am Neper´schen Kreis des Dreiecks ACD (Abbildung 21) kann man die Beziehung

erkennen, weshalb für eingesetzt werden kann und

man somit eine der 3 Formeln für den Seitencosinussatz erhält:

Vollständig lautet der Seitencosinussatz:

(vgl. Kern, 1997: 43,46)

In Worten bedeutet dies:

Addiert man zum Produkt der Cosinus von zwei Seiten eines sphärischen Dreiecks das

Produkt der Sinus der beiden Seiten und des Cosinus des eingeschlossenen Winkels, so erhält

man den Cosinus der übrigen Seite. (vgl. Ulrich, 1963: 395)

3.7.3. Der Winkelcosinussatz

Die bekannte Formel des Seitencosinussatzes wird auf das Polardreieck angewandt:

Da sich die Seiten eines Polardreiecks mit den entsprechenden Winkeln und auch umgekehrt

auf 180° ergänzen, ergibt sich folgendes:

Abbildung 21: Neper´scher Kreis des Dreiecks ACD

22

Da und gilt, kann vereinfacht werden und

nach Multiplikation mit -1 erhält man eine der drei möglichen Formeln des

Winkelcosinussatzes:

Der Winkelcosinussatz lautet somit:

(vgl. Kern, 1997: 47)

In Worten bedeutet dies:

„Im Kugeldreieck ist der Kosinus eines Winkels gleich der Differenz aus dem Produkt

der Sinus der übrigen Winkel und des Kosinus der Gegenseite des ersten Winkels und

dem Produkt der Kosinus der übrigen Winkel.“ (Ulrich, 1963: 397)

Beispiel auf der Erde:

Berechne die kürzeste Entfernung von Hollabrunn (49°N 16°O) nach Male (4°N 73°O), der

Hauptstadt der Malediven!

e......kürzeste Entfernung Hollabrunn-Male

a......90°- 49°= 41°

b......90°- 4°= 86°

γ......73°- 16°= 57° (Differenz der geographischen Längen)

N......Nordpol

r......Radius der Erde (6370 km)

Zur Berechnung der Entfernung wird ein Dreieck, das als

dritten Eckpunkt den Nordpol hat, herangezogen (siehe Abbildung 22).

Abbildung 22: Ebene Darstellung des sphärischen Dreiecks Hollabrunn-

Male-Nordpol

23

Wird ein Winkel von einem Längenmeridian und einem Großkreis eingeschlossen, so spricht

man von einem Kurswinkel. Gemessen wird ein Kurswinkel jeweils vom Längenmeridian über

Osten und Süden nach Westen. Deshalb gilt für einen Kurswinkel α: 0° ≤ α < 360° (vgl. Kern,

1997: 54)

Fortsetzung des vorherigen Beispiels:

Berechne den Kurswinkel β von Hollabrunn nach Male!

Mit Hilfe des Seitencosinussatzes:

Zur selben Lösung gelangt man mit dem Sinussatz:

3.8. Die Sätze von Legendre und Soldner

Zur Vereinfachung des Rechnens mit sphärischen Dreiecken können mit Hilfe des Satzes von

Legendre und mit dem Satz von Soldner kleine Dreiecke wie ebene Dreiecke behandelt

werden.

Satz von Legendre: Vermindert man die Winkel eines sphärischen Dreieckes jeweils um ⅓ des

sphärischen Exzesses und lässt die Seiten unverändert, so kann das Dreieck wie ein ebenes

Dreieck behandelt werden und somit können die Formeln aus der ebenen Trigonometrie

angewendet werden.

Satz von Soldner: Vermindert man die Seiten a,b,c eines sphärischen Dreiecks jeweils um

,

,

und lässt die Winkel unverändert, so kann es wie ein ebenes Dreieck behandelt

24

werden und somit können die Formeln aus der ebenen Trigonometrie angewendet werden.

(vgl. Neustätter, 2002: 61)

Beispiel zum Satz von Legendre:

Von einem Dreieck auf der Erde (R = 6370 km) kennt man die

Winkel und . Zudem ist bekannt, dass die

Seite lang ist und dass der sphärische Exzess

ungefähr beträgt.

Berechne die Länge der Seite a (Abbildung 23) 1.) mit Hilfe der

sphärischen Trigonometrie 2.) ohne Berücksichtigung der

Erdkrümmung 3.) mit Hilfe des Satzes von Legendre!

1.)

Berechnung von γ mit Hilfe des Winkelcosinussatzes:

Berechnung von a mit Hilfe des sphärischen Sinussatzes:

2.)

Berechnung von a mit Hilfe des Sinussatzes in der Ebene:

3.)

Berechnung von a mit Hilfe des Sinussatzes in der Ebene:

=> Aus den Ergebnissen kann man erkennen, dass bei Anwendung des Satzes von Legendre

die Seite a bis auf Tausendstel- bzw. Zehntausendstel Millimeter genau dem Ergebnis

Abbildung 23: Dreieck auf der Erde

25

entspricht, das mit sphärischen Formeln ermittelt wurde. Bei Vernachlässigung der

Erdkrümmung wird ein Fehler von bzw. 0,026% begangen.

