Trigonometrie Für Geodäten

V07.3

T

Hochschule München

Fakultät für Geoinformation Mathematik für Geodäten Teil 1

Trigonometrie Grundlagen der ebenen und sphärischen Trigonometrie

Bachelorstudiengang Geoinformatik und Satellitenpositionierung

Prof. Dr. G. Lother 2007

Trigonometrie / Einführung I

fhm 2007 Lother

Trigonometrie

1. Einführung

1.1 Begriffe: Trigonometrie, Winkelfunktion, Goniometrie 1.2 Ebene Winkel 1.3 Winkelmaße für ebene Winkel 1.3.1 Grad-Einteilung (Altgrad) 1.3.2 Neugrad-Einteilung (Gon) 1.3.3 Bogenmaß (arcus) 1.3.4 Zusammenhang zwischen Grad- und Bogenmaß 1.3.5 Einstellungen am Taschenrechner 1.3.6 Weitere Möglichkeiten für Winkelmaße

1.4 Überschlagsformel für Querabweichungen bei kleinen Winkeln

2. Trigonometrische Funktionen

2.1 Definition im rechtwinkligen Dreieck für spitze Winkel 2.1.1 Seitenverhältnisse im Dreieck 2.1.2 Trigonometrische Funktionen spitzer Winkel 2.1.3 Komplementsätze 2.1.4 Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen 2.1.5 Werte von Funktionen spezieller Winkel

2.2 Berechnung rechtwinkliger Dreiecke 2.2.1 Die vier Grundaufgaben 2.2.2 Anwendung für trigonometrische Höhenbestimmung

2.3 Definition am Kreis für beliebige reelle Argumente 2.3.1 Kartesische- und Polarkoordinaten 2.3.2 Definition am Einheitskreis (r=1)

2.3.3 Allgemein gültige Definition der Winkelfunktionen 2.3.4 Funktionsbilder Sinus, Kosinus, Tangens 2.3.5 Periodizität und Hauptwerte 2.3.6 Grafische Bestimmung von Funktionswerten

2.4 Rückführung der Funktionen beliebiger Winkel auf Funktionen spitzer Winkel 2.4.1 Drehungssätze

2.4.2 Spiegelungssätze 2.4.3 Implementsatz

2.5 Arcusfunktionen (Umkehrfunktionen) 3. Additionstheoreme (goniometrische Formeln)

3.1 Funktionen von Summe und Differenz zweier Winkel 3.2 Funktionen mehrfacher und geteilter Winkel 3.3 Summe und Produkte von Funktionswerten 3.4 Zusammenstellung wichtiger trigonometrischer Formeln

Trigonometrie / Einführung II

fhm 2007 Lother

4. Beziehungen in schiefwinkligen Dreiecken

4.1 Winkelbeziehungen im ebenen Dreieck 4.2 Sinussatz 4.3 Kosinussatz

4.4 Tangenssatz, Halbwinkelsatz 4.5 Die vier Hauptfälle der Dreiecksberechnung

5. Sphärische Trigonometrie

5.1 Großkreise und Kleinkreise (Linien) 5.2 Flächen auf der Kugel (Sphärisches Zweieck, sphärisches Dreieck) 5.3 Dreikant 5.4 Beziehungen in schiefwinklig sphärischen Dreiecken 5.5 Die 6 Hauptfälle der sphärischen Dreiecksberechnung 5.6 Berechnung rechtwinklig sphärischer Dreiecke

6. Geographische Koordinaten

6.1 Festlegung des Koordinatensystems 6.2 Geographisches Grunddreieck 6.3 Entfernung und Kurswinkel aus den Koordinaten von zwei gegeben Punkten 6.4 Koordinate eines Punktes aus Entfernung und Kurswinkel von einem

gegeben Punkt aus

7. Funktionswerte

7.1 Funktionswerte kleiner Winkel 7.2 Ableitung der trigonometrischen Funktionen (Bezug zu Tangens) 7.3 Potenzreihen für trigonometrische Funktionen 7.4 Genauigkeitsbetrachtungen

8. Goniometrische Gleichungen

8.1 Rein-goniometrische Gleichungen (Grundtyp, Zurückführung auf den Grundtyp, Notwendigkeit von Proben)

8.2 Gemischt-goniometrische Gleichungen 8.3 Allgemeine Sinusfunktion oder harmonische Funktion

Literatur: Przybilla H.-J. Trigonometrie, für das 1.Studiensemester

Vorlesungsskriptum UNI GH Essen FB 11, Vermessungswesen

Sigl Rudolf Ebene und sphärische Trigonometrie Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1977

Walser Hans Sphärische Trigonometrie, Berechnungen ETH-Zürich,

Hilfsmittel Technisch-wissenschaftlicher Taschenrechner (CASIO, TEXAS Instruments, SHARP)

Trigonometrie / Einführung 1

fhm 2007 Lother

Trigonometrie

1 Einführung

1.1 Begriffe: Trigonometrie, Winkelfunktionen, Goniometrie

Trigonometrie leitet sich aus dem griechischen Wort „trigonon“ (:=Dreieck) ab. Die Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der die Berechnung der Winkel und Seiten sowie daraus ableitbarer Größen behandelt. Sie wird unterteilt in die ebene und sphärische Trigonometrie.

Die Trigonometrie entstammt vermutlich der griechischen Astronomie. Von Ptolemaios, der um 150 n. Chr.

in Alexandria arbeitete, ist die älteste Sehnentafelberechnung überliefert. Angeregt durch praktische

Konstruktionsprobleme sowie geographische und astronomische Beobachtungen, wurde in der griechi-

schen Mathematik die Größe eines Bogens über die Längen zugehöriger Sehnen bestimmt. Erste trigo-

nometrischer Beziehungen entdeckten unter anderem die Inder; sie verwendeten zur Bogenberechnung

etwa seit dem 5.Jahrhundert die später als Sinus bezeichnete Halbsehne und kannten auch den Kosinus und

trigonometrische Beziehungen des rechtwinkligen Dreiecks. Die Erkenntnisse der Griechen und Inder

wurden von den Arabern übernommen und weiterentwickelt. Die Bezeichnung Sinus und Kosinus stammen

aus dem arabischen. Ab dem 12. Jahrhundert wurde das trigonometrische Wissen im Abendland bekannt

und fand besonders durch die erste systematische Darstellung von Regiomontanus (1436-1476) Verbrei-

tung. Unter Mitverwendung von arabischen Quellen fasste er die ebene und sphärische Trigonometrie

zusammen. Er präzisierte den Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie. Neben den Sinustafeln stellte er

als erster eine Tangenstafel auf. Die inneren Zusammenhänge beschrieb der Schweizer Leonhard Euler

(1707-1783) in der Eulerschen Formel. Euler gilt als Begründer der modernen Trigonometrie, die im 19.

Jahrhundert durch Beiträge von Gauß, Bessel und Möbius ihre heutige Form erhielt.

Im Altertum wurde die Trigonometrie ausschließlich als Hilfsmittel der praktischen Astronomie benutzt,

weshalb zunächst die sphärische Trigonometrie entwickelt wurde. Für die ebene Trigonometrie hatte man

bis zum Aufstieg der Geodäsie in Diensten absolutistischer Herrscher (1500 Jahre später) kaum eine

praktische Verwendung. Als man jedoch anfing, Grundstücke oder Landesgrenzen möglichst genau zu

vermessen, stellte sich heraus, dass man „im Gelände“ größere Strecken nur ungenau messen konnte. Mit

Winkeln ging das mittels kleiner Fernrohre viel besser („Theodolit“), daher berechnete man die gesuchten

Strecken möglichst aus Winkelmessungen (Triangulation). Diese Vorrangstellung der Winkelmessung in

der Geodäsie dauerte bis zur Einführung der elektromagnetischen Entfernungsmessung (ab 1960) an.

Winkelfunktionen ergeben sich aus den Beziehungen zwischen Winkeln und Strecken; da sie von Winkeln abhängen werden sie als Winkelfunktionen oder wegen ihrer Verwen-dung in der Trigonometrie als trigonometrische Funktionen bezeichnet. Winkelfunktionen sind geometrisch definierte, sogenannte elementare transzendente Funktionen, die auch in der Analysis eine bedeutende Rolle spielen. Sie lassen sich mit Hilfe der Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck oder am Einheitskreis ableiten, deshalb werden sie auch als Kreisfunktionen bezeichnet.

Wichtige Anwendungsgebiete:

Vermessung, Geodäsie, geodätische Approximation (Kugelfunktionen)

Sphärische Astronomie, mathematische Geographie (Kartennetzentwürfe), Navigation

Beschreibung periodischer Prozesse (Signalverarbeitung, Reihenentwicklung)

Werkzeugbau, Optik, Mineralogie

Goniometrie ist die Lehre von der Winkelmessung (griechisch: gonia, Winkel; metrein, messen) sowie das Rechnen mit Winkelfunktionen


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1.2 Ebene Winkel

Zwei Strahlen a und b, die von dem selben Punkt S ausgehen, können durch eine Drehung ineinander überführt werden, durch die der Winkel (a,b) bestimmt wird. Als Orientierung der Ebene in der a und b liegen, gilt der Drehsinn der Bewegung.

Drehsinn (positiv) In der Mathematik: Entgegen dem Uhrzeigersinn In der Geodäsie: Im Uhrzeigersinn Es ist demnach zu unterscheiden zwischen den Winkeln (a,b) und (b,a); hier gilt die Beziehung (a,b) = - (b,a). Liegt auf dem Strahl a ein Punkt A und auf dem Strahl b ein Punkt B, so kann der Winkel auch durch ASB bzw. BSA bezeichnet werden. S ist der Scheitelpunkt, die Strahlen a und b die Schenkel. Jeder Schenkel gibt als Strahl eine Richtung an; die Größe des Winkels ist dann der Unterschied dieser beiden Richtungen in einer orientierten Ebene. Einteilung der Winkel

Winkel werden nach dem Richtungsunterschied der Schenkel eingeteilt: Spitze Winkel < 90o Rechte Winkel = 90o Stumpfe Winkel > 90o Gestreckte Winkel =180o Überstumpfe Winkel >180o Vollwinkel =360o Ein Winkel ist demnach der bestimmte Teil eines Vollkreises Ableitung von Maßeinheiten durch Unterteilung des Vollkreises

A S

B

a

b


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1.3 Winkelmaße für ebene Winkel

Alle Winkelmaße beruhen auf Kreisteilungen. Unterschieden werden dabei Gradmaße. und das Bogenmaß.

1.3.1 Grad-Einteilung (Altgrad)

Vollkreis = 360° weiterhin: 1° = 60' 1' = 60" 1° = 3600" Bezeichnung: Grad Minute Sekunde

Die Teilung des Vollkreises in 360° deutet auf den Ursprung in der Astronomie hin, sie wurde so gewählt, dass sie nahezu der Anzahl der Tage eines Jahres (365) entspricht. Die Unterteilung in Minuten und Sekunden erfolgt im sexagesimalen Zahlensystem (Sechzigersystem), das auf die Babylonier zurückgeht.

Beispiel sexagesimale Schreibwiese: = 54° 13' 15".2891 Statt Minuten und Sekunden wird heute ein Grad oft dezimal unterteilt, dies kann z.B. für die Eingabe an Taschenrechnern erforderlich sein.

Beispiel dezimale Schreibweise: = 54°.22091363

Umrechnung sexagesimale in dezimale Schreibweise und umgekehrt 15".2891 / 60 = 0'.254818 13'.254818 / 60 = 0°.22091363 54°.22091363

Int (54°.22091363) 54° 0.22091363*60 = 13.254818 13‘ 0.254818*60 = 15“.2891

Anwendung Grad in der Astronomie, Geodäsie, Geographie, Navigation, Geometrie

1.3.2 Neugrad-Einteilung (Gon)

Vollkreis = 400 gon weiterhin: 1 gon = 1000 mgon Bezeichnung: Gon Milligon

Die Teilung des Vollkreises in 400g geht auf die französische Revolution zurück und wurde dann von deutschen Geodäten übernommen. Die 400g-Teilung wird heute bei fast allen geodätischen Messinstrumenten verwendet, hat sich aber in anderen Bereichen nicht durchgesetzt.

Beispiel Schreibweise: = 60.24545959 gon

Umrechnung Grad in Neugrad (Gon) und umgekehrt

(54.22091363 / 360) * 400 = 60.24545959 (60.24545959 / 400) * 360 = 54.22091363

Anwendung Neugrad in der Vermessung


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1.3.3 Bogenmaß (lat. arcus, Bogen)

Als Maßeinheit für ebene Winkel ist nach dem Internationalen Einheitssystem (SI = Système International d’Unités), einer Empfehlung der Generalkonferenz für Maß und Gewicht im Jahre 1960, das Bogenmaß definiert, das in der dimensionslosen Maßeinheit Radiant (rad) angegeben wird.

Im Kreis ist die Länge des Kreisbogens b dem Zentriwinkel proportional. Es gilt:

Der Radiant ist als ergänzende SI-Einheit folgendermaßen definiert: „Der Radiant (rad) ist der Winkel zwischen zwei Kreisradien, die aus dem Kreisumfang einen Bogen ausschneiden,

dessen Länge gleich dem Radius ist (b = r).“

Vollkreis: b = 2 r

Halbkreis b = r (Gestreckter Winkel)

=

Viertelkreis b = r/2 (Rechter Winkel)

= /2

Der Bogen eines Kreises mit bekanntem Radius kann somit zum Messen des zugehörigen (Zentri)-Winkels benutzt werden. Winkel können auch größere Werte als 2 annehmen, z. B. bei Spiralen.

Anwendung Bogenmaß in Radiant in der Analysis, Physik und Programmierung

r

b S M

22

r

r

r

b

Radius

Kreisbogenα

Vollwinkel

gKreisumfan

elZentriwink

Kreisbogen

r2π

2r

α

b


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1.3.4 Zusammenhang zwischen Grad- und Bogenmaß

Für den Vollkreis gilt: Daraus ergibt sich für einen Winkel mit der Größe 1 Radiant [rad] 1 rad = 57°.29578... = 57° 17' 44.8" Bei einem Winkel mit der Größe 1 rad, ist das Verhältnis aus Kreisbogenlänge und Radius gleich 1 ist. Für die Umrechnung der Winkelmaße vom Bogen- ins Gradmaß wird die Konstante rho

eingeführt.

Für die Umrechnung der Winkelmaße vom Bogen- ins Neugradmaß ergibt sich rho entsprechend zu

Altgrad 30° 45° 60° 90° 180° 360° 57°17'45" Neugrad 33,3...g 50g 66,6...g 100g 200g 400g 63,6620g Radianten /6 /4 /3 /2 2 1 [rad]

1.3.5 Einstellungen am Taschenrechner

Mit dem Taschenrechner können alle drei Winkelmaße verwendet werden, wobei die Auswahl über die Einstellungen erfolgt: DEG (Degree) (Alt-)Grad RAD (Radiant) Bogenmaß GRD (Grad) Neugrad Achtung: Die Bezeichnungen sind verwirrend, da für die Grad-Einteilung DEG und für Neugrad GRD oder GRAD auszuwählen ist! Nachfolgend wird als Winkelmaß die Grad-Einteilung DEG verwendet, falls keine andere Angabe gemacht wird. Für die Umrechnung von sexagesimaler in dezimaler Darstellung stehen auf den meisten Taschenrechnern Funktionen zur Verfügung, die meist mit DMS (Grad, Minuten, Sekunden) bezeichnet sind.

1801802360

r =1

b=1

57 °

r =1 .29578...57180

o

200

662063 gong gon

....


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1.3.6 Weiter Möglichkeiten für Winkelmaße

Strich-Teilung (militärisch Artillerie) Vollkreis = 6400 Strich, keine weitere Unterteilung 1- auf 1km Entfernung entspricht einen Bogen von etwa 1 Meter 6400 ist eine künstlich gerundete Zahl; genau: 2 = 6283

Stunden-Teilung (Zusammenhang Zeit und geographische Länge) Vollkreis = 24h, weiterhin: 1h = 60min = 3600sec 1h = 15° (360°/24) Stundenwinkel

1.4 Überschlagsformel für Querabweichungen bei kleinen Winkeln

Aus den Beziehungen Ergibt sich die nützliche Gebrauchsformel Woraus folgt für kleine Winkel mit der Querabweichung q: mit o

= 57o.29578...

anlog gilt die Formel für Neugrad mit mit g = 63.6620...gon

Anwendungsbeispiele: Berechne die Querabweichungen für die Winkel 1o, 1‘, 1“ bei einer Entfernung von 1 km

1o 1/57.29578*1000 m 17.5 m 1‘ 1/60/57.29578*1000 m 0.3 m 1“ 1/60/60/57.29578*1000 m 0.005 m

Berechne die Winkel für die Querabweichungen 1m, 1cm, 1mm bei einer Entfernung von 1 km

1m 1/1000 *57.29578 0o.05729 3‘ 28“ 1cm 0,01/1000 *57.29578 0 o.000573 2“.1 1mm 0.001/1000 *57.29578 0 o.0000573 0“.2

Mit der Formel können die Auswirkungen von Winkelfehlern oder Exzentrizitäten abgeschätzt werden.

