6. Trigonometrie -...

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6. Trigonometrie Die Trigonometrie ist nicht mehr eigener Bestandteil des Lernstoffs in der Mittelstufe. Sin, cos, tan wird z. B. im LS als Teil (2 kleine Abschnitte im Rahmen des Themas „Pythagoras“) behandelt. Sin, cos, tan werden (nur) innerhalb des Dreiecks definiert.

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6. Trigonometrie● Die Trigonometrie ist nicht mehr eigener

Bestandteil des Lernstoffs in der Mittelstufe. ● Sin, cos, tan wird z. B. im LS als Teil (2 kleine

Abschnitte im Rahmen des Themas „Pythagoras“) behandelt.

● Sin, cos, tan werden (nur) innerhalb des Dreiecks definiert.

Definition von sin, cos, tan

● Allgemeine Bezeichnungen!

Üben !● Die allgemeine Formulierung muss an

Beispielen geübt werden, bei denen die Katheten bzw. die Hypotenuse nicht a, b, c heißen!

Formeln

● sin ² α + cos ² α = 1● sin α = cos (90° – α)● cos α = sin (90° – α)● tan = sin

cos

Projektarbeit an einer Anwendungsaufgabe

● Grundsätzliche Überlegungen zu einer Projektarbeit:– Umfangreiche Aufgabe– Sinnvolle Arbeitsteilung für S&S oder Gruppen– Manchmal Einbeziehung von externen Experten

oder Institutionen– In der Regel umfangreiche Vorbereitung nötig!– Oft im Rahmen einer Projektwoche– Mögliche Themen / Aktivitäten

● Befragungen, empirische Untersuchungen● Messungen im Freien oder im Schulhaus

● Vorteile von Projektarbeit:● Projektarbeit kann einen Motivationsschub für das Fach Mathematik

bewirken. ● Bei Projektarbeit müssen die Schüler eigenständige Anstrengungen in

Bezug auf Arbeitsaufteilung, Organisation und Lösungssuche unternehmen.

● Zwischenergebnisse müssen festgehalten und anschließend ein Ergebnis präsentiert werden.

● Der Arbeitsauftrag ist nicht starr, er kann während der Arbeit erweitert oder modifiziert werden.

● Schüleraktivierender Unterricht

Nachteile● Hoher Aufwand (Zeit, oft auch Material, Geld)● Verstärkte Aufsichtspflicht● Gefahr des Freizeitcharakters● Absprachen mit KollegInnen notwendig

● Trotz aller Nachteile:● Es lohnt sich !!

Das konkrete Projekt● Bestimmung der Höhe eines Schornsteins!

Berechnungsmethoden

Der Sinussatz ● Der Sinussatz ist im neuen LS zu einer Aufgabe

herabgestuft● Ist aber wichtig für Berechnungen im beliebigen

Dreieck

ab

= sinsin

bc

= sin sin

ca

= sinsin

Beweisfigur Sinussatz

● h = b· sin α = a · sin β

Konstante im Sinussatz

csin

= 2r

asin

= bsin

= csin

= 2r

Der Cosinussatz● Der Cosinussatz ist eine Verallgemeinerung

des Satzes von Pythagoras für beliebige Dreiecke.

● Im beliebigen Dreieck gilt :● c² = a² + b² - 2ab cos γ● a² = b² + c² - 2bc cos α● b² = a² + c² - 2ac cos β

Beweisfigur CosinussatzEntscheidend: SdP im Dreieck ABD

● C² = AD² + BD² = (b·sin γ)² + (a – b cos γ)²● = ... = a² + b² - 2ab cos γ

Zum Vergleich: Wikipedia● Vgl. Beweis in

http://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz#Beweis● Allerdings dort ungewöhnliche Bezeichnung! ● Mit angepasster Bezeichnung kurzer Beweis