4. Sphärische Astronomie

4.1. Einführung

Die sphärische Astronomie beschäftigt sich unter anderem mit den Möglichkeiten, wie die

Positionen von Sternen am Himmel beschrieben werden können. Die echte Position des

Sterns im Raum und somit auch die Entfernung zum Beobachter ist dabei meist nicht von

Bedeutung. (vgl. Kern, 1997: 73) Je nach Lage des Ursprungs im astronomischen

Koordinatensystem kann man zwischen topozentrischen Koordinaten, geozentrischen

Koordinaten, baryzentrischen Koordinaten, heliozentrischen Koordinaten und

galaktozentrischen Koordinaten unterscheiden. Der Ursprung der baryzentrischen

Koordinaten liegt im Schwerpunkt des Systems Erde-Mond. Dieser Schwerpunkt befindet sich

ungefähr 1700 km unterhalb der Erdoberfläche im Erdinneren. Die heliozentrischen

Koordinaten haben ihren Ursprung im Schwerpunkt des Sonnensystems, welcher nicht der

Sonnenmittelpunkt ist, sondern sich entweder innerhalb oder nahe der Sonnenkugel

befindet. Bei den galaktozentrischen Koordinaten befindet sich der Ursprung im Zentrum

unserer Galaxie, der Milchstraße. Im Zusammenhang mit dieser vorwissenschaftlichen Arbeit

sind die geozentrischen und topozentrischen Koordinaten von Bedeutung. Der Ursprung liegt

bei geozentrischen Koordinaten im Mittelpunkt der Erde. Hingegen haben topozentrische

Koordinaten ihren Ursprung im Auge des Beobachters, der sich auf der Erdoberfläche

befindet. Bei großen Distanzen kann der Unterschied zwischen den beiden

Koordinatensystemen vernachlässigt werden. Betrachtet man jedoch den Mond, so tritt beim

Mondort der topozentrischen und geozentrischen Koordinaten schon ein Unterschied von 1°

auf. (vgl. Keller, 2008: 38-39, 66, 84)

Bei den anschließend beschriebenen Systemen wird der Ursprung immer im Erdmittelpunkt

liegen. Zur Beschreibung der Position eines Sternes wird eine Himmelskugel mit sehr großem

Radius um die Erde, die der Mittelpunkt ist, gedacht. Unter der Position eines Sternes

versteht man den Ort seiner Projektion auf die gedachte Himmelskugel. (vgl. Kern, 1997: 73)

26

4.2. Begriffserklärungen

Wie auf der Erde gibt es auf der Himmelskugel einen Nord- und Südpol, wobei der Nordpol

der Himmelskugel beinahe die selbe Position wie der Polarstern hat. Die beiden Himmelspole

entstehen, wenn die Erdachse verlängert wird und die Himmelskugel schneidet. Die

verlängerte Erdachse wird dabei als Weltachse bezeichnet. Schneidet man die Himmelskugel

mit der Ebene des Erdäquators, so erhält man den Himmelsäquator, ein Großkreis, welcher

die Himmelskugel in eine nördliche und südliche Hemisphäre teilt.

Unter dem Zenit versteht man jenen Punkt, der entsteht, wenn man die Verlängerung des

Erdradius durch den Ort des Beobachters mit der Himmelskugel schneidet. Der Zenit, dessen

Gegenpunkt Nadir bezeichnet wird, liegt also senkrecht über dem Beobachter. Legt man

durch den Bobachtungsort eine Tangentialebene und schneidet diese mit der Himmelskugel,

so erhält man den scheinbaren Horizont(kreis). Wird die Tangentialebene aber nicht durch

den Beobachtungsort gelegt sondern parallel verschoben, so dass sie durch den

Erdmittelpunkt verläuft, so ist das Ergebnis des Schnittes mit der Himmelskugel der wahre

Horizont(kreis). Da der Erdradius im Vergleich zum Radius der Himmelskugel sehr klein ist,

wird zwischen scheinbarem und wahrem Horizont eines Beobachtungsortes nicht

unterschieden. Der Horizontkreis ist also ein Großkreis, auf dessen Ebene die Verbindung

Beobachtungsort – Zenit im rechten Winkel steht.