π

180ρmit

180

πα

r

bα

ρ

α

r

bα

rρ

αbq

oo ρ

r

qρ

r

bα

r = Entfernung

r

q

b

b


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Ermittlung des Erdumfangs durch Eratosthenes

Als erster hat der Grieche Eratosthenes (276-195 v.Chr., Bibliothekar in Alexandria) schon vor über zwei Jahrtausenden den Umfang der Erdkugel erstaunlich genau bestimmt. Ihm wurde berichtet, dass zur Zeit der Sommersonnenwende (21.Juni 224 v.Chr.), die Sonne in der Stadt Syene (Assuan) auf den Grund eines tiefen Brunnens schien (kein Schattenwurf). Zur selben Zeit beobachtete er die Sonne in Alexandria und stellte fest, dass sie einen deutlichen Schatten warf. Mit Hilfe von Stöcken ermittelte er den Winkel der Sonnenstahlen. Die Entfernung der beiden Städte, die nahezu auf dem selben Meridian liegen lies er von einem Freund bestimmen. Die Messung ergab eine Entfernung von 5000 Stadien (1 ägyptisches Stadion = 157,5 m). Welcher Erdumfang ergibt sich nach diesem Verfahren mit den unten angegeben Werten ? Nordpol

S = Stablänge S’ = Schattenlänge E = Entfernung (Bogen) Beispiel: S = 15.0 m S’ = 1.9 m E = 800 km

Südpol

Eratosthenes bestimmte den Winkel mit ca. 1/50 eines

Vollwinkels. Also musste die Länge der Strecke von

Alexandria nach Syene ca. 50-mal in den gesuchten

Erdumfang hineinpassen. Zur ungefähren Bestimmung des

Erdumfangs fehlte Eratosthenes also nur noch die Entfernung

von Alexandria nach Syene. Man liest, Eratosthenes solle

einen Freund gebeten haben, diese Entfernung zu bestimmen.

Die Messung ergab, dass Syene 5.000 Stadien von Alexandria

entfernt war.

Der Erdumfang musste also nach Eratosthenes

50 * 5.000 Stadien = 250.000 Stadien lang sein.

1 Stadion = 157,5 m

50 * (5000 * 157,5 m) = 39.375.000 m = 39375 km.

im Bogenmaß Schattenlänge/Stablänge = S’/S = E/r r=E/ U = 2r = 2*E/ = 2*E*S/S’

Brunnen

Trigonometrie / Trigonometrische Funktionen 8

fhm 2007 Lother

2 Trigonometrische Funktionen

2.1 Definition im rechtwinkligen Dreieck für spitze Winkel

2.1.1 Seitenverhältnisse im Dreieck

Ein ebenes Dreieck ist nach Gestalt und Größe durch seine 3 Seiten vollständig und eindeutig bestimmt. Die übrigen Stücke (Winkel, Höhen, Fläche, Umfang etc.) können als Funktionen der Seiten aufgefasst werden.

Die Seitenverhältnisse a/b, a/c, b/c usw. des in C rechtwinkligen Dreiecks ABC sind Funktionen des spitzen Winkels und allein durch dessen Größe vollständig bestimmt.

Im 2. Dreieck A'BC' (rechtwinklig in C') ist ' = , also auch ' = , d. h. die beiden Dreiecke sind einander ähnlich. Es gilt: a/b = a'/b' , a/c = a'/c' , b/c = b'/c' usw. Diese Seitenverhältnisse nennt man die trigonometrischen Funktionen des Winkels oder wegen ihrer Abhängigkeit vom Winkel, die Winkelfunktionen von .

Die trigonometrischen Funktionen ergeben sich aus Streckenverhältnissen,

sie stellen eine Beziehung zwischen den Winkeln und Strecken im Dreieck her.

Trigonometrische Funktionen sind transzendente Funktionen, d.h. sie lassen sich durch algebraische Funktionen (Polynome) nicht streng darstellen.

A C

B

C' A'

a

c

b

'

b'

c' a'

' '

3 Winkel legen die Form eines Dreiecks fest.

Alle Dreiecke mit gleichen Winkeln sind

einander ähnlich.

Einander entsprechende Streckenverhältnisse in

ähnlichen Dreiecken sind gleich.


fhm 2007 Lother

Geg

enk

ath

ete

90o

Hypotenuse

Ankathete

A B

C

b a

c

2.1.2 Trigonometrische Funktionen spitzer Winkel

Da die Winkelsumme im ebenen Dreieck beträgt, sind und sogenannte spitze Winkel, d.h. kleiner 90o. Die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, ausgehend vom Winkel , für dem die Winkelfunktionen abgeleitet werden, bezeichnet als: a Gegenkathete gegenüberliegende Seite b Ankathete anliegende Seite c Hypotenuse längste Seite Mit den 3 Seiten können 3 unabhängige Verhältnisse und deren Kehrwerte gebildet werden, daraus ergeben sich 6 Winkelfunktionen. Sinus und Tangens

Kosinus und Kotangens

Sekans und Kosekans

Von den 6 Winkelfunktionen sind heute nur noch 3 gebräuchlich, der Sinus, Kosinus und Tangens. Die anderen Funktionen haben durch die Einführung elektronischer Rechenhilfsmittel an Bedeutung verloren, sie waren erforderlich, als man noch manuell mit Funktionstafeln rechnen musste. Sekans und Kosekans wurde vor allem in der Nautik verwendet, der Kotangens wird noch häufig in vermessungstechnischen Formeln eingesetzt, er kann jedoch einfach durch 1/Tangens (Kehrwert) ersetzt werden. Folgende Beziehungen lassen sich leicht erkennen:

Auf den Taschenrechnern befinden sich nur die drei Winkelfunktionen Sinus (sin), Kosinus (cos) und Tangens (tan)

und deren Umkehrfunktionen (Arcus), die mit sin-1, cos-1 und tan-1 bezeichnet sind

Ankathete

teGegenkathe

b

a

Hypotenuse

teGegenkathe

c

a tansin

teGegenkathe

Ankathete

a

b

Hypotenuse

Ankathete

c

b cotcos

teGegenkathe

Hypotenuse

a

cec

Ankathete

Hypotenuse

b

c cossec

sin

cos

tancot

cos

sintan

1


fhm 2007 Lother

Beispiele: Steigt eine Straße auf 100 m Weg gleichmäßig um 3 m an, so ist das Verhältnis der Höhenzunahme h zum zurückgelegten Weg s, also der Wert 3:100, ein Maß für die Steilheit der Straße, d. h. für den Winkel . Das Verhältnis h:s ist eine Funktion des Winkels :

Auf Landkarten erscheinen die Grundrisse e geneigter Strecken s als Kartenentfernung, sie sind die Projektion e der Strecke s in die Horizontalebene. Das Verhältnis e:s ist eine Funktion des Winkels :

2.1.3 Komplementsätze

Für den 2. Spitzen Winkel des Dreiecks ABC (Abb. S. 8) ist a die Ankathete und b die Gegenkathete, so dass gilt: + = 90° = 90°-

Winkel, die sich auf 90° ergänzen heißen Komplementwinkel, heißt das Komplement von , hieraus folgen die Komplementsätze:

2.1.4 Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen

Im rechtwinkligen Dreiecken gilt der Lehrsatz des Pythagoras a2 + b2 = c2. Damit können wichtige Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen abgeleitet werden.

sinα*sh bzw. s

hsinα cosα*se bzw.

s

ecosα

tanβ

1β)tan(90tanα

tanα

1α)tan(90tanβ

sinββ)cos(90cosαsinαα)cos(90cosβ

cosββ)sin(90sinαcosαα)sin(90sinβ

s h

e

22

22

2

22

2

2

2

222

2

22

1und1

folgt woraus

1

Pythagoras des Lehrsatzmit

ergibt Summe die

sincoscossin

cossin

cossin

cosc

aαsin

2

22

c

ba

c

b

c

a

c

b


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Zusammenhänge zwischen Sinus/Kosinus und Tangens

Die im rechtwinkligen Dreieck abgeleiteten Zusammenhänge gelten allgemein, d.h. für beliebige Winkel . Zusammenstellung für spitze Winkel [0o-90o]

Winkelfunktion sin cos tan

sin

21 cos

21 tan

tan

cos

21 sin

21

1

tan

tan

21 sin

sin

cos

cos21

Die Zusammenstellung zeigt, dass nur die Kenntnis einer Winkelfunktion erforderlich ist, um damit alle anderen auszudrücken, ohne dass man den Winkel selbst kennt.

122 cossin

cos

sintan

22

22222

222

2

22

1

1

1

11os 1

1an 1

tan

cos

tan

tansin

)tan(ctan)tan(sin

coscos*ttan

sinsin

costansintan

sincos


fhm 2007 Lother

1 r=1

1-½3

1-

3

½

60°

30°

15°

½3

2.1.5 Werte von Funktionen spezieller Winkel

Nachfolgend sollen die Funktionswerte für einige spezielle Winkel = 0°,30°,45°,60°,90° mittels geometrischer Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck (Lehrsatz des Pythagoras) hergeleitet werden. 45°Winkel ergibt sich an der Diagonale im Quadrat. Bei einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 ist die Diagonale

Daraus folgt: sin 45°= 1/2 = ½ 2 cos 45°= 1/2 = ½ 2 (Komplementsatz) tan 45°= 1/1 = 1 (tan45°= sin45°/cos45°) 30° und 60°Winkel ergeben sich im gleichseitigen Dreieck. Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 1 hat die Höhe sin 30°= ½/1 = ½ sin 60°= cos 30° = ½3 cos 30°= ½3 cos 60°= sin 30° = ½ tan 30°= ½ / ½3 = 1/33 tan 60°= ½3 / ½ = 3 (Komplementsätze)

Zusammenstellung der Funktionswerte spezieller Winkel

Funktion =0° =30° =45° =60° =90°

sin 0 1/2 1/2 2 1/2 3 1

cos 1 1/2 3 1/2 2 1/2 0

tan 0 1/3 3 1 3 1/0 =

15° und 75°Winkel ergeben sich im Kreissegment für einen Kreis mit Radius = 1 zum gleichseitigen Dreieck. tan 15°= (1-½3)/ ½ = 2-3 tan 75°= 1/ tan 15°=2+3

sin 15°= o

o

152

1

15

tan

tan

cos 15°= o

152

1

1

tan

2d

32

1h

1

1

45°

2

1 1

½

½

60°

30°

3 2

1


fhm 2007 Lother

2.2 Berechnung rechtwinkliger Dreiecke

2.2.1 Die vier Grundaufgaben

Ein ebenes Dreieck ist durch 3 Bestimmungsstücke festgelegt. Im rechtwinkligen Dreieck ist bereits ein Winkel, der rechte (90o), vorgegeben, so dass nur noch 2 Bestimmungs-stücke vorgegeben werden können, davon darf nur ein Bestimmungsstück ein Winkel sein, da der zweite Winkel wegen +=90o bereits festliegt. Daraus ergeben sich vier Grundaufgaben: 1. Hypotenuse und Winkel 2. Kathete und Winkel 3. Hypotenuse und Kathete 4. Die beiden Katheten Grundaufgabe a b c

1 (c, ) c sin c cos 90o-

2 (a, ) a / tan a / sin 90o-

(b,) b tan b / cos 90o-

3 (a, c) 22ac sin = a/c cos = a/c

(b, c) 22bc cos = b/c sin = b/c

4 (a, b) 22ba tan = a/b tan = b/a

Alle gesuchten Größen sollen immer aus den gegeben Bestimmungsstücken berechnet werden, nicht aus abgeleiteten Werten, damit keine Rundungsfehler das Ergebnis verfälschen.

2.2.2 Anwendungen für trigonometrische Höhenbestimmung

Zur Bestimmung von Höhen werden häufig trigonometrischen Messungen durchgeführt, die auf eine Berechnung der gesuchten Höhen in rechtwinkligen Dreiecken führen. Die Höhe ist der senkrechte Abstand von einer horizontalen Bezugsfläche (sie bilden einen rechten Winkel). Höhenwinkel werden auf den Horizont bezogen.

Kat

het

e a

90o

Hypotenuse c

Kathete b

A B

C

=

Höhenwinkel

s = Schrägentfernung

e = Horizontalentfernung

90o h

= H

öh

e


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Beispiele: Einfache Höhenbestimmung

Ein hoher Baum steht in e=32.0 m Entfernung. Man zielt seine Spitze unter dem Höhenwinkel =30,0° an. Die Instrumentenhöhe beträgt h2=1.5 m. Wie hoch ist der Baum ? Höhenbestimmung mit gekoppelten Dreiecken

Von einem Turmfenster in h1=12.5 m Höhe sieht man die Spitze eines Schornsteins unter dem Höhenwinkel =45° und den Fußpunkt unter dem Tiefenwinkel =30°. Wie weit ist der Schornstein vom Turm entfernt und wie hoch ist er ? Höhenbestimmung mit geschachtelten Dreiecken

Soll man eine Höhe bestimmen, bei der die Messung der Entfernung bis zum Fußpunkt nicht möglich ist, kann man eine Standlinie s in Richtung auf den Turm so anlegen, dass die Punkte ABT in einer vertikalen Ebene liegen. In den Endpunkten A und B der Standlinie werden die Höhen-winkel und gemessen. Die Messung wird in Augenhöhe a durchgeführt. Es entstehen zwei ineinander geschachtelte Dreiecke ACT und BCT, die eine gemeinsame Höhe h1 haben und für deren Grund-seiten die Beziehung AC = BC + s gilt. =18o30‘ s=20.00m =23o a=1.50m Wie hoch ist der Turm ?

h1

T


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2.3 Definition am Einheitskreis für beliebige reelle Argumente

Die in (2.1) für spitze Winkel definierten trigonometrischen Funktionen gelten für belie-bige Winkel, auch für Werte > 2. Ihre allgemeine geometrische Definition erfolgt am Kreis. Wegen ihrer Ableitung am Kreis werden die trigonometrischen Funktionen auch als Kreisfunktionen bezeichnet.

2.3.1 Kartesische- und Polarkoordinaten

Ein kartesisches Koordinatensystem ist durch zwei Achsen gegeben, die senkrecht aufeinander stehen und üblicherweise als x-Achse (Abszissenachse) und y-Achse (Ordinatenachse) bezeichnet werden. Der Schnittpunkt der Achsen bildet den Nullpunkt (Ursprung) des Koordinatensystems. Die Lage eines beliebigen Punktes P ist durch die Angabe seiner Koordinaten x und y eindeutig festgelegt, wobei die Koordinaten beliebige reelle Werte annehmen können - Schreibweise P(x,y) Die x- und y-Achse teilen die Ebene in 4 Quadranten, die sich aus der Kombination der Vorzeichen der Koordinaten ergeben. Die Lage eines Punktes kann auch durch seine Entfernung vom Nullpunkt r und den Winkel () eindeutig festgelegt werden. Die Werte r, heißen Polarkoordinaten von P, wobei r der Radius eines Kreises und der Richtungswinkel im Ursprung des Koordinatensystems, bezogen auf die Abszisse sind – Schreibweise P(r, ).

Die Orientierung der Achsen, der Drehsinn der Quadranten und des Richtungswinkels können verschieden festgelegt werden.

Koordinatensysteme mit Quadranten mathematisch geodätisch

Der Punkt P kann sowohl durch rechtwinklige Koordinaten (x,y), als auch durch Polarkoordinaten (r, ) eindeutig in der Ebene festgelegt werden, d.h., zwischen den beiden Darstellungen besteht eine funktionale Beziehung.

+X

+Y

I

IV

II

III

-X

-Y

x

y

P

r

+Y+X

+X +Y

I

IV

II

III

I

IIIII

IV

x-Achse

= Abszisse

y-Achse

= Ordinate


fhm 2007 Lother

2.3.2 Definition am Einheitskreis (r=1)

In einem ebenen kartesischen Koordinatensystem durchläuft ein Winkel alle vier Quadranten. Sein freier Schenkel schneidet den Kreis mit dem Radius r = 1 um den Koordinatenursprung, den Einheitskreis, in den Punkten Bi. Für den Schnittpunkt B0 der x-Achse mit dem Einheitskreis hat den Wert 0. Während eines Umlaufs des freien Schenkels nimmt alle Werte von 0°-360° an. Die jeweilige Lage des Punktes Bi (z.B. B1, B2, B3, B3) wird durch seine Koordinaten (x,y) bestimmt: Die Abszisse x ist die senkrechte Projektion des jeweiligen Radius auf die x-Achse. Die Ordinate y die senkrechte Projektion dieses Radius auf die y-Achse. Z.B. sind die Koordinatenwerte für die Lage B3 beide negativ, weil OC3 entgegengesetzt gerichtet ist wie die +X-Achse und C3B3 entgegengesetzt gerichtet ist wie die +Y-Achse

Am Einheitskreis (r=1) werden definiert: Sinus als die mit Vorzeichen versehene Maßzahl der Ordinate der Punkte Bi Kosinus als die mit Vorzeichen versehene Maßzahl der Abszisse Bi Tangens als Maßzahl der gerichteten Strecke, die die Schenkel des Winkels auf

der Tangente im Punkt B0 (x = 1) an den Einheitskreis abschneiden. Die Bezeich-nung Tangens bekommt daher die anschauliche Bedeutung der Maßzahl der Strecke auf der Tangente im Berührungspunkt x = 1.

2.3.3 Allgemein gültige Definition der Winkelfunktionen

Lässt man den Radius (r) beliebige Werte annehmen, ergeben sich die allgemeingültigen Definitionen für die Winkelfunktionen.

Im I. Quadranten kann man für den spitzen Winkel () die Begriffe Ordinate Gegenkathete, Abszisse Ankathete und Radius Hypotenuse gleichsetzen und erhält so die Definitionen von 2.1.