Als Himmelsmeridian eines Beobachtungsortes

bezeichnet man den Großkreis, der durch den

Zenit des Bobachtungsortes und den Himmelspol

verläuft (Abbildung 24). Die Ebene dieses

Großkreises entspricht der Ebene des

Längenkreises durch den Beobachtungsort auf

der Erde. Die zwei Schnittpunkte von

Himmelsmeridian und Horizont sind der Nord-

und der Südpunkt. Wird eine Gerade normal auf die Verbindungsstrecke von Nord- und

Südpunkt, der Nord-Süd-Linie, gelegt, die durch den Beobachtungsort verläuft, so erhält man

als Schnitt mit dem Horizontkreis den Ost- und den Westpunkt. Durch diese vier Punkte sind

die Himmelsrichtungen festgelegt. (vgl. Kern, 1997: 73-74)

Abbildung 24: Himmelsmeridian und Himmelsrichtungen (Kern, 1997: 74)

27

Da sich die Erde in 24 Stunden einmal um die Weltachse dreht, scheint es, als würden sich die

Sterne in Kreisbahnen und somit die Himmelskugel um die Erde bewegen. Ein Stern legt auf

seiner Kreisbahn pro Stunde 15° zurück. Sterne, die sich in der Nähe des jeweiligen

Himmelpols befinden, können die ganze Nacht beobachtet werden. Diese Sterne, deren

gesamte Kreisbahn über dem Horizont liegt, heißen Zirkumpolarsterne (Abbildung 25).

Sterne, deren Kreisbahn auch unterhalb des Horizontes des Beobachtungsortes liegen, gehen

wie die Sonne jeden Tag auf und unter. Die

Schnittpunkte von Horizont und der Kreisbahn

eines Sterns werden als Auf- und

Untergangspunkt bezeichnet. Jener Teil des

Kreisbogens eines Sterns über dem Horizont

wird als Tagbogen bezeichnet. Schneidet man

diesen Bogen mit dem Meridian des

Bobachtungsortes, so erhält man den

Kulminationspunkt. Dies ist der höchste Punkt

des Sterns über dem Horizont des Beobachters.

Es gibt aber auch einen tiefsten Punkt unter oder über dem Horizont, der als unterer

Kulminationspunkt bezeichnet wird. Je mehr man sich einem Pol auf der Erde nähert, desto

mehr nähert sich der Zenit dem Himmelspol. Somit nimmt auch die Anzahl der

Zirkumpolarsterne zu. Am Nord- und Südpol der Erde gibt es also nur Zirkumpolarsterne. Im

Gegensatz dazu, gibt es am Äquator keine Zirkumpolarsterne, dort sind alle Tagbögen

Halbkreise. (vgl. Kern, 1997: 74-76)

4.3. Das Horizontsystem

Bei diesem System wird der Horizont eines

jeweiligen Beobachtungsortes als Grundkreis

angenommen (Abbildung 26). Die Höhe h eines

Sterns wird vom Horizont aus in Richtung Zenit

gemessen, somit ist die Höhe eines Sterns im Zenit

90° und die Höhe eines Sterns am Horizont 0°. Falls

ein Stern unterhalb des Horizontes liegt ist sein

Höhenwinkel negativ. Anstatt des Höhenwinkels Abbildung 26: Das Horizontsystem (Keller, 2008: 39)

Abbildung 25: Zirkumpolarsterne, Kulminationspunkte (vgl. Kern, 1997: 75)

28

wird auch oft der Komplementärwinkel, die Zenitdistanz, angegeben. Ist die

Zenitdistanz größer als 90°, so befindet sich der Stern unterhalb des Horizontes. Die zweite

Koordinate wird entlang des Horizontes gemessen. Der Startpunkt für den zweiten Winkel ist

der Südpunkt, also der Schnittpunkt von Meridian und Horizont. Von dort wird der Winkel in

der Ebene des Horizontes in Richtung Westen gemessen. Dieser Winkel wird Azimut

bezeichnet und ist bei einem Stern in Südrichtung 0°, in Westrichtung 90°, in Nordrichtung

180° und in Ostrichtung 270°. Die vier Punkte der Himmelsrichtungen werden Kardinalpunkte

des Horizontes genannt und die Verbindung der Punkte Ost und West, die durch Zenit und

Nadir läuft, wird als erstes Vertikal bezeichnet. Aufgrund der Erddrehung ändern sich die

Koordinaten ständig mit der Zeit, daher sind die Horizontalkoordinaten nicht für die

Einstellung eines Teleskops geeignet. (vgl. Keller, 2008:

39)

Durch Angabe der Zenitdistanz bzw. der Höhe eines

Himmelspols kann die geographische Breite des

Beobachtungsortes ermittelt werden. Wie in Abbildung

27 ersichtlich, ist die geographische Breite wegen des

Satzes über Normalwinkel gleich der Höhe des

Himmelspols. Auf der Nordhalbkugel ist die Höhe des

Himmelspols beinahe gleich mit der Höhe des

Polarsterns. (vgl. Kern, 1997: 77)

In Hollabrunn steht der Polarstern bei der Höhe h = 49°, woraus sich für die geographische

Breite von Hollabrunn 49° ergibt.

Beispiel zur Berechnung der Mondentfernung mit Hilfe der Zenitdistanz:

„Im Jahr 1751 berechneten die Astronomen Lalande und Lacaille die Entfernung des

Mondes von der Erde. Ersterer bestimmte zu diesem Zweck an einem Standort in

Berlin (Breite ) die Zenitdistanz eines Punktes A der Mondoberfläche

(beim Meridiandurchgang) zu und Letzterer zum selben Zeitpunkt an

einem Standort in Kapstadt ( ) die Zenitdistanz . Es ist

. Berechne daraus die Entfernung des Mondes vom Erdmittelpunkt!“ (Kern,

1997: 79)

bedeutet, dass die beiden Städte gleiche geographische Länge haben.