Zusammenhang zwischen rechtwinkligen Koordinaten und Polarkoordinaten

cos

sin

x

y

Abszisse

Ordinatetan

r

x

Radius

Abszissecos

r

y

Radius

Ordinatein s

x

yyxrrxry arctancossin 22

+Y

+X

B1

B 2

B 3

B 4

B 0

r=1

C 3

sin

=O

rd

ina

te

cos=Abszisse O

tan

„Orts-SINn“


fhm 2007 Lother

Abszisse (x) und Ordinate (y) haben in Abhängigkeit vom Quadranten verschiedene Vorzeichen, der Radius hingegen ist immer positiv (absolut). Daraus ergeben sich für die trigonometrischen Funktionen, in Abhängigkeit vom Quadranten unterschiedliche Vorzeichen: Sinus erhält das Vorzeichen der Ordinate y Kosinus erhält das Vorzeichen der Abszisse x

2.3.4 Funktionsbilder Sinus, Kosinus und Tangens

Die Werte der Sinus-/Kosinus-Funktionen lassen sich für alle Winkel zwischen 0° und 360° berechnen (Werte 0, +1, -1). Unstetigkeiten treten jedoch bei der Tangens-Funktion auf, wenn der Nenner des Bruchs (Abszissenunterschied) gegen 0 geht, so dass der Grenzwert bei liegt. Winkel sin cos tan

0° 0 +1 0

90° +1 0 +

180° 0 -1 0 270° -1 0 -

360° =0°

0 +1 0

Werte der Winkelfunktionen der ganzen Vielfachen des rechten Winkels

sin

cos

tan

Quadrant I II III IV sign(x,y) (+,+) (-,+) (-,-) (+,-) sin + + - -

cos + - - +

tan + - + -


fhm 2007 Lother

2.3.5 Periodizität

Wird der Verlauf der Funktionen Sinus und Kosinus nach links und rechts, d.h. für beliebig große positive und negative Winkel fortgesetzt, so zeigt sich, dass Sinus und Kosinus für alle Winkel, die sich um 360° (2) oder ganzzahlige Vielfache

davon unterscheiden, gleiche Funktionswerte annehmen. Tangens bei Winkelunterschieden von 180° () gleiche Funktionswerte hat. Die trigonometrischen Funktionen sind periodische Funktionen; dies ist eine ihrer wichtigsten Eigenschaften. Definition: Eine Funktion f(x) des Arguments x heißt periodisch mit der Periode P, wenn sie bei Änderung des Arguments um P unverändert bleibt, also f(x+P) = f(x) ist. Das Argument kann um ein beliebiges ganzzahlig Vielfaches von P geändert werden.

sin(2) = sin cos(2) = cos tan() = tan bzw. sin(+n*2)= sin cos(+n*2)= cos tan(+n*) = tan

wenn n eine ganze Zahl ist

Der Sinus und Kosinus haben die Periode 360° (2), d.h. sie nehmen in einem Intervall, z.B. 0 2 alle möglichen Funktionswerte zwischen -1 f() +1 an.

Der Tangens hat die Periode 180° (), d.h. er nimmt schon innerhalb eines halben Intervalls, z.B. 0 alle möglichen Funktionswerte zwischen - < f() < + an.

Aus der Periodizität ergibt sich die Anwendbarkeit der Winkelfunktionen für beliebige Winkelwerte, d.h. für beliebige reelle Argumente. Beim Tangens treten jedoch an den Stellen, die ein ganzzahliges Vielfaches von /2 sind, Unstetigkeiten auf.

2.3.6 Graphische Bestimmung von Sinus-, Kosinus- und Tangens Werten

Beispiel: =40

0°

40°

90°

0

10cm

6,43cm

h

r

90o-

40o

7,66c

m

8,40c

m

00021766064301

83907660

6430

8400

766090

643010

436

2222

3

2

1

,,,cossin

,,

,

cos

sintan

:

,tan

.sincos

,,

sin

Kontrollen

r

h

r

h

cm

cm

r

h

o


fhm 2007 Lother

Grafische Darstellung der Periodizität der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion für beliebige reelle Argumente


fhm 2007 Lother

2.4 Rückführung der Funktionen beliebiger Winkel auf Funktionen spitzer Winkel

Nach den Regeln zur Periodizität der trigonometrischen Funktionen gibt es keine Zahl < 2, für die gilt: sin(+) = sin bzw. cos(+) = cos

Die trigonometrischen Funktionen lassen sich jedoch für spezielle Änderungen mit Hilfe der Beziehungen am Einheitskreis angeben. Anmerkung: Die Rückführbarkeit der Funktionen beliebiger Winkel auf die spitzer Winkel war zur Zeit des manuellen Rechnens mit Hilfe von Logarithmen- und Funktionstafeln auch von großer praktischer Bedeutung, da die Tafeln unter Einbeziehung der Komplementsätze nur für Winkel-argumente zwischen 0o und 45o aufgestellt werden mussten. Elektronischer Taschenrechner ermitteln für beliebige Winkelargumente immer den entsprechenden Funktionswert.

Gegenüberstellung der Definitionen am Einheitskreis und der Definitionen im rechtwinkligen

Dreieck für spezielle Änderungen (sin(+)=y/r; cos(+)=x/r sin=GK/HY; cos=AK/GK)

2.4.1 Drehungssätze [1 = + ] Projektion auf Y = Ordinate SINUS Projektion auf X = Abszisse Kosinus

Vierteldrehungssatz

Wird bei Sinus und Kosinus das Argument um = 90o [/2]

vergrößert, wobei im I. Quadranten angenommen

wird, so gilt für die resultierenden Winkel im

II. Quadranten:

Halbdrehungssatz

Wird bei Sinus und Kosinus das Argument um = 180 o [] vergrößert, wobei im I. Quadranten angenommen wird, so gilt für die Winkel im III. Quadranten:

tan

1)90tan(

sin)90cos(

cos)90sin(

o

o

o

tan)180tan(

cos)180cos(

sin)180sin(

o

o

o

cos(+90o)

sin

sin

(+

90

o)

= 90o

+X

+Y

cos

+X

+Y

sin

(+

18

0o)

cos

sin

cos(+180o)

= 180o


fhm 2007 Lother

oo 90'90

Dreivierteldrehungssatz: Wird bei Sinus und Kosinus das Argument um = 270° [3/2] vergrößert, wobei im I. Quadranten angenommen wird, so gilt für die Winkel im IV. Quadranten: Mit den Drehsätzen lassen sich die Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion bestimmen (s. 5.2)

2.4.2 Spiegelungssätze

Supplementsatz: Wird der Winkel durch Spiegelung des Leitstrahls OP an der Ordi-nate nach OP' in sein Supplement ' = 180o- (-) überführt, so gilt

Der Supplementsatz wird häufig bei der Dreiecksberechnung benötigt: Im ebenen Dreieck ist der 3. Winkel

das Supplement der Summe der beiden anderen Winkel γ=180o-(α+β) (s. 4.5)

Die Elemete eines sphärischen Dreiecks und seines polaren Dreiecks sind Supplemtwinkel (s.6.4)

Die Winkel und ' lassen sich auch mit Hilfe des spitzen Winkels darstellen zu daraus folgt:

Mit Hilfe der Spiegelung lassen sich auch Beziehungen zwischen den Funktionen von Winkeln im III. und IV. Quadranten angeben.

Es gilt sin' = sin sowie cos' =-cos. und ' können im III. und IV. Quadranten durch + 3/2 dargestellt werden, woraus folgt:

tan)tan(

cos)cos(

sin)sin(

o

o

o

180

180

180

tan

1)270tan()270tan(

sin)270cos()270cos(

cos)270sin()270sin(

oo

oo

oo

tan

1)270tan(

sin)270cos(

cos)270sin(

o

o

o

tan)tan()tan(

sin)cos()cos(

cos)sin()sin(

19090

9090

9090

oo

oo

oo

cos cos '

sin sin '

'

’=180o-

O

P P'

+X

+Y

cos ' cos

sin ' sin

'

+X

+Y

P' P


fhm 2007 Lother

2.4.3 Implementsatz

Mit dem Implementsatz (Umkehrsatz) lassen sich trigonometrische Funktionen negativer Winkel auf diejenigen spitzer Winkel zurückführen. Dies kann durch Spiegelung des Leitstrahls OP an der Abszisse nach OP' dargestellt werden. Zwischen den Funktionen der Winkel und ' = 360°- gelten, unter Berücksichtigung der Periodizität, die Beziehungen:

2.4.4 Gerade und ungerade Funktionen

Kosinus (cos) ist eine gerade Funktion, hat also dem Absolutbetrag nach für gleiche positive und negative Winkelargumente denselben Funktionswert f(x) = f(-x): cos = cos(-)

Sinus (sin) und Tangens (tan) sind ungerade Funktionen. Ihre Kurven sind symmetrisch zum Koordinatenursprung; der Funktionswert für einen negativen Winkel ist gleich dem negativen Funktionswert des positiven Winkels von gleichem Absolutbetrag f(-x) = -f(x): sin(-) = -sin bzw. tan(-) = -tan

Diese Eigenschaften werden als Paritätssatz der Kreisfunktionen bezeichnet.

2.4.5 Zusammenstellung

Zwischen dem Winkel und dem spitzen Winkel bestehen folgende Beziehungen:

Funktion des II. Quadrant III. Quadrant IV. Quadrant Implement Supplement

Winkels = 90°+ = 180° + = 270° + = - = 180° - sin +cos -sin -cos -sin sin cos -sin -cos +sin +cos -cos tan -1 / tan +tan -1 / tan -tan -tan

Beispiele: IIQ. sin 138°12'44" = sin (90°+48°12'44") = cos 48°12'44" IIIQ. cos 210°07'03" = cos (180°+30°07'03") = IVQ. tan 310°22'33" = tan (270°+40°22'33") = Impl. sin °-13°55'22" = sin (360°-13°55'22") = Supp. cos 150°30‘0“ = cos (180°-29°30‘0“) =

tan)tan()tan(360

cos)cos()cos(360

sin)sin()sin(360

sin'

sin

cos'

cos

P

P'

O +X

+Y


fhm 2007 Lother

2.5 Arkusfuntionen

Mit den Arkusfunktionen oder inversen trigonometrischen Funktionen kann zu einem gegeben Funktionswert der zugehörige Winkel ermittelt werden. Der Winkel ist für jeden der Werte sin, cos, tan zweideutig, da gilt, dass:

180°- denselben Sinus - denselben Kosinus 180°+ denselben Tangens

wie besitzen.

Von den 4 Winkeln sowie 180° fällt in jeden Quadranten einer. Die Winkelbestimmung wird nur eindeutig, wenn noch zusätzlich der Quadrant gegeben ist, z.B. durch die Vorzeichen der Ordinate und Abszisse. Auf Grundlage der o.a. Gleichung lässt sich zeigen, dass aus jedem gegebenen Funktionswert andere berechnet werden können, wegen der auftretenden Quadratwurzel jedoch nur bis auf das Vorzeichen.

Geometrische Deutung: sin und cos bestimmen je eine Gerade parallel zur Ordinaten- bzw. Abszissenachse (y= sin bzw. x=cos) die den Einheitskreis zweimal schneiden. Die Doppeldeutigkeit der Argumentbestimmung liegt auch für den Tangens vor. Darüber hinaus gilt dies wegen der Periodizität der Kreisfunktionen auch für ganzzahlige Vielfache von 2 (sin

und cos) bzw. (tan).

21 cossin

y=sin

sin

cos '

x=cosφ’

Q’

P'

O +X

+Y

P"

Q”

180°-

'

- '


fhm 2007 Lother

Die Funktionen, die den im Bogenmaß (lat. arcus, Bogen) gemessenen Winkel angeben werden als zyklometrische oder Arkusfunktion der trigonometrischen bezeichnet. Sie sind die Umkehr- oder inversen Funktionen der trigonometrischen.

Winkelfunktion Arkusfunktion y = sin = arcsin y

y = cos = arcos y

y = tan = arctan y

y = cot = arccot y

Als Hauptwerte von arcsin y, arccos y, arctan y werden bezeichnet:

Für alle möglichen Funktionswerte ergibt sich nur im Bereich der Hauptwerte eine eindeutige Lösung.

Für Winkel im Vollkreis [0o - 360o bzw. 0 - 2 ]

ergeben sich für einen Funktionswert immer 2 mögliche Lösungen!

Anmerkung zum Taschenrechner: Die trigonometrischen Funktionen werden für beliebige Winkelargumente, auch für Winkel kleiner Null und Winkel größer 360o, immer mit den richtigen Werten angezeigt. Bei den Arkusfunktionen werden nur die Hauptwerte der Winkel angezeigt, alle anderen Möglichkeiten müssen selbst erkannt werden.

22

0

22

y

y

y

arctan

arccos

arcsin

Trigonometrie / Additionstheoreme 25

fhm 2007 Lother

3 Additionstheoreme (goniometrische Formeln)

Die Additionstheoreme geben an, wie sich die trigonometrischen Funktionen einer Summe oder einer Differenz zweier Winkel und aus den trigonometrischen Funk-tionen der Einzelwinkel zusammensetzen. Als Additionstheoreme werden oft alle gonio-metrischen Formeln bezeichnet, in denen die Zusammenhänge zwischen den trigono-metrischen Funktionen von Summen, Differenzen und Produkten von Winkeln und den Funktionen der Einzelwinkel hergestellt werden. Bedeutung der Additionstheoreme Elementare Berechnung der Funktionen beliebiger Winkel Umformung und Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke Auflösung goniometrischer Gleichungen Rechnerischer Beweis geometrischer Sätze Auflösung quadratischer und kubischer Gleichungen

Funktionen von Summe und Differenz zweier Winkel

Sinus und Kosinus der Summe zweier Winkel

Es gilt:

Mit AC = r =1 (Einheitskreis) folgt sinβ*cosαcosβ*sinα)βsin( α

folgt

cosα*sinβCD sowie sinα*cosβEF

mitCDEFβ)sin( α

AC

CDEF

AC

BC )sin(

r=1

r=1

r=1

A B

C

D

E

H

F G

sin

sin

cos

cos

cos

sin


fhm 2007 Lother

Für den Kosinus ist die Ableitung entsprechend; es gilt:

Sinus und Kosinus der Differenz zweier Winkel

Differenzen werden erzielt wenn gilt: < 0 Mit folgt:

Tangens der Summe und der Differenz zweier Winkel

Das Additionstheorem für den Tangens ergibt sich durch Division des Sinus- durch das Kosinustheorem.

Verallgemeinerung

Werden generell negative Winkel zugelassen (<0 oder <0 oder beide Winkel <0), werden die Formeln für sin(-), cos(-), tan(-) entbehrlich. Die Gleichungen vereinfachen sich für alle beliebigen Winkel und zu:

Die Additionstheoreme bilden die Grundlage für die Ableitung der nachfolgenden gonio-metrischen Ausdrücke, in dem man Produkte oder Teile von Winkeln durch eine Summe oder Differenz von zwei Winkeln ausdrückt.

cosβ)βcos(

sinβ)βsin(

sinβ*sinαcosβ*cosα)βcos(α

sinβ*cosαcosβ*sinα)βsin( α

tanβ*tanα1

tanβtanα)βtan(α

tanβ*tanα1

tanβtanα)βtan(α

tanβ*tanα1

tanβtanαβ)tan(α

sinβ*sinαcosβ*cosαβ)cos(α

sinβ*cosαcosβ*sinαβ)sin( α


folgt

αsin *sinβDE sowie cosα*cosβAF

mitDEAF)βcos(α


fhm 2007 Lother

Funktionen mehrfacher und geteilter Winkel

Winkelverdopplung:

Sind Sinus oder Kosinus eines Winkels gegeben und der Sinus oder Kosinus des doppelten oder halben Winkels gesucht, so gilt mit

= =

für den Sinus: woraus folgt:

für den Kosinus: woraus folgt: mit ergibt sich:

Winkelhalbierung:

Mit diesen Grundbeziehungen lassen sich analog weitere Theoreme für Funktionen mehrfacher Winkel herleiten.

22 sincoscos2

2222 sin1cosbzw.cos1sin

22 2sin1cos2bzw.12coscos2

2

cos1

2sin

2sin

2sin1cos

2sin

2coscos

2sin*

2sin

2cos*

2cos)

22cos(

2

22

22

2

cos1

2sin

2

cos1

2cos

sin*coscos*sin sin2

)sin(sin2

cos*2sinsin2

sin*sincos*cos cos2

)cos(cos2


fhm 2007 Lother

Summe und Produkte von Funktionswerten

Mit Hilfe der Additionstheoreme lassen sich auch die Beziehungen für Summe, Differenz und Produkte von Funktionswerten ableiten.

Summen von Funktionswerten

Summen oder Differenzen von Winkelfunktionen werden ausgedrückt durch Produkte von Winkelfunktionen der Summe oder Differenz der Winkel (Summe Produkt).

Die Summe und Differenz der Sinusfunktion sin sin kann man folgendermaßen herleiten, ausgehend von den Additionstheoremen für den Sinus

Nach derselben Strategie können auch die Theoreme für den Kosinus und Tangens hergeleitet werden. Zusammenstellung (Summe Produkt)

cosβ*cosα

β)sin( αtanβtanα

2

βαsin*

2

βα2sincosβcosα

2

βαcos*

2

βα2coscosβcosα

2

βαcos*

2

βα2sinsinβsinα

2

βαcos

2

βα2sinsinβsinα

*

2

βαcos*

2

βα2sinsinβsinα

sinβ*2cosα

β)sin(αβ)sin(α

2

βαcos*

2

βα2sinsinβsinα

β und α man wiedersetzt 2

yxcos*

2

yx2sinsinysinxfolgt

βαyβαxonSubstitutidermit

cosβ*2sinα

sinβ*cosαcosβ*sinαsinβ*cosαcosβ*sinα

β)sin(αβ)sin(α Summe

sinβ*cosαcosβ*sinαβ)sin(α

sinβ*cosαcosβ*sinα)βsin(α

Differenz


fhm 2007 Lother

Produkte von Funktionswerten

Produkte von Winkelfunktionen werden ausgedrückt durch Summe oder Differenz von Winkelfunktionen der Summen oder Differenzen der Winkel (Produkt Summe).

Die Produkte der Sinus-/Kosinusfunktion sin sin und cos cos kann man ebenfalls mit Hilfe der Additionstheoreme herleiten, ausgehend von ergeben sich aus und die Produkte der Funktionen der Winkel als Funktion der Summen der Winkel. Mit den Additionstheoremen für den Sinus ergibt sich das Theorem für das

Produkt sin cos

Zusammenstellung (Produkt Summe)

Anmerkung: Trigonometrische Funktionen sind transzendente Funktionen, d.h. sie lassen sich nicht in algebraischer Form, durch ein Polynom i-ten Grades, darstellen.

β)cos(αβ)cos(α2

1sinβ*sinα

sinβ*2sinαβ)cos(αβ)cos(α

β)cos(αβ)cos(α2

1cosβ*cosα

cosβ*2cosαβ)cos(αβ)cos(α Summe

__________________________________

sinβ*sinαcosβ*cosαβ)cos(α


Differenz

β)sin( αβ)sin( α2

1cosβ*sinα

cosβ*2sinαβ)sin( αβ)sin( α Summe

__________________________________

sinβ*cosαcosβ*sinαβ)sin( α

sinβ*cosαcosβ*sinα)βsin( α

β)sin( αβ)sin( α2

1cosβ*sinα

β)cos(αβ)cos(α2

1cosβ*cosα

β)cos(αβ)cos(α2

1sinβ*sinα

Trigonometrie / Schiefwinkliges Dreieck 30

fhm 2007 Lother

4 Beziehungen in schiefwinkligen Dreiecken

4.1 Winkelbeziehungen im ebenen Dreieck

Zwischen den 3 Winkeln , , in einem ebenen Dreieck bestehen zahlreiche Beziehungen. Für die Winkelsumme im ebenen Dreieck gilt:

++=180°

Von den 3 Winkeln eines schiefwinkligen Dreiecks können entweder 3 Winkel spitz oder 2 Winkel spitz und 1 Winkel stumpf sein. Daraus folgt: Für den Sinus ergeben sich für alle Dreieckswinkel stets positive Werte. Für Kosinus und Tangens ergeben sich negative Werte, falls der Winkel stumpf ist.

Für die Summe von je zwei Winkeln gilt: + + + < 180° wobei + + + < 90° oder > 90° sein kann. Daraus folgt: Die Funktionswerte von sin(+), sin(+), sin(+) sind stets positiv. Die Funktionswerte von Kosinus und Tangens dieser Winkelsummen können auch negativ sein. Die halbe Summe zweier Winkel ergibt stets einen spitzen Winkel 1/2(+) 1/2(+) 1/2(+) < 90° Daraus folgt: Die Winkelfunktionen der halben Summe zweier Winkel sind stets positiv. Die halbe Differenz zweier Winkel ergibt stets einen positiven oder negativen spitzen Winkel, z. B. 1/2(-) >0 oder <0 für > oder <, d.h. Daraus folgt: Der Kosinus der halben Differenz zweier Winkel ist stets positiv. Sinus und Tangens können positiv oder negativ sein.

A B

C

b a

c

02

γβcos


fhm 2007 Lother

4.2 Der Sinussatz.

Im ebenen Dreieck verhalten sich je zwei Seiten wie die Sinusfunktionen der gegenüberliegenden Winkel

Die Ableitung des Sinussatzes ist so gewählt, dass gleichzeitig auch die Flächenformel und Durchmesserregel für den Umkreis hergeleitet werden.

Eine Höhe zerlegt ein schiefwinkliges Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke, die über diese Höhe (gemeinsame Kathete) gekoppelt sind.

Für den Winkel CAHc ergibt sich aus der Abbildung oben:

Der Winkel ist gleich CAHc, wenn spitz ist und gleich (180-CAHc), wenn stumpf ist. Nach dem Supplementsatz gilt: Woraus folgt:

Analog gilt: Woraus durch Gleichsetzen und Umstellen folgt: Durch zyklische Vertauschung - an Stelle von a tritt b, von b tritt c, von c tritt a, bei den Winkelt entsprechend - und Umformung ergibt sich der Sinussatz:

b

h)sin(CAH c

c

b

a

sin

sin

sinγ:sinβ:sinαc:b:a

bzw.sinγ

c

sinβ

b

sinα

a

b

h)CAHsin(180CAHsin c

c

o

c

sinα*bhc

sinβ*ahc

Im Dreieck ist das Verhältnis einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden

Winkels konstant


fhm 2007 Lother

Flächenformel: Die Multiplikation der Höhen mit der entsprechenden Grundlinien ergibt: ergibt die Flächenformel

Die Fläche eines Dreiecks kann berechnet werden aus zwei Seiten und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. Durchmesserregel für den Umkreis

Unter Verwendung der Beziehung zwischen Zentriwinkel und dem Peripheriewinkel ergibt sich:

Diese Formel wird als Sehnensatz bezeichnet: Das Verhältnis einer Dreiecksseite zum Sinus ihres Gegenwinkels ist gleich dem Durchmesser des Umkreises.

Anwendung des Sinussatzes:

Der Sinussatz kann angewendet werden, wenn im Dreieck Zwei Winkel und eine Gegenseite (WWS / WSW) Zwei Seiten und ein Gegenwinkel (SSW) gegeben sind.

Bei der Aufgabenstellung WSW ergibt sich der 3. Winkel aus der Winkelsumme.

Bei der Aufgabenstellung SSW können sich für den gesuchten Winkel zwei Lösungen ergeben, da gilt sin = sin(180o-), der 1. ist ein spitzer Winkel, der 2. ein stumpfer Winkel, der Supplementwinkel. SSW ist eindeutig, wenn W der Winkel ist, der der größeren Seite gegenüberliegt SSW ist zweideutig, wenn W der Winkel ist, der der kleineren Seite gegenüberliegt

Anmerkungen: Beim Anschreiben des Sinussatzes immer mit der gesuchten Größe beginnen.

Nach Möglichkeit immer mit den gegebenen Größen rechnen, da sonst Rundungsfehler oder Rechenfehler das Ergebnis verfälschen können

bcsinαchabsinγbhacsinβah cba

2Fchbhah cba

bcsinαacsinβabsinγF2

1

2

1

2

1

2rsinγc2rsinβb2rsinαa

2rsinγ

c

sinβ

b

sinα

a

a r

r

2rsina :folgt woraus

r

2asinα

1 2

a a b

SSW: ab wobei a<b


fhm 2007 Lother

4.3 Kosinussatz

Im ebenen Dreieck ist das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten vermindert um das doppelte Produkt aus diesen

Seiten und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels.

Die Beziehung läßt sich an Hand der Abbildung herleiten, es gilt:

Eingesetzt in den Ausgangsterm folgt:

Mit sin2+cos2

=1 folgt:

Die anderen Formeln ergeben sich durch zyklisches Vertauschen

Durch Auflösen nach dem Kosinus

bcosαbmitbca

bsinαh wobeiaha

ccc

c

2

c

2

c

2

cosα2bccα)cosα(sinba

αcosbcosα2bccαsinba

bcosαcbsinαa

22222

222222

222

2abcosγbac

2cacosβacb

2bccosαcba

222

222

222

2ab

cbacosγ

2ca

cbacosβ

2bc

cbacosα

222

222

222


fhm 2007 Lother

Anwendung des Kosinussatzes:

Der Kosinussatz kann angewendet werden, wenn im Dreieck Drei Seiten (SSS) Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) gegeben sind.

Anmerkungen: Der Kosinussatz gilt auch als Verallgemeinerung des Satzes vom Pythagoras, der sich aus dem Kosinussatz für den Winkel =90o

(cos 90o=0) ergibt.

Der Kosinussatz ist die wichtigste Formel der ebenen Trigonometrie, da nahezu alle Sätze für das schiefwinklige Dreieck aus dem Kosinussatz hergeleitet werden können.

4.4 Tangenssätze

Neper’sche Gleichungen (Tangenssatz)

Im Dreieck verhält sich die Differenz (Summe) zweier Seiten zur Summe (Differenz) dieser Seiten, wie die Tangenswerte der halben Differenz (Summe) der Gegenwinkel zu den Tangenswerten der halben Summe (Differenz) derselben Winkel.

Ableitung über den Sinussatz durch korrespondierende Addition und Subtraktion

SWS: Mit dem Tangenssatz lassen sich aus zwei Seiten (a und b) und dem eingeschlossenen Winkel () die beiden anderen Winkel und in einem Rechengang ermitteln.

Anmerkung: Sinussatz ist eine Verhältnisgleichung (Proportion). Für Proportionen gilt das Gesetz der korrespondierenden Addition und Subtraktion:

2

β180

2

αγ

2

αγtan*

ac

ac

2

αγtan

2

α180

2

γβ

2

γβtan*

cb

cb

2

γβtan

2

γ180

2

βα

2

βαtan*

ba

ba

2

βαtan

2abcosγbac 222

2

βαtan

2

βαtan

2

βαcos

2

βα2sin

2

βαsin

2

βα2cos

ba

ba

ba

ba

sinβsinα

sinβsinα

b

a

sinβ

sinα

a b

<90o

>90o

c

dc

dc

ba

ba

d

c

b

a


fhm 2007 Lother

Halbwinkelsatz für den Tangens

SSS: Mit dem Halbwinkelsatz lassen aus drei gegebenen Seiten die Winkel des Dreiecks berechnen.

mit 2

cbas

folgt Der Inkreisradius im schiefwinkligen Dreieck ABC ergibt sich mit s = (a+b+c)/2 (Umfang/2) aus

Heronsche Flächenformel

Ermöglicht die Berechnung der Dreiecksfläche aus den drei Seiten

Flächenformeln für das Dreieck: Grundlinie und Höhe F= ½chc Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) F= ½absin Drei Seiten (SSS)

c)(s*s

b)(s*a)(s

2

γtan

b)(s*s

a)(s*c)(s

2

βtan

a)(s*s

c)(s*b)(s

2

αtan

s

c)s*b)(s*a)(sρ

)(*)(*)(** csbsasssF

c)b)(sa)(ss(sF


fhm 2007 Lother

4.5 Die 4 Hauptfälle der Dreiecksberechnung

Nach den Kongruenzsätzen ist ein Dreieck durch drei voneinander unabhängige Stücke bestimmt, worunter mindestens eine Seite sein muss

1 WWS, WSW: Eine Seite und zwei Winkel (3. Winkel folgt aus der Winkelsumme)

2 SWS Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel

3 SSW Zwei Seiten und ein Winkel, der einer dieser Seiten gegenüberliegt

4 SSS Drei Seiten

Fall1: WWS SINUSSATZ geg.: , , a ges.: , b, c

WSW SINUSSATZ geg.: , , c ges.: , a, b

Fall2: SWS KOSINUSSATZ geg.: a, b, ges.: c, ,

Die Winkel , können auch mit dem Kosinussatz oder dem Sinussatz (siehe Fall 3) berechnet werden, dazu muss jedoch die berechnete Seite c verwendet werden.

c

b a

sinα

β)sin( αac

sinα

sinβab

β)(α180γ o

c

b a

β)sin( α

sinβcb

β)sin( α

sinαca

β)(α180γ o

c

b a

2

βαtan*

ba

ba

2

βαtan

2

γ180

2

βα

2abcosγbac 22

2ca

cbacosβ

2bc

cbacosα

222222


fhm 2007 Lother

Fall3: SSWg SINUSSATZ geg.: a, b, ges.: , , c wobei a<b

SSWk SINUSSATZ geg.: a, b, ges.: , , c wobei a<b

Fall4: SSS KOSINUSSATZ geg.: a, b, c ges.: , ,

Zuerst den Winkel bestimmen, der der größten Seite gegenüberliegt Den nächsten Winkel mit dem Sinussatz, den dritten aus der Winkelsumme

Alternativ: Berechnung der Winkel mit den Halbwinkelsätzen Anmerkung: Zur Berechnung von ebenen Dreiecken reichen Sinus- und Kosinussatz für alle Aufgabenstellungen aus. In manchen Fällen ist jedoch die Anwendung spezieller Sätze, wie der Tangenssatz, günstiger.

c

b a

sinα

β)sin( αac

β)(α180γ

sinβb

asinα

o

c

b a

c

b a

sinα

β)sin( αac

β)(α180γ

1sinβ fallsLösung keine

1sinβ fallsβ,βLösungen 2

sinαa

bsinβ

o

21

2ab

cbacosγ

222

c)(s*s

b)(s*a)(s

2

γtan

b)(s*s

a)(s*c)(s

2

βtan

a)(s*s

c)(s*b)(s

2

αtan

Trigonometrie / Sphärische Trigonometrie 38

fhm 2007 Lother

5. Sphärische Trigonometrie

Die sphärische Trigonometrie befasst sich mit der Berechnung von Dreiecken auf der Kugel. Anwendung findet sie z.B. in der Astronomie, Landesvermessung oder Nautik.

Definition der Kugel

Die Kugel ist der geometrische Ort aller Raumpunkte, die von einem Ort M einen festen Abstand R haben; M ist der Mittelpunkt, R der Radius der Kugel. Die Oberfläche der Kugel ist durch die Gesamtheit aller Punkte definiert.

5.1 Großkreise und Kleinkreise (Linien)

Von den unendlich vielen auf der Kugeloberfläche O möglichen Kurven (Linien) werden im folgenden nur die Kreise (Kugelkreise) betrachtet.

Jede Ebene E, deren Abstand L vom Kugelmittelpunkt M kleiner ist als R, schneidet die Oberfläche in einem Kreis S mit dem Radius r ≤ R. Der zu E senkrechte Kugeldurchmesser trifft E im wahren Mittelpunkt M' des Kreises S, die Oberfläche in den sphärischen Mittelpunkten M1 und M2 des Kreises S. Enthält E den Kugelmittelpunkt M, so ist S ein größter Kreis, für den Radius und wahrer Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt M und Radius R der Kugel übereinstimmen. Alle Kreise mit dieser Eigenschaft werden Großkreise (Hauptkreise), alle übrigen Kleinkreise (Nebenkreise) genannt.

L = 0 Großkreis (r = R) L < R Kleinkreis (r < R) L = R Tangentialebene (r = 0) L > R Kein reeller Schnittkreis

r² = R² - L²


fhm 2007 Lother

Es ist weiterhin zu erkennen, dass ein Großkreis zu jedem seiner Punkte auch einen Gegenpunkt enthält (d. h. den Endpunkt des entsprechenden Kugeldurchmessers). A und A' heißen diametrale Punkte (gegenüberliegende Punkte).

Sind die Punkte A und B keine Gegenpunkte, so kann durch sie nur

1 Großkreis, jedoch beliebig viele Kleinkreise geführt werden.

Zwei Großkreise schneiden sich stets in einem Paar von Gegenpunkten und halbieren einander.

Eine auf der Kugeloberfläche gemessene Entfernung zwischen zwei Punkten A und B wird minimal, wenn die Messung entlang dem Großkreis erfolgt.

Begründung: Der Bogen AB eines Kleinkreises (Radius r) ist stärker gekrümmt (r<R) als der Großkreisbogen AB (Radius R) und deshalb länger.

Definition: Als sphärische Entfernung zweier Kugelpunkte A und B, die nicht Gegenpunkte sind, wird der kleinere der Bogen AB des Großkreises durch A und B bezeichnet.

Die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Fläche wird allgemein geodätische Linie genannt. In der Ebene ist dies die Gerade, auf der Kugel der Großkreis.

Die sphärische Entfernung AB lässt sich allein durch einen Winkel festlegen!

Da der Bogen AB maximal die halbe Länge des Großkreisbogens annehmen kann, lässt sich AB durch den Mittelpunktswinkel festlegen, wobei immer < 180° ist. Zwischen der Länge AB und dem Winkel δ besteht folgende Beziehung:

ρR

δρ

δRAB

[m]

[m][m][m]

0[m][m]

[m]

[m]

δ δ

folgt ρ180

mit δ180

πRδ

360

δ

R*2π

δ

(Die Abbildung zeigt den Kleinkreis

umgeklappt in die Großkreisebene)


fhm 2007 Lother

Wird der zur Ebene AMB senkrechte Durchmesser errichtet, erhält man die sphärischen Mittelpunkte M1 und M2 des Großkreises S durch AB. Die sphärischen Mittelpunkte M1 und M2 eines Großkreises werden als Pole bezeichnet, der Großkreis selbst als Polare.

Die Polare ist der geometrische Ort aller Punkte, die von den Polen die sphärische Entfernung 90° haben.

Die Pole sind die Schnittpunkte aller zur Polaren senkrechten Großkreise, die als Meridiane bezeichnet werden. Die Polare S ist der Äquator dieser Meridiane. Alle Meridianebenen stehen auf der Äquator-ebene senkrecht.

Alle Punkte des Äquators haben damit gleiche sphärische Abstände von M1 und M2; diese entsprechen einem Quadranten (Viertel eines Großkreisbogens).

Alle Punkte eines beliebigen Kleinkreises K, dessen Ebene parallel zur Äquatorebene (Polare) ist, haben von den Polen die gleichen sphärischen Entfernungen

s1= M1A1= M1B1, s2= M2A1= M2B1 s1 und s2 sind die sphärischen Halbmesser des Kleinkreises K. Solche Kleinkreise werden auch als Parallelkreise oder Breitenkreise bezeichnet.

Meridiane und Parallelkreise sind Flächenkurven, die ein System orthogonaler Linien auf der Kugeloberfläche bilden. Sie eignen sich als krummlinige Flächenkoordinaten zur eindeutigen Festlegung von Punkten auf der Kugeloberfläche.

Winkel auf der Kugeloberfläche: Der Schnittwinkel zweier Flächen-kurven ist allgemein definiert als Winkel der beiden Tangenten an die Kurven in ihrem Schnittpunkt. Es ergeben sich daraus eigentlich zwei Winkel, die jedoch Supple-mentwinkel sind, so genügt es, wenn man einen von ihnen kennt. Aus dieser Festlegung folgt die Orthogonalität von Meridianen und Parallelkreisen, wie sie sich auch bei der Projektion mit einer winkeltreuen Abbildung, z.B. der Merkatorprojektion, direkt zeigt.