Abbildung 27: Bestimmung der geographischen Breite mit Hilfe des

Himmelspols (Kern, 1997: 77)

29

Abbildung 28: Erde-Mond

e.......Entfernung Erdmittelpunkt – Punkt A auf der Mondoberfläche

r.......Erdradius (6370 km)

Weitere Beschriftungen siehe Abbildung 28

Um auf e zu gelangen, müssen zuerst die Strecken s und d und die Winkel α und ε berechnet

werden:

(Winkelsumme im Viereck

MKAB)

30

4.4. Das Äquatorsystem

Beim Äquatorsystem wird der Himmelsäquator

als Grundkreis angenommen. Die erste

Koordinate wird Deklination δ bezeichnet. Sie

gibt den Abstand des Sterns vom Äquator in

Richtung Himmelspol an. Der Himmelsnordpol

hat die Deklination δ=90°, während der

Himmelssüdpol die Deklination δ=-90° hat. Liegt

ein Stern am Äquator, so hat er die Deklination

δ=0°. Die zweite Koordinate ist abhängig davon,

ob es ein ortsfestes, also erdverbundenes oder

ein mitbewegtes, also rotierendes Äquatorsystem

ist. Prinzipiell wird die zweite Koordinate in der Äquatorebene gemessen. Bei einem

ortsfesten Äquatorsystem (Abbildung 29) wird die zweite Koordinate als Stundenwinkel t

bezeichnet. Dieser wird vom Schnittpunkt des

Meridians des Beobachtungsortes mit dem Äquator

aus in Richtung Westen gemessen. Er gibt also die

Zeit an, die seit der letzten oberen Kulmination

eines Sterns verstrichen ist. Der Stundenwinkel

wird meist nicht in Grad, sondern in Stunden

angegeben, dabei hat eine Stunde 15°, eine Minute

hat 15’ und eine Sekunde hat 15’’. Der Sinn des

Äquatorsystems ist, dass sich die Deklination

sowohl beim ortsgebundenen, als auch beim

mitbewegten Äquatorsystem nicht ändert. Beim

mitbewegten Äquatorsystem (Abbildung 30) wird als Nullpunkt der Frühlingspunkt, der die

Himmelsdrehung mitmacht, gewählt. Der Frühlingspunkt bezeichnet den Schnittpunkt des

Himmelsäquators mit der Ekliptik. Die zweite Koordinate im mitbewegten Äquatorsystem

wird Rektaszension α bezeichnet. Sie wird in der Äquatorebene vom Frühlingspunkt in

Richtung Osten gemessen und wie der Stundenwinkel nicht in Grad, sondern in Stunden

angegeben. Der Frühlingspunkt hat die Rektaszension α=0h, während der Herbstpunkt eine

Rektaszension α=12h hat. Da der Frühlingspunkt mitrotiert, ist das bewegte Äquatorsystem

Abbildung 29: Ortsfestes Äquatorsystem (Keller, 2008: 40)

Abbildung 30: Mitrotierendes Äquatorsystem (Keller, 2008: 40)

31

unabhängig von der täglichen Himmelsdrehung und somit gut für die Angabe von

Gestirnsörtern geeignet.

Der Stundenwinkel des Frühlingspunktes wird Sternzeit genannt. Die Sternzeit verbindet

das ortsfeste und bewegte Äquatorsystem miteinander. Dabei gilt für die Sternzeit folgende

Beziehung zwischen Rektaszension und Stundenwinkel eines Sterns:

Durch Umformen erhält man auch:

Kennt man also die Sternzeit und die Rektaszension eines Sterns, so kann man den

Stundenwinkel t ermitteln. Kulminiert ein Stern, so ist sein Stundenwinkel Null und die

Rektaszension dieses Sterns entspricht der Sternzeit. (vgl. Keller, 2008: 40-41)

4.5. Das nautische Dreieck

Mit Hilfe des nautischen Dreiecks lassen sich Horizontkoordinaten in Äquatorkoordinaten

und umgekehrt umrechnen. Dabei versteht man unter einem nautischen Dreieck jenes

Dreieck mit den Eckpunkten Pol, Zenit und Sternort.

Umrechnung von Horizontkoordinaten in

Äquatorkoordinaten (Abbildung 31):

Die Horizontkoordinaten und das

Azimut a, das vom Südpunkt aus gemessen wird,

sowie die geographische Breite ϕ eines

Beobachtungsortes sind bekannt. Um auf die

Äquatorkoordinaten δ und t zu gelangen, wendet

man im sphärischen Dreieck Zenit-Pol-Gestirn den

Seitencosinussatz und Sinussatz an, wobei die

Zusammenhänge

, ,

und

zum Vereinfachen verwendet werden.