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5.2 Flächen auf der Kugel

5.2.1 Das sphärische Zweieck

Zwei Großkreise, die ein Paar Gegenpunkte (M1 und M2) gemeinsam haben, zerlegen die Kugeloberfläche in vier Kugelzweiecke. Die Seiten eines Kugelzweiecks (sphärischen Zweiecks) sind gleich und haben die Länge R. Ebenso sind die 2 Winkel im Kugelzweieck einander gleich, sie entsprechen dem Winkel zwischen den Ebenen E1 und E2. Der Flächeninhalt F des Kugelzweiecks ist proportional dem Öffnungswinkel und ist für die Fläche der Halbkugel F180°=2R². Somit gilt:

Beispiel: =3° und R=6371,221 km Fläche: 4250832 km²

Definition: Wird ein Großkreis durchlaufen, so wird der im Sinne der Bewegungs-richtung links liegende Pol als Linkspol, der rechts liegende als Rechtspol bezeichnet.

Beispiel: Wird der zu M1M2 senkrechte Großkreis in Richtung A nach A' durchlaufen, so ist M1 der Linkspol, M2 der Rechtspol.

Werden die zu den Großkreisen SA und S'A gehörenden Linkspole P und P' abgetragen, so ist zu erkennen, dass der Winkel in ihren Schnittpunkten gleich ist der sphärischen Entfernung ihrer Linkspole.

5.2.2 Das sphärische Dreieck

Wird eine Kugel mit 3 durch den Mittelpunkt M gehenden und nicht zusammenfallenden Ebenen geschnitten, so entstehen auf der Kugeloberfläche 3 Großkreise, die sich in den Punktepaaren AA', BB' und CC' schneiden (Gegenpunkte).

Die 3 Großkreise zerlegen die Kugel-oberfläche in 8 Dreiecke, von denen je 2 kugelsymmestrisch (zentral-symmetrisch) sind. Von besonderem Interesse ist das Dreieck ABC, im folgenden mit bezeichnet.

022

α

180ρmit α2R

ρ

α2RF

Winkel auf der Kugel entsprechen Winkeln

zwischen

Großkreisebenen


fhm 2007 Lother

Seiten: Die Bogen AB, BC, CA sind als Teile von Großkreisen, die kürzesten (sphärischen) Entfernungen der Punkte A, B, C und sämtlich < 180°. Sie können somit durch die Mittelpunktswinkel a, b, c festgelegt werden. a, b, c sind die Seiten des sphärischen Dreiecks.

Winkel: Die von den Großkreisen in den Eckpunkten gebildeten Innenwinkel , , sind gleich den Neigungs-winkeln der Schnittebenen und damit ebenfalls < 180°. , , sind die Winkel des sphärischen Dreiecks.

Definition: Ein sphärisches Dreieck, dessen Seiten und Winkel kleiner 180°, also konkav sind, wird EULERsches Dreieck genannt.

Von den verbleibenden 7 Dreiecken ist das Dreieck A'B'C' zentralsymmetrisch zu und stimmt mit diesem in allen 6 Stücken, und somit auch der Fläche, überein. Es wird als Scheiteldreieck ' von bezeichnet. Die Dreiecke 1=A'BC, 2=AB'C, 3=ABC' heißen Nebendreiecke von . Die restlichen Dreiecke '1, '2, '3 sind die Scheiteldreiecke der Nebendreiecke und zugleich die Nebendreieck von '. Alle Dreiecke sind EULERsche Dreiecke.

Fläche und sphärischer Exzess

Jede der Ecken von ist gleichzeitig Eckpunkt eines der Kugelzweiecke AA', BB', CC' mit den Öffnungswinkeln , , . Werden die Flächen von , 1, 2, 3 (somit auch die von ', '1, '2, '3) mit F, F1, F2, F3 bezeichnet, so lässt sich für die Zweiecke ablesen:

FAA' = F+F1 FBB' = F+F2 FCC' = F+F3.

Die Flächensumme F1+F2+F3 entspricht der um F verminderten Fläche der Halbkugel, so dass gilt

Daraus folgt:

ist der sphärische Exzess,

also der Überschuss, um den die Winkelsumme des sphärischen Dreiecks die Winkel-summe des ebenen Dreiecks übertrifft. Der sphärische Exzess ist der Fläche von proportional.

321

ooo2

CC'BB'AA'

0o2

CC'

o2

BB'

o2

AA'

FFF3F)γβ(αρ

2RFFF

180ρ

ρ

γR2F,

ρ

βR2F,

ρ

αR2F

mit

π2R2F)γβ(α90

πR 2ooo2

εRρ

εRε*

180

πR)180γβ(α

180

πRF 2

o

22

ooo2

)180γβ(αε ooo )

(2R2 = Halbkugelfläche)


fhm 2007 Lother

Merke zum sphärischen Dreieck:

Auf der Kugel lassen sich auch Längen und Flächen durch Winkel angeben. Für die Winkelsumme eines EULERschen Dreiecks gilt 180° < (++) < 540° Die Differenz ε = (++)-180° ist der sphärische Exzess vom Dreieck . Für die Seitensummen eines EULERschen Dreiecks gilt 0° < (a+b+c) < 360° Die Differenz δ = 360°- (a+b+c) ist der sphärische Defekt vom Dreieck .

Dabei sind die Bezeichnungen der Seiten und Winkel wie üblich gewählt: Der Winkel ist der Gegenwinkel der Seite a, der Winkel der Gegenwinkel der Seite b und der Winkel der Gegenwinkel der Seite c. Wir erinnern nochmals daran, dass die Seiten ebenfalls im Gradmaß, also als Mittelpunktswinkel von Großkreisen gemessen werden.

5.2.3 Das Polardreieck

Ein sphärisches Dreieck ist derart definiert, dass bei einem Umlauf von A über B nach C das Dreieck stets links liegt. Dann bilden die Linkspole A, B, C der den Seiten a, b, c von entsprechenden Großkreise das Polardreieck von . Die Seiten des Polardreiecks werden mit a, b, c, die Winkel mit , , bezeichnet. Es gelten folgenden Beziehungen: Um von A über B nach C zu gelangen ist in den Eckpunkten je eine Drehung um die Außenwinkel 180°- , 180°- sowie 180°- notwendig.

Es gelten für die Seiten und Winkel des Polardreiecks :

Umgekehrt sind A, B, C die Linkspole der Seiten a, b, c, daraus folgt:

Die Seiten des Polardreiecks sind die Supplemente der Winkel, die Winkel die Supplemente der Seiten des Ausgangsdreiecks; ist das Polardreieck von , so gilt auch die umgekehrte Beziehung.

Die Zuordnung zwischen Kugeldreieck und Polardreieck wird Polarität auf der Kugel genannt. Jedem Punkt auf der Kugel entspricht also ein Großkreis und umgekehrt. Punkt und Großkreis stehen also in einer Lagebeziehung wie Pol und Äquator.

γ180cβ180bα180a

c180γb180βa180α

sowieγ180cβ180bα180a

c180γb180βa180α


fhm 2007 Lother

5.3 Dreikant

Verbindet man die Ecken A, B, C des sphärisches Dreiecks mit dem Kugelmittel-punkt M und verlängert die Verbindungsgeraden über A, B und C hinaus, so bilden diese Halbgeraden eine körperliche Ecke, die als Dreikant bezeichnet wird.

Die Seiten a, b, c des sphärischen Dreiecks treten am Dreikant als Winkel zwischen den Kanten in der Großkreisebene auf, die Winkel , , von als Neigungswinkel der Seitenflächen, d.h. als Winkel zwischen den Großkreisebenen. Es lässt sich zeigen, dass sowohl die Seiten als auch die Winkel des sphärischen Dreiecks als ebene Winkel am Dreikant auftreten. Die Sätze der sphärischen Dreiecke unterscheiden sich daher von denen der ebenen Dreiecke nur dadurch, dass neben den trigonometrischen Funktionen der Winkel auch solche der Seiten auftreten. Kongruenzsätze für Dreikant und sphärisches Dreieck

Für die Dreikante und somit auch für die sphärischen Dreiecke lassen sich ebenso wie für ebene Dreiecke Kongruenzsätze aufstellen. Es gilt, zwei sphärische Dreiecke (Dreikante) sind kongruent oder zentralsymmetrisch, wenn sie übereinstimmen in SSS: 3 Seiten SWS: 2 Seiten und dem eingeschlossenen Winkel SSW: 2 Seiten und einem Gegenwinkel, falls der Gegenwinkel der anderen Seite

in beiden Dreiecken kleiner, gleich oder größer 90° ist WWS: 2 Winkel und 1 Gegenseite, falls die Gegenseite des anderen Winkels

in beiden Dreiecken kleiner, gleich oder größer 90° ist WSW: 1 Seite und 2 anliegenden Winkeln WWW: 3 Winkeln*)

*) Ein sphärisches Dreieck ist auch durch drei Winkel eindeutig festgelegt, da sich sein Maßstab aus dem Kugelradius ergibt,


fhm 2007 Lother

cosßsinaFDsinβsinaDC

sinαsinbDCcosαsinbED

5.4 Beziehungen in schiefwinklig sphärischen Dreiecken

Eine anschauliche Ableitung der Sinus- und Kosinussätze im sphärischen Dreieck ergibt sich mit Hilfe des Dreikants.

Sowohl die Seiten als auch die Winkel des sphärischen Dreiecks treten als ebene Winkel zwischen geradlinigen Schenkeln auf.

Betrachtet wird das sphärische Dreieck ABC auf der Einheitskugel um den Mittelpunkt M.

Werden durch die Ecke C zwei Ebenen E1 und E2 gelegt, so dass sie senkrecht zu den Kanten MA und MB stehen, und weiterhin sich in CD MAB schneiden, so entsteht ein fünfflächiger Körper MEDFC.

Mit den Seiten MA=MB=MC=1 ergibt sich für die in E bzw. F rechtwinkligen Dreiecke MEC bzw. MFC:

Die bei D rechtwinkligen Dreiecke DEC und DFC geben

Die Projektion von E auf MB ergibt den Punkt H, die von D auf EH den Punkt G. Das in H rechtwinklige Dreieck EHM liefert

Das in G rechtwinklige Dreieck EDG gibt mit DEG = c

Aus der vorherigen Abbildung lässt sich zudem ablesen:

cosaMF sinaCF

cosbME sinbCE

sinccosbEHcosccosbMH

sinccosαsinbGD cosccosαsinbGE

GEFDGEHGHE(c)

GDMHHFMHMF(b)

sinβsinasinαsinbDC(a)

D

E

F H

E1 E2


fhm 2007 Lother

Gleichung (a) liefert den Sinussatz

Gleichung (b) liefert den Seitenkosinussatz (oder 1. Kosinussatz)

Seitenkosinussatz: Im sphärischen Dreieck ist der Kosinus einer Seite das Produkt aus der Kosinus der beiden anderen Seiten vermehrt um das Produkt aus den Sinus derselben Seiten multipliziert mit dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels.

Gleichung (c) liefert den Sinus-Kosinussatz

Die nachfolgende Gleichung

wird aufgelöst nach sina cos

Der Sinus-Kosinus-Satz enthält alle 3 Seiten sowie 2 Winkel! Beziehung Polardreieck: Nach den Überlegungen zum Polardreieck können durch polare Übertragung entweder bekannte Sätze in einfacher Weise bestätigt oder auch neue Formeln gewonnen werden.

Anwendung auf den Sinussatz Werden die Seiten a, b, c und die Winkel , , des Ausgangsdreiecks durch die Stücke , , und a, b, c, des Polardreiecks ersetzt, so folgt:

Durch polare Übertragung entsteht der Sinussatz des Polardreiecks, d.h., der Sinussatz ist zu sich selbst polar. Anwendung auf den Seitenkosinussatz

sinγ

sinc

sinβ

sinb

sinα

sina

sinγ:sinβ:sinαsinc:sinb:sina

cosγsinbsinacosbcosacosc

cosβsinasinccosacosccosb

cosαsincsinbcosccosbcosa

cosccosαsinbcosβsinasinccosb

cosγcosbsinasinbcosacosαsinc

cosβcosasincsinacosccosγsinb

cosαcoscsinbsinccosbcosβsina

)csin(180:)bsin(180:)asin(180

)γsin(180:)βsin(180:)αsin(180

csin:bsin:asinγsin:βsin:αsin

Im sphärischen Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des

gegenüberliegenden Winkels konstant


fhm 2007 Lother

Der Seitenkosinussatz liefert für das Polardreieck

mit a=180°- b=180°-β c=180°-γ und =180°-a

folgt mit dem Supplementsatzes der Winkelkosinussatz (2. Kosinussatz)

Halbwinkel- und Halbseitensätze

Die dem Halbwinkelsatz der ebenen Trigonometrie entsprechenden Sätze lassen sich wie dort benutzen, um aus drei gegebenen Seiten die Winkel bzw. aus drei gegebenen Winkeln die Seiten zu berechnen Halbwinkelsatz:

Analog gilt:

αcoscsinbsinccosbcosacos

coscsinβsinαcosβcosαcosγ

cosbsinαsinγcosαcosγcosβ

cosasinγsinβcosγcosβcosα

cba2smit

c)sin(ssins

b)a)sin(ssin(s

2

γtan

b)sin(ssins

a)c)sin(ssin(s

2

βtan

a)sin(ssins

c)b)sin(ssin(s

2

αtan

sincsinb

a)sinssin(s

2

αcos

sincsinb

c)b)sin(ssin(s

2

αsin


fhm 2007 Lother

Halbseitensatz:

Analog gilt:

Nepersche Analogien

Sie lassen sich aus den Halbwinkel- bzw. den Halbseitensätzen unter Benutzung von goniometrischen Beziehungen herleiten. Anwendung finden sie, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene sphärische Winkel bzw. zwei Winkel und der Seiten zwischen ihnen vorliegen.

(An dieser Stelle werden von je drei Formeln, die durch zyklisches Vertauschen hervorgehen, nur eine angegeben.)

γβα2δmit

β)α)cos(δcos(δ

γ)cos(δcosδ

2

ctan

α)γ)cos(δcos(δ

β)cos(δcosδ

2

btan

γ)β)cos(δcos(δ

α)cos(δcosδ

2

atan

4c) 4b); c);(b2

1γ)sin(β

2

1tanc)(b

2

1αsin

2

1cot 4a)

3c) 3b); c);(b2

1γ)cos(β

2

1tanc)(b

2

1αcos

2

1cot 3a)

2c) 2b); γ);(β2

1c)sin(b

2

1tanγ)(β

2

1asin

2

1 tan2a)

1c) 1b); γ);(β2

1c)cos(b

2

1tanγ)(β

2

1acos

2

1 tan1a)

sinγsinβ

γ)β)cos(δcos(δ

2

acos

sinγsinβ

α)cos(δcosδ

2

asin


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5.5 Die 6 Hauptfälle der sphärischen Dreiecksberechnung

Nach den Kongruenzsätzen ist ein sphärisches Dreieck durch drei voneinander unabhängige Stücke bestimmt

Vorbemerkung: Da Seiten und Winkel von EULERschen Dreiecken stets kleiner als 180° sind, bestimmen Kosinus und Tangens die gesuchten Größen eindeutig, der Sinus aber zweideutig!

Fall 1 (SSS)

Vom sphärischen Dreieck Δ sind gegeben die Seiten a, b, c; gesucht sind die 3 Winkel

, , , dabei muss die Summe je zweier Seiten größer als die dritte sein und die Summe aller 3 Seiten kleiner als 360°.

Lösung über den Seitenkosinussatz

(mit dem Winkel beginnen, dem die größte Seite gegenüberliegt)

Die übrigen Winkel und können über den Sinussatz berechnet werden

Alternativen: Berechnung aller Winkel über den Seitenkosinussatz oder über die Halbwinkelsätze Durch zyklisches Vertauschen ergeben sich die Formeln die Winkel und .

Fall 2 (SWS)

Vom sphärischen Dreieck Δ sind gegeben zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, z. B. b, c,; gesucht sind die dritte Seite a und die Winkel β und γ

Lösung: Über den Seitenkosinussatz wird die dritte Seite a berechnet,

Die Winkel und können über den Sinussatz berechnet werden

Aus der Sinusfunktion werden 2 Argumente ermittelt, die Supplementwinkel voneinander sind. Da gilt, dass der größeren (größten) Seite der größere (größte) Winkel gegenüberliegen muss und die Winkelsumme > 180o ist, kann eindeutig entschieden werden.

Alternativ: Berechnung der Winkel und über die Neperschen Analogien, die Seite a kann über den Sinussatz berechnet werden.

sincsinb

cosccosbcosacosα

cba2smit sincsinb

a)sin(ssins

2

αcos

cosαsincsinbcosccosbcosa

sina

sinαsincsinγ sowie

sina

sinαsinbsinβ

sina

sinαsincsinγ sowie

sina

sinαsinbsinβ


fhm 2007 Lother

Fall 3 (SSW)

Vom sphärischen Dreieck Δ sind gegeben 2 Seiten und 1 Gegenwinkel, z. B. a, c, , gesucht sind die dritte Seite b und die Winkel und

Lösung: Nach dem Sinussatz

Für existieren 2 Lösungen 1 und 2. Für jeden Wert der 2 Winkel kann man mit den Neperschen Analogien die übrigen Stücke, die Seite b und der Winkel , eindeutig berechnen

Fall 4 (WSW)

Vom sphärischen Dreieck Δ sind gegeben eine Seite und die zwei anliegenden Winkel

gegeben, z.B. , , a.; gesucht sind der dritte Winkel und die Seiten b, c

Die Aufgabe und damit auch die Lösung ist polar zum Fall SWS

Lösung: Über den Winkelkosinussatz wird der Winkel berechnet, nach dem Sinussatz die Seiten b und c. Alternativlösung: Nach den Neperschen Analogien die Seiten b und c, nach dem Sinussatz den Winkel .

Fall 5 (WWS)

Vom sphärischen Dreieck Δ sind gegeben 2 Winkel und 1 Gegenseite, z. B. , , c, gesucht sind der dritte Winkel und die Seiten a und b

Die Aufgabe und damit auch die Lösung ist polar zum Fall SSW Der Lösungsweg ist identisch mit der Grundaufgabe SSW

Für die Fälle 3 und 5 können mehrere Lösungen existieren!

I. sin > 1 Keine reelle Lösung II. sin = 1 = /2; eine Lösung III a. sin < 1

wobei sina < sinc

sin<sin; eine Lösung, da für jedes vorgegebene Wertetripel (ai, ci, i), i=1,2 der Wert von wegen ><, je nachdem a><c eindeutig feststeht.

III b. sin < 1 wobei sina = sinc

sin =sin ; eine Lösung

III c. sina < 1 wobei sina > sinc

sin > sin; 2 Lösungen, entweder a>c >, d. h. c=c1 spitz =1 spitz und 1, 2=180°-1 oder a<c <, d. h. c=c2 stumpf =2 stumpf und 1, 2=180°-1

sinc

sinγsinasinα

a)(c2

1a)/sin(c

2

1α)sin(γ

2

1tanβ

2

1cot

α)(γ2

1α)/sin(γ

2

1a)sin(c

2

1tanb

2

1tan


fhm 2007 Lother

Fall 6 (WWW)

Vom sphärischen Dreieck Δ sind gegeben die 3 Winkel , , ; gesucht sind die 3 Seiten a, b, c, dabei muss die Summe zweier Winkel kleiner als der um 180° vermehrte dritte sein und die Winkelsumme zwischen 180° und 540° liegen.

Lösung über den Winkelkosinussatz

(mit der Seite beginnen, die dem größten Winkel gegenüberliegt)

Die übrigen Seiten b und c können über den Sinussatz berechnet werden

Alternativen: Alle Seiten über den Winkelkosinussatz oder über die Halbseitensätze

Durch zyklisches Vertauschen ergeben sich die Formeln die Seiten b und c.

5.6 Berechnung rechtwinklig sphärischer Dreiecke

Analog dem Vorgehen in der ebenen Trigonometrie lassen sich auch in der sphärischen Trigonometrie durch Benutzung rechtwinkliger Dreiecke Vereinfachungen der Rechnungen erzielen. Polar zum rechtwinkligen gibt es das rechtseitige Dreieck, wenn eine Ecke auf der Polaren zum Pol einer zweiten Ecke liegt. Das rechtseitige sphärische Dreieck findet selten Anwendung!

Die Grundgleichungen für das rechtwinklige sphärische Dreieck lassen sich aus den Beziehungen des allgemeinen Kugeldreiecks herleiten, wenn für einen Winkel 90° gesetzt wird.

Mit sin90°=1 und cos90°=0 ergeben sich 10 Formeln, die Neper in einem Satz zusammengefasst hat:

Nepersche Regel

Im rechtwinklig sphärischen Dreieck ist der Kosinus eines Stückes gleich dem Produkt der Kotangenten der anliegenden oder gleich dem Produkt der Sinus der nichtanliegenden Stücke, wenn man den rechten Winkel nicht mitzählt und die Katheten durch ihre Komplemente ersetzt bzw. für die Katheten die Kofunktionen wählt. Kotangens: cot = 1/tan

γβα2δmitγ)β)cos(δcos(δ

α)cos(δcosδ

2

atan

sinγsinβ

cosγcosβcosαcosa

sinα

sinasinγsinc sowie

sinα

sinasinβsinb


fhm 2007 Lother

Sinussatz (1) und (2):

Seitenkosinussatz (3): cosbcosacosc

Diese Formel wird als der sphärische pythagoreische Satz bezeichnet.

Winkelkosinussatz (4) und (5): Aus diesen 5 Beziehungen lassen sich weitere Zusammenhänge finden:

Aus (4) und (5) folgt nach (3): cotβcotαcosc

Aus (1) und (3) folgt nach (5): cotctanacosβ

Aus (2) und (3) folgt nach (4): cotctanbcosα

Aus (5) und (2) folgt nach (1): cotβtanbsina

Aus (4) und (1) folgt nach (2): cotαtanasinb

Die Formeln gelten auch für das rechtseitige Dreieck, da beim Übergang zum Polardreieck der polare Winkel der 90°-Seite ein rechter Winkel wird, so dass wieder ein rechtwinkliges Dreieck entsteht.

sincsinβsinb

sincsinαsina

cosbsinαcosβ

cosasinβcosα

Trigonometrie / Geographische Koordinaten 53

fhm 2007 Lother

6. Geographische Koordinaten auf der Kugel

In der Geographie und für viele Aufgaben in der Navigation reicht es aus die Erdfigur als Kugel aufzufassen. Damit ergeben sich Rechenformeln, die eine einfache und meist ausreichend genaue Ermittlung von Größen gestatten. Die beste Näherung erreicht man dabei, wenn man eine Kugel vom Radius R = 6371 km annimmt, die dem Erdellipsoid etwa oberflächen- und volumengleich ist. Für diese Kugel ergeben sich:

Umfang aller Großkreise (damit auch Äquator und Meridiane) 2Rπ ≈ 40030 km Umfang eines Breitenkreises mit der Breite φ 2Rπcosφ Länge eines Breitenkreisabschnittes zwischen A , und A2 2Rπcosφ(λ2-λ1)°/360° Oberfläche der gesamten Kugel 4R2π ≈ 510 Mio. km2

6.1 Festlegung des Koordinatensystems

Für die Ortsbestimmung ist ein Koordinaten-system eingerichtet, mit dem Positionen auf der Erdoberfläche eindeutig festgelegt werden können, das Gradnetz der Erde. M Erdmittelpunkt N, S Nord- und Südpol, Erdachse Äquator Großkreis dessen Polare die

Erdachse bildet, Breite φÄ=0o Breitenkreis Kleinkreis dessen Ebene parallel

zur Äquatorebene verläuft (Parallel-kreis); Breite φP

Meridian Großkreis durch Nord- und Südpol (Längenkreis) steht auf dem Äquator senkrecht)

Nullmeridian Meridian von Greenwich, Länge λo=0o

Ortsmeridian Meridian λP durch den Ort P Ursprung des Koordinatensystems bildet der

Schnittpunkt des Nullmeridians mit dem Äquator.

Die geographische Länge λp ist der Winkel zwischen den Großkreisebenen des Nullmeridians und des Ortsmeridians, bzw. der Äquatorbogen vom Ursprung des Systems zum Schnittpunkt des Ortsmeridians mit dem Äquator.

Vereinbarung: Die Zählung der geographischen Länge erfolgt vom Nullmeridian aus nach Westen von 0o bis -180o und vom Nullmeridian aus nach Osten von 0o bis +180o. Die geographische Breite φp ist der Abstand (Großkreisbogen des Ortsmeridians) vom Äquator bis zum Ort P.

Vereinbarung: Die Zählung der geographischen Breite erfolgt vom Äquator aus nach Norden von 0o bis +90o und vom Äquator aus nach Süden von 0o bis -90o.

Anmerkung: Üblicherweise werden zur Festlegung der Zählrichtung an den geographischen Koordinaten die Himmelsrichtungen angebeben. Für die Anwendung der Formeln sind jedoch Vorzeichen erforderlich, Konvention: Länge W =(–), E=(+) Breite N=(+), S=(–).

λp

φp

λo

λ

Die Angabe der Koordinaten im Gradnetz erfolgt in Längen- und Breitengraden, diese werden als geographische Koordinaten eines Punktes P(φP,λP) bezeichnet.


fhm 2007 Lother

6.2 Geographisches Grunddreieck (Poldreieck)

Das Grunddreieck wird aufgespannt vom Nordpol und den beiden Orten P und Q. Die Seiten des Grunddreiecks werden gebildet durch: Meridianbögen vom Pol N zu den

Orten P und Q. Die Seiten entsprechen dem Komplement (90o- φ) der Breite φ eines Ortes

Großkreisbogen zwischen P und Q, der kürzesten Verbindung der beiden Punkte

Die Winkel des Grunddreiecks sind gegeben durch: Winkel zwischen den beiden

Meridianebenen, Längendifferenz der Orte P und Q (Δλ=λQ-λP)

Winkel in den Orten P und Q zwischen Meridianebenen und dem Großkreis durch P und Q

(Kurs) Anmerkungen

Kurswinkel im Punkt P ist der Winkel, zwischen dem Großkreisbogen durch die zwei Punkte P und Q und der Ebene des Ortsmeridians. Er wird von Nord über Ost gezählt (Uhrzeigersinn) von 0o bis 360o. Kurs nach Osten → Winkel zwischen 0o und 180o (Δλ=λQ-λP > 0) Kurs nach Westen → Winkel zwischen 180o und 360o (Δλ=λQ-λP < 0) Der Kurswinkel wird auch als Azimut bezeichnet.

Die kürzeste Verbindung zweier Punkte P und Q (der kürzere Bogen des Großkreises durch P und Q) wird auch als Orthodrome bezeichnet.

Entlang des Großkreisbogens ändert sich der Kurswinkel ständig, in der Naviga-tion wird deshalb noch die Loxodrome eingeführt, dies ist eine Linie auf der Kugel, die alle Meridiane mit demselben Kurswinkel schneidet.

Berechnung von Breitenkreis- und Meridianbogen

Breitenkreisbogen zwischen den Längen λ1, λ2

r = Rcosφ

Uφ = 2πr = 2πRcosφ

bφ = r |λo2 – λo

1|/ρo

Meridianbogen zwischen den Breiten φ1, φ2

bλ = R |φo2 – φo

1|/ρo|

P(λ,φ)

Äquator

Parallel-

kreis

r

R

φ

λQ –λP

λQ λP 0

o


fhm 2007 Lother

6.3 Entfernung und Kurswinkel aus den Koordinaten von zwei gegeben Punkten

Gegeben: die Punkte P(φP,λP) und Q(φQ,λQ) Bei Werten Δλ>180o wird Δλ=360o-Δλ gebildet, da im Eulerschen Dreieck die Winkel < 180o sein müssen.

Gesucht: Entfernung c=PQ, Winkel α und β

Grundaufgabe (Fall 2) SWS Die Entfernung c aus dem Seitenkosinussatz:

cosc = cos(90°- φQ) cos(90°- φP) + sin(90°- φP) sin(90°- φP) cos(λQ-λP)

unter Verwendung der Komplementsätze (2.1.3) erhält man

cosc = sinφP sinφQ+cosφP cosφQ cosΔλ

Die Winkel α und β ergeben sich aus dem Sinussatz

Anmerkungen: Die Sinusfunktion liefert 2 Argumente, die Supplementwinkel voneinander sind. Es gilt jedoch

im sphärischen Dreieck, dass der größeren (größten) Seite der größere (größte) Winkel und umgekehrt dass dem größeren (größten) Winkel die größere (größte) Seite gegenüberliegt und dass die Winkelsumme > 180o ist, damit kann eindeutig entschieden werden.

Alternativ kann die Zählung der geographischen Länge λ vom Nullmeridian aus nach Westen von 0o bis +180o und vom Nullmeridian aus nach Osten von 0o bis –180o erfolgen, wobei P der Start- und Q der Zielpunkt ist. Dann wäre Δλ =λP-λQ zu bilden, die Formel wären sonst gleich [Länge W =(+), E=(–) Breite N=(+), S=(–)].

In der Astronomie ist die Zählung der Längengrade vom Nullmeridian aus nach Osten von 0o bis 360o festgelegt.

cc

cc

sin

sinΔcossinβ

sin

sinΔ

-sin(90

sinβ

sin

sinΔcossinα

sin

sinΔ

-sin(90

sinα

P

P

Q

Q

N

Q (östlicher Punkt)

P(westlicher Punkt)

90°-

φQ

90°-

φP

Längendifferenz Δλ=λQ-λP

Δλ

α

β

c Azimut

Quadrant Δλ=λQ-λP Δφ=φQ-φP Azimut= I = NO

+ + α

II = SO – 180o - α

III = SW

– – 180

o + |α|

IV = NW + 360o

- |α|

erhält das Vorzeichen von , dh. postiv, wennpositiv Ostkurs

negativ, wennnegativ Westkurs


fhm 2007 Lother

6.4 Koordinate eines Punktes aus Entfernung und Kurswinkel von einem gegeben Punkt aus

Gegeben: der Punkt P(φP,λP), die Entfernung c und der Kurswinkel α (Bei Werten >180o wird =360o- gebildet, da im Eulerschen Dreieck die Winkel < 180o sein müssen)

Gesucht: der Punkt Q(φQ,λQ) Grundaufgabe (Fall 2) SWS

Die Breite φQ aus dem Seitenkosinussatz:

cos(90°-φQ) = cos(90°-φP)cos c + sin(90°-φP) sinc cosα

unter Verwendung der Komplementsätze (2.1.3) erhält man

sinφQ = cosc sinφP+sinc cosφP cosα

Der Längenunterschied Δλ und der Winkel β ergeben sich aus dem Sinussatz

Der Kurs der Titanic

Vom Fastnet-Leuchtfeuer (Breite φF = 51° 3‘ N; Länge: λF = 9° 5‘ W) an der südirischen Küste fuhr die Titanic auf einem

Großkreisbogen zum Corner (Breite φC = 42° N; Länge λc = 47° W) mitten im Atlantik und von dort auf einem weiteren

Großkreisbogen in Richtung Nantucket-Leuchtfeuer (Breite φN = 41° N; Länge λN = 70° W), 30 Seemeilen vor der Küste von

Massachusetts bei Cape Cod.

Als Captain Smith diese Route der Titanic festlegte, musste er folgende Aufgaben lösen:

Aufgabe 1: Wieviele Seemeilen waren es bis zur Corner?

Aufgabe 2: Wieviele Seemeilen waren es von der Corner bis nach Nantucket?

Aufgabe 3: a) Wieviele Seemeilen ist der Weg über die Corner länger als der kürzest mögliche Weg?

b) Wieviel zusätzliche Zeit mehr musste er dadurch bei 22 kn Geschwindigkeit einrechnen?

Beim Fahren auf einem Großkreis muss der Kurs kontinuierlich geändert werden. Daher musste Captain Smith zusätzlich

ausrechnen:

Aufgabe 4: Unter welchem Kurs muss die Titanic abfahren?

Aufgabe 5: Um welchen Betrag muss der Kurs an der Corner geändert werden?

Anmerkungen: 1. Auf der Erdkugel ist die Länge der Seemeile festgelegt als eine Bogenminute auf einem Großkreis.

2. Ein Knoten (kn) ist 1 Seemeile/Stunde

3. Der Kurs (Azimut) wird von N über O, S und W gezählt.

N

Q

P

90°-

φQ

90°-

φP


Δλ

α

β

c Azimut

Q

PPQ

Q cos

sinαcossinβΔλλλ

cos

sinαsincΔλsin

λP

Trigonometrie / Funktionswerte 57

fhm 2007 Lother

7. Funktionswerte der Winkelfunktionen

Trigonometrische Funktionen sind transzendente Funktionen, d.h. sie lassen sich nicht durch algebraische Funktionen (Polynome) streng darstellen. Es soll hier der heute gängige Weg zur Berechnung der Funktionswerte über Potenzreihen aufgezeigt werden.

7.1 Funktionswerte kleiner Winkel

Für spitze Winkel gilt die Ungleichung

sin < < tan ist der Winkel im Bogenmaß Der Winkel im Bogenmaß ergibt sich aus

= b/r = o/o = g/g

o bzw. g ist der Winkel in Grad- bzw. Neugrad, o=180o/, g=200o/

Geometrischer Nachweis der Ungleichung

Dreieck ABC: F1= r sin/2 = sin/2 Sektor ABC: F2= r2*/2=/2 Dreieck ABT: F3= r tan/2 = tan/2

F1 < F2 < F3 Grenzwerte Daraus folgen für kleine Winkel die Beziehungen:

sin tan und cos 1

Winkel [o ‘ “]

sin tan cos

1o 0.01745240 0.01745329 0.01745506 0.99984770 30‘ 0.00872654 0.00872665 0.00872687 0.99996192 6‘ 0.00174533 0.00174533 0.00174533 0.99999848

1

1 si

n

tan

A B

C T

1tan

und1sin

00

limlim


fhm 2007 Lother

γ

z

α x

y

β

Anwendungsbeispiel: Mit den Beziehungen für kleine Winkel lassen sich z.B. Koordinatentransformationen, bei denen die Achsen der Koordinatensysteme annähernd parallel sind, wesentlich vereinfachen. Die Drehung eines rechtwinkligen Koordinatensystems im Raum ist gegeben durch die Rotationsmatrix R

coscosγ cosαsinγ+sinαsinβcosγ sinαsinγ-cosαsinβcosγ R = -cosβsinγ cosαcosγ-sinαsinβsinγ sinαcosγ+cosαsinβsinγ

sinβ -sinαcosβ cosαcosβ

Bei der Änderungen des Bezugssystems (Datumstransformation), wie sie häufig in Geoinformationssystemen gebraucht wird, sind die Winkel α,β,γ kleine Winkel. Die Rotationsmatrix R lässt sich durch Anwendung der Beziehungen für Funktionswerte kleiner Winkel wesentlich vereinfachen:

1 γ -β R = -γ 1 α

β -α 1

7.2 Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Die Ableitung y‘=dx/dy der Winkelfunktionen wird am Sinus aufgezeigt, wobei der Diffe-rentialquotient (Ableitung) als Grenzwert des Differenzenquotienten hergeleitet wird.