Abbildung 31: Nautisches Dreieck (vgl. Kern, 1997: 85)

32

Umrechnung von Äquatorkoordinaten in Horizontkoordinaten (Abbildung 31):

Die Äquatorkoordinaten δ und t, sowie die geographische Breite ϕ eines Beobachtungsortes

sind bekannt. Um auf die Horizontkoordinaten a und zu gelangen, wird der

Seitencosinussatz und der Sinussatz im Dreieck Pol-Gestirn-Zenit angewandt, wobei wieder

die Zusammenhänge , und

zum Vereinfachen genutzt werden.

(vgl. Kern, 1997: 85)

4.6. Weitere Zusammenhänge zwischen Horizontkoordinaten und

Äquatorkoordinaten

Da die Äquatorebene um (

gegen den Horizont geneigt ist, hat der Schnittpunkt von Äquator und Meridian, der

Äquatorkulm genannt wird, die Höhe

(Abbildung 32). Die Kulminationshöhe h eines

Gestirns mit der Deklination δ lässt sich durch

berechnen. Ist die Deklination

eines Gestirns gleich der geographischen Breite

des Bobachtungsortes, also , so kulminiert

es im Zenit. Zirkumpolarsterne, also Sterne, die

nicht untergehen, müssen die

Abbildung 32: Meridianschnitt (Keller, 2008: 42)

33

Zirkumpolarbedingung erfüllen. Dies ergibt sich daraus, dass Zirkumpolarsterne

vom Pol höchstens die geographische Breite entfernt sein dürfen, weil sonst ihre Bahn auch

unterhalb des Horizontes liegen würde.

Aufgrund der Neigung der Äquatorebene gegen die Horizontebene kann von der

Nordhalbkugel auch ein Teil des Südhimmels und von der Südhalbkugel ein Teil des

Nordhimmels beobachtet werden. Der Äquator kulminiert in der Höhe , daher

sind alle Gestirne mit der Deklination sichtbar. Ist die Deklination ,

so wird dieses Gestirn am Beobachtungsort mit der geographischen Breite ϕ niemals sichtbar

sein. (vgl. Keller, 2008: 42-43)

4.7. Auf- und Untergangszeiten der Sonne

Wegen der Bewegung der Erde um die Sonne gibt es zwei unterschiedliche Definitionen eines

Tages. Der Sonnentag ist definiert als die Zeit, die zwischen zwei Kulminationen der Sonne an

einem Beobachtungsort vergeht. Da die Erde jedoch täglich einen Bogen von ca. 0,9863° um

die Sonne zurücklegt, ist die Zeit zwischen den Kulminationen um ca. 4 Minuten länger als die

Zeit, die vergeht, bis ein Beobachter auf der Erde die weit entfernten Fixsterne am Himmel

wieder sieht. Ein Sterntag ist also die Zeit, die für eine vollständige Umdrehung, im Bezug auf

die Fixsterne, benötigt wird. Daher kann auch beobachtet werden, dass der exakte

Sternenhimmel eines bestimmten Tages am nächsten Tag schon um vier Minuten früher zu

sehen ist. (vgl. Kern, 1997: 89-90)

Die Sonne bewegt sich im Laufe eines Jahres entlang der Ekliptik, die einen Großkreis auf der

Himmelskugel darstellt. Sie verändert somit ihre Position vor den Fixsternen und

durchwandert dabei die zwölf Tierkreiszeichen. Die genauen Koordinaten der Sonne werden

jährlich neu berechnet. Sie werden in Tabellenwerken, den Ephemeriden, dargestellt. Die

Koordinaten ändern sich nur wenig von Jahr zu Jahr und daher reicht für ungefähre

Berechnungen auch die Formel . Dabei gibt t die Zahl der Tage seit dem

Frühlingsanfang an, wobei ein Monat jeweils 30 Tage hat. Am Tag der Wintersonnenwende

ist die Deklination am kleinsten, während am Tag der Sommersonnenwende die Deklination

am größten ist. Am Tag des Frühlings- und Herbstbeginnes ist die Deklination gleich 0° und

somit geht die Sonne genau im Ostpunkt auf und im Westpunkt unter und Nacht und Tag

sind gleich lang. An allen anderen Tagen geht sie Sonne nicht genau im Ostpunkt auf und im

Westpunkt unter. Die Morgenweite bezeichnet den Winkel zwischen Ostpunkt und

34

Aufgangspunkt vom Beobachter aus gemessen. Die Abendweite bezeichnet den Winkel

zwischen Westpunkt und Untergangspunkt. (vgl. Kern, 1997: 89-92)

Berechnung der Sonnenuntergangszeit und der Abendweite:

Zur Lösung dieses Problems wird ein nautisches Dreieck mit den

Eckpunkten Zenit Z, Pol P und Untergangspunkt U betrachtet

(Abbildung 33). Die Distanz z vom untergehenden Gestirn

beziehungsweise von der untergehenden Sonne zum Zenit

beträgt 90°. Ebenso sind die Deklination δ der Sonne, sowie die

geographische Breite ϕ des Beobachtungsortes bekannt. Zur

Bestimmung des Stundenwinkels t, der die Zeit angibt, die seit

dem Meridiandurchgang vergangen ist, wird der Seitencosinussatz im nautischen Dreieck

angewandt und zur Vereinfachung werden die Beziehungen ,

und

herangezogen:

t in Stunden und Minuten umgerechnet gibt die Zeit an, die seit der Kulmination der Sonne

vergangen ist. Nimmt man an, dass die Sonne genau um 12 Uhr kulminiert, so geht die Sonne

um 12h + t unter und da der Kulminationspunkt den Tagbogen halbiert, beträgt die

Tageslänge 2t.

Kennt man das Azimut a, das berechnet werden kann, so kann man die Abendweite

bestimmen. Das Azimut a lässt sich mit Hilfe des Seitencosinussatzes berechnen und auch

hier finden die Beziehungen , und

Anwendung:

Abbildung 33: Nautisches Dreieck (vgl. Kern, 1997: 92)

35

Da das Azimut a vom Südpunkt über den Westpunkt gemessen wird, kann man, je nachdem

welchen Wert a hat, durch Subtrahieren von 90° oder durch Addieren von 90° die

Abendweite bestimmen. (vgl. Kern, 1997: 92-93)

Beispiel:

Bestimme die Tageslänge und die Abendweite des 10. Februars 2015 in Hollabrunn

! Die Sonne hat an diesem Tag die Deklination .

Die Tageslänge des 10. Februars 2015 ist also ungefähr 9h 40min und die Abendweite beträgt

ca. 23° Süd.

5. Formelsammlung

Im folgenden Abschnitt werden alle Formeln, die im Zuge dieser Arbeit hergeleitet wurden,

aufgelistet.

..........Berechnung des Kleinkreisumfangs (vgl. Hame, 1995: 13)

..........Berechnung des Umfangs eines Breitenkreises (vgl. Hame, 1995: 11)

..........Sphärischer Abstand (vgl. Kern, 1997: 14)

..........Flächeninhalt eines Kugelzweiecks (vgl. Kern, 1997: 14)

..........Flächeninhalt eines Kugeldreiecks (vgl. Kern, 1997:23)

..........Sinus eines Winkels im rechtwinkeligen sphärischen Dreieck (vgl. Kern,

1997: 33)

..........Cosinus eines Winkels im rechtwinkeligen sphärischen Dreieck (vgl. Kern,

1997: 33)

..........Tangens eines Winkels im rechtwinkeligen sphärischen Dreieck (vgl. Kern,

1997: 33)

..........„Satz des Pythagoras“ im rechtwinkeligen sphärischen Dreieck

(vgl. Kern, 1997: 33)

36

..........Sinussatz im sphärischen Dreieck (vgl. Ulrich, 1963: 392)

..........Seitencosinussatz im sphärischen Dreieck

(vgl. Kern, 1997: 46)

..........Winkelcosinussatz im sphärischen Dreieck

(vgl. Kern, 1997: 47)

..........Berechnung der Deklination eines Gestirns

(vgl. Kern, 1997: 85)

..........Berechnung des Stundenwinkels eines Gestirns (vgl. Kern, 1997: 85)

..........Berechnung der Zenitdistanz eines Gestirns

(vgl. Kern, 1997: 85)

..........Berechnung des Azimuts eines Gestirns (vgl. Kern, 1997: 85)

37

6. Schluss

6.1. Zusammenfassung

Auf einer Sphäre darf nicht mit den Formeln der Ebene gearbeitet werden, außer es sind

kleine Dreiecke, in denen der Satz von Legendre oder Soldner angewandt wird. Für

allgemeine Kugeldreiecke gibt es den Sinussatz, Seitencosinussatz und den

Winkelcosinussatz, die den Sätzen aus der Ebene ähnlich sind. Sie werden anschaulich mit

Hilfe von rechtwinkeligen sphärischen Dreiecken hergeleitet, wobei es für rechtwinkelige

Kugeldreiecke die Regel von Neper gibt. Diese Regel erleichtert das Rechnen mit

rechtwinkeligen sphärischen Dreiecken, da man sich die Formeln nicht auswendig merken

muss. Neben dem Sinussatz, Seitencosinussatz und Winkelcosinussatz gibt es noch viele

weitere Formeln für Kugeldreiecke. Diese werden im Rahmen dieser vorwissenschaftlichen

Arbeit nicht besprochen, da sie aufwändige Herleitungen haben und für die Anwendungen,

auf die näher eingegangen wird, nicht gebraucht werden. Neben den Formeln zur

Berechnung von Seiten und Winkeln werden auch die Flächeninhaltsformeln für ein

Kugelzweieck und ein Kugeldreieck anschaulich hergeleitet. Bei der Herleitung der

Flächeninhaltsformel für ein sphärisches Dreieck wird mit Hilfe von Kugelzweiecken

argumentiert.