Differenzenquotient:

Differentialquotient:

Aus der Grafik lässt sich auch erkennen, dass y‘ = tanα ist. Dies gilt allgemein für die Ableitung einer Funktion y=f(x). Daraus ergibt sich die geometrische Deutung der Ableitung: Die Ableitung einer Funktion an der Stelle x ist gleich dem Tangens des Steigungswinkels α der Tangente an die Kurve im Punkt (x,y).

y

x

y = f(x) = sinx

x Δx

y=

sin

x

Y=sin(x+Δx)

Δy α

Δx

sinxΔx)sin(x

Δx

f(x)Δx)f(x

Δx

Δy

Δx

sinxΔx)sin(xlim

dx

dy

Δx

f(x)Δx)f(xlim

dx

dy

0

0

x

x

Δx

Δxcos

Δx

sinx-Δx*cos*1sinx

Δx

sinx-ΔxsincosΔxcossincos

Δx

sinxΔx)sin(xlim

dx

dy'

0

xxxxxy

x


fhm 2007 Lother

Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion

Funktion 1. Ableitung 2. Ableitung n-te Ableitung f(x)y

dx

dy(x)f'y'

2

2

dx

yd(x)'f''y'

ndx

yn

d(x)

(n)f

(n)y

sinα cosα -sinα sin(α+nπ/2) cosα -sinα -cosα cos(α+nπ/2)

(siehe 2.4.1) „Drehung 90o“ „Drehung 180o“ „Drehung n*90o“

Ableitung der Tangensfunktion y = tanx = sinx/cosx nach der Quotientenregel der Differentialrechnung folgt

xtan1xcos

1

xcos

sinxsinxcosxcosxy' 2

22

7.3 Potenzreihen für trigonometrische Funktionen

Potenzreihen sind unendliche Reihen, die nach steigenden Potenzen ihres Arguments fortschreiten; sie haben die Form

Die einzelne Glieder der Reihe bestehen aus den Konstanten ak und den steigenden Potenzen xk unabhängigen Variablen x. Potenzreihen liefern eine beliebige Näherung an den wahren Wert nichtalgebraischer (transzendenter) Funktion, z.B. sinx, cosx, lnx,

Zur Herleitung der Winkelfunktionen wird die MACLAURINsche Form der Taylorreihe benutzt, wobei die Funktion f(x) an der Stelle x0=0 durch eine Reihe dargestellt wird. Voraussetzung ist, dass alle Ableitungen von f(x) an der Stelle x0=0 existieren.

Bildung der Ableitungen von sinx ergibt:

An der Stelle x0=0 folgt:

Aus der Reihe folgt, die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion, denn infolge der ungeraden Potenzen von x auf der rechten Seite gilt sin(-x) = - sin(x). In einer Potenz-reihe für ungerade Funktionen treten nur ungerade Potenzen von x auf.

k

1k

k

3

3

2

210 xa...xaxaxaaf(x)

R(x)xk!

(0)f....x

3!

(0)fx

2!

(0)'f'x

1!

(0)f'f(0)f(x) k

k3

(3)2

sinx(x)fcosx(x)fsinx(x)'f'cosx(x)f' (4)(3)

|x|für 1)!(2n

x1)(...

11!

x

9!

x

7!

x

5!

x

3!

xxsinx

0n

12nn

119753


fhm 2007 Lother

Die Potenzreihen für Kosinus und Tangens lassen sich in gleicher Weise herleiten; sie lauten:

Aus der Reihe folgt, die Kosinusfunktion ist eine gerade Funktion, denn infolge der geraden Potenzen von x auf der rechten Seite gilt cos(-x) = cosx. In einer Potenzreihe für gerade Funktionen treten nur gerade Potenzen von x auf.

Beispiel: sin 30°= ½=0.5000000000 =0.5235987756 [rad]

Näherung Wert Differenz 1. 0.523 598 7756 -0.023 598 7756 2. 0.499 674 1794 +0.000 325 8206 3. 0.500 002 1326 -0.000 002 1326 4. 0.499 999 9919 +0.000 000 0081 5. 0.500 000 0000 0.000 000 0000

7.4 Genauigkeitsbetrachtungen

Für die Rechenschärfe bei trigonometrischen Funktionen gilt, das sie beim Tangens im geamten Definitionsbereich ausreicht. Bei der Sinus- und Kosinusfunktion treten im jedoch im Bereich der Maxima und Minima numerische Unschärfen auf.

Beispiel: Betrachtung eines Intervalls y=0,00001o

im Bereich 0o im Bereich 90o y = sin x x = arcsin y y = sin x x = arcsin y

y1=0.10000 x1=5.73917 y1=0.99888 x1=87.2880 y2=0.10001 x2=5.73974 y2=0.99889 x2=87.3002

x2-x1=0,00057 x2-x1=0.0122 y=0.00001 x=0,00057 y=0.00001 x=0.0006

|d|=0.00000 |d|=0.0116 Daraus folgt: Falls vermeidbar sollten die Winkel beim Sinus und Kosinus nicht in der Nähe der Kurvenextrema bestimmt werden, d.h. man sollte nicht vom Funktionswert auf den Winkel schließen; die Umkehrung ist unbedenklich. “Unscharfe Bereiche”: sin: 85o – 95o und 265o – 275o cos: -5o – 5o und 175o – 185o

|x|für 2n!

x1)(...

10!

x

8!

x

6!

x

4!

x

2!

x1cosx

0n

2nn

108642

2

π|x|für .... x

2835

62x

315

17x

15

2x

3

1xtanx 7753

Trigonometrie / Goniometrische Gleichungen 61

fhm 2007 Lother

8 Goniometrische Bestimmungsgleichungen

Goniometrische Bestimmungsgleichungen sind Gleichungen, in denen die Werte von Unbekannten zu bestimmen sind, die als Argumente trigonometrischer Funktionen auftreten (rein-goniometrische Gleichungen). Tritt in diesen Gleichungen auch die Unbekannte selbst auf, so werden sie gemischt-goniometrische Gleichungen genannt. Beide Gleichungsarten sind wegen der auftretenden transzendenten Funktionen transzendent. Sie lassen sich im allgemeinen nicht formelmäßig lösen, es lassen sich jedoch stets graphische Lösungen oder Lösungen auf Basis numerischer Näherungs-verfahren (mit beliebiger Genauigkeit) angeben. 8.1 Rein-goniometrisch Gleichungen (Beispiel)

Die Lösung wird durch Rückführen auf eine Funktionsart und Ermitteln aller möglichen Ergebnisse innerhalb der Hauptwerte gefunden.

Probe:

8.2 Gemischt-goniometrisch Gleichungen (Beispiel)

Dieser Typus von Gleichungen ist nicht geschlossen lösbar. Eine Lösung wird wie folgt gefunden:

Gleichung in geeignete Funktionen zerlegen Graphisch darstellen Näherungswert bestimmen und verbessern

0tansin xx

0sin xx

321 0

1001

1

00

xxx

xxx

x

x

xxxx

cossin)cos

(*sin

cos

sinsintansin

0tansin

0tansin

0tansin

33

22

11

xx

xx

xx


fhm 2007 Lother

Beispiel:

Abgelesen wird ein x-Wert von 2,2 (=x0)

Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung:

Newtonsches Näherungsverfahren

Reicht die Genauigkeit des grafischen Wertes im vorangegangenen Beispiel nicht aus ergeben sich verbesserte Werte nach dem Newtonschen Näherungsverfahren.

Fortführung des Beispiels: Falls der Wert verbessert werden soll, kann der Vorgang beliebig oft wiederholt werden.

Falls die Abweichung zu groß ist, Iteration wiederholen, aus

xk xk+1 Solange wiederholen, bis die gewünschte Genauikeit erreicht wird.

712

0712

,,cos

,cos

xyxy

xx

0114980712

22220 ,,

,,cos)( xf

0000230712

:Probe

20878823084961

011498022

30849612

1

11

0

001

00

,,cos

,,

.,

)('

)(

,sin)(

xx

xf

xfxx

xxf

nkfürxf

xfxx

k

kkk ,...,,

)('

)(101


fhm 2007 Lother

Einige Lösungsansätze

Substitution Umformung in eine direkte Bestimmungsgleichung Umwandlung in ein Produkt vom Werte 0 mit einfachen Faktoren Umwandlung, so daß nur eine Funktion stehen bleibt Von 2 Unbekannten eine durch die andere ersetzen Graphische Lösung

Anmerkungen zu goniometrischen Gleichungen:

Goniometrische Gleichungen enthalten neben bekannten Größen Winkelfunktionen unbekannter Größen. Rein-goniometrische Gleichungen können rechnerich gelöst werden, wobei folgende Strategien zur Ermittlung der Lösungen eingesetz werden können: Vorkommende verschiedene Winkelfunktionen müssen durch eine ersetzt werden

(Additionstheoreme) Winkelfunktionen verschiedener Argumente sind auf das gleiche Argument

zurückzuführen (Substitution) Ist eine der Seiten der Gleichung null, und lässt sich die andere Seite in

Produktform schreiben, so setzt man die einzelnen Faktoren gleich Null. Wegen der Periodizität der Winkelfunktionen ist jede goniometrische Gleichung

unendlich vieldeutig, man beschränkt deshalb die Lösungen auf den Bereich der Hauptwerte.

Jede Lösung ist durch Einsetzen in fir Ausgangsgleichung zu überprüfen. Man erhält z.B. zu viele Lösungen, wenn man während der Auflösung den Grad der Gleichung durch Quadrieren erhöht.

Für Gemischt-goniometrische Gleichungen kommt nur eine Näherunglösung in Frage, bei der man grafisch Startwerte für das Newton-Verfahren ermitteln kann, mit dem dann die Werte iterativ bis zur benötigten Genauigkeit berechnet werden könnnen. Eine grafische Lösung erhält man, wenn man die linke und rechte Seite der Gleichun-gen als je eine Funktion von x auffasst und diese grafisch darstellt. Die Lösungen fin-det man als Abszissen der Schnittpunkte der beiden Kurven.


fhm 2007 Lother

8.3 Die allgemeine Sinusfunktion oder harmonische Funktion

Viele Vorgänge in Natur und Technik lassen sich auf Schwingungen zurückführen, z.B. in der Wechselstrom- oder Hochfrequenztechnik, besonders bei zeitabhängigen Prozessen, aber auch in der Bildverarbeitung wird ein Bild als Überlagerung von Signalen mit verschiedenen Wellenlängen (Frequenzbereich) dargestellt. Die mathematische Beschreibung von periodischen Vorgänge führt auf die Sinus- oder Kosinusfunktion. Allerdings ist nicht zu erwarten, daß der größte Ausschlag einer Schwingung, die Amplitude, den Wert 1 hat, dass die Wellenlänge stets 2 hat, oder daß die Messung gerade dann beginnt, wenn die Sinusfunktion den Wert 0 hat.

8.3.1 Grundfunktion y = sin(t)

Mit 3 Änderungsgrößen (Parametern) läßt sich die Grundfunktion variieren:

Koeffizient a, der die Amplitude (Intensität) steuert: y = a*sin(t)

a>1 Amplitude vergrößern a<1 Amplitude verkleinern a<0 Spiegeln an der t-Achse

Die Höhe der Schwingung wird eingestellt

Koeffizient , der die Schwingungshäufigkeit (Frequenz) steuert: y = sin(t) mit Kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit)

>1 Funktion "stauchen"

<1 Funktion "strecken"

<0 Schwingung ins Negative (nach links) Die Länge der Schwingung wird eingestellt

Konstante , die die Phasenverschiebung (-differenz) steuert: y = sin(t+) Entspricht dem Winkel, um dem die gegebene Kurve der Sinuskurve “voreilt” oder “nachhinkt”.

Beispiel: t

ttt

cos 0

90sin*cos90cos*sin)90sin(

Es zeigt sich, dass Sinus- und Kosinusfunktion sich nur um die Phase = π/2 (90o) unterscheiden

Die Anfang der Schwingung (die Phase) wird eingestellt

sdauerSchwingung2

Sekunde) proen Schwingungder Anzahl(T

1ff2π

T

2πω

T

mit


fhm 2007 Lother

8.3.2 Allgemeine Sinusfunktion (Harmonische Funktion)

Allgemeine Sinusfunktion

Sinusfunktion: Variation der Amplitude (Schwingungshöhe)

Sinusfunktion: Variation der Wellenlänge (Schingungslänge)

Sinusfunktion: Variation der Phase (Schwingungsanfang)

ayachWertebereipPeriode

tayodertay

:2:

)](sin[)sin(


fhm 2007 Lother

8.3.3 Überlagerung von Schwingungen

Superposition zweier gleichfrequenter Sinusschwingungen

Die ungestörte Überlagerung zweier gleichfrequenter Sinusschwingungen vom Typ

Ergibt eine resultierende Schwingung der gleichen Frequenz

Superimposition von trigonometrischen Funktionen

Von Superimposition spricht man bei der Überlagerung von beliebigen trigonometri-schen Funktionen. Wirken mehrere Schwingungszustände gleichzeitig, so addieren sich ihre Wirkungen: Neben rechnerischem Aufaddieren über Wertetabellen kann man die resultierende Funktion auch durch graphisches addieren der Funktionswerte der Einzelfunktionen erhalten.

Die Überlagerung (Superposition, Superimpostion) von Schingungen hat eine große

Periodische Vorgänge lassen sich unter bestimmten Voraussetzungen aus Summen (Überlagerungen) von unendlich vielen Sinusschwingungen mit unterschiedlichen Wellenlängen (bzw. unterschiedlicher Frequenz), als unendliche trigonometrische Reihe, darstellen (Fourierreihe, Fouriertransformation) siehe digitale Bidlverarbeitung.

xxyyy

xy

xy

2cossin2

2cos

sin2

21

2

1

2211

22112121

2

2

2

1

21222111

cos*cos*

sin*sin*tan)cos(2

00,0)sin()sin(

aa

aaundaaaaa

undaamittaytay

)tsin(ωayyy21

Trigonometrie / Einführung III

fhm 2007 Lother

FORMELZUSAMMENSTELLUNG TRIGONOMETRIE

Trigonometrie / Formelzusammenstellung F-1

fhm 2007 Lother

Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

Definition im rechtwinkligem Dreieck für spitze Winkel [0o,90o] Wichtige Zusammenhänge Berechnung rechtwinkliger Dreiecke (vier Grundaufgaben) 1 Hypotenuse und Winkel 2 Kathete und Winkel 3 Hypotenuse und Kathete 4 Beide Katheten

Anwendung: Rechtwinklige Dreiecke sind die wichtigste Grundfigur bei der Lösung von Messproblemen, sie treten häufig auf, weil:

Lage- und Höhe senkrecht zueinander sind rechtwinklige Koordinatensysteme verwendet werden

Geg

enk

ath

ete

90o

Hypothenuse

Ankathete

A B

C

b a

c Ankathete

teGegenkathe

b

atanα

eHypothenus

Ankathete

c

bcosα

eHypothenus

teGegenkathe

c

asinα

122 cossin

cos

sintan

Aufgabe a b c

1 (c, ) c sin c cos 90o-

2 (a, ) a / tan a / sin 90o-

(b,) b tan b / cos 90o-

3 (a, c) 22ac sin = a/c cos = a/c

(b, c) 22bc cos = b/c sin = b/c

4 (a, b) 22ba tan = a/b tan = b/a


fhm 2007 Lother

+Y

+X

B1

B2

B3

B4

B0

r=1

C3

sin

=O

rd

ina

te

cos=AbszisseO

tan

cos

sin

x

y

Abszisse

Ordinatetan

r

x

Radius

Abszissecos

r

y

Radius

Ordinatesin

Quadrant I II III IV sign(x,y) (+,+) (-,+) (-,-) (+,-) sin + + - -

cos + - - +

tan + - + -

Sinus erhält das Vorzeichen der Ordinate y Kosinus erhält das Vorzeichen der Abszisse x

Winkelfunktionen am Kreis

Definition am Einheitskreis (r=1) für Winkel [0o,360o] Abszisse ist die senkrechte Projektion des Radius auf die x-Achse. Ordinate ist die senkrechte Projektion des Radius auf die y-Achse. Ordinate Y SINUS Abszisse X KOSINUS

Definition für beliebige r Definition für beliebige reelle Argumente

sin(+n*2) = sin cos(+n*2) = cos tan(+n*) = tan Arkusfunktionen

Der Winkel ist für jeden möglichen Wert von sin, cos, tan im Intervall [0o-360o] zweideutig: , 180°- haben denselben Sinus , - haben denselben Kosinus , 180°+ haben denselben Tangens

Zusammenhang zwischen rechtwinkligen Koordinaten und Polarkoordinaten

Hauptwerte

22

0

22

y

y

y

arctan

arccos

arcsin

x

yyxrrxry arctancossin 22


fhm 2007 Lother

Trigonometrischer Formeln

3

„Pythagoras-Gleichungen“

Winkelsummen Doppelte Winkel Halbe Winkel

Summen und Produkte von Funktionen


fhm 2007 Lother

Sätze über Beziehungen im schiefwinkligen ebenen Dreieck

Nach den Kongruenzsätzen ist ein ebenes Dreieck durch drei

voneinander unabhängige Stücke bestimmt,

worunter mindestens eine Seite sein muss

++=180°

Der Sinus- und Kosinussatz stellen Beziehungen zwischen vier Stücken des Dreiecks her, damit kann aus drei gegebenen Stücken das vierte berechnet werden.

Sinussatz

(Proportion)

Anwendung: WWS WSW | SSWg SSWk

Kosinussatz

Anwendung: SWS | SSS

Flächenformeln für das Dreieck

Grundlinie und Höhe F= ½ chc Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) F= ½ ab sin Drei Seiten (SSS), mit s = (a+b+c)/2 Inkreisradius ρ und Umkreisradius r

1 2

a a b

SSWk ab wobei a<b

A B

C

b a

c

sinγ

c

sinβ

b

sinα

a

2abcosγbac

2cacosβacb

2bccosαcba

222

222

222

2ab

cbacosγ

2ca

cbacosβ

2bc

cbacosα

222

222

222

a b

<90o

>90o

c Der Kosinussatz gilt als

Verallgemeinerung des Satzes

vom Pythagoras

c)b)(sa)(ss(sF

sc)(s*b)(s*a)(s

ρ

sinγ

c

sinβ

b

sinα

a2 r


fhm 2007 Lother

Berechnungen im ebenen Dreieck (4 Hauptfälle)


fhm 2007 Lother

Sätze über Beziehungen im schiefwinkligen sphärischen Dreieck

Nach den Kongruenzsätzen ist ein sphärisches Dreieck durch drei voneinander unabhängige Stücke bestimmt

Auf der Kugel lassen sich auch Längen und Flächen durch Winkel angeben.