Das Interessante an Formeln ist ihre Anwendung, weshalb sich die zweite Hälfte der

vorwissenschaftlichen Arbeit der sphärischen Astronomie widmet. Dabei werden das

Horizontalsystem und das Äquatorsystem genau beschrieben und auch ihre Zusammenhänge

dargelegt. Zur Umrechnung der beiden Koordinatensysteme wird ein nautisches Dreieck

herangezogen, in dem der Seitencosinussatz und der Sinussatz der Sphäre Anwendung

finden. Neben der Umrechnung zwischen diesen beiden Koordinatensystemen kann mit Hilfe

eines nautischen Dreiecks auch die Tageslänge sowie die Auf- und Untergangszeit der Sonne

eines bestimmten Tages berechnet werden. Dies ist aber nur ein vereinfachtes Modell, da in

der Realität noch einige weite Faktoren berücksichtigt werden müssen.

6.2. Schlusswort

Nach dem Verfassen der Arbeit bin ich der Meinung, dass die sphärische Trigonometrie nicht

viel schwieriger als die ebene Trigonometrie ist. Da fast alles durch Skizzen nachvollzogen

wird, finde ich, dass das Thema sehr leicht verstanden und durchdacht werden kann.

Besonderen Spaß hatte ich beim Rechnen der Beispiele. Sie basieren auf realistischen

38

Angaben und die Lösungen entsprechen auch ungefähr der Realität. Daher hat es mich sehr

beeindruckt, was sich mit den Formeln, die in meiner vorwissenschaftlichen Arbeit

hergeleitet werden, berechnen lässt.

7. Quellenverzeichnis

7.1. Literaturverzeichnis

Hame, Rudolf (1995). Sphärische Trigonometrie Additium Jahrgangsstufe 11. München:

Ehrenwirth Verlag GmbH

Keller, Hans-Ulrich (2008). Kompendium der Astronomie. Stuttgart: Franckh-Kosmos Verlags-

GmbH & Co.KG

Kern, Hans et al. (1997). Sphärische Trigonometrie. München: Bayrischer Schulbuch-Verl.

Neustätter, Sophie (2002). Sphärische Geometrie und Kartographie. Wien

Schaumüller, Stephanie (2010). Wie mache ich die Erde flach? - Kugelgeometrie und

Kartennetzentwürfe. Wien

Sigl, Rudolf (1969). Ebene und Sphärische Trigonometrie mit Anwendungen auf Kartographie,

Geodäsie und Astronomie. Frankfurt am Main: Akademische Verlagsgesellschaft

Steinert, Klaus-Günter (1977). Sphärische Trigonometrie mit einigen Anwendungen aus

Geodäsie, Astronomie und Kartographie. Leipzig: Teubner Verlagsgesellschaft

Ulrich, Georg (1963). Geometrie zum Selbstunterricht 1. Wiesbaden: August Schultze Verlag

7.2. Internetquellen

spektrum.de. Geodäte – Lexikon der Astronomie. url: http://www.spektrum.de/lexikon/astronomie/geodaete/141 (04.10.2014)

39

8. Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Großkreise: Eigene Darstellung nach Kern, Hans et al. (1997). Sphärische

Trigonometrie. München: Bayrischer Schulbuch-Verl. B.S.18

Abbildung 2: Berechnung des Kleinkreisradius: Eigene Darstellung nach Hame, Rudolf (1995).

Sphärische Trigonometrie Additium Jahrgangsstufe 11. München: Ehrenwirth Verlag GmbH.

B.S.13

Abbildung 3: Berechnung des Umfangs eines Breitenkreises: Eigene Darstellung nach Hame,

Rudolf (1995). Sphärische Trigonometrie Additium Jahrgangsstufe 11. München: Ehrenwirth

Verlag GmbH. B.S.13

Abbildung 4: Sphärischer Abstand: Eigene Darstellung nach Steinert, Klaus-Günter (1977).

Sphärische Trigonometrie mit einigen Anwendungen aus Geodäsie, Astronomie und

Kartographie. Leipzig: Teubner. B.S.30

Abbildung 5: Vergleich sphärischer und direkter Abstand: Eigene Darstellung

Abbildung 6: Tabelle: Eigene Darstellung

Abbildung 7: Wölbung des Attersees: Eigene Darstellung

Abbildung 8: Kugelzweieck: Eigene Darstellung nach Hame, Rudolf (1995). Sphärische

Trigonometrie Additium Jahrgangsstufe 11. München: Ehrenwirth Verlag GmbH. B.S.30

Abbildung 9: Kugeldreieck: Hame, Rudolf (1995). Sphärische Trigonometrie Additium

Jahrgangsstufe 11. München: Ehrenwirth Verlag GmbH. B.S.33 Abbildung 22

Abbildung 10: Nebendreiecke: Hame, Rudolf (1995). Sphärische Trigonometrie Additium

Jahrgangsstufe 11. München: Ehrenwirth Verlag GmbH. B.S.44 Abbildung 32

Abbildung 11: Ebenen mit jeweiligen Normalen durch den Punkt S: Eigene Darstellung

40

Abbildung 12: Ebenen mit jeweiligen Normalen durch den Punkt S, der auf der

Schnittgeraden liegt: Eigene Darstellung

Abbildung 13: Polardreieck: Kern, Hans et al. (1997). Sphärische Trigonometrie. München:

Bayrischer Schulbuch-Verl. B.S.29 Fig. 29 – bearbeitet

Abbildung 14: Flächeninhalt eines Kugeldreiecks: Kern, Hans et al. (1997). Sphärische

Trigonometrie. München: Bayrischer Schulbuch-Verl. B.S.22 Fig. 20 – bearbeitet

Abbildung 15: Dreikant: Kern, Hans et al. (1997). Sphärische Trigonometrie. München:

Bayrischer Schulbuch-Verl. B.S.32 Fig. 30

Abbildung 16: Neper´scher Kreis: Eigene Darstellung nach Sigl, Rudolf (1969). Ebene und

Sphärische Trigonometrie mit Anwendungen auf Kartographie, Geodäsie und Astronomie.

Frankfurt am Main: Akademische Verlagsgesellschaft. B.S.284

Abbildung 17: Ebene Darstellung des Kugeldreiecks: Eigene Darstellung

Abbildung 18: Ebene Darstellung des gleichschenkeligen Dreiecks: Eigene Darstellung

Abbildung 19: Dreikant: Ulrich, Georg (1963). Geometrie zum Selbstunterricht 1. Wiesbaden:

August Schultze Verlag. B.S.390 Abb. 326

Abbildung 20: Allgemeines Kugeldreieck: Kern, Hans et al. (1997). Sphärische Trigonometrie.

München: Bayrischer Schulbuch-Verl. B.S.43 Fig. 42 – bearbeitet

Abbildung 21: Neper´scher Kreis des Dreiecks ACD: Eigene Darstellung nach Kern, Hans et al.

(1997). Sphärische Trigonometrie. München: Bayrischer Schulbuch-Verl. B.S.43

Abbildung 22: Ebene Darstellung des sphärischen Dreiecks Hollabrunn-Male-Nordpol: Eigene

Darstellung

41

Abbildung 23: Dreieck auf der Erde: Eigene Darstellung

Abbildung 24: Himmelsmeridian und Himmelsrichtungen: Kern, Hans et al. (1997). Sphärische

Trigonometrie. München: Bayrischer Schulbuch-Verl. B.S.74 Fig. 67

Abbildung 25: Zirkumpolarsterne, Kulminationspunkte: Kern, Hans et al. (1997). Sphärische

Trigonometrie. München: Bayrischer Schulbuch-Verl. B.S.75 Fig. 69 – bearbeitet

Abbildung 26: Das Horizontsystem: Keller, Hans-Ulrich (2008). Kompendium der Astronomie.

Stuttgart: Franckh-Kosmos Verlags-GmbH & Co.KG. B.S.39

Abbildung 27: Bestimmung der geographischen Breite mit Hilfe des Himmelspols: Kern, Hans

et al. (1997). Sphärische Trigonometrie. München: Bayrischer Schulbuch-Verl. B.S.77 Fig. 74

Abbildung 28: Erde-Mond: Eigene Darstellung

Abbildung 29: Ortsfestes Äquatorsystem: Keller, Hans-Ulrich (2008). Kompendium der

Astronomie. Stuttgart: Franckh-Kosmos Verlags-GmbH & Co.KG. B.S.40

Abbildung 30: Mitrotierendes Äquatorsystem: Keller, Hans-Ulrich (2008). Kompendium der

Astronomie. Stuttgart: Franckh-Kosmos Verlags-GmbH & Co.KG. B.S.40

Abbildung 31: Nautisches Dreieck: Kern, Hans et al. (1997). Sphärische Trigonometrie.

München: Bayrischer Schulbuch-Verl. B.S.85 Fig. 81 – bearbeitet

Abbildung 32: Meridianschnitt: Keller, Hans-Ulrich (2008). Kompendium der Astronomie.

Stuttgart: Franckh-Kosmos Verlags-GmbH & Co.KG. B.S.42

Abbildung 33: Nautisches Dreieck: Kern, Hans et al. (1997). Sphärische Trigonometrie.

München: Bayrischer Schulbuch-Verl. B.S.92 Fig. 86 – bearbeitet

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Selbstständigkeitserklärung

Name: Barbara Zehetmaier

Selbstständigkeitserklärung

Ich erkläre, dass ich diese vorwissenschaftliche Arbeit eigenständig angefertigt und nur die im

Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.

Viendorf, am 1. Februar 2015

Zustimmung zur Aufstellung in der Schulbibliothek

Ich gebe mein Einverständnis, dass ein Exemplar meiner vorwissenschaftlichen Arbeit in der

Schulbibliothek meiner Schule aufgestellt wird.

Viendorf, am 1. Februar 2015