Für die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks gilt 180° < (++) < 540°

Die Differenz ε = (++) - 180° ist der sphärische Excess

Für die Seitensummen eines sphärischen Dreiecks gilt 0° < (a+b+c) < 360°

Die Differenz δ = 360°- (a+b+c) ist der sphärische Defekt

Die folgenden Sätze stellen eine Beziehung zwischen vier Stücken des sphärischen Dreiecks her, damit kann aus drei gegebenen Stücken das vierte berechnet werden.

Sinussatz Anwendung: SSW | WWS

(Die Berechnung der 3.Seite und des gegenüberliegenden Winkels kann mit den Neperschen Analogien erfolgen)

Seitenkosinussatz

Anwendung: SWS | SSS

(Die Berechnung der übrigen Stücke mit dem Sinussatz)

Winkelkosinussatz

Anwendung: WSW | WWW

Die Berechnung der übrigen Stücke mit dem Sinussatz)

Umrechnung einer Seite vom Bogen- ins Längenmaß

Dreiecksfläche

γ

c

β

b

α

a

γβαcba

sin

sin

sin

sin

sin

sin

sin:sin:sinsin:sin:sin

γbabac

βacacb

αcbcba

cossinsincoscoscos

cossinsincoscoscos

cossinsincoscoscos

cβαβαγ

bαγαγβ

aγβγβα

cossinsincoscoscos

cossinsincoscoscos

cossinsincoscoscos

εRε*180

πR)180γβ(α

180

πRF 2

2ooo

2

R

π

180ρmit

o

ρ

R

cc

ρ

cRc

ρ

c

R

cc

[m][m]

[m]

[m]


fhm 2007 Lother

cc sin

sinΔcossinβ

sin

sinΔcossinα PQ

Q

PPQ

Q cos

sinαcossinβΔλλλ

cos

sinαsincΔλsin

Geographische Koordinaten

Die geographische Länge λp ist der Winkel zwischen den Großkreisebenen des Nullmeridians und des Ortsmeridians, bzw. der Äquatorbogen vom Ursprung des Systems zum Schnittpunkt des Orts-meridians mit dem Äquator. Die Zählung der geographischen Länge erfolgt vom Nullmeridian aus nach Westen von 0o bis –180o und vom Nullmeridian aus nach Osten von 0o bis +180o.

Die geographische Breite φp ist der Abstand (Großkreisbogen des Orts-meridians) vom Äquator bis zum Ort P. Die Zählung der geographischen Breite erfolgt vom Äquator aus nach Norden von 0o bis +90o und vom Äquator aus nach Süden von 0o bis -90o.

Grundaufgaben

Gegeben: Punkte P(φP,λP) und Q(φQ,λQ) Gesucht: Entfernung c=PQ, Winkel α und β

Die Entfernung c aus dem Seitenkosinussatz

cosc = sinφP sinφQ+cosφP cosφQ cosΔλ

Die Winkel α und β ergeben sich aus dem Sinussatz

Gegeben: Punkt P(φP,λP), die Entfernung c=PQ und der Kurswinkel α Gesucht: Punkt Q(φQ,λQ)

Die Breite φQ aus dem Seitenkosinussatz

sinφQ = cosc sinφP+sinc cosφP cosα

Der Längenunterschied Δλ und der Winkel β ergeben sich aus dem Sinussatz

Sinusfunktion liefert 2 Argumente, die Supplementwinkel voneinander sind. Es gilt jedoch, dass der größeren (größten) Seite der größere (größte) Winkel oder umgekehrt dass dem größeren (größten)

Winkel die größere (größte) Seite gegenüberliegt, damit kann eindeutig entschieden werden.

λp

φp

λo

λ

N

90°-

φQ

90°-

φP


Δλ

α

β

c Azimut

Vorzeichen

Länge: W =(–), E=(+) Breite: N=(+), S=(–)

Quadrant Δλ=λQ-λP Δφ=φQ-φP Azimut=

I = NO

+ + α

II = SO – 180o - α

III = SW

– – 180o + |α|

IV = NW + 360o - |α|

P

Q

Trigonometrie / Einführung IV

fhm 2007 Lother

ÜBUNGSAUFGABEN TRIGONOMETRIE

1. Übungsblatt Trigonometrie

fhm 2007 Lother

Winkelmaße 1.1 Umrechnungen von Winkelmaßen

Grad Dezimalgrad Neugrad Bogenmaß Grad (o ‘ “) 17 2 52 Dezimalgrad 84.1221 Neugrad 58.0814 Bogenmaß 2.191994 1.2 Bogenberechnung aus Winkeln Im militärischen Bereich werden Winkel in Strich gemessen. Der Vollkreis ist in 6400 Strich geteilt. Welche Querabweichung ergibt eine Winkeländerung von 1 Strich bei einer Entfernung von 1 km ? In der Nautik ist eine Seemeile festgelegt als ein Bogen von 1‘ auf einem Großkreis. Wie lang ist eine Seemeile in km, wenn der Erdradius näherungsweise 6371 km beträgt ? 1.3 Winkelberechnung aus Bogen Welche Winkelabweichung in Neugrad ist zu erwarten, wenn sich ein Signal in einer Entfernung von 650 m um 10 cm quer zur Zielrichtung verändert ? Welche Winkeländerung in Grad erfährt eine geodätische Breitenangabe, wenn ein Punkt auf dem Meridian (r=6371 km) um 30 cm verschoben wird ?

2. Übungsblatt Trigonometrie Zusammenhänge zwischen trigonometrischen Funktionen

2.1 Vereinfache die folgenden Ausdrücke

=+

++−

=+−+

+

=+

=−

=−

++

α

αααα

ϕϕϕϕ

ϕ

γγ

ε

ε

ε

β

β

β

β

21

21222

2232

21

21

2

2

21

11

tan

tansintancos

sin)sin)(sin(cos

tan

tansin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

Kontrolle: Den Wert für Ausgangs- und Ergebnisausdruck mit dem ∠ 30o berechnen. Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

2.2 Berechne die fehlenden Stücke

Grundaufgabe a[m] b[m] c[m] αo βo

1 (c, α)

50.00 36o52‘12“

2 (a, α)

141.42 45o 0‘ 0“

(b,α)

86.60 30o 0‘ 0“

3 (a, c)

80.00 100.00

(b, c)

66.16 132.32

4 (a, b)

60.00 45.00

fhm 2007 Lother

3. Übungsblatt Trigonometrie Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck (Fortsetzung)

Zielrichtung 3.1 Berechne die Wurfweite BD Der Abwurfkreis beim Diskuswerfen hat den Durchmesser d = 2,5 m, sein Mittelpunkt sei M.

.

Bei einem Wurf wird der Diskus im Punkt A abgeworfen und trifft im Punkt D auf dem Rasen auf. Dieser Wurf weicht um α = 35° von der Zielrichtung ab. Die Entfernung von A nach Dist 40.00 ma) Wie weit liegt D von der Zielrichtung weg ? b) Als Wurfweite wird nicht die Flugstrecke AD gemessen,

sondern BD, wobei B der Schnittpunkt der Geraden MD mit dem Kreis ist.

c) Berechne den Unterschied zwischen der Flugstrecke AD und der gemessenen Wurfweite BD.

3.2 Berechne die Flughöhe AB Ein Heißluftballon B schwebt über einem See. Am Ufer des Sees steht ein 34 m hoher Turm FS. Ein Beobachter befindet sich im Punkt S. Um die Höhe des Ballons über dem See zu bestimmen, misst der Beobachter den Höhenwinkel α = 73° sowie den Tiefenwinkel β=75°, unter dem er das Spiegelbild B' des Ballons sieht. Das Spiegelbild B' entsteht durch Spiegelung von B an FA. 3.3 Berechne Horizontalentfernung e und Höhenunterschied h Nach den Enden eines Lattenab-schnittes L=3.00 m auf einer senkrecht stehenden Messlatte wurden die Höhenwinkel α1=20o56‘ und α2=19o13‘gemessen sowie die Instrumentenhöhe i=1.65 m und die Zielhöhe z=0.50 m. α1

α2

Höhenwinkel

e = Horizontalentfernung 90o i

h =

Höh

enun

ters

chie

d

z

L

fhm 2007 Lother

4. Übungsblatt Trigonometrie

Funktionen beliebiger Winkel, Arkusfunktionen

4.1 Rückführung Funktionen beliebiger Winkel auf Funktionen spitzer Winkel

Winkel ϕ spitzer Winkel τ sinϕ cosϕ tanϕ 117o20‘10‘‘ 90o+τ 27o20‘10“ cosτ -sinτ -1/tanτ 181o30‘00“ 210o15‘12“ 345o20‘10“ 355o55‘45“ - 43o20‘30“

sin2ϕ+cos2ϕ=1 und tanϕ=sinϕ/cosϕ

4.2 Arkusfunktionen, Bestimmung der Lösungen im Intervall [0o,360o]

Funktion Wert 1. Lösung Hauptwert α1 2. Lösung α2

0.71472 sinα -0.71472

0.12345 cosα -0.91234

1.78951 tanα -0.54213

falls α<0 α+360o

4.3 Berechnung des Richtungswinkels ϕ mit der arctan-Funktion

x y (ϕ) Hauptwert [Rechner]

f(sign(x,y))Quadrant

ϕ [0o-360o]

-171.45 210.34 (-+) II.Q -241.90 -310.41 345.88 -210.21 -0.17 451.15 0.00 -327.41

-432.10 0.50

ϕ

y

x

II(-+) I(++) Qua- drant III(--) IV(+-)

falls α<0 α+360o

4.4 Umrechnung von polaren in rechtwinklige Koordinaten

r ϕ x y 271.30 43o17‘20“ 415.20 123o45‘20“ 210.43 179o30‘41“ 345.66 245o20‘55“ 299.00 270o00‘00“

fhm 2007 Lother

5. Übungsblatt Trigonometrie Anwendung der Additionstheoreme 5.1 Bestimme die Funktionswerte für folgende Ausdrücke streng

==+

==

==

==

==

ooo

ooo

oo0

oo

oo

tan120sin15sin75120coscos15sin75

sin120sin15sin45cos15cos75sin15sin75

5.2 Vereinfache die folgenden Ausdrücke

=−−

=−++−++

=−++

=−+++

)60sin(αsinαβ)cos(αβ)cos(αβ)sin(αβ)sin(α

)45tan(α)45tan(α)120sin(α)120sin(αsinα

o

oo

oo

δ

Τ

τ

x

y

(0,0)

P

Y

X

xp

yp

Xp

S Yp

5.3 Drehung eines Koordinatensystems

Die Drehung eines Koordinatensystems um den Ursprung ist durch einen Punkt P gegeben, dessen Koordinaten im Ausgangs- und im Zielsystem bekannt sind.

2222PPPP YXyxS +=+=

Stelle sinδ und cosδ als Funktion der Abszissen und Ordinaten des gegeben Punktes dar.

fhm 2007 Lother

6. Übungsblatt Trigonometrie Anwendungen des Sinussatzes

α β

γ

c

b a

B

K 6.1 Zwei Winkel und eine Seite (WSW) Die Entfernung a zwischen einem Kirchturm K und einem Bodenpunkt B soll indirekt bestimmt werden. Dazu wurden die Länge der Basis c und die beiden Winkel α und β in den Basisendpunkten gemessen. Wie weit ist es vom Punkt B zum Kirchturm K ? c=270m, α=45o, β=55o

6.2 Zwei Seiten und der Gegenwinkel der längeren Seite (SSWg) Die Messung des Winkels α (CAB) ist nicht möglich, weil von A aus wegen eines Hinder-nisses der Punkt B nicht sichtbar ist. Der Winkel α wird deshalb indirekt bestimmt, wofür gemessen wurden:

fhm 2007 Lother

a=350m, b=450m, β=45o β α

γ

c

b a

A B

C

Wie groß ist der Winkel α ?

6.3 Zwei Seiten und der Gegenwinkel der kürzeren Seite (SSWk) Die Messung des Winkels β (ABC) ist nicht möglich, weil von B aus wegen eines Hinder-nisses der Punkt A nicht sichtbar ist. Der Winkel β wird deshalb indirekt bestimmt, wofür gemessen wurden:

α β

γ

c

b a

A B

C

a=350m, b=450m, α=35o

Wie groß ist der Winkel β ?

7. Übungsblatt Trigonometrie Anwendungen des Kosinussatzes 7.1 Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) Für die indirekte Bestimmung der Seite c wurden folgende Messungen durchgeführt:

α β

γ

c

b a a1=370 m, b1=520m, γ1=77o

Wie lang ist die Seite c1 ? In einem zweiten Dreieck wurden die Werte a2=455m, b2=621m, γ2=133o gemessen. Wie lang ist die Seite c2 ? 7.2 Drei Seiten (SSS) In einem Dreieck wurden alle Seiten gemessen.

α β

γ

c

b a a=334m, b=556m, c=713m Wie groß sind die Winkel α, β, γ ? Wie groß ist die Fläche des Dreiecks ? 7.3 Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) Für die indirekte Bestimmung des Abstandes zweier Pfeiler einer Industriemaschine wurden die Abstände der Pfeiler zu einem Messpunkt und der Winkel zwischen den Pfeilern bestimmt. α=61o40’29.8“ b=37.5440 m c=27.8201 m Wie groß ist der Abstand a der beiden Pfeiler ?

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8. Übungsblatt Trigonometrie Anwendungen des Sinus- und Kosinussatzes 8.1 Indirekte Entfernung Zwischen zwei Orten A und C liegt ein See. Von A aus führen zwei Wege nach C, der eine über B, der andere über D.

A

C B

D

α

β ε Gesucht ist die direkte Entfernung von A nach C und die Länge der beiden Wege ABC und ADC. Gemessen wurden: die Strecken: AB = 400m, AD = 400m die Winkel: α=36o36‘ β= 120o ε=43o12‘ 8.2 Standlinie

A B

C D

α1 β1 α2 β2

Die Entfernung zwischen zwei Mastspitzen soll bestimmt werden. Dazu wurde ein Standlinie AB angelegt und in den Endpunkten die Winkel zu den Mastspitzen gemessen. Gesucht ist die Entfernung CD der beiden Masten. Gemessen wurden: die Strecke: AB = 100m die Winkel: α1=50o α2=30o β1= 48o β2= 35o 8.3 Viereck

P

Q

A

B

α

β

Die Länge eines Tunnels von P nach Q soll bestimmt werden. Gemessen wurden: die Strecken: AB = 326m AP=287m BQ=135m die Winkel: α=105o β= 127o

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9. Übungsblatt Trigonometrie Berechnung sphärischer Dreiecke

9.1 Drei Winkel (WWW) Von einem sphärischen Dreieck sind die drei Winkel gegeben: α = 22o53‘ β = 40o12‘ γ = 144o23‘ Gesucht sind die 3 Seiten (a, b, c) im Gradmaß Wie lang sind die Seiten im metrischen Maß, wenn die Kugel einen Radius von 6370 km hat ? Wie groß sind der sphärische Exzess und die Fläche des Dreiecks? 9.2 Drei Seiten (SSS) Von einem sphärischen Dreieck sind die drei Seiten gegeben a = 43o04‘30“ b = 68o17‘20“ c = 75o48‘10“ Gesucht sind die 3 Winkel (α, β, γ) Wie groß sind der sphärische Exzess und die Fläche des Dreiecks, wenn die Kugel einen Radius von 6370 km hat? 9.3 Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS)

a = 43o04‘30“ b = 68o17‘20“ γ = 94o23‘30“ Gesucht sind die 3 unbekannten Stücke (c, α, β) 9.4 Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel (WSW)

α = 43o04‘30“ β = 68o17‘20“ c = 94o23‘30“ Gesucht sind die 3 unbekannten Stücke (a, b, γ)

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10. Übungsblatt Trigonometrie 10.1 Entfernung und Kurswinkel in Lissabon für Flug nach Moskau Gegeben: Koordinaten vom Start- und Zielpunkt Lissabon(39° N; 9° W), Moskau (56° N; 37°30‘ E) N

Q

P

90°-

φQ

90°-

φP


Δλ

α

β

c Azimut

Gesucht: Entfernung c von Lissabon nach Moskau und der Kurswinkel α in Lissabon Wie weit ist die kürzeste Entfernung von Lissabon nach Moskau, wenn man der Berechnung einen Erdradius von 6370 km zu Grunde legt ? (Lösung: c = 34°50‘ = 3872km, α =45°15‘) 10.2 Entfernung für Flug von Stuttgart nach Peking Gegeben: Koordinaten vom Start- und Zielpunkt Stuttgart (48°47' N; 9°12' E); Peking (39°54' N; 116°28' E);

Gesucht: Entfernung c von Stuttgart nach Peking im Gradmaß und in Kilometer, wenn man der Berechnung einen Erdradius von 6370 km zu Grunde legt

(Lösung: c = 70°35‘ = 7847km) 10.3 Zielpunkt für gegebene Entfernungen und Kurswinkel berechnen

Gegeben: Koordinaten vom Startpunkt Lissabon(39° N; 9° W) Entfernung c =3872km und Kurswinkel α = 45°15‘ zum Zielpunkt Erdradius 6370km

Gesucht: Koordinaten des Zielpunktes (Lösung: P(56° N; 37°30‘ E) Umkehrung der Aufgabe 10.1)

fhm 2007 Lother

Trigonometrie Für Geodäten

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